В практически урок ще разгледаме този път и ще сравним резултатите от симулацията с теоретично решение.
ВЪВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМИ ЗА ОБСЛУЖВАНЕ НА ОПАШКА
1.1 Обща концепциятеории опашка
1.2 Моделиране на системи за масово обслужване
1.3 QS графики на състоянието
1.4 Стохастични процеси
Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСВАЩИ СИСТЕМИ ЗА ОПАК
2.1 Уравнения на Колмогоров
2.2 Процесите на "раждане - смърт"
2.3 Икономическо и математическо формулиране на проблемите с масовото обслужване
Глава III. МОДЕЛИ НА СИСТЕМИ ЗА ОПАКОВКА
3.1 Едноканален QS с отказ на обслужване
3.2 Многоканален QS с отказ на услуга
3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване
3.4 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката
3.5 Едноканален QS с неограничена опашка
3.6 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката
3.7 Многоканален QS с неограничена опашка
3.8 Анализ на системата за опашки в супермаркети
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Въведение
В момента се появи голямо количество литература, която е пряко посветена на теорията на масовото обслужване, развитието на нейните математически аспекти, както и различни области на нейното приложение - военна, медицинска, транспортна, търговска, авиационна и др.
Теорията на опашките се основава на теорията на вероятностите и математическа статистика. Първоначалното развитие на теорията за масовото обслужване се свързва с името на датския учен А.К. Ерланг (1878-1929), с неговите трудове в областта на проектирането и експлоатацията на телефонни централи.
Теорията на опашките е област от приложната математика, която се занимава с анализ на процеси в системите за производство, услуги и контрол, в които хомогенни събития се повтарят много пъти, например в предприятия за потребителски услуги; в системи за приемане, обработка и предаване на информация; автоматични производствени линии и др. Голям принос за развитието на тази теория направиха руските математици А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцел и др.
Предметът на теорията на опашките е да се установят връзки между естеството на потока от заявки, броя на каналите за обслужване, производителността на един канал и ефективната услуга, за да се намерят най-добрите начини за контролиране на тези процеси. Задачите на теорията на масовото обслужване са от оптимизационен характер и в крайна сметка включват икономическия аспект за определяне на такъв вариант на системата, който ще осигури минимум общи разходи от чакане за обслужване, загуба на време и ресурси за обслужване и от престой. на обслужващи канали.
В търговските дейности приложението на теорията на опашките все още не е намерило желаното разпространение.
Това се дължи главно на трудността при поставяне на цели, необходимостта от задълбочено разбиране на съдържанието на търговските дейности, както и надеждни и точни инструменти, които ви позволяват да изчислявате в търговски дейности различни опциипоследствията от управленските решения.
Глава аз . Задаване на задачи за опашка
1.1 Обща концепция на теорията на масовото обслужване
Природата на опашките в различни области е много фина и сложна. Търговската дейност е свързана с извършването на много операции на етапите на движение, например маса от стоки от сферата на производство към сферата на потребление. Такива операции са товарене на стоки, транспортиране, разтоварване, съхранение, обработка, пакетиране, продажба. В допълнение към тези основни операции, процесът на движение на стоките се придружава от голямо количествопредварителни, подготвителни, съпътстващи, паралелни и последващи операции с платежни документи, контейнери, пари, автомобили, клиенти и др.
Изброените фрагменти от търговската дейност се характеризират с масово получаване на стоки, пари, посетители в произволно време, след това тяхното последователно обслужване (удовлетворяване на изисквания, заявки, заявки) чрез извършване на подходящи операции, времето за изпълнение на които също е произволно. Всичко това създава неравномерност в работата, генерира подтоварвания, престои и претоварвания в търговските операции. Опашките създават много проблеми, например посетителите в кафенета, столове, ресторанти или шофьори на автомобили в стокови депа, чакащи за разтоварване, товарене или документация. В тази връзка възникват проблеми с анализа съществуващи опцииизвършване на целия набор от операции, например търговски етаж на супермаркет, ресторант или в цеховете за производство на собствени продукти, за да се оцени тяхната работа, да се идентифицират слаби връзки и резерви, за да се разработят в крайна сметка препоръки, насочени към увеличаване ефективността на търговската дейност.
Освен това възникват други задачи, свързани със създаването, организирането и планирането на нова икономична, рационална възможност за извършване на много операции в рамките на търговския етаж, сладкарския цех, всички нива на обслужване на ресторант, кафене, столова, планов отдел, счетоводен отдел, отдел персонал и др.
Задачите на организацията на опашките възникват в почти всички области човешка дейност, например обслужване от продавачи на купувачи в магазини, обслужване на посетители в предприятия Кетъринг, обслужване на клиенти в предприятия за потребителско обслужване, предоставяне телефонни разговорина телефонна централа, оказване на медицинска помощ на пациенти в поликлиника и др. Във всички горепосочени примери има нужда от удовлетворяване на заявки Голям бройпотребители.
Изброените задачи могат да бъдат успешно решени с помощта на специално създадени за тези цели методи и модели на теорията на масовото обслужване (QMT). Тази теория обяснява, че е необходимо да се обслужва някого или нещо, което се дефинира от понятието „заявка (изискване) за услуга“, а операциите по обслужване се извършват от някой или нещо, наречено канали за обслужване (възли). Ролята на приложения в търговската дейност играят стоки, посетители, пари, одитори, документи, а ролята на обслужващи канали играят продавачи, администратори, готвачи, сладкари, сервитьори, касиери, мърчандайзери, товарачи, търговско оборудване и др. Важно е да се отбележи, че в един вариант, например, готвачът в процеса на приготвяне на ястия е обслужващ канал, а в друг той действа като заявка за услуга, например към ръководителя на производството за получаване на стоки.
Поради масовия характер на получаване на услуги, приложенията формират потоци, които се наричат входящи преди извършване на обслужващи операции и след евентуално изчакване за започване на услугата, т.е. престой в опашката, потоците на услугата на формата в каналите и след това се формира изходящ поток от заявки. Като цяло наборът от елементи на входящия поток от заявки, опашката, каналите за обслужване и изходящия поток от заявки образува най-простата едноканална система за опашка - QS.
Системата е набор от взаимосвързани и. целенасочено взаимодействащи си части (елементи). Примери за такива прости QS в търговските дейности са местата за получаване и обработка на стоки, центрове за сетълмент с клиенти в магазини, кафенета, столове, работни места на икономист, счетоводител, търговец, готвач при дистрибуция и др.
Сервизната процедура се счита за завършена, когато заявката за услуга напусне системата. Продължителността на интервала от време, необходим за реализиране на сервизната процедура, зависи главно от естеството на заявката за услуга, състоянието на самата сервизна система и сервизния канал.
Всъщност продължителността на престоя на купувача в супермаркета зависи, от една страна, от лични качествакупувачът, неговите искания, върху асортимента от стоки, които той ще закупи, и от друга страна, върху формата на организация на обслужването и обслужващия персонал, което може значително да повлияе на времето, прекарано от купувача в супермаркета, и интензивността на обслужване. Например, овладяването на касиерите-контрольори на "слепия" метод на касовия апарат позволи да се увеличи пропускателна способноствъзли за сетълмент с 1,3 пъти и спестете време, изразходвано за сетълменти с клиенти при всяка каса, с повече от 1,5 часа на ден. Въвеждането на единен възел за сетълмент в супермаркета дава осезаеми ползи за купувача. Така че, ако при традиционната форма на сетълмент времето за обслужване на един клиент е средно 1,5 минути, тогава с въвеждането на един възел за сетълмент - 67 секунди. От тях 44 секунди се изразходват за извършване на покупка в секцията и 23 секунди се изразходват директно за плащания за покупки. Ако купувачът направи няколко покупки в различни раздели, тогава загубата на време се намалява чрез закупуване на две покупки с 1,4 пъти, три - с 1,9, пет - с 2,9 пъти.
Под обслужване на заявки имаме предвид процеса на задоволяване на потребност. Услугата е различна по своята същност. Във всички примери обаче получените заявки трябва да се обслужват от някакво устройство. В някои случаи услугата се извършва от един човек (обслужване на клиенти от един продавач, в някои случаи от група хора (обслужване на пациенти от лекарска комисия в поликлиника), а в някои случаи с технически средства (продажба на газирана вода). набор от инструменти, които обслужват приложенията, се нарича канал за обслужване.
Ако обслужващите канали са в състояние да задоволят едни и същи заявки, тогава обслужващите канали се наричат хомогенни. Набор от хомогенни канали за обслужване се нарича обслужваща система.
Системата за опашка получава голям брой заявки в произволни моменти, чиято продължителност на услугата също е случайна променлива. Последователното пристигане на клиенти в системата за опашка се нарича входящ поток от клиенти, а последователността от клиенти, напускащи системата за опашка, се нарича изходящ поток.
Случайният характер на разпределението на продължителността на изпълнение на сервизните операции, заедно със случайния характер на пристигането на изискванията за услуга, води до факта, че в каналите на услугата възниква случаен процес, който „може да се нарече (по аналогия) с входния поток от заявки) потокът от заявки за услуги или просто потокът от услуги.
Имайте предвид, че клиентите, влизащи в системата за опашка, могат да я напуснат, без да бъдат обслужени. Например, ако клиентът не намери желания продукт в магазина, той напуска магазина без да бъде обслужен. Купувачът може също да напусне магазина, ако желаният продукт е наличен, но има дълга опашка и купувачът няма време.
Теорията на опашките се занимава с изучаването на процесите, свързани с опашките, разработването на методи за решаване на типични проблеми с опашките.
При изследването на ефективността на системата за обслужване важна роля играят различни начинимясто в системата от обслужващи канали.
При паралелно подреждане на обслужващи канали, изискването може да се обслужва от всеки безплатен канал. Пример за такава система за обслужване е възел за сетълмент в магазини за самообслужване, където броят на каналите за обслужване съвпада с броя на касиерите-контрольори.
На практика едно приложение често се обслужва последователно от няколко обслужващи канала. В този случай следващият обслужващ канал започва да обслужва заявката, след като предишният канал е приключил работата си. В такива системи процесът на обслужване е многофазен по природа, обслужването на приложение от един канал се нарича фаза на обслужване. Например, ако магазинът на самообслужване има отдели с продавачи, тогава купувачите се обслужват първо от продавачи, а след това от касиери-контрольори.
Организацията на системата за обслужване зависи от волята на лицето. Качеството на функциониране на системата в теорията на опашките се разбира не от това колко добре се извършва услугата, а колко пълно е натоварена обслужващата система, дали каналите за обслужване са празни, дали се образува опашка.
В търговските дейности приложенията, влизащи в системата за масово обслужване, също имат големи претенции към качеството на услугата като цяло, което включва не само списък от характеристики, които са се развили исторически и се разглеждат директно в теорията на масовото обслужване, но и допълнителни характеристики, които са специфични за спецификата на търговската дейност, по-специално индивидуалните процедури за поддръжка, изискванията за които са нараснали значително към момента. В тази връзка е необходимо да се вземат предвид и показателите за търговска дейност.
Работата на сервизната система се характеризира с такива показатели. Като време за изчакване на услугата, дължина на опашката, възможност за отказ на услуга, възможност за прекъсване на обслужващия канал, цена на услугата и в крайна сметка удовлетворение от качеството на услугата, което включва и бизнес ефективност. За да се подобри качеството на системата за обслужване, е необходимо да се определи как да се разпределят входящите приложения между каналите за обслужване, колко канала за обслужване трябва да имате, как да организирате или групирате каналите за обслужване или устройствата за обслужване, за да подобрите ефективността на бизнеса. За решаването на тези проблеми има ефективен методмоделиране, което включва и съчетава постиженията на различни науки, включително математиката.
1.2 Моделиране на системи за масово обслужване
Преходите на QS от едно състояние в друго се случват под въздействието на точно определени събития - получаване на заявки и тяхното обслужване. Последователността на събитията, следващи едно след друго в произволни моменти от време, образува така наречения поток от събития. Примери за такива потоци в търговската дейност са потоци от различно естество - стоки, пари, документи, транспорт, клиенти, клиенти, телефонни разговори, преговори. Поведението на системата обикновено се определя не от един, а от няколко потока от събития наведнъж. Например обслужването на клиентите в магазина се определя от потока на клиентите и потока от услуги; в тези потоци моментите на появяване на купувачите, времето, прекарано на опашката и времето, изразходвано за обслужване на всеки купувач, са случайни.
В същото време основната особеностпотоци е вероятностното разпределение на времето между съседни събития. Има различни потоци, които се различават по своите характеристики.
Поток от събития се нарича регулярен, ако събитията в него следват едно след друго през предварително определени и строго определени интервали от време. Такъв поток е идеален и се среща много рядко на практика. По-често има нередовни потоци, които нямат свойството на редовност.
Поток от събития се нарича стационарен, ако вероятността произволен брой събития да попаднат във времеви интервал зависи само от дължината на този интервал и не зависи от това колко далеч е този интервал от началото на времето. Стационарността на потока означава, че неговите вероятностни характеристики не зависят от времето, по-специално, интензивността на такъв поток е средният брой събития за единица време и остава постоянна. На практика потоците обикновено могат да се считат за стационарни само за определен ограничен интервал от време. Обикновено потокът от клиенти, например в магазина, се променя значително през работния ден. Въпреки това е възможно да се отделят определени интервали от време, в рамките на които този поток може да се счита за стационарен, с постоянна интензивност.
Поток от събития се нарича поток без последствия, ако броят на събитията, които попадат в един от произволно избраните времеви интервали, не зависи от броя на събитията, които попадат в друг, също произволно избран интервал, при условие че тези интервали не се пресичат . В поток без последствия събитията се появяват в последователни моменти независимо едно от друго. Например, потокът от клиенти, влизащи в магазин, може да се счита за поток без последствия, тъй като причините, довели до пристигането на всеки от тях, не са свързани с подобни причини за други клиенти.
Поток от събития се нарича обикновен, ако вероятността за постигане на две или повече събития наведнъж за много кратък период от време е незначителна в сравнение с вероятността за постигане само на едно събитие. В обикновен поток събитията се случват едно по едно, а не два или повече пъти. Ако един поток едновременно притежава свойствата на стационарност, обикновеност и липса на следствие, тогава такъв поток се нарича най-простият (или Поасонов) поток от събития. Математическото описание на въздействието на такъв поток върху системите е най-просто. Следователно, по-специално, най-простият поток играе специална роля сред другите съществуващи потоци.
Помислете за някакъв времеви интервал t на времевата ос. Нека приемем, че вероятността случайно събитие да достигне този интервал p, и общ бройвъзможни събития - n. При наличието на свойството на обикновеност на потока от събития, вероятността p трябва да бъде достатъчно малка стойност, а i - достатъчно Голям брой, тъй като се разглеждат масови явления. При тези условия, за да изчислите вероятността да постигнете определен брой събития t във времеви интервал t, можете да използвате формулата на Поасон:
P m, n = a m_e-a; (m=0,n),
където стойността a = pr е средният брой събития, попадащи във времевия интервал t, който може да се определи чрез интензивността на потока от събития X, както следва: a= λ τ
Размерът на интензитета на потока X е средният брой събития за единица време. Между p и λ, p и τ съществува следната връзка:
където t е целият период от време, върху който се разглежда действието на потока от събития.
Необходимо е да се определи разпределението на времевия интервал T между събитията в такъв поток. Защото то произволна стойност, намираме неговата функция на разпределение. Както е известно от теорията на вероятностите, интегралната функция на разпределение F(t) е вероятността стойността T да бъде по-малка от времето t.
Съгласно условието не трябва да се случват събития през времето T, а поне едно събитие трябва да се появи на времевия интервал t. Тази вероятност се изчислява, като се използва вероятността от противоположното събитие на интервала от време (0; t), където не е паднало събитие, т.е. m=0, тогава
F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0
За малък ∆t може да се получи приблизителна формула, получена чрез заместване на функцията e - Xt само с два члена на разширението в серия със степен на ∆t, тогава вероятността поне едно събитие да попадне в малък интервал от време ∆ т е
P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt
Плътността на разпределение на интервала от време между две последователни събития се получава чрез диференциране на F(t) по отношение на времето,
f(t)= λe- λ t ,t≥0
Използвайки получената функция на плътността на разпределението, могат да се получат числените характеристики на случайната променлива T: математическото очакване M (T), дисперсията D(T) и стандартното отклонение σ(T).
М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/ λ2; σ(T)=1/ λ .
От това можем да направим следното заключение: средният времеви интервал T между всеки две съседни събития в най-простия поток е средно 1/λ, а стандартното му отклонение също е 1/λ, където λ е интензитетът на потока, т.е. среден брой събития, случващи се за единица време. Законът за разпределение на случайна променлива с такива свойства M(T) = T се нарича експоненциален (или експоненциален), а стойността λ е параметър на този експоненциален закон. По този начин, за най-простия поток, математическото очакване на интервала от време между съседни събития е равно на неговото стандартно отклонение. В този случай вероятността броят на заявките, пристигащи за обслужване в интервал от време t, да е равен на k, се определя от закона на Поасон:
P k (t)=(λt) k / k! *e-λ t,
където λ е интензивността на потока от заявки, средният брой събития в QS за единица време, например [човека / мин.; rub./час; чекове/час; документи/ден; кг./час; тона/година] .
За такъв поток от приложения времето между две съседни приложения T се разпределя експоненциално с плътност на вероятността:
ƒ(t)= λe - λt .
Случайното време на изчакване в опашката за стартиране на услугата може също да се счита за експоненциално разпределено:
ƒ (t och)=V*e - v t och,
където v е интензитетът на потока на преминаване на опашката, определен от средния брой приложения, преминаващи за обслужване за единица време:
където T och - средното време на чакане за услуга в опашката.
Изходният поток от заявки е свързан с потока на услугата в канала, където продължителността на услугата t obs също е случайна променлива и в много случаи се подчинява на експоненциален закон за разпределение с плътност на вероятността:
ƒ(t obs)=µ*e µ t obs,
където µ е интензивността на обслужващия поток, т.е. среден брой обслужвани заявки за единица време:
µ=1/ t obs [човек/мин; rub./час; чекове/час; документи/ден; кг./час; тона/година] ,
където t obs е средното време за обслужване на приложения.
Важна характеристика на QS, която съчетава показателите λ и µ, е интензивността на натоварването: ρ= λ/ µ, която показва степента на координация на входните и изходните потоци на заявките на обслужващия канал и определя стабилността на система за опашка.
В допълнение към концепцията за най-простия поток от събития, често е необходимо да се използват концепции за потоци от други видове. Поток от събития се нарича Palm поток, когато в този поток интервалите от време между последователни събития T 1 , T 2 , ..., T k ..., T n са независими, равномерно разпределени, случайни променливи, но за разлика от най-простите поток, те не са непременно разпределени според експоненциалния закон. Най-простият поток е специален случай на Palm потока.
Важен специален случай на потока Palm е така нареченият поток Erlang.
Този поток се получава чрез "разреждане" на най-простия поток. Такова "изтъняване" се извършва чрез избиране на събития от обикновен поток според определено правило.
Например, ако се съгласим да вземем предвид само всяко второ събитие от елементите на най-простия поток, получаваме Erlang поток от втори ред. Ако вземем само всяко трето събитие, тогава се формира Erlang поток от трети ред и т.н.
Възможно е да се получат Erlang потоци от всеки k-ти ред. Очевидно най-простият поток е потокът на Erlang от първи ред.
Всяко проучване на система за масово обслужване започва с проучване на това, което трябва да бъде обслужено и следователно с изследване на входящия поток от клиенти и неговите характеристики.
Тъй като моментите от време t и интервалите от време на получаване на заявления τ, тогава продължителността на обслужващите операции t obs и времето за изчакване в опашката t och, както и дължината на опашката l och са случайни променливи, тогава, следователно характеристиките на състоянието на QS са от вероятностен характер и за тяхното описание следва да се прилагат методи и модели на теорията на масовото обслужване.
Характеристиките k, τ, λ, L och, T och, v, t obs, µ, p, P k, изброени по-горе, са най-често срещаните за QS, които обикновено са само част от целевата функция, тъй като е необходимо също да се вземат предвид показатели за търговска дейност.
1.3 QS графики на състоянието
При анализиране на случайни процеси с дискретни състояния и непрекъснато време е удобно да се използва вариант на схематично представяне на възможните състояния на CMO (фиг. 6.2.1) под формата на графика с маркиране на възможните му фиксирани състояния. Състоянията на QS обикновено се изобразяват с правоъгълници или кръгове, а възможните посоки на преход от едно състояние към друго са ориентирани със стрелки, свързващи тези състояния. Например, етикетираната графика на състоянието на едноканална система на произволен процес на обслужване в будка за вестници е показана на фиг. 1.3.
Ориз. 1.3. Означена QS графика на състоянието
Системата може да бъде в едно от трите състояния: S 0 - каналът е свободен, неактивен, S 1 - каналът е зает с обслужване, S 2 - каналът е зает с обслужване и едно приложение е в опашката. Преходът на системата от състояние S 0 към S l става под въздействието на най-простия поток от заявки с интензитет λ 01, а от състояние S l към състояние S 0 системата се прехвърля от обслужващ поток с интензитет λ 01 . Графиката на състоянието на система за масово обслужване с интензитети на потока, прикрепени към стрелките, се нарича етикетирана. Тъй като престоят на системата в едно или друго състояние е вероятностен по природа, вероятността: p i (t), че системата ще бъде в състояние S i в момент t, се нарича вероятност за i-то състояние на QS и се определя от броя на заявките k, получени за обслужване.
Случайният процес, протичащ в системата, се състои в това, че в произволни времена t 0 , t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n системата се намира последователно в едно или друго предварително известно дискретно състояние. Такива. Случайна последователност от събития се нарича верига на Марков, ако за всяка стъпка вероятността за преход от едно състояние S t към което и да е друго Sj не зависи от това кога и как системата е преминала в състояние S t . Веригата на Марков се описва с помощта на вероятността от състояния и те образуват пълна група от събития, така че тяхната сума е равна на единица. Ако вероятността за преход не зависи от числото k, тогава веригата на Марков се нарича хомогенна. Познавайки първоначалното състояние на системата за масово обслужване, могат да се намерят вероятностите за състояния за всяка стойност на k-броя заявки, получени за обслужване.
1.4 Стохастични процеси
Преходът на QS от едно състояние в друго се случва произволно и е случаен процес. Работата на QS е случаен процес с дискретни състояния, тъй като възможните му състояния във времето могат да бъдат изброени предварително. Освен това преходът от едно състояние в друго става рязко, в произволни моменти, поради което се нарича процес с непрекъснато време. По този начин работата на QS е случаен процес с дискретни състояния и непрекъснат; време. Например, в процеса на обслужване на купувачи на едро в компанията Kristall в Москва е възможно предварително да се фиксират всички възможни състояния на протозои. ООП, които са включени в целия цикъл на търговски услуги от момента на сключване на споразумение за доставка на алкохолни напитки, плащане за него, документи, освобождаване и получаване на продукти, допълнително натоварване и изваждане от склада на готови продукти.
От многото разновидности на случайни процеси най-разпространени в търговската дейност са тези процеси, при които във всеки един момент характеристиките на процеса в бъдещето зависят само от състоянието му в момента и не зависят от предисторията - от миналото . Например възможността за получаване на алкохолни напитки от завода Kristall зависи от наличността му в склада за готов продукт, т.е. състоянието му в момента и не зависи от това кога и как други купувачи са получили и изнесли тези продукти в миналото.
Такива случайни процеси се наричат процеси без последствия или процеси на Марков, при които при фиксирано настояще бъдещото състояние на QS не зависи от миналото. Случаен процес, изпълняващ се в система, се нарича случаен процес на Марков или „процес без последствия“, ако има следното свойство: за всеки момент t 0, вероятността за всяко състояние t > t 0 на системата S i, - в бъдеще (t>t Q ) зависи само от състоянието си в настоящето (при t = t 0) и не зависи от това кога и как системата е стигнала до това състояние, т.е. поради това как се е развил процесът в миналото.
Марковските стохастични процеси се разделят на два класа: процеси с дискретни и непрекъснати състояния. Процес с дискретни състояния възниква в системи, които имат само някои фиксирани състояния, между които са възможни скокови преходи в някои неизвестни предварително моменти от време. Помислете за пример за процес с дискретни състояния. В офиса на фирмата има два телефона. За тази услуга са възможни следните състояния: S o - телефоните са безплатни; S l - един от телефоните е зает; S 2 - двата телефона са заети.
Процесът, протичащ в тази система, е, че системата произволно скача от едно дискретно състояние в друго.
Процесите с непрекъснати състояния се характеризират с непрекъснат плавен преход от едно състояние в друго. Тези процеси са по-характерни за техническите устройства, отколкото за икономическите обекти, където обикновено само приблизително може да се говори за непрекъснатост на процеса (например непрекъснато потребление на запас от стоки), докато всъщност процесът винаги има дискретен характер . Затова по-долу ще разгледаме само процеси с дискретни състояния.
Марковските случайни процеси с дискретни състояния от своя страна се подразделят на процеси с дискретно време и процеси с непрекъснато време. В първия случай преходите от едно състояние в друго се случват само в определени, предварително фиксирани моменти от време, докато в интервалите между тези моменти системата запазва своето състояние. Във втория случай преходът на системата от състояние в състояние може да се случи във всеки произволен момент.
На практика процесите с непрекъснато време са много по-често срещани, тъй като преходите на системата от едно състояние в друго обикновено се случват не в определено време, а във всяко произволно време.
За описание на процеси с непрекъснато време се използва модел под формата на така наречената верига на Марков с дискретни състояния на системата или непрекъсната верига на Марков.
Глава II . Уравнения, описващи системи за масово обслужване
2.1 Уравнения на Колмогоров
Да разгледаме математическо описание на марковски случаен процес с дискретни състояния на системата S o , S l , S 2 (виж Фиг. 6.2.1) и непрекъснато време. Смятаме, че всички преходи на системата за масово обслужване от състояние S i към състояние Sj се случват под въздействието на най-простите потоци от събития с интензитет λ ij , а обратният преход под въздействието на друг поток λ ij ,. Въвеждаме обозначението p i като вероятността в момент t системата да е в състояние S i . За всеки момент от време t е справедливо да се запише условието за нормализиране - сумата от вероятностите на всички състояния е равна на 1:
Σp i (t)=p 0 (t)+ p 1 (t)+ p 2 (t)=1
Нека анализираме системата в момент t, като зададем малко времево увеличение Δt и намерим вероятността p 1 (t + Δt), че системата в момент (t + Δt) ще бъде в състояние S 1, което се постига чрез различни опции :
а) системата в момента t с вероятност p 1 (t) е била в състояние S 1 и за малко времево приращение Δt никога не е преминавала в друго съседно състояние - нито в S 0, нито в bS 2 . Системата може да бъде изведена от състояние S 1 чрез общ прост поток с интензитет (λ 10 + λ 12), тъй като суперпозицията на най-простите потоци е и най-простият поток. На тази основа вероятността за излизане от състоянието S 1 за кратък период от време Δt е приблизително равна на (λ 10 +λ 12)* Δt. Тогава вероятността да не излезете от това състояние е равна на , Съответно вероятността системата да остане в състояние Si, въз основа на теоремата за умножение на вероятностите, е равна на:
p 1 (t);
б) системата е била в съседно състояние S o и за кратко време Δt премина в състояние S o Преходът на системата се извършва под въздействието на потока λ 01 с вероятност, приблизително равна на λ 01 Δt
Вероятността системата да бъде в състояние S 1 в този случай е равна на p o (t)λ 01 Δt;
в) системата е била в състояние S 2 и за времето Δt е преминала в състояние S 1 под въздействието на поток с интензитет λ 21 с вероятност приблизително равна на λ 21 Δt. Вероятността системата да бъде в състояние S 1 е равна на p 2 (t) λ 21 Δt.
Прилагайки теоремата за добавяне на вероятностите за тези опции, получаваме израза:
p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,
което може да се напише по различен начин:
p 2 (t + Δt) -p 1 (t) / Δt \u003d p o (t) λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12) .
Преминавайки към границата при Δt-> 0, приближените равенства се превръщат в точни и тогава получаваме производната от първи ред
dp 2 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12),
което е диференциално уравнение.
Провеждайки разсъжденията по подобен начин за всички останали състояния на системата, получаваме системата диференциални уравнения, които се наричат А.Н. Колмогоров:
dp 0 /dt= p 1 λ 10 ,
dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,
dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21 .
Има общи правила за съставяне на уравненията на Колмогоров.
Уравненията на Колмогоров позволяват да се изчислят всички вероятности на QS състояния S i като функция от времето p i (t). В теорията на случайните процеси се показва, че ако броят на състоянията на системата е краен и от всяко от тях е възможно да се премине към всяко друго състояние, тогава има ограничаващи (крайни) вероятности на състояния, които показват средна относителна стойност на времето, което системата прекарва в това състояние. Ако пределната вероятност на състоянието S 0 е равна на p 0 = 0,2, тогава, следователно, средно 20% от времето, или 1/5 от работното време, системата е в състояние S o . Например, при липса на заявки за обслужване k = 0, p 0 = 0,2,; следователно, средно 2 часа на ден, системата е в състояние S o и е неактивна, ако работният ден е 10 часа.
Тъй като граничните вероятности на системата са постоянни, замествайки съответните производни в уравненията на Колмогоров с нулеви стойности, получаваме система от линейни алгебрични уравненияописващ стационарния режим на QS. Такава система от уравнения се съставя според обозначената графика на състоянията на QS според следните правила: отляво на знака за равенство в уравнението е ограничаващата вероятност p i на разглежданото състояние Si, умножена по общия интензитет на всички потоци, които извеждат (изходящи стрелки) на излъченото състояние S i към системата, и вдясно от знакът за равенство е сумата от произведенията на интензитета на всички потоци, влизащи (входящи стрелки) в състоянието на системата, върху вероятността на тези състояния, от които произхождат тези потоци. За да се реши такава система, е необходимо да се добави още едно уравнение, което определя условието за нормализиране, тъй като сумата от вероятностите на всички QS състояния е 1: n
Например, за QS, който има обозначена графика на три състояния S o, S 1, S 2, фиг. 6.2.1, системата от уравнения на Колмогоров, съставена въз основа на посоченото правило, има следната форма:
За състоянието S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10
За състоянието S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21
За състоянието S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12
p0 +p1 +p2 =1
dp 4 (t) / dt \u003d λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t),
p 1 (t)+ p 2 (t)+ p 3 (t)+ p 4 (t)=1 .
Към тези уравнения трябва да добавим още начални условия. Например, ако при t = 0 системата S е в състояние S 1, тогава началните условия могат да бъдат записани, както следва:
p 1 (0)=1, p 2 (0)= p 3 (0)= p 4 (0)=0 .
Преходите между състоянията на QS стават под влияние на получаването на заявления и тяхното обслужване. Вероятността за преход в случая, когато потокът от събития е най-прост, се определя от вероятността за настъпване на събитие през времето Δt, т.е. стойността на елемента на вероятността за преход λ ij Δt, където λ ij е интензивността на потока от събития, които прехвърлят системата от състояние i в състояние i (по протежение на съответната стрелка на графиката на състоянието).
Ако всички потоци от събития, които прехвърлят системата от едно състояние в друго, са най-прости, тогава процесът, протичащ в системата, ще бъде марковски случаен процес, т.е. процес без последствия. В този случай поведението на системата е доста просто, определя се дали е известна интензивността на всички тези прости потоци от събития. Например, ако в системата се появи стохастичен процес на Марков с непрекъснато време, след като напишем системата от уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието и интегрирайки тази система при дадени начални условия, получаваме всички вероятности на състоянието като функция на времето:
p i (t), p 2 (t),…., p n (t) .
В много случаи на практика се оказва, че вероятностите за състояния като функция на времето се държат по такъв начин, че има
lim p i (t) = p i (i=1,2,…,n) ; t→∞
независимо от вида на началните условия. В този случай те казват, че има гранични вероятности за състояния на системата при t->∞ и в системата се установява някакъв граничен стационарен режим. В този случай системата произволно променя своите състояния, но всяко от тези състояния се осъществява с определена постоянна вероятност, определена от средното време, което системата прекарва във всяко от състоянията.
Възможно е да се изчислят граничните вероятности на състоянието p i, ако всички производни в системата са равни на 0, тъй като в уравненията на Колмогоров при t-> ∞ зависимостта от времето изчезва. Тогава системата от диференциални уравнения се превръща в система от обикновени линейни алгебрични уравнения, което заедно с условието за нормализиране позволява да се изчислят всички гранични вероятности на състоянията.
2.2 Процесите на "раждане - смърт"
Сред хомогенните марковски процеси има клас случайни процеси, които се използват широко в конструкцията математически моделив областта на демографията, биологията, медицината (епидемиология), икономиката, търговските дейности. Това са така наречените процеси „раждане-смърт“, процеси на Марков със стохастични графики на състоянието със следната форма:
| S3 |
| kjlS n |
μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1
Ориз. 2.1 Етикетирана графика на процеса раждане-смърт
Тази графика възпроизвежда добре позната биологична интерпретация: стойността λ k отразява интензивността на раждането на нов представител на определена популация, например зайци, а текущият размер на популацията е k; стойността на μ е интензивността на смъртта (продажбата) на един представител на тази популация, ако текущият обем на популацията е равен на k. По-специално, населението може да бъде неограничено (броят n на състоянията на процеса на Марков е безкраен, но изброим), интензитетът λ може да бъде равен на нула (популация без възможност за прераждане), например, когато възпроизвеждането на зайци спира.
За марковския процес на "раждане - смърт", описан от стохастичната графика, показана на фиг. 2.1, намираме крайното разпределение. Използвайки правилата за съставяне на уравнения за краен брой n от граничните вероятности на състоянието на системата S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, S n , ние съставяме съответните уравнения за всяко състояние:
за състоянието S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1 ;
за състоянието S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2 , което, като се вземе предвид предишното уравнение за състоянието S 0, може да се преобразува във формата λ 1 p 1 = μ 1 p 2 .
По подобен начин могат да се съставят уравнения за останалите състояния на системата S 2 , S 3 ,…, S k ,…, S n . В резултат на това получаваме следната система от уравнения:
Чрез решаването на тази система от уравнения могат да се получат изрази, които определят крайните състояния на системата за масово обслужване:
Трябва да се отбележи, че формулите за определяне на крайните вероятности на състоянията p 1 , p 2 , p 3 ,…, p n включват членове, които са интегрална частсумата от израза, който определя p 0 . Числителите на тези членове съдържат продуктите на всички интензитети при стрелките на графиката на състоянието, водещи отляво надясно към разглежданото състояние S k, а знаменателите са продуктите на всички интензитети, стоящи при стрелките, водещи отдясно наляво към разглеждано състояние S k , т.е. μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 ,… μ k . В тази връзка записваме тези модели в по-компактна форма:
k=1,n
2.3 Икономико-математическа формулировка на задачи за масово обслужване
Правилната или най-успешната икономико-математическа формулировка на проблема до голяма степен определя полезността на препоръките за подобряване на системите за масово обслужване в търговските дейности.
В тази връзка е необходимо внимателно да се следи процесът в системата, да се търсят и идентифицират значими връзки, да се формулира проблем, да се подчертае цел, да се определят индикатори и да се подчертае икономически критерииоценка на работата на QS. В този случай най-общият интегрален показател може да бъде разходите, от една страна, за QS на търговската дейност като система за обслужване, а от друга страна, разходите за приложения, които могат да имат различно физическо естество.
К. Маркс в крайна сметка разглежда повишаването на ефективността във всяка област на дейност като спестяване на време и вижда това като един от най-важните икономически закони. Той пише, че икономията на времето, както и планираното разпределение на работното време между различните отрасли на производството, остава първият икономически закон, основан на колективното производство. Този закон се проявява във всички сфери на обществената дейност.
За стоките, включително паричните потоци в търговската сфера, критерият за ефективност е свързан с времето и скоростта на обръщение на стоките и определя интензивността на паричния поток към банката. Времето и скоростта на обращение, като икономически показатели за търговската дейност, характеризират ефективността на използването на средствата, инвестирани в инвентара. Обръщаемостта на материалните запаси отразява средната степен на реализация на средните запаси. Индикаторите за оборота на стоките и нивата на запасите са тясно свързани с известни модели. По този начин е възможно да се проследи и установи връзката на тези и други показатели на търговската дейност с времеви характеристики.
Следователно ефективността на търговско предприятие или организация е сумата от времето, изразходвано за извършване на отделни операции по обслужване, докато в същото време за населението разходите за време включват времето за пътуване, посещение на магазин, столова, кафене, ресторант, чакане за стартиране на обслужване, запознаване с менюто, избор на продукти, калкулация и др. Проведените изследвания на структурата на прекараното време от населението показват, че значителна част от него се изразходва нерационално. забележи това търговска дейноств крайна сметка насочени към задоволяване на човешките нужди. Следователно усилията за моделиране на QS трябва да включват анализ на времето за всяка елементарна услуга. С помощта на подходящи методи трябва да се създадат модели на връзката на QS показателите. Това налага най-разпространените и познати икономически показатели, като оборот, печалба, разходи за дистрибуция, рентабилност и други, да се обвържат в икономико-математически модели с допълнително възникваща група показатели, обусловени от спецификата на обслужващите системи и въведени от спецификата на самата теория на масовото обслужване.
Например, характеристиките на QS индикаторите с неизправности са: времето за изчакване на приложенията в опашката T pt = 0, тъй като по своята същност в такива системи съществуването на опашка е невъзможно, тогава L pt = 0 и следователно вероятност за образуването му P pt = 0. Според броя на заявките k се определя режимът на работа на системата, нейното състояние: при k=0 - свободни канали, при 1
За QS с неограничено чакане е характерно, че вероятността за обслужване на заявка P obs = 1, тъй като дължината на опашката и времето за изчакване за начало на услугата не са ограничени, т.е. формално L och →∞ и T och →∞. В системите са възможни следните режими на работа: при k=0 има прост обслужващ канал, при 1
При QS с изчакване с ограничение на дължината на опашката, ако броят на заявките в системата е k=0, тогава има свободен канал, с 1
По този начин списъкът от характеристики на системите за масово обслужване може да бъде представен по следния начин: средно време за обслужване - t obs; средно време на чакане на опашката - T och; среден престой в SMO - T smo; средната дължина на опашката - L och; среден брой заявления в ООП - L ООП; брой обслужващи канали - n; интензитетът на входящия поток заявления - λ; интензивност на обслужване - μ; интензивност на натоварването - ρ; коефициент на натоварване - α; относителна производителност - Q; абсолютна пропускателна способност - А; дял на времето на престой в QS - Р 0 ; дял на обслужваните приложения - R obs; делът на загубените заявки - P otk, средният брой на заетите канали - n s; среден брой безплатни канали - n St; коефициент на натоварване на канала - K z; средно време на празен ход на каналите - t пр.
Трябва да се отбележи, че понякога е достатъчно да се използват до десет ключови индикатора, за да се идентифицират слабостите и да се разработят препоръки за подобряване на QS.
Това често се свързва с решаването на въпроси на координирана работна верига или набори от QS.
Например в търговската дейност е необходимо да се вземат предвид и икономическите показатели на QS: общи разходи - C; разходи за обращение - С io, разходи за потребление - С ip, разходи за обслужване на едно приложение - С 1, загуби, свързани с напускането на приложение - С у1, оперативни разходи на канала - С c, разходи за престой на канала - С pr, капиталови инвестиции - C cap, намалени годишни разходи - C pr, текущи разходи - C tech, приход от QS за единица време - D 1
В процеса на определяне на целите е необходимо да се разкрият взаимовръзките на показателите на QS, които според основната си принадлежност могат да бъдат разделени на две групи: първата е свързана с разходите за обработка на C IO, които се определят от брой канали, заети от поддръжка на канали, разходи за поддръжка на QS, интензивност на обслужване, степен на натоварване на каналите, тяхната ефективност.използване, пропускателна способност на QS и др.; втората група показатели се определя от разходите за действителните заявки C un, влизащи в услугата, които формират входящия поток, усещат ефективността на услугата и са свързани с такива показатели като дължина на опашката, време за изчакване на услугата, вероятност на отказ от услуга, времето, през което приложението престоява в QS и др.
Тези групи индикатори са противоречиви в смисъл, че подобряването на ефективността на една група, например намаляване на дължината на опашката или времето за чакане на опашка чрез увеличаване на броя на каналите за обслужване (сервитьори, готвачи, товарачи, касиери), е свързано с влошаване на работата на групата, тъй като това може да доведе до увеличаване на времето за престой на каналите за обслужване, разходите за поддръжката им и др. В тази връзка е съвсем естествено да се формализират обслужващите задачи за изграждане на QS по такъв начин, че да се установи разумен компромис между показателите на действителните заявки и пълнотата на използване на възможностите на системата. За тази цел е необходимо да се избере обобщен, интегрален показател за ефективността на QS, който едновременно да включва претенциите и възможностите на двете групи. Като такъв индикатор може да бъде избран критерий за икономическа ефективност, включващ както разходите за обращение C io, така и разходите за приложения C ip, които ще имат оптимална стойност с минимални общи разходи C. На тази основа целта функцията на проблема може да бъде написана по следния начин:
С= (С io + С ip) →мин
Тъй като разходите за обращение включват разходите, свързани с работата на QS - C ex и времето на престой на обслужващите канали - C pr, а разходите за заявки включват загуби, свързани с напускането на необслужени заявки - C n, и с оставането в опашката - C pt, тогава целевата функция може да бъде пренаписана, като се вземат предвид тези показатели по следния начин:
C \u003d ((C pr n sv + C ex n h) + C och R obs λ (T och + t obs) + C от R otk λ) → мин.
В зависимост от задачата променливите, т.е. управляемите, индикатори могат да бъдат: броя на каналите за обслужване, организацията на каналите за обслужване (паралелно, последователно, смесено), дисциплина на опашката, приоритет при обслужване на приложения, взаимопомощ между каналите и т.н. Някои от индикаторите в задачата се показват като неуправляеми, което обикновено са изходните данни. Като критерий за ефективност в целевата функция може да има и оборот, печалба или доход, например рентабилност, тогава оптималните стойности на управляваните QS показатели очевидно вече са максимизирани, както в предишната версия.
В някои случаи трябва да използвате друга опция за писане на целевата функция:
C \u003d (C ex n s + C pr (n-n s) + C otk * P otk *λ + C syst * n s ) → min
Като общ критерий може да се избере например нивото на културата на обслужване на клиентите в предприятията, тогава целевата функция може да бъде представена чрез следния модел:
K около \u003d [(Z pu * K y) + (Z pv * K c) + (Z pd * K d) + (Z pz * K z) + (Z от * K 0) + (Z kt * K ct )]*K mp,
където Z pu - значимостта на показателя за устойчивост на асортимента от стоки;
K y - коефициент на стабилност на асортимента от стоки;
Z pv - значимостта на показателя за въвеждане на прогресивни методи за продажба на стоки;
K in - коефициентът на въвеждане на прогресивни методи за продажба на стоки;
Зпд - значимостта на показателя допълнителна услуга;
K d - коефициент на допълнително обслужване;
Z pz - значимостта на показателя за изпълнение на покупката;
K s - коефициентът на завършеност на покупката;
3 на - значението на показателя за времето, прекарано в чакане в услуга;
До около - индикатор за времето, прекарано в чакане за обслужване;
З kt - значимостта на показателя за качеството на работата на екипа;
K kt - коефициентът на качеството на работата на екипа;
K mp - показател за културата на обслужване според мнението на клиентите;
За анализа на QS можете да изберете други критерии за оценка на ефективността на QS. Например, като такъв критерий за системи с повреди, можете да изберете вероятността от повреда Р ref, чиято стойност няма да надвишава предварително определена стойност. Например изискването P otk<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.
След конструирането на целевата функция е необходимо да се определят условията за решаване на проблема, да се намерят ограничения, да се зададат първоначалните стойности на индикаторите, да се маркират неуправляеми индикатори, да се изгради или изберете набор от модели на връзката на всички индикатори за анализирания тип QS, за да се намерят в крайна сметка оптималните стойности на контролираните показатели, например броят на готвачите, сервитьорите, касиерите, товарачите, обемите на складовите помещения и др.
Глава III . Модели на системи за масово обслужване
3.1 Едноканален QS с отказ на обслужване
Нека анализираме прост едноканален QS с откази на услуга, който получава поток на Поасон от заявки с интензитет λ, а обслужването се извършва под действието на поток на Поасон с интензитет μ.
Работата на едноканален QS n=1 може да бъде представена като обозначена графика на състоянието (3.1).
Преходите на QS от едно състояние S 0 към друго S 1 възникват под действието на входен поток от заявки с интензитет λ, а обратният преход се осъществява под действието на обслужващ поток с интензитет μ.
| S0 |
| S1 |
S 0 – обслужващият канал е свободен; S 1 – каналът е зает с обслужване;
Ориз. 3.1 Означена графика на състоянието на едноканален QS
Нека напишем системата от диференциални уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието съгласно горните правила:
Откъде получаваме диференциалното уравнение за определяне на вероятността p 0 (t) на състоянието S 0:
Това уравнение може да се реши при начални условия при допускането, че системата в момента t=0 е била в състояние S 0 , след това р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.
В този случай решението на диференциалното уравнение ви позволява да определите вероятността каналът да е свободен и да не е зает с услуга:
Тогава не е трудно да се получи израз за вероятността да се определи вероятността каналът да е зает:
Вероятността p 0 (t) намалява с времето и в границата, когато t→∞ клони към стойността
и вероятността p 1 (t) в същото време нараства от 0, клонейки в границата като t→∞ до стойността
Тези вероятностни граници могат да бъдат получени директно от уравненията на Колмогоров при условието
Функциите p 0 (t) и p 1 (t) определят преходния процес в едноканална QS и описват процеса на експоненциално приближаване на QS до нейното гранично състояние с времева константа, характерна за разглежданата система.
С достатъчна за практиката точност можем да приемем, че преходният процес в QS завършва за време равно на 3τ.
Вероятността p 0 (t) определя относителната производителност на QS, която определя съотношението на обслужените заявки по отношение на общия брой входящи заявки за единица време.
Действително, p 0 (t) е вероятността заявката, пристигнала в момент t, да бъде приета за обслужване. Общо за единица време идват λ заявки, като от тях се обслужват λр 0 заявки.
Тогава делът на обслужените заявки по отношение на целия поток от заявки се определя от стойността
В границата при t→∞, почти вече при t>3τ, стойността на относителния капацитет ще бъде равна на
Абсолютната пропускателна способност, която определя броя на заявките, обслужени за единица време в лимита при t→∞, е равна на:
Съответно делът на заявления, които са били отхвърлени, е при същите ограничителни условия:
и общият брой необслужени заявки е равен на
Примери за едноканални QS с отказ на обслужване са: гишето за поръчки в магазина, контролната зала на транспортна компания, складовият офис, офисът на управлението на търговско дружество, с които комуникацията се осъществява по телефона.
3.2 Многоканален QS с отказ на услуга
В търговските дейности примери за многоканални CMO са офиси на търговски предприятия с няколко телефонни канала, безплатна справочна услуга за наличността на най-евтините автомобили в автомагазините в Москва има 7 телефонни номера и, както знаете, е много трудно да се премине и да се получи помощ.
Следователно автомагазините губят клиенти, възможността да увеличат броя на продадените автомобили и приходите от продажби, оборота, печалбата.
Туристическите туристически компании имат два, три, четири или повече канала, като например Express-Line.
Помислете за многоканален QS с откази на услуга на фиг. 3.2, който получава Поасонов поток от заявки с интензитет λ.
| S0 |
| S1 |
| ск |
| S n |
μ 2μkμ (k+1)μ nμ
Ориз. 3.2. Етикетирана графика на състоянието на многоканален QS с откази
Сервизният поток във всеки канал има интензитет μ. Според броя на приложенията на QS се определят неговите състояния S k, представени като обозначена графика:
S 0 – всички канали са свободни k=0,
S 1 – зает е само един канал, k=1,
S 2 - заети са само два канала, k=2,
S k – k каналите са заети,
S n – всичките n канала са заети, k= n.
Състоянията на многоканален QS се променят рязко в произволни моменти. Преходът от едно състояние, например S 0 към S 1, се осъществява под въздействието на входния поток от заявки с интензитет λ и обратно - под влияние на потока от обслужващи заявки с интензитет μ. За прехода на системата от състояние S k към S k -1 няма значение кой от каналите да бъде освободен, следователно потокът от събития, който прехвърля QS, има интензитет kμ, следователно потокът от събития който прехвърля системата от S n към S n -1 има интензитет nμ . Така е формулиран класическият проблем Ерланг, кръстен на датския инженер и математик, основател на теорията за масовото обслужване.
Случаен процес, възникващ в QS, е частен случай на процеса „раждане-смърт“ и се описва от система от диференциални уравнения на Erlang, които позволяват да се получат изрази за граничните вероятности на състоянието на разглежданата система, наречени формулите на Erlang:
.
След като изчислим всички вероятности от състояния на n-каналната QS с откази р 0 , р 1 , р 2 , …,р k ,…, р n , можем да намерим характеристиките на обслужващата система.
Вероятността за отказ на услуга се определя от вероятността, че входяща заявка за услуга ще намери всички n канала заети, системата ще бъде в състояние S n:
k=n.
В системи с повреди, събитията от повреда и поддръжка представляват пълна група от събития, т.е
R otk + R obs \u003d 1
На тази база относителната производителност се определя по формулата
Q \u003d P obs \u003d 1-R otk \u003d 1-R n
Абсолютната производителност на QS може да се определи по формулата
Вероятността за обслужване или съотношението на обслужените заявки определя относителната пропускателна способност на QS, която може да се определи и по друга формула:
От този израз можете да определите средния брой обслужвани приложения или, което е същото, средния брой канали, заети от обслужване
Степента на заетост на канала се определя от отношението на средния брой заети канали към общия им брой
Вероятността каналите да са заети с услугата, която взема предвид средното време на заетост t busy и времето на престой t pr канали, се определя, както следва:
От този израз можете да определите средното време на празен ход на каналите
Средното време на престой на приложението в системата в стационарно състояние се определя по формулата на Little
T cmo \u003d n c / λ.
3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване
В реалния живот системата за туристически услуги изглежда много по-сложна, така че е необходимо да се детайлизира изложението на проблема, като се вземат предвид исканията и изискванията както на клиентите, така и на туристическите агенции.
За да се повиши ефективността на туристическата агенция, е необходимо да се моделира поведението на потенциалния клиент като цяло от началото на операцията до нейното завършване. Структурата на взаимното свързване на основните системи за масово обслужване всъщност се състои от QS от различни типове (фиг. 3.3).
Търсене Избор Избор Решение
|
референт |
Плащане Flight Exodus
Ориз. 3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване
Проблемът от позицията на масовото обслужване на туристите, отиващи на почивка, е да се определи точното място за почивка (обиколка), адекватно на изискванията на кандидата, съответстващо на неговите здравословни и финансови възможности и представи за почивка като цяло. В това той може да бъде подпомогнат от туристически агенции, търсенето на които обикновено се извършва от рекламни съобщения на CMO r, след това след избор на компания се получават консултации по телефона CMO t, след задоволителен разговор, пристигане в туристическата агенция и получаване на по-подробни консултации лично с референта, след това плащане на обиколката и получаване на услуги от авиокомпанията за полета CMO a и в крайна сметка услугата в хотела CMO 0 . По-нататъшното развитие на препоръките за подобряване на работата на QS на компанията е свързано с промяна в професионалното съдържание на преговорите с клиенти по телефона. За целта е необходимо да се задълбочи анализът, свързан с детайлизирането на диалога на референта с клиентите, тъй като не всеки телефонен разговор води до сключване на договор за закупуване на ваучер. Формализирането на задачата за поддръжка показа необходимостта от формиране на пълен (необходим и достатъчен) списък от характеристики и техните точни стойности на предмета на търговска сделка. След това тези характеристики се класират, например, по метода на сравненията по двойки и се подреждат в диалог според степента на тяхната значимост, например: сезон (зима), месец (януари), климат (сух), температура на въздуха (+ 25 "C), влажност (40%), географско местоположение (по-близо до екватора), време за полет (до 5 часа), трансфер, държава (Египет), град (Хургада), море (червено), температура на морската вода ( +23°C), ранг на хотела (4 звезди, работещ климатик, гаранция за шампоан в стаята), разстояние от морето (до 300 м), разстояние от магазини (в близост), разстояние от дискотеки и други източници на шум ( далеч, тишина по време на сън в хотела), храна (шведска маса - закуска, вечеря, честота на промени в менюто на седмица), хотели (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), екскурзии (Кайро, Луксор, коралови острови, гмуркане гмуркане), развлекателни програми, спортни игри, цена на турнето, начин на плащане, съдържание на застраховка, какво да вземете със себе си, какво да закупите на място, гаранции, неустойки.
Има още един много важен показател, който е полезен за клиента, който се предлага да бъде установен независимо от разяждащия четец. След това, използвайки метода за сравняване по двойки на изброените характеристики x i , можете да формирате матрица за сравнение n x p, чиито елементи се попълват последователно в редове съгласно следното правило:
0 ако характеристиката е по-малко значима,
и ij = 1, ако характеристиката е еквивалентна,
2, ако характеристиката доминира.
След това на въз основа на които е възможно да се избере туристическа агенция, тур или хотел, според формулата
F = ∑ M i * x i -» макс.
За да се елиминират възможни грешки в тази процедура, например се въвежда 5-степенна скала за оценка с градация на характеристиките B i (x i) според принципа по-лошо (B i = 1 точка) - по-добро (B i = 5 точки). Например, колкото по-скъпо е турнето, толкова по-лошо, колкото по-евтино е, толкова по-добре. Въз основа на това целевата функция ще има различна форма:
F b = ∑ M i * B i * x i -> макс.
По този начин, въз основа на прилагането на математически методи и модели, използвайки предимствата на формализирането, е възможно да се формулира постановката на проблема по-точно и по-обективно и значително да се подобри работата на QS в търговските дейности за постигане на целите.
3.4 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката
В търговските дейности QS с чакане (опашка) са по-често срещани.
Да разгледаме проста едноканална QS с ограничена опашка, в която броят на местата в опашката m е фиксирана стойност. Следователно, заявление, което пристига в момента, когато всички места в опашката са заети, не се приема за обслужване, не влиза в опашката и напуска системата.
Графиката на този QS е показана на фиг. 3.4 и съвпада с графиката на фиг. 2.1 описващ процеса "раждане-смърт", с тази разлика, че при наличие само на един канал.
|
|
|
|
|
μ μμμ... μ
Ориз. 3.4. Означената графика на процеса на "раждане - смърт" на услугата, всички интензитети на потоците на услугата са равни
QS състоянията могат да бъдат представени, както следва:
S 0 - каналът за обслужване е безплатен,
S, - обслужващият канал е зает, но няма опашка,
S 2 - каналът на услугата е зает, има една заявка в опашката,
S 3 - каналът на услугата е зает, има две заявки в опашката,
S m +1 - каналът на услугата е зает, всичките m места в опашката са заети, всяка следваща заявка се отхвърля.
За да се опише случайният процес на QS, може да се използват посочените по-горе правила и формули. Нека напишем изразите, определящи граничните вероятности на състоянията:
p 1 = ρ * ρ o
p 2 \u003d ρ 2 * ρ 0
p k =ρ k * ρ 0
P m+1 = p m=1 * ρ 0
p0 = -1
Изразът за p 0 може да бъде написан в този случай по-просто, като се използва фактът, че знаменателят е геометрична прогресия по отношение на p, тогава след подходящите трансформации получаваме:
ρ= (1- ρ )
Тази формула е валидна за всички p, различни от 1, но ако p = 1, тогава p 0 = 1/(m + 2) и всички други вероятности също са равни на 1/(m + 2). Ако приемем m = 0, тогава преминаваме от разглеждане на едноканална QS с изчакване към вече разгледаната едноканална QS с откази на обслужване. Действително, изразът за пределната вероятност p 0 в случай m = 0 има формата:
p o \u003d μ / (λ + μ)
А в случай на λ = μ то има стойност p 0 = 1/2.
Нека дефинираме основните характеристики на едноканален QS с чакане: относителна и абсолютна пропускателна способност, вероятност за неуспех, както и средната дължина на опашката и средното време на изчакване за приложение в опашката.
Заявката се отхвърля, ако пристигне в момента, когато QS вече е в състояние S m +1 и следователно всички места в опашката са заети и един канал обслужва.Следователно вероятността за неуспех се определя от вероятността за появата
Състояния S m +1:
P отворен \u003d p m +1 \u003d ρ m +1 * p 0
Относителната пропускателна способност или делът на обслужените заявки, пристигащи за единица време, се определя от израза
Q \u003d 1- p otk \u003d 1- ρ m+1 * p 0
абсолютната честотна лента е:
Средният брой приложения L och на опашка за услуга се определя от математическото очакване на случайна променлива k - броят на приложенията на опашка
случайната променлива k приема само следните цели числа:
1 - има едно приложение в опашката,
2 - има две приложения в опашката,
t-всички места в опашката са заети
Вероятностите на тези стойности се определят от съответните вероятности на състоянието, като се започне от състоянието S 2 . Законът за разпределение на дискретна случайна променлива k е изобразен по следния начин:
| к | 1 | 2 | м |
| пи | p2 | стр. 3 | p m+1 |
Математическото очакване на тази случайна променлива е:
L pt = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1
В общия случай, за p ≠ 1, тази сума може да се трансформира с помощта на модели на геометрична прогресия в по-удобна форма:
L och \u003d p 2 * 1- p m * (m-m*p+1)*p0
В специалния случай при p = 1, когато всички вероятности p k се окажат равни, можете да използвате израза за сумата от членовете на числовата серия
1+2+3+ m = м ( м +1)
Тогава получаваме формулата
L’ och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).
Прилагайки подобни разсъждения и трансформации, може да се покаже, че средното време на изчакване за обслужване на заявка и опашка се определя от формулите на Литъл
T och \u003d L och / A (при p ≠ 1) и T 1 och \u003d L ’och / A (при p \u003d 1).
Такъв резултат, когато се окаже, че T och ~ 1/ λ, може да изглежда странно: с увеличаване на интензивността на потока от заявки изглежда, че дължината на опашката трябва да се увеличи и средното време на изчакване трябва да намалее. Все пак трябва да се има предвид, че, първо, стойността на L och е функция на λ и μ и, второ, разглежданият QS има ограничена дължина на опашката от не повече от m приложения.
Заявка, която пристига в QS в момент, когато всички канали са заети, се отхвърля и следователно времето на „изчакване“ в QS е нула. Това води в общия случай (за p ≠ 1) до намаляване на Т och с увеличаване на λ, тъй като делът на такива приложения нараства с увеличаване на λ.
Ако се откажем от ограничението за дължината на опашката, т.е. клонят към m-> →∞, тогава случаите p< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
p k = p k * (1 - p)
За достатъчно голямо k, вероятността p k клони към нула. Следователно относителната производителност ще бъде Q = 1, а абсолютната производителност ще бъде равна на A -λ Q - λ, следователно всички входящи заявки се обслужват и средната дължина на опашката ще бъде равна на:
L och = стр 2 1-стр
и средното време на изчакване по формулата на Литъл
T och \u003d L och / A
В границата p<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.
Като една от характеристиките на QS се използва средното време Tsmo за престой на приложение в QS, включително средното време, прекарано в опашката и средното време за обслужване. Тази стойност се изчислява по формулите на Little: ако дължината на опашката е ограничена, средният брой приложения в опашката е равен на:
Lcm= м +1 ;2
T cmo= Л smo;за p ≠ 1
Тогава средното време на престой на заявката в системата за опашка (както на опашка, така и в услуга) е равно на:
T cmo= м +1 за p ≠1 2μ
3.5 Едноканален QS с неограничена опашка
В търговските дейности, например, търговският директор е едноканален QS с неограничено чакане, тъй като той, като правило, е принуден да обслужва приложения от различен характер: документи, телефонни разговори, срещи и разговори с подчинени, представители на данъчната инспекция, полицията, стоковите експерти, маркетолозите, доставчиците на продукти и решават проблеми в стоковата и финансовата сфера с висока степен на финансова отговорност, която е свързана със задължителното изпълнение на заявки, които понякога нетърпеливо очакват изпълнението на своите изисквания, и грешките при неправилно обслужване обикновено са много осезаеми икономически.
В същото време стоките, внесени за продажба (услуга), докато са в склада, образуват опашка за услуга (продажба).
Дължината на опашката е броят артикули за продажба. В тази ситуация продавачите действат като канали, обслужващи стоки. Ако количеството стоки, предназначени за продажба, е голямо, тогава в този случай имаме работа с типичен случай на QS с очакване.
Нека разгледаме най-простата едноканална QS с чакаща услуга, която получава Поасонов поток от заявки с интензитет λ и интензитет на услугата µ.
Освен това заявката, получена в момента, когато каналът е зает с обслужване, е на опашка и чака обслужване.
Означената графика на състоянието на такава система е показана на фиг. 3.5
Броят на възможните му състояния е безкраен:
Каналът е безплатен, няма опашка, ;
Каналът е зает с обслужване, няма опашка, ;
Каналът е зает, една заявка в опашката, ;
Каналът е зает, приложението е в опашката.
Модели за оценка на вероятността от състояния на QS с неограничена опашка могат да бъдат получени от формули, изолирани за QS с неограничена опашка чрез преминаване към границата като m→∞:
Ориз. 3.5 Графика на състоянията на едноканален QS с неограничена опашка.
Трябва да се отбележи, че за QS с ограничена дължина на опашката във формулата
има геометрична прогресия с първия член 1 и знаменателя. Такава последователност е сумата от безкраен брой членове при . Тази сума се сближава, ако прогресията, безкрайно намаляваща при , която определя работата в стационарно състояние на QS, с при , опашката при може да нарасне до безкрайност с течение на времето.
Тъй като няма ограничение за дължината на опашката в разглеждания QS, всяка заявка може да бъде обслужена, следователно, съответно относителната пропускателна способност и абсолютната пропускателна способност
Вероятността да бъдете в опашката за k приложения е равна на:
;
Средният брой приложения в опашката -
Средният брой приложения в системата -
;
Средно време на престой на приложение в системата -
;
Средно време на престой на приложението в системата -
.
Ако в едноканален QS с чакане интензивността на получаване на заявки е по-голяма от интензивността на обслужване, тогава опашката непрекъснато ще се увеличава. В тази връзка най-голям интерес представлява анализът на стабилна QS, работеща в стационарен режим при .
3.6 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката
Да разгледаме многоканален QS, който получава Поасонов поток от заявки с интензитет, а интензитетът на обслужване на всеки канал е, максималният възможен брой места в опашката е ограничен от m. Дискретните състояния на QS се определят от броя на приложенията, постъпили в системата, които могат да бъдат записани.
Всички канали са безплатни, ;
Само един канал е зает (който и да е), ;
Заети са само два канала (всеки), ;
Всички канали са заети.
Докато QS е в някое от тези състояния, няма опашка. След като всички канали за обслужване са заети, следващите заявки образуват опашка, като по този начин определят по-нататъшното състояние на системата:
Всички канали са заети и едно приложение е на опашката,
Всички канали са заети и две приложения са в опашката,
Всички канали са заети и всички места в опашката са заети,
Графика на състоянията на n-канален QS с опашка, ограничена до m места на фиг. 3.6
Ориз. 3.6 Графика на състоянието на n-канален QS с ограничение на дължината на опашката m
Преминаването на QS към състояние с по-високи числа се определя от потока от входящи заявки с интензитет, като по условие тези заявки се обслужват от едни и същи канали с еднаква за всеки канал интензивност на обслужващия поток. В този случай общата интензивност на потока от услуги се увеличава със свързването на нови канали до такова състояние, когато всички n канала са заети. С появата на опашката интензитетът на обслужване се увеличава още повече, тъй като вече е достигнал максималната си стойност, равна на .
Нека напишем изрази за граничните вероятности на състоянията:
Изразът за може да се преобразува с помощта на формулата на геометричната прогресия за сумата от членове със знаменател:
Образуването на опашка е възможно, когато новопостъпила заявка намери не по-малко от изисквания в системата, т.е. когато ще има изисквания в системата. Тези събития са независими, така че вероятността всички канали да са заети е равна на сумата от съответните вероятности. Следователно вероятността за формиране на опашка е:
Вероятността за отказ на услуга възниква, когато всички канали и всички места в опашката са заети:
Относителната производителност ще бъде равна на:
Абсолютна честотна лента -
Среден брой заети канали -
Среден брой неактивни канали -
Коефициент на заетост (използване) на каналите -
Коефициент на празен ход на канала -
Средният брой заявления в опашките -
Ако , тази формула приема различна форма -
Средното време на чакане на опашка се дава по формулите на Литъл −
Средното време на престой на приложение в QS, като за едноканален QS, е по-голямо от средното време на изчакване в опашката със средното време за обслужване, равно на , тъй като приложението винаги се обслужва само от един канал:
3.7 Многоканален QS с неограничена опашка
Нека разгледаме многоканален QS с изчакване и неограничена дължина на опашката, който получава поток от заявки с интензивност и който има интензитет на обслужване на всеки канал. Означената графика на състоянието е показана на фигура 3.7.Тя има безкраен брой състояния:
S - всички канали са свободни, k=0;
S - един канал е зает, останалите са свободни, k=1;
S - два канала са заети, останалите са свободни, k=2;
S - всички n канала са заети, k=n, няма опашка;
S - всички n канала са заети, една заявка е в опашката, k=n+1,
S - всички n канала са заети, r заявки са в опашката, k=n+r,
Получаваме вероятностите на състоянията от формулите за многоканален QS с ограничена опашка при преминаване към границата при m. Трябва да се отбележи, че сумата от геометричната прогресия в израза за p се отклонява при ниво на натоварване p/n>1, опашката ще се увеличава неограничено, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.
няма опашка
| … | … |
Фиг.3.7 Маркирана графика на състоянието на многоканален QS
с неограничена опашка
за които дефинираме изрази за граничните вероятности на състоянията:
Тъй като в такива системи не може да има отказ от услуга, пропускателните характеристики са:
среден брой приложения в опашката -
средно време за чакане на опашка
средният брой приложения в CMO -
Вероятността QS да е в състояние, когато няма заявки и нито един канал не е зает, се определя от израза
Тази вероятност определя средната част от времето на прекъсване на обслужващия канал. Вероятността да сте заети с обслужване на k заявки е
На тази база е възможно да се определи вероятността или съотношението на времето, през което всички канали са заети с услугата
Ако всички канали вече са заети от услуга, тогава вероятността за състоянието се определя от израза
Вероятността да бъдете в опашката е равна на вероятността да намерите всички канали, които вече са заети с услуга
Средният брой заявки в опашката и чакащи услуга е равен на:
Средното време за изчакване на заявление в опашката по формулата на Литъл: и в системата
среден брой канали, заети от услуга:
среден брой безплатни канали:
степен на заетост на обслужващия канал:
Важно е да се отбележи, че параметърът характеризира степента на координация на входящия поток, например, клиенти в магазин с интензивността на потока от услуги. Процесът на обслужване ще бъде стабилен при Ако обаче средната дължина на опашката и средното време на изчакване за клиентите да започнат услугата ще се увеличат в системата и следователно QS ще работи нестабилно.
3.8 Анализ на системата за опашки в супермаркети
Една от важните задачи на търговската дейност е рационалната организация на търговския и технологичен процес на масово обслужване, например в супермаркет. По-специално, определянето на капацитета на касата на търговско предприятие не е лесна задача. Икономически и организационни показатели като натоварването на оборота на 1 m 2 търговска площ, производителността на предприятието, времето, прекарано от клиентите в магазина, както и показатели за нивото на технологичното решение на търговския етаж: съотношението на площите на зоните за самообслужване и сетълментния възел, коефициентите на инсталационните и изложбените площи, до голяма степен определени от производителността на паричния възел. В този случай пропускателната способност на две зони (фази) на обслужване: зоната за самообслужване и зоната на сетълментния възел (фиг. 4.1).
| CMO | CMO |
Интензивността на входния поток от купувачи;
Интензивността на пристигането на купувачите на зоната за самообслужване;
Интензивността на пристигането на купувачите в сетълмента;
Интензивността на потока от услуги.
Фиг.4.1. Модел на двуфазен CMO на търговски етаж на супермаркет
Основната функция на възела за сетълмент е да осигури висока производителност на клиенти в търговския етаж и да създаде удобно обслужване на клиентите. Факторите, влияещи върху пропускателната способност на сетълмент възела, могат да бъдат разделени на две групи:
1) икономически и организационни фактори: системата за отговорност в супермаркета; средна цена и структура на една покупка;
2) организационна структура на касата;
3) технически и технологични фактори: използвани видове касови апарати и касови кабини; технология за обслужване на клиенти, използвана от контрольор-касиер; съответствие с капацитета на касата на интензивността на клиентските потоци.
От тези групи фактори най-голямо влияние оказват организационната структура на касата и съответствието на капацитета на касата с интензивността на клиентопотоците.
Помислете за двете фази на системата за обслужване:
1) избор на стоки от купувачите в зоната за самообслужване;
2) обслужване на клиенти в района на сетълмент възела. Входящият поток от купувачи навлиза във фазата на самообслужване и купувачът самостоятелно избира нужните му стокови единици, оформяйки ги в една покупка. Освен това времето на тази фаза зависи от това как са взаимно разположени стоковите зони, какъв фронт имат, колко време отделя купувачът за избор на конкретен продукт, каква е структурата на покупката и др.
Изходящият поток от клиенти от зоната за самообслужване е едновременно и входящият поток към зоната на касата, което включва последователно изчакване на клиента на опашката и последващо обслужване от контрольор-касиер. Възелът за плащане може да се разглежда като система за опашка със загуби или като система за опашка с изчакване.
Въпреки това, нито първата, нито втората разглеждани системи позволяват действително да се опише процесът на обслужване на касата на супермаркет поради следните причини:
в първия вариант касовият апарат, чийто капацитет ще бъде проектиран за система със загуби, изисква значителни както капиталови инвестиции, така и текущи разходи за поддръжка на касиер контролери;
във втория вариант касовият възел, чийто капацитет ще бъде проектиран за система с очаквания, води до голяма загуба на време за клиентите, чакащи услуга. В същото време, в пиковите часове, зоната на сетълмент възела „прелива“ и опашката от купувачи „се влива“ в зоната за самообслужване, което нарушава нормалните условия за избор на стоки от други купувачи.
В тази връзка е препоръчително втората фаза на обслужване да се разглежда като система с ограничена опашка, междинна между система с чакане и система със загуби. Приема се, че не повече от L могат да бъдат едновременно в системата и L=n+m, където n е броят на обслужените клиенти на касите, m е броят на клиентите, които стоят на опашка, и всеки m+1- приложението оставя системата необслужена.
Това условие позволява, от една страна, да се ограничи площта на зоната на възела за сетълмент, като се вземе предвид максимално допустимата дължина на опашката, а от друга страна, да се въведе ограничение за времето, през което клиентите чакат за услуга в касов пункт, т.е. вземете предвид разходите за потребителско потребление.
Правомерността на поставянето на проблема в тази форма се потвърждава от проучвания на клиентските потоци в супермаркетите, резултатите от които са дадени в табл. 4.1, чийто анализ разкри тясна връзка между средната дълга опашка на касата и броя на купувачите, които не са направили покупки.
| Работно време | Ден от седмицата | ||||||||
| петък | Събота | неделя | |||||||
завой, |
количество купувачи без пазаруване |
завой, |
количество купувачи без пазаруване |
завой, |
количество купувачи без пазаруване |
||||
| хората | % | хората | % | хората | % | ||||
| от 9 до 10 | 2 | 38 | 5 | 5 | 60 | 5,4 | 7 | 64 | 4,2 |
| от 10 до 11 | 3 | 44 | 5,3 | 5 | 67 | 5 | 6 | 62 | 3,7 |
| от 11 до 12 | 3 | 54 | 6,5 | 4 | 60 | 5,8 | 7 | 121 | 8,8 |
| от 12 до 13 | 2 | 43 | 4,9 | 4 | 63 | 5,5 | 8 | 156 | 10 |
| от 14 до 15 | 2 | 48 | 5,5 | 6 | 79 | 6,7 | 7 | 125 | 6,5 |
| от 15 до 16 | 3 | 61 | 7,3 | 6 | 97 | 6,4 | 5 | 85 | 7,2 |
| от 16 до 17 | 4 | 77 | 7,1 | 8 | 140 | 9,7 | 5 | 76 | 6 |
| от 17 до 18 | 5 | 91 | 6,8 | 7 | 92 | 8,4 | 4 | 83 | 7,2 |
| от 18 до 19 | 5 | 130 | 7,3 | 6 | 88 | 5,9 | 7 | 132 | 8 |
| от 19 до 20 | 6 | 105 | 7,6 | 6 | 77 | 6 | |||
| от 20 до 21 | 6 | 58 | 7 | 5 | 39 | 4,4 | |||
| Обща сума | 749 | 6,5 | 862 | 6,3 | 904 | 4,5 | |||
Има още една важна характеристика в организацията на работата на касата на супермаркета, която значително влияе върху нейната производителност: наличието на експресни каси (една или две покупки). Проучването на структурата на клиентопотока в супермаркетите по вид касово обслужване показва, че оборотният поток е 12,9% (Таблица 4.2).
| Дни от седмицата | Клиентски потоци | Търговски оборот | ||||
| Обща сума | чрез експресна каса | % спрямо дневния поток | Обща сума | чрез експресна каса | % от дневния оборот | |
| Летен период | ||||||
| понеделник | 11182 | 3856 | 34,5 | 39669,2 | 3128,39 | 7,9 |
| вторник | 10207 | 1627 | 15,9 | 38526,6 | 1842,25 | 4,8 |
| сряда | 10175 | 2435 | 24 | 33945 | 2047,37 | 6 |
| четвъртък | 10318 | 2202 | 21,3 | 36355,6 | 1778,9 | 4,9 |
| петък | 11377 | 2469 | 21,7 | 43250,9 | 5572,46 | 12,9 |
| Събота | 10962 | 1561 | 14,2 | 39873 | 1307,62 | 3,3 |
| неделя | 10894 | 2043 | 18,8 | 35237,6 | 1883,38 | 5,1 |
| зимен период | ||||||
| понеделник | 10269 | 1857 | 18,1 | 37121,6 | 2429,73 | 6,5 |
| вторник | 10784 | 1665 | 15,4 | 38460,9 | 1950,41 | 5,1 |
| сряда | 11167 | 3729 | 33,4 | 39440,3 | 4912,99 | 12,49,4 |
| четвъртък | 11521 | 2451 | 21,3 | 40000,7 | 3764,58 | 9,4 |
| петък | 11485 | 1878 | 16,4 | 43669,5 | 2900,73 | 6,6 |
| Събота | 13689 | 2498 | 18,2 | 52336,9 | 4752,77 | 9,1 |
| неделя | 13436 | 4471 | 33,3 | 47679,9 | 6051,93 | 12,7 |
За окончателното изграждане на математически модел на процеса на обслужване, като се вземат предвид горните фактори, е необходимо да се определят функциите на разпределение на случайните променливи, както и случайните процеси, които описват входящите и изходящите потоци на клиентите:
1) функцията за разпределяне на времето на купувачите за избор на стоки в зоната за самообслужване;
2) функцията за разпределяне на работното време на контролера-касиер за обикновени каси и експресни каси;
3) произволен процес, описващ входящия поток от клиенти в първата фаза на обслужване;
4) произволен процес, описващ входящия поток към втората фаза на обслужване за обикновени каси и експресни каси.
Удобно е да се използват модели за изчисляване на характеристиките на система за масово обслужване, ако входящият поток от заявки към системата за масово обслужване е най-простият поток на Поасон и времето за обслужване на заявките се разпределя според експоненциален закон.
Изследването на клиентския поток в зоната на касовия възел показа, че за него може да се приеме Поасонов поток.
Функцията на разпределение на времето за обслужване на клиенти от касиерите е експоненциална; такова предположение не води до големи грешки.
Безспорен интерес представлява анализът на характеристиките на обслужване на потока от клиенти в касата на супермаркета, изчислен за три системи: със загуби, с очакване и смесен тип.
Изчисленията на параметрите на процеса на обслужване на клиенти в касата са извършени за търговско предприятие с търговска площ S=650 въз основа на следните данни.
Целевата функция може да бъде написана в общата форма на връзката (критерия) на приходите от продажби от характеристиките на QS:
където - касата се състои от = 7 каси от обичайния тип и = 2 експресни каси,
Интензивността на обслужване на клиенти в зоната на обикновените каси - 0,823 души / мин.;
Интензитетът на натоварване на касовите апарати в зоната на обикновените каси е 6,65,
Интензивността на обслужване на клиентите в зоната на експресните каси - 2,18 души / мин.;
Интензитетът на входящия поток към зоната на обикновените каси - 5,47 души / мин.
Интензитетът на натоварване на касовите апарати в зоната на експресните каси е 1,63,
Интензитетът на входящия поток към зоната за експресна каса е 3,55 души/мин.;
За модела QS с ограничение на дължината на опашката в съответствие с проектираната зона на касата, максимално допустимият брой клиенти, стоящи на опашка на една каса, се приема m = 10 клиента.
Трябва да се отбележи, че за да се получат сравнително малки абсолютни стойности на вероятността от загуба на приложения и времето за изчакване на клиентите в касата, трябва да се спазват следните условия: 
Таблица 6.6.3 показва резултатите от качествените характеристики на функционирането на СОК в зоната на сетълмент възел.
Изчисленията са направени за най-натоварения период от работния ден от 17:00 до 21:00 часа. Именно през този период, както показват резултатите от проучванията, пада около 50% от еднодневния поток от купувачи.
От данните в табл. 4.3 следва, че ако за изчислението е избрано:
1) модел с откази, тогава 22,6% от потока купувачи, обслужвани от обикновени каси, и съответно 33,6% от потока купувачи, обслужвани от експресни каси, ще трябва да напуснат, без да направят покупки;
2) модел с очакване, тогава не трябва да има никакви загуби на заявки в сетълмент възела;
Раздел. 4.3 Характеристики на системата за обслужване на клиенти в зоната на сетълмент възел
| Тип каса | Брой каси във възела | Тип CMO | QS характеристики | ||
| Средният брой на натоварени каси, | средно време за чакане за услуга, | Вероятността от загуба на приложения, | |||
| Редовни каси | 7 | с неуспехи с очакване с ограничение |
|||
| Експресни каси | 2 | с неуспехи с очакване с ограничение |
|||
3) модел с ограничение на дължината на опашката, тогава само 0,12% от потока купувачи, обслужвани от обикновени каси, и 1,8% от потока купувачи, обслужвани от експресни каси, ще напуснат търговския етаж, без да правят покупки. Следователно моделът с ограничение на дължината на опашката позволява по-точно и реалистично да се опише процесът на обслужване на клиентите в района на касата.
Интерес представлява сравнително изчисление на капацитета на касовия пункт със и без експресни каси. В табл. 4.4 показва характеристиките на касовата система на три стандартни размера на супермаркети, изчислени според модели за QS с ограничение на дължината на опашката за най-натоварения период от работния ден от 17 до 21 часа.
Анализът на данните в тази таблица показва, че неотчитането на фактора "Структура на клиентския поток по вид касово обслужване" на етапа на технологичното проектиране може да доведе до увеличаване на зоната на сетълмент възела с 22- 33%, а оттам съответно и до намаляване на инсталационните и изложбените площи на търговско-технологичното оборудване и стоковата маса, разположени на търговския етаж.
Проблемът за определяне на капацитета на дадена каса е верига от взаимосвързани характеристики. По този начин увеличаването на неговия капацитет намалява времето за чакане на клиентите за обслужване, намалява вероятността от загуба на изисквания и съответно загуба на оборот. Заедно с това е необходимо да се намали зоната за самообслужване, предната част на търговското и технологичното оборудване и съответно масата на стоките на търговския етаж. В същото време се увеличават разходите за заплати на касиерите и оборудването на допълнителни работни места. Ето защо
| № п / стр | QS характеристики | мерна единица | Обозначаване | Показатели, изчислени по видове супермаркети търговска площ, кв. м | ||||||||||||||||
| Без експресна каса | Включително експресно плащане | |||||||||||||||||||
| 650 | 1000 | 2000 | 650 | 1000 | 2000 | |||||||||||||||
| Редовни каси | Експресни каси | Редовни каси | експресни каси | Редовни каси | експресни каси | |||||||||||||||
| 1 | Брой купувачи | хората | к | 2310 | 3340 | 6680 | 1460 | 850 | 2040 | 1300 | 4080 | 2600 | ||||||||
| 2 | Интензивността на входящия поток | λ | 9,64 | 13,9 | 27,9 | 6,08 | 3,55 | 8,55 | 5,41 | 17,1 | 10,8 | |||||||||
| 3 | Интензивност на поддръжката | човек/мин | μ | 0,823 | 0,823 | 0,823 | 0,823 | 2,18 | 0,823 | 2,18 | 0,823 | 2,18 | ||||||||
| 4 | Интензивност на натоварването | - | ρ | 11,7 | 16,95 | 33,8 | 6,65 | 1,63 | 10,35 | 2,48 | 20,7 | 4,95 | ||||||||
| 5 | Брой касови апарати | PCS. | н | 12 | 17 | 34 | 7 | 2 | 11 | 3 | 21 | 5 | ||||||||
| 6 | Общ брой каси на сетълмент възела | PCS. | ∑n | 12 | 17 | 34 | 9 | 14 | 26 | |||||||||||
е необходимо да се извършат оптимизационни изчисления. Нека разгледаме характеристиките на системата за обслужване на касата на супермаркет с търговска площ от 650 m, изчислена с помощта на QS модели с ограничена дължина на опашката за различни капацитети на касата в табл. 4.5.
Въз основа на анализа на данните в табл. 4.5 можем да заключим, че с увеличаването на броя на касите времето за изчакване на купувачите на опашката се увеличава, а след това след определен момент рязко спада. Естеството на промяната в графика на времето за изчакване на клиента е разбираемо, ако паралелно разгледаме промяната в вероятността от загуба на търсене.Очевидно е, че когато капацитетът на POS възела е прекалено малък, тогава повече от 85% от клиентите ще остане необслужен, а останалите клиенти ще бъдат обслужени в много кратки срокове. Колкото по-голям е капацитетът на POS възела, толкова по-вероятно е искове да бъдат загубени, докато чакат услугата си, което означава, че времето им за чакане в опашката съответно ще се увеличи. След очакванията и вероятността от загуби ще намалее драстично.
За търговски обект 650, това ограничение за обикновената каса е между 6 и 7 каси. При съответно 7 каси средното време за изчакване е 2,66 минути, а вероятността от загуба на заявления е много малка – 0,1%. По този начин, което ще ви позволи да получите минимални общи разходи за масово обслужване на клиенти.
| Вид касово обслужване | Брой каси във възел n, бр. | Характеристики на сервизната система | Среден приход за 1 час търкайте. | Средна загуба на приходи за 1 час rub | Броят на купувачите в района на възела на сетълмента | Площта на зоната на селищния възел, Sy, m | Относително тегло на площта на възловата зона 650/ Sy | |
| Средно време на изчакване, Т, мин | Вероятността от загуба на приложения | |||||||
| Зони на обикновени каси | ||||||||
| Зони за експресно плащане | ||||||||
Заключение
Въз основа на анализа на данните в табл. 4.5 можем да заключим, че с увеличаване на броя на касите, времето за чакане на купувачите на опашката се увеличава. И след това след определен момент рязко спада. Естеството на промяната в графика на времето за изчакване на клиента е разбираемо, ако паралелно разгледаме промяната във вероятността от загуба на вземания.Очевидно е, че когато капацитетът на касовия възел е прекалено малък, тогава повече от 85% от клиентите ще остане необслужен, а останалите клиенти ще бъдат обслужени в много кратки срокове. Колкото по-голяма е мощността на паричния възел. Вероятността от загуба на изисквания ще намалее и съответно толкова по-голям брой купувачи ще чакат за тяхната услуга, а оттам и времето на тяхното чакане на опашка съответно ще се увеличи. След като възелът за сетълмент превиши оптималната мощност, времето за изчакване и вероятността от загуби рязко ще намалеят.
За супермаркет с търговска площ 650 кв. метра, тази граница за зоната на конвенционалните касови апарати е между 6-8 касови апарата. При съответно 7 каси средното време за изчакване е 2,66 минути, а вероятността от загуба на заявления е много малка – 0,1%. По този начин задачата е да изберете такъв капацитет на касата, който ще ви позволи да получите минималните общи разходи за масово обслужване на клиенти.
В тази връзка следващата стъпка в решаването на проблема е оптимизирането на капацитета на касата на базата на използването на различни видове QS модели, като се вземат предвид общите разходи и факторите, изброени по-горе.
Голям клас системи, които са трудни за аналитично изследване, но които са добре проучени чрез методите за статистическо моделиране, се свежда до системи за масово обслужване (QS).
SMO предполага, че има примерни пътища(канали за обслужване), чрез които приложения. Прието е да се казва, че приложенията обслуженканали. Каналите могат да бъдат различни по предназначение, характеристики, могат да се комбинират в различни комбинации; приложенията могат да стоят на опашки и да чакат услуга. Част от приложенията могат да бъдат обслужвани по канали, а някои може да откажат да го направят. Важно е заявките от гледна точка на системата да са абстрактни: това е, което иска да бъде обслужено, тоест да премине през определен път в системата. Каналите също са абстракция: те обслужват заявки.
Приложенията могат да идват неравномерно, каналите могат да обслужват различни приложения по различно време и т.н., броят на приложенията винаги е много голям. Всичко това прави такива системи трудни за изучаване и управление и не е възможно да се проследят всички причинно-следствени връзки в тях. Следователно се приема схващането, че поддръжката в сложните системи е произволна.
Примери за QS (виж таблица 30.1) са: автобусен маршрут и превоз на пътници; производствен конвейер за обработка на детайли; ескадрила от самолети, летящи на чужда територия, която се „обслужва“ от зенитни оръдия за противовъздушна отбрана; цевта и рога на картечницата, които "обслужват" патроните; електрически заряди, движещи се в някакво устройство и др.
| Таблица 30.1. Примери за системи за масово обслужване |
|||||||||||||||||
| CMO | Приложения | Канали |
| Автобусен маршрут и превоз на пътници | Пътници | Автобуси |
| Производствен конвейер за обработка на детайли | Детайли, възли | Машини, складове |
| Ескадрила от самолети, летящи на чужда територия, който се "обслужва" от противовъздушни противовъздушни оръдия |
Самолет | Зенитни оръдия, радари, стрели, снаряди |
| Цевта и рога на автомата, които "обслужват" патроните | амуниции | Цев, рог |
| Електрически заряди, движещи се в някакво устройство | Обвинения | Каскади от технически устройства |
Но всички тези системи са комбинирани в един клас QS, тъй като подходът към тяхното изследване е един и същ. Състои се в това, че първо с помощта на генератор на произволни числа се възпроизвеждат произволни числа, които имитират СЛУЧАЙНИ моменти на появата на приложения и времето на тяхното обслужване в каналите. Но взети заедно, тези произволни числа, разбира се, подлежат на статистическимодели.
Например, да кажем: "приложенията идват средно в размер на 5 броя на час." Това означава, че времената между пристиганията на две съседни искове са произволни, например: 0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0.2, както е показано на фиг. 30.1 , но като сума дават средно 1 (имайте предвид, че в примера това не е точно 1, а 1.1, но в друг час тази сума например може да бъде равна на 0.9); но само за достатъчно дълго времесредната стойност на тези числа ще стане близо до един час.
Резултатът (например пропускателната способност на системата), разбира се, също ще бъде случайна променлива на отделни интервали от време. Но измерена за дълъг период от време, тази стойност вече ще съответства средно на точното решение. Тоест, за да характеризират QS, те се интересуват от отговори в статистически смисъл.
И така, системата се тества със случайни входни сигнали, подчинени на даден статистически закон, и в резултат на това се вземат статистически показатели, осреднени за времето на разглеждане или по броя на експериментите. По-рано, в Лекция 21 (виж Фиг. 21.1), ние вече разработихме схема за такъв статистически експеримент (виж Фиг. 30.2).
Второ, всички QS модели се сглобяват по типичен начин от малък набор от елементи (канал, източник на заявка, опашка, заявка, дисциплина на обслужване, стек, пръстен и т.н.), което ви позволява да симулирате тези задачи типиченначин. За да направите това, моделът на системата се сглобява от конструктора на такива елементи. Няма значение каква конкретна система се изучава, важно е диаграмата на системата да е съставена от едни и същи елементи. Разбира се, структурата на веригата винаги ще бъде различна.
Нека изброим някои основни концепции на QS.
Канализира това, което служи; са горещи (те започват да обслужват заявката в момента, в който тя влезе в канала) и студени (каналът се нуждае от време, за да се подготви да започне да обслужва). Източници на приложениягенериране на заявки в произволни моменти, съгласно зададен от потребителя статистически закон. Приложенията, те също са клиенти, влизат в системата (генерирани от източниците на приложения), преминават през нейните елементи (обслужени), оставят я обслужена или неудовлетворена. Има нетърпеливи приложениятези, които са уморени да чакат или да бъдат в системата и които напускат CMO по собствено желание. Приложенията формират потоци поток от приложения на входа на системата, поток от обслужени заявки, поток от отхвърлени заявки. Потокът се характеризира с броя приложения от определен тип, наблюдавани в дадено място на QS за единица време (час, ден, месец), т.е. потокът е статистическа величина.
Опашките се характеризират с правилата за опашка (дисциплина на обслужване), броя на местата в опашката (колко клиенти могат да бъдат най-много на опашката), структурата на опашката (връзката между местата в опашката). Има ограничени и неограничени опашки. Нека изброим най-важните дисциплини на обслужване. FIFO (първо влязло, първо излязло, първо влязло, първо излязло): ако приложението е първо в опашката, то ще бъде първото, което ще тръгне за обслужване. LIFO (Last In, First Out last in, first out): ако приложението е последното в опашката, тогава то ще бъде първото, което ще отиде за обслужване (примерни касети в клаксона на машината). SF (Кратко напред, кратко напред): тези приложения от опашката, които имат най-кратко време за обслужване, се обслужват първи.
Нека дадем ярък пример, показващ как правилният избор на една или друга дисциплина на обслужване ви позволява да постигнете осезаеми спестявания на време.
Нека има два магазина. В магазин № 1 обслужването се извършва на принципа първи дошъл, първи обслужен, т.е. тук се прилага дисциплината за обслужване FIFO (виж Фиг. 30.3).
Време за обслужване Tобслужване на фиг. 30.3 показва колко време ще отдели продавачът за обслужване на един купувач. Ясно е, че когато купувате стоки на парче, продавачът ще отдели по-малко време за обслужване, отколкото когато купувате, да речем, насипни продукти, които изискват допълнителни манипулации (вземете, претеглете, изчислете цената и т.н.). Време за чакане Tочакван показва след колко време следващият купувач ще бъде обслужен от продавача.
Магазин #2 прилага SF дисциплината (вижте Фигура 30.4), което означава, че стоките на парче могат да се купуват извън ред, тъй като времето за обслужване Tобслужване такава покупка е малка.
Както се вижда от двете фигури, последният (пети) купувач ще закупи стока на бройка, така че времето за обслужването му е малко 0,5 минути. Ако този клиент дойде в магазин номер 1, той ще бъде принуден да стои на опашка цели 8 минути, докато в магазин номер 2 ще бъде обслужен веднага, извън ред. Така средното време за обслужване на всеки от клиентите в магазин с дисциплина обслужване FIFO ще бъде 4 минути, а в магазин с дисциплина обслужване FIFO само 2,8 минути. А обществената полза, спестяването на време ще бъде: (1 2,8/4) 100% = 30 процента!Така че 30% от времето се спестява за обществото и това се дължи само на правилния избор на служебна дисциплина.
Системният специалист трябва да има добро разбиране на ресурсите за производителност и ефективност на системите, които проектира, скрити в оптимизирането на параметрите, структурите и дисциплините за поддръжка. Моделирането помага да се разкрият тези скрити резерви.
Когато се анализират резултатите от симулацията, също е важно да се посочат интересите и степента на тяхното изпълнение. Правете разлика между интересите на клиента и интересите на собственика на системата. Имайте предвид, че тези интереси не винаги съвпадат.
Можете да прецените резултатите от работата на ООП по показатели. Най-популярните от тях:
- вероятността за обслужване на клиенти от системата;
- пропускателна способност на системата;
- вероятността от отказ на услуга на клиента;
- вероятността за заетост на всеки канал и всички заедно;
- средно време на заетост на всеки канал;
- вероятност за заетост на всички канали;
- среден брой заети канали;
- вероятност за прекъсване на всеки канал;
- вероятността от прекъсване на цялата система;
- среден брой заявления в опашката;
- средно време за изчакване на заявка на опашката;
- средно време на обслужване на приложението;
- средно време, прекарано от приложението в системата.
Необходимо е да се прецени качеството на получената система от съвкупността от стойности на индикаторите. Когато анализирате резултатите от симулацията (индикатори), също е важно да обърнете внимание на върху интересите на клиента и интересите на собственика на системата, тоест е необходимо да се минимизират или максимизират един или друг показател, както и степента на тяхното изпълнение. Имайте предвид, че най-често интересите на клиента и собственика не съвпадат помежду си или не винаги съвпадат. Индикаторите ще бъдат обозначени допълнително з = {ч 1 , ч 2, ).
Параметрите на QS могат да бъдат: интензивността на потока от заявки, интензивността на потока от услуги, средното време, през което приложението е готово да чака услуга в опашката, броят на каналите за обслужване, дисциплината на обслужване и скоро. Параметрите са това, което влияе върху производителността на системата. Параметрите ще бъдат означени по-долу като Р = {r 1 , r 2, ).
Пример. Бензиностанция (бензиностанция).
1. Постановка на проблема. На фиг. 30.5 показва плана на бензиностанцията. Нека разгледаме метода за моделиране на QS на неговия пример и плана за неговото изследване. Шофьорите, минаващи покрай бензиностанции по пътя, може да искат да заредят колата си. Не всички автомобилисти подред искат да бъдат обслужвани (зареждайте колата с бензин); Да кажем, че от целия поток автомобили на бензиностанцията идват средно 5 коли на час.
На бензиностанцията има две еднакви колонки, статистическата производителност на всяка от които е известна. Първата колона обслужва средно 1 автомобил на час, втората средно 3 автомобила на час. Собственикът на бензиностанцията асфалтира място за колите, където да чакат сервиз. Ако колоните са заети, на това място могат да чакат сервиз и други коли, но не повече от две наведнъж. Опашката ще се счита за обща. Веднага щом една от колоните се освободи, първата кола от опашката може да заеме мястото си в колоната (в този случай втората кола се премества на първото място в опашката). Ако се появи трета кола и всички места (две от тях) на опашката са заети, тогава тя се отказва, тъй като е забранено да стоите на пътя (вижте пътните знаци до бензиностанции). Такава кола напуска системата завинаги и като потенциален клиент е загубена за собственика на бензиностанцията. Можете да усложните задачата, като вземете предвид касовия апарат (друг канал за обслужване, където трябва да стигнете след обслужване в една от колоните) и опашката към него и т.н. Но в най-простата версия е очевидно, че пътищата на потока на заявките през QS могат да бъдат изобразени като еквивалентна диаграма и чрез добавяне на стойностите и обозначенията на характеристиките на всеки елемент от QS най-накрая получаваме диаграмата показано на фиг. 30.6.
2. Изследователски метод на QS. Нека приложим принципа в нашия пример последователно публикуване на приложения(за подробности относно принципите на моделиране вижте лекция 32). Неговата идея е приложението да премине през цялата система от входа до изхода и едва след това да се започне моделиране на следващото приложение.
За по-голяма яснота ще изградим времева диаграма на QS операцията, отразявайки всяка линийка (времевата ос T) състоянието на отделен елемент от системата. Има толкова времеви линии, колкото има различни места в QS, потоци. В нашия пример има 7 от тях (поток от заявки, поток от чакащи на първо място в опашката, поток от чакащи на второ място в опашката, поток от услуги в канал 1, поток от услуги в канал 2, поток от заявки, обслужвани от системата, поток от отказани заявки).
За да генерираме времето на пристигане на заявките, използваме формулата за изчисляване на интервала между моментите на пристигане на две случайни събития (вижте лекция 28):
В тази формула количеството поток λ трябва да се посочи (преди това трябва да се определи експериментално върху обекта като средностатистическо), rпроизволно равномерно разпределено число от 0 до 1 от RNG или таблица, в която произволните числа трябва да се вземат подред (без да се избира специално).
Задача . Генерирайте поток от 10 произволни събития с честота на събития от 5 събития на час.
Решението на проблема. Нека вземем произволни числа, равномерно разпределени в диапазона от 0 до 1 (вижте таблицата) и изчислете техните естествени логаритми (вижте таблица 30.2).
Формулата на потока на Поасон определя разстояние между две случайни събитияпо следния начин: T= Ln(r рр)/ λ . Тогава, като се има предвид това λ = 5, имаме разстоянията между две произволни съседни събития: 0,68, 0,21, 0,31, 0,12 часа. Тоест случват се събития: първите по време T= 0, вторият по време T= 0,68, трети по време T= 0,89 , четвърти по време T= 1,20, пети по време T= 1,32 и така нататък. Събитията при пристигането на приложения ще бъдат отразени на първия ред (вижте Фиг. 30.7).
 |
Първата заявка се приема и тъй като каналите са свободни в този момент, се настройва за обслужване в първия канал. Приложение 1 се прехвърля в реда "1 канал".
Времето за обслужване в канала също е случайно и се изчислява по подобна формула:
където ролята на интензитета играе големината на обслужвания поток μ 1 или μ 2 , в зависимост от това кой канал обслужва заявката. Намираме момента на края на услугата на диаграмата, като отлагаме генерираното време за услуга от момента, в който услугата е започнала, и спускаме заявката до реда „Обслужено“.
Приложението премина през целия CMO. Сега е възможно, съгласно принципа на последователно публикуване на поръчки, да се симулира и пътя на втората поръчка.
Ако в даден момент се окаже, че и двата канала са заети, тогава заявката трябва да бъде поставена в опашката. На фиг. 30.7 е заявката с номер 3. Обърнете внимание, че според условията на задачата, в опашката, за разлика от каналите, заявките не са разположени произволно, а чакат някой от каналите да се освободи. След освобождаването на канала, заявката се премества в линията на съответния канал и там се организира нейното обслужване.
Ако всички места в опашката в момента на пристигането на следващото заявление са заети, тогава заявлението трябва да бъде изпратено до реда „Отказано“. На фиг. 30.7 е оферта номер 6.
Процедурата по симулиране на обслужване на заявки продължава за известно време на наблюдение Tн . Колкото по-дълго е това време, толкова по-точни ще бъдат резултатите от симулацията в бъдеще. В действителност, за прости системи изберете T n равно на 50100 или повече часа, въпреки че понякога е по-добре да се измери тази стойност чрез броя на разгледаните приложения.
Времеви анализ
Анализът ще бъде извършен на вече разгледания пример.
Първо трябва да изчакате стабилно състояние. Отхвърляме първите четири приложения като нехарактерни, възникнали в процеса на установяване на работата на системата. Измерваме времето за наблюдение, да кажем, че в нашия пример ще бъде T h = 5 часа. Изчисляваме броя обслужени заявки от диаграмата ннаб. , времена на престой и други стойности. В резултат на това можем да изчислим показатели, които характеризират качеството на QS.
- Вероятност за обслужване: Пнаб. = ннаб. / н = 5/7 = 0.714 . За да се изчисли вероятността за обслужване на приложение в системата, е достатъчно да се раздели броят на приложенията, които са успели да бъдат обслужени през времето T n (вижте реда "Обслужено") ннаб. , за броя на приложенията нкоито искаха да бъдат обслужени през същото време. Както и преди, вероятността се определя експериментално от съотношението на завършените събития към общия брой събития, които биха могли да се случат!
- Пропускателна способност на системата: А = ннаб. / T n = 7/5 = 1,4 [бр./час]. За да се изчисли пропускателната способност на системата, е достатъчно да се раздели броят на обслужваните заявки ннаб. за малко T n , за които е извършена тази услуга (вижте реда "Връчено").
- Вероятност за повреда: Потворен = нотворен / н = 3/7 = 0.43 . За да се изчисли вероятността за отказ на обслужване на заявка, е достатъчно да се раздели броят на заявките нотворен на които им беше отказано време T n (вижте реда „Отхвърлени“), по броя на приложенията нкоито са искали да бъдат обслужени през същото време, тоест са влезли в системата. Забележка. Потворен + Пнаб.на теория трябва да е равно на 1. Всъщност експериментално се оказа, че Потворен + Пнаб. = 0,714 + 0,43 = 1,144. Тази неточност се обяснява с факта, че времето за наблюдение T n е малко и натрупаната статистика е недостатъчна за получаване на точен отговор. Грешката на този показател вече е 14%!
- Вероятност един канал да е зает: П 1 = Tзан. / T n = 0,05/5 = 0,01, където Tзан. заетост само на един канал (първи или втори). Измерванията са предмет на интервали от време, в които се случват определени събития. Например на диаграмата се търсят такива сегменти, по време на които е зает първи или втори канал. В този пример има един такъв сегмент в края на диаграмата с дължина 0,05 часа. Делът на този сегмент в общото време за разглеждане ( T n = 5 часа) се определя чрез разделяне и е желаната вероятност за заетост.
- Вероятност за заетост на два канала: П 2 = Tзан. / T n = 4,95/5 = 0,99. На диаграмата се търсят такива сегменти, при които и първият, и вторият канал са заети едновременно. В този пример има четири такива сегмента, тяхната сума е 4,95 часа. Делът на продължителността на тези събития в общото време на разглеждане ( T n = 5 часа) се определя чрез разделяне и е желаната вероятност за заетост.
- Среден брой заети канали: н sk = 0 П 0 + 1 П 1 + 2 П 2 = 0,01 + 2 0,99 = 1,99. За да изчислите средно колко канала са заети в системата, достатъчно е да знаете дела (вероятността за заетост на един канал) и да умножите по теглото на този дял (един канал), да знаете дела (вероятността за заетост на два канали) и умножете по теглото на този дял (два канала) и т.н. Получената цифра от 1,99 показва, че от възможните два канала средно се зареждат 1,99 канала. Това е висока степен на използване, 99,5%, системата използва добре ресурса.
- Вероятност за прекъсване на поне един канал: П * 1 = Tпрестой1 / T n = 0,05/5 = 0,01.
- Вероятност за прекъсване на два канала едновременно: П * 2 = Tпразен ход2 / T n = 0.
- Вероятността за прекъсване на цялата система: П*c= Tпрестой / T n = 0.
- Среден брой заявления в опашката: н sz = 0 П 0z + 1 П 1z + 2 П 2z = 0,34 + 2 0,64 = 1,62 [бр.]. За да се определи средният брой приложения в опашката, е необходимо да се определи отделно вероятността в опашката да има едно приложение П 1h , вероятността да има две приложения в опашката П 2h и т.н. и ги добавете отново със съответните тегла.
- Вероятността да има един клиент на опашката е: П 1z = T 1z / T n = 1,7/5 = 0,34(в диаграмата има четири такива сегмента, което дава общо 1,7 часа).
- Вероятността две заявки да бъдат в опашката едновременно е: П 2 часа = T 2z / T n = 3,2/5 = 0,64(в диаграмата има три такива сегмента, което дава общо 3,25 часа).
- Средно време за изчакване на приложение на опашката:
(Събирайте всички интервали от време, през които всяко приложение е било в опашката, и разделете на броя на приложенията). В графика има 4 такива искания.
- Средно време за обслужване на заявка:
(Събирайте всички интервали от време, през които всяка заявка е била обслужвана във всеки канал, и разделете на броя на заявките).
- Средно време, прекарано от приложение в системата: Tвж. сист. = Tвж. изчакайте. + Tвж. обслужване.
- Среден брой приложения в системата:
Нека разбием интервала на наблюдение, например, на десет минути. Вземете го в пет часа Кподинтервали (в нашия случай К= 30 ). Във всеки подинтервал определяме от времедиаграмата колко заявки има в системата в този момент. Трябва да погледнете 2-ра, 3-та, 4-та и 5-та линия кои от тях са заети в момента. След това сумата Косреднете условията.
Следващата стъпка е да се оцени точността на всеки от получените резултати. Тоест да отговорим на въпроса: доколко можем да вярваме на тези стойности? Оценката на точността се извършва по метода, описан в лекция 34.
Ако точността не е задоволителна, тогава трябва да увеличите времето на експеримента и по този начин да подобрите статистиката. Можете да го направите по различен начин. Пуснете експеримента отново за известно време Tн . И след това осреднете стойностите на тези експерименти. И отново проверете резултатите за критерии за точност. Тази процедура трябва да се повтаря, докато се постигне необходимата точност.
След това трябва да съставите таблица с резултати и да оцените значението на всеки от тях от гледна точка на клиента и собственика на ООП (вижте Таблица 30.3) В крайна сметка, като вземете предвид казаното във всеки параграф, трябва да се направи общ извод. Таблицата трябва да изглежда нещо подобно на показаното в таблицата. 30.3.
| Таблица 30.3. QS индикатори |
||||||||||||||||||||||||
| Индекс | Формула | Значение | Интереси на собственика на CMO | Интереси на CMO клиента |
| Вероятност за обслужване | Пнаб. = ннаб. / н | 0.714 | Вероятността за обслужване е ниска, много клиенти напускат системата недоволни, парите им са загубени за собственика. Това е минус. | Вероятността за обслужване е ниска, всеки трети клиент иска, но не може да бъде обслужен. Това е минус. |
| Среден брой заявления в опашката | н sz = 0 П 0z + 1 П 1z + 2 П 2ч | 1.62 | Опашката е почти пълна през цялото време. Всички места в опашката се използват доста ефективно. Инвестицията в опашка изплаща разходите за опашка. Това е плюс. Клиенти, които стоят на опашка дълго време, могат да си тръгнат, без да чакат услугата. Клиентите, които не работят, могат да причинят повреда на системата, да счупят оборудването. Много откази, изгубени клиенти. Това са "минусите". |
Опашката е почти пълна през цялото време. Клиентът трябва да се нареди на опашка, преди да стигне до услугата. Клиентът може дори да не влезе в опашката. Това е минус. |
| Общо: | В интерес на собственика: а) увеличаване на честотната лента на каналите, за да не се губят клиенти (въпреки че надграждането на каналите струва пари); б) увеличете броя на местата в опашката (това също струва пари), за да запазите потенциалните клиенти. | Клиентите се интересуват от значително увеличение на пропускателната способност, за да се намали забавянето и да се намалят отказите. | ||
Синтез на QS
Направихме анализ на съществуващата система. Това даде възможност да се видят недостатъците му и да се идентифицират областите за подобряване на качеството му. Но отговорите на конкретни въпроси остават неясни, какво точно трябва да се направи, увеличаване на броя на каналите или увеличаване на тяхната честотна лента, или увеличаване на броя на местата в опашката и, ако се увеличи, с колко? Има и такива въпроси, какво е по-добре да създадете 3 канала с производителност 5 бр/час или един с производителност 15 бр/час?
За да оцените чувствителността на всеки индикатор към промяна в стойността на определен параметър, процедирайте по следния начин. Коригирайте всички параметри с изключение на един избран. След това стойността на всички индикатори се взема при няколко стойности на този избран параметър. Разбира се, трябва да повтаряте процедурата на симулация отново и отново и да осреднявате показателите за всяка стойност на параметъра и да оценявате точността. Но в резултат на това се получават надеждни статистически зависимости на характеристиките (показателите) от параметъра.
Например, за 12 индикатора от нашия пример можете да получите 12 зависимости от един параметър: зависимостта на вероятността от неуспехи Потворен от броя на местата в опашката (KMO), зависимостта от пропускателната способност Авърху броя на местата в опашката и т.н. (вижте фиг. 30.8).
След това можете също да премахнете още 12 зависимости от индикатори Пот друг параметър Р, коригиране на останалите параметри. И така нататък. Формира се своеобразна матрица на зависимости на показателите Пот параметри Р, според които е възможно да се извърши допълнителен анализ на перспективите за движение (подобряване на показателите) в една или друга посока. Наклонът на кривите показва добре чувствителността, ефекта от движението по даден индикатор. В математиката тази матрица се нарича Jacobian J, в която ролята на наклона на кривите се играе от стойностите на производните Δ П аз /Δ Р й , вижте фиг. 30.9. (Припомнете си, че производната е геометрично свързана с наклона на допирателната към зависимостта.)
в зависимост от промяната в QS параметрите
Ако има 12 индикатора и например 5 параметъра, тогава матрицата има размер 12 x 5. Всеки елемент от матрицата е крива, зависимост аз-ти индикатор от й-ти параметър. Всяка точка от кривата е средната стойност на индикатора на доста представителен сегмент T n или осреднено за няколко експеримента.
Трябва да се разбере, че кривите са взети при предположението, че всички параметри освен един са непроменени в процеса на тяхното вземане. (Ако всички параметри променят стойностите си, тогава кривите ще бъдат различни. Но те не правят това, тъй като ще се окаже пълна бъркотия и зависимостите няма да се виждат.)
Следователно, ако въз основа на разглеждането на взетите криви се реши, че някой параметър ще бъде променен в QS, тогава всички криви за новата точка, в която въпросът кой параметър трябва да бъде променен, за да се подобри производителността , отново ще бъдат разследвани, трябва да се премахне отново.
Така стъпка по стъпка можете да опитате да подобрите качеството на системата. Но засега тази техника не може да отговори на редица въпроси. Факт е, че първо, ако кривите растат монотонно, тогава възниква въпросът къде да спрем. Второ, могат да възникнат противоречия, един индикатор може да се подобри с промяна в избрания параметър, докато другият едновременно ще се влоши. Трето, редица параметри е трудно да се изразят числено, например промяна в дисциплината на обслужване, промяна в посоките на потока, промяна в топологията на QS. Търсенето на решение в последните два случая се извършва с помощта на методите на експертизата (вижте лекция 36. Експертиза) и методите на изкуствения интелект (вижте.
Затова сега ще обсъдим само първия въпрос. Как да вземем решение, каква трябва да бъде стойността на параметъра, ако с нарастването му индикаторът непрекъснато се подобрява монотонно? Малко вероятно е стойността на безкрайността да подхожда на инженера.
Параметър Руправлението е това, което е на разположение на собственика на CMO (например възможността да се асфалтира сайтът и по този начин да се увеличи броят на местата в опашката, да се инсталират допълнителни канали, да се увеличи потокът от приложения чрез увеличаване на разходите за реклама и т.н. На). Чрез промяна на управлението можете да повлияете на стойността на индикатора П, цел, критерий (вероятност от откази, пропускателна способност, средно време за обслужване и т.н.). От фиг. 30.10 се вижда, че ако засилим контрола Р, винаги е възможно да се постигне подобрение на показателя П. Но е очевидно, че всяко управление е свързано с разходи. З. И колкото повече усилия се полагат за контрол, колкото по-голяма е стойността на контролния параметър, толкова по-големи са разходите. Обикновено разходите за управление нарастват линейно: З = ° Седин · Р . Въпреки че има случаи, когато например в йерархични системи те растат експоненциално, понякога обратно експоненциално (отстъпки за търговия на едро) и т.н.
от контролирания параметър R (пример)
Във всеки случай е ясно, че някой ден инвестицията на всички нови разходи просто ще престане да се изплаща. Например, ефектът от асфалтова площадка с размери 1 км2 едва ли ще изплати разходите на собственика на бензиностанция в Урюпинск, просто няма да има толкова много хора, които искат да зареждат с бензин. С други думи, индикаторът Пв сложни системи не може да расте безкрайно. Рано или късно растежът му се забавя. И разходите Зрастат (виж фиг. 30.11).
От фиг. 30.11 е ясно, че при определяне на цена ° С 1 на разходна единица Ри цени ° С 2 на индикаторна единица П, тези криви могат да се добавят. Кривите се сумират, ако трябва да бъдат минимизирани или максимизирани едновременно. Ако едната крива трябва да се максимизира, а другата да се минимизира, тогава тяхната разлика трябва да се намери, например, по точки. Тогава получената крива (виж фиг. 30.12), отчитайки както ефекта от контрола, така и разходите за него, ще има екстремум. Стойност на параметъра Р, което доставя екстремума на функцията и е решение на проблема със синтеза.
и струва Z, за да го получи като функция на контролирания параметър R
Отвъд управлението Ри индикатор Псистемите са нарушени. Ще обозначим смущенията като д = {д 1 , д 2, ), вижте фиг. 30.13. Смущението е входно действие, което, за разлика от контролния параметър, не зависи от волята на собственика на системата. Например ниските температури навън, конкуренцията, за съжаление, намаляват потока от клиенти, повредите на оборудването, за съжаление, намаляват производителността на системата. И собственикът на системата не може да управлява директно тези стойности. Обикновено възмущението действа "въпреки" на собственика, намалявайки ефекта Пот усилията на ръководството Р. Това е така, защото като цяло, системата е създадена за постигане на цели, които са непостижими сами по природа. Човек, организирайки система, винаги се надява да постигне някаква цел чрез нея. П. Това е, което той влага в усилията си. Рвърви срещу природата. Системна организация на природните компоненти, достъпни за човек, изучавани от него, за да постигне някаква нова цел, преди това непостижима по други начини.
който се влияе от управляващи въздействия R и смущения D
Така че, ако премахнем зависимостта на индикатора Пот ръководството Ротново (както е показано на фиг. 30.10), но при условията на появилото се смущение д, е възможно естеството на кривата да се промени. Най-вероятно индикаторът ще бъде по-нисък за същите стойности на контролите, тъй като смущението е от „неприятен“ характер, намалявайки производителността на системата (виж Фиг. 30.14). Една система, оставена сама на себе си, без усилия от управленски характер, престава да осигурява целта, за която е създадена.. Ако, както преди, изградим зависимостта на разходите, съпоставим я със зависимостта на индикатора от контролния параметър, тогава намерената екстремна точка ще се измести (виж фиг. 30.15) в сравнение със случая "смущение = 0" (виж фиг. , 30.12).
за различни стойности на смущения D
Ако смущението се увеличи отново, тогава кривите ще се променят (вижте фиг. 30.14) и в резултат на това позицията на екстремалната точка ще се промени отново (вижте фиг. 30.15).
за различни стойности на действащия смущаващ фактор D
В крайна сметка всички намерени позиции на точките на екстремума се прехвърлят в нова диаграма, където образуват зависимост индикатор Пот контролен параметър Ркогато се промени смущения д(виж фиг. 30.16).
параметър R при промяна на стойностите на смущенията D
(кривата се състои само от точки на екстремум)
Моля, имайте предвид, че всъщност може да има други работни точки на тази графика (графиката е пронизана, така да се каже, със семейства от криви), но точките, начертани от нас, задават такива координати на контролния параметър, при които с дадени смущения ( !) Достигната е възможно най-голямата стойност на индикатора П .
Тази графика (вижте Фигура 30.16) свързва индикатора П, Офис (ресурс) Ри възмущение дв сложни системи, като се указва как най-добре да се действа на вземащия решение (лицето, вземащо решение) в лицето на възникнали смущения. Сега потребителят може, като знае реалната ситуация на обекта (стойност на смущението), бързо да определи от графиката какво контролно действие върху обекта е необходимо, за да осигури най-добрата стойност на индикатора, който го интересува.
Имайте предвид, че ако контролното действие е по-малко от оптималното, тогава общият ефект ще намалее, ще възникне ситуация на пропусната печалба. Ако управляващото действие е по-голямо от оптималното, тогава ефектът същоще намалее, тъй като ще е необходимо да платите за следващото увеличение на управленските усилия в размер, по-голям от този, който получавате в резултат на използването му (ситуация на фалит).
Забележка. В текста на лекцията използвахме думите „управление“ и „ресурс“, т.е. смятахме, че Р = U. Трябва да се изясни, че управлението играе ролята на някаква ограничена стойност за собственика на системата. Тоест това винаги е ценен ресурс за него, за който винаги трябва да плаща и който винаги липсва. Наистина, ако тази стойност не беше ограничена, тогава бихме могли да постигнем безкрайно големи стойности на целите поради безкрайната величина на контролите, но безкрайно големи резултати очевидно не се наблюдават в природата.
Понякога има разграничение между действителното управление Uи ресурс Р, наричайки ресурс определен резерв, тоест границата на възможната стойност на контролното действие. В този случай понятията ресурс и контрол не съвпадат: U < Р. Понякога се прави разлика между граничната стойност на контрола U ≤ Ри неразделен ресурс ∫UдT ≤ Р .
Системи за масово обслужванеили теория на опашкатае предмет с произход от теорията на вероятностите. Но изследването на такива системи в приложение към реалния свят (и има много от тях: магазин или гара с каси, склад с оператори, фризьорски салони и болници, компютърни мрежи, машини и настройки, автоматична телефонна централа системи и т.н.) обикновено се провежда в рамките на предметите „Изследване на операциите“ и „Математически методи в икономиката“, затова поставяме примери за QS решения в този раздел.
Задачите на системите за масово обслужване се занимават с обекти, където има: а) опашка от приложения (клиенти, обаждания, посетители, сигнали и др.) и б) ограничен брой канали за тяхната обработка (оператори, касиери, лекари, транзистори, и др.). П.). Математически е възможно да се изчисли ефективността и ключовите показатели за ефективност на системата, което ще позволи в реалния свят да се настрои работата по най-правилния, икономичен, печеливш и удобен начин.
Можете да поръчате решението на вашите задачи и тестове по различни теми от теорията на системите за масово обслужване в MatBuro: (Решение на задачи по икономически и математически методи по поръчка). Цената на изпълнението е от 200 рубли, срокът е от 2 дни, дизайнът е детайлизиран в Word с графики и заключения.
Безплатни примери за QS решения (системи за опашка)
Задача 1.Интензитетът на телефонния поток към билетната агенция, която разполага с един телефон, е 16 обаждания на час. Продължителността на поръчката на билет е 2,4 минути. Определете относителната и абсолютната пропускателна способност на този QS и вероятността от повреда (телефонът е зает). Колко телефона трябва да има в агенцията, за да бъде относителната пропускателна способност поне 0.75.
Задача 2.Системата за чакане е каса с едно витрине и неограничена опашка. Билетната каса продава билети за точки А и Б. Пътниците, желаещи да закупят билет до точка А, идват средно трима за 20 минути, до точка Б - двама за 20 минути. Потокът от пътници е най-простият. Касиерът обслужва средно трима пътника за 10 минути. Времето за обслужване е образцово. Изчислете крайните вероятности P0, P2, P3, средния брой приложения в системата и в опашката, средното време, през което приложението остава в системата, средното време, през което приложението остава в опашката.
Задача 3.Междуградският кол център разполага с четири телефонни апарата. Средно на ден се получават по 320 заявки за преговори. Средната продължителност на преговорите е 5 минути. Дължината на опашката не трябва да надвишава 6 абоната. Потоците от заявки и услуги са най-прости. Определете характеристиките на услугата на центъра за обаждания в стационарен режим (вероятност за прекъсване на канала, вероятност за повреда, вероятност за обслужване, среден брой заети канали, среден брой приложения в опашката, среден брой приложения в системата, абсолютна пропускателна способност, относителна пропускателна способност, средно време на приложение в опашката, средно време на приложение в системата, средно време на приложение в услуга).
Примери за решаване на проблеми на системи за масово обслужване
Необходимо е да се решат задачи 1–3. Изходните данни са дадени в табл. 2–4.
Някои обозначения, използвани в теорията на опашките за формули:
n е броят на каналите в QS;
λ е интензитетът на входящия поток от приложения P в;
v е интензитетът на изходящия поток заявления P изх.;
μ е интензитетът на потока от услуги P около;
ρ е индикаторът за натоварване на системата (трафик);
m е максималният брой места в опашката, който ограничава дължината на опашката от приложения;
i е броят на източниците на заявка;
p k е вероятността за k-то състояние на системата;
p o - вероятността за бездействие на цялата система, т.е. вероятността всички канали да са свободни;
p syst е вероятността за приемане на приложение в системата;
p ref - вероятността за отхвърляне на приложението при приемането му в системата;
р около - вероятността приложението да бъде обслужено;
A е абсолютната производителност на системата;
Q е относителната производителност на системата;
och - средният брой заявления в опашката;
r е средният брой обслужвани приложения;
syst е средният брой приложения в системата;
pt е средното време за изчакване на приложение в опашката;
r е средното време на обслужване на заявката, свързано само с обслужените заявки;
sys е средното време на престой на приложение в системата;
oj е средното време, ограничаващо времето за изчакване на заявка в опашката;
е средният брой заети канали.
Абсолютната производителност на QS A е средният брой приложения, които могат да бъдат обслужени от системата за единица време.
Относителната пропускателна способност на QS Q е съотношението на средния брой заявки, обслужени от системата за единица време, към средния брой заявки, получени през това време.
При решаване на проблеми с опашката е изключително важно да се придържате към следната последователност:
1) определяне на типа QS съгласно табл. 4.1;
2) избор на формули в съответствие с вида на QS;
3) решаване на проблеми;
4) формулиране на изводи по проблема.
1. Схема на смъртта и размножаването.Знаем, че при дадена обозначена графика на състоянието можем лесно да напишем уравненията на Колмогоров за вероятностите на състоянието, а също така да напишем и решим алгебрични уравнения за крайните вероятности. Струва си да се каже, че за някои случаи последните уравнения
реши предварително, буквално. По-специално, това може да бъде направено, ако графиката на състоянието на системата е така наречената ʼʼсхема на смъртта и възпроизводствотоʼʼ.
Графиката на състоянието за схемата на смъртта и размножаването има формата, показана на фиг. 19.1. Особеността на тази графика е, че всички състояния на системата могат да бъдат разширени в една верига, в която всяко от средните състояния ( С 1 , С 2 ,…,С n-1) е свързан със стрелка напред и назад с всяко от съседните състояния - дясно и ляво, и крайните състояния (С 0 , С n) - само с една съседна държава. Терминът ʼʼсхема на смъртта и размножаванетоʼʼ произхожда от биологични проблеми, където такава схема описва промяната в размера на популацията.
Схемата на смъртта и възпроизводството много често се среща в различни проблеми на практиката, по-специално - в теорията на опашката, в това отношение е полезно веднъж завинаги да се намерят окончателните вероятности на състоянията за нея.
Да приемем, че всички потоци от събития, които пренасят системата по стрелките на графиката, са най-прости (за краткост ще наричаме системата Са протичащият в него процес – най-простият).
Използвайки графиката на фиг. 19.1, съставяме и решаваме алгебрични уравнения за крайните вероятности на състоянието), съществуването следва от факта, че от всяко състояние можете да отидете до всяко друго, броят на състоянията е краен). За първото състояние С 0 имаме:
(19.1)
За второто състояние S1:
Поради (19.1) последното равенство се свежда до вида
където кприема всички стойности от 0 до П.И така, окончателните вероятности p0, p1,..., p n удовлетворяват уравненията
(19.2)
освен това трябва да вземем предвид условието за нормализиране
стр 0 + стр 1 + стр 2 +…+ стр n=1. (19.3)
Нека решим тази система от уравнения. От първото уравнение (19.2) изразяваме стр 1 чрез Р 0 :
стр 1 = стр 0. (19.4)
От втория, като вземем предвид (19.4), получаваме:
(19.5)
‣‣‣ от трети, като се има предвид (19.5),
(19.6)
и като цяло, за всякакви к(от 1 до н):
(19.7)
Нека обърнем внимание на формула (19.7). Числителят е произведението на всички интензитети по стрелките, водещи отляво надясно (от началото до даденото състояние С k), а в знаменателя - произведението на всички интензитети по стрелките, водещи отдясно наляво (от началото до Sk).
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, всички вероятности за състояние Р 0 , стр 1 , ..., р nизразено чрез един от тях ( Р 0). Нека заместим тези изрази в условието за нормализиране (19.3). Получаваме чрез поставяне в скоби Р 0:
следователно получаваме израза за Р 0 :
(вдигнахме скобите на степен -1, за да не пишем двуетажни дроби). Всички други вероятности се изразяват чрез Р 0 (виж формули (19.4) - (19.7)). Имайте предвид, че коефициентите за Р 0 във всяка от тях не са нищо друго освен последователни членове на редицата след единицата във формулата (19.8). И така, изчисляване Р 0 , ние вече намерихме всички тези коефициенти.
Получените формули са много полезни при решаването на най-простите задачи от теорията на масовото обслужване.
^ 2. Малка формула.Сега извеждаме една важна формула, свързваща (за ограничителния стационарен режим) средния брой приложения Л syst, намиращ се в системата за опашка (т.е. обслужен или стоящ на опашка), и средното време на престой на приложението в системата Усист.
Нека разгледаме всеки QS (едноканален, многоканален, марковски, немарковски, с неограничена или ограничена опашка) и два потока от събития, свързани с него: потокът от клиенти, пристигащи в QS, и потокът от клиенти, напускащи QS QS. Ако в системата е установен ограничителен, стационарен режим, тогава средният брой приложения, пристигащи в QS за единица време, е равен на средния брой приложения, които го напускат: и двата потока имат еднаква интензивност λ.
Означават: X(t) -броя на приложенията, пристигнали в CMO преди момента T. Y(T) - броят на приложенията, които са напуснали CMO
до момента T.И двете функции са произволни и се променят рязко (увеличават се с единица) в момента на пристигането на заявките (Х(T)) и изпращане на заявки (Y(t)).Тип функции X(t) и Y(t)показано на фиг. 19.2; и двете линии са стъпаловидни, горната е X(t),нисък- Y(t).Очевидно за всеки момент Tтяхната разлика З(T)= X(t) - Y(t)не е нищо друго освен броя на приложенията в QS. Когато линиите X(t)и Y(t)сливане, няма заявки в системата.
Помислете за много дълъг период от време T(мислено продължавайки графиката далеч отвъд чертежа) и изчислете за нея средния брой приложения в QS. То ще бъде равно на интеграла на функцията Z(t)на този интервал, разделен на дължината на интервала T:
Лсист. = . (19.9) о
Но този интеграл не е нищо друго освен площта на фигурата, оцветена на фиг. 19.2. Нека да разгледаме добре тази снимка. Фигурата се състои от правоъгълници, всеки от които има височина, равна на единица, и основа, равна на времето на престой в системата от съответния ред (първо, второ и т.н.). Нека отбележим тези времена t1, t2,...Вярно, в края на интервала Tнякои правоъгълници ще влязат в защрихованата фигура не изцяло, а частично, но с достатъчно голяма Tтези малки неща няма да имат значение. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можем да приемем, че
(19.10)
където сумата се отнася за всички поръчки, получени през T.
Разделете дясната и лявата страна (.19.10) на дължината на интервала T.Получаваме, като вземем предвид (19.9),
Лсист. = . (19.11)
Разделяме и умножаваме дясната страна на (19.11) по интензитета X:
Лсист. = .
Но величината Tλне е нищо повече от средния брой заявления, получени през времето ^ Т.В случай, че разделим сбора на всички времена t iна средния брой приложения, тогава получаваме средното време на престой на приложението в системата Усист. Така,
Лсист. = λ Усист. ,
Усист. = . (19.12)
Това е прекрасната формула на Little: за всяко QS, за всякакво естество на потока от приложения, за всяко разпределение на времето за обслужване, за всяка дисциплина на обслужване средното време на престой на клиент в системата е равно на средния брой клиенти в системата, разделен на интензивността на клиентския поток.
По абсолютно същия начин се извежда втората формула на Литъл, която свързва средното време, което приложението прекарва в опашката ^ W ochи средния брой приложения в опашката Лоч:
У och = . (19.13)
За изхода е достатъчно вместо долния ред на фиг. 19.2 вземете функция U(t)- броя на заявления, останали до момента Tне от системата, а от опашката (ако приложение, което е влязло в системата, не стои на опашка, а веднага отива в услуга, пак можем да приемем, че влиза в опашката, но остава в нея за нула време).
Формулите на Литъл (19.12) и (19.13) играят важна роля в теорията на масовото обслужване. За съжаление, в повечето от съществуващите ръководства тези формули (доказани в обща форма сравнително наскоро) не са дадени 1).
§ 20. Най-простите системи за масово обслужване и техните характеристики
В този раздел ще разгледаме някои от най-простите QS и ще изведем изрази за техните характеристики (индикатори за ефективност). В същото време ще демонстрираме основните методологични похвати, характерни за елементарната, ʼʼʼʼʼʼ теория на масовото обслужване. Ние няма да преследваме броя QS проби, за които ще бъдат получени крайните изрази на характеристиките; тази книга не е ръководство по теория на масовото обслужване (подобна роля се изпълнява много по-добре от специални ръководства). Нашата цел е да запознаем читателя с някои ʼʼтриковеʼʼ, за да улесним пътя си през теорията на опашките, която в редица налични (дори претендиращи за популярни) книги може да изглежда като разхвърляна колекция от примери.
Всички потоци от събития, които прехвърлят QS от състояние в състояние, в този раздел ще разгледаме най-простите (без да уточняваме това всеки път конкретно). Сред тях ще бъде така нареченият ʼʼstream of serviceʼʼ. Това означава поток от заявки, обслужван от един непрекъснато зает канал. В този поток интервалът между събитията, както винаги в най-простия поток, има експоненциално разпределение (в много ръководства вместо това: ʼʼвремето за обслужване е експоненциалноʼʼ, ние самите ще използваме този термин в бъдеще).
1) В популярна книга е дадено малко по-различно в сравнение с горното извеждане на формулата на Литъл. Като цяло, запознаването с тази книга (ʼʼРазговор двеʼʼ) е полезно за първоначално запознаване с теорията на опашките.
В този раздел експоненциалното разпределение на времето за обслужване ще се приема за даденост, както винаги за „най-простата“ система.
В хода на презентацията ще представим характеристиките на ефективността на разглежданата QS.
^ 1. П-канал QS с повреди(Проблем с Erlang). Тук разглеждаме един от първите във времето, ʼʼкласическиʼʼ проблеми на теорията на масовото обслужване;
този проблем възниква от практическите нужди на телефонията и е решен в началото на нашия век от датския математик Ерлант. Задачата е поставена по следния начин: има Пканали (комуникационни линии), които приемат поток от приложения с интензитет λ. Сервизният поток има интензитет μ (реципрочната стойност на средното време за обслужване Tотносно). Намерете крайните вероятности за състоянията на QS, както и характеристиките на неговата ефективност:
^A-абсолютна производителност, т.е. средният брой приложения, обслужени за единица време;
Q-относителна производителност, т.е. средният дял на входящите заявки, обслужвани от системата;
^ Р отк- вероятността от повреда, т.е. фактът, че приложението оставя QS необслужен;
к-среден брой заети канали.
Решение. Състояния на системата ^S(QS) ще бъдат номерирани според броя на заявките в системата (в този случай той съвпада с броя на заетите канали):
S 0 -няма приложения в CMO,
S 1 -има една заявка в QS (един канал е зает, останалите са свободни),
Sk-в SMO е кприложения ( кканалите са заети, останалите са свободни),
S n -в SMO е Пприложения (всички нканалите са заети).
Графиката на състоянието на QS съответства на схемата на смъртта при репродукция (фиг. 20.1). Нека маркираме тази графика - поставете интензитета на потоците на събитията близо до стрелките. от С 0 инча S1системата се прехвърля от поток от заявки с интензитет λ (веднага щом пристигне заявка, системата скача от S0в S1).Същият поток от приложения превежда
система от всяко ляво състояние до съседното дясно състояние (вижте горните стрелки на Фигура 20.1).
Нека да намалим интензитета на долните стрелки. Нека системата е в държавата ^S 1 (един канал работи). Произвежда μ услуги за единица време. Слагаме стрелката С 1 →С 0 интензитет μ. Сега си представете, че системата е в държавата S2(работят два канала). За да отиде при нея S 1,необходимо е или първият канал, или вторият, да завършат обслужването; общата интензивност на техните обслужващи потоци е 2μ; поставете го на съответната стрелка. Общият обслужващ поток, даден от трите канала, има интензитет от 3μ, кканали - км.Поставяме тези интензитети в долните стрелки на фиг. 20.1.
И сега, знаейки всички интензитети, ще използваме готови формули (19.7), (19.8) за крайните вероятности в схемата на смъртта и размножаването. Съгласно формулата (19.8) получаваме:
Условия на разлагане 
ще бъдат коефициентите за p 0в изрази за p1
Обърнете внимание, че формулите (20.1), (20.2) не включват интензитетите λ и μ поотделно, а само като отношение λ/μ. Обозначете
λ/μ = ρ (20.3)
и ще наричаме стойността на р ʼʼнамалената интензивност на потока от заявкиʼʼ. Значението му е средният брой заявки, пристигащи за средното време за обслужване на една заявка. Използвайки тази нотация, пренаписваме формулите (20.1), (20.2) във формата:
Формулите (20.4), (20.5) за вероятностите за крайно състояние се наричат формули на Ерланг - в чест на основателя на теорията на масовото обслужване. Повечето от другите формули на тази теория (днес ги има повече от гъби в гората) не носят специални имена.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, крайните вероятности са намерени. Въз основа на тях ще изчислим характеристиките на ефективност на QS. Първо намираме ^ Р отк. - вероятността входящата заявка да бъде отказана (няма да бъде обслужена). За това е необходимо всички Пканалите бяха заети, така че
Р otk = Р n = . (20.6)
От тук намираме относителната производителност - вероятността приложението да бъде обслужено:
Q = 1 - Потворен = 1 - (20,7)
Получаваме абсолютната производителност, като умножим интензивността на потока от заявки λ по Q:
A = λQ = λ. (20.8)
Остава само да се намери средният брой заети канали к.Тази стойност може да бъде намерена ʼʼдиректноʼʼ, като математическо очакване на дискретна случайна променлива с възможни стойности 0, 1, ..., Пи вероятностите на тези стойности p 0 p 1 , ..., p n:
к = 0 · p 0 +един · p 1 + 2 · p 2 + ... + n · p n .
Замествайки тук изрази (20.5) за Рк, (k = 0, 1, ..., П)и извършвайки подходящите трансформации, в крайна сметка ще получим правилната формула за к.Но ние ще го отпечатаме много по-лесно (ето го, един от ʼʼмалките триковеʼʼ!) Всъщност знаем абсолютната честотна лента НО.Това не е нищо друго освен интензивността на потока от приложения, обслужвани от системата. Всеки зает i .shal за единица време обслужва средно |l заявки. Така че средният брой на заетите канали е
k = A/μ, (20.9)
или, като се има предвид (20.8),
k = 
(20.10)
Насърчаваме читателя сам да разработи примера.
Хостван на ref.rf
Има комуникационна станция с три канала ( н= 3), интензивността на потока от приложения λ = 1,5 (приложения в минута); средно време за обслужване на заявка T vol = 2 (мин.), всички потоци на събития (както в целия този параграф) са най-простите. Намерете вероятностите за крайно състояние и характеристиките на ефективността на QS: A, Q, Pотк, к.За всеки случай, ето и отговорите: стр 0 = 1/13, стр 1 = 3/13, стр 2 = 9/26, стр. 3 = 9/26 ≈ 0,346,
НО≈ 0,981, Q ≈ 0,654, Потворен ≈ 0,346, k ≈ 1,96.
От отговорите между другото се вижда, че нашата QS е до голяма степен претоварена: от три канала средно около два са заети, а около 35% от входящите заявки остават необслужени. Каним читателя, ако е любопитен и не мързелив, да разбере: колко канала ще са необходими, за да се задоволят поне 80% от входящите заявления? И какъв дял от каналите ще бъдат неактивни в същото време?
Вече има някакъв намек за оптимизация.Всъщност съдържанието на всеки канал струва определена сума за единица време. В същото време всяко обслужвано приложение носи известен доход. Умножете този приход по средния брой приложения НО,обслужени за единица време, ще получим средния доход от CMO за единица време. Естествено, с увеличаване на броя на каналите, този доход расте, но разходите, свързани с поддръжката на каналите, също растат. Какво ще надделее - увеличение на приходите или разходите? Зависи от условията на работа, от ʼʼтаксата за обслужване на приложениетоʼʼ и от разходите за поддръжка на канала. Познавайки тези стойности, можете да намерите оптималния брой канали, най-рентабилните. Няма да решим такъв проблем, оставяйки всичко на същия „не мързелив и любопитен читател“, който да измисли пример и да го реши. Като цяло измислянето на проблеми развива повече от решаването на вече зададени от някого.
^ 2. Едноканален QS с неограничена опашка.На практика едноканален QS с опашка е доста често срещан (лекар, обслужващ пациенти; телефонен автомат с една кабина; компютър, изпълняващ потребителски поръчки). В теорията на масовото обслужване едноканалните QS с опашка също заемат специално място (повечето от получените досега аналитични формули за немарковски системи принадлежат към такива QS). Поради тази причина ще обърнем специално внимание на едноканалните QS с опашка.
Нека има едноканална QS с опашка, върху която не се налагат ограничения (нито за дължината на опашката, нито за времето за изчакване). Този QS получава поток от заявки с интензитет λ ; потокът на услугата има интензитет μ, който е обратен на средното време за обслужване на заявката Tотносно. Необходимо е да се намерят крайните вероятности на състоянията на QS, както и характеристиките на неговата ефективност:
Лсист. - среден брой приложения в системата,
Усист. - средно време на престой на приложението в системата,
^L och- среден брой заявления в опашката,
Уоч - средното време, което едно приложение прекарва в опашката,
Пзан - вероятността каналът да е зает (степента на натоварване на канала).
Що се отнася до абсолютната производителност НОи роднина Q,тогава няма нужда да ги изчислявате:
поради факта, че опашката е неограничена, всяко приложение ще бъде обслужено рано или късно, във връзка с това A \u003d λ,по същата причина Q= 1.
Решение. Състоянията на системата, както и досега, ще бъдат номерирани според броя на приложенията в QS:
С 0 - каналът е безплатен
С 1 - каналът е зает (обслужва заявката), няма опашка,
С 2 - каналът е зает, една заявка е в опашката,
С k - каналът е зает, к- 1 заявки са на опашка,
Теоретично броят на състоянията не е ограничен от нищо (безкрайно). Графиката на състоянието има формата, показана на фиг. 20.2. Това е схема на смърт и размножаване, но с безкраен брой състояния. На всички стрелки потокът от заявки с интензитет λ прехвърля системата отляво надясно, а отдясно наляво - потокът от услуги с интензитет μ.
Първо, нека се запитаме има ли крайни вероятности в този случай? В крайна сметка броят на състоянията на системата е безкраен и по принцип при t → ∞опашката може да расте за неопределено време! Да, вярно е: крайните вероятности за такава QS не винаги съществуват, а само когато системата не е претоварена. Може да се докаже, че ако ρ е строго по-малко от едно (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при T→ ∞ расте безкрайно. Този факт изглежда особено "неразбираем" при ρ = 1. Изглежда, че няма невъзможни изисквания към системата: по време на обслужването на една заявка пристига средно една заявка и всичко трябва да е наред, но в действителност това не е. При ρ = 1 QS се справя с потока от заявки само ако даденият поток е регулярен и времето за обслужване също не е произволно, равно на интервала между заявките. В този ʼʼʼʼʼ случай изобщо няма да има опашка в QS, каналът ще бъде постоянно зает и редовно ще издава обслужвани заявки. Но веднага щом потокът от заявки или потокът от услуги станат поне малко произволни, опашката вече ще расте за неопределено време. На практика това не се случва само защото ʼʼбезкраен брой приложения в опашкатаʼʼ е абстракция. Това са грубите грешки, до които може да доведе замяната на случайни величини с техните математически очаквания!
Но да се върнем към нашия едноканален QS с неограничена опашка. Строго погледнато, формулите за крайните вероятности в схемата на смъртта и размножаването са изведени от нас само за случая на краен брой състояния, но нека си позволим свобода - ще ги използваме за безкраен брой състояния. Нека изчислим крайните вероятности на състоянията по формули (19.8), (19.7). В нашия случай броят на членовете във формула (19.8) ще бъде безкраен. Получаваме израз за p 0:
стр 0 = -1 =
\u003d (1 + p + p 2 + ... + p k + ... .) -1. (20.11)
Редът във формула (20.11) е геометрична прогресия. Знаем, че за ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р.
Хостван на ref.rf
За p ≥ 1 серията се разминава (което е косвено, макар и не строго доказателство, че вероятностите за крайното състояние p 0 , p 1 , ..., p k , ...съществува само за r<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем
1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,
стр 0 = 1 - p. (20.12)
Вероятности p 1 , p 2 , ..., p k ,... може да се намери по формулите:
p1 = ρ p 0 , p 2= ρ2 p 0 ,…,p k = ρ p0, ...,
откъдето, като вземем предвид (20.12), накрая намираме:
p1= ρ (1 - ρ), p2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k =ρ к(1 - p), . . .(20.13)
Както можете да видите, вероятностите p0, p1, ..., p k , ...образуват геометрична прогресия със знаменател p.
Хостван на ref.rf
Колкото и да е странно, най-големият от тях p 0 -вероятността каналът изобщо да бъде безплатен. Колкото и да е натоварена системата с опашката, стига изобщо да може да се справи с потока от приложения (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Намерете средния брой приложения в QS ^L сист. . Тук трябва да побърникате малко. Случайна стойност Z-брой заявки в системата - има възможни стойности 0, 1, 2, .... к, ...с вероятности p0, p 1 , p 2 , ..., p k , ...Математическото му очакване е
Лсистема = 0 p 0 +един · стр 1 + 2 стр 2 +…+к · стр k +…= (20,14)
(сумата се взема не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, тъй като нулевият член е равен на нула).
Заместваме във формула (20.14) израза за p k (20.13):
Лсист. = 
Сега изваждаме знака на сумата ρ (1-ρ):
Лсист. = ρ(1-ρ)
Тук отново прилагаме ʼʼтрикаʼʼ: кρ к-1 не е нищо друго освен производната по отношение на ρ на израза ρ к; означава,
Лсист. = ρ(1-ρ)
Чрез размяна на операциите диференциране и сумиране получаваме:
Лсист. = ρ (1-ρ) (20.15)
Но сумата във формула (20.15) не е нищо друго освен сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член ρ и знаменателя ρ; тази сума
равно на , и неговата производна , Замествайки този израз в (20.15), получаваме:
Лсистема =. (20.16)
Е, сега нека приложим формулата на Литъл (19.12) и да намерим средното време на престой на приложение в системата:
Усист = (20.17)
Намерете средния брой приложения в опашката Лоч. Ще аргументираме следното: броят на приложенията в опашката е равен на броя на приложенията в системата минус броя на приложенията в процес на обслужване. Така че (според правилото за добавяне на математически очаквания), средният брой приложения в опашката Л pt е равен на средния брой приложения в системата Л syst минус средния брой заявки в процес на обслужване. Броят на обслужваните заявки трябва да бъде нула (ако каналът е свободен) или едно (ако е зает). Математическото очакване на такава случайна променлива е равно на вероятността каналът да е зает (означихме го Рзан). очевидно, Р zan е равно на едно минус вероятността p 0че каналът е свободен: L ext и средното време на това чакане Увъншни (последните две количества са свързани с формулата на Литъл). И накрая, намерете общата дневна глоба W, която гарата ще трябва да плати за демюрейдж на влакове по външни коловози, ако гарата плати глоба a (рубли) за един час демюрейдж на един влак. За всеки случай, ето и отговорите: Лсист. = 2 (състав), Усист. = 1 (час), Лточки = 4/3 (състав), У pt = 2/3 (часа), Лвъншен = 16/27 (състав), Увъншен = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средната дневна санкция W за чакане на влакове по външни коловози се получава чрез умножаване на средния брой влакове, пристигащи на гарата на ден, средното време за чакане на влакове по външни коловози и часовата глоба а: W ≈ 14,2 а.
^ 3. Повторно канализиране на QS с неограничена опашка.Напълно подобен на проблем 2, но малко по-сложен, проблемът на н-канал QS с неограничена опашка. Номерацията на състоянията отново е според броя на приложенията в системата:
н<1. В случае если ρ/н≥ 1, опашката расте до безкрайност.
Да приемем, че условието ρ/ н < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для p 0ще има поредица от членове, съдържащи факториели, плюс сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател ρ/ н. Обобщавайки го, намираме
(20.22)
Сега нека намерим характеристиките на ефективността на QS. От тях най-лесно е да намерите средния брой заети канали к== λ/μ, = ρ (това обикновено е вярно за всяка QS с неограничена опашка). Намерете средния брой приложения в системата Лсистема и средния брой приложения в опашката Лоч. От тях е по-лесно да се изчисли второто според формулата
Л och =
извършване на съответните трансформации според образеца на задача 2
(с диференциране на серията), получаваме:
Л och = 
(20.23)
Добавяне към него на средния брой обслужвани приложения (това е и средният брой на заетите канали) k =ρ, получаваме:
Лсистема = Л och + ρ. (20.24)
Разделяне на изрази за Лох и Лсистема върху λ , използвайки формулата на Литъл, получаваме средното време на престой на приложение в опашката и в системата:
(20.25)
Сега нека решим един интересен пример.
Хостван на ref.rf
Железопътна билетна каса с две гишета е двуканална QS с неограничена опашка, която се установява незабавно до две гишета (ако единият прозорец е свободен, следващият пътник на опашката го взема). Касата продава билети на две точки: А и AT.Интензивността на потока от заявления (пътници, които искат да закупят билет) за двете точки А и Бе една и съща: λ A = λ B = 0,45 (пътник в минута), като общо те образуват общ поток от заявки с интензитет λ A +
λB = 0,9. Един касиер отделя средно две минути за обслужване на пътник. Опитът показва, че опашките се натрупват пред гишето, пътниците се оплакват от бавното обслужване. НОи в AT,създайте две специализирани каси (по един прозорец във всяка), продавайки билети един - само до точката НО, другото - само до точката AT.Разумността на това предложение е спорна - някои твърдят, че опашките ще останат същите. Необходимо е да се провери полезността на предложението чрез изчисление. Тъй като можем да изчислим характеристиките само за най-простия QS, нека приемем, че всички потоци от събития са най-простите (това няма да повлияе на качествената страна на заключенията).
Добре тогава, да се заемем с работата. Нека разгледаме два варианта за организиране на продажба на билети - съществуващият и предложеният.
Вариант I (съществуващ). Двуканален QS получава поток от приложения с интензитет λ = 0,9; поддържащ интензитет на потока μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l.8. Тъй като ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим p 0 ≈ 0,0525. Средният брой заявления в опашката се намира по формулата (20.23): L och ≈ 7.68; средното време, прекарано от клиента на опашката (според първата от формулите (20.25)), е равно на Уточки ≈ 8,54 (мин.).
Вариант II (предложен). Необходимо е да се вземат предвид две едноканални QS (два специализирани прозореца); всеки получава поток от заявки с интензитет λ = 0,45; μ . все още е равно на 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) Л och = 8,1.
Ето един за вас! Дължината на опашката, оказва се, не само не е намаляла, но се е увеличила! Може би средното време на чакане на опашката е намаляло? Да видим. Деля Лточки на λ = 0,45, получаваме Уточки ≈ 18 (минути).
Това е рационализацията! Вместо да намалява, както средната дължина на опашката, така и средното време на чакане в нея се увеличават!
Нека се опитаме да отгатнем защо се случи това? След като помислихме над мозъка си, стигаме до извода: това се случи, защото в първия вариант (двуканален QS) средната част от времето, което е бездействие, е по-малко
Примери за решаване на проблеми на системи за масово обслужване - концепция и видове. Класификация и характеристики на категорията "Примери за решаване на проблеми на системи за масово обслужване" 2017, 2018.
Разгледаният в предишната лекция марковски случаен процес с дискретни състояния и непрекъснато време протича в системите за масово обслужване (QS).
Системи за масово обслужване - това са системи, в които заявките за услуги се получават в произволни моменти, докато получените заявки се обслужват с помощта на каналите за услуги, достъпни за системата.
Примери за системи за опашка са:
- сетълмент и парични възли в банки, предприятия;
- персонални компютри, които обслужват входящи приложения или изисквания за решаване на определени проблеми;
- автосервизи; бензиностанция;
- одиторски фирми;
- отдели на данъчни инспекции, участващи в приемането и проверката на текущата отчетност на предприятията;
- телефонни централи и др.
Възли |
Изисквания |
|
Болница |
санитари |
пациенти |
производство |
||
Летището |
Изходи от пистата Точки за регистрация |
Пътници |
Разгледайте схемата на работа на QS (фиг. 1). Системата се състои от генератор на заявки, диспечер и обслужващ възел, възел за отчитане на неизправности (терминатор, унищожител на заявки). Обслужващият възел обикновено може да има няколко обслужващи канала.
Ориз. един
- Генератор на приложения – обект, който генерира приложения: улица, работилница с инсталирани единици. Входът е поток на приложението(поток от клиенти към магазина, поток от счупени единици (автомобили, машини) за ремонт, поток от посетители в гардероба, поток от автомобили към бензиностанции и др.).
- Диспечер – лице или устройство, което знае какво да прави с билета. Възел, който регулира и насочва заявките към каналите за обслужване. Диспечер:
- приема заявления;
- образува опашка, ако всички канали са заети;
- насочва ги към канали за обслужване, ако има такива;
- отказва кандидатури (по различни причини);
- получава информация от сервизния възел за свободни канали;
- следи системното време.
- Завъртете - заявка акумулатор. Опашката може да не съществува.
- Обслужващ възел се състои от краен брой обслужващи канали. Всеки канал има 3 състояния: свободен, зает, неактивен. Ако всички канали са заети, можете да измислите стратегия към кого да прехвърлите приложението.
- Отказ от услуга се случва, ако всички канали са заети (някои от тях може да не работят).
В допълнение към тези основни елементи в QS, някои източници също разграничават следните компоненти:
терминатор - унищожител на транзакции;
склад - съхранение на ресурси и готова продукция;
счетоводна сметка - за извършване на операции от типа "осчетоводяване";
мениджър - мениджър на ресурси;
CMO класификация
Първото разделение (по наличието на опашки):
- CMO с неуспехи;
- CMO с опашка.
AT CMO с неуспехизаявка, която пристига в момента, когато всички канали са заети, се отхвърля, напуска QS и не се обслужва по-нататък.
AT CMO с опашкаприложение, което пристига в момент, когато всички канали са заети, не напуска, а се нарежда на опашка и чака възможност да бъде обслужено.
QS с опашкиса разделени на различни типове в зависимост от това как е организирана опашката - ограничено или неограничено. Ограниченията могат да се отнасят както до дължината на опашката, така и до времето за чакане, „дисциплината на обслужването“.
Така например се разглеждат следните QS:
- QS с нетърпеливи заявки (дължината на опашката и времето за обслужване са ограничени);
- QS с приоритетно обслужване, т.е. някои приложения се обслужват извън ред и т.н.
Типовете ограничения на опашката могат да се комбинират.
Друга класификация разделя CMO според източника на приложения. Самата система или някаква външна среда, която съществува независимо от системата, може да генерира приложения (изисквания).
Естествено, потокът от заявки, генерирани от самата система, ще зависи от системата и нейното състояние.
Освен това SMO се разделят на отворенООП и затворен SMO.
В отворен QS характеристиките на потока от приложения не зависят от състоянието на самия QS (колко канала са заети). В затворен QS те зависят. Например, ако един работник обслужва група машини, които се нуждаят от настройка от време на време, тогава интензивността на потока от „изисквания“ от машините зависи от това колко от тях вече са в добро състояние и чакат настройка.
Пример за затворена система: издаване на заплата от касиер в предприятие.
По броя на каналите QS се разделят на:
- едноканален;
- многоканален.
Характеристики на системата за масово обслужване
Основните характеристики на система за масово обслужване от всякакъв вид са:
- входния поток от входящи изисквания или заявки за услуги;
- дисциплина на опашката;
- обслужващ механизъм.
Поток за въвеждане на изисквания
За да опишете входния поток, трябва да зададете вероятностен закон, който определя последователността от моменти на получаване на изискванията за обслужване,и посочете броя на тези рекламации във всяка редовна разписка. В този случай, като правило, те работят с концепцията за "вероятностно разпределение на моментите на получаване на изискванията". Тук можете да действате като индивидуални и групови изисквания (броя на тези рекламации във всяка следваща разписка). В последния случай обикновено говорим за система за масово обслужване с паралелно-групово обслужване.
A i– време на пристигане между изискванията – независими еднакво разпределени случайни променливи;
E(A)е средното (MO) време на пристигане;
λ=1/E(A)- интензивността на получаване на изискванията;
Характеристики на входния поток:
- Вероятностен закон, който определя последователността от моменти на получаване на изискванията за услуга.
- Броят на заявките при всяко следващо пристигане за потоци за множествено предаване.
Дисциплина на опашката
Завъртете - набор от изисквания, чакащи да бъдат обслужени.
Опашката има име.
Дисциплина на опашката определя принципа, според който заявките, постъпващи на входа на обслужващата система, се свързват от опашката към обслужващата процедура. Най-често използваните дисциплини на опашка се определят от следните правила:
- кой превари, той завари;
първи влязъл първи излязъл (FIFO)
най-често срещаният тип опашка.
Каква структура от данни е подходяща за описание на такава опашка? Масивът е лош (ограничен). Можете да използвате структура LIST.
Списъкът има начало и край. Списъкът се състои от записи. Записът е клетка от списък. Приложението идва в края на списъка и се избира за обслужване от началото на списъка. Записът се състои от описание на приложението и връзка (индекс на това кой стои зад него). Освен това, ако опашката има ограничение във времето, тогава ограничението също трябва да бъде посочено.
Вие, като програмисти, трябва да можете да правите списъци двустранни, едностранни.
Списък с действия:
- вкарайте в опашката;
- вземете от началото;
- премахване от списъка след изчакване.
- последен дошъл, пръв обслужен LIFO (щипка за патрони, задънена улица на жп гарата, влезе в пълна кола).
Структура, известна като STACK. Може да се опише чрез структура от масив или списък;
- случаен избор на приложения;
- подбор на кандидатури по приоритетен критерий.
Всяко приложение се характеризира, наред с други неща, с ниво на приоритет и при пристигането си се поставя не в края на опашката, а в края на своята приоритетна група. Диспечерът сортира по приоритет.
Характеристики на опашката
- ограничениевреме за чаканемоментът на извършване на услугата (има опашка с ограничено време за изчакване за услуга, което се свързва с понятието „допустима дължина на опашката“);
- дължина на опашката.
Обслужващ механизъм
Обслужващ механизъм се определя от характеристиките на самата сервизна процедура и структурата на сервизната система. Процедурите за поддръжка включват:
- брой обслужващи канали ( н);
- продължителността на сервизната процедура (вероятностно разпределение на времето за обслужване на изискванията);
- броя на изпълнените изисквания в резултат на изпълнението на всяка такава процедура (за групови заявления);
- вероятността от повреда на обслужващия канал;
- структура на системата за обслужване.
За аналитично описание на характеристиките на сервизната процедура се използва понятието "вероятностно разпределение на времето за обслужване на изискванията".
Si– време за обслужване азто изискване;
E(S)– средно време на обслужване;
μ=1/E(S)- изискванията за скорост на обслужване.
Трябва да се отбележи, че времето за обслужване на едно приложение зависи от естеството на самото приложение или изискванията на клиента и от състоянието и възможностите на обслужващата система. В някои случаи също е необходимо да се вземе предвид вероятност за отказ на обслужващ каналслед определен ограничен интервал от време. Тази характеристика може да се моделира като поток от повреди, влизащи в QS и имащи приоритет пред всички други приложения.
Коефициент на използване на QS
нμ – скорост на обслужване в системата, когато всички обслужващи устройства са заети.
ρ=λ/( нμ) се нарича Коефициент на използване на QS , показва колко системни ресурси се използват.
Структура на системата за обслужване
Структурата на обслужващата система се определя от броя и взаимното разположение на обслужващите канали (механизми, устройства и др.). На първо място, трябва да се подчертае, че една обслужваща система може да има не един обслужващ канал, а няколко; система от този вид е в състояние да обслужва няколко изисквания едновременно. В този случай всички канали за услуги предлагат едни и същи услуги и следователно може да се твърди, че има паралелно обслужване .
Пример. Касови апарати в магазина.
Системата за обслужване може да се състои от няколко различни вида канали за обслужване, през които трябва да премине всяко обслужвано изискване, т.е. в системата за обслужване процедурите за обслужване на изискванията се изпълняват последователно . Механизмът за обслужване определя характеристиките на изходящия (обслужван) поток от заявки.
Пример. Лекарска комисия.
Комбинирана услуга - обслужване на депозити в спестовна каса: първо контрольор, след това касиер. По правило 2 контрольори на касиер.
Така, функционалността на всяка система за масово обслужване се определя от следните основни фактори :
- вероятностно разпределение на моментите на получаване на заявки за услуги (единични или групови);
- изисквания източник капацитет;
- вероятностно разпределение на продължителността на услугата;
- конфигурация на сервизната система (паралелно, серийно или паралелно-серийно обслужване);
- броят и производителността на каналите за обслужване;
- дисциплина на опашката.
Основните критерии за ефективността на функционирането на QS
Като основните критерии за ефективността на функционирането на системите за масово обслужване В зависимост от естеството на проблема, който се решава, може да има:
- вероятността за незабавно връчване на полученото заявление (P услуга =K obs /K post);
- вероятността за отказ на обслужване на полученото приложение (P otk =K otk /K post);
Очевидно е, че R obl + P otk =1.
Потоци, закъснения, обслужване. Формула на Полачек-Хинчин
Закъснение – един от критериите за услугата QS, времето, прекарано от заявката в очакване на услугата.
D i– забавяне в опашката на заявките аз;
W i \u003d D i + S i– време, прекарано в системата на изискването аз.
(с вероятност 1) е установеното средно забавяне на заявка в опашката;
(с вероятност 1) е средното време в стационарно състояние, което изискването прекарва в QS (изчакване).
Q(T) -броя на заявките в опашката в даден момент T;
L(T)– брой клиенти в системата в даден момент T(Q(T)плюс броя на изискванията, които са в действие по това време T.
След това експоненти (ако има такива)
(с вероятност 1) е средният брой заявки в опашката в стационарно състояние във времето;
(с вероятност 1) е осредненият във времето брой заявки в системата в стационарно състояние.
Обърнете внимание, че ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Qи Лв системата за опашка.
Ако си спомним, че ρ= λ/( нμ), тогава е ясно, че ако интензивността на получаване на заявки е по-голяма от нμ, тогава ρ>1 и е естествено системата да не може да се справи с такъв поток от приложения и следователно не може да се говори за d, w, Qи Л.
Най-общите и необходими резултати за системите за масово обслужване включват уравненията за запазване
Трябва да се отбележи, че горните критерии за оценка на производителността на системата могат да бъдат аналитично изчислени за системи за масово обслужване М/М/Н(н>1), т.е. системи с Марковски потоци от клиенти и услуги. За M/G/ l за всяко разпространение Жи за някои други системи. Като цяло разпределението на времето между пристигания, разпределението на времето за обслужване или и двете трябва да са експоненциални (или вид експоненциално Ерланг разпределение от k-ти ред), за да е възможно аналитично решение.
Освен това можете да говорите и за такива характеристики като:
- абсолютна пропускателна способност на системата – А=Р услуга *λ;
- относителна производителност на системата -
Друг интересен (и илюстративен) пример за аналитично решение – изчисляване на средното забавяне на опашката в стационарно състояние за система за масово обслужване M/G/ 1 по формулата:
.
В Русия тази формула е известна като формулата на Полачек. – Хинчин, в чужбина тази формула се свързва с името на Рос.
По този начин, ако E(S)има по-голяма стойност, отколкото претоварването (измерено в този случай като д) ще бъде по-голям; което е очаквано. Формулата разкрива и един по-малко очевиден факт: задръстванията също се увеличават, когато променливостта в разпределението на времето за обслужване се увеличава, дори ако средното време за обслужване остава същото. Интуитивно това може да се обясни по следния начин: дисперсията на случайната променлива на времето за обслужване може да приеме голяма стойност (тъй като трябва да е положителна), т.е. единственото обслужващо устройство ще бъде заето дълго време, което ще доведе до увеличение в опашката.
Предмет на теорията на масовото обслужванее да се установи връзката между факторите, които определят функционалността на системата за масово обслужване и ефективността на нейното функциониране. В повечето случаи всички параметри, които описват системите за масово обслужване, са случайни променливи или функции, така че тези системи се наричат стохастични системи.
Случайният характер на потока от заявки (изисквания), както и в общия случай продължителността на услугата води до факта, че в системата за масово обслужване възниква случаен процес. По естеството на случайния процес възникващи в система за масово обслужване (QS), се разграничават Марковски и немарковски системи . В системите на Марков входящият поток от заявки и изходящият поток от обслужвани заявки (рекламации) са поасонови. Поасоновите потоци улесняват описването и изграждането на математически модел на система за масово обслужване. Тези модели имат доста прости решения, така че повечето от добре познатите приложения на теорията на масовото обслужване използват схемата на Марков. В случай на немарковски процеси, проблемите на изучаването на системите за масово обслужване стават много по-сложни и изискват използването на статистическо моделиране, числени методи с помощта на компютър.
Зареждане...