Решение на Slough чрез обратен матричен метод матрични уравнения. Матричен метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения

Обмисли система от линейни алгебрични уравнения(БАВНО) относно ннеизвестен х 1 , х 2 , ..., х н :

Тази система в "сгъната" форма може да бъде написана по следния начин:

С н i=1 а ij х й = б аз , i=1,2, ..., n.

В съответствие с правилото за умножение на матрицата, разглежданата система линейни уравненияможе да се пише в матрична форма брадва=b, където

, ,.

Матрица А, чиито колони са коефициентите за съответните неизвестни, а редовете са коефициентите за неизвестните в съответното уравнение, се нарича системна матрица. колонна матрица b, чиито елементи са десните части на уравненията на системата, се нарича матрица на дясната част или просто дясната страна на системата. колонна матрица х , чиито елементи са неизвестни неизвестни, се нарича системно решение.

Системата от линейни алгебрични уравнения, записана като брадва=b, е матрично уравнение.

Ако матрицата на системата неизродени, тогава има обратна матрицаи след това решението на системата брадва=bсе дава по формулата:

х=А -1 b.

ПримерРешете системата матричен метод.

Решениенамерете обратната матрица за матрицата на коефициента на системата

Изчислете детерминантата, като разширите първия ред:

Тъй като Δ ≠ 0 , тогава А -1 съществува.

Обратната матрица е намерена правилно.

Нека намерим решение на системата

Следователно, х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3 .

Преглед:

7. Теоремата на Кронекер-Капели за съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения.

Система от линейни уравненияизглежда като:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Тук са дадени a i j и b i (i = ; j = ), а x j са неизвестни реални числа. Използвайки концепцията за произведение на матрици, можем да пренапишем системата (5.1) във формата:

където A = (a i j) е матрица, състояща се от коефициенти при непознати системи(5.1), което се нарича системна матрица, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - колонни вектори, съставени съответно от неизвестни x j и свободни членове b i .

Поръчана колекция нреални числа (c 1 , c 2 ,..., c n) се нарича системно решение(5.1) ако в резултат на заместване на тези числа вместо съответните променливи x 1 , x 2 ,..., x n всяко уравнение на системата се превръща в аритметично тъждество; с други думи, ако съществува вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такъв, че AC  B.

Извиква се система (5.1). става,или разрешимиако има понеедно решение. Системата се нарича несъвместим,или неразтворимако няма решения.

,

образувана чрез присвояване на колона от свободни членове на матрицата A отдясно, се нарича разширена матрична система.

Въпросът за съвместимостта на системата (5.1) се решава със следната теорема.

Теорема на Кронекер-Капели . Системата от линейни уравнения е непротиворечива тогава и само тогава, когато ранговете на матриците A и A съвпадат, т.е. r(A) = r(A) = r.

За множеството M от решения на система (5.1) има три възможности:

1) M =  (в този случай системата е непоследователна);

2) M се състои от един елемент, т.е. системата има единствено решение(в този случай системата се извиква определени);

3) M се състои от повече от един елемент (тогава системата се нарича несигурен). В третия случай системата (5.1) има безкраен брой решения.

Системата има единствено решение само ако r(A) = n. В този случай броят на уравненията не е такъв по-малко от числонеизвестни (mn); ако m>n, тогава m-n уравненияса следствие от другите. Ако 0

За да се реши произволна система от линейни уравнения, трябва да могат да се решават системи, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, т.нар. Системи тип Крамер:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системите (5.3) се решават по един от следните начини: 1) по метода на Гаус или по метода на елиминиране на неизвестни; 2) по формулите на Крамер; 3) по матричния метод.

Пример 2.12. Проучете системата от уравнения и я решете дали е съвместима:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение.Изписваме разширената матрица на системата:

 .

Нека изчислим ранга на основната матрица на системата. Очевидно е, че например минорът от втори ред в горния ляв ъгъл = 7  0; съдържащите го минори от трети ред са равни на нула:

Следователно рангът на основната матрица на системата е 2, т.е. r(A) = 2. За да изчислите ранга на разширената матрица A, помислете за граничния минор

следователно рангът на разширената матрица е r(A) = 3. Тъй като r(A)  r(A), системата е непоследователна.

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система на формата

където aijи b i (аз=1,…,м; b=1,…,н) са някои известни числа и x 1 ,…,x n- неизвестен. В означенията на коефициентите aijпърви индекс азобозначава номера на уравнението, а второто йе числото на неизвестното, на което стои този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще бъдат записани под формата на матрица , който ще наречем системна матрица.

Числата от дясната страна на уравненията b 1 ,…,b mНаречен безплатни членове.

Агрегат нчисла c 1 ,…,c nНаречен решениена тази система, ако всяко уравнение на системата стане равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение става. В противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква несъвместими.

Обмислете начини за намиране на решения на системата.

МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се напише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрични колони от неизвестни и свободни членове

Да намерим продукта

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията за равенство на матрицата, тази система може да бъде записана като

или по-кратко А∙X=B.

Ето матрици Аи бса известни, а матрицата хнеизвестен. Тя трябва да бъде намерена, защото. нейните елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратната на матрицата А: . Тъй като A -1 A = Eи д∙X=X, тогава получаваме решението на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да бъде намерена само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията е същият като броя на неизвестните. Но матричната нотация на системата е възможна и в случай, че броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Ане е квадрат и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРЕЙМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминант от трети ред, съответстващ на матрицата на системата, т.е. съставен от коефициенти при неизвестни,

Наречен системна детерминанта.

Съставяме още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правило на Крамер).Ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножете първото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение - на А21и 3-ти - на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разширяването на детерминантата по елементите на 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, лесно е да се види това

Така получаваме равенството: .

Следователно,.

Равенствата и се извеждат аналогично, откъдето следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата е равна на нула, тогава системата или има безкраен набор от решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения

МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-рано методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните, а детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и е подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестни от уравненията на системата.

Разгледайте отново система от три уравнения с три неизвестни:

.

Оставяме първото уравнение непроменено, а от 2-ро и 3-то изключваме членовете, съдържащи х 1. За да направим това, разделяме второто уравнение на а 21 и умножете по - а 11 и след това съберете с първото уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на а 31 и умножете по - а 11 и след това го добавете към първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега от последното уравнение елиминираме члена, съдържащ x2. За да направите това, разделете третото уравнение на , умножете по и го добавете към второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

Следователно от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение x2и накрая от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да се сменят, ако е необходимо.

Често, вместо да напишат нова система от уравнения, те се ограничават до написването на разширената матрица на системата:

и след това го приведете в триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

Да се елементарни трансформацииматриците включват следните трансформации:

1. пермутация на редове или колони;
2. умножаване на низ с различно от нула число;
3. добавяне към един ред други редове.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.

Така системата има безкраен брой решения.

Методът на обратната матрица е специален случай матрично уравнение

Решете системата с матричния метод

Решение: Записваме системата в матричен вид.Намираме решението на системата по формулата (вижте последната формула)

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .

Първо, нека се справим с детерминантата:

Тук детерминантата се разширява от първия ред.

внимание! Ако, тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши по матричния метод. В този случай системата се решава чрез метода на елиминиране на неизвестните (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислите 9 минори и да ги запишете в матрицата на минори

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, трета колона, докато например елементът е в 3-ти ред, 2-ра колона

В хода на решаването е по-добре да се опише подробно изчислението на непълнолетните, въпреки че с известен опит те могат да бъдат коригирани да броят с грешки устно.

Редът на изчисляване на непълнолетните абсолютно не е важен, тук ги изчислих отляво надясно ред по ред. Беше възможно да се изчислят непълнолетните по колони (това е още по-удобно).

По този начин:

е матрицата на минорите на съответните елементи на матрицата .

е матрицата на алгебричните добавки.

е транспонираната матрица на алгебрични добавки.

Повтарям, стъпките, които изпълнихме, бяха подробно анализирани в урока. Как да намерим обратната матрица?

Сега записваме обратната матрица:

В никакъв случай не сме въведени в матрицата, това сериозно ще усложни по-нататъшните изчисления. Делението трябва да се извърши, ако всички числа в матрицата се делят на 60 без остатък. Но добавянето на минус към матрицата в този случай е много необходимо, напротив, това ще опрости по-нататъшните изчисления.

Остава да се извърши матрично умножение. Можете да научите как да умножавате матрици в урока Действия с матрици. Между другото, има абсолютно същия пример.

Имайте предвид, че делението на 60 е направено последно.
Понякога може да не е напълно разделена, т.е. може да получи "лоши" дроби. Какво да правим в такива случаи, вече казах, когато анализирахме правилото на Крамър.

Отговор:

Пример 12

Решете системата с помощта на обратната матрица.

Това е пример за самостоятелно решаване (завършване на пример и отговор в края на урока).

Най-универсалният начин за решаване на системата е метод за елиминиране на неизвестни (метод на Гаус). Не е толкова лесно да обясня алгоритъма по достъпен начин, но се опитах!.

Пожелавам ти успех!

Отговори:

Пример 3:

Пример 6:

Пример 8: , . Можете да видите или изтеглите примерно решение за този пример (връзка по-долу).

Примери 10, 12:

Продължаваме да разглеждаме системи от линейни уравнения. Този урок е трети по темата. Ако имате неясна представа какво е система от линейни уравнения като цяло, чувствате се като чайник, тогава препоръчвам да започнете с основите на страницата След това е полезно да изучавате урока.

Методът на Гаус е лесен!Защо? Известният немски математик Йохан Карл Фридрих Гаус приживе получава признание за най-великия математик на всички времена, гений и дори прозвището „Кралят на математиката“. А всичко гениално, както знаете, е просто!Между другото, в парите попадат не само нещастници, но и гении - портретът на Гаус беше изписан на банкнота от 10 германски марки (преди въвеждането на еврото), а Гаус все още мистериозно се усмихва на германците от обикновени пощенски марки.

Методът на Гаус е прост с това, че СА ДОСТАТЪЧНИ ЗНАНИЯТА НА ПЕТОКЛАСНИК, за да го усвоите. Трябва да може да събира и умножава!Неслучайно методът за последователно премахване на неизвестните често се разглежда от учителите в училищните математически факультативи. Парадоксално е, но методът на Гаус създава най-големи трудности за учениците. Нищо изненадващо - всичко е в методологията и аз ще се опитам да разкажа в достъпна форма за алгоритъма на метода.

Първо, малко систематизираме знанията за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате уникално решение.
2) Имате безкрайно много решения.
3) Нямате решения (бъдете несъвместими).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме Правило на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод за последователно елиминиране на неизвестни така или иначедоведе ни до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), статия е запазена за ситуациите на точки № 2-3. Отбелязвам, че самият алгоритъм на метода работи по един и същи начин и в трите случая.

Да се ​​върнем към най-простата система от урока Как се решава система от линейни уравнения?
и го решете с помощта на метода на Гаус.

Първата стъпка е да пишете разширена матрична система:
. По какъв принцип се записват коефициентите, мисля, че всеки може да види. Вертикалната линия вътре в матрицата не носи никакво математическо значение - тя е просто зачертана за по-лесно проектиране.

Справка: Препоръчвам да запомнитеусловия линейна алгебра.Системна матрица е матрица, съставена само от коефициенти за неизвестни, в този пример, матрицата на системата: . Разширена системна матрица е същата матрица на системата плюс колона от безплатни членове, в този случай: . Всяка от матриците може да се нарече просто матрица за краткост.

След като разширената матрична система е написана, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се извикват елементарни трансформации.

Има следните елементарни трансформации:

1) струниматрици може да се пренаредиместа. Например в разглежданата матрица можете безопасно да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако в матрицата има (или са се появили) пропорционални (като частен случай - еднакви) редове, то следва Изтрийот матрицата, всички тези редове с изключение на един. Помислете например за матрицата . В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се е появил нулев ред, той също следва Изтрий. Няма да рисувам, разбира се, нулевата линия е линията, в която само нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делям)за произволен номер ненулев. Помислете например за матрицата. Тук е препоръчително да разделите първия ред на -3 и да умножите втория ред по 2: . Това действие е много полезно, тъй като опростява по-нататъшните трансформации на матрицата.

5) Тази трансформация причинява най-много трудности, но всъщност също няма нищо сложно. Към реда на матрицата можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула. Разгледайте нашата матрица от практически пример: . Първо, ще опиша трансформацията много подробно. Умножете първия ред по -2: , и към втория ред добавяме първия ред, умножен по -2: . Сега първият ред може да бъде разделен "назад" с -2: . Както можете да видите, редът, който е ДОБАВЕН LI – не се е променило. Е винагилинията се променя, КЪМ КОЯТО ДОБАВЕН UT.

На практика, разбира се, те не рисуват толкова подробно, но пишат по-кратко:

Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по -2. Линията обикновено се умножава устно или на чернова, докато умственият ход на изчисленията е нещо подобно:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред:“

Първо първата колона. По-долу трябва да получа нула. Затова умножавам горната единица по -2: и добавям първата към втория ред: 2 + (-2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега втората колона. Над -1 пъти -2: . Добавям първия към втория ред: 1 + 2 = 3. Пиша резултата във втория ред: "

„И третата колона. Над -5 пъти -2: . Добавям първия ред към втория ред: -7 + 10 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

Моля, помислете внимателно върху този пример и разберете алгоритъма за последователно изчисление, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически "в джоба ви". Но, разбира се, ние все още работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ:считани за манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, където матриците се дават "сами по себе си". Например с "класически" матрицив никакъв случай не трябва да пренареждате нещо вътре в матриците!

Да се ​​върнем към нашата система. Тя почти е готова.

Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Между другото, защо умножаваме първия ред по -2? За да получите нула на дъното, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации– конвертирайте матрицата в стъпкова форма: . В дизайна на задачата те директно изчертават „стълбата“ с обикновен молив и също така кръгират числата, които се намират на „стъпалата“. Самият термин "стъпаловиден изглед" не е напълно теоретичен, в научната и учебната литература той често се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

Сега системата трябва да се "развие" в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратен метод на Гаус.

В долното уравнение вече имаме крайния резултат: .

Разгледайте първото уравнение на системата и заменете вече известната стойност на „y“ в него:

Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус е необходим за решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека напишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем в хода на решението:

И повтарям, нашата цел е да доведем матрицата до стъпаловидна форма, използвайки елементарни трансформации. Откъде да започнете да предприемате действия?

Първо погледнете горния ляв номер:

Почти винаги трябва да е тук мерна единица. Най-общо казано, -1 (а понякога и други числа) също ще отговарят, но някак си традиционно се е случило, че единица обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Трансформация едно: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението. Сега добре.

Единицата в горния ляв ъгъл е организирана. Сега трябва да получите нули на тези места:

Нулите се получават само с помощта на "трудна" трансформация. Първо се занимаваме с втория ред (2, -1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да получите нула на първа позиция? Трябва към втория ред добавете първия ред, умножен по -2. Мислено или на чернова умножаваме първия ред по -2: (-2, -4, 2, -18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по -2:

Резултатът се записва във втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, -5, -1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по -3. Мислено или на чернова умножаваме първия ред по -3: (-3, -6, 3, -27). И към третия ред добавяме първия ред, умножен по -3:

Резултатът се записва на третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и записват в една стъпка:

Няма нужда да броите всичко наведнъж и едновременно. Редът на изчисленията и "вмъкването" на резултатите последователени обикновено така: първо пренаписваме първия ред и се пъхтим тихо - ПОСТОЯВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:

И вече разгледах умствения ход на самите изчисления по-горе.

В този пример това се прави лесно, разделяме втория ред на -5 (тъй като всички числа там се делят на 5 без остатък). В същото време разделяме третия ред на -2, защото колкото по-малко е числото, толкова по-просто е решението:

На последния етап от елементарните трансформации тук трябва да се получи още една нула:

За това към третия ред добавяме втория ред, умножен по -2:

Опитайте сами да анализирате това действие - мислено умножете втория ред по -2 и извършете добавянето.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна начална система от линейни уравнения:

Готино.

Сега влиза в действие обратният ход на метода на Гаус. Уравненията се "развиват" отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готовия резултат:

Нека разгледаме второто уравнение: . Значението на "z" вече е известно, така че:

И накрая, първото уравнение: . "Y" и "Z" са известни, въпросът е малък:

Отговор:

Както многократно е отбелязвано, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие това не е трудно и бързо.

Пример 2

Това е пример за самостоятелно решаване, пример за довършване и отговор в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият начин на действиеможе да не съвпада с моя курс на действие, и това е характеристика на метода на Гаус. Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Пишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я довеждаме до стъпкова форма:

Гледаме горната лява "стъпка". Там трябва да имаме единица. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма такива, така че нищо не може да се реши чрез пренареждане на редовете. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих това: (1) Към първия ред добавяме втория ред, умножен по -1. Тоест мислено умножихме втория ред по -1 и извършихме събиране на първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво -1, което ни подхожда добре. Който иска да получи +1, може да направи допълнителен жест: умножете първия ред по -1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и преместен на второ място, така че на втората „стъпка имахме желаната единица.

(4) Вторият ред, умножен по 2, беше добавен към третия ред.

(5) Третият ред беше разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчислението (по-рядко печатна грешка), е „лош“ долен ред. Тоест, ако получим нещо като по-долу и, съответно, , тогава с голяма степен на вероятност може да се твърди, че е допусната грешка в хода на елементарни трансформации.

Ние таксуваме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва и уравненията се „вземат директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре:
Да, ето подарък:

Отговор: .

Пример 4

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример за независимо решение, малко по-сложно е. Няма проблем, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да се различава от моето.

В последната част разглеждаме някои характеристики на алгоритъма на Гаус.
Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в уравненията на системата, например:

Как правилно да напишем разширената матрица на системата? Вече говорих за този момент в урока. Правилото на Крамър. Матричен метод. В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи:

Между другото, това е доста лесен пример, тъй като вече има една нула в първата колона и има по-малко елементарни трансформации за извършване.

Втората характеристика е тази. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпалата“. Може ли да има други номера? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук на горното ляво "стъпало" имаме двойка. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък - а още две и шест. И двойката горе вляво ще ни подхожда! На първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по -1, към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по -3. Така ще получим желаните нули в първата колона.

Или друг хипотетичен пример: . Тук тройката на второто „стъпало“ също ни подхожда, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: към третия ред добавете втория ред, умножен по -4, в резултат на което ще се получи нулата, от която се нуждаем.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да научите как да решавате системи с други методи (метод на Крамер, матричен метод) буквално от първия път - има много твърд алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „напълните ръката си“ и да решите поне 5-10 десет системи. Следователно в началото може да има объркване, грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време извън прозореца .... Следователно, за всички, по-сложен пример за независимо решение:

Пример 5

Решете система от 4 линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус.

Подобна задача на практика не е толкова рядка. Мисля, че дори чайник, който е изучавал подробно тази страница, разбира интуитивно алгоритъма за решаване на такава система. По принцип същото - просто повече действие.

В урока се разглеждат случаите, когато системата няма решения (несъгласувана) или има безкрайно много решения. Несъвместими системи и системи с общо решение. Там можете да коригирате разглеждания алгоритъм на метода на Гаус.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем до стъпковата форма.

Извършени елементарни трансформации:
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1.внимание! Тук може да се изкуши да извадите първия от третия ред, силно не препоръчвам изваждане - рискът от грешка значително се увеличава. Ние просто се отказваме!
(2) Знакът на втория ред беше променен (умножено по -1). Вторият и третият ред са разменени.Забележка че на „стъпалата” се задоволяваме не само с единица, но и с -1, което е още по-удобно.
(3) Към третия ред добавете втория ред, умножен по 5.
(4) Знакът на втория ред беше променен (умножено по -1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратно движение:


Отговор: .

Пример 4: Пишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я довеждаме до стъпкова форма:

Извършени реализации:
(1) Вторият ред беше добавен към първия ред. Така желаната единица е организирана в горната лява „стъпка“.
(2) Първият ред, умножен по 7, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 6, беше добавен към третия ред.

С втората "стъпка" всичко е по-лошо , "кандидатите" за него са числата 17 и 23, като ни трябва или единица, или -1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица

(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1.
(4) Третият ред, умножен по -3, беше добавен към втория ред.
Получава се необходимото на втората стъпка .
(5) Към третия ред се добавя вторият, умножен по 6.
(6) Вторият ред беше умножен по -1, третият ред беше разделен на -83..Очевидно равнината се определя еднозначно от три различни точки, които не лежат на една права. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - според принадлежащите им точки, например; .Ако безплатни членове

Тема 2. СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ.

Основни понятия.

Определение 1. система млинейни уравнения с ннеизвестна е система от вида:

където и са числа.

Определение 2. Решението на системата (I) е такъв набор от неизвестни, в който всяко уравнение на тази система се превръща в идентичност.

Определение 3. Система (I) се нарича ставаако има поне едно решение и несъвместимиако няма решения. Ставната система се нарича определениако има уникално решение и несигуренв противен случай.

Определение 4. Типово уравнение

Наречен нула, и уравнение от формата

Наречен несъвместими. Очевидно система от уравнения, съдържаща непоследователно уравнение, е непоследователна.

Определение 5. Двете системи линейни уравнения се наричат еквивалентенако всяко решение на една система е решение на друга и, обратно, всяко решение на втората система е решение на първата.

Матрична нотация за система от линейни уравнения.

Разгледайте система (I) (вижте §1).

Означават:

Коефициентна матрица за неизвестни

Matrix - колона от безплатни членове

Матрица - колона от неизвестни

.

Определение 1.Матрицата се нарича основната матрица на системата(I), а матрицата е разширената матрица на системата (I).

По дефиницията на матрично равенство системата (I) съответства на матричното равенство:

.

Дясната страна на това равенство по дефиницията на произведението на матриците ( виж определение 3 § 5 глава 1) могат да бъдат факторизирани:

, т.е.

Равенство (2) Наречен матрична нотация на системата (I).

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека в системата (I) (виж §1) m=n, т.е. броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а основната матрица на системата е неизродена, т.е. . Тогава система (I) от §1 има единствено решение

където ∆ = детайл Анаречен основен системна детерминанта(I), ∆ азсе получава от детерминантата Δ чрез замяна аз-та колона към колоната на свободните членове на системата (I).

Пример Решете системата по метода на Крамер:

.

По формули (3) .

Ние изчисляваме детерминантите на системата:

,

,

.

За да получим детерминантата, сме заменили първата колона в детерминантата с колона със свободни термини; замествайки 2-ра колона в детерминантата с колона от свободни членове, получаваме ; по същия начин, замествайки 3-та колона в детерминанта с колона от свободни членове, получаваме . Системно решение:

Решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обратна матрица.

Нека в системата (I) (виж §1) m=nи основната матрица на системата е неизродена. Записваме система (I) в матрична форма ( виж §2):

защото матрица Ае неизродена, то има обратна матрица ( виж теорема 1 §6 от глава 1). Умножете двете страни на уравнението (2) към матрицата, тогава

По дефиниция на обратната матрица . От равенството (3) ние имаме

Решете системата с помощта на обратната матрица

.

Обозначете

В примера (§ 3) изчислихме детерминантата, следователно матрицата Аима обратна матрица. Тогава в сила (4) , т.е.

. (5)

Намерете матрицата ( вижте §6 глава 1)

, , ,

, , ,

,

.

Метод на Гаус.

Нека е дадена системата от линейни уравнения:

. (аз)

Изисква се да се намерят всички решения на система (I) или да се увери, че системата е непоследователна.

Определение 1.Нека наречем елементарното преобразуване на системата(I) някое от трите действия:

1) заличаване на нулевото уравнение;

2) добавяне към двете части на уравнението на съответните части на другото уравнение, умножени по числото l;

3) размяна на членове в уравненията на системата, така че неизвестните с еднакви числа във всички уравнения да заемат еднакви места, т.е. ако, например, в 1-вото уравнение сме променили 2-рия и 3-тия член, тогава същото трябва да бъде направено във всички уравнения на системата.

Методът на Гаус се състои в това, че системата (I) с помощта на елементарни трансформации се свежда до еквивалентна система, решението на която се намира директно или се установява нейната неразрешимост.

Както е описано в §2, система (I) е уникално определена от своята разширена матрица и всяка елементарна трансформация на система (I) съответства на елементарна трансформация на разширената матрица:

.

Трансформация 1) съответства на изтриване на нулевия ред в матрицата, трансформация 2) е еквивалентна на добавяне към съответния ред на матрицата на нейния друг ред, умножен по числото l, трансформация 3) е еквивалентна на пренареждане на колоните в матрицата.

Лесно се вижда, че напротив, всяко елементарно преобразуване на матрицата съответства на елементарно преобразуване на системата (I). С оглед на казаното, вместо операции със системата (I), ще работим с разширената матрица на тази система.

В матрицата първата колона се състои от коефициенти при х 1, 2-ра колона - от коефициентите при х 2и т.н. В случай на пренареждане на колони трябва да се има предвид, че това условие е нарушено. Например, ако разменим 1-ва и 2-ра колони, тогава сега в 1-вата колона ще има коефициенти при х 2, а във 2-ра колона - коефициенти при х 1.

Ще решим система (I) по метода на Гаус.

1. Задраскайте всички нулеви редове в матрицата, ако има такива (т.е. зачеркнете всички нулеви уравнения в система (I).

2. Проверете дали сред редовете на матрицата има ред, в който всички елементи с изключение на последния са равни на нула (да наречем такъв ред непоследователен). Очевидно такава линия съответства на несъгласувано уравнение в система (I), следователно системата (I) няма решения и тук процесът завършва.

3. Нека матрицата не съдържа несъгласувани редове (система (I) не съдържа несъгласувани уравнения). Ако a 11 =0, тогава намираме в 1-вия ред някакъв елемент (с изключение на последния), който е различен от нула и пренареждаме колоните така, че да няма нула в 1-вия ред на 1-во място. Сега приемаме, че (т.е. разменяме съответните членове в уравненията на система (I)).

4. Умножете 1-ви ред по и добавете резултата към 2-ри ред, след това умножете 1-ви ред по и добавете резултата към 3-ти ред и т.н. Очевидно този процес е еквивалентен на елиминиране на неизвестното х 1от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во. В новата матрица получаваме нули в 1-вата колона под елемента а 11:

.

5. Задраскайте всички нулеви редове в матрицата, ако има такива, проверете дали има непоследователен ред (ако има, значи системата е несъвместима и решението свършва дотук). Да проверим дали a 22 / =0, ако да, тогава намираме елемент във втория ред, който е различен от нула, и пренареждаме колоните така, че . След това умножаваме елементите от 2-ри ред по и събираме със съответните елементи от 3-ти ред, след това - елементите от 2-ри ред и добавяме със съответните елементи от 4-ти ред и т.н., докато получим нули под а 22 /

.

Извършените действия са еквивалентни на елиминирането на неизвестното х 2от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во и 2-ро. Тъй като броят на редовете е краен, следователно, след краен брой стъпки, ще получим, че или системата е непоследователна, или ще стигнем до стъпкова матрица ( виж дефиниция 2 §7 глава 1) :

,

Нека напишем системата от уравнения, съответстваща на матрицата . Тази система е еквивалентна на системата (I)

.

От последното уравнение изразяваме ; заместваме в предишното уравнение, намираме и т.н., докато получим .

Забележка 1.Така при решаване на система (I) по метода на Гаус стигаме до един от следните случаи.

1. Система (I) е непоследователна.

2. Система (I) има уникално решение, ако броят на редовете в матрицата е равен на броя на неизвестните ().

3. Система (I) има безкраен брой решения, ако броят на редовете в матрицата е по-малък от броя на неизвестните ().

Следователно е валидна следната теорема.

Теорема.Системата от линейни уравнения е или непоследователна, или има уникално решение, или има безкраен набор от решения.

Примери. Решете системата от уравнения по метода на Гаус или докажете нейната несъвместимост:

б) ;

а) Нека пренапишем дадената система във вида:

.

Разменихме 1-во и 2-ро уравнение на оригиналната система, за да опростим изчисленията (вместо с дроби, ще работим само с цели числа, използвайки такава пермутация).

Ние съставяме разширена матрица:

.

Няма нулеви редове; няма несъвместими редове, ; ние изключваме първото неизвестно от всички уравнения на системата, с изключение на първото. За да направим това, ние умножаваме елементите на първия ред на матрицата по "-2" и ги добавяме към съответните елементи на втория ред, което е еквивалентно на умножаването на първото уравнение по "-2" и добавянето му към 2-ро уравнение. След това умножаваме елементите от 1-ви ред по "-3" и ги добавяме към съответните елементи от третия ред, т.е. умножете второто уравнение на дадената система по "-3" и го добавете към третото уравнение. Вземете

.

Матрицата съответства на система от уравнения). - (вижте Определение 3 § 7 от Глава 1).

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.

Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, които имат еднакъв брой редове и колони.

Теорема за условието за съществуване на обратната матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е изродена.

Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродениако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Запишете матрицата A в таблицата за решаване на системи уравнения по метода на Гаус и отдясно (на мястото на десните части на уравненията) й задайте матрица E.
2. Използвайки трансформациите на Джордан, приведете матрица А към матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че матрицата на идентичност E да се получи под матрицата A на оригиналната таблица.
4. Напишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

Пример 1

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрицата A и отдясно задаваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформациите на Йордан, редуцираме матрицата A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са показани в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава матрицата на идентичността. Следователно изчисленията са верни.

Отговор:

Решение на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, XA = B, AXB = C,

където A, B, C са дадени матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнение, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Пример 2

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратното на матрицата е равно (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Наред с други, те също намират приложение матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се сравни функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на матрични методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсе извършва формирането на система от икономически показатели и на нейна основа се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която номерата на системата са показани в отделните й редове (i = 1,2,....,n), а по вертикалните графики - номера на показателите (j = 1,2,....,m).

На втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки показател от матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от вещо лице.

На последния четвърти етапнамерени стойности на оценките Rjгрупирани в ред на нарастване или намаляване.

Горепосочените матрични методи трябва да се използват например при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели на организацията.