ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

ДЪРЖАВНО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

"ВОРОНЕЖКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

КАТЕДРА ПО ЪГЛЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Комплексни числа

(избрани задачи)

ДИПЛОМНА КВАЛИФИКАЦИОННА РАБОТА

специалност 050201.65 математика

(с допълнителна специалност 050202.65 Информатика)

Изпълнил: студент 5 курс

физико-математически

факултет

Научен ръководител:

ВОРОНЕЖ – 2008г

1. Въведение……………………………………………………...…………..…

2. Комплексни числа (избрани задачи)

2.1. Комплексни числа в алгебрична форма….……...……….….

2.2. Геометрична интерпретация на комплексни числа…………..…

2.3. Тригонометрична форма на комплексни числа

2.4. Приложение на теорията на комплексните числа към решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен………………………………………………………………………………

2.5. Комплексни числа и параметри……………………………………….

3. Заключение………………………………………………………………………………….

4. Списък с литература………………………….………………………......

1. Въведение

В училищната програма по математика теорията на числата се въвежда с помощта на примери за множества естествени числа, цял, рационален, ирационален, т.е. върху множеството от реални числа, образите на които запълват цялата числова ос. Но още в 8-ми клас няма достатъчен запас от реални числа, решаване на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант. Следователно беше необходимо да се попълни запасът от реални числа с помощта на комплексни числа, за които Корен квадратенот отрицателно число има смисъл.

Изборът на темата „Комплексни числа” като тема на моята последна квалификационна работа е, че понятието комплексно число разширява знанията на студентите за бройните системи, за решаването на широк клас задачи както с алгебрично, така и с геометрично съдържание, за решаването на алгебрични уравнениявсяка степен и за решаване на проблеми с параметри.

Тази дипломна работа разглежда решението на 82 задачи.

Първата част на основния раздел „Комплексни числа” съдържа решения на задачи с комплексни числав алгебрична форма се дефинират операциите събиране, изваждане, умножение, деление, операцията на спрежение за комплексни числа в алгебрична форма, степента на имагинерна единица, модулът на комплексно число и правилото за извличане на корен квадратен от е посочено и комплексно число.

Във втората част се решават задачи за геометрична интерпретация на комплексни числа под формата на точки или вектори на комплексната равнина.

Третата част разглежда операциите върху комплексни числа в тригонометрична форма. Използваните формули са: Moivre и извличане на корен от комплексно число.

Четвъртата част е посветена на решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен.

При решаването на задачи от последната част „Комплексни числа и параметри“ се използва и затвърдява информацията, дадена в предходните части. Поредица от проблеми в главата са посветени на дефинирането на семейства от прави в комплексната равнина, дадени чрез уравнения(неравенства) с параметър. В част от упражненията трябва да решите уравнения с параметър (над поле C). Има задачи, при които комплексна променлива едновременно удовлетворява редица условия. Особеност на решаването на задачи в този раздел е свеждането на много от тях до решаването на уравнения (неравенства, системи) от втора степен, ирационални, тригонометрични с параметър.

Характеристика на представянето на материала във всяка част е първоначалният вход теоретични основи, а впоследствие и практическото им приложение при решаване на задачи.

Накрая тезапредставен е списък на използваната литература. Повечето от тях достатъчно подробно и достъпно излагат теоретичен материал, обсъждат решения на някои проблеми и дават практически задачи за самостоятелно решаване. Бих искал да обърна специално внимание на такива източници като:

1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексни числа и техните приложения: Учебник. . Материал учебно помагалопредставени под формата на лекции и практически упражнения.

2. Шклярски Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избрани задачи и теореми от елементарната математика. Аритметика и алгебра. Книгата съдържа 320 задачи, свързани с алгебрата, аритметиката и теорията на числата. Тези задачи се различават значително по характер от стандартните училищни задачи.

2. Комплексни числа (избрани задачи)

2.1. Комплексни числа в алгебрична форма

Решаването на много задачи по математика и физика се свежда до решаване на алгебрични уравнения, т.е. уравнения на формата

,

където a0, a1, …, an са реални числа. Следователно изучаването на алгебрични уравнения е един от най-важните въпроси в математиката. Например, квадратно уравнение с отрицателен дискриминант няма реални корени. Най-простото такова уравнение е уравнението

.

За да има решение това уравнение, е необходимо да разширим множеството от реални числа, като към него добавим корена на уравнението

.

Нека обозначим този корен с

. Така, по дефиниция, или

следователно,

. наречена въображаема единица. С негова помощ и с помощта на двойка реални числа се съставя израз на формата.

Полученият израз беше наречен комплексни числа, защото съдържаше както реални, така и имагинерни части.

И така, комплексните числа са изрази на формата

, и са реални числа, и е определен символ, който отговаря на условието . Числото се нарича реална част от комплексно число, а числото е неговата имагинерна част. За обозначаването им се използват символите ,.

Комплексни числа от вида

са реални числа и следователно множеството от комплексни числа съдържа множеството от реални числа.

Комплексни числа от вида

се наричат ​​чисто въображаеми. Две комплексни числа от вида и се наричат ​​равни, ако техните реални и имагинерни части са равни, т.е. ако равенства , .

Алгебричният запис на комплексните числа позволява операции с тях според обичайните правила на алгебрата.

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. За по-голяма яснота нека разрешим следния проблем:

Изчислете \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ако \

Първо, нека обърнем внимание на факта, че едното число е представено в алгебрична форма, другото в тригонометрична форма. Трябва да се опрости и да се доведе до следния вид

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Изразът \ казва, че първо правим умножение и повдигане на 10-та степен, използвайки формулата на Moivre. Тази формула е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. Получаваме:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Следвайки правилата за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма, ние правим следното:

В нашия случай:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Правейки дробта \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] правилна, стигаме до заключението, че можем да „завъртим“ 4 оборота \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Отговор: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Това уравнение може да бъде решено по друг начин, който се свежда до привеждане на второто число в алгебрична форма, след това извършване на умножението в алгебрична форма, преобразуване на резултата в тригонометрична форма и прилагане на формулата на Moivre:

Къде мога да реша онлайн система от уравнения с комплексни числа?

Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкции и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.

Изрази, уравнения и системи от уравнения
с комплексни числа

Днес в клас ще работим типични действияс комплексни числа, а също така овладяват техниката за решаване на изрази, уравнения и системи от уравнения, които съдържат тези числа. Този семинар е продължение на урока и затова, ако не сте добре запознати с темата, моля, следвайте връзката по-горе. Е, за по-подготвените читатели предлагам да загреете веднага:

Пример 1

Опростете израз , Ако . Представете резултата в тригонометрична форма и го нанесете върху комплексната равнина.

Решение: така че трябва да замените фракцията в „ужасната“ дроб, да извършите опростявания и да преобразувате резултата комплексно число V тригонометрична форма. Плюс рисунка.

Какъв е най-добрият начин за формализиране на решението? По-изгодно е да се справяте със „сложен“ алгебричен израз стъпка по стъпка. Първо, вниманието е по-малко разсеяно, и второ, ако задачата не бъде приета, ще бъде много по-лесно да се намери грешката.

1) Първо, нека опростим числителя. Нека заместим стойността в него, отворим скобите и поправим прическата:

...Да, такъв Квазимодо произлиза от комплексни числа...

Позволете ми да ви напомня, че по време на трансформациите се използват напълно прости неща - правилото за умножение на полиноми и равенството, което вече е станало банално. Основното нещо е да бъдете внимателни и да не се объркате от знаците.

2) Сега идва знаменателят. Ако , тогава:

Забележете в каква необичайна интерпретация е използвано формула за квадратна сума. Като алтернатива можете да извършите пренареждане тук подформула Резултатите естествено ще бъдат същите.

3) И накрая, целият израз. Ако , тогава:

За да се отървете от дроб, умножете числителя и знаменателя по спрегнатия израз на знаменателя. В същото време за целите на приложението формули за квадратна разликапърво трябва (и вече задължително!)поставете отрицателната реална част на 2-ро място:

И сега основното правило:

НЕ БЪРЗАМЕ! По-добре е да играете на сигурно и да направите допълнителна стъпка.
В изрази, уравнения и системи с комплексни числа, самонадеяни устни изчисления по-натоварен от всякога!

Имаше добро намаление в последната стъпка и това е просто страхотен знак.

Забележка : строго погледнато, тук се случи разделянето на комплексно число на комплексно число 50 (запомнете това). Досега мълчах за този нюанс и ще говорим за него малко по-късно.

Нека отбележим постижението си с буквата

Нека представим получения резултат в тригонометрична форма. Най-общо казано, тук можете да направите без чертеж, но тъй като е необходимо, е малко по-рационално да го направите точно сега:

Нека изчислим модула на комплексно число:

Ако рисувате в мащаб от 1 единица. = 1 см (2 клетки от тетрадка), тогава получената стойност може лесно да се провери с помощта на обикновена линийка.

Да намерим аргумент. Тъй като числото се намира във втората координатна четвърт, тогава:

Ъгълът може лесно да се провери с транспортир. Това е безспорното предимство на рисунката.

Така: – търсеното число в тригонометрична форма.

Да проверим:
, което трябваше да се провери.

Удобно е да намерите непознати стойности на синус и косинус с помощта тригонометрична таблица.

Отговор:

Подобен пример за независимо решение:

Пример 2

Опростете израз , Където . Начертайте полученото число върху комплексната равнина и го запишете в експоненциална форма.

Опитайте се да не пропускате уроците. Може да изглеждат прости, но без тренировка „влизането в локва“ е не просто лесно, а много лесно. Следователно ние „вземаме ръцете си върху него“.

Често един проблем има повече от едно решение:

Пример 3

Изчислете, ако,

Решение: първо, нека обърнем внимание на първоначалното условие - едното число е представено в алгебрична, а другото в тригонометрична форма и дори със степени. Нека веднага да го пренапишем в по-позната форма: .

В каква форма трябва да се извършват изчисленията? Изразът очевидно включва първо умножение и последващо повишаване на 10-та степен Формулата на Моавър, която е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. Така че изглежда по-логично да преобразуваме първото число. Нека намерим неговия модул и аргумент:

Използваме правилото за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма:
ако , тогава

Правейки фракцията правилна, стигаме до извода, че можем да „завъртим“ 4 оборота (радвам се.):

Второ решениее да преобразувате второто число в алгебрична форма , извършете умножението в алгебрична форма, преобразувайте резултата в тригонометрична форма и използвайте формулата на Moivre.

Както можете да видите, има едно „допълнително“ действие. Желаещите могат да последват решението и да се уверят, че резултатите са същите.

Условието не казва нищо за формата на крайното комплексно число, така че:

Отговор:

Но „за красота“ или при поискване, резултатът не е трудно да си представим в алгебрична форма:

сам:

Пример 4

Опростете израз

Тук трябва да помним действия със степени, въпреки че в ръководството няма нито едно полезно правило, ето го: .

И още една важна забележка: примерът може да бъде решен в два стила. Първият вариант е да се работи с двечисла и разбиране с дроби. Втората опция е да представите всяко число като частно на две числа: И отървете се от четириетажната структура. От формална гледна точка няма значение как ще решите, но има съществена разлика! Моля, помислете внимателно за:
е комплексно число;
е частното на две комплексни числа ( и ), но в зависимост от контекста можете да кажете и това: число, представено като частно на две комплексни числа.

Кратко решение и отговор в края на урока.

Изразите са добри, но уравненията са по-добри:

Уравнения с комплексни коефициенти

Как се различават от „обикновените“ уравнения? Коефициенти =)

В светлината на горния коментар, нека започнем с този пример:

Пример 5

Решете уравнението

И незабавен преамбюл „по петите“: първоначално дясна частуравнението е позиционирано като частно на две комплексни числа ( и 13) и следователно би било лоша форма да пренапишете условието с числото (въпреки че това няма да доведе до грешка). Тази разлика, между другото, е по-ясно видима във фракцията - ако, относително казано, тогава тази стойност се разбира предимно като "пълен" комплексен корен на уравнението, а не като делител на число и особено не като част от число!

Решение, по принцип, също може да се направи стъпка по стъпка, но в този случай играта не си струва свещта. Първоначалната задача е да се опрости всичко, което не съдържа неизвестното "z", което води до редуциране на уравнението до формата:

Ние уверено опростяваме средната фракция:

Прехвърляме резултата от дясната страна и намираме разликата:

Забележка : и отново ти обръщам внимание на смисловото - тук не извадихме число от число, а приведохме дробите към общ знаменател! Трябва да се отбележи, че вече в ПРОГРЕСА на решаването не е забранено да се работи с числа: , но в разглеждания пример този стил е по-скоро вреден, отколкото полезен =)

Съгласно правилото за пропорцията, ние изразяваме "zet":

Сега можете отново да разделяте и умножавате по конюгата, но подозрително сходните числа в числителя и знаменателя предполагат следващия ход:

Отговор:

За да проверим, нека заместим получената стойност в лявата страна на оригиналното уравнение и извършим опростяване:

– получава се дясната страна на първоначалното уравнение, като по този начин коренът се намира правилно.

...Сега, сега... Ще намеря нещо по-интересно за вас... ето вие:

Пример 6

Решете уравнението

Това уравнение се свежда до формата , което означава, че е линейно. Мисля, че намекът е ясен - дерзайте!

Разбира се... как ще живееш без него:

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти

На урока Комплексни числа за манекенинаучихме, че квадратно уравнение с реални коефициенти може да има спрегнати комплексни корени, след което възниква логичен въпрос: защо всъщност самите коефициенти не могат да бъдат комплексни? Нека формулирам общ случай:

Квадратно уравнение с произволни комплексни коефициенти (1 или 2 от които или и трите могат да бъдат по-специално валидни)То има две и само двесложен корен (евентуално едното или и двете са валидни). В същото време корените (както реални, така и с ненулева имагинерна част)могат да съвпадат (да бъдат кратни).

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти се решава по същата схема като "училищно" уравнение, с някои разлики в техниката на изчисление:

Пример 7

Намерете корени квадратно уравнение

Решение: въображаемата единица е на първо място и по принцип можете да се отървете от нея (умножавайки двете страни по), обаче няма особена нужда от това.

За удобство записваме коефициентите:

Нека не губим "минуса" на безплатен член! ... Може да не е ясно за всички - ще пренапиша уравнението в стандартна форма :

Нека изчислим дискриминанта:

И тук е основната пречка:

Приложение на общата формула за извличане на корена (виж последния параграф на статията Комплексни числа за манекени) усложнен от сериозни трудности, свързани с аргумента на радикалното комплексно число (вижте сами). Но има и друг, "алгебричен" начин! Ще търсим корена във формата:

Нека повдигнем на квадрат двете страни:

Две комплексни числа са равни, ако техните реални и имагинерни части са равни. Така получаваме следната система:

Системата се решава по-лесно чрез избиране (по-задълбочен начин е да се изрази от 2-ро уравнение - заместване в 1-во, получаване и решаване на биквадратно уравнение). Ако приемем, че авторът на проблема не е чудовище, излагаме хипотезата, че и са цели числа. От първото уравнение следва, че "x" по модулповече от "Y". Освен това, положителен продуктни казва, че неизвестните имат същия знак. Въз основа на горното и фокусирайки се върху второто уравнение, записваме всички двойки, които му съответстват:

Очевидно е, че първото уравнение на системата е удовлетворено от последните две двойки, така че:

Една междинна проверка не би навредила:

което трябваше да се провери.

Можете да изберете като „работещ“ корен всякаквизначение. Ясно е, че е по-добре да вземете версията без „минусите“:

Намираме корените, без да забравяме между другото, че:

Отговор:

Нека проверим дали намерените корени удовлетворяват уравнението :

1) Нека заместим:

истинско равенство.

2) Нека заместим:

истинско равенство.

Така че решението е намерено правилно.

Въз основа на проблема, който току-що обсъдихме:

Пример 8

Намерете корените на уравнението

Трябва да се отбележи, че квадратният корен от чисто комплексночислата могат лесно да бъдат извлечени с помощта на общата формула , Където , така че и двата метода са показани в извадката. Втората полезна забележка се отнася до факта, че предварителното извличане на корена на константа изобщо не опростява решението.

Сега можете да се отпуснете - в този пример ще се разминете с лека уплаха :)

Пример 9

Решете уравнението и проверете

Решения и отговори в края на урока.

Последният параграф на статията е посветен на

система от уравнения с комплексни числа

Да се ​​отпуснем и... не се напрягаме =) Да разгледаме най-простия случай - система от две линейни уравненияс две неизвестни:

Пример 10

Решете системата от уравнения. Представете отговора в алгебрична и експоненциална форма, изобразете корените на чертежа.

Решение: самото условие предполага, че системата има единствено решение, тоест трябва да намерим две числа, които удовлетворяват за всекиуравнение на системата.

Системата наистина може да бъде решена по "детски" начин (изразяват една променлива по отношение на друга) , но е много по-удобен за използване Формули на Крамер. Нека изчислим основен определящ факторсистеми:

, което означава, че системата има уникално решение.

Повтарям, че е по-добре да отделите време и да напишете стъпките възможно най-подробно:

Умножаваме числителя и знаменателя по въображаема единица и получаваме първи корен:

По същия начин:

Получават се съответните десни страни и т.н.

Да направим чертежа:

Нека представим корените в експоненциална форма. За да направите това, трябва да намерите техните модули и аргументи:

1) – аркутангенсът на „две“ се изчислява „зле“, така че го оставяме така: