Решете дадената система от уравнения, като използвате формулите на Крамер. Метод на Cramer: Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (Slau)
Нека системата от линейни уравнения съдържа толкова уравнения, колкото е броят на независимите променливи, т.е. има формата
Такива системи линейни уравнениясе наричат квадратни. Детерминантата, съставена от коефициентите на независимите променливи на системата (1.5), се нарича основна детерминанта на системата. Ще го обозначим гръцка букваГ. И така
. (1.6)
Ако в основната детерминанта произволна ( й th) колона, заменете я с колоната на свободните членове на системата (1.5), тогава можем да получим повече нспомагателни детерминанти:
(й = 1, 2, …, н). (1.7)
Правилото на Крамъррешаването на квадратни системи от линейни уравнения е както следва. Ако главният детерминант D на системата (1.5) е различен от нула, тогава системата има и, освен това, единствено решение, което може да се намери с помощта на формулите:
(1.8)
Пример 1.5.Решете системата от уравнения по метода на Крамер
.
Нека изчислим основната детерминанта на системата:
От D¹0 системата има уникално решение, което може да се намери с помощта на формули (1.8):
По този начин,
Матрични действия
1. Умножение на матрица с число.Операцията за умножаване на матрица по число се дефинира по следния начин.
2. За да умножите една матрица по число, трябва да умножите всички нейни елементи по това число. Това е
. (1.9)
Пример 1.6. 
.
Събиране на матрица.
Тази операция се въвежда само за матрици от същия ред.
За да се съберат две матрици, е необходимо към елементите на едната матрица да се добавят съответните елементи от другата матрица:
(1.10)
Операцията на събиране на матрици има свойствата на асоциативност и комутативност.
Пример 1.7. 
.
Матрично умножение.
Ако броят на колоните на матрицата НОсъвпада с броя на редовете на матрицата AT, тогава за такива матрици се въвежда операцията на умножение:
2 
Така при умножаване на матрицата НОразмери м´ нда се матрица ATразмери н´ кполучаваме матрица ОТразмери м´ к. В този случай елементите на матрицата ОТсе изчисляват по следните формули:
Задача 1.8.Намерете, ако е възможно, произведението на матриците ABи BA:
Решение. 1) Да си намеря работа AB, имате нужда от матрични редове Аумножете по матрични колони б:
2) Произведения на изкуството BAне съществува, тъй като броят на колоните на матрицата бне съвпада с броя на редовете на матрицата А.
Обратна матрица. Решаване на системи от линейни уравнения по матричен начин
Матрица а- 1 се нарича обратна на квадратна матрица НОако е изпълнено равенството:
къде през азобозначава матрицата на идентичност от същия ред като матрицата НО:
.
За да има обратна квадратна матрица, е необходимо и достатъчно нейният детерминант да е различен от нула. Обратната матрица се намира по формулата:
, (1.13)
където A ij- алгебрични добавки към елементите aijматрици НО(обърнете внимание, че алгебричните добавки към редовете на матрицата НОса подредени в обратната матрица под формата на съответни колони).
Пример 1.9.Намерете обратна матрица а- 1 към матрицата
.
Намираме обратната матрица по формула (1.13), която за случая н= 3 изглежда така:
.
Да намерим дет А = | А| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Тъй като детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула, тогава обратната матрица съществува.
1) Намерете алгебрични добавки A ij:
За удобство при намиране обратна матрица, поставихме алгебричните добавки към редовете на оригиналната матрица в съответните колони.
От получени алгебрични добавкисъставете нова матрица и я разделете на детерминантата det А. Така ще получим обратната матрица:
Квадратни системи от линейни уравнения с ненулева главна детерминанта могат да бъдат решени с помощта на обратна матрица. За това системата (1.5) се записва в матрична форма:
където 
Умножение на двете страни на равенството (1.14) отляво по а- 1, получаваме решението на системата:
, където
По този начин, за да се намери решение квадратна система, трябва да намерите обратната матрица на основната матрица на системата и да я умножите отдясно по колонната матрица на свободните членове.
Задача 1.10.Решете система от линейни уравнения
с помощта на обратна матрица.
Решение.Записваме системата в матрична форма: ,
където 
е основната матрица на системата, е колоната на неизвестните и е колоната на свободните членове. Тъй като основната детерминанта на системата 
, след това основната матрица на системата НОима обратна матрица НО-едно. За намиране на обратната матрица НО-1 , изчислете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата НО:
От получените числа съставяме матрица (освен това алгебрични добавки към редовете на матрицата НОнапишете в съответните колони) и го разделете на детерминанта D. Така намерихме обратната матрица:
Решението на системата се намира по формулата (1.15):
По този начин,
Решаване на системи от линейни уравнения чрез обикновени изключения на Йордан
Нека е дадена произволна (не непременно квадратна) система от линейни уравнения:
(1.16)
Изисква се да се намери решение на системата, т.е. такъв набор от променливи, който удовлетворява всички равенства на системата (1.16). AT общ случайсистема (1.16) може да има не само едно решение, но и безкраен брой решения. Може също да няма никакви решения.
При решаването на такива задачи се използва методът за елиминиране на неизвестни, добре познат от училищния курс, който също се нарича метод на обикновените елиминации на Йордан. Същността на този метод се състои в това, че в едно от уравненията на системата (1.16) една от променливите се изразява чрез други променливи. След това тази променлива се замества в други уравнения на системата. Резултатът е система, която съдържа едно уравнение и една променлива по-малко от оригиналната система. Запомня се уравнението, от което е изразена променливата.
Този процес се повтаря, докато в системата остане едно последно уравнение. В процеса на елиминиране на неизвестни, някои уравнения могат да се превърнат в истински идентичности, например. Такива уравнения са изключени от системата, тъй като те са валидни за всякакви стойности на променливите и следователно не влияят на решението на системата. Ако в процеса на елиминиране на неизвестни поне едно уравнение се превърне в равенство, което не може да бъде изпълнено за никакви стойности на променливите (например ), тогава заключаваме, че системата няма решение.
Ако по време на решаването на непоследователни уравнения не са възникнали, тогава една от останалите променливи в него се намира от последното уравнение. Ако в последното уравнение остане само една променлива, тя се изразява като число. Ако в последното уравнение останат други променливи, тогава те се считат за параметри и променливата, изразена чрез тях, ще бъде функция на тези параметри. Тогава т.нар обратен ход". Намерената променлива се замества в последното запаметено уравнение и се намира втората променлива. След това двете намерени променливи се заместват в предпоследното запомнено уравнение и се намира третата променлива и така нататък до първото запаметено уравнение.
В резултат на това получаваме решението на системата. Това решение ще бъде единственото, ако намерените променливи са числа. Ако първата намерена променлива и след това всички останали зависят от параметрите, тогава системата ще има безкраен брой решения (всеки набор от параметри съответства на ново решение). Формулите, които позволяват да се намери решение на системата в зависимост от определен набор от параметри, се наричат общо решение на системата.
Пример 1.11.
х
След като запомних първото уравнение 
и въвеждайки подобни членове във второто и третото уравнения, стигаме до системата:
Експрес гот второто уравнение и го заместете в първото уравнение:
Спомнете си второто уравнение и от първото намираме z:
Правейки обратното движение, последователно намираме ги z. За да направим това, първо заместваме в последното запаметено уравнение , от което намираме г:
.
След това заместваме и в първото запаметено уравнение от където намираме х:
Задача 1.12.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:
. (1.17)
Решение.Нека изразим променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:
.
Запомнете първото уравнение 
В тази система първото и второто уравнения си противоречат. Наистина, изразяване г 
, получаваме, че 14 = 17. Това равенство не е изпълнено за никакви стойности на променливите х, г, и z. Следователно системата (1.17) е непоследователна, т.е. няма решение.
Читателите се приканват независимо да проверят дали основната детерминанта на оригиналната система (1.17) е равна на нула.
Да разгледаме система, която се различава от системата (1.17) само с един свободен член.
Задача 1.13.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:
. (1.18)
Решение.Както преди, изразяваме променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:
.
Запомнете първото уравнение и представяме подобни членове във второто и третото уравнения. Стигаме до системата:
изразяване гот първото уравнение и заместването му във второто уравнение , получаваме идентичността 14 = 14, която не засяга решението на системата и следователно може да бъде изключена от системата.
В последното запомнено равенство, променливата zще се счита за параметър. Ние вярваме . Тогава
Заместител ги zв първото запомнено равенство и намерете х:
.
Така системата (1.18) има безкраен набор от решения и всяко решение може да бъде намерено от формули (1.19), като се избере произволна стойност на параметъра T:
(1.19)
По този начин решенията на системата, например, са следните набори от променливи (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т.н. Формулите (1.19) изразяват общото (всяко) решение на системата (1.18 ).
В случай, че първоначалната система (1.16) има достатъчно голям брой уравнения и неизвестни, посоченият метод на обикновените йорданови елиминации изглежда тромав. Обаче не е така. Достатъчно е да се изведе алгоритъм за преизчисляване на коефициентите на системата на една стъпка в общ изгледи формализира решението на проблема под формата на специални таблици на Йордан.
Нека е дадена система от линейни форми (уравнения):
, (1.20)
където xj- независими (желани) променливи, aij- постоянни коефициенти
(аз = 1, 2,…, м; й = 1, 2,…, н). Десните части на системата y i (аз = 1, 2,…, м) могат да бъдат както променливи (зависими), така и константи. Изисква се да се намерят решения на тази система чрез елиминиране на неизвестни.
Нека разгледаме следната операция, наричана по-нататък "една стъпка от обикновени изключения на Jordan". От произволен ( r th) равенство, ние изразяваме произволна променлива ( x s) и заменете във всички други равенства. Разбира се, това е възможно само ако a rs№ 0. Коеф a rsсе нарича разрешаващ (понякога ръководен или основен) елемент.
Ще получим следната система:
. (1.21)
от сто равенство на системата (1.21), впоследствие ще намерим променливата x s(след като бъдат намерени други променливи). СРедът се запомня и впоследствие се изключва от системата. Останалата система ще съдържа едно уравнение и една по-малко независима променлива от оригиналната система.
Нека изчислим коефициентите на получената система (1.21) по отношение на коефициентите на оригиналната система (1.20). Да започнем с rто уравнение, което след изразяване на променливата x sпрез останалите променливи ще изглежда така:
Така новите коеф rто уравнение се изчисляват по следните формули:
(1.23)
Нека сега изчислим новите коефициенти b ij(аз¹ r) произволно уравнение. За да направим това, заместваме променливата, изразена в (1.22) x sв азтото уравнение на системата (1.20):
След като приведем подобни условия, получаваме:
(1.24)
От равенството (1.24) получаваме формули, по които се изчисляват останалите коефициенти на системата (1.21) (с изключение на rто уравнение):
(1.25)
Преобразуването на системи от линейни уравнения по метода на обикновените жорданови елиминации е представено под формата на таблици (матрици). Тези таблици се наричат "Йордански таблици".
Така проблемът (1.20) е свързан със следната таблица на Йордан:
Таблица 1.1
| х 1 | х 2 | … | xj | … | x s | … | x n | |
| г 1 = | а 11 | а 12 | а 1й | а 1с | а 1н | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | aij | а е | a in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | a r 1 | a r 2 | a rj | a rs | rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | a m 1 | a m 2 | a mj | една мс | amn |
Таблица 1.1 на Jordan съдържа лявата заглавна колона, в която са записани десните части на системата (1.20), и горният заглавен ред, в който са записани независимите променливи.
Останалите елементи на таблицата образуват основната матрица на коефициентите на системата (1.20). Ако умножим матрицата НОкъм матрицата, състояща се от елементите на горния заглавен ред, тогава получаваме матрицата, състояща се от елементите на лявата заглавна колона. Тоест по същество Йордановата таблица е матрична форма на запис на система от линейни уравнения: . В този случай следната таблица на Йордания съответства на система (1.21):
Таблица 1.2
| х 1 | х 2 | … | xj | … | y r | … | x n | |
| г 1 = | b 11 | b 12 | b 1 й | b 1 с | b 1 н | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b е | б в | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | бр 1 | бр 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | б мс | bmn |
Разрешителен елемент a rs ще подчертаем с удебелен шрифт. Спомнете си, че за да се приложи една стъпка от изключения на Jordan, разрешаващият елемент трябва да е различен от нула. Ред на таблица, съдържащ разрешаващ елемент, се нарича разрешаващ ред. Колоната, съдържаща елемента за активиране, се нарича колона за активиране. При преминаване от дадена таблица към следващата таблица, една променлива ( x s) от горния заглавен ред на таблицата се премества в лявата заглавна колона и, обратно, един от свободните членове на системата ( y r) се премества от лявата заглавна колона на таблицата в горния заглавен ред.
Нека опишем алгоритъма за преизчисляване на коефициентите при преминаване от таблицата на Йордан (1.1) към таблицата (1.2), който следва от формули (1.23) и (1.25).
1. Разрешаващият елемент се заменя с обратното число:
2. Останалите елементи на разрешителната линия са разделени от разрешителния елемент и променят знака на противоположния: 
3. Останалите елементи на колоната за разрешаване са разделени на елемент за разрешаване: 
4. Елементите, които не са включени в разрешаващия ред и разрешаващата колона, се преизчисляват по формулите: 
Последната формула е лесна за запомняне, ако забележите, че елементите, които съставят фракцията 
, са на кръстовището аз- о и r-ти редове и йта и с-ти колони (разрешаващ ред, разрешаваща колона и реда и колоната, в пресечната точка на които се намира елементът, който трябва да се преизчисли). По-точно при запаметяване на формулата 
можете да използвате следната диаграма:
Изпълнение на първата стъпка от йорданските изключения, всеки елемент от таблица 1.3, разположен в колоните х 1 ,…, х 5 (всички посочени елементи не са равни на нула). Не трябва да избирате само активиращия елемент в последната колона, т.к трябва да се намерят независими променливи х 1 ,…, х 5. Избираме например коефициента 1 с променлива х 3 в третия ред на таблица 1.3 (активиращият елемент е показан с удебелен шрифт). При преминаване към таблица 1.4, променливата х 3 от горния заглавен ред се заменя с константата 0 от лявата заглавна колона (трети ред). В същото време променливата х 3 се изразява чрез останалите променливи.
низ х 3 (Таблица 1.4) може, след като си спомни предварително, да бъде изключен от Таблица 1.4. Таблица 1.4 също изключва третата колона с нула в горния ред на заглавието. Въпросът е, че независимо от коефициентите на тази колона b i 3 всички съответстващи му членове на всяко уравнение 0 b i 3 системи ще бъдат равни на нула. Следователно тези коефициенти не могат да бъдат изчислени. Елиминиране на една променлива х 3 и запомняйки едно от уравненията, стигаме до система, съответстваща на таблица 1.4 (със зачертана линия х 3). Избор в таблица 1.4 като разрешаващ елемент b 14 = -5, отидете на таблица 1.5. В таблица 1.5 запомняме първия ред и го изключваме от таблицата заедно с четвъртата колона (с нула в горната част).
Таблица 1.5 Таблица 1.6
От последната таблица 1.7 намираме: х 1 = - 3 + 2х 5 .
Последователно замествайки вече намерените променливи в запаметените редове, намираме останалите променливи:
Така системата има безкраен брой решения. променлива х 5 можете да задавате произволни стойности. Тази променлива действа като параметър х 5 = t. Доказахме съвместимостта на системата и я намерихме общо решение:
х 1 = - 3 + 2T
х 2 = - 1 - 3T
х 3 = - 2 + 4T . (1.27)
х 4 = 4 + 5T
х 5 = T
Даващ параметър T различни значения, получаваме безкраен брой решения на оригиналната система. Така, например, решението на системата е следният набор от променливи (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Методът на Крамер или така нареченото правило на Крамер е начин за търсене на неизвестни величини от системи уравнения. Може да се използва само ако броят на стойностите, които търсите, е еквивалентен на числото алгебрични уравненияв системата, т.е. основната матрица, образувана от системата, трябва да е квадратна и да не съдържа нула редове, а също и нейната детерминанта не трябва да е нула.
Теорема 1
Теорема на КрамърАко главната детерминанта $D$ на главната матрица, съставена на базата на коефициентите на уравненията, не е равна на нула, то системата от уравнения е непротиворечива и има единствено решение. Решението на такава система се изчислява с помощта на така наречените формули на Крамер за решаване на системи от линейни уравнения: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Какво представлява методът на Крамер
Същността на метода на Cramer е следната:
- За да намерим решение на системата по метода на Крамър, първо изчисляваме главния детерминант на матрицата $D$. Когато изчислената детерминанта на основната матрица, изчислена по метода на Крамер, се окаже равна на нула, тогава системата няма нито едно решение или има безкраен брой решения. В този случай, за да се намери общ или някакъв основен отговор за системата, се препоръчва да се приложи методът на Гаус.
- След това трябва да замените последната колона на основната матрица с колоната на свободните членове и да изчислите детерминантата $D_1$.
- Повторете същото за всички колони, като получите детерминантите от $D_1$ до $D_n$, където $n$ е номерът на най-дясната колона.
- След като бъдат намерени всички детерминанти на $D_1$...$D_n$, неизвестните променливи могат да бъдат изчислени по формулата $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Техники за изчисляване на детерминанта на матрица
За да се изчисли детерминантата на матрица с размерност, по-голяма от 2 на 2, могат да се използват няколко метода:
- Правилото на триъгълниците или правилото на Сарус, наподобяващо същото правило. Същността на метода на триъгълника е, че при изчисляване на детерминантата на произведението на всички числа, свързани на фигурата с червена линия вдясно, те се записват със знак плюс, а всички числа, свързани по подобен начин на фигурата на ляво - със знак минус. И двете правила са подходящи за матрици 3 x 3. В случая на правилото на Сарус първо се пренаписва самата матрица, а до нея отново се пренаписват първата и втората й колона. Диагоналите се изчертават през матрицата и тези допълнителни колони, членовете на матрицата, разположени на главния диагонал или успоредни на него, се записват със знак плюс, а елементите, разположени на второстепенния диагонал или успоредни на него, се записват със знак минус.
Фигура 1. Правило на триъгълниците за изчисляване на детерминанта за метода на Крамер
- С метод, известен като метод на Гаус, този метод понякога се нарича и детерминантна редукция. В този случай матрицата се трансформира и се довежда до триъгълна форма, след което всички числа на главния диагонал се умножават. Трябва да се помни, че при такова търсене на определител човек не може да умножава или разделя редове или колони с числа, без да ги извади като фактор или делител. В случай на търсене на детерминанта е възможно само да изваждате и добавяте редове и колони един към друг, като предварително сте умножили извадения ред с ненулев коефициент. Освен това при всяка пермутация на редовете или колоните на матрицата трябва да се помни необходимостта от промяна на крайния знак на матрицата.
- Когато решавате SLAE на Cramer с 4 неизвестни, най-добре е да използвате метода на Гаус за търсене и намиране на детерминанти или да определите детерминантата чрез търсене на второстепенни.
Решаване на системи уравнения по метода на Крамер
Прилагаме метода на Крамер за система от 2 уравнения и две изисквани величини:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Нека го покажем в разширен вид за удобство:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Намерете детерминантата на основната матрица, наричана още основна детерминанта на системата:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Ако основната детерминанта не е равна на нула, тогава за решаване на блатото по метода на Крамер е необходимо да се изчислят още няколко детерминанти от две матрици с колоните на основната матрица, заменени с ред свободни членове:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Сега нека намерим неизвестните $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Пример 1
Метод на Cramer за решаване на SLAE с основна матрица от 3-ти ред (3 x 3) и три желани.
Решете системата от уравнения:
$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Изчисляваме основния детерминант на матрицата, като използваме горното правило в параграф номер 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64
И сега три други определящи фактора:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - $296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - 60 $
Нека намерим необходимите стойности:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.
Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамер може да се използва в решението; ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.
Определение. Детерминантата, съставена от коефициентите на неизвестните, се нарича детерминанта на системата и се означава с (делта).
Детерминанти
се получават чрез заместване на коефициентите при съответните неизвестни със свободни членове:
;
.
Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят е детерминантата на системата, а числителят е детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите с неизвестните със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.
Пример 1Решете системата от линейни уравнения:
Според Теорема на Крамърние имаме:
И така, решението на система (2):
онлайн калкулатор, решителен методКрамер.
Три случая при решаване на системи от линейни уравнения
Както се вижда от Теореми на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:
Първи случай: системата от линейни уравнения има единствено решение
(системата е последователна и категорична)
Втори случай: системата от линейни уравнения има безкраен брой решения
(системата е последователна и неопределена)
** 
,
тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.
Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения
(непоследователна система)
Така че системата млинейни уравнения с нпроменливи се нарича несъвместимиако няма решения и ставаако има поне едно решение. ставна системасе наричат уравнения, които имат само едно решение определени, и повече от един несигурен.
Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер
Нека системата
.
Въз основа на теоремата на Крамър
………….
,
където 
-
системен идентификатор. Останалите детерминанти се получават чрез замяна на колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни членове:
Пример 2
.
Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите
По формулите на Крамер намираме:
И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.
Ако в системата от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните им елементи са равни на нула! Това е следващият пример.
Пример 3Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
.
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните
По формулите на Крамер намираме:
И така, решението на системата е (2; -1; 1).
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.
Най-горе на страницата
Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Крамер
Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите за неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.
Пример 6Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, изчисляваме детерминантите за неизвестните
Детерминантите за неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.
В задачи върху системи от линейни уравнения има и такива, в които освен буквите, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви означават някакво число, най-често реално число. На практика такива уравнения и системи от уравнения водят до проблеми при търсенето общи имотивсякакви явления или предмети. Тоест измислихте ли някакви нов материалили устройство и за да се опишат свойствата му, които са общи, независимо от размера или броя на копията, е необходимо да се реши система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има букви. Не е нужно да търсите далеч за примери.
Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи някакво реално число, се увеличава.
Пример 8Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Намиране на детерминанти за неизвестни
В първата част разгледахме малко теоретичен материал, метода на заместване, както и метода на почленно добавяне на уравнения на системата. На всички, които са попаднали на сайта през тази страница, препоръчвам да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в хода на решаването на системи от линейни уравнения направих редица много важни забележки и заключения относно решението задачи по математикав общи линии.
А сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решението на система от линейни уравнения с помощта на обратната матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно, почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.
Първо разглеждаме подробно правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? - След всичко най-простата системаможе да се реши по училищния метод, чрез добавяне на термин!
Факт е, че дори понякога, но има такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни, използвайки формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.
Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават точно по правилото на Крамър!
Разгледайте системата от уравнения
На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основният детерминант на системата.
Метод на Гаус.
Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
и
На практика горните детерминанти също могат да бъдат обозначени латиница.
Корените на уравнението се намират по формулите:
,
Пример 7
Решете система от линейни уравнения 
Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични знацисъс запетая. Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.
Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай със сигурност ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят тук.
Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.
;
;
Отговор: ,
И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.
Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава по готови формули, но има едно предупреждение. При използване този метод, задължителноФрагментът на заданието е следният фрагмент: "така че системата има уникално решение". В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.
Няма да е излишно да проверите, което е удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да се получат числа, които са от дясната страна.
Пример 8
Изразете отговора си с обикновени неправилни дроби. Направете проверка.
Това е пример за самостоятелно решение (пример за фин дизайн и отговор в края на урока).
Обръщаме се към разглеждането на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни: 
Намираме основната детерминанта на системата: 
Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне, трябва да използвате метода на Гаус.
Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти: 
, 
, 
И накрая, отговорът се изчислява по формулите: 
Както можете да видите, случаят „три по три“ по същество не се различава от случая „два по два“, колоната от свободни термини последователно „ходи“ отляво надясно по колоните на основната детерминанта.
Пример 9
Решете системата с помощта на формулите на Крамер. 
Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър. 
, така че системата има уникално решение.
Отговор: 
.
Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, предвид факта, че решението се взема по готови формули. Но има няколко бележки.
Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за "лечение". Ако няма компютър под ръка, правим следното:
1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лош“ изстрел, трябва незабавно да проверите дали дали условието е пренаписано правилно. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширението в друг ред (колона).
2) Ако в резултат на проверката не са открити грешки, тогава най-вероятно е направена печатна грешка в условието на заданието. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО решете задачата докрай, а след това не забравяйте да проверитеи го съставя на чисто копие след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който наистина обича да поставя минус за всяко лошо нещо като. Как да се справяте с дроби е подробно описано в отговора за пример 8.
Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма, за да го проверите, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да започнете решението), веднага ще видите междинната стъпка, на която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата матричен метод.
Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например: 
Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта: 
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули в реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.
Пример 10
Решете системата с помощта на формулите на Крамер. 
Това е пример за самостоятелно решаване (завършване на пример и отговор в края на урока).
За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока за детерминантни свойства. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на професорска обувка върху гърдите на късметлия студент.
Решение на системата с помощта на обратната матрица
Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).
За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширите детерминантите, да намерите обратната матрица и да извършите матрично умножение. С напредването на обяснението ще бъдат дадени подходящи връзки.
Пример 11
Решете системата с матричния метод 
Решение: Записваме системата в матрична форма:
, където 
Моля, погледнете системата от уравнения и матриците. По какъв принцип записваме елементи в матрици, мисля, че всеки разбира. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава трябва да се поставят нули на съответните места в матрицата.
Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .
Първо, нека се справим с детерминантата:
Тук детерминантата се разширява от първия ред.
внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши по матричния метод. В този случай системата се решава чрез елиминиране на неизвестни (метод на Гаус).
Сега трябва да изчислите 9 минори и да ги запишете в матрицата на минори 
Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът: 
Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, трета колона, докато например елементът е в 3-ти ред, 2-ра колона
С броя на уравненията, същият като броя на неизвестните с главната детерминанта на матрицата, която не е равна на нула, коефициентите на системата (има решение за такива уравнения и то е само едно).
Теорема на Крамър.
Когато детерминантата на матрицата на квадратна система е различна от нула, тогава системата е съвместима и има едно решение и то може да бъде намерено от Формули на Крамер:
където Δ - детерминанта на системната матрица,
Δ аз- детерминанта на матрицата на системата, в която вместо азта колона е колоната от десни части.
Когато детерминантата на системата е нула, тогава системата може да стане последователна или непоследователна.
Този метод обикновено се използва за малки системи с изчисления на обема и когато е необходимо да се определи 1 от неизвестните. Сложността на метода е, че е необходимо да се изчислят много детерминанти.
Описание на метода на Крамер.
Има система от уравнения:
Система от 3 уравнения може да бъде решена по метода на Крамър, който беше обсъден по-горе за система от 2 уравнения.
Съставяме детерминантата от коефициентите на неизвестните:
Това ще системен квалификатор. Кога D≠0, така че системата е последователна. Сега ще съставим 3 допълнителни детерминанти:
,
,
Ние решаваме системата чрез Формули на Крамер:
Примери за решаване на системи от уравнения по метода на Крамер.
Пример 1.
Дадена система:
Нека го решим по метода на Крамър.
Първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата на системата:
защото Δ≠0, следователно от теоремата на Крамър системата е съвместима и има едно решение. Изчисляваме допълнителни детерминанти. Детерминантата Δ 1 се получава от детерминантата Δ чрез замяна на нейната първа колона с колона със свободни коефициенти. Получаваме:
По същия начин получаваме детерминантата Δ 2 от детерминантата на матрицата на системата, като заместваме втората колона с колона от свободни коефициенти:
Зареждане...