Изграждане на функции с модул. Графики на линейни функции с модули

Марина Ерднигоряева

Тази работа е резултат от изучаването на темата по избираема дисциплина в 8 клас. Той показва геометричните трансформации на графики и приложението им за чертане с модули. Въвежда се понятието модул и неговите свойства. Показано е как да се изграждат графики с модули по различни начини: чрез трансформации и въз основа на концепцията за модул.Темата на проекта е една от най-трудните в курса по математика, отнася се до въпроси, разглеждани в избираемите предмети, изучава се в паралелки с разширено изучаване на математика. Въпреки това, такива задачи се дават във втората част на GIA, на изпита. Тази работа ще ви помогне да разберете как да изграждате графики с модули не само на линейни, но и на други функции (квадратични, обратно пропорционални и др.) Работата ще помогне при подготовката за GIA и Единния държавен изпит.

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Графики линейна функцияс модули Работа на Марина Ерднигоряева, ученичка от 8 клас на MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Ръководител Горяева Зоя Ерднигоряевна, учител по математика на MKOU "Kamyshovskaya OOSh" стр. Камишово, 2013г

Целта на проекта: Да се ​​отговори на въпроса как се изграждат графики на линейни функции с модули. Цели на проекта: Проучване на литературата по този въпрос. Да се ​​изучават геометрични трансформации на графики и приложението им за чертане с модули. Да се ​​изучи концепцията за модул и неговите свойства. Научете се да изграждате графики с модули по различни начини.

Пряка пропорционалност Пряката пропорционалност е функция, която може да бъде определена с формула от вида y=kx, където x е независима променлива, k е различно от нула число.

Нека начертаем функцията y = x x 0 2 y 0 2

Геометрична трансформация на графики Правило #1 Графиката на функцията y = f (x) + k - линейна функция - се получава чрез паралелно прехвърляне на графиката на функцията y = f (x) + k единици нагоре по оста O y когато k> 0 или |- k| единици надолу по оста O y при k

Нека построим графики y=x+3 y=x-2

Правило № 2 Графиката на функцията y \u003d kf (x) се получава чрез разтягане на графиката на функцията y \u003d f (x) по оста O y с пъти за a> 1 и свиване по O y ос по a пъти при 0 Слайд 9

Нека начертаем y=x y= 2 x

Правило № 3 Графиката на функцията y \u003d - f (x) се получава чрез симетрично показване на графиката y \u003d f (x) около оста O x

Правило № 4 Графиката на функцията y=f(- x) се получава чрез симетрично показване на графиката на функцията y = f (x) спрямо оста O y

Правило № 5 Графиката на функцията y=f(x+c) се получава чрез успоредно пренасяне на графиката на функцията y=f(x) по оста O x надясно, ако c 0 .

Нека изградим графики y=f(x) y=f(x+2)

Дефиниция на модула Модулът на неотрицателно число a е равен на самото число a; модулът на отрицателно число a е равен на противоположното му положително число -a. Или |a|=a, ако a ≥0 |a|=-a, ако a

Изграждат се графики на линейни функции с модули: чрез геометрични трансформации чрез разширяване на дефиницията на модула.

Правило #6 Функционална графика y=|f(x)| се получава по следния начин: частта от графиката y=f(x), лежаща над оста O x, се запазва; частта, лежаща под оста O x, се показва симетрично спрямо оста O x.

Начертайте функцията y=-2| x-3|+4 Build y ₁=| x | Изграждаме y₂= |x - 3 | → паралелна транслация с +3 единици по оста Ox (преместване надясно) Изградете y ₃ =+2|x-3| → разтегнете по оста O y 2 пъти = 2 y₂ Изградете y ₄ =-2|x-3| → симетрия спрямо оста x = - y₃ Изграждане y₅ =-2|x-3|+4 → паралелно преместване +4 единици по оста O y (преместване нагоре) = y ₄ +4

Графика на функцията y =-2|x-3|+4

Графика на функцията y= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → разтягане 3 пъти y₃=3|x| +2= y₄+2 → изместване нагоре с 2 единици

Правило № 7 Графиката на функцията y=f(| x |) се получава от графиката на функцията y=f(x) по следния начин: За x > 0 графиката на функцията се запазва и същата част от графиката се показва симетрично спрямо оста O y

Начертайте функцията y = || x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y3| Y=||x-1|-2|

Алгоритъм за начертаване на графиката на функцията y=│f(│x│)│ начертайте функцията y=f(│x│) . след това оставете непроменени всички части на построената графика, които лежат над оста x. частите, разположени под оста x, се показват симетрично спрямо тази ос.

Y=|2|x|-3| Конструкция: a) y \u003d 2x-3 за x\u003e 0, b) y \u003d -2x-3 за x Слайд 26

Правило #8 Графика на пристрастяването | y|=f(x) се получава от графиката на функцията y=f(x), ако се запазят всички точки, за които f(x) > 0, и те също се прехвърлят симетрично спрямо оста x.

Конструирайте набор от точки на равнината, чиито декартови координати x и y отговарят на уравнението |y|=||x-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| изграждаме две графики 1) y=||x-1|-1| и 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → изместване по оста Ox надясно с 1 единица y₃ = | x -1 |- 1= → преместване надолу с 1 единица y ₄ = || x-1|- 1| → симетрия на точките на графиката, за които y₃ 0 спрямо О x

Графика на уравнението |y|=||x-1|-1| получаваме както следва: 1) изграждаме графика на функцията y=f(x) и оставяме непроменена тази част от нея, където y≥0 2) използвайки симетрия спрямо оста Ox, изграждаме друга част от графиката, съответстваща на y

Начертайте функцията y =|x | − | 2 − x | . Решение. Тук знакът на модула влиза в два различни члена и трябва да бъде премахнат. 1) Намерете корените на подмодулни изрази: x=0, 2-x=0, x=2 2) Поставете знаците на интервалите:

Функционална графика

Заключение Темата на проекта е една от най-трудните в курса по математика, отнася се до въпросите, разглеждани в избираемите предмети, изучава се в часовете за задълбочено изучаване на курса по математика. Въпреки това, такива задачи са дадени във втората част на GIA. Тази работа ще ви помогне да разберете как да изграждате графики с модули не само на линейни функции, но и на други функции (квадратични, обратно пропорционални и др.). Работата ще помогне при подготовката за GIA и Единния държавен изпит и ще ви позволи да получите високи резултати по математика.

Литература Виленкин Н.Я. , Жохов В. И. Математика”. Учебник за 6 клас Москва. Издателство “Мнемозина”, 2010 г. Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвило Г.С. и др.. Алгебра. 8 клас: учебник. Помагало за ученици и класове със задълбочено изучаване на математика. - Москва. Просвещение, 2009 г. Гайдуков И.И. "Абсолютна стойност". Москва. Просвещение, 1968. Gursky I.P. „Функции и графики“. Москва. Просвещение, 1968. Ящина Н.В. Техники за конструиране на графи, съдържащи модули. Ж/л „Математиката в училище”, № 3, 1994 г. Детска енциклопедия. Москва. "Педагогика", 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Математически задачи. М., "Наука", 1993. Петраков И.С. Математически кръжоци в 8-10 клас. М., "Просвещение", 1987 г. Галицки М.Л. и др.Сборник задачи по алгебра за 8-9 клас: Урокза ученици и класове със задълбочено изучаване на математика. – 12-то изд. – М.: Просвещение, 2006. – 301 с. Макричев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Допълнителни глави към училищен учебник 9 клас: Учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика / Под редакцията на Г. В. Дорофеев. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с. Садыкина Н. Построяване на графики и зависимости, съдържащи знака на модула / Математика. - № 33. – 2004. – с.19-21.

препис

1 Регионална научна и практическа конференция за образователна и изследователска работа на ученици от 6-11 клас „Приложни и фундаментални въпроси на математиката“ Методически аспекти на изучаването на математиката Изграждане на графики на функции, съдържащи модула Габова Анжела Юриевна, 10 клас, MOBU „Гимназия 3 " Кудимкар, Пикулева Надежда Ивановна, учител по математика, MOBU "Гимназия 3", Кудимкар, Перм, 2016 г.

2 Съдържание: Въведение...страница 3 I. Основна част...страница 6 1.1 История справка.. 6 стр. 2.Основни определения и свойства на функциите стр. 2.1 квадратична функция..7 стр. 2.2 Линейна функция...8 стр. 2.3 Дробно-рационална функция стр. 8 3. Алгоритми за построяване на графики с модул 9 стр. .9 стр. 3.3 Начертаване на функции, съдържащи вложени модули във формулата 10 стр. 3.4 Алгоритъм за начертаване на функции от вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 стр. 3.5 Алгоритъм за начертаване на графика на квадратична функция с модул.14 стр. 3.6 Алгоритъм за построяване на графика на дробно рационална функция с модул. 15стр. 4. Промени в графиката на квадратична функция в зависимост от разположението на знака на абсолютната стойност ..17стр. II. Заключение ... 26 стр. III. Списък на използваната литература и източници...27 стр. IV. Приложение....28стр. 2

3 Въведение Функциите за чертане са една от тях. интересни темипо училищна математика. Най-големият математик на нашето време, Израел Моисеевич Гелфанд, пише: „Процесът на чертане е начин за превръщане на формули и описания в геометрични изображения. Това чертане е средство да видите формули и функции и да видите как се променят тези функции. Например, ако е написано y \u003d x 2, веднага ще видите парабола; ако y = x 2-4, виждате парабола, намалена с четири единици; ако y \u003d - (x 2 4), тогава виждате предишната парабола обърната надолу. Тази способност да видите формулата наведнъж и нейната геометрична интерпретация е важна не само за изучаването на математика, но и за други предмети. Това е умение, което остава с вас за цял живот, като да се научите да карате колело, да пишете или да карате кола." Основите за решаване на уравнения с модули са получени в 6-ти 7-ми клас. Избрах точно тази тема, защото смятам, че изисква по-задълбочено и задълбочено проучване. Искам да получа повече знания за модула на число, различни начинипострояване на графики, съдържащи знака на абсолютната стойност. Когато „стандартните“ уравнения на линии, параболи, хиперболи включват знака на модула, техните графики стават необичайни и дори красиви. За да научите как да изграждате такива графики, трябва да овладеете техниките за конструиране на основни фигури, както и твърдо да знаете и разбирате дефиницията на модула на числото. В училищния курс по математика графиките с модул не се разглеждат достатъчно задълбочено, поради което исках да разширя знанията си по тази тема, да проведа собствено изследване. Без да се знае дефиницията на модула, е невъзможно да се изгради дори най-простата графика, съдържаща абсолютна стойност. характерна особеностграфики на функции, съдържащи изрази със знак модул, 3

4 е наличието на прегъвания в онези точки, в които изразът под знака на модула променя знака. Цел на работата: да се разгледа конструкцията на графика на линейни, квадратични и частично рационални функции, съдържащи променлива под знака на модула. Задачи: 1) Да се ​​проучи литературата за свойствата на абсолютната стойност на линейни, квадратни и частично рационаленфункции. 2) Изследвайте промените в графиките на функциите в зависимост от местоположението на знака на абсолютната стойност. 3) Научете се да чертаете графики на уравнения. Обект на изследване: графики на линейни, квадратни и дробно рационални функции. Предмет на изследване: промени в графиката на линейни, квадратични и частично рационални функции в зависимост от местоположението на знака на абсолютната стойност. Практическо значениеработата ми е: 1) в използването на придобитите знания по темата, както и в задълбочаването им и прилагането им към други функции и уравнения; 2) в използването на умения изследователска работав бъдеще учебни дейности. Уместност: Графичните задачи традиционно са една от най-трудните теми в математиката. Нашите възпитаници са изправени пред проблема с успешното преминаване на GIA и Единния държавен изпит. Изследователска задача: изобразяване на функции, съдържащи знака за модул от втора част на GIA. Изследователска хипотеза: приложение, разработено на базата на общи начиниконструирането на графики на функции, съдържащи знака на модула, методите за решаване на задачи от втората част на GIA ще позволят на учениците да решават тези задачи 4

5 на съзнателна основа, изберете най-рационалния метод за решение, приложете различни методи за решение и преминете GIA по-успешно. Методи на изследване, използвани в работата: 1. Анализ на математическа литература и интернет ресурси по тази тема. 2. Репродуктивно възпроизвеждане на изучения материал. 3.Информативно- търсеща дейност. 4. Анализ и съпоставка на данни в търсене на решение на проблеми. 5. Постановка на хипотези и тяхната проверка. 6. Сравнение и обобщение на математически факти. 7. Анализ на получените резултати. При писането на тази работа са използвани следните източници: Интернет ресурси, OGE тестове, математическа литература. пет

6 I. Основна част 1.1 Историческа справка. През първата половина на 17 век идеята за функцията като зависимост от една променливаот друг. И така, френските математици Пиер Ферма () и Рене Декарт () си представиха функция като зависимост на ординатата на точка на крива от нейната абциса. Ами английският учен ИсакНютон () разбира функцията като променяща се във времето координата на движеща се точка. Терминът "функция" (от латински функция изпълнение, комисионна) е въведен за първи път от немския математик Готфрид Лайбниц (). Той свързва функция с геометричен образ (графика на функция). По-късно швейцарският математик Йохан Бернули () и член на Академията на науките в Санкт Петербург, известният математик от 18 век Леонард Ойлер () разглеждат функцията като аналитичен израз. Ойлер също има общо разбиране за функцията като зависимост на една променлива от друга. Думата "модул" идва от латинската дума "modulus", което в превод означава "мярка". Това е многозначна дума (омоним), която има много значения и се използва не само в математиката, но и в архитектурата, физиката, инженерството, програмирането и други точни науки. В архитектурата това е първоначалната мерна единица, установена за дадена архитектурна структура и използвана за изразяване на множество съотношения на нейните съставни елементи. В инженерството това е термин, използван в различни области на технологиите, които нямат универсална стойности служещи за обозначаване на различни коефициенти и величини, например модул на захващане, модул на еластичност и други подобни. 6

7 Обемният модул (във физиката) е съотношението на нормалното напрежение в материала към относителното удължение. 2.Основни определения и свойства на функциите Функцията е едно от най-важните математически понятия. Функция е такава зависимост на променливата y от променливата x, при която всяка стойност на променливата x съответства на една стойност на променливата y. Начини за задаване на функция: 1) аналитичен метод (функцията се задава с помощта на математическа формула); 2) табличен метод (функцията се определя с помощта на таблицата); 3) описателен метод (функцията се дава чрез словесно описание); четири) графичен начин(функцията се задава с помощта на графика). Графиката на функция е множеството от всички точки координатна равнина, чиито абсциси са равни на стойността на аргумента, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията. 2.1 Квадратична функция Функцията, дефинирана от формулата y=ax 2 +in+c, където x и y са променливи, а параметрите a, b и c са произволни реални числа и a = 0, се нарича квадратна. Графиката на функцията y \u003d ax 2 + in + c е парабола; оста на симетрия на параболата y \u003d ax 2 + in + c е права линия, за a> 0 „клоните“ на параболата са насочени нагоре, за a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (за функции на една променлива). Основното свойство на линейните функции е, че нарастването на функцията е пропорционално на нарастването на аргумента. Тоест функцията е обобщение на пряката пропорционалност. Графиката на линейна функция е права линия, откъдето идва и името ѝ. Това се отнася за реална функция на една реална променлива. 1) At правата образува остър ъгъл с положителната посока на оста x. 2) Когато линията образува тъп ъгъл с положителната посока на оста x. 3) е индикатор за ординатата на пресечната точка на линията с оста y. 4) Когато линията минава през началото. , 2.3 Дробно-рационална функция е дроб, чийто числител и знаменател са полиноми. Има формата където, полиноми в произволен брой променливи. Рационалните функции на една променлива са специален случай: където и са полиноми. 1) Всеки израз, който може да бъде получен от променливи с помощта на четири аритметични операции, е рационална функция. 8

9 2) Множеството от рационални функции е затворено спрямо аритметичните операции и операцията композиция. 3) Всяка рационална функция може да бъде представена като сбор от прости дроби - това се използва при аналитичното интегриране .., 3. Алгоритми за построяване на графики с модул, ако a е отрицателно. a = 3.2 Алгоритъм за построяване на графика на линейна функция с модул За да начертаете графиките на функциите y= x, трябва да знаете, че за положително x имаме x = x. Това означава, че за положителни стойности на аргумента, графиката y=x съвпада с графиката y=x, т.е. тази част от графиката е лъч, излизащ от началото под ъгъл от 45 градуса спрямо x- ос. За х< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 За конструкцията вземаме точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Сега нека изградим графика y= x-1. Ако A е точката на графиката y= x с координати (a; a), тогава точката на графиката y= x-1 със същата стойност на ординатата Y ще бъде точката A1 (а+1; а). Тази точка от втората графика може да се получи от точка A(a; a) от първата графика чрез преместване успоредно на оста Ox надясно. Това означава, че цялата графика на функцията y= x-1 се получава от графиката на функцията y= x чрез преместване успоредно на оста Ox надясно с 1. Нека изградим графики: y= x-1 За да изградим, вземаме точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Изграждане на графики на функции, съдържащи "вложени модули" във формулата Нека разгледаме алгоритъма за изграждане, като използваме конкретен пример.

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Изграждаме графика на функцията. 2. Показваме графиката на долната полуравнина нагоре симетрично по отношение на оста OX и получаваме графиката на функцията. единадесет

12 3. Показваме графиката на функцията надолу симетрично спрямо оста OX и получаваме графиката на функцията. 4. Показваме графиката на функцията надолу симетрично по отношение на оста OX и получаваме графиката на функцията 5. Показваме графиката на функцията по отношение на оста OX и получаваме графиката. 12

13 6. В резултат на това графиката на функцията изглежда така 3.4. Алгоритъм за построяване на графики на функции от вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. В предишния пример беше достатъчно лесно да разширите знаците на модула. Ако има повече суми от модули, тогава е проблематично да се разгледат всички възможни комбинации от знаци на подмодулни изрази. Как можем да начертаем функцията в този случай? Обърнете внимание, че графиката е полилиния с върхове в точки с абсцис -1 и 2. За x = -1 и x = 2, изразите на подмодула са равни на нула. Практичен начинние се доближихме до правилото за конструиране на такива графики: Графиката на функция от вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b е начупена линия с безкрайни крайни връзки. За да се построи такава полилиния, е достатъчно да се знаят всички нейни върхове (абсцисите на върховете са нули на подмодулни изрази) и по една контролна точка на лявата и дясната безкрайна връзка. 13

14 Задача. Начертайте функцията y = x + x 1 + x + 1 и намерете нейната най-малка стойност. Решение: 1. Нули на подмодулни изрази: 0; -1; Верхове на полилиния (0; 2); (-13); (1; 3). (нули от подмодулни изрази се заместват в уравнението) Изграждаме графика (фиг. 7), като най-малката стойност на функцията е Алгоритъм за построяване на графика на квадратична функция с модул Изготвяне на алгоритми за преобразуване на графики на функции. 1.Построяване на графика на функцията y= f(x). Съгласно дефиницията на модула, тази функция се разлага на набор от две функции. Следователно графиката на функцията y= f(x) се състои от две графики: y= f(x) в дясната полуравнина, y= f(-x) в лявата полуравнина. Въз основа на това можем да формулираме правило (алгоритъм). Графиката на функцията y= f(x) се получава от графиката на функцията y= f(x) по следния начин: при x 0 графиката се запазва, а при x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. За да изградите графика на функцията y= f(x), първо трябва да начертаете графика на функцията y= f(x) за x> 0, след това за x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 За да получите тази графика, е достатъчно просто да преместите предварително получената графика с три единици надясно. Обърнете внимание, че ако знаменателят на дробта беше x + 3, тогава щяхме да изместим графиката наляво: Сега трябва да умножим по две всички ординати, за да получим графиката на функцията. Накрая изместваме графиката нагоре с две единици : Последното нещо, което ни остава, е да начертаем дадената функция, ако тя е затворена под знака на модула. За да направим това, ние отразяваме симетрично нагоре цялата част от графиката, чиито ординати са отрицателни (частта, която лежи под оста x): Фиг.4 16

17 4. Промени в графиката на квадратична функция в зависимост от местоположението на знака на абсолютната стойност. Начертайте функцията y \u003d x 2 - x -3 1) Тъй като x \u003d x при x 0, търсената графика съвпада с параболата y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. Ако x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Следователно допълвам за x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Фиг. 4 Графиката на функцията y \u003d f (x) съвпада с графиката на функцията y \u003d f (x) върху набора от неотрицателни стойности на аргумента и е симетрична спрямо нея по отношение на y -ос върху множеството от отрицателни стойности на аргумента. Доказателство: Ако x 0, тогава f (x) = f (x), т.е. върху набора от неотрицателни стойности на аргумента, графиките на функциите y = f (x) и y = f (x) съвпадат. Тъй като y \u003d f (x) е равномерна функция, тогава нейната графика е симетрична по отношение на ОС. По този начин графиката на функцията y \u003d f (x) може да бъде получена от графиката на функцията y \u003d f (x), както следва: 1. начертайте функцията y = f (x) за x>0; 2. За х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. За х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Ако x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симетрично отразена част y \u003d f (x) при y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, тогава f (x) \u003d f (x), което означава, че в тази част графиката на функцията y \u003d f (x) съвпада с графиката на самата функция y \u003d f (x). Ако f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Фиг.5 Заключение: За да начертаете функцията y= f(x) 1. Начертайте функцията y=f(x) ; 2. В области, където графиката е разположена в долната полуравнина, т.е. където f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Изследователска работа по начертаване на функционални графики y = f (x) Използвайки дефиницията на абсолютната стойност и разгледаните по-рано примери, ние начертаваме функционалните графики: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \u003d x 2-2 и направи изводи. За да се построи графика на функцията y = f (x) е необходимо: ​​1. Постройте графика на функцията y = f (x) за x>0. 2. Постройте втората част на графиката, т.е. отразете изградената графика симетрично по отношение на ОС, т.к. тази функция е четна. 3. Сеченията на получената графика, разположени в долната полуравнина, трябва да бъдат преобразувани в горната полуравнина симетрично на оста OX. Постройте графика на функцията y \u003d 2 x - 3 (1-ви метод за определяне на модула) х< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, за x>0 b) за x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) за x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Построяваме права, симетрична на построената спрямо оста на ОС. 3) Секциите на графиката, разположени в долната полуравнина, се показват симетрично спрямо оста OX. Сравнявайки двете графики, виждаме, че те са еднакви. 21

22 Примери за задачи Пример 1. Разгледайте графиката на функцията y = x 2 6x +5. Тъй като x е на квадрат, то независимо от знака на числото x след повдигане на квадрат то ще бъде положително. От това следва, че графиката на функцията y \u003d x 2-6x +5 ще бъде идентична с графиката на функцията y \u003d x 2-6x +5, т.е. графика на функция, която не съдържа знак за абсолютна стойност (фиг. 2). Фиг.2 Пример 2. Разгледайте графиката на функцията y \u003d x 2 6 x +5. Използвайки дефиницията на модула на число, заместваме формулата y \u003d x 2 6 x +5 Сега имаме работа с присвояване на зависимост на части, което ни е добре известно. Ще изградим графика като тази: 1) изградете парабола y \u003d x 2-6x +5 и оградете тази част от нея, която е 22

23 съответства на неотрицателни x стойности, т.е. частта отдясно на оста y. 2) в същата координатна равнина изграждаме парабола y \u003d x 2 +6x +5 и ограждаме тази част от нея, която съответства на отрицателни стойности на x, т.е. частта отляво на оста y. Оградените части на параболите заедно образуват графика на функцията y \u003d x 2-6 x +5 (фиг. 3). Фиг.3 Пример 3. Разгледайте графиката на функцията y \u003d x 2-6 x +5. защото графиката на уравнението y \u003d x 2 6x +5 е същата като графиката на функцията без знака за модул (разгледана в пример 2), следва, че графиката на функцията y \u003d x 2 6 x +5 е идентичен с графиката на функцията y \u003d x 2 6 x +5 , разгледана в пример 2 (фиг. 3). Пример 4. Нека изградим графика на функцията y \u003d x 2 6x +5. За да направите това, изграждаме графика на функцията y \u003d x 2-6x. За да получите от него графиката на функцията y \u003d x 2-6x, трябва да замените всяка точка на параболата с отрицателна ордината с точка със същата абциса, но с противоположната (положителна) ордината. С други думи, частта от параболата, разположена под оста x, трябва да бъде заменена с линия, симетрична спрямо оста x. защото трябва да изградим графика на функцията y \u003d x 2-6x +5, тогава графиката на функцията, която разгледахме y \u003d x 2-6x просто трябва да бъде повдигната по оста y с 5 единици нагоре (фиг. 4). 23

24 Фиг.4 Пример 5. Нека изградим графика на функцията y \u003d x 2-6x + 5. За да направим това, използваме добре познатата функция на части. Намерете нулите на функцията y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 at. Разгледайте два случая: 1) Ако, тогава уравнението приема формата y = x 2 6x -5. Нека построим тази парабола и оградим тази част от нея. 2) Ако, тогава уравнението приема формата y \u003d x 2 + 6x +5. Нека построим тази парабола и оградим тази част от нея, която се намира вляво от точката с координати (фиг. 5). 24

25 Фиг.5 Пример6. Нека начертаем функцията y \u003d x 2 6 x +5. За да направим това, ще начертаем функцията y \u003d x 2-6 x +5. Ние начертахме тази графика в Пример 3. Тъй като нашата функция е изцяло под знака на модула, за да начертаете графиката на функцията y \u003d x 2 6 x +5, имате нужда от всяка точка от графиката на функцията y \u003d x 2 6 x + 5 с отрицателна ордината, заменете с точка със същата абциса, но с противоположна (положителна) ордината, т.е. частта от параболата, разположена под оста Ox, трябва да бъде заменена с линия, която е симетрична спрямо оста Ox (фиг. 6). Фиг.6 25

26 II Заключение "Математическата информация може да се използва умело и ползотворно само ако се усвои творчески, така че ученикът сам да види как би могъл да стигне до нея самостоятелно." А.Н. Колмогоров. Тези задачи са от голям интерес за учениците от девети клас, тъй като те са много често срещани в тестовете на OGE. Умението да изграждате тези графики на функции ще ви позволи да издържите по-успешно изпита. Френските математици Пиер Ферма () и Рене Декарт () си представят функция като зависимост на ординатата на точка на крива от нейната абциса. И английският учен Исак Нютон () разбира функцията като координата на движеща се точка, която се променя в зависимост от времето. 26

27 III Списък на използваната литература и източници 1. Галицки М. Л., Голдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задачи по алгебра за 8 9 клас: учеб. надбавка за ученици. и класове със задълбочаване. проучване Математика 2-ро изд. М .: Просвещение, Дорофеев Г.В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ на данни. Клас 9: m34 Proc. за общообразователни изследвания. мениджър 2-ро изд., стереотип. M .: Bustard, Solomonik V.S. Колекция от въпроси и задачи по математика M .: "Висше училище", Yashchenko I.V. GIA. Математика: типични изпитни опции: Относно опциите.m .: „Национално образование“, стр. 5. Яшченко И.В. OGE. Математика: типични изпитни опции: Относно опциите.m .: „Национално образование“, стр. 6. Яшченко И.В. OGE. Математика: типични изпитни опции: Относно опциите.m .: „Национално образование“, стр.

28 Приложение 28

29 Пример 1. Начертайте функцията y = x 2 8 x Решение. Нека дефинираме паритета на функцията. Стойността за y(-x) е същата като стойността за y(x), така че тази функция е четна. Тогава нейната графика е симетрична по отношение на оста Oy. Изграждаме графика на функцията y \u003d x 2 8x + 12 за x 0 и показваме графиката симетрично спрямо Oy за отрицателно x (фиг. 1). Пример 2. Следната графика на формата y \u003d x 2 8x Това означава, че графиката на функцията се получава, както следва: те изграждат графика на функцията y \u003d x 2 8x + 12, оставят частта от графиката която лежи над оста Ox непроменена, а частта от графиката, която лежи под абсцисната ос, се показва симетрично по отношение на оста Ox (фиг. 2). Пример 3. За да се начертае функцията y \u003d x 2 8 x + 12, се извършва комбинация от трансформации: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Отговор : Фигура 3. Пример 4 Изразът, стоящ под знака на модула, променя знака си в точката x=2/3. При х<2/3 функция запишется так: 29

30 За x>2/3 функцията ще бъде написана по следния начин: Тоест точката x=2/3 разделя нашата координатна равнина на две области, в едната от които (вдясно) изграждаме функцията и в друг (вляво) графиката на функцията, която изграждаме: Пример 5 След това графиката също е счупена, но има две точки на прекъсване, тъй като съдържа два израза под знаците на модула:

31 Разширете модулите на първия интервал: На втория интервал: На третия интервал: Така на интервала (- ; 1.5] имаме графиката, написана от първото уравнение, на интервала графиката, написана от второто уравнение, и на интервала)