Библиографско описание:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Елков А. А., Шилненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Методи за решаване на квадратни уравнения // Млад учен. 2016. №6.1. С. 17-20..02.2019 г.).



Нашият проект е посветен на начините за решаване на квадратни уравнения. Целта на проекта: да научите как да решавате квадратни уравнения по начини, които не са включени в училищната програма. Задача: намерете всички възможни начини за решаване на квадратни уравнения и научете как да ги използвате сами и запознайте съучениците си с тези методи.

Какво представляват "квадратните уравнения"?

Квадратно уравнение- уравнение на формата брадва2 + bx + c = 0, където а, b, ° С- някои числа ( a ≠ 0), х- неизвестен.

Числата a, b, c се наричат ​​коефициенти на квадратното уравнение.

• а се нарича първи коефициент;
• b се нарича втори коефициент;
• c - свободен член.

И кой пръв "изобрети" квадратни уравнения?

Някои алгебрични техники за решаване на линейни и квадратни уравнения са били известни още преди 4000 години в древен Вавилон. Намерените древни вавилонски глинени плочки, датирани някъде между 1800 и 1600 г. пр.н.е., са най-ранното доказателство за изучаването на квадратни уравнения. Същите таблички съдържат методи за решаване на някои видове квадратни уравнения.

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика.

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, дават само задачи с решения, посочени под формата на рецепти, без индикация как са намерени. Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

Вавилонските математици от около 4 век пр.н.е. използва метода на квадратното допълнение за решаване на уравнения с положителни корени. Около 300 г. пр.н.е. Евклид излезе с по-общ геометричен метод за решение. Първият математик, който намери решения на уравнение с отрицателни корени под формата на алгебрична формула, беше индийски учен. Брахмагупта(Индия, 7 век сл. Хр.).

Брахмагупта очерта общо правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

ax2 + bx = c, a>0

В това уравнение коефициентите могат да бъдат отрицателни. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В Индия публичните състезания за решаване на трудни проблеми са често срещани. В една от старите индийски книги за такива състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така и учен човек ще засенчи славата на публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи.“ Задачите често бяха облечени в поетична форма.

В алгебричен трактат Ал-Хорезмидадена е класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. ax2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ax2 = c.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените са равни на число“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговото решение, разбира се, не съвпада напълно с нашето. Да не говорим за факта, че е чисто реторичен, трябва да се отбележи, например, че когато решава непълно квадратно уравнение от първи тип, Ал-Хорезми, както всички математици преди 17 век, не взема предвид нулата решение, вероятно защото в конкретни практически задачи това няма значение. При решаването на пълни квадратни уравнения Ал-Хорезми излага правилата за решаването им, като използва конкретни числени примери и след това техните геометрични доказателства.

Формите за решаване на квадратни уравнения по модела на Ал-Хорезми в Европа са описани за първи път в „Книгата на абака“, написана през 1202 г. италиански математик Леонард Фибоначи. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и е първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа.

Тази книга допринесе за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от тази книга са пренесени в почти всички европейски учебници от 14-17 век. Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма x2 + bx = c с всички възможни комбинации от знаци и коефициенти b, c, е формулирано в Европа през 1544 г. М. Щифел.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. италиански математици Тарталия, Кардано, Бомбелисред първите през 16 век. вземете предвид, в допълнение към положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. благодарение на работата Жирар, Декарт, Нютони други учени начинът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

Обмислете няколко начина за решаване на квадратни уравнения.

Стандартни начини за решаване на квадратни уравнения от училищната програма:

1. Факторизиране на лявата страна на уравнението.
2. Метод за избор на пълен квадрат.
3. Решаване на квадратни уравнения по формула.
4. Графично решение на квадратно уравнение.
5. Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Нека се спрем по-подробно на решението на редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta.

Спомнете си, че за решаване на дадените квадратни уравнения е достатъчно да се намерят две числа, чието произведение е равно на свободния член, а сборът е равен на втория коефициент с противоположен знак.

Пример.х 2 -5x+6=0

Трябва да намерите числа, чийто продукт е 6, а сумата е 5. Тези числа ще бъдат 3 и 2.

Отговор: x 1 =2, х 2 =3.

Но можете да използвате този метод за уравнения с първия коефициент, който не е равен на единица.

Пример.3x 2 +2x-5=0

Взимаме първия коефициент и го умножаваме по свободния член: x 2 +2x-15=0

Корените на това уравнение ще бъдат числа, чийто продукт е равен на - 15, а сборът е равен на - 2. Тези числа са 5 и 3. За да намерим корените на оригиналното уравнение, разделяме получените корени на първия коефициент .

Отговор: x 1 =-5/3, х 2 =1

6. Решаване на уравнения по метода на "трансфера".

Да разгледаме квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0, където a≠0.

Умножавайки двете му части по a, получаваме уравнението a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Нека ax = y, откъдето x = y/a; тогава стигаме до уравнението y 2 + by + ac = 0, което е еквивалентно на даденото. Намираме неговите корени в 1 и в 2, като използваме теоремата на Виета.

Накрая получаваме x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a.

При този метод коефициентът a се умножава по свободния член, сякаш се "прехвърля" към него, затова се нарича метод на "прехвърляне". Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Пример.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Нека "прехвърлим" коефициента 2 към свободния член и като направим замяната, получаваме уравнението y 2 - 11y + 30 = 0.

Според обратната теорема на Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Отговор: x 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства на коефициентите на квадратно уравнение.

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ако a + b + c \u003d 0 (т.е. сумата от коефициентите на уравнението е нула), тогава x 1 \u003d 1.

2. Ако a - b + c \u003d 0, или b \u003d a + c, тогава x 1 \u003d - 1.

Пример.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Тъй като a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), тогава x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Отговор: x 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример.132x 2 + 247x + 115 = 0

защото a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), след това x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Отговор: x 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Има и други свойства на коефициентите на квадратно уравнение. но тяхното използване е по-сложно.

8. Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма.

Фигура 1. Номограма

Това е стар и позабравен в момента метод за решаване на квадратни уравнения, поместен на стр. 83 от сборника: Bradis V.M. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990.

Таблица XXII. Номограма за решаване на уравнение z2 + pz + q = 0. Тази номограма позволява, без да се решава квадратното уравнение, да се определят корените на уравнението чрез неговите коефициенти.

Криволинейната скала на номограмата е изградена по формулите (фиг. 1):

Ако приемем OS = p, ED = q, OE = a(всички в cm), от фиг. 1 подобие на триъгълници SANи CDFполучаваме пропорцията

откъдето след замествания и опростявания следва уравнението z 2 + pz + q = 0,и писмото zозначава етикет на всяка точка от извитата скала.

Ориз. 2 Решаване на квадратно уравнение с помощта на номограма

Примери.

1) За уравнението z 2 - 9z + 8 = 0номограмата дава корените z 1 = 8.0 и z 2 = 1.0

Отговор: 8,0; 1.0.

2) Решете уравнението с помощта на номограмата

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение на 2, получаваме уравнението z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмата дава корените z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Отговор: 4; 0,5.

9. Геометричен метод за решаване на квадратни уравнения.

Пример.х 2 + 10x = 39.

В оригинала тази задача е формулирана по следния начин: „Квадратният и десетият корен са равни на 39“.

Помислете за квадрат със страна x, правоъгълниците са построени от неговите страни, така че другата страна на всеки от тях е 2,5, следователно площта на всеки е 2,5x. След това получената фигура се допълва до нов квадрат ABCD, завършвайки четири равни квадрата в ъглите, като страната на всеки от тях е 2,5, а площта е 6,25

Ориз. 3 Графичен начин за решаване на уравнението x 2 + 10x = 39

Площта S на квадрат ABCD може да бъде представена като сбор от площите: оригиналния квадрат x 2, четири правоъгълника (4 ∙ 2,5x = 10x) и четири прикрепени квадрата (6,25 ∙ 4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Заменяйки x 2 + 10x с числото 39, получаваме, че S = 39 + 25 = 64, което означава, че страната на квадрата ABCD, т.е. сегмент AB \u003d 8. За желаната страна x на оригиналния квадрат получаваме

10. Решаване на уравнения чрез теоремата на Безу.

Теорема на Безу. Остатъкът след разделянето на полинома P(x) на бинома x - α е равен на P(α) (т.е. стойността на P(x) при x = α).

Ако числото α е корен на полинома P(x), то този полином се дели на x -α без остатък.

Пример.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Разделете P(x) на (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

х-1=0; x=1, или x-3=0, x=3; Отговор: x1 =2, х2 =3.

Заключение:Способността за бързо и рационално решаване на квадратни уравнения е просто необходима за решаване на по-сложни уравнения, например дробни рационални уравнения, уравнения с по-високи степени, биквадратни уравнения и в гимназията тригонометрични, експоненциални и логаритмични уравнения. След като проучихме всички намерени методи за решаване на квадратни уравнения, можем да посъветваме съучениците, в допълнение към стандартните методи, да решават по метода на прехвърляне (6) и да решават уравнения по свойството на коефициентите (7), тъй като те са по-достъпни за разбиране .

Литература:

1. Брадис В.М. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990.
2. Алгебра 8 клас: учебник за 8 клас. общо образование институции Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. изд. С. А. Теляковски 15-то изд., преработено. - М.: Просвещение, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзър Г.И. История на математиката в училище. Ръководство за учители. / Ед. В.Н. По-млад. - М.: Просвещение, 1964.

В продължение на темата „Решаване на уравнения“, материалът в тази статия ще ви запознае с квадратни уравнения.

Нека разгледаме всичко подробно: същността и записа на квадратното уравнение, задайте придружаващите условия, анализирайте схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, запознайте се с формулата на корените и дискриминанта, установете връзки между корени и коефициенти и на разбира се ще дадем визуално решение от практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Определение 1

Квадратно уравнениее уравнението, написано като a x 2 + b x + c = 0, където х– променлива, a , b и ° Сса някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат ​​също уравнения от втора степен, тъй като всъщност квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен.

Нека дадем пример, за да илюстрираме даденото определение: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 и т.н. са квадратни уравнения.

Определение 2

Числата a, b и ° Сса коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, докато коеф асе нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициент при х, а ° Снаречен безплатен член.

Например в квадратното уравнение 6 x 2 - 2 x - 11 = 0най-високият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 , а свободният член е равен на − 11 . Нека обърнем внимание на факта, че когато коефициентите bи/или c са отрицателни, тогава се използва съкратената форма 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите аи/или bравен 1 или − 1 , то те могат да не вземат изрично участие в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратното уравнение y 2 − y + 7 = 0старшият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

Според стойността на първия коефициент квадратните уравнения се разделят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Редуцирано квадратно уравнениее квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение е нередуцирано.

Ето няколко примера: приведени са квадратни уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, във всяко от които водещият коефициент е 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да бъде преобразувано в редуцирано уравнение чрез разделяне на двете му части на първия коефициент (еквивалентна трансформация). Трансформираното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също няма да има никакви корени.

Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример 1

Дадено е уравнението 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Необходимо е оригиналното уравнение да се преобразува в намалена форма.

Решение

Съгласно горната схема, ние разделяме двете части на оригиналното уравнение на водещия коефициент 6 . Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, и това е същото като: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и по-нататък: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 .Оттук: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме това a ≠ 0. Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c = 0беше точно квадрат, тъй като а = 0по същество се трансформира в линейно уравнение b x + c = 0.

В случая, когато коефициентите bи ° Сса равни на нула (което е възможно, както поотделно, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнениее квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите bи ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнениее квадратно уравнение, в което всички числени коефициенти не са равни на нула.

Нека обсъдим защо типовете квадратни уравнения са дадени точно такива имена.

За b = 0 квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c = 0, което е същото като a x 2 + c = 0. При c = 0квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 = 0, което е еквивалентно a x 2 + b x = 0. При b = 0и c = 0уравнението ще приеме формата a x 2 = 0. Уравненията, които получихме, се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете едновременно. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения - непълни.

Например, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Дефиницията, дадена по-горе, позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:

• a x 2 = 0, коефициентите съответстват на такова уравнение b = 0и с = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 за b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 за c = 0.

Разгледайте последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 \u003d 0

Както вече беше споменато по-горе, такова уравнение съответства на коефициентите bи ° С, равно на нула. Уравнението a x 2 = 0може да се преобразува в еквивалентно уравнение x2 = 0, което получаваме, като разделим двете страни на първоначалното уравнение на числото а, не е равно на нула. Очевидният факт е, че коренът на уравнението x2 = 0е нула, защото 0 2 = 0 . Това уравнение няма други корени, което се обяснява със свойствата на степента: за всяко число п,не е равно на нула, неравенството е вярно p2 > 0, от което следва, че когато p ≠ 0равенство p2 = 0никога няма да бъде достигнат.

Определение 5

Така за непълното квадратно уравнение a x 2 = 0 има един корен х=0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение − 3 x 2 = 0. То е еквивалентно на уравнението x2 = 0, единственият му корен е х=0, тогава първоначалното уравнение има един корен - нула.

Решението е обобщено, както следва:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Решение на уравнението a x 2 + c \u003d 0

Следващото по ред е решението на непълни квадратни уравнения, където b \u003d 0, c ≠ 0, тоест уравнения от вида a x 2 + c = 0. Нека трансформираме това уравнение, като прехвърлим члена от едната страна на уравнението в другата, променим знака на противоположния и разделим двете страни на уравнението на число, което не е равно на нула:

• издържам ° Св дясната страна, което дава уравнението a x 2 = − c;
• разделете двете страни на уравнението на а, получаваме като резултат x = - c a .

Нашите трансформации са еквивалентни, съответно полученото уравнение също е еквивалентно на оригиналното и този факт позволява да се направи заключение за корените на уравнението. От какви са стойностите аи ° Сзависи от стойността на израза - c a: може да има знак минус (например ако а = 1и c = 2, след това - c a = - 2 1 = - 2) или знак плюс (например, ако а = -2и c=6, тогава - c a = - 6 - 2 = 3); не е равно на нула, защото c ≠ 0. Нека се спрем по-подробно на ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случай, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стрравенството p 2 = - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a > 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Лесно е да се разбере, че числото - - c a - също е коренът на уравнението x 2 = - c a: наистина, - - c a 2 = - c a .

Уравнението няма да има други корени. Можем да демонстрираме това, използвайки обратния метод. Първо, нека зададем обозначението на корените, намерени по-горе, като х 1и − x 1. Да приемем, че уравнението x 2 = - c a също има корен x2, което е различно от корените х 1и − x 1. Знаем, че като заместим в уравнението вместо хнеговите корени, трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За х 1и − x 1напишете: x 1 2 = - c a , и за x2- x 2 2 \u003d - c a. Въз основа на свойствата на числовите равенства, изваждаме едно истинско равенство от друг член по член, което ще ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Използвайте свойствата на числовите операции, за да пренапишете последното равенство като (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От казаното следва, че x1 − x2 = 0и/или x1 + x2 = 0, което е същото x2 = x1и/или x 2 = − x 1. Възникна очевидно противоречие, тъй като първоначално беше договорено, че коренът на уравнението x2се различава от х 1и − x 1. И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x = - c a и x = - - c a .

Обобщаваме всички аргументи по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c = 0е еквивалентно на уравнението x 2 = - c a , което:

• няма да има корени в - c a< 0 ;
• ще има два корена x = - c a и x = - - c a, когато - c a > 0 .

Нека дадем примери за решаване на уравнения a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 x 2 + 7 = 0 .Необходимо е да се намери неговото решение.

Решение

Прехвърляме свободния член в дясната страна на уравнението, след което уравнението ще приеме формата 9 x 2 \u003d - 7.
Разделяме двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 = - 7 9 . От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: даденото уравнение няма корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0няма да има корени.

Отговор:уравнението 9 х 2 + 7 = 0няма корени.

Пример 4

Необходимо е да се реши уравнението − x2 + 36 = 0.

Решение

Нека преместим 36 надясно: − x 2 = − 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме х2 = 36. От дясната страна има положително число, от което можем да заключим, че x = 36 или x = - 36 .
Извличаме корена и записваме крайния резултат: непълно квадратно уравнение − x2 + 36 = 0има два корена х=6или х = -6.

Отговор: х=6или х = -6.

Решение на уравнението a x 2 +b x=0

Нека анализираме третия вид непълни квадратни уравнения, когато c = 0. Да се ​​намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x = 0, ние използваме метода на факторизиране. Нека факторизираме полинома, който е от лявата страна на уравнението, като извадим общия множител от скоби х. Тази стъпка ще направи възможно трансформирането на оригиналното непълно квадратно уравнение в негов еквивалент x (a x + b) = 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набора от уравнения х=0и a x + b = 0. Уравнението a x + b = 0линеен и неговия корен: x = − b a.

Определение 7

По този начин непълното квадратно уравнение a x 2 + b x = 0ще има два корена х=0и x = − b a.

Нека консолидираме материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решението на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Решение

Да извадим хизвън скобите и получете уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Това уравнение е еквивалентно на уравненията х=0и 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Накратко, записваме решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Отговор: x = 0, x = 3 3 7 .

Дискриминант, формула на корените на квадратно уравнение

За намиране на решение на квадратни уравнения има коренна формула:

Определение 8

x = - b ± D 2 a, където D = b 2 − 4 a cе така нареченият дискриминант на квадратно уравнение.

Писането на x \u003d - b ± D 2 a по същество означава, че x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Ще бъде полезно да разберете как е получена посочената формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата на корените на квадратно уравнение

Да предположим, че сме изправени пред задачата да решим квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0. Нека извършим няколко еквивалентни трансформации:

• разделете двете страни на уравнението на числото а, различен от нула, получаваме редуцираното квадратно уравнение: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• изберете пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• сега е възможно да прехвърлим последните два члена от дясната страна, променяйки знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• накрая трансформираме израза, записан от дясната страна на последното равенство:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Така стигнахме до уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , което е еквивалентно на първоначалното уравнение a x 2 + b x + c = 0.

Обсъдихме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решението на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит позволява да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• за b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, уравнението има формата x + b 2 · a 2 = 0, тогава x + b 2 · a = 0.

От тук единственият корен x = - b 2 · a е очевиден;

• за b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, правилният е: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 или x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , което е същото като x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 или x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (и следователно първоначалното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 a c 4 · a 2, изписано от дясната страна. И знакът на този израз се дава от знака на числителя (знаменателя 4 а 2винаги ще бъде положителен), тоест знакът на израза b 2 − 4 a c. Този израз b 2 − 4 a cдава се име - дискриминант на квадратно уравнение и се определя буквата D като негово означение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по стойността и знака му се прави заключение дали квадратното уравнение ще има реални корени и ако да, колко корена - един или два.

Нека се върнем към уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Нека го пренапишем с помощта на дискриминантния запис: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Нека обобщим изводите:

Определение 9

• при д< 0 уравнението няма реални корени;
• при D=0уравнението има един корен x = - b 2 · a ;
• при D > 0уравнението има два корена: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Въз основа на свойствата на радикалите тези корени могат да бъдат записани като: x \u003d - b 2 a + D 2 a или - b 2 a - D 2 a. И когато отворим модулите и намалим дробите до общ знаменател, получаваме: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратното уравнение:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , дискриминант дизчислено по формулата D = b 2 − 4 a c.

Тези формули позволяват, когато дискриминантът е по-голям от нула, да се определят и двата реални корена. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единственото решение на квадратното уравнение. В случай, че дискриминантът е отрицателен, опитвайки се да използваме формулата за квадратен корен, ще се сблъскаме с необходимостта да извлечем корен квадратен от отрицателно число, което ще ни отведе отвъд реалните числа. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка комплексно спрегнати корени, определени от същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратно уравнение чрез незабавно използване на формулата за корен, но основно това се прави, когато е необходимо да се намерят сложни корени.

В по-голямата част от случаите търсенето обикновено е предназначено не за комплексни, а за реални корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, първо да определите дискриминанта и да се уверите, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това да преминете към изчисляване на стойност на корените.

Разсъждението по-горе дава възможност да се формулира алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, необходимо:

• според формулата D = b 2 − 4 a cнамерете стойността на дискриминанта;
• при Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D = 0 намерете единствения корен на уравнението по формулата x = - b 2 · a ;
• за D > 0, определете два реални корена на квадратното уравнение по формулата x = - b ± D 2 · a.

Обърнете внимание, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x = - b ± D 2 · a , тя ще даде същия резултат като формулата x = - b 2 · a .

Разгледайте примери.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Представяме решението на примери за различни стойности на дискриминанта.

Пример 6

Необходимо е да се намерят корените на уравнението x 2 + 2 x - 6 = 0.

Решение

Записваме числените коефициенти на квадратното уравнение: a \u003d 1, b \u003d 2 и c = − 6. След това действаме според алгоритъма, т.е. Нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който заместваме коефициентите a , b и ° Свъв формулата на дискриминанта: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

И така, получихме D > 0, което означава, че оригиналното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x \u003d - b ± D 2 · a и, замествайки подходящите стойности, получаваме: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ние опростяваме получения израз, като изваждаме множителя от знака на корена, последвано от намаляване на дробта:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Отговор: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Пример 7

Необходимо е да се реши квадратно уравнение − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. При тази стойност на дискриминанта оригиналното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Отговор: х = 3, 5.

Пример 8

Необходимо е да се реши уравнението 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Решение

Числените коефициенти на това уравнение ще бъдат: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че оригиналното квадратно уравнение няма реални корени.

В случай, че задачата е да посочим сложни корени, прилагаме формулата на корена, като извършваме операции с комплексни числа:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 или x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i или x = - 3 5 - 1 5 i .

Отговор:няма реални корени; сложните корени са: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

В училищната програма, като стандарт, няма изискване да се търсят сложни корени, следователно, ако дискриминантът е определен като отрицателен по време на решението, веднага се записва отговорът, че няма реални корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Коренната формула x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, която ви позволява да намерите решения на квадратни уравнения с четен коефициент при x (или с коефициент под формата 2 a n, например 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Да предположим, че сме изправени пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Действаме според алгоритъма: определяме дискриминанта D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) и след това използваме формулата на корена:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Нека изразът n 2 − a c бъде означен като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата:

x \u003d - n ± D 1 a, където D 1 \u003d n 2 - a c.

Лесно се вижда, че D = 4 · D 1 или D 1 = D 4 . С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знака на D, което означава, че знакът на D 1 може също да служи като индикатор за наличието или отсъствието на корените на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратно уравнение с втори коефициент от 2 n, е необходимо:

• намерете D 1 = n 2 − a c ;
• в D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• за D 1 = 0, определете единствения корен на уравнението по формулата x = - n a ;
• за D 1 > 0, определете два реални корена, като използвате формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Решение

Вторият коефициент на даденото уравнение може да бъде представен като 2 · (− 3) . След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , където a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .

Нека изчислим четвъртата част от дискриминанта: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Ние ги определяме чрез съответната формула на корените:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било възможно да се извършат изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на оригиналното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратното уравнение 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 е очевидно по-удобно за решаване от 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножаване или разделяне на двете му части с определено число. Например, по-горе показахме опростено представяне на уравнението 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, получено чрез разделяне на двете му части на 100.

Такова преобразуване е възможно, когато коефициентите на квадратното уравнение не са относително прости числа. Тогава обикновено и двете части на уравнението се разделят на най-големия общ делител на абсолютните стойности на неговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Нека дефинираме gcd на абсолютните стойности на неговите коефициенти: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Нека разделим двете части на първоначалното квадратно уравнение на 6 и да получим еквивалентното квадратно уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Чрез умножаване на двете страни на квадратното уравнение, дробните коефициенти обикновено се елиминират. В този случай умножете по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) \u003d 6, тогава то ще бъде написано в по-проста форма x 2 + 4 x - 18 = 0 .

И накрая, отбелязваме, че почти винаги се отървете от минуса при първия коефициент на квадратното уравнение, като промените знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или разделяне) на двете части на −1. Например от квадратното уравнение - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, можете да отидете до неговата опростена версия 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Връзка между корени и коефициенти

Вече известната формула за корените на квадратните уравнения x = - b ± D 2 · a изразява корените на уравнението чрез неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула имаме възможност да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Виета:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

По-специално, за даденото квадратно уравнение сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0, е възможно веднага да се определи, че сумата от неговите корени е 7 3 , а произведението от корените е 22 3 .

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Например сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициенти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Първо ниво

Квадратни уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

В термина "квадратно уравнение" ключовата дума е "квадратно уравнение". Това означава, че уравнението трябва задължително да съдържа променлива (същия X) в квадрата и в същото време не трябва да има Xs в трета (или по-висока) степен.

Решаването на много уравнения се свежда до решаването на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че имаме квадратно уравнение, а не някое друго.

Пример 1

Отървете се от знаменателя и умножете всеки член на уравнението по

Нека преместим всичко в лявата страна и подредим членовете в низходящ ред на степени на x

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратно!

Пример 2

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадрат!

Пример 3

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвъртата и втората степен ... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4

Изглежда, че е, но нека погледнем по-отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Виждате ли, тя се е свила - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите сами кои от следните уравнения са квадратни и кои не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не е квадратна;
4. не е квадратна;
5. не е квадратна;
6. квадрат;
7. не е квадратна;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните видове:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). Освен това сред пълните квадратни уравнения има даденоса уравнения, в които коефициентът (уравнението от пример едно е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото в тях липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат !!! В противен случай това вече няма да е квадратно, а някакво друго уравнение.

Защо са измислили такова разделение? Изглежда, че има Х на квадрат и добре. Такова разделение се дължи на методите на решение. Нека разгледаме всеки от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Непълните квадратни уравнения са от видове:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. i. Тъй като знаем как да извадим корен квадратен, нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде както отрицателен, така и положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Тези формули не трябва да се запомнят. Основното е, че винаги трябва да знаете и да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава да извлечете корена от лявата и дясната част. Все пак помните ли как се извличат корените?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

Ох! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, в които няма корени, математиците излязоха със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

По този начин това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извлекли корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител извън скобите:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се справим без примери.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида уравнение където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-сложно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Останалите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен.Специално внимание трябва да се обърне на стъпката. Дискриминантът () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата на стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме няколко примера.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартна форма, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартна форма, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да записваме правилно такива отговори.

Отговор:без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, тогава има такъв тип уравнения, които се наричат ​​намалени (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Vieta:

Сумата от корените даденоквадратно уравнение е равно и произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, тъй като .

Сумата от корените на уравнението е, т.е. получаваме първото уравнение:

А продуктът е:

Нека създадем и решим системата:

• и. Сумата е;
• и. Сумата е;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Уравнението е намалено, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от вида, където - неизвестно, - някои числа, освен това.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, а - безплатен член.

Защо? Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В това уравнение на изпражненията се нарича непълно. Ако всички членове са налице, това означава, че уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Могат да се разграничат следните видове уравнения:

I. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Число на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не трябва да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да напишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Разлагаме лявата страна на уравнението и намираме корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Забелязахте ли корена на дискриминанта във формулата за корен? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корен:
• Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо има различен брой корени? Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В частен случай, който е квадратно уравнение, . И това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с оста x (ос). Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоновете на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Vieta е много лесно: просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само към дадени квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример #1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, тъй като . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

А продуктът е:

Нека изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен, и проверим дали сборът им е равен:

• и. Сумата е;
• и. Сумата е;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверяваме дали сумата им е равна:

и: дайте общо.

и: дайте общо. За да го получите, просто трябва да промените знаците на предполагаемите корени: и в края на краищата работата.

Отговор:

Пример #3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Така че сумата от корените е разлики в техните модули.

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да запомните, че един от корените е отрицателен. Тъй като сборът им трябва да е равен, то коренът, който е по-малък по абсолютна стойност, трябва да е отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример #4:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението е намалено, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. А това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Избираме такива двойки числа, чийто продукт е равен, и след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корени и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример #5:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението е намалено, което означава:

Сборът на корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена са минус.

Избираме такива двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно - да измисляте корени устно, вместо да броите този неприятен дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените. За да ви бъде изгодно да го използвате, трябва да доведете действията до автоматизм. И за това решете още пет примера. Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с продукта:

Не е подходящ, защото количеството;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново любимата ни теорема на Виета: сборът трябва да се получи, но произведението е равно.

Но тъй като трябва да бъде не, но, променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е?

Необходимо е всички условия да се прехвърлят в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Да, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да въведете уравнението. Ако не можете да го изведете, зарежете тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминанта). Позволете ми да ви напомня, че да приведете квадратно уравнение означава да направите водещия коефициент равен на:

Отлично. Тогава сумата на корените е равна и произведението.

Тук е по-лесно да вземете: все пак - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Свободният член е отрицателен. Какво му е толкова специалното? И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата на корените, а разликата между техните модули: тази разлика е равна, но продуктът.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус. Теоремата на Виета ни казва, че сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и, тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни и, но един от тях е минус. Който? Сборът им трябва да е равен, което означава, че с минус ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека да обобщя:

1. Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени като членове от формулите за съкратено умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след промяната на променливите е възможно уравнението да се представи под формата на непълно квадратно уравнение от типа .

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Като цяло трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо ли не ви напомня? Това е дискриминанта! Точно така се получи дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от формата, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението има формата: ,
• ако е свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението има формата: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Изразете неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека извадим общия множител извън скобите: ,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида where

2.1. Решение с помощта на дискриминанта

1) Нека приведем уравнението към стандартната форма: ,

2) Изчислете дискриминанта по формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида, където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , а.

2.3. Пълно квадратно решение

”, тоест уравнения от първа степен. В този урок ще изследваме какво е квадратно уравнениеи как да го решим.

Какво е квадратно уравнение

важно!

Степента на уравнението се определя от най-високата степен, на която стои неизвестното.

Ако максималната степен, до която стои неизвестното, е „2“, тогава имате квадратно уравнение.

Примери за квадратни уравнения

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

важно! Общата форма на квадратното уравнение изглежда така:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" и "c" - дадени числа.

• "а" - първи или старши коефициент;
• "b" - вторият коефициент;
• "c" е безплатен член.

За да намерите "a", "b" и "c", трябва да сравните вашето уравнение с общата форма на квадратното уравнение "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Нека се упражним да определяме коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Уравнението	Коефициенти
а=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• а = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• а = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• а = 1
• b = 0
• c = −8

Как се решават квадратни уравнения

За разлика от линейните уравнения, специално уравнение се използва за решаване на квадратни уравнения. формула за намиране на корени.

Помня!

За да решите квадратно уравнение, трябва:

• доведете квадратното уравнение до общата форма "ax 2 + bx + c \u003d 0". Тоест от дясната страна трябва да остане само "0";
• използвайте формулата за корени:

Нека използваме пример, за да разберем как да приложим формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратното уравнение.

X 2 - 3x - 4 = 0

Уравнението "x 2 - 3x - 4 = 0" вече е сведено до общата форма "ax 2 + bx + c = 0" и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, трябва само да приложим формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека дефинираме коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С негова помощ се решава всяко квадратно уравнение.

Във формулата "x 1; 2 \u003d" коренният израз често се заменя
"b 2 − 4ac" до буквата "D" и се нарича дискриминант. Концепцията за дискриминант се разглежда по-подробно в урока "Какво е дискриминант".

Помислете за друг пример за квадратно уравнение.

x 2 + 9 + x = 7x

В тази форма е доста трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c". Нека първо приведем уравнението в общата форма "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да използвате формулата за корените.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

х=3
Отговор: x = 3

Има моменти, когато в квадратните уравнения няма корени. Тази ситуация възниква, когато във формулата под корена се появи отрицателно число.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е от съществено значение.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Те имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Тази формула трябва да се знае наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: чрез знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да объркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да пишете всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не са толкова много.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, нарисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Лесно се вижда, че един от членовете липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. Така че нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 \u003d 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x \u003d 0.

Да разгледаме други случаи. Нека b \u003d 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c \u003d 0. Нека леко го трансформираме:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само когато (−c / a ) ≥ 0. Заключение:

1. Ако непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да факторизираме полинома:

Изваждане на общия множител от скобата

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т.к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.