Операции с десетични знаци. Умножение и деление на десетични дроби

аз За да разделите десетична запетая на естествено число, трябва да разделите дробта на това число, като деление цели числаи се поставя частна запетая, когато разделянето на цялата част приключи.

Примери.

Извършете разделяне: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

Решение.

Пример 1) 96,25: 5.

Делим на „ъгъл“ по същия начин, както се делят естествените числа. След като свалим номера 2 (броят на десетите е първата цифра след десетичната запетая в записа на дивидента 96, 2 5), поставете запетая в частното и продължете делението.

Отговор: 19,25.

Пример 2) 4,78: 4.

Делим както делим естествените числа. На лични слагай запетая щом събаряме 7 - първата цифра след десетичната запетая в дивидента 4, 7 8. Продължаваме разделението по-нататък. При изваждане на 38-36 получаваме 2, но делението не е приключило. Как сме? Знаем, че нули могат да се добавят в края на десетичната дроб - това няма да промени стойността на дробта. Присвояваме нула и разделяме 20 на 4. Получаваме 5 - делението приключи.

Отговор: 1,195.

Пример 3) 183,06: 45.

Разделете като 18306 на 45. В частното поставете запетая, веднага щом свалим фигурата 0 - първата цифра след десетичната запетая в дивидента 183, 0 6. Точно както в пример 2), трябваше да присвоим нула на числото 36 - разликата между числата 306 и 270.

Отговор: 4,068.

Заключение: при деление на десетична дроб на естествено число в частни сложи запетая веднага след като разрушим цифрата на мястото на десети от дивидента. Моля, обърнете внимание: всички са маркирани числа в червено в тези три примера принадлежат към категорията десети от дивидента.

II. За да разделите десетичен знак на 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите запетаята наляво с 1, 2, 3 и т.н. цифри.

Примери.

Извършете деление: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Решение.

Преместването на запетаята наляво зависи от това колко нули след едно има в делителя. И така, при разделяне на десетична дроб на 10 ще носим в делимото запетая вляво с една цифра; при деление на 100 - преместете запетаята наляво с две цифри; при деление на 1000 прехвърляне в дадена десетична дроб запетая три цифри вляво.

правило за деление десетични дробикъм естествени числа.

Четири еднакви играчки струват общо 921 рубли 20 копейки. Колко струва една играчка (виж фиг. 1)?

Ориз. 1. Илюстрация към задачата

Решение

За да намерите цената на една играчка, трябва да разделите тази сума на четири. Нека преобразуваме сумата в копейки:

Отговор: цената на една играчка е 23 030 копейки, тоест 230 рубли 30 копейки, или 230,3 рубли.

Можете да разрешите този проблем, без да конвертирате рубли в копейки, тоест да разделите десетичната дроб на естествено число:.

За да разделите десетична дроб на естествено число, трябва да разделите дробта на това число, както се делят естествените числа, и да поставите частна запетая, когато разделянето на цялата част приключи.

Делим в колона, както делим естествените числа. След като разрушим числото 2 (броят на десетите е първата цифра след десетичната запетая в записа на дивидента 921.20), поставете запетая в частното и продължете делението:

Отговор: 230,3 рубли.

Делим в колона, както делим естествените числа. След като извадим числото 6 (числото на десетите е числото след десетичната запетая в записа на дивидента 437.6), поставете запетая в частното и продължете делението:

Ако дивидентът по-малък делител, тогава коефициентът ще започне от нула.

1 не се дели на 19, така че поставяме нула в частното. Разделянето на цялата част е приключило, в частната поставяме запетая. Разрушаваме 7. 17 не се дели на 19, на частно пишем нула. Разрушаваме 6 и продължаваме разделението:

Делим както делим естествените числа. В частното поставяме запетая, щом свалим 8 - първата цифра след десетичната запетая в дивидента 74,8. Нека продължим разделението. При изваждането получаваме 8, но делението не е приключило. Знаем, че нули могат да се добавят в края на десетична дроб - това няма да промени стойността на дробта. Присвояваме нула и разделяме 80 на 10. Получаваме 8 - делението приключи.

За да разделите десетична дроб на 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите запетаята в тази дроб с толкова цифри наляво, колкото нули има след едно в делителя.

В този урок научихме как да разделим десетична дроб на естествено число. Разгледахме вариант с обикновено естествено число, както и вариант, при който се извършва деление с битова единица (10, 100, 1000 и т.н.).

Решете уравненията:

За да намерите неизвестен делител, трябва да разделите дивидента на частното. Това е .

Разделяме се в колона. След като разрушим числото 4 (броят на десетите е първата цифра след десетичната запетая в записа на дивидента 134.4), поставете запетая в частното и продължете делението:

Знаете, че да разделим естествено число a на естествено b означава да намерим естествено число c, което умножено по b дава числото a. Това твърдение остава вярно, ако поне едно от числата a, b, c е десетична дроб.

Разгледайте няколко примера, в които делителя е естествено число.

1.2: 4 \u003d 0.3, тъй като 0.3 * 4 \u003d 1.2;

2,5: 5 \u003d 0,5, тъй като 0,5 * 5 \u003d 2,5;

1 : 2 = 0,5, тъй като 0,5 * 2 = 1.

Но какво да кажем в случаите, когато делбата не може да се извърши устно?

Например, как се разделя 43,52 на 17?

Увеличавайки дивидента 43,52 със 100 пъти, получаваме числото 4352. Тогава стойността на израза 4352:17 е 100 пъти по-голяма от стойността на израза 43,52:17. След като разделите с ъгъл, можете лесно да установите, че 4352: 17 = 256. Тук дивидентът се увеличава 100 пъти. И така, 43,52: 17 = 2,56. Обърнете внимание, че 2,56 * 17 = 43,52, което потвърждава, че разделението е правилно.

Коефициентът 2,56 може да се получи по различен начин. Ще разделим 4352 на 17 ъгъла, като игнорираме запетаята. В този случай запетаята в частното трябва да се постави непосредствено преди първата цифра след десетичната запетая в дивидента:

Ако дивидентът е по-малък от делителя, тогава цялата част от частното е нула. Например:

Нека разгледаме още един пример. Нека намерим частното 3,1:5. Ние имаме:

Спряхме процеса на разделяне, защото цифрите на дивидента свършиха и не получихме нула в остатъка. Знаете, че десетичната запетая не се променя, ако добавите произволен брой нули отдясно на нея. Тогава става ясно, че числата на дивидента нямат край. Ние имаме:

Сега можем да намерим частното на две естествени числа, когато дивидентът не се дели равномерно на делителя. Например, нека намерим частното 31:5. Очевидно числото 31 не се дели на 5:

Спряхме процеса по разделяне, защото числата на дивидента свършиха. Ако обаче представите дивидента като десетична дроб, тогава делението може да продължи.

Имаме: 31: 5 \u003d 31,0: 5. След това нека направим разделянето с ъгъл:

Следователно, 31: 5 = 6,2.

В предишния параграф разбрахме, че ако запетаята се премести надясно с 1, 2, 3 и т.н. цифри, тогава дробта ще се увеличи съответно с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, а ако запетаята се премести наляво с 1, 2, 3 и т.н. цифри, тогава дробта ще намалее съответно с 10, 100, 1000 и т.н. пъти.

Следователно в случаите, когато делителят е 10, 100, 1000 и т.н., се използва следното правило.

За да разделите десетична запетая на 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая наляво в тази дроб с 1, 2, 3 и т.н. цифри.

Например: 4,23: 10 = 0,423; 2: 100 = 0,02; 58,63 : 1000 = 0,05863 .

И така, научихме как да разделим десетична дроб на естествено число.

Нека покажем как деленето на десетична дроб може да се сведе до деление на естествено число.

$\frac(2)(5) km = 400 m$

,

$\frac(20)(50) km = 400 m$

,

$\frac(200)(500) km = 400 m$

.

Разбираме това

$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$

Тези. 2:5 = 20:50 = 200:500.

Този пример илюстрира следното: ако дивидентът и делителят се увеличат едновременно с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, тогава коефициентът няма да се промени .

Нека намерим частното 43,52: 1,7.

Нека увеличим и дивидента, и делителя с 10 пъти. Ние имаме:

43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .

Нека увеличим и дивидента, и делителя с 10 пъти. Имаме: 43,52 : 1,7 = 25,6.

За да разделите десетична запетая на десетична запетая:

1) преместете запетаите в делителя и в делителя надясно с толкова цифри, колкото се съдържат след десетичната запетая в делителя;

2) извършва деление с естествено число.

Пример 1 . Ваня събра 140 кг ябълки и круши, от които 0,24 круши. Колко килограма круши събра Ваня?

Решение. Ние имаме:

$0,24=\frac(24)(100)$

.

1) 140 : 100 = 1,4 (кг) - е

Ябълки и круши.

2) 1,4 * 24 = 33,6 (kg) - са събрани круши.

Отговор: 33,6 кг.

Пример 2 . За закуска Мечо Пух изяде 0,7 бъчви мед. Колко килограма мед имаше в бурето, ако Мечо Пух изяде 4,2 кг?

Решение. Ние имаме:

$0,7=\frac(7)(10)$

.

1) 4,2: 7 = 0,6 (кг) - е

Цял мед.

2) 0,6 * 10 = 6 (kg) - в бъчвата имаше мед.

Отговор: 6 кг.

§ 107. Събиране на десетични дроби.

Добавянето на десетични знаци се извършва по същия начин като събирането на цели числа. Нека видим това с примери.

1) 0,132 + 2,354. Нека подпишем условията един под друг.

Тук от събирането на 2 хилядни с 4 хилядни се получават 6 хилядни;
от добавянето на 3 стотни с 5 стотни се оказаха 8 стотни;
от добавяне на 1 десета с 3 десети -4 десети и
от събиране на 0 цели числа с 2 цели числа - 2 цели числа.

2) 5,065 + 7,83.

Във втория термин няма хилядни, така че е важно да не правите грешки, когато подписвате условията един под друг.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Тук, когато добавим хилядни, получаваме 21 хилядни; написахме 1 под хилядните и 2 добавихме към стотните, така че на стотното място получихме следните членове: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; сумарно те дават 19 стотни, подписахме 9 под стотни, а 1 се смяташе за десети и т.н.

По този начин при добавяне на десетични дроби трябва да се спазва следният ред: дробите се подписват една под друга, така че във всички термини едни и същи цифри да са една под друга и всички запетаи да са в една и съща вертикална колона; вдясно от десетичните знаци на някои термини те приписват, поне мислено, такъв брой нули, че всички термини след десетичната запетая имат еднакъв брой цифри. След това добавянето се извършва с цифри, като се започне от дясната страна, и в получената сума се поставя запетая в същата вертикална колона, както е в тези условия.

§ 108. Изваждане на десетични дроби.

Изваждането на десетични числа се извършва по същия начин като изваждането на цели числа. Нека покажем това с примери.

1) 9,87 - 7,32. Нека подпишем субтрахенда под умаляваното, така че единиците от една и съща цифра да са една под друга:

2) 16,29 - 4,75. Нека подпишем субтрахенда под умаляваното, както в първия пример:

За да се извадят десети, трябваше да се вземе една цяла единица от 6 и да се раздели на десети.

3) 14.0213-5.350712. Нека подпишем субтрахенда под умаляваното:

Изваждането беше извършено по следния начин: тъй като не можем да извадим 2 милионни от 0, трябва да се обърнем към най-близката цифра вляво, т.е. към стохилядната, но има и нула на мястото на стохилядната, така че вземаме 1 десет хилядни от 3 десет хилядни и го разделяме на сто хилядни, получаваме 10 сто хилядни, от които 9 сто хилядни остават в категорията сто хилядни, а 1 сто хилядна се раздробява на милиони, получаваме 10 милионни. Така в последните три цифри получихме: милионни 10, стохилядни 9, десетхилядни 2. За по-голяма яснота и удобство (да не забравяме) тези числа са написани върху съответните дробни цифри на намаленото. Сега можем да започнем да изваждаме. Изваждаме 2 милионни от 10 милионни, получаваме 8 милионни; изваждаме 1 стохилядна от 9 стохилядна, получаваме 8 стохилядна и т.н.

По този начин при изваждане на десетични дроби се спазва следният ред: изваденото се подписва под намаленото, така че еднаквите цифри да са една под друга и всички запетаи да са в една и съща вертикална колона; отдясно те приписват, поне мислено, в намаленото или извадено толкова много нули, така че да имат еднакъв брой цифри, след това изваждат по цифри, започвайки от дясната страна, и в получената разлика поставят запетая същата вертикална колона, в която е намалена и извадена.

§ 109. Умножение на десетични дроби.

Помислете за няколко примера за умножение на десетични дроби.

За да намерим произведението на тези числа, можем да разсъждаваме по следния начин: ако факторът се увеличи 10 пъти, тогава и двата фактора ще бъдат цели числа и след това можем да ги умножим според правилата за умножение на цели числа. Но знаем, че когато един от факторите се увеличи няколко пъти, продуктът се увеличава със същото количество. Това означава, че числото, което ще се получи от умножаването на целочислени множители, т.е. 28 по 23, е 10 пъти по-голямо от истинското произведение и за да получим истинска работа, трябва да намалите намерения продукт 10 пъти. Следователно тук трябва да извършите еднократно умножение по 10 и еднократно деление на 10, но умножението и делението на 10 се извършва чрез преместване на запетаята надясно и наляво с един знак. Следователно трябва да направите следното: в множителя преместете запетаята надясно с един знак, от това ще бъде равно на 23, след което трябва да умножите получените цели числа:

Този продукт е 10 пъти по-голям от истинския. Следователно трябва да се намали 10 пъти, за което преместваме запетаята с един знак наляво. Така получаваме

28 2,3 = 64,4.

За целите на проверката можете да напишете десетична дроб със знаменател и да извършите действие по правилото за умножение на обикновени дроби, т.е.

2) 12,27 0,021.

Разликата между този пример и предишния е, че тук и двата фактора са представени с десетични дроби. Но тук, в процеса на умножение, няма да обръщаме внимание на запетаите, тоест временно ще увеличим множителя със 100 пъти, а множителя с 1000 пъти, което ще увеличи произведението със 100 000 пъти. Така, умножавайки 1227 по 21, получаваме:

1 227 21 = 25 767.

Като вземем предвид, че полученият продукт е 100 000 пъти по-голям от истинския, сега трябва да го намалим 100 000 пъти, като правилно поставим запетая в него, тогава получаваме:

32,27 0,021 = 0,25767.

Да проверим:

И така, за да умножите две десетични дроби, е достатъчно, без да обръщате внимание на запетаите, да ги умножите като цели числа и в произведението да отделите със запетая от дясната страна толкова знака след десетичната запетая, колкото е имало в умножаващото и в факторът заедно.

В последния пример резултатът е произведение с пет знака след десетичната запетая. Ако не се изисква такава по-голяма точност, тогава се извършва закръгляване на десетичната дроб. Когато закръгляте, трябва да използвате същото правило, което е посочено за цели числа.

§ 110. Умножение с помощта на таблици.

Умножаването на десетични знаци понякога може да се извърши с помощта на таблици. За тази цел можете например да използвате тези таблици за умножение двуцифрени числа, чието описание беше дадено по-рано.

1) Умножете 53 по 1,5.

Ще умножим 53 по 15. В таблицата този продукт е равен на 795. Намерихме произведението от 53 по 15, но вторият ни множител беше 10 пъти по-малък, което означава, че продуктът трябва да се намали 10 пъти, т.е.

53 1,5 = 79,5.

2) Умножете 5,3 по 4,7.

Първо, нека намерим произведението от 53 по 47 в таблицата, то ще бъде 2491. Но тъй като увеличихме множителя и множителя общо 100 пъти, тогава полученият продукт е 100 пъти по-голям, отколкото трябва да бъде; така че трябва да намалим този продукт с коефициент 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Умножете 0,53 по 7,4.

Първо намираме в таблицата произведението от 53 на 74; ще бъде 3922. Но тъй като сме увеличили множителя със 100 пъти, а множителя с 10 пъти, продуктът се е увеличил с 1000 пъти; така че сега трябва да го намалим с коефициент 1000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Деление на десетични дроби.

Ще разгледаме десетичното деление в този ред:

1. Деление на десетична дроб с цяло число,

1. Деление на десетична дроб с цяло число.

1) Разделете 2,46 на 2.

Разделихме първо на 2 цели числа, след това на десети и накрая на стотни.

2) Разделете 32,46 на 3.

32,46: 3 = 10,82.

Разделихме 3 десетици на 3, след това започнахме да делим 2 единици на 3; тъй като броят на единиците на дивидента (2) е по-малък от делителя (3), трябваше да поставим 0 в частното; освен това, към остатъка разрушихме 4 десети и разделихме 24 десети на 3; получи на частно 8 десети и накрая раздели 6 стотни.

3) Разделете 1,2345 на 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Тук в частното на първо място се оказаха нула цели числа, тъй като едно цяло число не се дели на 5.

4) Разделете 13,58 на 4.

Особеността на този пример е, че когато получихме 9 стотни насаме, тогава се намери остатък, равен на 2 стотни, разделихме този остатък на хилядни, получихме 20 хилядни и доведохме делението до края.

правило.Разделянето на десетична дроб на цяло число се извършва по същия начин като разделянето на цели числа, а получените остатъци се преобразуват в десетични дроби, все по-малки; делението продължава, докато остатъкът стане нула.

2. Деление на десетична дроб на десетична дроб.

1) Разделете 2,46 на 0,2.

Вече знаем как да разделим десетична дроб на цяло число. Нека помислим дали този нов случай на деление също може да се сведе до предишния? По едно време разгледахме забележителното свойство на частното, което се състои в това, че то остава непроменено, докато увеличава или намалява делителя и делителя с еднакъв брой пъти. Лесно бихме извършили делението на предложените ни числа, ако делителят е цяло число. За да направите това, достатъчно е да го увеличите 10 пъти и за да получите правилния коефициент, е необходимо да увеличите дивидента със същия брой пъти, тоест 10 пъти. Тогава разделянето на тези числа ще бъде заменено с разделянето на такива числа:

и няма нужда да правите промени на лични.

Нека направим това разделение:

Така че 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Разделете 1,25 на 1,6.

Увеличаваме делителя (1.6) с 10 пъти; така че коефициентът да не се променя, ние увеличаваме дивидента 10 пъти; 12 цели числа не се делят на 16, така че записваме частно 0 и разделяме 125 десети на 16, получаваме 7 десети в частно и остатъкът е 13. Разделяме 13 десети на стотни, като присвоим нула и разделяме 130 стотни на 16 и т.н. Обърнете внимание на следното:

а) когато в частното не се получават цели числа, на тяхно място се записват цели нула;

б) когато след привеждане на цифрата на делимото към остатъка се получи число, което не се дели на делителя, тогава в частното се записва нула;

в) когато след премахване на последната цифра от дивидента делението не приключи, тогава чрез присвояване на нули на остатъците делението продължава;

г) ако дивидентът е цяло число, тогава при разделянето му на десетична дроб увеличението му се извършва чрез присвояване на нули към него.

По този начин, за да разделите число на десетична дроб, трябва да изхвърлите запетая в делителя и след това да увеличите дивидента толкова пъти, колкото се е увеличил делителя, когато запетаята е била изпусната в него, и след това да извършите разделянето според правилото за деление на десетичната дроб на цяло число.

§ 112. Приблизително частно.

В предишния параграф разгледахме разделянето на десетични дроби и във всички примери, които решихме, разделянето беше доведено до края, т.е. беше получено точно частно. В повечето случаи обаче точното частно не може да се получи, колкото и да разширим делението. Ето един такъв случай: Разделете 53 на 101.

Вече сме получили пет цифри в частното, но делението още не е приключило и няма надежда, че някога ще свърши, тъй като в остатъка започват да се появяват числата, които сме срещали преди. Числата също ще се повтарят в частното: очевидно след числото 7 ще се появи числото 5, след това 2 и така нататък без край. В такива случаи делението се прекъсва и се ограничава до първите няколко цифри на частното. Това частно се нарича приблизителен.Как да извършим разделяне в този случай, ще покажем с примери.

Нека се изисква да се раздели 25 на 3. Очевидно е, че точното частно, изразено като цяло число или десетична дроб, не може да се получи от такова деление. Следователно ще търсим приблизителен коефициент:

25: 3 = 8 и остатък 1

Приблизителното частно е 8; то, разбира се, е по-малко от точното частно, тъй като има остатък от 1. За да получите точното частно, трябва да добавите към намереното приблизително частно, тоест към 8, дробта, която се получава от разделянето на остатъка , равно на 1, с 3; ще бъде дроб 1/3. Това означава, че точното частно ще бъде изразено като смесено число 8 1/3. Тъй като 1/3 е правилна дроб, т.е. дроб, по-малко от едно, тогава, като го изхвърлим, приемаме грешка, който по-малко от едно. Частни 8 ще приблизително коефициент до единица с недостатък.Ако вземем 9 вместо 8, тогава допускаме и грешка, която е по-малка от единица, тъй като ще добавим не цяла единица, а 2/3. Такава частна воля приблизително коефициент до едно с излишък.

Нека сега вземем друг пример. Нека се изисква да разделим 27 на 8. Тъй като тук няма да получим точно частно, изразено като цяло число, ще търсим приблизително частно:

27: 8 = 3 и остатък 3.

Тук грешката е 3/8, тя е по-малка от единица, което означава, че приблизителното частно (3) се намира до единица с недостатък. Продължаваме разделението: разделяме остатъка от 3 на десети, получаваме 30 десети; Нека ги разделим на 8.

Получихме частно на място десети 3, а в останалите b десети. Ако се ограничим конкретно до числото 3.3 и изхвърлим остатъка 6, тогава ще допуснем грешка, по-малка от една десета. Защо? Тъй като точният коефициент ще бъде получен, когато добавим към 3,3 резултата от деленето на 6 десети на 8; от това деление ще бъде 6/80, което е по-малко от една десета. (Проверете!) Така, ако се ограничим до десети в частното, тогава можем да кажем, че сме намерили частното с точност до една десета(с недостатък).

Нека продължим делението, за да намерим още един знак след десетичната запетая. За да направим това, разделяме 6 десети на стотни и получаваме 60 стотни; Нека ги разделим на 8.

На частно на трето място се оказаха 7, а в останалите 4 стотни; ако ги изхвърлим, тогава допускаме грешка по-малка от една стотна, защото 4 стотни делено на 8 е по-малко от една стотна. В такива случаи се казва, че частното е намерено. с точност до една стотна(с недостатък).

В примера, който сега разглеждаме, можете да получите точното частно, изразено като десетична дроб. За да направите това, достатъчно е да разделите последния остатък, 4 стотни, на хилядни и да го разделите на 8.

Въпреки това, в по-голямата част от случаите е невъзможно да се получи точен коефициент и човек трябва да се ограничи до неговите приблизителни стойности. Сега ще разгледаме такъв пример:

40: 7 = 5,71428571...

Точките в края на числото показват, че делението не е завършено, тоест равенството е приблизително. Обикновено приблизителното равенство се записва така:

40: 7 = 5,71428571.

Взехме частното с осем знака след десетичната запетая. Но ако не се изисква такава голяма точност, човек може да се ограничи само до цяла частчастно, т.е. числото 5 (по-точно 6); за по-голяма точност могат да се вземат предвид десети и частното да се приеме равно на 5,7; ако по някаква причина тази точност е недостатъчна, тогава можем да спрем на стотни и да вземем 5,71 и т.н. Нека напишем отделните частни и да ги назовем.

Първото приблизително частно до едно 6.

Второто » » » до една десета 5.7.

Трети » » » до една стотна 5.71.

Четвърто » » » до една хилядна от 5,714.

По този начин, за да се намери приблизително частно до някакъв, например 3-ти знак след десетичната запетая (т.е. до една хилядна), делението се спира веднага щом се намери този знак. В този случай трябва да запомните правилото, посочено в § 40.

§ 113. Най-простите задачи за лихви.

След като изучим десетичните дроби, ще решим още няколко задачи с проценти.

Тези задачи са подобни на тези, които решихме в отдела за обикновени дроби; но сега ще напишем стотните под формата на десетични дроби, тоест без изрично посочен знаменател.

На първо място, трябва да можете лесно да превключвате от обикновена дробдо десетична запетая със знаменател 100. За да направите това, разделете числителя на знаменателя:

Таблицата по-долу показва как число със символ % (процент) се заменя с десетична запетая със знаменател 100:

Нека сега разгледаме няколко проблема.

1. Намиране на проценти от дадено число.

Задача 1.В едно село живеят едва 1600 души. Брой деца училищна възрасте 25% от общ бройжители. Колко деца в училищна възраст има в това село?

В тази задача трябва да намерите 25%, или 0,25, от 1600. Проблемът се решава чрез умножаване:

1600 0,25 = 400 (деца).

Следователно 25% от 1600 е 400.

За ясно разбиране на тази задача е полезно да се припомни, че на всеки сто от населението има 25 деца в училищна възраст. Следователно, за да намерите броя на всички деца в училищна възраст, можете първо да разберете колко стотици има в числото 1600 (16) и след това да умножите 25 по броя на стотиците (25 x 16 = 400). По този начин можете да проверите валидността на решението.

Задача 2.Спестовните банки дават на вложителите 2% от дохода годишно. Колко доходи годишно ще получи вложител, който е депозирал: а) 200 рубли? б) 500 рубли? в) 750 рубли? г) 1000 рубли?

И в четирите случая, за да се реши задачата, ще е необходимо да се изчисли 0,02 от посочените суми, т.е. всяко от тези числа ще трябва да се умножи по 0,02. Хайде да го направим:

а) 200 0,02 = 4 (рубли),

б) 500 0,02 = 10 (рубли),

в) 750 0,02 = 15 (рубли),

г) 1000 0,02 = 20 (рубли).

Всеки от тези случаи може да бъде проверен чрез следните съображения. Спестовните банки дават на вложителите 2% от дохода, тоест 0,02 от сумата, вложена в спестяванията. Ако сумата беше 100 рубли, тогава 0,02 от нея ще бъдат 2 рубли. Това означава, че всеки сто носи на вложителя 2 рубли. доходи. Следователно във всеки от разглежданите случаи е достатъчно да разберете колко стотици има в дадено число и да умножите 2 рубли по този брой стотици. В пример а) стотици 2, така че

2 2 \u003d 4 (рубли).

В пример d) стотиците са 10, което означава

2 10 \u003d 20 (рубли).

2. Намиране на число по неговия процент.

Задача 1.През пролетта училището завърши 54 ученици, което е 6% от общия брой на учениците. Колко ученици е имало в училището в миналото академична година?

Нека първо изясним значението на този проблем. Училището са завършили 54 ученици, което е 6% от общия брой на учениците, или с други думи 6 стотни (0,06) от всички ученици в училището. Това означава, че знаем частта от учениците, изразена с числото (54) и дробта (0,06), и от тази дроб трябва да намерим цялото число. И така, пред нас е обикновена задача за намиране на число чрез неговата дроб (§ 90, стр. 6). Задачи от този тип се решават чрез разделяне:

Това означава, че в училището е имало 900 ученици.

Полезно е да проверявате такива задачи чрез решаване на обратната задача, т.е. след решаването на задачата трябва поне наум да решите задачата от първия тип (намиране на процента на дадено число): вземете намереното число ( 900), както е дадено и намерете процента, посочен в решената задача от него, а именно:

900 0,06 = 54.

Задача 2.Семейството харчи 780 рубли за храна през месеца, което е 65% от месечния доход на бащата. Определете месечния му доход.

Тази задача има същото значение като предишната. Той дава част от месечната печалба, изразена в рубли (780 рубли), и показва, че тази част е 65%, или 0,65, от общата печалба. А желаната е цялата печалба:

780: 0,65 = 1 200.

Следователно желаната печалба е 1200 рубли.

3. Намиране на процента на числата.

Задача 1. AT училищна библиотекасамо 6000 книги. Сред тях са 1200 книги по математика. Какъв процент от книгите по математика съставляват общия брой книги в библиотеката?

Вече разгледахме (§97) този вид задача и стигнахме до извода, че за да изчислим процента на две числа, трябва да намерите съотношението на тези числа и да го умножите по 100.

В нашата задача трябва да намерим процентното съотношение на числата 1200 и 6000.

Първо намираме съотношението им и след това го умножаваме по 100:

Така процентът на числата 1200 и 6000 е 20. С други думи, математическите книги съставляват 20% от общия брой на всички книги.

За да проверим, решаваме обратната задача: намерете 20% от 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Задача 2.Централата трябва да получава 200 тона въглища. Вече са доставени 80 т. Колко процента въглища са доставени на централата?

Този проблем пита какъв процент е едно число (80) от друго (200). Съотношението на тези числа ще бъде 80/200. Нека го умножим по 100:

Това означава, че 40% от въглищата са доставени.

Рано или късно всички деца в училище започват да учат дроби: тяхното събиране, деление, умножение и всичко останало възможни действия, което е възможно да се изпълни само с дроби. За да осигурят правилна помощ на детето, самите родители не трябва да забравят как целите числа се разделят на дроби, в противен случай няма да можете да му помогнете по никакъв начин, а само да го объркате. Ако трябва да запомните това действие, но не можете да съберете цялата информация в главата си в едно правило, тогава тази статия ще ви помогне: ще научите как да разделите число на дроб и ще видите илюстративни примери.

Как да разделим число на дроб

Запишете примера си на чернова, за да можете да си водите бележки и петна. Не забравяйте, че цяло число се записва между клетките, точно в пресечната им точка, а дробните числа - всяко в своята клетка.

• При този метод трябва да обърнете фракцията с главата надолу, тоест да напишете знаменателя на числителя и числителя на знаменателя.
• Знакът за деление трябва да се промени на умножение.
• Сега просто трябва да извършите умножението според вече изучените правила: числителят се умножава по цяло число, а знаменателят не се докосва.

Разбира се, в резултат на такова действие ще получите много голямо числов числителя. Невъзможно е да оставите дроб в това състояние - учителят просто няма да приеме този отговор. Намалете дроба, като разделите числителя на знаменателя. Напишете полученото цяло число вляво от дробта в средата на клетките, а остатъкът ще бъде новият числител. Знаменателят остава непроменен.

Този алгоритъм е доста прост, дори за дете. След като го изпълни пет или шест пъти, бебето ще запомни процедурата и ще може да я приложи към всякакви фракции.

Как да разделим число на десетична запетая

Има и други видове дроби - десетични. Разделянето на тях става по съвсем различен алгоритъм. Ако сте изправени пред такъв пример, следвайте инструкциите:

• Първо преобразувайте и двете числа в десетични знаци. Това се прави лесно: вашият делител вече е представен като дроб и вие отделяте делимото естествено число със запетая, получавайки десетична дроб. Тоест, ако дивидентът е числото 5, получавате част от 5,0. Трябва да разделите числото с толкова цифри, колкото стои след десетичната запетая и делителя.
• След това трябва да направите и двете десетични дроби естествени числа. В началото може да ви се стори малко объркващо, но това е най-важното бърз начинделение, което ще ви отнеме секунди, след няколко тренировки. Част от 5,0 ще стане числото 50, дроб от 6,23 ще бъде 623.
• Направете разделението. Ако числата се оказаха големи или разделянето ще се случи с остатък, изпълнете го в колона. Така че ще видите ясно всички действия от този пример. Не е необходимо специално да поставяте запетая, тъй като тя ще се появи сама в процеса на разделяне на колона.

Този вид деление първоначално изглежда твърде объркващо, тъй като трябва да превърнете дивидента и делителя в дроб и след това обратно в естествени числа. Но след кратко обучение веднага ще започнете да виждате онези числа, които просто трябва да разделите едно на друго.

Не забравяйте, че способността за правилно разделяне на дроби и цели числа в тях може да бъде полезна повече от веднъж в живота, следователно детето трябва да знае перфектно тези правила и прости принципи, така че в по-старите класове да не се превърнат в спънка, поради която детето не може да решава по-сложни задачи.