Корен квадратен на ръка. Изследователска работа по темата: "Извличане на квадратни корени от големи числа без калкулатор"

Доста често, когато решаваме задачи, се сблъскваме с големи числа, от които трябва да извлечем Корен квадратен . Много ученици решават, че това е грешка и започват да решават целия пример. В никакъв случай не трябва да се прави това! Има две причини за това:

1. Корени от големи числадействително се срещат в задачите. Особено в текста;
2. Има алгоритъм, по който тези корени се разглеждат почти устно.

Днес ще разгледаме този алгоритъм. Може би някои неща ще ви се сторят неразбираеми. Но ако обърнете внимание на този урок, ще получите най-мощното оръжиесрещу квадратни корени .

Така че алгоритъмът:

1. Ограничете желания корен отгоре и отдолу до кратни на 10. Така ще намалим обхвата на търсене до 10 числа;
2. От тези 10 числа отсейте тези, които определено не могат да бъдат корени. В резултат на това ще останат 1-2 номера;
3. На квадрат тези 1-2 числа. Този от тях, чийто квадрат е равен на първоначалното число, ще бъде коренът.

Преди прилагането на този алгоритъм да работи на практика, нека разгледаме всяка отделна стъпка.

Roots ограничение

Първо, трябва да разберем между кои числа се намира нашият корен. Много е желателно числата да са кратни на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получаваме поредица от числа:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Какво ни дават тези числа? Просто е: получаваме граници. Вземете например числото 1296. То се намира между 900 и 1600. Следователно неговият корен не може да бъде по-малък от 30 и по-голям от 40:

[Надпис на фигура]

Същото е с всяко друго число, от което можете да намерите корен квадратен. Например 3364:

[Надпис на фигура]

Така, вместо неразбираемо число, получаваме много специфичен диапазон, в който се намира оригиналният корен. За да стесните допълнително обхвата на търсенето, преминете към втората стъпка.

Премахване на очевидно излишни числа

И така, имаме 10 числа - кандидати за корен. Получихме ги много бързо, без сложно мислене и умножение в колона. Време е да продължиш напред.

Вярвате или не, сега ще намалим броя на кандидатстващите номера до две - и отново без никакви сложни изчисления! Достатъчно е да знаете специалното правило. Ето го:

Последната цифра на квадрата зависи само от последната цифра оригинален номер.

С други думи, достатъчно е да погледнем последната цифра на квадрата - и веднага ще разберем къде завършва оригиналното число.

Има само 10 цифри, които могат да бъдат на последно място. Нека се опитаме да разберем в какво се превръщат, когато са на квадрат. Разгледайте таблицата:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Тази таблица е още една стъпка към изчисляване на корена. Както можете да видите, числата във втория ред се оказаха симетрични по отношение на петицата. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Както можете да видите, последната цифра е една и съща и в двата случая. И това означава, че например коренът на 3364 задължително завършва на 2 или 8. От друга страна, помним ограничението от предишния параграф. Получаваме:

[Надпис на фигура]

Червените квадрати показват, че все още не знаем тази цифра. Но в края на краищата коренът се намира между 50 и 60, на който има само две числа, завършващи на 2 и 8:

[Надпис на фигура]

Това е всичко! От всички възможни корени оставихме само два варианта! И това е в най-трудния случай, защото последната цифра може да бъде 5 или 0. И тогава единственият кандидат за корените ще остане!

Окончателни изчисления

И така, остават ни 2 кандидатски номера. Как да разберете кой е коренът? Отговорът е очевиден: повдигнете на квадрат двете числа. Този, който е повдигнат на квадрат, ще даде оригиналното число и ще бъде коренът.

Например за числото 3364 намерихме две кандидат-числа: 52 и 58. Нека ги повдигнем на квадрат:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Това е всичко! Оказа се, че коренът е 58! В същото време, за да опростя изчисленията, използвах формулата на квадратите на сбора и разликата. Благодарение на това дори не е нужно да умножавате числата в колона! Това е друго ниво на оптимизация на изчисленията, но, разбира се, е напълно незадължително :)

Примери за изчисляване на корен

Теорията е добра, разбира се. Но нека го тестваме на практика.

[Надпис на фигура]

Първо, нека разберем между кои числа се намира числото 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега нека да разгледаме последното число. Равно е на 6. Кога става това? Само ако коренът завършва на 4 или 6. Получаваме две числа:

Остава да поставите на квадрат всяко число и да го сравните с оригинала:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Отлично! Първият квадрат се оказа равен на първоначалното число. Така че това е коренът.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Нека да разгледаме последното число:

1369 → 9;
33; 37.

Нека го повдигнем на квадрат:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Ето отговора: 37.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Нека да разгледаме последното число:

2704 → 4;
52; 58.

Нека го повдигнем на квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Получихме отговора: 52. Второто число вече няма да е необходимо да се повдига на квадрат.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Нека да разгледаме последното число:

4225 → 5;
65.

Както можете да видите, след втората стъпка остава само една опция: 65. Това е желаният корен. Но нека все пак го повдигнем на квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Всичко е точно. Записваме отговора.

Заключение

Уви, не по-добре. Нека да разгледаме причините. Има две от тях:

• Забранено е използването на калкулатори на всеки нормален изпит по математика, било то GIA или Единния държавен изпит. А за носенето на калкулатор в класната стая лесно могат да бъдат изгонени от изпита.
• Не бъдете като глупавите американци. Които не са като корените – те са две прости числане може да се сгъва. А при вида на дроби обикновено изпадат в истерия.

Какво е квадратен корен?

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Тази концепция е много проста. Естествен, бих казал. Математиците се опитват да намерят реакция за всяко действие. Има събиране и има изваждане. Има умножение и има деление. Има квадратура ... Така че също има извличане на корен квадратен!Това е всичко. Това действие ( вземане на корен квадратен) в математиката се обозначава с тази икона:

Самата икона се нарича красива дума "радикален".

Как да извлечете корена?По-добре е да се вземе предвид примери.

Колко е корен квадратен от 9? И кое число на квадрат ще ни даде 9? 3 на квадрат ни дава 9! Тези:

Колко е корен квадратен от нула? Няма проблем! Какво число на квадрат дава нулата? Да, той самият дава нула! означава:

Хванат какво е квадратен корен?След това обмисляме примери:

Отговори (в безпорядък): 6; един; четири; 9; 5.

Решихте ли? Наистина, много по-лесно е!

Но... Какво прави човек като види някаква задача с корени?

Човек започва да копнее ... Той не вярва в простотата и лекотата на корените. Въпреки че изглежда знае какво е корен квадратен...

Това е така, защото човек е пренебрегнал няколко важни точки при изучаването на корените. Тогава тези прищявки брутално отмъщават на тестове и изпити ...

Точка едно. Корените трябва да се разпознават по очите!

Колко е корен квадратен от 49? Седем? вярно! Как разбра, че са седем? Поставих на квадрат седем и получих 49? Правилно! Моля, имайте предвид, че извлечете коренаот 49, трябваше да направим обратната операция - квадрат 7! И гледай да не пропуснем. Или могат да пропуснат...

В това се крие трудността извличане на корени. Квадратуравсеки брой е възможен без никакви проблеми. Умножете числото само по себе си в колона - и това е всичко. Но за извличане на корениняма толкова проста и безпроблемна технология. сметка за Вдигниотговорете и го проверете за попадение чрез повдигане на квадрат.

Този сложен творчески процес - избор на отговор - е значително опростен, ако вие помняквадрати на популярни числа. Като таблица за умножение. Ако, да речем, трябва да умножите 4 по 6 - не събирате четирите 6 пъти, нали? Отговорът веднага изскача 24. Въпреки че не всеки го има, да ...

За безплатна и успешна работа с корени е достатъчно да знаете квадратите на числата от 1 до 20. Освен това, тами обратно.Тези. трябва да можете лесно да назовете както, да речем, 11 на квадрат, така и корен квадратен от 121. За да постигнете това запомняне, има два начина. Първият е да научите таблицата на квадратите. Това ще помогне много с примери. Второ, решете повече примери. Страхотно е да запомните таблицата с квадратите.

И никакви калкулатори! Само за проверка. В противен случай ще се забавите безмилостно по време на изпита ...

Така, какво е корен квадратенИ как екстракт от корени- Мисля, че е разбираемо. Сега нека разберем ОТ КАКВО можете да ги извлечете.

Точка две. Root, не те познавам!

От кои числа можете да извадите квадратен корен? Да, почти всякакви. По-лесно е да разберете какво забранено еизвлечете ги.

Нека се опитаме да изчислим този корен:

За да направите това, трябва да изберете число, което на квадрат ще ни даде -4. Ние избираме.

Какво не е избрано? 2 2 дава +4. (-2) 2 отново дава +4! Това е... Няма числа, които, повдигнати на квадрат, да ни дадат отрицателно число! Въпреки че знам числата. Но няма да ви кажа.) Отидете в колеж и разберете сами.

Същата история ще бъде с всяко отрицателно число. Оттук и заключението:

Израз, в който отрицателно число е под знака за квадратен корен - няма смисъл! Това е забранена операция. Толкова забранено, колкото делението на нула. Имайте предвид този факт!Или с други думи:

Не можете да извличате квадратни корени от отрицателни числа!

Но от всичко останало - можете. Например, възможно е да се изчисли

На пръв поглед това е много трудно. Вземете дроби, но повдигнете на квадрат ... Не се притеснявайте. Когато се занимаваме със свойствата на корените, такива примери ще бъдат сведени до същата таблица с квадрати. Животът ще стане по-лесен!

Добре дроби. Но все още срещаме изрази като:

ОК е. Все същото. Корен квадратен от две е числото, което, когато се повдигне на квадрат, ще ни даде двойка. Само числото е напълно нечетно ... Ето го:

Интересното е, че тази дроб никога не свършва... Такива числа се наричат ​​ирационални. При квадратни корени това е най-често срещаното нещо. Между другото, затова се наричат ​​изрази с корени ирационален. Ясно е, че писането на такава безкрайна дроб през цялото време е неудобно. Следователно, вместо безкрайна дроб, те го оставят така:

Ако при решаването на примера получите нещо, което не може да се извлече, като например:

тогава го оставяме така. Това ще бъде отговорът.

Трябва ясно да разберете какво има под иконите

Разбира се, ако се вземе коренът на числото гладка, трябва да го направите. Отговорът на задачата във формата, напр

доста пълен отговор.

И, разбира се, трябва да знаете приблизителните стойности от паметта:

Тези знания помагат много за оценка на ситуацията при сложни задачи.

Точка три. Най-хитрият.

Основното объркване в работата с корените се внася именно от тази мода. Той е този, който дава съмнение в себе си ... Нека се справим с тази прищявка правилно!

Като начало отново извличаме корен квадратен от техните четири. Какво, вече ви хванах с този корен?) Нищо, сега ще бъде интересно!

Какво число ще даде на квадрат 4? Е, две, две - чувам недоволни отговори ...

вярно две. Но също минус двеще даде 4 на квадрат ... Междувременно отговорът

правилно и отговорът

груба грешка. Като този.

И така, каква е сделката?

Наистина, (-2) 2 = 4. И според дефиницията на корен квадратен от четири минус дведоста подходящ ... Това също е корен квадратен от четири.

Но! В училищния курс по математика е обичайно да се вземат предвид квадратни корени само неотрицателни числа!Т.е. нула и всички положителни. Дори беше измислен специален термин: от номера а- това е неотрицателничисло, чийто квадрат е а. Отрицателните резултати при извличане на аритметичния квадратен корен просто се изхвърлят. В училище всички квадратни корени - аритметика. Въпреки че не е специално споменато.

Добре, това е разбираемо. Дори е по-добре да не се забърквате с отрицателни резултати... Още не е объркване.

Объркването започва при решаването на квадратни уравнения. Например, трябва да решите следното уравнение.

Уравнението е просто, ние пишем отговора (както се преподава):

Този отговор (доста правилен, между другото) е просто съкратено обозначение двеотговори:

Спри, спри! Малко по-нагоре написах, че квадратният корен е число винагинеотрицателен! И ето един от отговорите - отрицателен! Разстройство. Това е първият (но не и последният) проблем, който предизвиква недоверие към корените ... Нека разрешим този проблем. Нека запишем отговорите (чисто за разбиране!) така:

Скобите не променят същността на отговора. Просто отделих със скоби знациот корен. Сега ясно се вижда, че самият корен (в скоби) все още е неотрицателно число! И знаците са резултатът от решаването на уравнението. В крайна сметка, когато решаваме всяко уравнение, трябва да пишем всичко x, което, когато се замести в оригиналното уравнение, ще даде правилния резултат. Коренът от пет (положителен!) е подходящ за нашето уравнение както с плюс, така и с минус.

Като този. Ако ти просто вземете корен квадратенот всичко, което вие винагиполучавам едно неотрицателнорезултат. Например:

Защото то - аритметичен квадратен корен.

Но ако решите някакво квадратно уравнение като:

тогава винагиОказва се двеотговор (с плюс и минус):

Защото това е решението на уравнение.

надежда, какво е корен квадратенразбрахте добре с точките си. Сега остава да разберем какво може да се направи с корените, какви са техните свойства. И какви са прищявките и подводните кутии ... извинете ме, камъни!)

Всичко това - в следващите уроци.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Преди появата на калкулаторите учениците и учителите изчисляваха квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на корен квадратен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

стъпки

Разлагане на прости множители

Разложете коренното число на множители, които са квадратни числа.В зависимост от номера на корена ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да бъде извлечен целият квадратен корен. Факторите са числа, които, когато се умножат, дават оригиналното число. Например множителите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратни множители са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите коренното число на квадратни множители.

• Например, изчислете корен квадратен от 400 (ръчно). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни множители. 400 е кратно на 100, т.е. дели се на 25 - това е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16. Числото 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да се разложи на квадратни множители от 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Това може да се запише по следния начин: √400 = √(25 x 16).

1. Коренът квадратен от произведението на някои членове е равен на произведението от корените квадратни на всеки член, тоест √(a x b) = √a x √b. Използвайте това правило и вземете квадратен корен от всеки квадратен фактор и умножете резултатите, за да намерите отговора.

   • В нашия пример вземете корен квадратен от 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 х 4 = 20

2. Ако коренното число не се разделя на два квадратни фактора (а в повечето случаи е така), няма да можете да намерите точния отговор под формата на цяло число. Но можете да опростите проблема, като разложите коренното число на квадратен множител и обикновен множител (число, от което не може да бъде взет целият квадратен корен). След това ще вземете корен квадратен от квадратния множител и ще вземете корен от обикновения множител.

   • Например, изчислете корен квадратен от числото 147. Числото 147 не може да се разложи на два квадратни множителя, но може да се разложи на следните множители: 49 и 3. Решете задачата, както следва:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ако е необходимо, оценете стойността на корена.Сега можете да оцените стойността на корена (намерете приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратни числа, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до коренното число. Ще получите стойността на корена като десетична дроб, която трябва да бъде умножена по числото зад знака за корен.

   • Да се ​​върнем към нашия пример. Коренът е 3. Най-близките квадратни числа до него са числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). По този начин стойността на √3 е между 1 и 2. Тъй като стойността на √3 вероятно е по-близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в знака на корена: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ако направите изчисленията на калкулатор, ще получите 12,13, което е доста близо до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Коренът е 35. Най-близките квадратни числа до него са числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). По този начин стойността на √35 е между 5 и 6. Тъй като стойността на √35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само с 1 по-малко от 36), можем да заявим, че √35 е малко по-малко от 6. Проверката с калкулатор ни дава отговор 5.92 - бяхме прави.

4. Друг начин е коренното число да се разложи на прости множители.Простите множители са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Напишете простите множители подред и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от знака на корена.

   • Например, изчислете корен квадратен от 45. Ние разлагаме корена на прости множители: 45 \u003d 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 може да бъде извадено от знака за корен: √45 = 3√5. Сега можем да оценим √5.
   • Помислете за друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Имате три множителя 2; вземете няколко от тях и ги извадете от знака на корена.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можем да оценим √2 и √11 и да намерим приблизителен отговор.

   Ръчно изчисляване на корен квадратен

   Използване на колонно деление

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото деление и дава точен отговор.Първо начертайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, и след това нарисувайте надясно и малко под горния ръб на листа до вертикалната линия хоризонтална линия. Сега разделете коренното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. И така, числото 79520789182.47897 е написано като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим корен квадратен от числото 780,14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и напишете числото в горния ляв ъгъл като "7 80, 14". Нормално е първата цифра отляво да е несдвоена цифра. Отговорът (коренът на даденото число) ще бъде изписан горе вдясно.

   2. Дадена е първата двойка числа (или едно число) отляво, намерете най-голямото цяло число n, чийто квадрат е по-малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число). С други думи, намерете квадратното число, което е най-близо до, но по-малко от първата двойка числа (или едно число) отляво, и извадете квадратния корен от това квадратно число; ще получите числото n. Запишете намереното n горе вдясно и квадратчето n долу вдясно.

      • В нашия случай първото число отляво ще бъде числото 7. След това 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Извадете квадрата на числото n, което току-що намерихте, от първата двойка числа (или едно число) отляво.Запишете резултата от изчислението под субтрахенда (квадрата на числото n).

      • В нашия пример извадете 4 от 7, за да получите 3.

   4. Запишете втората двойка числа и я запишете до стойността, получена в предишната стъпка.След това удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавено „_×_=".

      • В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това удвояването на числото от горния десен ъгъл дава 4. Напишете "4_×_=" от долния десен ъгъл.

   5. Попълнете празните полета вдясно.

      • В нашия случай, ако вместо тирета поставим числото 8, тогава 48 x 8 \u003d 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 е добре. Напишете 7 вместо тирета и получете: 47 x 7 \u003d 329. Напишете 7 от горния десен ъгъл - това е втората цифра в желания корен квадратен от числото 780,14.

   6. Извадете полученото число от текущото число вляво.Запишете резултата от предишната стъпка под текущото число вляво, намерете разликата и я запишете под изваденото.

      • В нашия пример извадете 329 от 380, което е равно на 51.

   7. Повторете стъпка 4.Ако двойката числа, които се разрушават, е дробната част на оригиналното число, тогава поставете разделителя (запетая) на целите числа и дробните части в желания квадратен корен от горния десен ъгъл. Отляво пренесете надолу следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавено „_×_=".

      • В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде разрушена, ще бъде дробната част на числото 780.14, така че поставете разделителя на целите и дробните части в необходимия квадратен корен от горния десен ъгъл. Разрушете 14 и запишете долу вляво. Удвоете горния десен ъгъл (27) е 54, така че напишете "54_×_=" долу вдясно.

   8. Повторете стъпки 5 и 6.Намери го най-голям бройна мястото на тирета отдясно (вместо тирета, трябва да замените същото число), така че резултатът от умножението да е по-малък или равен на текущото число отляво.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по-малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете резултата от умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знаци за корен квадратен, напишете двойка нули до текущото число отляво и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпките, докато получите точността на отговора, от който се нуждаете (брой десетични знаци).

   Разбиране на процеса

   За асимилация този методпомислете за числото, чийто квадратен корен искате да намерите, като площта на квадрат S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчислете стойността на L, за която L² = S.

   Въведете буква за всяка цифра в отговора си.Означете с A първата цифра в стойността на L (желания квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C третата и така нататък.

   Посочете буква за всяка двойка водещи цифри.Означаваме с S a първата двойка цифри в стойността S, с S b втората двойка цифри и т.н.

   Обяснете връзката на този метод с дългото деление.Както при операцията за деление, където всеки път се интересуваме само от една следваща цифра от делимото число, когато изчисляваме квадратния корен, работим с двойка цифри в последователност (за да получим следващата една цифра в стойността на квадратния корен) .

   1. Помислете за първата двойка цифри Sa на числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете неговия квадратен корен.В този случай първата цифра A от търсената стойност на квадратния корен ще бъде такава цифра, чийто квадрат е по-малък или равен на S a (т.е. търсим такова A, което удовлетворява неравенството A² ≤ съб< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да кажем, че трябва да разделим 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на делимото число 88962 (8) и избираме най-голямото число, което, умножено по 7, дава стойност, по-малка или равна на 8. Тоест, търсим число d, за което е вярно неравенството: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Мислено си представете квадрата, чиято площ трябва да изчислите.Търсите L, тоест дължината на страната на квадрат, чиято площ е S. A, B, C са числа в числото L. Можете да го напишете по различен начин: 10A + B \u003d L (за две -цифрено число) или 100A + 10B + C \u003d L (за трицифрено число) и така нататък.

      • Позволявам (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Не забравяйте, че 10A+B е число, чието B означава единици, а A означава десетици. Например, ако A=1 и B=2, тогава 10A+B е равно на числото 12. (10A+B)²е площта на целия квадрат, 100A²е площта на големия вътрешен квадрат, B²е площта на малкия вътрешен квадрат, 10A×Bе площта на всеки от двата правоъгълника. Добавяйки площите на описаните фигури, ще намерите площта на оригиналния квадрат.

В предговора към първото си издание „В царството на изобретателността“ (1908) Е. И. Игнатиев пише: Резултатите са надеждни само когато въвеждането в областта на математическото знание е направено по лесен и приятен начин, върху предмети и примери от ежедневни и ежедневни ситуации, подбрани с нужното остроумие и забавление.

В предговора към изданието от 1911 г. на „Ролята на паметта в математиката“, E.I. Игнатиев пише "... в математиката трябва да се помни не формулите, а процеса на мислене."

За да извлечете квадратния корен, има таблици с квадрати за двуцифрени числа, можете да разложите числото на прости множители и да извлечете квадратния корен от произведението. Таблицата с квадрати не е достатъчна, извличането на корена чрез факторизиране е трудоемка задача, която също не винаги води до желания резултат. Опитайте се да извлечете корен квадратен от числото 209764? Разлагането на прости множители дава произведението 2 * 2 * 52441. Чрез проба и грешка, селекция - това, разбира се, може да стане, ако сте сигурни, че това е цяло число. Начинът, който искам да предложа, ви позволява да извадите корен квадратен във всеки случай.

Веднъж в института (Пермския държавен педагогически институт) се запознахме с този метод, за който сега искам да говоря. Никога не съм мислил дали този метод има доказателство, така че сега трябваше сам да изведа някои доказателства.

Основата на този метод е съставът на числото =.

=&, т.е. &2=596334.

1. Разделете числото (5963364) на двойки от дясно на ляво (5`96`33`64)

2. Извличаме корен квадратен от първата група отляво ( - номер 2). Така получаваме първата цифра от числото &.

3. Намерете квадрата на първата цифра (2 2 \u003d 4).

4. Намерете разликата между първата група и квадрата на първата цифра (5-4=1).

5. Разрушаваме следващите две цифри (получихме числото 196).

6. Удвояваме първата цифра, която намерихме, записваме я вляво зад линията (2*2=4).

7. Сега трябва да намерите втората цифра на числото &: удвоената първа цифра, която намерихме, става цифрата на десетките на числото, когато се умножи по броя на единиците, трябва да получите число, по-малко от 196 ( това е числото 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 е втората цифра от &.

8. Намерете разликата (196-176=20).

9. Разрушаваме следващата група (получаваме числото 2033).

10. Удвоете числото 24, получаваме 48.

11,48 десетици в число, когато се умножи по броя на единиците, трябва да получим число, по-малко от 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Намерената от нас цифра на единиците (4) е третата цифра на числото &.

Доказателството е дадено от мен за случаите:

1. Извличане на корен квадратен от трицифрено число;

2. Изваждане на корен квадратен от четирицифрено число.

Приблизителни методи за извличане на корен квадратен (без използване на калкулатор).

1. Древните вавилонци са използвали следния метод, за да намерят приблизителната стойност на корен квадратен от тяхното число x. Те представиха числото x като сума a 2 + b, където a 2 е най-близкото до x точния квадрат на естественото число a (a 2 ? x), и използваха формулата . (1)

Използвайки формула (1), извличаме квадратния корен, например, от числото 28:

Резултатът от извличането на корен от 28 с помощта на MK 5.2915026.

Както виждаме, пътят на вавилонците дава добро приближение точна стойносткорен.

2. Исак Нютон разработи метод на квадратен корен, който датира от Херон от Александрия (ок. 100 г. сл. Хр.). Този метод (известен като метод на Нютон) е както следва.

Позволявам а 1- първото приближение на число (като 1 можете да вземете стойностите на корен квадратен от естествено число - точен квадрат, който не превишава Х) .

Следващото, по-точно приближение а 2числа намира се по формулата .

Глава първа.

Извличане на най-голямото цяло число квадратен корен от дадено цяло число.

170. Предварителни бележки.

а)Тъй като ще говорим за извличане само на корен квадратен, за краткост в тази глава, вместо "корен квадратен", просто ще кажем "корен".

б)Ако повдигнем на квадрат числата от естествения ред: 1,2,3,4,5. . . , тогава получаваме следната таблица с квадрати: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Очевидно има много цели числа, които не са в тази таблица; от такива числа, разбира се, е невъзможно да се извлече цял корен. Следователно, ако искате да вземете корена на някакво цяло число, например. изисква се да се намери √4082, тогава ще се съгласим да разбираме това изискване, както следва: извлечете целия корен от 4082, ако е възможно; ако не, тогава трябва да намерим най-голямото цяло число, чийто квадрат е 4082 (такова число е 63, тъй като 63 2 \u003d 3969 и 64 2 \u003d 4090).

в)Ако това число е по-малко от 100, тогава коренът му е в таблицата за умножение; така че √60 ще бъде 7, тъй като sem 7 е равно на 49, което е по-малко от 60, и 8 е равно на 64, което е по-голямо от 60.

171. Извличане на корен от число по-малко от 10 000, но по-голямо от 100.Нека е необходимо да се намери √4082. Тъй като това число е по-малко от 10 000, тогава коренът му е по-малък от √l0 000 = 100. От друга страна, това число е по-голямо от 100; така че коренът му е по-голям от (или равен на 10) . (Ако, например, се изисква да се намери √ 120 , тогава въпреки че числото 120 > 100, обаче √ 120 е равно на 10, защото 11 2 = 121.) Но всяко число, което е по-голямо от 10, но по-малко от 100, има 2 цифри; така че желаният корен е сумата:

десетици + единици,

и следователно неговият квадрат трябва да е равен на сумата:

Тази сума трябва да бъде най-големият квадрат, състоящ се от 4082.

Нека вземем най-голямото от тях, 36, и да предположим, че квадратът на десетиците от корена ще бъде равен на този най-голям квадрат. Тогава броят на десетиците в корена трябва да е 6. Нека сега проверим дали това винаги трябва да е така, т.е. броят на десетиците на корена винаги е равен на най-големия корен от корена на стотните на корена.

Наистина, в нашия пример броят на десетките на корена не може да бъде повече от 6, тъй като (7 dec.) 2 \u003d 49 стотици, което надвишава 4082. Но не може да бъде по-малко от 6, тъй като 5 dec. (с единици) е по-малко от 6 дес, а междувременно (6 дес.) 2 = 36 стотици, което е по-малко от 4082. И тъй като търсим най-големия корен от цяло число, не трябва да вземаме 5 дес за корен, когато 6 десетици не са много.

И така, намерихме броя на десетиците на корена, а именно 6. Записваме това число отдясно на знака =, като помним, че това означава десетиците на корена. Като го повдигнем на квадрат, получаваме 36 стотици. Изваждаме тези 36 стотици от 40-те стотици на корена на числото и премахваме другите две цифри на това число. Остатъкът 482 трябва да съдържа 2 (6 дек.) (единици) + (единици) 2. Произведението от (6 дек.) (единица) трябва да бъде десетици; следователно удвоеното произведение на десетици по единици трябва да се търси в десетиците на остатъка, т.е. в 48 (ще получим техния номер, като отделим една цифра отдясно в остатъка 48 "2). които все още не са известни) , тогава трябва да получим числото, съдържащо се в 48. Следователно ще разделим 48 на 12.

За да направите това, начертаваме вертикална линия вляво от остатъка и зад нея (тръгвайки от линията едно място вляво за целта, която сега ще бъде намерена) записваме удвоената първа цифра на корена, т.е. 12, и разделяме на него 48. В частното получаваме 4.

Въпреки това, не можем да гарантираме предварително, че числото 4 може да бъде взето като единици на корена, тъй като сега сме разделили на 12 цялото число на десетките от остатъка, докато някои от тях може да не принадлежат към двойното произведение на десетиците по единици, но са част от квадрата на единиците. Следователно числото 4 може да е голямо. Трябва да я тествате. Очевидно е подходящо, ако сумата от 2 (6 dec.) 4 + 4 2 се окаже не повече от остатъка от 482.

В резултат на това веднага получаваме сумата от двете. Полученият продукт се оказа 496, което е повече от остатъка от 482; Така че 4 е голямо. След това ще тестваме следващото по-малко число 3 по същия начин.

Примери.

В 4-ти пример, когато разделяме 47 десетици от остатъка на 4, в частното получаваме 11. Но тъй като единичната цифра на корена не може да бъде двуцифрен 11 или 10, тогава трябва директно да тествате числото 9.

В 5-ия пример, след изваждане на 8 от първото лице на квадрата, остатъкът е 0, а следващото лице също се състои от нули. Това показва, че желаният корен се състои само от 8 десетици и следователно трябва да се постави нула на мястото на единиците.

172. Изваждане на корен от число, по-голямо от 10000. Нека се изисква да се намери √35782. Тъй като радикалното число е по-голямо от 10 000, тогава коренът му е по-голям от √10000 = 100 и следователно се състои от 3 цифри или повече. Без значение от колко цифри се състои, винаги можем да го разглеждаме като сбор само от десетици и единици. Ако, например, коренът се оказа 482, тогава можем да го разглеждаме като сбор от 48 dess. + 2 единици Тогава квадратът на корена ще се състои от 3 члена:

(дек.) 2 + 2 (дек.) (ед.) + (ед.) 2 .

Сега можем да разсъждаваме точно по същия начин, както при намирането на √4082 (в предишния параграф). Единствената разлика ще бъде, че за да намерим десетиците от корена на 4082, трябваше да извлечем корена от 40 и това можеше да стане с помощта на таблицата за умножение; сега, за да получим десетици√35782, ще трябва да вземем корен от 357, което не може да се направи с помощта на таблицата за умножение. Но можем да намерим √357 чрез трика, описан в предишния параграф, тъй като числото 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

След това процедираме както при намирането на √4082, а именно: вляво от остатъка от 3382 начертаваме вертикална черта и след нея записваме (отклонявайки се от линията с едно място) два пъти броя на намерените коренни десетки, т.е. 36 (два пъти по 18). В остатъка отделяме една цифра отдясно и разделяме броя на десетките от остатъка, т.е. 338, на 36. В частното получаваме 9. Тестваме това число, за което го приписваме на 36 отдясно и умножете го по него. Продуктът се оказа 3321, което е по-малко от остатъка. Така че числото 9 е добро, записваме го в корена.

Като цяло, за да се извади корен квадратен от всяко цяло число, първо трябва да се извади корен от неговите стотици; ако това число е повече от 100, тогава ще трябва да търсите корена от броя на стотиците от тези стотици, тоест от десетки хиляди на дадено число; ако това число е повече от 100, ще трябва да вземете корен от числото на стотици десетки хиляди, тоест от милиони на дадено число и т.н.

Примери.

В последния пример, намирайки първата цифра и изваждайки нейния квадрат, в остатъка получаваме 0. Разрушаваме следващите 2 цифри 51. Разделяйки десетиците, получаваме 5 dec, докато коренната цифра, намерена два пъти, е 6. И така, разделяйки 5 по 6 получаваме 0. Поставяме 0 в корена на второ място и разрушаваме следващите 2 цифри до остатъка; получаваме 5110. След това продължаваме както обикновено.

В този пример желаният корен се състои само от 9 стотици и следователно трябва да се поставят нули на мястото на десетките и единиците.

правило. За да извлечете корен квадратен от дадено цяло число, пречупете го от дясната страна наляво по ръба с 2 цифри във всяка, с изключение на последната, която може да има една цифра.
За да намерите първата цифра на корена, вземете корен квадратен от първото лице.
За да се намери втората цифра, квадратът на първата цифра на корена се изважда от първото лице, второто лице се унищожава до остатъка и броят на десетките на полученото число се разделя на два пъти първата цифра на корена ; полученото цяло число се тества.
Този тест се извършва по следния начин: зад вертикалната линия (вляво от остатъка) записват двукратното предварително намерено число на корена и към него от дясната страна приписват тестовата цифра, полученото число, след това добавяне, числото се умножава по тестовата цифра. Ако след умножението се получи число, което е по-голямо от остатъка, тогава тестовата цифра не е добра и трябва да се тества следващото по-малко число.
Следните числа от корена се намират по същия метод.
Ако след разрушаването на лицето броят на десетките на полученото число се окаже по-малък от делителя, т.е. по-малко от два пъти намерената част от корена, тогава 0 се поставя в корена, следващото лице се унищожава и действието продължава и по-нататък.

173. Броят на цифрите на корена.От разглеждането на процеса на намиране на корена следва, че има толкова цифри в корена, колкото има лица от по 2 цифри в коренното число (може да има една цифра в лявата страна).

Глава втора.

Извличане на приблизителни квадратни корени от цели и дробни числа .

Извличане на корен квадратен от полиноми, вижте допълненията към 2-ра част на § 399 и следващите.

174. Признаци на точен квадратен корен.Точният квадратен корен от дадено число е число, чийто квадрат е точно равен на даденото число. Нека посочим някои признаци, по които може да се прецени дали от дадено число се извлича точният корен или не:

а)Ако точният цяло число не се извлича от дадено цяло число (получава се при извличане на остатъка), тогава не може да се намери дробен точен корен от такова число, тъй като всяка дроб, която не е равна на цяло число, когато се умножи по себе си , също дава дроб в произведението, а не цяло число.

б)Тъй като коренът на дробта равен на коренаот числителя, разделен на корена на знаменателя, тогава точният корен на несъкратимата дроб не може да бъде намерен, ако не може да бъде извлечен от числителя или от знаменателя. Например точният корен не може да се извлече от дроби 4/5, 8/9 и 11/15, тъй като в първата дроб не може да се извлече от знаменателя, във втората - от числителя, а в третата - нито от числителя, нито от знаменателя.

От такива числа, от които е невъзможно да се извлече точният корен, могат да се извадят само приблизителни корени.

175. Приблизителен корен до 1. Приблизителен квадратен корен до 1 от дадено число (цяло число или дробно число – няма значение) е цяло число, което отговаря на следните две изисквания:

1) квадратът на това число не е по-голям от даденото число; 2), но квадратът на това число, увеличен с 1, е по-голям от даденото число. С други думи, приблизителният квадратен корен до 1 е най-голямото цяло число квадратен корен от дадено число, тоест коренът, който се научихме да намираме в предишната глава. Този корен се нарича приблизителен до 1, тъй като за да се получи точен корен, към този приблизителен корен трябва да се добави някаква дроб, по-малка от 1, така че ако вместо неизвестен точен корен вземем този приблизителен, ще направим грешка по-малка от 1.

правило. За да извлечете приблизителен квадратен корен с точност до 1, трябва да извлечете най-големия цяло число корен от цялата част на дадено число.

Числото, намерено според това правило, е приблизителен корен с недостатък, тъй като му липсва някаква дроб (по-малко от 1) към точния корен. Ако увеличим този корен с 1, тогава получаваме друго число, в което има някакъв излишък над точния корен и този излишък е по-малък от 1. Този корен, увеличен с 1, може да се нарече и приблизителен корен до 1, но с излишък. (Наименованията: "с липса" или "с излишък" в някои математически книги са заменени с други еквивалентни: "с дефицит" или "с излишък".)

176. Приблизителен корен с точност до 1/10. Нека се изисква да се намери √2,35104 до 1/10. Това означава, че е необходимо да се намери такава десетична дроб, която да се състои от цели единици и десети и която да отговаря на следните две изисквания:

1) квадратът на тази дроб не надвишава 2,35104, но 2) ако го увеличим с 1/10, тогава квадратът на тази увеличена дроб надвишава 2,35104.

За да намерим такава дроб, първо намираме приблизителен корен до 1, тоест извличаме корена само от цялото число 2. Получаваме 1 (и остатъкът е 1). Пишем цифрата 1 в основата и поставяме запетая след нея. Сега ще търсим броя на десетите. За да направите това, сваляме цифрите 35 до остатъка от 1, вдясно от запетаята, и продължаваме извличането, сякаш извличаме корена от цялото число 235. Записваме полученото число 5 в корена на място от десетите. Не се нуждаем от останалите цифри от коренното число (104). Че полученото число 1,5 наистина ще бъде приблизителен корен с точност до 1/10 е видно от следното. Ако трябваше да намерим най-големия корен от цяло число от 235 с точност до 1, тогава ще получим 15. И така:

15 2 < 235, но 16 2 >235.

Разделяйки всички тези числа на 100, получаваме:

Това означава, че числото 1,5 е онази десетична дроб, която нарекохме приблизителен корен с точност до 1/10.

По този метод намираме и следните приблизителни корени с точност до 0,1:

177. Приблизителен квадратен корен с точност от 1/100 до 1/1000 и т.н.

Нека се изисква да се намери приблизително √248 с точност 1/100. Това означава: да се намери такава десетична дроб, която да се състои от цели числа, десети и стотни и която да отговаря на две изисквания:

1) нейният квадрат не превишава 248, но 2) ако увеличим тази дроб с 1/100, тогава квадратът на тази увеличена дроб надвишава 248.

Ще намерим такава дроб в следната последователност: първо ще намерим цяло число, след това цифрата на десетите, след това цифрата на стотните. Корен квадратен от цяло число ще бъде 15 цели числа. За да получим броя на десетите, както видяхме, е необходимо да свалим до остатъка 23 още 2 цифри вдясно от десетичната запетая. В нашия пример тези числа изобщо не съществуват, ние поставяме нули на тяхно място. Като ги присвоим на остатъка и продължим действието, сякаш намираме корена на цялото число 24 800, ще намерим десетата цифра 7. Остава да намерим стотната. За да направим това, добавяме още 2 нули към остатъка 151 и продължаваме извличането, сякаш намираме корена на цялото число 2 480 000. Получаваме 15,74. Че това число наистина е приблизителният корен от 248 с точност до 1/100, се вижда от следното. Ако трябва да намерим най-голямото цяло число квадратен корен от цялото число 2 480 000, ще получим 1574; означава:

1574 2 < 2 480 000, но 1575 2 > 2 480 000.

Разделяйки всички числа на 10 000 (= 100 2), получаваме:

И така, 15,74 е онази десетична дроб, която нарекохме приблизителен корен с точност до 1/100 от 248.

Прилагайки тази техника за намиране на приблизителен корен с точност от 1/1000 до 1/10000 и т.н., намираме следното.

правило. За да извлечете от дадено цяло число или от дадена десетична дроб приблизителен корен с точност от 1/10 до 1/100 до 1/100 и т.н., първо намерете приблизителен корен с точност 1, като извлечете корена от цяло число (ако не, те пишат за корен от 0 цели числа).

След това намерете броя на десетите. За да направят това, те свалят до остатъка 2 цифри от радикалното число вдясно от десетичната запетая (ако ги няма, две нули се приписват на остатъка) и продължават извличането по същия начин, както се извършва при извличане на корен от цяло число. Получената цифра се записва в основата на мястото на десетите.

След това намерете броя на стотните. За да направите това, две числа отново се унищожават до остатъка, вдясно от тези, които току-що бяха унищожени и т.н.

По този начин, при извличане на корена от цяло число с десетична дроб, е необходимо да се раздели на 2 цифри всяка, като се започне от запетаята, както отляво (в цялата част на числото), така и отдясно (в дробната част).

Примери.

1) Намерете до 1/100 корени: а) √2; б) √0,3;

В последния пример преобразувахме 3/7 в десетична запетая, като изчислихме 8 десетични знака, за да образуваме 4-те лица, необходими за намиране на 4-те десетични знака на корена.

178. Описание на таблицата на квадратните корени.В края на тази книга има таблица с квадратни корени, изчислени с четири цифри. Използвайки тази таблица, можете бързо да намерите корен квадратен от цяло число (или десетична дроб), което е изразено с не повече от четири цифри. Преди да обясним как е подредена тази таблица, отбелязваме, че винаги можем да намерим първата значима цифра на желания корен без помощта на таблици с един поглед към коренното число; можем също така лесно да определим кой десетичен знак означава първата цифра на корена и следователно къде в корена, когато намерим неговите цифри, трябва да поставим запетая. Ето няколко примера:

1) √5"27,3 . Първата цифра ще бъде 2, тъй като лявата страна на коренното число е 5; и коренът от 5 е 2. Освен това, тъй като има само 2 в цялата част на радикалното число на всички лица, тогава цялата част на желания корен трябва да има 2 цифри и следователно първата му цифра 2 трябва да означава десетки.

2) √9,041. Очевидно в този корен първата цифра ще бъде 3 прости единици.

3) √0,00"83"4 . Първата значима цифра е 9, тъй като лицето, от което трябва да се извлече коренът, за да се получи първата значима цифра, е 83, а коренът на 83 е 9. Тъй като няма да има нито цели числа, нито десети в желаното число, първата цифра 9 трябва да означава стотни.

4) √0,73 "85. Първата значима цифра е 8 десети.

5) √0,00 "00" 35 "7. Първата значима цифра ще бъде 5 хилядни.

Нека направим още една забележка. Да предположим, че е необходимо да се извлече корен от такова число, което след изхвърляне на заетото в него се изобразява с поредица от такива числа: 5681. Този корен може да бъде едно от следните:

Ако вземем корените, които подчертахме с един ред, тогава всички те ще бъдат изразени с една и съща редица от числа, точно тези числа, които се получават при извличане на корена от 5681 (това ще бъдат числата 7, 5, 3, 7) ). Причината за това е, че лицата, на които радикалното число трябва да бъде разделено при намиране на цифрите на корена, ще бъдат еднакви във всички тези примери, следователно цифрите за всеки корен ще бъдат еднакви (само позицията на запетаята разбира се, ще бъде различно). По същия начин във всички корени, подчертани от нас с две черти, трябва да се получат еднакви числа, точно тези, които изразяват √568.1 (тези числа ще бъдат 2, 3, 8, 3) и по същата причина. Така цифрите на корените от числата, изобразени (чрез изхвърляне на запетаята) от една и съща поредица от цифри 5681, ще бъдат от двоен (и само от два) вид: или това е серия от 7, 5, 3, 7, или поредица от 2, 3, 8, 3. Същото, очевидно, може да се каже за всяка друга поредица от числа. Следователно, както сега ще видим, в таблицата всеки ред от цифри на радикалното число съответства на 2 реда от цифри за корените.

Сега можем да обясним структурата на таблицата и как да я използваме. За яснота на обяснението тук сме изобразили началото на първата страница на таблицата.

Тази таблица обхваща няколко страници. На всяка от тях в първата колона вляво са поставени числата 10, 11, 12 ... (до 99). Тези числа изразяват първите 2 цифри на числото, от което се търси корен квадратен. В горния хоризонтален ред (както и в долния) има числа: 0, 1, 2, 3 ... 9, които са 3-тата цифра на това число, а след това по-вдясно са числата 1, 2 , 3. . . 9, представляваща 4-та цифра от това число. Всички други хоризонтални линии съдържат 2 четирицифрени числа, изразяваща квадратните корени на съответните числа.

Нека се изисква да се намери корен квадратен от някакво число, цяло или изразено десетична дроб. Първо, намираме без помощта на таблици първата цифра на корена и неговата категория. След това изхвърляме запетаята в даденото число, ако има такава. Да предположим първо, че след изхвърляне на запетаята остават само 3 цифри, например. 114. Намираме в таблиците в най-лявата колона първите 2 цифри, т.е. 11 и се движим от тях надясно по хоризонталната линия, докато стигнем до вертикалната колона, в горната (и долната) на която е 3-тата цифра на числото , т.е. 4. На това място намираме две четирицифрени числа: 1068 и 3376. Кое от тези две числа трябва да се вземе и къде да се постави запетая, това се определя от първата цифра на корена и изпускането му, което открихме по-рано. Така че, ако трябва да намерите √0,11 "4, тогава първата цифра на корена е 3 десети и следователно трябва да вземем 0,3376 за корен. Ако трябваше да намерим √1,14, тогава първата цифра на корена ще е 1 и тогава ще вземем 1,068.

Така лесно можем да намерим:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 и т.н.

Нека сега предположим, че е необходимо да се намери коренът на число, изразено (чрез изхвърляне на запетаята) с 4 цифри, например √7 "45.6. Забелязвайки, че първата цифра на корена е 2 десетици, намираме за числото 745, както вече беше обяснено, числата 2729 (забелязваме това число само с пръст, но не го записваме.) След това се придвижваме по-нататък от това число надясно до дясната страна на масата (зад последния удебелен ред) срещаме вертикалната колона, която е отбелязана над (и под) 4-та цифра от това число, т.е. числото 6, и намираме там числото 1. Това ще бъде корекцията, която трябва да се приложи (в ум) към предварително намереното число 2729, получаваме 2730. Записваме това число и го поставяме запетая на правилното място: 27.30.

По този начин намираме например:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 \u003d 0,2107 и т.н.

Ако радикалното число е изразено само с една или две цифри, тогава можем да приемем, че след тези цифри има една или две нули и след това да продължим, както беше обяснено за трицифреното число. Например √2,7 = √2,70 =1,643; √0,13 \u003d √0,13 "0 \u003d 0,3606 и т.н.

И накрая, ако радикалното число е изразено с повече от 4 цифри, тогава ще вземем само първите 4 от тях и ще изхвърлим останалите и за да намалим грешката, ако първата от изхвърлените цифри е 5 или повече от 5, тогава ще увеличим четвъртата от запазените цифри с l. Така:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; и т.н.

Коментирайте. Таблиците показват приблизителния квадратен корен, понякога с недостатък, понякога с излишък, а именно един от тези приблизителни корени, който се доближава до точния корен.

179. Извличане на корен квадратен от обикновени дроби.Точният квадратен корен от несъкратима дроб може да бъде извлечен само когато и двата члена на дробта са точни квадрати. В този случай е достатъчно да извлечете корена от числителя и знаменателя отделно, например:

Приблизителният корен квадратен от обикновена дроб с известна десетична точност може да се намери най-лесно, ако първо обърнем обикновена дробв десетична запетая, изчислявайки в тази дроб такъв брой десетични знаци след десетичната запетая, който би бил два пъти по-голям от броя на десетичните знаци в желания корен.

Можете обаче да направите друго. Нека обясним това със следния пример:

Намерете приблизително √ 5 / 24

Нека направим знаменателя точен квадрат. За да направите това, ще бъде достатъчно да умножите и двата члена на фракцията по знаменателя 24; но в този пример можете да направите друго. Разлагаме 24 на прости множители: 24 \u003d 2 2 2 3. От това разлагане се вижда, че ако 24 се умножи по 2 и друго по 3, тогава в произведението всеки прост множител ще се повтори четен брой пъти, и следователно знаменателят ще стане квадрат:

Остава да изчислим √30 с известна точност и да разделим резултата на 12. В този случай трябва да се има предвид, че фракцията, показваща степента на точност, също ще намалее от разделянето на 12. И така, ако намерим √30 с точност 1/10 и разделим резултата на 12, тогава получаваме приблизителния корен на дробта 5/24 с точност 1/120 (а именно 54/120 и 55/120)

Глава трета.

Функционална графикаx = √ y .

180. Обратна функция.Нека има уравнение, което определя при като функция на х , например това: y = x 2 . Можем да кажем, че определя не само при като функция на х , но и, обратно, определя х като функция на при , макар и по имплицитен начин. За да направим тази функция изрична, трябва да решим това уравнение за х , като при за известен номер; И така, от уравнението, което взехме, намираме: y = x 2 .

Алгебричният израз, получен за x след решаване на уравнението, което определя y като функция от x, се нарича обратна функция на тази, която определя y.

Така че функцията x = √ y обратна функция y = x 2 . Ако, както е обичайно, независимата променлива е означена х , и зависими при , тогава можем да изразим обратната функция, получена сега, както следва: y = √x . По този начин, за да се получи функция, обратна на дадена (директна), е необходимо от уравнението, което определя това тази функция, изход х зависи от г и в получения израз заменете г на х , а х на г .

181. Графика на функция y = √x . Тази функция не е възможна с отрицателна стойност х , но може да се изчисли (с всякаква точност) за всяко положителна стойност х и за всяка такава стойност функцията получава две различни значенияс еднаква абсолютна стойност, но с противоположни знаци. Ако е познато √ обозначаваме само аритметичната стойност на квадратния корен, тогава тези две стойности на функцията могат да бъдат изразени, както следва: y= ± √ x За да начертаете тази функция, първо трябва да създадете таблица с нейните стойности. Най-лесният начин да компилирате тази таблица е от таблица със стойности на директна функция:

y = x 2 .

х

г

ако стойности при приемат като ценности х , и обратно:

y= ± √ x

Поставяйки всички тези стойности на чертежа, получаваме следната графика.

На същия чертеж изобразихме (пунктирана линия) и графиката на пряката функция y = x 2 . Нека сравним тези две диаграми.

182. Връзка между графики на преки и обратни функции.Да се ​​състави таблица със стойности на обратна функция y= ± √ x взехме за х тези числа, които са в таблицата на директните функции y = x 2 служи като ценности за при , и за при взе тези числа; които в тази таблица бяха стойностите за х . От това следва, че и двете графики са еднакви, само графиката на пряката функция е така разположена спрямо оста при - как е разположена графиката на обратната функция спрямо оста х - ов. В резултат на това, ако сгънем чертежа около права линия ОА разполовяване на прав ъгъл xOy , така че частта от чертежа, съдържаща полуоста OU , падна върху частта, която съдържа полуоста о , тогава OU съвместим с о , всички подразделения OU съвпадат с разделения о , и точките на параболата y = x 2 съвпадат със съответните точки на графиката y= ± √ x . Например точки М и н , чиято ординат 4 , и абсцисата 2 и - 2 , съвпадат с точките М" и Н" , чиято абциса 4 , и ординатите 2 и - 2 . Ако тези точки съвпадат, това означава, че линиите ММ" и NN" перпендикулярно на ОАи разделете тази права линия наполовина. Същото може да се каже и за всички други съответни точки на двете графики.

По този начин графиката на обратната функция трябва да бъде същата като графиката на директната функция, но тези графики са разположени по различен начин, а именно симетрично една спрямо друга по отношение на ъглополовящата на ъгъла хей . Можем да кажем, че графиката на обратната функция е отражение (като в огледало) на графиката на правата функция по отношение на ъглополовящата на ъгъла хей .