Основни понятия, решаване на системи от линейни неравенства. Онлайн калкулатор

Нека да разгледаме примери как да решим системата линейни неравенства.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

За да решите система, вие се нуждаете от всяко от нейните съставни неравенства. Само решението беше взето да не се пише отделно, а заедно, комбинирайки ги с къдрава скоба.

Във всяко от неравенствата на системата преместваме неизвестните от едната страна, а известните от другата с обратен знак:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

След опростяването двете страни на неравенството трябва да се разделят на числото пред X. Разделяме първото неравенство на положително число, така че знакът на неравенството не се променя. Разделяме второто неравенство на отрицателно число, така че знакът за неравенство трябва да бъде обърнат:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Отбелязваме решението на неравенствата на числовите оси:

В отговор записваме пресечната точка на решенията, тоест частта, където има засенчване на двете линии.

Отговор: x∈[-2;1).

В първото неравенство нека се отървем от дробта. За да направим това, ние умножаваме двете страни член по член по най-малкия общ знаменател 2. Когато се умножи по положително число, знакът за неравенство не се променя.

Във второто неравенство отваряме скобите. Произведението на сбора и разликата на два израза е равно на разликата на квадратите на тези изрази. От дясната страна е квадратът на разликата между двата израза.

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Преместваме неизвестните от едната страна, известните от другата с обратен знак и опростяваме:

Разделяме двете страни на неравенството на числото пред X. В първото неравенство делим на отрицателно число, така че знакът на неравенството е обърнат. Във втория разделяме на положително число, знакът за неравенство не се променя:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

И двете неравенства имат знак „по-малко от“ (няма значение, че единият знак е строго „по-малко от“, другият е свободен, „по-малко от или равно“). Не можем да маркираме и двете решения, но използваме правилото “ “. По-малкото е 1, следователно системата се свежда до неравенството

Отбелязваме неговото решение на числовата ос:

Отговор: x∈(-∞;1].

Отваряне на скобите. В първото неравенство - . Тя е равна на сумата от кубовете на тези изрази.

Във втория, произведението на сбора и разликата на два израза, което е равно на разликата на квадратите. Тъй като тук има знак минус пред скобите, по-добре е да ги отворите на два етапа: първо използвайте формулата и едва след това отворете скобите, като промените знака на всеки термин на противоположния.

Преместваме неизвестните в една посока, известните в другата с обратен знак:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

И двете са по-големи от знаци. Използвайки правилото „повече от повече“, свеждаме системата от неравенства до едно неравенство. По-голямото от двете числа е 5, следователно,

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Отбелязваме решението на неравенството на числовата ос и записваме отговора:

Отговор: x∈(5;∞).

Тъй като в алгебрата системите от линейни неравенства се срещат не само като самостоятелни задачи, но и в процеса на решаване на различни видове уравнения, неравенства и т.н., важно е тази тема да се усвои своевременно.

Следващият път ще разгледаме примери за решаване на системи от линейни неравенства в специални случаи, когато някое от неравенствата няма решения или решението му е произволно число.

Не всеки знае как да решава неравенства, които са подобни по структура и отличителни чертис уравнения. Уравнението е упражнение, състоящо се от две части, между които има знак за равенство, а между частите на неравенството може да има знак „повече от“ или „по-малко от“. По този начин, преди да намерим решение на определено неравенство, трябва да разберем, че си струва да вземем предвид знака на числото (положителен или отрицателен), ако има нужда да умножим двете страни по някакъв израз. Същият факт трябва да се вземе предвид, ако се изисква повдигане на квадрат за решаване на неравенство, тъй като повдигането на квадрат се извършва чрез умножение.

Как се решава система от неравенства

Решаването на системи от неравенства е много по-трудно от обикновените неравенства. Нека да разгледаме как да решаваме неравенства в 9 клас, използвайки конкретни примери. Трябва да се разбере, че преди да се решат квадратни неравенства (системи) или други системи от неравенства, е необходимо да се реши всяко неравенство поотделно и след това да се сравнят. Решението на система от неравенства ще бъде или положителен, или отрицателен отговор (независимо дали системата има решение или няма решение).

Задачата е да се реши набор от неравенства:

Нека решим всяко неравенство поотделно

Построяваме числова права, върху която изобразяваме набор от решения

Тъй като множеството е обединение на множества от решения, това множество на числовата ос трябва да бъде подчертано с поне един ред.

Решаване на неравенства с модул

Този пример ще покаже как се решават неравенства с модул. Така че имаме определение:

Трябва да решим неравенството:

Преди да решите такова неравенство, е необходимо да се отървете от модула (знак)

Нека напишем въз основа на данните от дефиницията:

Сега трябва да решите всяка от системите поотделно.

Да построим една числова права, на която изобразяваме множествата от решения.

В резултат на това имаме колекция, която комбинира много решения.

Решаване на квадратни неравенства

Използвайки числовата ос, нека да разгледаме пример за решаване на квадратни неравенства. Имаме неравенство:

Знаем, че графиката на квадратен тричлен е парабола. Знаем също, че клоновете на параболата са насочени нагоре, ако a>0.

х 2 -3х-4< 0

Използвайки теоремата на Виета намираме корените x 1 = - 1; х 2 = 4

Нека начертаем парабола или по-скоро нейна скица.

Така открихме, че стойностите на квадратния трином ще бъдат по-малки от 0 в интервала от – 1 до 4.

Много хора имат въпроси, когато решават двойни неравенства като g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Всъщност има няколко метода за решаване на неравенства, така че можете да използвате сложни неравенстваграфичен метод.

Решаване на дробни неравенства

Дробните неравенства изискват по-внимателен подход. Това се дължи на факта, че в процеса на решаване на някои дробни неравенствазнакът може да се промени. Преди да решавате дробни неравенства, трябва да знаете, че за решаването им се използва методът на интервалите. Дробното неравенство трябва да бъде представено по такъв начин, че едната страна на знака да изглежда като дробен рационален израз, а другата страна да изглежда като „- 0“. Преобразувайки неравенството по този начин, получаваме като резултат f(x)/g(x) > (.

Решаване на неравенства по интервалния метод

Интервалната техника се основава на метода на пълната индукция, т.е. за да се намери решение на неравенството, е необходимо да се премине през всички възможни варианти. Този метод на решаване може да не е необходим за ученици от 8 клас, тъй като те трябва да знаят как да решават неравенства от 8 клас, които са прости упражнения. Но за по-големите класове този метод е незаменим, тъй като помага за решаването на дробни неравенства. Решаването на неравенства с помощта на тази техника също се основава на такова свойство на непрекъсната функция като запазване на знака между стойностите, в които тя се превръща в 0.

Нека изградим графика на полинома. Това непрекъсната функция, придобивайки стойност 0 3 пъти, т.е. f(x) ще бъде равно на 0 в точки x 1, x 2 и x 3, корените на полинома. В интервалите между тези точки знакът на функцията се запазва.

Тъй като за решаване на неравенството f(x)>0 се нуждаем от знака на функцията, преминаваме към координатната права, оставяйки графиката.

f(x)>0 за x(x 1 ; x 2) и за x(x 3 ;)

f(x)x(-; x 1) и при x (x 2; x 3)

На графиката ясно се виждат решенията на неравенствата f(x)f(x)>0 (решението на първото неравенство е в синьо, а решението на второто в червено). За да определите знака на функция на интервал, достатъчно е да знаете знака на функцията в една от точките. Тази техника ви позволява бързо да решавате неравенства, в които лявата страна е факторизирана, тъй като в такива неравенства е доста лесно да се намерят корените.

В този урок ще започнем да изучаваме системи от неравенства. Първо, ще разгледаме системи от линейни неравенства. В началото на урока ще разгледаме къде и защо възникват системи от неравенства. След това ще проучим какво означава да се реши система и ще си спомним обединението и пресичането на множества. Накрая ще решим конкретни примери на системи от линейни неравенства.

Предмет: Диетавсички неравенства и техните системи

Урок:Основенпонятия, решаване на системи от линейни неравенства

Досега сме решавали отделни неравенства и сме прилагали метода на интервалите към тях, това може да бъде линейни неравенства, както квадратно, така и рационално. Сега да преминем към решаване на системи от неравенства - първо линейни системи. Нека да разгледаме един пример, откъдето идва необходимостта да се разглеждат системи от неравенства.

Намерете домейна на функция

Намерете домейна на функция

Функция съществува, когато съществуват и двата квадратни корена, т.е.

Как да се реши такава система? Необходимо е да се намерят всички x, които удовлетворяват както първото, така и второто неравенство.

Нека изобразим върху оста на вола множеството от решения на първото и второто неравенство.

Интервалът на пресичане на два лъча е нашето решение.

Този метод за изобразяване на решението на система от неравенства понякога се нарича покривен метод.

Решението на системата е пресечната точка на две множества.

Нека изобразим това графично. Имаме множество A с произволна природа и множество B с произволна природа, които се пресичат.

Определение: Пресечната точка на две множества A и B е третото множество, което се състои от всички елементи, включени в A и B.

Използвайки конкретни примери за решаване на линейни системи от неравенства, нека разгледаме как да намерим пресечни точки на набори от решения на отделни неравенства, включени в системата.

Решете системата от неравенства:

Отговор: (7; 10].

4. Решете системата

Откъде може да дойде второто неравенство на системата? Например от неравенството

Нека да обозначим графично решенията на всяко неравенство и да намерим интервала на тяхното пресичане.

По този начин, ако имаме система, в която едно от неравенствата удовлетворява произволна стойност на x, тогава то може да бъде елиминирано.

Отговор: системата е противоречива.

Разгледахме типични опорни проблеми, до които може да се сведе решението на всяка линейна система от неравенства.

Помислете за следната система.

7.

Понякога линейна система се дава от двойно неравенство; разгледайте този случай.

8.

Разгледахме системи от линейни неравенства, разбрахме откъде идват, разгледахме стандартни системи, към които всички линейни системи, и реши някои от тях.

1. Мордкович А.Г. и др.Алгебра 9 клас: Учебник. За общо образование Институции.- 4-то изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макаричев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: учебен. за общообразователни ученици. институции / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-мо издание, рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-то изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-то изд., изтрито. - М.: 2010. - 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 клас. В 2 части Част 2. Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Изд. А. Г. Мордкович. — 12-то изд., рев. - М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал Естествени науки ().

2. Електронен учебно-методически комплекс за подготовка на 10-11 клас за приемни изпити по информатика, математика, руски език ().

4. Образователен център „Технология на обучението” ().

5. Секция по математика на College.ru ().

1. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. No 53; 54; 56; 57.

Една от темите, които изискват максимално внимание и постоянство от учениците, е решаването на неравенства. Толкова подобни на уравненията и в същото време много различни от тях. Защото решаването им изисква специален подход.

Свойства, които ще са необходими за намиране на отговора

Всички те се използват за замяна на съществуващ запис с еквивалентен. Повечето от тях са подобни на това, което беше в уравненията. Но има и разлики.

• Функция, която е дефинирана в ODZ, или произволно число, може да се добави към двете страни на оригиналното неравенство.
• По същия начин умножението е възможно, но само с положителна функция или число.
• Ако това действие се извършва с отрицателна функция или число, тогава знакът за неравенство трябва да бъде заменен с противоположния.
• Функциите, които не са отрицателни, могат да бъдат повдигнати на положителна степен.

Понякога решаването на неравенства е придружено от действия, които предоставят странични отговори. Те трябва да бъдат елиминирани чрез сравняване на DL домейна и набора от решения.

Използване на метода на интервалите

Същността му е да сведе неравенството до уравнение, в което от дясната страна има нула.

1. Определете областта, в която се намират допустимите стойности на променливите, т.е. ODZ.
2. Преобразувайте неравенството с помощта на математически операции, така че дясната страна да има нула.
3. Заменете знака за неравенство с “=” и решете съответното уравнение.
4. На цифровата ос маркирайте всички отговори, получени по време на решението, както и OD интервалите. В случай на строго неравенство, точките трябва да бъдат начертани като пунктирани. Ако има знак за равенство, те трябва да бъдат боядисани.
5. Определете знака на първоначалната функция на всеки интервал, получен от точките на ODZ и отговорите, които го разделят. Ако знакът на функцията не се променя при преминаване през точка, тогава тя се включва в отговора. В противен случай е изключено.
6. Граничните точки за ODZ трябва да бъдат допълнително проверени и едва тогава да бъдат включени или не в отговора.
7. Полученият отговор трябва да бъде написан под формата на комбинирани набори.

Малко за двойните неравенства

Те използват два знака за неравенство наведнъж. Тоест, някаква функция е ограничена от условия два пъти наведнъж. Такива неравенства се решават като система от две, когато оригиналът е разделен на части. А в интервалния метод са посочени отговорите от решаването на двете уравнения.

За разрешаването им също е допустимо да се използват свойствата, посочени по-горе. С тяхна помощ е удобно да се намали неравенството до нула.

Какво ще кажете за неравенствата, които имат модул?

В този случай решението на неравенствата използва следните свойства и те са валидни за положителна стойност на „a“.

Ако „x“ приема алгебричен израз, тогава следните замествания са валидни:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > от a до x< -a или х >а.

Ако неравенствата не са строги, тогава формулите също са правилни, само че в тях освен по-голям или по-малък знак се появява "=".

Как се решава система от неравенства?

Тези знания ще са необходими в случаите, когато се дава такава задача или има запис на двойно неравенство или в записа фигурира модул. В такава ситуация решението ще бъдат стойностите на променливите, които биха задоволили всички неравенства в записа. Ако няма такива числа, системата няма решения.

Планът, според който се извършва решението на системата от неравенства:

• решавайте всеки от тях поотделно;
• изобразяват всички интервали върху числовата ос и определят техните пресечни точки;
• запишете отговора на системата, който ще бъде комбинация от случилото се във втория параграф.

Какво да правим с дробните неравенства?

Тъй като решаването им може да изисква промяна на знака на неравенството, трябва много внимателно и внимателно да следвате всички точки на плана. В противен случай може да получите обратния отговор.

Решаването на дробни неравенства също използва интервалния метод. И планът за действие ще бъде такъв:

• Използвайки описаните свойства, придайте на дроба такава форма, че да остане само нула вдясно от знака.
• Заменете неравенството с “=” и определете точките, в които функцията ще бъде равна на нула.
• Маркирайте ги върху координатната ос. В този случай числата, получени в резултат на изчисления в знаменателя, винаги ще бъдат избити. Всички останали се основават на условието за неравенство.
• Определете интервалите на постоянство на знака.
• В отговор запишете обединението на онези интервали, чийто знак съответства на този в първоначалното неравенство.

Ситуации, когато ирационалността се проявява в неравенството

С други думи, в нотацията има математически корен. Тъй като в училищния курс по алгебра повечето задачи са за квадратен корен, това ще бъде разгледано.

Решението на ирационалните неравенства се свежда до получаване на система от две или три, която ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Примери за решаване на различни видове неравенства

За да добавим яснота към теорията за решаване на неравенства, по-долу са дадени примери.

Първи пример. 2x - 4 > 1 + x

Решение: За да определите ADI, всичко, което трябва да направите, е да разгледате внимателно неравенството. Образува се от линейни функции, следователно дефиниран за всички стойности на променливата.

Сега трябва да извадите (1 + x) от двете страни на неравенството. Оказва се: 2x - 4 - (1 + x) > 0. След отваряне на скобите и задаване на подобни членове неравенството ще приеме следния вид: x - 5 > 0.

Приравнявайки го на нула, е лесно да се намери неговото решение: x = 5.

Сега тази точка с номер 5 трябва да бъде отбелязана на координатния лъч. След това проверете знаците на оригиналната функция. На първия интервал от минус безкрайност до 5 можете да вземете числото 0 и да го замените в неравенството, получено след трансформациите. След изчисления се получава -7 >0. под дъгата на интервала трябва да подпишете знак минус.

На следващия интервал от 5 до безкрайност можете да изберете числото 6. Тогава се оказва, че 1 > 0. Под дъгата има знак „+“. Този втори интервал ще бъде отговорът на неравенството.

Отговор: x се намира в интервала (5; ∞).

Втори пример. Необходимо е да се реши система от две уравнения: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Решение. VA на тези неравенства също лежи в областта на произволни числа, тъй като са дадени линейни функции.

Второто неравенство ще приеме формата на следното уравнение: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. След трансформация: -x - 4 =0. Това създава стойност за променливата, равна на -4.

Тези две числа трябва да бъдат маркирани на оста, изобразяващи интервали. Тъй като неравенството не е строго, всички точки трябва да бъдат защриховани. Първият интервал е от минус безкрайност до -4. Нека бъде избрано числото -5. Първото неравенство ще даде стойност -3, а второто 1. Това означава, че този интервал не е включен в отговора.

Вторият интервал е от -4 до -2. Можете да изберете числото -3 и да го замените и в двете неравенства. В първия и втория стойността е -1. Това означава, че под дъгата "-".

В последния интервал от -2 до безкрайност най-доброто число е нула. Трябва да го замените и да намерите стойностите на неравенствата. Първото от тях дава положително число, а второто - нула. Тази празнина също трябва да бъде изключена от отговора.

От трите интервала само един е решение на неравенството.

Отговор: x принадлежи на [-4; -2].

Трети пример. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Решение. Първата стъпка е да се определят точките, в които функциите изчезват. За левия това число ще бъде 2, за десния - 1. Те ​​трябва да бъдат маркирани върху лъча и да се определят интервалите на постоянство на знака.

На първия интервал, от минус безкрайност до 1, функцията от лявата страна на неравенството взема положителни стойности, а отдясно - отрицателна. Под дъгата трябва да напишете два знака „+“ и „-“ един до друг.

Следващият интервал е от 1 до 2. На него и двете функции приемат положителни стойности. Това означава, че има два плюса под дъгата.

Третият интервал от 2 до безкрайност ще даде следния резултат: лявата функция е отрицателна, дясната функция е положителна.

Като вземете предвид получените знаци, трябва да изчислите стойностите на неравенството за всички интервали.

Първото води до следното неравенство: 2 - x > - 2 (x - 1). Минусът преди двете във второто неравенство се дължи на факта, че тази функция е отрицателна.

След трансформацията неравенството изглежда така: x > 0. То веднага дава стойностите на променливата. Тоест от този интервал ще се отговори само на интервала от 0 до 1.

На втория: 2 - x > 2 (x - 1). Трансформациите ще дадат следното неравенство: -3x + 4 е по-голямо от нула. Неговата нула ще бъде x = 4/3. Като се вземе предвид знакът за неравенство, се оказва, че x трябва да е по-малко от това число. Това означава, че този интервал се свежда до интервал от 1 до 4/3.

Последното дава следното неравенство: - (2 - x) > 2 (x - 1). Трансформацията му води до следното: -x > 0. Тоест, уравнението е вярно, когато x е по-малко от нула. Това означава, че на търсения интервал неравенството не дава решения.

В първите два интервала граничното число се оказа 1. Трябва да се провери отделно. Тоест, заместете го в първоначалното неравенство. Оказва се: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Преброяването показва, че 1 е по-голямо от 0. Това е вярно твърдение, така че единица е включена в отговора.

Отговор: x се намира в интервала (0; 4/3).

Неравенствата и системите от неравенства са една от темите, които се разглеждат в гимназияпо алгебра. По отношение на нивото на трудност, това не е най-трудното, тъй като има прости правила (повече за тях малко по-късно). Като правило, учениците се научават да решават системи от неравенства доста лесно. Това се дължи и на факта, че учителите просто „обучават“ учениците си по тази тема. И те не могат да не направят това, защото се изучава в бъдеще с помощта на други математически величини, а също така се тества на Единния държавен изпит и Единния държавен изпит. IN училищни учебнициТемата за неравенствата и системите от неравенства е разгледана много подробно, така че ако ще я изучавате, най-добре прибягвайте до тях. Тази статия само обобщава по-голям материал и може да има някои пропуски.

Понятието система от неравенства

Ако се обърнем към научния език, можем да дефинираме понятието „система от неравенства“. Това е математически модел, който представлява няколко неравенства. Този модел, разбира се, изисква решение и това ще бъде общият отговор за всички неравенства на системата, предложена в задачата (обикновено това е написано в нея, например: „Решете системата от неравенства 4 x + 1 > 2 и 30 - x > 6... "). Въпреки това, преди да преминете към видовете и методите на решения, трябва да разберете нещо друго.

Системи неравенства и системи уравнения

В процес на учене нова темамного често възникват недоразумения. От една страна, всичко е ясно и искате да започнете да решавате задачи възможно най-скоро, но от друга страна, някои моменти остават в „сянка“ и не се разбират напълно. Също така някои елементи от вече придобити знания могат да бъдат преплетени с нови. В резултат на това „припокриване“ често възникват грешки.

Ето защо, преди да започнем да анализираме нашата тема, трябва да си припомним разликите между уравнения и неравенства и техните системи. За да направим това, трябва още веднъж да обясним какво представляват тези математически понятия. Уравнението винаги е равенство и винаги е равно на нещо (в математиката тази дума се обозначава със знака "="). Неравенството е модел, при който една стойност е или по-голяма, или по-малка от друга, или съдържа твърдение, че те не са еднакви. Така че в първия случай е уместно да се говори за равенство, а във втория, колкото и очевидно да звучи от самото име, за неравенството на изходните данни. Системите от уравнения и неравенства практически не се различават една от друга и методите за решаването им са еднакви. Единствената разлика е, че в първия случай се използват равенства, а във втория случай се използват неравенства.

Видове неравенства

Има два вида неравенства: числени и с неизвестна променлива. Първият тип представлява дадени величини (числа), които са неравни помежду си, например 8 > 10. Вторият тип са неравенства, които съдържат неизвестна променлива (обозначена с буква от латинската азбука, най-често X). Тази променлива трябва да се намери. В зависимост от това колко са, математическият модел разграничава неравенства с една (съставляват система от неравенства с една променлива) или няколко променливи (съставляват система от неравенства с няколко променливи).

Последните два типа, според степента на изграждане и степента на сложност на решението, се разделят на прости и сложни. Простите се наричат ​​още линейни неравенства. Те от своя страна се делят на строги и нестроги. Строгите специално „казват“, че една величина задължително трябва да бъде или по-малко, или повече, така че това е чисто неравенство. Могат да се дадат няколко примера: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 и т.н. Към нестрогите се отнася и равенството. Това означава, че една стойност може да бъде по-голяма или равна на друга стойност (знакът „≥“) или по-малка или равна на друга стойност (знакът „≤“). Дори в линейните неравенства променливата не е в корена, не е на квадрат или не се дели на каквото и да било, поради което те се наричат ​​„прости“. Сложните включват неизвестни променливи, които изискват изпълнение за намиране. Повече ▼математически операции. Те често се намират в квадрат, куб или под корен, могат да бъдат модулни, логаритмични, дробни и т.н. Но тъй като нашата задача е необходимостта да разберем решението на системи от неравенства, ще говорим за система от линейни неравенства . Преди това обаче трябва да кажем няколко думи за техните свойства.

Свойства на неравенствата

Свойствата на неравенствата включват следното:

1. Знакът за неравенство е обърнат, ако се използва операция за промяна на реда на страните (например, ако t 1 ≤ t 2, тогава t 2 ≥ t 1).
2. И двете страни на неравенството ви позволяват да добавите едно и също число към себе си (например, ако t 1 ≤ t 2, тогава t 1 + число ≤ t 2 + число).
3. Две или повече неравенства със знак в една и съща посока позволяват добавяне на лявата и дясната им страна (например, ако t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, тогава t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. И двете части на неравенството могат да бъдат умножени или разделени на едно и също положително число (например, ако t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, тогава числото · t 1 ≥ число · t 2).
5. Две или повече неравенства, които имат положителни членове и знак в една и съща посока, позволяват да бъдат умножени едно по друго (например, ако t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 тогава t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. И двете части на неравенството позволяват да бъдат умножени или разделени на едно и също отрицателно число, но в този случай знакът на неравенството се променя (например, ако t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, тогава числото · t 1 ≥ число · t 2).
7. Всички неравенства имат свойството транзитивност (например, ако t 1 ≤ t 2 и t 2 ≤ t 3, тогава t 1 ≤ t 3).

Сега, след изучаване на основните принципи на теорията, свързана с неравенствата, можем да продължим директно към разглеждането на правилата за решаване на техните системи.

Решаване на системи от неравенства. Главна информация. Решения

Както бе споменато по-горе, решението са стойностите на променливата, които са подходящи за всички неравенства на дадената система. Решаването на системи от неравенства е изпълнението на математически операции, които в крайна сметка водят до решение на цялата система или доказват, че тя няма решения. В този случай се казва, че променливата принадлежи към празен числов набор (записан по следния начин: буква, обозначаваща променлива∈ (знак „принадлежи”) ø (знак „празно множество”), например x ∈ ø (прочетете: „Променливата „x” принадлежи на празното множество”). Има няколко начина за решаване на системи от неравенства: графичен, алгебричен, метод на заместване. Заслужава да се отбележи, че те са сред тях математически модели, които имат няколко неизвестни променливи. В случай, че има само един, методът на интервалите е подходящ.

Графичен метод

Позволява ви да решите система от неравенства с няколко неизвестни величини (от две и повече). Благодарение на този метод система от линейни неравенства може да бъде решена доста лесно и бързо, така че това е най-често срещаният метод. Това се обяснява с факта, че начертаването на графика намалява количеството на писане на математически операции. Става особено приятно да си вземете малко почивка от писалката, да вземете молив с линийка и да започнете по-нататъшни действия с тяхна помощ, когато е свършена много работа и искате малко разнообразие. въпреки това този методнякои хора не го харесват, защото трябва да се откъснат от задачата и да превключат умствената си дейност към рисуване. Това обаче е много ефективен метод.

За решаване на система от неравенства с помощта на графичен метод, е необходимо да прехвърлите всички членове на всяко неравенство в лявата им страна. Знаците ще бъдат обърнати, нулата трябва да бъде написана отдясно, след това всяко неравенство трябва да бъде написано отделно. В резултат на това функциите ще бъдат получени от неравенства. След това можете да извадите молив и линийка: сега трябва да начертаете графика на всяка получена функция. Целият набор от числа, които ще бъдат в интервала на тяхното пресичане, ще бъде решение на системата от неравенства.

Алгебричен начин

Позволява ви да решите система от неравенства с две неизвестни променливи. Освен това неравенствата трябва да имат един и същ знак за неравенство (т.е. трябва да съдържат или само знака „по-голямо от“, или само знака „по-малко от“ и т.н.) Въпреки ограниченията си, този метод също е по-сложен. Прилага се на два етапа.

Първият включва действия за премахване на една от неизвестните променливи. Първо трябва да го изберете, след което да проверите за наличието на числа пред тази променлива. Ако ги няма (тогава променливата ще изглежда като една буква), тогава не променяме нищо, ако има (типът на променливата ще бъде например 5y или 12y), тогава е необходимо да се направи уверете се, че във всяко неравенство числото пред избраната променлива е едно и също. За да направите това, трябва да умножите всеки член на неравенствата по общ множител, например, ако 3y е записано в първото неравенство и 5y във второто, тогава трябва да умножите всички членове на първото неравенство по 5 , а второто с 3. Резултатът е съответно 15y и 15y.

Втори етап на решение. Необходимо е да прехвърлите лявата страна на всяко неравенство в дясната им страна, като промените знака на всеки член на противоположния и напишете нула отдясно. След това идва забавната част: премахване на избраната променлива (известна още като „намаляване“), докато добавяте неравенствата. Това води до неравенство с една променлива, която трябва да бъде решена. След това трябва да направите същото, само с друга неизвестна променлива. Получените резултати ще бъдат решението на системата.

Метод на заместване

Позволява ви да решите система от неравенства, ако е възможно да въведете нова променлива. Обикновено този метод се използва, когато неизвестната променлива в единия член на неравенството се повдига на четвърта степен, а в другия член се повдига на квадрат. По този начин този метод е насочен към намаляване на степента на неравенствата в системата. Примерното неравенство x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 се решава по този начин. Въвежда се нова променлива, например t. Те пишат: „Нека t = x 2“, тогава моделът се пренаписва в нова форма. В нашия случай получаваме t 2 - t - 1 ≤0. Това неравенство трябва да се реши с помощта на интервалния метод (повече за това малко по-късно), след това обратно към променливата X, след което направете същото с другото неравенство. Получените отговори ще бъдат решението на системата.

Интервален метод

Това е най-простият начин за решаване на системи от неравенства, като в същото време е универсален и широко разпространен. Използва се в средните училища и дори във висшите училища. Същността му се състои в това, че ученикът търси интервали на неравенство върху числова права, която е начертана в тетрадка (това не е графика, а просто обикновена линия с числа). Там, където интервалите от неравенства се пресичат, се намира решението на системата. За да използвате интервалния метод, трябва да изпълните следните стъпки:

1. Всички членове на всяко неравенство се прехвърлят в лявата страна, като знакът се променя на противоположния (нулата е написана вдясно).
2. Неравенствата се изписват поотделно и се определя решението на всяко от тях.
3. Намерени са пресечните точки на неравенства на числовата ос. Всички номера, разположени на тези кръстовища, ще бъдат решение.

Кой метод да използвам?

Очевидно този, който изглежда най-лесен и удобен, но има случаи, когато задачите изискват определен метод. Най-често казват, че трябва да решите или с помощта на графика, или с помощта на интервалния метод. Алгебричният метод и заместването се използват изключително рядко или изобщо не се използват, тъй като са доста сложни и объркващи, а освен това се използват повече за решаване на системи от уравнения, отколкото за неравенства, така че трябва да прибягвате до чертане на графики и интервали. Те носят видимост, която няма как да не допринесе за ефективна и бързо внедряванематематически операции.

Ако нещо не се получи

Докато изучавате определена тема по алгебра, естествено може да възникнат проблеми с нейното разбиране. И това е нормално, защото мозъкът ни е устроен така, че не е в състояние да разбере сложния материал наведнъж. Често трябва да препрочетете параграф, да потърсите помощ от учител или да практикувате решаването на стандартни задачи. В нашия случай те изглеждат например така: „Решете системата от неравенства 3 x + 1 ≥ 0 и 2 x - 1 > 3.“ Така личното желание, помощта от външни хора и практиката помагат за разбирането на всяка сложна тема.

Решател?

Решителката също е много подходяща, но не за преписване на домашни, а за самопомощ. В тях можете да намерите системи от неравенства с решения, да ги разгледате (като шаблони), да се опитате да разберете как точно авторът на решението се е справил със задачата и след това да опитате да направите същото сами.

заключения

Алгебрата е един от най-трудните предмети в училище. Е, какво можете да направите? Математиката винаги е била такава: за едни е лесна, но за други е трудна. Но във всеки случай трябва да се помни, че общообразователната програма е структурирана по такъв начин, че всеки ученик да може да се справи с нея. Освен това трябва да се има предвид огромният брой помощници. Някои от тях бяха споменати по-горе.