14.3 Точка в безкрайност като особена точка на функция на комплексна променлива

Предговор

Доста трудно е правилното разпределяне на времето и усилията при подготовката за теоретичната и практическата част на изпита или модулната сертификация, особено след като винаги няма достатъчно време по време на сесията. И както показва практиката, не всеки може да се справи с това. В резултат на това по време на изпита някои студенти решават правилно задачи, но им е трудно да отговорят на най-простите теоретични въпроси, докато други могат да формулират теорема, но не могат да я приложат.

Настоящите методически препоръки за подготовка за изпита по курса Теория на функциите на комплексната променлива (ТФВ) са опит за разрешаване на това противоречие и осигуряване на едновременното повторение на теоретичния и практическия материал от курса. Водени от принципа „Теорията без практика е мъртва, практиката без теория е сляпа“, те съдържат както теоретичните положения на курса на ниво дефиниции и формулировки, така и примери, илюстриращи приложението на всяка дадена теоретична позиция, и по този начин я правят по-лесно за запомняне и разбиране.

Предназначението на предложените методически препоръки е да помогне на студента да се подготви за изпита на основно ниво. С други думи, съставено е разширено работно ръководство, съдържащо основните точки, използвани в часовете по курса TFKT и необходими при писане на домашни и подготовка за контролни дейности. Освен за самостоятелна работа на студентите, това електронно учебно издание може да се използва при провеждане на занятия в интерактивна форма с помощта на електронна дъска или за поставяне в система за дистанционно обучение.

Моля, имайте предвид, че тази работа не замества учебници или бележки за лекции. За по-задълбочено проучване на материала се препоръчва да се обърнете към съответните раздели на публикацията, публикувана в Московския държавен технически университет. Н.Е. Бауман основен учебник.

В края на помагалото има списък с препоръчителна литература и предметен указател, включващ всички подчертани в текста. удебелен курсивусловия. Индексът се състои от хипервръзки към раздели, където тези термини са строго дефинирани или описани и където са дадени примери, които илюстрират употребата им.

Ръководството е предназначено за студенти от 2-ра година на всички факултети на MSTU. Н.Е. Бауман.

1. Алгебрична форма на запис на комплексно число

Записване на формата z \u003d x + iy, където x, y са реални числа, i е въображаема единица (т.е. i 2 = − 1)

се нарича алгебрична форма на комплексното число z. В този случай x се нарича реална част от комплексното число и се означава с Re z (x = Re z), y се нарича имагинерна част от комплексното число и се означава с Im z (y = Im z).

Пример. Комплексното число z = 4− 3i има реалната част Rez = 4 , а имагинерната част Imz = − 3 .

2. Равнина на комплексни числа

AT теориите на функциите на комплексна променлива разглеждаткомплексна числова равнина, което се обозначава или, или се използват буквите, означаващи комплексни числа z, w и т.н.

Хоризонталната ос на комплексната равнина се нарича реална ос, реалните числа са разположени върху него z \u003d x + 0i \u003d x.

Вертикалната ос на комплексната равнина се нарича въображаема ос, има

3. Комплексно спрегнати числа

Наричат ​​се числата z = x + iy и z = x − iy комплексно спрегнат. В комплексната равнина те съответстват на точки, които са симетрични спрямо реалната ос.

4. Операции с комплексни числа в алгебрична форма

4.1 Събиране на комплексни числа

По този начин операцията за умножение на комплексни числа е подобна на операцията за умножение на алгебрични биноми, като се вземе предвид фактът, че i 2 = − 1.

План на урока.

1. Организационен момент.

2. Представяне на материала.

3. Домашна работа.

4. Обобщаване на урока.

По време на часовете

I. Организационен момент.

II. Представяне на материала.

Мотивация.

Разширяването на набора от реални числа се състои в това, че към реалните числа се добавят нови числа (въображаеми). Въвеждането на тези числа е свързано с невъзможността да се извлече корен от отрицателно число в множеството от реални числа.

Въвеждане на понятието комплексно число.

Въображаемите числа, с които допълваме реалните числа, се записват като би, където азе въображаемата единица и i 2 = - 1.

Въз основа на това получаваме следната дефиниция на комплексно число.

Определение. Комплексното число е израз на формата а+би, където аи bса реални числа. В този случай са изпълнени следните условия:

а) Две комплексни числа a 1 + b 1 iи a 2 + b 2 iравно тогава и само ако а 1 = а 2, b1=b2.

б) Събирането на комплексни числа се определя от правилото:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Умножението на комплексни числа се определя от правилото:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Алгебрична форма на комплексно число.

Записване на комплексно число във формата а+бисе нарича алгебрична форма на комплексно число, където а- същинска част бие въображаемата част и bе реално число.

Комплексно число а+бисе счита за равно на нула, ако неговите реална и имагинерна част са равни на нула: a=b=0

Комплексно число а+бипри b = 0считано за реално число а: a + 0i = a.

Комплексно число а+бипри а = 0се нарича чисто въображаема и се обозначава би: 0 + bi = bi.

Две комплексни числа z = a + biи = a – bi, които се различават само по знака на имагинерната част, се наричат ​​спрегнати.

Действия върху комплексни числа в алгебрична форма.

Следните операции могат да се извършват върху комплексни числа в алгебрична форма.

1) Добавяне.

Определение. Сумата от комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iи z 2 = a 2 + b 2 iнаречено комплексно число z, чиято реална част е равна на сумата от реалните части z1и z2, а имагинерната част е сумата от имагинерните части на числата z1и z2, това е z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Числа z1и z2се наричат ​​термини.

Събирането на комплексни числа има следните свойства:

1º. Комутативност: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Асоциативност: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексно число -а -бисе нарича обратното на комплексно число z = a + bi. Комплексно число, противоположно на комплексно число z, означено -z. Сума от комплексни числа zи -zе равно на нула: z + (-z) = 0

Пример 1: Добавете (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Изваждане.

Определение.Извадете от комплексно число z1комплексно число z2 z,Какво z + z 2 = z 1.

Теорема. Разликата на комплексните числа съществува и освен това е уникална.

Пример 2: Изваждане (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведението на комплексни числа z 1 =a 1 +b 1 iи z 2 \u003d a 2 + b 2 iнаречено комплексно число z, определени от равенството: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Числа z1и z2се наричат ​​фактори.

Умножението на комплексни числа има следните свойства:

1º. Комутативност: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Асоциативност: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Разпределимост на умножението по отношение на събирането:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2е реално число.

На практика умножението на комплексни числа се извършва съгласно правилото за умножаване на сумата по сумата и разделяне на реалната и имагинерната част.

В следващия пример разгледайте умножението на комплексни числа по два начина: по правилото и чрез умножаване на сумата по сумата.

Пример 3: Умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 начин. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

2 начина. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Разделяне.

Определение. Разделете комплексно число z1към комплексно число z2, означава да се намери такова комплексно число z, Какво z z 2 = z 1.

Теорема.Коефициентът на комплексните числа съществува и е уникален, ако z2 ≠ 0 + 0i.

На практика частното на комплексните числа се намира чрез умножаване на числителя и знаменателя по конюгата на знаменателя.

Позволявам z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, тогава

.

В следващия пример извършваме деление по формулата и правилото за умножение по конюгата на знаменателя.

Пример 4. Намерете частно .

5) Повдигане на положителна цяло число.

а) Силите на въображаемото единство.

Възползвайки се от равенството i 2 \u003d -1, лесно е да се дефинира всяка положителна степен на цяло число на имагинерната единица. Ние имаме:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1и т.н.

Това показва, че градусните стойности аз н, където н- цяло положително число, периодично повтарящо се, когато индикаторът нараства с 4 .

Затова да се вдигне бройката азна степен положително цяло число, разделете експонентата на 4 и изправени азна степен, чийто показател е остатъкът от делението.

Пример 5 Изчислете: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 = 1 - i.

б) Повишаването на комплексно число до цяло положително число се извършва съгласно правилото за повишаване на бином до съответната степен, тъй като това е частен случай на умножаване на идентични комплексни множители.

Пример 6. Изчислете: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Страница 2 от 3

Алгебрична форма на комплексно число.
Събиране, изваждане, умножение и деление на комплексни числа.

Вече се запознахме с алгебричната форма на комплексно число – това е алгебричната форма на комплексно число. Защо говорим за форма? Факт е, че има и тригонометрични и експоненциални форми на комплексни числа, които ще бъдат обсъдени в следващия параграф.

Операциите с комплексни числа не са особено трудни и малко се различават от обикновената алгебра.

Събиране на комплексни числа

Пример 1

Добавете две комплексни числа,

За да съберете две комплексни числа, съберете техните реални и имагинерни части:

Просто, нали? Действието е толкова очевидно, че не се нуждае от допълнителни коментари.

По такъв прост начин можете да намерите сумата на произволен брой членове: сумирайте реалните части и сумирайте въображаемите части.

За комплексни числа правилото от първи клас е вярно: - от пренареждането на членовете сборът не се променя.

Изваждане на комплексни числа

Пример 2

Намерете разликите на комплексни числа и ако ,

Действието е подобно на събирането, единствената особеност е, че субтрахендът трябва да бъде взет в скоби и след това, като стандарт, отворете тези скоби с промяна на знака:

Резултатът не трябва да обърква, полученото число има две, а не три части. Само реалната част е компонент: . За по-голяма яснота отговорът може да се пренапише по следния начин: .

Нека изчислим втората разлика:

Тук реалната част също е компонент:

За да избегна всяко подценяване, ще дам кратък пример с "лоша" въображаема част: . Тук не можете без скоби.

Умножение на комплексни числа

Дойде моментът да ви запозная с прочутото равенство:

Пример 3

Намерете произведението на комплексни числа,

Очевидно работата трябва да бъде написана така:

Какво се пита? Предлага се отваряне на скобите според правилото за умножение на полиноми. Така трябва да се постъпва! Всички алгебрични операции са ви познати, основното нещо, което трябва да запомните, е това и бъдете внимателни.

Нека повторим, боже, училищното правило за умножение на полиноми: За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия полином.

Ще пиша подробно:

Надявам се, че на всички е било ясно

Внимание и отново внимание, най-често се прави грешка в знаците.

Подобно на сумата, произведението на комплексните числа е пермутабилно, т.е. равенството е вярно: .

В образователната литература и в мрежата е лесно да се намери специална формула за изчисляване на произведението на комплексни числа. Използвайте го, ако искате, но ми се струва, че подходът с умножение на полиноми е по-универсален и по-ясен. Няма да давам формулата, мисля, че в случая е запушване на главата с дървени стърготини.

Деление на комплексни числа

Пример 4

Дадени са комплексни числа , . Намерете лично.

Нека направим коефициент:

Извършва се разделяне на числата чрез умножаване на знаменателя и числителя по спрегнатия израз на знаменателя.

Спомняме си формулата с брадата и гледаме нашия знаменател: . Знаменателят вече има , така че спрегнатият израз в този случай е , т.е

Според правилото знаменателят трябва да се умножи по , и така че нищо да не се промени, умножете числителя по същото число:

Ще пиша подробно:

Взех „добър“ пример, ако вземете две числа „от булдозера“, тогава в резултат на разделяне почти винаги ще получите дроби, нещо подобно.

В някои случаи, преди да разделите, е препоръчително да опростите фракцията, например, помислете за частното на числата:. Преди да разделим, ние се отърваваме от ненужните минуси: в числителя и в знаменателя изваждаме минусите от скобите и намаляваме тези минуси: . За тези, които обичат да решават, ще дам правилния отговор:

Рядко, но има такава задача:

Пример 5

Дадено ви е комплексно число. Запишете даденото число в алгебрична форма (т.е. във формата).

Приемането е същото - умножаваме знаменателя и числителя по израза, спрегнат към знаменателя. Нека да разгледаме отново формулата. Знаменателят вече има , така че знаменателят и числителят трябва да бъдат умножени по спрегнатия израз, тоест по:

На практика те лесно могат да предложат фантастичен пример, когато трябва да извършите много операции с комплексни числа. Без паника: Бъди внимателен, следвайте правилата на алгебрата, обичайния алгебричен ред на операциите и запомнете, че .

Тригонометрична и експоненциална форма на комплексно число

В този раздел ще се съсредоточим повече върху тригонометричната форма на комплексно число. Експоненциалната форма в практическите задачи е много по-рядко срещана. Препоръчвам да изтеглите и, ако е възможно, да отпечатате тригонометрични таблици, методическият материал може да бъде намерен на страницата Математически формули и таблици. Не можете да стигнете далеч без маси.

Всяко комплексно число (с изключение на нула) може да бъде записано в тригонометрична форма:
, къде е комплексно число модул, а - аргумент комплексно число. Не бягайте, по-лесно е отколкото си мислите.

Начертайте число върху комплексната равнина. За категоричност и простота на обясненията ще го поставим в първата координатна четвърт, т.е. смятаме, че:

Модул на комплексно числое разстоянието от началото на координатите до съответната точка на комплексната равнина. Просто казано, модулът е дължинатарадиус вектор, който е маркиран в червено на чертежа.

Модулът на комплексно число обикновено се означава с: или

С помощта на Питагоровата теорема е лесно да се изведе формула за намиране на модула на комплексно число: . Тази формула е валидна за всякаквизначения "а" и "бъди".

Забележка: модулът на комплексно число е обобщение на понятието модул на реално число, като разстоянието от точката до началото.

Аргументът на комплексно числоНаречен ъгълмежду положителна осреалната ос и радиус вектора, начертани от началото до съответната точка. Аргументът не е дефиниран за единствено число: .

Разглежданият принцип всъщност е подобен на полярни координати, където полярният радиус и полярният ъгъл еднозначно определят точка.

Аргументът на комплексно число обикновено се означава с: или

От геометрични съображения се получава следната формула за намиране на аргумента:
. внимание!Тази формула работи само в дясната полуравнина! Ако комплексното число не се намира в 1-ви или 4-ти координатен квадрант, тогава формулата ще бъде малко по-различна. Ще разгледаме и тези случаи.

Но първо, помислете за най-простите примери, когато сложните числа са разположени на координатните оси.

Пример 7

Нека изпълним чертежа:

Всъщност задачата е устна. За по-голяма яснота ще пренапиша тригонометричната форма на комплексно число:

Нека запомним плътно, модулът - дължина(което винаги е неотрицателно), аргументът е ъгъл.

1) Нека представим числото в тригонометрична форма. Намерете неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Формално изчисление по формулата: .
Очевидно е, че (числото лежи директно върху реалната положителна полуос). Така че числото в тригонометрична форма е: .

Ясно като бял ден, действие за обратна проверка:

2) Нека представим числото в тригонометрична форма. Намерете неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Формално изчисление по формулата: .
Очевидно (или 90 градуса). На чертежа ъгълът е маркиран в червено. Така че числото в тригонометрична форма е: .

Използвайки таблицата със стойности на тригонометрични функции, е лесно да върнете алгебричната форма на число (в същото време чрез проверка):

3) Нека представим числото в тригонометрична форма. Намерете неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Формално изчисление по формулата: .
Очевидно (или 180 градуса). На чертежа ъгълът е означен в синьо. Така че числото в тригонометрична форма е: .

Преглед:

4) И четвъртият интересен случай. Нека представим числото в тригонометрична форма. Намерете неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Формално изчисление по формулата: .

Аргументът може да бъде написан по два начина: Първи начин: (270 градуса) и съответно: . Преглед:

Следното правило обаче е по-стандартно: Ако ъгълът е по-голям от 180 градуса, тогава се изписва със знак минус и обратна ориентация (“превъртане”) на ъгъла: (минус 90 градуса), на чертежа ъгълът е отбелязан в зелено. Лесно се вижда това и са под същия ъгъл.

Така записът става:

внимание!В никакъв случай не трябва да използвате четността на косинуса, нечетността на синуса и да извършите допълнително "опростяване" на записа:

Между другото, полезно е да си припомните външния вид и свойствата на тригонометричните и обратните тригонометрични функции, референтните материали са в последните параграфи на страницата Графики и свойства на основни елементарни функции. А комплексните числа се научават много по-лесно!

В дизайна на най-простите примери трябва да се напише така: „очевидно е, че модулът е ... очевидно е, че аргументът е ...“. Това е наистина очевидно и лесно се решава устно.

Да преминем към по-често срещаните случаи. Както вече отбелязах, няма проблеми с модула, винаги трябва да използвате формулата. Но формулите за намиране на аргумента ще бъдат различни, зависи от коя координатна четвърт се намира числото. В този случай са възможни три варианта (полезно е да ги пренапишете в бележника си):

1) Ако (1-ва и 4-та координатна четвъртина или дясната полуравнина), тогава аргументът трябва да се намери с помощта на формулата.

2) Ако (2-ра координатна четвърт), тогава аргументът трябва да бъде намерен по формулата .

3) Ако (3-та координатна четвърт), тогава аргументът трябва да бъде намерен по формулата .

Пример 8

Изразете комплексните числа в тригонометрична форма: , , , .

Щом има готови формули, тогава чертежът не е необходим. Но има един момент: когато ви помолят да представите число в тригонометрична форма, тогава рисуването е по-добре да се направи така или иначе. Факт е, че учителите често отхвърлят решение без чертеж, липсата на чертеж е сериозна причина за минус и провал.

Ех, не съм рисувал нищо на ръка от сто години, чакай:

Както винаги се получи разхвърляно =)

Ще представя числата и в комплексна форма, като първо и трето число ще са за самостоятелно решаване.

Нека представим числото в тригонометрична форма. Намерете неговия модул и аргумент.