Четвериков С. Ю., Попов М.А.

Русия, Институт по икономика и предприемачество (Москва)

Теория на системите опашкае приложна математическа дисциплина, която изучава числови характеристикиявления, които се случват в икономиката. Те включват работа на телефонна централа, центрове за потребителско обслужване, касови апарати в супермаркет и др.

Математическите модели на такива обекти са системите за масово обслужване (QS), описани по следния начин: в системата влизат заявки (заявления за услуга), всяка от които се обслужва известно време и след това напуска системата. Въпреки това, поради ограничения в ресурсите (брой обслужващи каси, скорост на обслужване и др.), системата може да обслужва само определен брой рекламации едновременно. Математическите модели в този случай са предназначени да решат проблема с изчисляването на числените показатели за качеството на функциониране на QS.

При изграждането на QS моделите основно се разграничават две системи: детерминирана и стохастична, които всъщност определят вида на математическия модел.

Помислете за най-простата детерминирана система, състояща се от Пидентични устройства, при които изискванията пристигат на детерминирани (постоянни) интервали от време, като времето за обслужване на всяко изискване също е постоянно. Очевидно е, че ако исканията пристигат на интервали

и времето за обслужване за всяко изискване е

необходимото и достатъчно условиенормалното функциониране на системата е да се изпълни неравенството

В противен случай с времето ще се натрупат изисквания в системата.

Настроики хи q имат просто физическо значение:

х- среден брой заявки, пристигащи за единица време или интензивност на входящия поток;

q е средният брой изисквания, които всяко устройство може да обслужи за единица време, или интензивността на изискванията за обслужване от едно устройство;

/ 7ts - средният брой изисквания, които могат да обслужват Пуреди или изискването за интензивност на поддръжката на цялата система.

Така условие (1) означава, че интензивността на входящия поток не трябва да надвишава интензивността на изискванията за обслужване от цялата система. Съобразявайте се с количеството

Така нареченото зареждане на системата.

Тогава неравенство (1) може да се пренапише като:

В този случай натоварването може да се тълкува като средната част от времето, през което устройствата са заети да обслужват изискванията, а стойността на 1 - p - като средната част от времето, през което устройствата са бездействащи.

И накрая, още една бележка за функционирането на система с детерминистични характеристики:

ако в началния момент системата е свободна и условие (2) е изпълнено, тогава всяка заявка, постъпила в системата, незабавно става обслужващо устройство;

в случай p

накрая, ако p > 1, тогава за единица време опашката се увеличава средно с Mr-1).

В реалните системи за масово обслужване елементите на произволността играят важна роля:

първо, времената между пристиганията на искове не са детерминистични;

второ, времето за обслужване на заявките не е детерминистично.

Освен това елементи на случайност могат да се появят поради други причини, например повреди на елементи на системи за масово обслужване.

Оказва се, че елементите на случайност значително влияят върху качеството на функциониране на системите за обслужване. Така че, ако натоварването p = 1, тогава, за разлика от детерминистичните системи, в стохастичните системи опашката се стреми средно към безкрайност във времето. Опашки в стохастичните системи се образуват дори в случай p

Помислете за формализирано описание на QS. Основните параметри на QS са:

входящ поток от изисквания;

структура на системата;

времеви характеристики на изискванията за обслужване;

служебна дисциплина.

Нека да разгледаме тези опции.

Входящ потоксе характеризира със случайни моменти на постъпване на изисквания в проста система, а за сложни системи - с видовете изисквания, постъпващи в тези моменти.

Когато се задава произволен поток, обикновено се приема, че входният поток е повтарящ се и най-често Поасон.

Нека направим някои забележки относно коректността на описанието на потоците от искания, влизащи в реални системи, от Поасон и повтарящи се такива. Очевидно е, че свойството за отсъствие на последействие в реални системи е изключително рядко, тъй като поток с такова свойство може да получи произволно голям брой изисквания с ненулева (макар и изключително малка) вероятност за произволно малък период от време. Практиката обаче показва, че описанието на входящия поток от Поасон е легитимно в повечето случаи с достатъчна степен на точност. Допълнително математическо потвърждение на този факт е теоремата на Хинчин, която казва, че обединението Голям брой"разредени" потоци при много слаби ограничения дава поток на Поасон.

Второто свойство на потока на Поасон - стационарността - също не предизвиква критика. Всъщност интензивността на входящия поток като правило зависи от времето на деня, годината и т.н. Ако се запазят свойствата на липса на последействие и обикновеност, тогава се получава нестационарен поток на Поасон. В някои случаи е възможно да се разработят математически модели за изчисление икономически системис такъв входящ поток, но получените формули са много тромави и трудни за практическо приложение. Поради тази причина изчисленията са ограничени до определен интервал от време, в който интензивността на входящия поток се променя слабо.

Ако се изостави само свойството на обикновеност, тогава се получава необикновен поток на Поасон, в който моментите на пристигане на изисквания образуват обикновен поток на Поасон, но във всеки такъв момент пристига произволен брой изисквания. Повечето от резултатите, които са валидни за системи с поток на Поасон, се пренасят практически непроменени в системи с необикновен поток на Поасон.

За да зададете структурата на QSнеобходимо е да се изброят всички налични елементи в системата и да се посочи какви видове изисквания или дори на какви фази на обслужване може да служи всеки елемент. При което отделен елементможе да обслужва заявки от няколко типа и, обратно, заявки от един и същи тип могат да бъдат обслужвани на няколко елемента. По-нататък ще приемем, че QS има един или повече идентични елементи и всяко изискване може да бъде обслужено на всеки от тях. Системите от този тип се наричат една линия(един елемент) или многоредов(няколко елемента).

Сервизните системи може да имат елементи за заявки за изчакване за започване на услугата. Ако има безкрайно много такива елементи, тогава се говори за системи с чакане, ако броят им е краен - за системи с краен брой места за чакане, ако изобщо липсват (изискването, което прави всички елементи заети в момента на влизане в системата се губи; пример са обикновените телефонни системи) - за системи със загуби.

Времеизискванията за обслужване също са сложен обект за формализирано описание. Обикновено се приема, че времената на обслужване на всички клиенти са независими едно от друго и са равномерно разпределени случайни променливи. Ако QS получава заявки от няколко типа, разпределението на времето за обслужване може да зависи от вида на заявката.

Сервизна дисциплинасе състои в правилото за подреждане на изискванията и реда, в който те се избират от опашката за обслужване, разпределението на елементите между изискванията, а в многофазните системи - между фазите на обслужване. Ще приемем, че в системата е внедрена най-простата дисциплина - обслужване на изискването по реда на пристигане (FIFO). В многоредовите системи се формира обща опашка за всички елементи и първото искане в опашката отива към всеки освободен елемент.

QS обаче използва и по-сложни дисциплини за обслужване. Най-простите примери за такива дисциплини са инверсионният (обратен) ред на обслужване (LIFO), при който се обслужва последното влязло в системата изискване.

Дисциплината за равномерно разделяне на елементите на системата, в която всеки от Пизискванията в системата се обслужват със същата скорост 1/стр.Понякога в момента, в който дадено изискване влезе в системата, става известно времето на неговото обслужване (работата, която трябва да бъде свършена). Тогава е възможно да се използват дисциплини, които зависят от остатъчните времена за обслужване на заявките. По-специално, дисциплината за обслужване на първото изискване с минималното оставащо време за обслужване ви позволява да получите минималната дължина на опашката по всяко време. Използването на сложни сервизни дисциплини много често позволява, без никакви допълнителни разходи, значително да подобри качеството на функциониране на QS.

Специален клас QS са приоритетни системи, които получават потоци от заявки с няколко приоритета, като заявките с по-висок приоритет имат предимство пред заявките с по-нисък приоритет, т.е. сервиран по-рано. Приоритетите могат да бъдат относителни, когато заявките с по-висок приоритет не прекъсват услугите на заявки с по-нисък приоритет на елементите, и абсолютни, когато настъпи такова прекъсване.

В случай на абсолютни приоритети също са възможни различни модификации: клиенти с недостатъчно обслужване с прекъснато обслужване напускат системите (системи с отпадане), продължават да бъдат обслужвани, след като всички клиенти с по-висок приоритет напуснат системата (системи с последващо обслужване) и се обслужват отново.

Дисциплините за обслужване трябва също да включват такива фактори като подготвителния етап преди началото на обслужването на следващото изискване или след като изискването е пристигнало в свободна система, етапа на превключване на елемент към изисквания за обслужване от различен тип, изисквания за обслужване от ненадеждни елементи на системата и др. И накрая, времето, което една заявка прекарва в системата, или времето, необходимо за изчакване за започване на услугата, може да бъде ограничено.

Нека сега опишем онези QS характеристики, които представляват интерес за потребителя. Понякога в практиката те се наричат ​​вероятностно-времеви характеристики. Най-важните от тях са дължина на опашката(т.е. броя заявки, чакащи да бъдат обслужени) и време на изчакване за започване на обслужване на заявката.Тъй като както дължината на опашката, така и времето за изчакване за стартиране на услугата са случайни променливи, тогава, естествено, те се описват със собствени разпределения. В допълнение, разпределението на дължината на опашката и времето за изчакване зависи от текущото време.

В системи със загуби или краен брой места за чакане, най-важните характеристики също включват вероятността да загубите иска.Понякога заедно с дължината на опашката те отчитат общ бройизисквания в систематаи заедно с времето за изчакване на услугата - време на престой на изискването в системата.

В системи със загуби или краен брой места за чакане, както и в системи с чакане и натоварване p

Повечето работи по теорията на масовото обслужване са посветени на намирането на стационарни характеристики, въпреки че нестационарните характеристики са проучени достатъчно подробно.

Литература

• 1. Гнеденко Б.В.Вероятностен курс. Москва: Физматгиз, 1961.
• 2. Фелър У.Въведение в теорията на вероятностите и нейните приложения.T.I. М.: Мир,
• 1984.
• 3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н.Въведение в теорията на масовото обслужване. Москва: Наука, 1966.
• 4. Саати Т.Л.Елементи на теорията на масовото обслужване и нейните приложения. М.: Сов. радио, 1965 г.

На практика човешка дейностголямо място заемат процесите на опашка, които се случват в системи, предназначени за многократна употреба при решаване на проблеми от същия тип. Такива системи се наричат ​​системи за масово обслужване (QS). Примери за такива системи са телефонни системи, компютърни системи, автомобилни, авиационни, системи за поддръжка, магазини, билетни касии т.н.

Всяка система се състои от определен бройобслужващи единици (инструменти, устройства, устройства "точки, станции), които се наричат ​​обслужващи канали. Според броя на каналите QS се разделя на едноканални и многоканални. Схемата на едноканална система за масово обслужване е показано на фиг. 6.2.

Приложенията обикновено не влизат в системата редовно, а произволно, образувайки произволен поток от приложения (изисквания). Самото обслужване на всяко изискване може да отнеме или определено време, или по-често неопределено време. Случайният характер води до факта, че QS се зарежда неравномерно: в някои периоди от време се натрупват много голям брой приложения (те или се подреждат, или оставят QS необслужен), докато в други периоди QS работи с недостатъчно натоварване или е неактивен.

Ориз. 6.2.

Целта на изследването на системите за масово обслужване е да се анализира качеството на тяхното функциониране и да се идентифицират възможностите за неговото подобряване. В същото време понятието "качество на функциониране" във всеки отделен случай ще има свое специфично значение и ще бъде изразено чрез различни количествени показатели. Например, такива количествени показатели като размера на опашката за обслужване, средното време на обслужване, чакане за обслужване или намиране на изискване в сервизната система, време на престой на сервизните устройства; увереност, че всички заявки, получени от системата, ще бъдат обслужени.

По този начин качеството на функциониране на системата за масово обслужване се разбира не като качеството на изпълнение на определена работа, заявката за която е получена, а степента на задоволяване на нуждата от услуга.

Предмет на теорията на масовото обслужване е конструкцията математически модели, свързващ дадените условия на работа на QS (броя на каналите, тяхната производителност, характера на потока от приложения и др.) с показателите за ефективност на QS, които описват способността му да се справя с потока от приложения.

Класификация на системите за масово обслужване

Първата характеристика, която позволява да се класифицират задачите за опашка, е поведението на заявките, получени от обслужващата система в момента, когато всички машини са заети.

В някои случаи иск, който влиза в системата в момент, когато всички машини са заети, не може да изчака тяхното освобождаване и оставя системата необслужена, т.е. искът е загубен за дадената сервираща система. Такива обслужващи системи се наричат ​​системи със загуби, а формулираните въз основа на тях задачи се наричат ​​обслужващи проблеми за системи със загуби.

Ако, от друга страна, заявка, влязла в системата, влиза в опашката и чака устройството да бъде освободено, тогава такива системи се наричат ​​системи с изчакване, а съответните задачи се наричат ​​сервизни задачи в системи с изчакване. QS с очакване се подразделя на различни видовев зависимост от това как е организирана опашката: с ограничена или неограничена дължина на опашката, с ограничено време за чакане и др.

QS също се различават по броя на изискванията, които могат да бъдат едновременно в системата за обслужване. Разпределете:

• 1) системи с ограничен поток от изисквания;
• 2) системи с неограничен поток от изисквания.

В зависимост от формите вътрешна организацияуслугите в системата са:

• 1) системи с поръчано обслужване;
• 2) системи с нарушено обслужване.

Важна стъпка в изследването на QS е изборът на критерии, характеризиращи изследвания процес. Изборът зависи от вида на изучаваните проблеми, от целта, преследвана от решението.

Най-често в практиката има системи, в които потокът от изисквания е близък до най-простия, а времето за обслужване се подчинява на експоненциален закон на разпределение. Тези системи са най-пълно развити в теорията на масовото обслужване.

В условията на едно предприятие типични са задачи с чакане, с краен брой сервизни устройства, с ограничен поток от изисквания и с неподредено обслужване.

23 октомври 2013 г. в 14:22 ч

Squeak: Моделиране на системи за опашка

• програмиране,
• ООП,
• Паралелно програмиране

В Habré има много малко информация за такъв език за програмиране като Squeak. Ще се опитам да говоря за това в контекста на моделирането на системи за масово обслужване. Ще покажа как да напиша прост клас, да опиша структурата му и да го използвам в програма, която ще обслужва заявки през няколко канала.

Няколко думи за Squeak

Squeak е отворена, междуплатформена реализация на езика за програмиране Smalltalk-80 с динамично писане и събирач на отпадъци. Интерфейсът е доста специфичен, но доста удобен за отстраняване на грешки и анализ. Squeak напълно отговаря на концепцията на OOP. Всичко е съставено от обекти, дори структури ако-тогава-иначе, за, докатореализирани с тяхна помощ. Целият синтаксис се свежда до изпращане на съобщение до обекта във формата:

<объект> <сообщение>

Всеки метод винаги връща обект и към него може да бъде изпратено ново съобщение.
Squeak често се използва за моделиране на процеси, но може да се използва и като инструмент за създаване на мултимедийни приложения и различни образователни платформи.

Системи за масово обслужване

Системите за опашка (QS) съдържат един или повече канали, които обработват приложения от няколко източника. Времето за обслужване на всяка заявка може да бъде фиксирано или произволно, както и интервалите между тяхното пристигане. Това може да бъде телефонна централа, пералня, касиери в магазин, машинописно бюро и т.н. Изглежда по следния начин:

CMO включва няколко източника, които влизат в обща опашкаи се изпращат за поддръжка, когато каналите за обработка станат достъпни. В зависимост от специфичните характеристики на реалните системи, моделът може да съдържа различен брой източници на заявки и канали за обслужване и да има различни ограничения върху дължината на опашката и свързаната с тях възможност за загуба на заявки (откази).

При моделирането на QS обикновено се решават задачите за оценка на средната и максималната дължина на опашката, честотата на отказ на услуга, средното натоварване на канала и определянето на техния брой. В зависимост от задачата моделът включва програмни блокове за събиране, натрупване и обработка на необходимите статистически данни за поведението на процесите. Най-често използваните модели на потока от събития в QS анализа са регулярни и Poisson. Регулярните се характеризират с еднакво време между настъпването на събитията, докато поасоновите са случайни.

Малко математика

За поток на Поасон, броят на събитията хпопадащи в интервала на дължина τ (тау) в съседство с точката T, разпределени по закона на Поасон:
където a (t, τ)- средният брой събития, настъпили в интервала от време τ .
Средният брой събития, случващи се за единица време, е равен на λ(t). Следователно средният брой събития за интервал от време τ , съседен на момент от време T, ще бъде равно на:

време Tмежду две събития λ(t) = const = λразпределени съгласно закона:
Плътност на разпределение на случайна величина Tизглежда като:
За получаване на псевдослучайни поасонови последователности от времеви интервали t iреши уравнението:
където r iе произволно число, равномерно разпределено в интервала.
В нашия случай това дава израза:

Чрез генериране на произволни числа можете да напишете цели томове. Тук, за да генерираме цели числа, равномерно разпределени в интервала, използваме следния алгоритъм:
където R i- друго произволно цяло число;
Р- някое голямо просто число (напр. 2311);
Q- цяло число - горната граница на интервала, например 2 21 = 2097152;
рем- операцията за получаване на остатъка от деленето на цели числа.

Първоначална стойност R0обикновено се задава произволно, например, като се използват показанията на таймера:
Общо време секунди
За да получим числа, равномерно разпределени в интервала, използваме езиковия оператор:

Ранд клас

За да получим случайни числа, равномерно разпределени в интервала, създаваме клас - генератор на реални числа:

Float variableWordSubclass: #Rand "име на клас" instanceVariableNames: "" "променливи на екземпляр" classVariableNames: "R" "променливи на клас" poolDictionaries: "" " общи речници" категория: "Пример" "име на категория"
Методи:

"Инициализация" init R:= Time totalSeconds.next "Следващо псевдослучайно число" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
За да зададете първоначалното състояние на сензора, изпратете съобщение Rand инициал.
За да получите друг произволно числоизпрати Ранд следващ.

Програма за обработка на заявления

И така, като прост пример, нека направим следното. Да предположим, че трябва да симулираме поддържането на редовен поток от заявки от един източник със случаен интервал от време между заявките. Има два канала с различна производителност, които позволяват обслужване на приложения съответно за 2 и 7 единици време. Необходимо е да се регистрира броя на заявките, обслужени от всеки канал в интервал от 100 времеви единици.

Скърцащ код

„Деклариране на временни променливи“ | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority опашка продължи r | "Първоначални настройки на променлива" Rand инициал. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. продължи:=вярно. sysPriority:= Приоритет на активния процес на процесора. Опашка "Текущ приоритет":= Семафор нов. "Claim Queue Model" "Creating Process - Channel Model 1" s1:= s1 + 1. proc1 suspend."Suspend process pending service termination" ].proc1:= nil."Remove reference to process 1" ]priority: (sysPriority + 1)) резюме. „Новият приоритет е по-голям от фоновия“ „Създаване на процес – модел на канал 2“ .proc2:= nil.] приоритет: (sysPriority + 1)) възобновяване. „Продължаващо описание на основния процес и изходния модел“ whileTrue: [ r:= (Rand next * 10) закръглено. (r = 0) ifTrue: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . „Изпращане на заявка“ „Превключване на процеса на обслужване“ (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. „Времето на модела тиктака“ ]. „Показване на състоянието на брояча на заявки“ PopUpMenu информира: „proc1: „,(s1 printString),“, proc2: „,(s2 printString). продължи:= невярно.

При стартиране виждаме, че процес 1 успя да обработи 31 заявки, а процес 2 само 11:

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Добра работакъм сайта">

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

публикувано на http://allbest.ru

ВЪВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ

1.1 Системи за масово обслужване с повреди

1.2 Моделиране на системи за масово обслужване

1.3 Най-простият QS с неуспехи

1.4 Едноканален QS с повреди

1.5 Многоканален QS с повреди

1.6 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката

1.7 Едноканален QS с неограничена опашка

1.8 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката

1.9 Многоканален QS с неограничена опашка

1.10 QS алгоритъм за моделиране

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ

ГЛАВА 3. ПРАВИЛА ЗА БЕЗОПАСНОСТ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНАТА ЛИТЕРАТУРА

ВЪВЕДЕНИЕ

пер последно времев най-много различни областиВ практиката се наложи решаването на различни вероятностни проблеми, свързани с работата на така наречените системи за масово обслужване (QS).

Примери за такива системи са: телефонни централи, сервизи, билетни каси, таксиметрови стоянки, фризьорски салони и др.

Темата на този курсов проект е именно решението на такъв проблем.

Въпреки това, в предложения проблем ще бъде изследвана QS, в която се разглеждат 2 потока от приложения, единият от които е с приоритет.

Освен това разглежданите процеси са немарковски, тъй като факторът време е важен.

Следователно решението на този проблем се основава не на аналитичното описание на системата, а на статистическото моделиране.

цел срочна писмена работае моделирането на производствения процес въз основа на представянето на основното оборудване като система за масово обслужване.

За постигане на целта бяха поставени следните задачи: - Да се ​​анализират особеностите на управлението на производствения процес; - Обмислете организацията на производствения процес във времето; - Дайте основните възможности за намаляване на продължителността на производствения цикъл;

Да се ​​анализират методите за управление на производствения процес в предприятието;

Разгледайте характеристиките на моделирането на производствения процес, използвайки теорията на QS;

Разработете модел на производствения процес и оценете основните характеристики на QS, представете перспективите за по-нататъшното му внедряване на софтуер.

Затвърдяване на теоретичните знания и придобиване на умения за практическото им приложение;

Докладът съдържа въведение, три глави, заключение, списък с литература, приложения.

Втората глава се занимава с теоретичните материали на системата за масово обслужване. И в третия изчисляваме проблема на системите за масово обслужване.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ

1.1 Системи за масово обслужване° Снеуспехи

Система за опашка (QS) е всяка система, предназначена да обслужва всякакви заявки (изисквания), пристигащи към нея в произволни моменти. Всяко устройство, което участва пряко в обслужването на заявки, се нарича обслужващ канал (или „устройство“). CMO са както едноканални, така и многоканални.

Има QS с откази и QS с опашка. При QS с откази заявка, пристигнала в момента, когато всички канали са заети, получава отказ, напуска QS и след това не участва в работата му. При QS с опашка заявка, която пристига в момента, в който всички канали са заети, не напуска QS, а влиза в опашката и чака докато каналът се освободи. Броят на местата в опашката m може да бъде както ограничен, така и неограничен. Когато m=0, QS с опашка се превръща в QS с неуспехи. Опашката може да бъде ограничена не само от броя на заявките, които стоят в нея (дължината на опашката), но и от времето на изчакване (такива QS се наричат ​​„системи с нетърпеливи клиенти“).

Аналитичното изследване на QS е най-просто, ако всички потоци от събития, които го прехвърлят от състояние в състояние, са най-прости (стационарен Поасон). Това означава, че интервалите от време между събитията в потоците имат експоненциално разпределение с параметър, равен на интензивността на съответния поток. За QS това предположение означава, че както потокът от заявки, така и потокът от услуги са най-прости. Поток на услугата се разбира като поток от заявки, обслужвани една след друга от един непрекъснато зает канал. Този поток се оказва най-простият само ако времето за обслужване на заявката tservice е случайна променлива с експоненциално разпределение. Параметърът на това разпределение m е реципрочната стойност на средното време за обслужване:

Вместо фразата „обслужващият поток е най-простият“, те често казват „времето за обслужване е ориентировъчно“. Всяка QS, в която всички потоци са прости, се нарича проста QS.

Ако всички потоци от събития са прости, тогава процесът, протичащ в QS, е марковски случаен процес с дискретни състояния и непрекъснато време. При определени условия за този процес има краен стационарен режим, при който както вероятностите на състоянията, така и другите характеристики на процеса не зависят от времето.

QS моделите са удобни за описание на отделни подсистеми на съвременни изчислителни системи, като подсистема процесор-основна памет, входно-изходен канал и др.

Изчислителната система като цяло е съвкупност от взаимосвързани подсистеми, чието взаимодействие има вероятностен характер. Приложение за решаване на определен проблем, което влиза в изчислителната система, преминава през последователност от етапи на броене, достъп до външни устройства за съхранение и входно-изходни устройства.

След завършване на определена последователност от такива етапи, чийто брой и продължителност зависят от сложността на програмата, заявката се счита за обслужена и напуска изчислителната система.

Така изчислителната система като цяло може да бъде представена чрез набор от QS, всеки от които показва процеса на функциониране на отделно устройство или група устройства от същия тип, които са част от системата.

Задачите на теорията на масовото обслужване са да се намерят вероятностите за различни състояния на QS, както и да се установи връзката между дадените параметри (броя на каналите n, интензивността на потока от заявки l, разпределението на времето за обслужване и т.н.) и работните характеристики на QS. Такива характеристики могат да се считат например за следното:

Средният брой приложения A, обслужвани от QS за единица време, или абсолютен пропускателна способност CMO;

Вероятността за обслужване на входящата заявка Q или относителната производителност на QS; Q \u003d A / l;

Вероятност за отказ на Rothk, т.е. вероятността полученото заявление да не бъде обслужено и да бъде отхвърлено; Rotk = 1 - Q;

Средният брой заявления в QS (обслужени или чакащи на опашка);

Средният брой приложения в опашката;

Средно време, прекарано от приложение в CMO (на опашка или в услуга);

Средното време, което едно приложение прекарва в опашката;

Среден брой заети канали.

AT общ случайВсички тези характеристики зависят от времето. Но много QS работят при постоянни условия за доста дълго време и следователно за тях има време да се установи режим, близък до стационарния.

Тук сме навсякъде, без да уточняваме това всеки път конкретно, ще изчисляваме крайните вероятности на състоянията и крайните характеристики на ефективността на QS, свързани с ограничаващия стационарен режим на нейната работа.

QS се нарича отворен, ако интензивността на входящия поток от приложения не зависи от състоянието на самия QS.

За всеки отворен QS в ограничаващия стационарен режим, средното време на престой на клиент в системата се изразява като среден брой клиенти в системата, като се използва формулата на Little:

където l е интензивността на потока заявки.

Подобна формула (наричана още формула на Литъл) свързва средното време, което билетът прекарва на опашка, и средния брой билети на опашка:

Формулите на Little са много полезни, защото ви позволяват да изчислите не и двете характеристики на ефективност (средно време на престой и среден брой клиенти), а само една от тях.

Специално подчертаваме, че формули (1) и (2) са валидни за всяка отворена QS (едноканална, многоканална, за всякакви типове потоци на заявки и потоци на услуги); единственото изискване за клиентските потоци и услуги е те да бъдат стационарни.

по същия начин универсален смисълза отворен QS има формула, която изразява средния брой заети канали чрез абсолютната пропускателна способност A:

където е интензивността на обслужващия поток.

Много проблеми на теорията на масовото обслужване, отнасящи се до най-простите QS, се решават с помощта на схемата на смъртта и възпроизводството.

Крайните вероятности на състоянията се изразяват с формулите:

Превъртете характеристиките на системите за масово обслужване могат да бъдат представени по следния начин:

· средно време за обслужване;

средно време на чакане на опашка;

Средното време, прекарано в SMO;

Средната дължина на опашката

· среден брой заявления в ООП;

броя на обслужващите канали;

интензивността на входящия поток от приложения;

интензивност на обслужването;

интензивност на натоварването;

Коефициент на натоварване

Относителна производителност;

Абсолютната производителност

дял от престоя на QS;

делът на обслужваните приложения;

делът на загубените приложения;

среден брой заети канали;

среден брой безплатни канали;

коефициент на натоварване на канала;

средно време на празен ход на каналите.

1 . 2 Моделиране на системи за масово обслужване

Преходите на QS от едно състояние в друго се случват под въздействието на точно определени събития - получаване на заявки и тяхното обслужване. Последователността на събитията, следващи едно след друго в произволни моменти от време, образува така наречения поток от събития. Примери за такива потоци търговски дейностиса потоци от различно естество - стоки, пари, документи, транспорт, клиенти, купувачи, телефонни разговори, преговори. Поведението на системата обикновено се определя не от един, а от няколко потока от събития наведнъж. Например обслужването на клиентите в магазина се определя от потока на клиентите и потока от услуги; в тези потоци моментите на появяване на купувачите, времето, прекарано на опашката и времето, изразходвано за обслужване на всеки купувач, са случайни.

В този случай основната характеристика на потоците е вероятностното разпределение на времето между съседни събития. Има различни потоци, които се различават по своите характеристики.

Поток от събития се нарича регулярен, ако събитията в него следват едно след друго през предварително определени и строго определени интервали от време. Такъв поток е идеален и се среща много рядко на практика. По-често има нередовни потоци, които нямат свойството на редовност.

Поток от събития се нарича стационарен, ако вероятността произволен брой събития да попаднат във времеви интервал зависи само от дължината на този интервал и не зависи от това колко далеч е този интервал от началото на времето. Стационарността на потока означава, че неговите вероятностни характеристики не зависят от времето, по-специално, интензивността на такъв поток е средният брой събития за единица време и остава постоянна. На практика потоците обикновено могат да се считат за стационарни само за определен ограничен интервал от време. Обикновено потокът от клиенти, например в магазина, се променя значително през работния ден. Въпреки това е възможно да се отделят определени интервали от време, в рамките на които този поток може да се счита за стационарен, с постоянна интензивност.

Поток от събития се нарича поток без последствия, ако броят на събитията, които попадат в един от произволно избраните времеви интервали, не зависи от броя на събитията, които попадат в друг, също произволно избран интервал, при условие че тези интервали не се пресичат . В поток без последствия събитията се появяват в последователни моменти независимо едно от друго. Например, потокът от клиенти, влизащи в магазин, може да се счита за поток без последствия, тъй като причините, довели до пристигането на всеки от тях, не са свързани с подобни причини за други клиенти.

Поток от събития се нарича обикновен, ако вероятността за постигане на две или повече събития наведнъж за много кратък период от време е незначителна в сравнение с вероятността за постигане само на едно събитие. В обикновен поток събитията се случват едно по едно, а не два или повече пъти. Ако един поток едновременно притежава свойствата на стационарност, обикновеност и липса на следствие, тогава такъв поток се нарича най-простият (или Поасонов) поток от събития. Математическото описание на въздействието на такъв поток върху системите е най-просто. Следователно, по-специално, най-простият поток играе специална роля сред другите съществуващи потоци.

Помислете за някакъв времеви интервал t на времевата ос. Да приемем, че вероятността случайно събитие да попадне в този интервал е p, а общият брой възможни събития е n. При наличието на свойството на обикновен поток от събития, вероятността p трябва да бъде достатъчно малка стойност, и i достатъчно голям брой, тъй като се разглеждат масови явления.

При тези условия, за да изчислите вероятността да постигнете определен брой събития t във времеви интервал t, можете да използвате формулата на Поасон:

Pm, n= am_e-a; (m=0,n),

където стойността a \u003d pr е средният брой събития, попадащи във времевия интервал t, който може да се определи чрез интензивността на потока от събития X, както следва: a \u003d l f

Размерът на интензитета на потока X е средният брой събития за единица време. Между p и l, p и f има следната връзка:

n= l t; p= f/t

където t е целият период от време, върху който се разглежда действието на потока от събития.

Необходимо е да се определи разпределението на времевия интервал T между събитията в такъв поток. Тъй като това е случайна променлива, нека намерим нейната функция на разпределение. Както е известно от теорията на вероятностите, интегралната функция на разпределение F(t) е вероятността стойността T да бъде по-малка от времето t.

F(t)=P(T

Съгласно условието не трябва да се случват събития през времето T, а поне едно събитие трябва да се появи на времевия интервал t. Тази вероятност се изчислява, като се използва вероятността от противоположното събитие на интервала от време (0; t), където не е паднало събитие, т.е. m = 0, тогава

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

За small?t, можете да получите приблизителна формула, получена чрез замяна на функцията e-Xt, само с два члена на разширението в серия по степен?t, тогава вероятността за постигане на поне едно събитие в малък интервал от време? т е

P(T

Плътността на разпределение на интервала от време между две последователни събития се получава чрез диференциране на F(t) по отношение на времето,

f(t)= l e- l t ,t?0

Използвайки получената функция на плътността на разпределението, могат да се получат числените характеристики на случайната променлива T: математическото очакване M (T), дисперсията D (T) и стандартното отклонение y (T).

M(T)= l??0 t*e-lt*dt=1/l; D(T)=1/l2; y(T)=1/l.

От това можем да направим следното заключение: средният интервал от време T между всеки две съседни събития в най-простия поток е средно 1/l, а стандартното му отклонение също е 1/l, където е интензитетът на потока, т.е. среден брой събития, случващи се за единица време. Законът за разпределение на случайна променлива с такива свойства M(T) = T се нарича експоненциален (или експоненциален), а стойността l е параметър на този експоненциален закон. По този начин, за най-простия поток, математическото очакване на интервала от време между съседни събития е равно на неговото стандартно отклонение. В този случай вероятността броят на заявките, пристигащи за обслужване в интервал от време t, да е равен на k, се определя от закона на Поасон:

Pk(t)=(lt)k/ k! *e-l t,

където l - интензивността на потока от приложения, средният брой събития в QS за единица време, например [човек / мин; rub./час; чекове/час; документи/ден; кг./час; тона/година] .

За такъв поток от приложения времето между две съседни приложения T се разпределя експоненциално с плътност на вероятността:

ѓ(t)= l e-l t.

Случайното време на изчакване в опашката за стартиране на услугата t също може да се счита за експоненциално разпределено:

? (toch)=V*e-v toch,

където v е интензитетът на потока на преминаване на опашката, определен от средния брой приложения, преминаващи за обслужване за единица време:

v=1/точка,

където To е средното време на чакане за услуга в опашката.

Изходният поток от заявки е свързан с потока на услугата в канала, където продължителността на услугата tobs също е случайна променлива и в много случаи се подчинява на експоненциален закон за разпределение с плътност на вероятността:

?(t obs)=µ*e µ t obs,

където µ е интензивността на обслужващия поток, т.е. среден брой обслужвани заявки за единица време:

µ=1/ t obs[хора/мин; rub./час; чекове/час; документи/ден; кг./час; тона/година] ,

където t obs е средното време за обслужване на заявки.

Важна характеристика на QS, която съчетава показателите l и µ, е интензивността на натоварването: с= l/ µ, която показва степента на координация на входните и изходните потоци на заявките на обслужващия канал и определя стабилността на система за опашка.

В допълнение към концепцията за най-простия поток от събития, често е необходимо да се използват концепции за потоци от други видове. Поток от събития се нарича поток на Palm, когато в този поток интервалите от време между последователни събития T1, T2, ..., Tk ..., Tn са независими, равномерно разпределени, случайни променливи, но за разлика от най-простия поток, те са не е задължително да се разпределят според експоненциален закон. Най-простият поток е специален случай на Palm потока.

Важен специален случай на потока Palm е така нареченият поток Erlang.

Този поток се получава чрез "разреждане" на най-простия поток. Такова "изтъняване" се извършва чрез избиране на събития от обикновен поток според определено правило.

Например, ако се съгласим да вземем предвид само всяко второ събитие от елементите на най-простия поток, получаваме Erlang поток от втори ред. Ако вземем само всяко трето събитие, тогава се формира Erlang поток от трети ред и т.н.

Възможно е да се получат Erlang потоци от всеки k-ти ред. Очевидно най-простият поток е потокът на Erlang от първи ред.

Всяко проучване на система за масово обслужване започва с проучване на това, което трябва да бъде обслужено и следователно с изследване на входящия поток от клиенти и неговите характеристики.

Тъй като времевите моменти t и интервалите от време на получаване на заявки φ, тогава продължителността на обслужващите операции t obs и времето за изчакване в опашката toch, както и дължината на опашката lch са случайни променливи, тогава, следователно, характеристиките на състоянието на QS са от вероятностен характер и тяхното описание трябва да се прилага чрез прилагане на методи и модели на теорията на масовото обслужване.

Характеристиките k, f, l, Loch, Toch, v, tobs, µ, p, Pk, изброени по-горе, са най-често срещаните за QS, които обикновено са само част от целевата функция, тъй като е необходимо също да се вземе предвид показателите за търговска дейност.

1 . 3 Най-простият QS с неуспехи

n-канален QS с откази получава най-простия поток от приложения с интензитет l; сервизно време - ориентировъчно с параметър. Състоянията на QS са номерирани според броя на заявките в QS (поради липсата на опашка съвпада с броя на заетите канали):

S0 - QS е свободен;

S1 - един канал е зает, останалите са свободни;

...;

С к- зает кканали, останалите са безплатни (1 кн);

…;

С н- всички са заети нканали.

Вероятностите за крайното състояние се изразяват с формулите на Erlang:

където s=l/m.

Характеристики на изпълнение:

A=(1-стр н); Q=1-p н; Pp = p н; =(1-стр н).

За големи стойности Пвероятностите за състояние (1*) могат да бъдат удобно изчислени с помощта на таблични функции:

(разпределение на Поасон) и

,

от които първото може да бъде изразено чрез второто:

Използвайки тези функции, формулите на Erlang (1*) могат да бъдат пренаписани като

.

1.4 Едноканален QS с повреди

Нека анализираме прост едноканален QS с откази на услуга, който получава поток на Поасон от заявки с интензитет l, а обслужването се извършва под действието на поток на Поасон с интензитет m.

Работата на едноканален QS n=1 може да бъде представена като обозначена графика на състоянието (3.1).

Преходите на QS от едно състояние S0 към друго S1 се осъществяват под действието на входен поток от заявки с интензитет l, а обратният преход се осъществява под действието на обслужващ поток с интензитет m.

Нека напишем системата от диференциални уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието съгласно горните правила:

Откъде получаваме диференциалното уравнение за определяне на вероятността p0(t) на състоянието S0:

Това уравнение може да се реши при начални условия при допускането, че системата в момента t=0 е била в състояние S0, тогава р0(0)=1, р1(0)=0.

В този случай решението на диференциалното уравнение ни позволява да определим вероятността каналът да е свободен и да не е зает с услуга:

Тогава не е трудно да се получи израз за вероятността да се определи вероятността каналът да е зает:

Вероятността p0(t) намалява с времето и в границата при t>? клони към размера

и вероятността p1(t) в същото време нараства от 0, клонейки към границата като t>? към стойността

Тези вероятностни граници могат да бъдат получени директно от уравненията на Колмогоров при условието

Функциите p0(t) и p1(t) определят преходния процес в едноканална СМО и описват процеса на експоненциално приближаване на СМО до нейното гранично състояние с времева константа, характерна за разглежданата система.

С достатъчна за практиката точност можем да приемем, че преходният процес в QS завършва за време равно на 3f.

Вероятността p0(t) определя относителната производителност на QS, която определя съотношението на обслужените заявки по отношение на общия брой входящи заявки за единица време.

В действителност, p0(t) е вероятността искът, пристигащ в момент t, да бъде приет за обслужване. Общо l заявки пристигат средно за единица време и от тях се обслужват lp0 заявки.

Тогава делът на обслужените заявки по отношение на целия поток от заявки се определя от стойността

В границата при t>? практически вече при t>3f стойността на относителната пропускателна способност ще бъде равна на

Абсолютната пропускателна способност, която определя броя на заявките, обслужени за единица време в лимита за t>?, е равна на:

Съответно делът на заявления, които са били отхвърлени, е при същите ограничителни условия:

и общият брой необслужени заявки е равен на

Примери за едноканални QS с отказ на обслужване са: гишето за поръчки в магазина, контролната зала на транспортна компания, складовият офис, офисът на управлението на търговско дружество, с които комуникацията се осъществява по телефона.

1.5 Многоканален QS с повреди

В търговските дейности примери за многоканални CMO са офиси на търговски предприятия с няколко телефонни канала, безплатна справочна услуга за наличността на най-евтините автомобили в автомагазините в Москва има 7 телефонни номера и, както знаете, е много трудно да се премине и да се получи помощ.

Следователно автомагазините губят клиенти, възможността да увеличат броя на продадените автомобили и приходите от продажби, оборота, печалбата.

Туристическите туристически компании имат два, три, четири или повече канала, като например Express-Line.

Нека разгледаме многоканален QS с откази на услуга, който получава Поасонов поток от заявки с интензитет l.

Потокът на услугата във всеки канал има интензитет m. Въз основа на броя QS заявки се определят неговите състояния Sk, представени като обозначена графика:

S0 - всички канали са свободни k=0,

S1 - зает е само един канал, k=1,

S2 - заети са само два канала, k=2,

Sk - k каналите са заети,

Sn - всичките n канала са заети, k= n.

Състоянията на многоканален QS се променят рязко в произволни моменти. Преходът от едно състояние, например S0 към S1, се осъществява под въздействието на входния поток от заявки с интензитет l и обратно - под въздействието на потока от обслужващи заявки с интензитет m.

За прехода на системата от състояние Sk към Sk-1 няма значение кой от каналите е освободен, следователно потокът от събития, който прехвърля QS, има интензитет km, следователно потокът от събития, който прехвърля системата от Sn до Sn-1 има интензитет nm.

Така е формулирана класическата задача на Ерланг, наречена на датския инженер – математик – основател на теорията за масовото обслужване.

Случаен процес, възникващ в QS, е частен случай на процеса „раждане-смърт“ и се описва от система от диференциални уравнения на Erlang, които позволяват да се получат изрази за граничните вероятности на състоянието на разглежданата система, наречени формулите на Erlang:

.

След като изчислим всички вероятности на състоянията на n-каналната QS с откази p0, p1, p2, ..., pk, ..., pn, можем да намерим характеристиките на обслужващата система.

Вероятността за отказ на услуга се определя от вероятността, че входяща заявка за услуга ще намери всички n канала заети, системата ще бъде в състояние Sn:

k=n.

В системи с повреди, събитията от повреда и поддръжка представляват пълна група от събития, така че:

Rothk+Robs=1

На тази база относителната производителност се определя по формулата

Q \u003d Pobs \u003d 1-Rotk \u003d 1-Pn

Абсолютната производителност на QS може да се определи по формулата

A=L*Robs

Вероятността за обслужване или съотношението на обслужените заявки определя относителната пропускателна способност на QS, която може да се определи и по друга формула:

От този израз можете да определите средния брой обслужвани приложения или, което е същото, средния брой канали, заети от обслужване

Степента на заетост на канала се определя от отношението на средния брой заети канали към общия им брой

Вероятността за заетост на канала от услугата, която взема предвид средното време на заетост tload и времето на празен ход tpr на каналите, се определя, както следва:

От този израз можете да определите средното време на празен ход на каналите

Средното време на престой на приложението в системата в стационарно състояние се определя по формулата на Little

Tsmo \u003d nz / l.

1.6 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката

В търговските дейности QS с чакане (опашка) са по-често срещани.

Да разгледаме проста едноканална QS с ограничена опашка, в която броят на местата в опашката m е фиксирана стойност. Следователно, заявление, което пристига в момента, когато всички места в опашката са заети, не се приема за обслужване, не влиза в опашката и напуска системата.

Графиката на този QS е показана на фиг. 3.4 и съвпада с графиката на фиг. 2.1 описващ процеса "раждане - смърт", с тази разлика, че при наличието само на един канал.

Означената графика на процеса на "раждане - смърт" на услугата, всички интензитети на потоците на услугата са равни

QS състоянията могат да бъдат представени, както следва:

S0 - каналът за обслужване е безплатен,

S, - обслужващият канал е зает, но няма опашка,

S2 - каналът на услугата е зает, има една заявка в опашката,

S3 - каналът на услугата е зает, има две заявки в опашката,

Sm+1 - каналът за обслужване е зает, всичките m места в опашката са заети, всяка следваща заявка се отхвърля.

За да се опише случайният процес на QS, може да се използват посочените по-горе правила и формули. Нека напишем изразите, определящи граничните вероятности на състоянията:

Изразът за p0 може да бъде написан в този случай по по-прост начин, като се използва фактът, че знаменателят е геометрична прогресия по отношение на p, тогава след подходящите трансформации получаваме:

c= (1- с)

Тази формула е валидна за всички p, различни от 1, но ако p = 1, тогава p0 = 1/(m + 2) и всички други вероятности също са равни на 1/(m + 2).

Ако приемем m = 0, тогава преминаваме от разглеждане на едноканална QS с изчакване към вече разгледаната едноканална QS с откази на обслужване.

Действително, изразът за пределната вероятност p0 в случай m = 0 има формата:

po \u003d m / (l + m)

А в случай на l \u003d m, той има стойността p0 \u003d 1/2.

Нека дефинираме основните характеристики на едноканален QS с чакане: относителна и абсолютна пропускателна способност, вероятност за неуспех, както и средната дължина на опашката и средното време на изчакване за приложение в опашката.

Заявката се отхвърля, ако пристигне в момента, когато QS вече е в състояние Sm + 1 и следователно всички места в опашката са заети и един канал обслужва

Следователно вероятността от повреда се определя от вероятността за поява

Sm+1 гласи:

Potc = pm+1 = cm+1 * p0

Относителната пропускателна способност или делът на обслужените заявки, пристигащи за единица време, се определя от израза

Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0

абсолютната честотна лента е:

Средният брой приложения L, стоящи в опашката за обслужване, се определя от математическото очакване на случайната променлива k - броят на приложенията, стоящи в опашката

произволна стойност k приема само следните цели числа:

1 - има едно приложение в опашката,

2 - има две приложения в опашката,

t-всички места в опашката са заети

Вероятностите на тези стойности се определят от съответните вероятности на състоянието, като се започне от състоянието S2. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива k е изобразен по следния начин:

Таблица 1. Закон за разпределение на дискретна случайна променлива

Математическото очакване на тази случайна променлива е:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

В общия случай, за p ? 1, тази сума може да се трансформира, като се използват модели на геометрична прогресия, в по-удобна форма:

Лох = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)*p0

В частния случай при p = 1, когато всички вероятности pk се оказват равни, може да се използва изразът за сумата от членовете на числовата серия

1+2+3+ m = м(м+1)

Тогава получаваме формулата

L "och \u003d m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Прилагайки подобни разсъждения и трансформации, може да се покаже, че средното време на изчакване за обслужване на заявка и опашка се определя от формулите на Литъл

Точка \u003d Loch / A (при p? 1) и T1och = L "och / A (при p \u003d 1).

Такъв резултат, когато се окаже, че Tox ~ 1/l, може да изглежда странно: с увеличаване на интензивността на потока от заявки изглежда, че дължината на опашката трябва да се увеличи и средното време на изчакване трябва да намалее. Все пак трябва да се има предвид, че, първо, стойността на Loch е функция на l и m и, второ, разглежданият QS има ограничена дължина на опашката от не повече от m приложения.

Заявка, която пристига в QS в момент, когато всички канали са заети, се отхвърля и следователно времето на „изчакване“ в QS е нула. Това води в общия случай (за p? 1) до намаляване на Tochrostom l, тъй като делът на такива приложения се увеличава с нарастването на l.

Ако се откажем от ограничението за дължината на опашката, т.е. стремят се m--> >?, тогава случаи p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

За достатъчно голямо k, вероятността pk клони към нула. Следователно относителната производителност ще бъде Q \u003d 1, а абсолютната производителност ще бъде равна на A - l Q - l, следователно всички входящи заявки се обслужват и средната дължина на опашката ще бъде равна на:

Лох = стр2 1-стр

и средното време на изчакване по формулата на Литъл

Point \u003d Loch / A

В границата p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Следователно граничните вероятности на състоянията не могат да бъдат определени: за Q= 1 те са равни на нула. Всъщност CMO не изпълнява функциите си, тъй като не е в състояние да обслужва всички входящи приложения.

Лесно е да се определи, че съотношението на обслужваните заявки и абсолютната пропускателна способност, съответно, средно c и m, но неограниченото увеличаване на опашката, а оттам и времето за изчакване в нея, води до факта, че след известно време заявките започват да се натрупват в опашката за неограничено време.

Като една от характеристиките на QS се използва средното време Tsmo за престой на приложението в QS, включително средното време, прекарано в опашката и средното време за обслужване. Тази стойност се изчислява по формулите на Little: ако дължината на опашката е ограничена, средният брой приложения в опашката е равен на:

Lmo= м+1 ;2

tsmo= Лsmo;при p?1

И тогава средното време на престой на заявката в системата за опашка (както в опашката, така и в услуга) е равно на:

tsmo= м+1 при p ?1 2m

1.7 Едноканален QS с неограничена опашка

В търговските дейности, например, търговският директор е едноканален QS с неограничено чакане, тъй като той, като правило, е принуден да обслужва приложения от различен характер: документи, телефонни разговори, срещи и разговори с подчинени, представители на данъчната инспекция, полицията, стоковите експерти, маркетолозите, доставчиците на продукти и решават проблеми в стоковата и финансовата сфера с висока степен на финансова отговорност, която е свързана със задължителното изпълнение на заявки, които понякога нетърпеливо очакват изпълнението на своите изисквания, и грешките при неправилно обслужване обикновено са много осезаеми икономически. Марков модел за поддръжка при отказ

В същото време стоките, внесени за продажба (услуга), докато са в склада, образуват опашка за услуга (продажба).

Дължината на опашката е броят артикули за продажба. В тази ситуация продавачите действат като канали, обслужващи стоки.

Ако количеството стоки, предназначени за продажба, е голямо, тогава в този случай имаме работа с типичен случай на QS с очакване.

Нека разгледаме най-простата едноканална QS с чакаща услуга, която получава Поасонов поток от заявки с интензитет l и интензитет на услугата λ.

Освен това заявката, получена в момента, когато каналът е зает с обслужване, е на опашка и чака обслужване.

Означената графика на състоянието на такава система е показана на фиг. 3.5

Броят на възможните му състояния е безкраен:

Каналът е безплатен, няма опашка, ;

Каналът е зает с обслужване, няма опашка, ;

Каналът е зает, една заявка в опашката, ;

Каналът е зает, приложението е в опашката.

Модели за оценка на вероятността от състояния на QS с неограничена опашка могат да бъдат получени от формули, изолирани за QS с неограничена опашка чрез преминаване към границата, когато m>?:

Трябва да се отбележи, че за QS с ограничена дължина на опашката във формулата

има геометрична прогресия с първия член 1 и знаменателя.

Такава последователност е сборът от безкраен брой членове при.

Тази сума се сближава, ако прогресията, безкрайно намаляваща при , която определя работата в стационарно състояние на QS, с при , опашката при с течение на времето може да нарасне до безкрайност.

Тъй като няма ограничение за дължината на опашката в разглеждания QS, тогава всяко приложение може да бъде обслужено, следователно, съответно относителната пропускателна способност и абсолютната пропускателна способност

Вероятността да бъдете в опашката за k приложения е равна на:

Среден брой заявления в опашката -

Среден брой приложения в системата -

Средно време на престой на приложение в системата -

Средно време на престой на приложение в системата -

Ако в едноканален QS с чакане интензивността на получаване на заявки е по-голяма от интензивността на обслужване, тогава опашката непрекъснато ще се увеличава. В тази връзка най-голям интерес представлява анализът на стабилна QS, работеща в стационарен режим при.

1.8 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката

Нека разгледаме многоканален QS, чийто вход получава Поасонов поток от заявки с интензитет, а интензитетът на обслужване на всеки канал е, максималният възможен брой места в опашката е ограничен от m. Дискретните състояния на QS се определят от броя на приложенията, постъпили в системата, които могат да бъдат записани.

Всички канали са безплатни, ;

Само един канал е зает (който и да е), ;

Заети са само два канала (всеки), ;

Всички канали са заети.

Докато QS е в някое от тези състояния, няма опашка. След като всички канали за обслужване са заети, следващите заявки образуват опашка, като по този начин определят по-нататъшното състояние на системата:

Всички канали са заети и едно приложение е на опашката,

Всички канали са заети и две приложения са в опашката,

Всички канали са заети и всички места в опашката са заети,

Преходът на QS към състояние с големи числа се определя от потока от входящи заявки с интензитет, докато по условие тези заявки се обслужват от едни и същи канали с еднаква за всеки канал интензивност на обслужващия поток. В този случай общата интензивност на потока от услуги се увеличава със свързването на нови канали до такова състояние, когато всички n канала са заети. С появата на опашката интензивността на услугата се увеличава повече, тъй като вече е достигнала максималната стойност, равна на.

Нека напишем изрази за граничните вероятности на състоянията:

Изразът за може да се преобразува с помощта на формулата на геометричната прогресия за сумата от членове със знаменател:

Образуването на опашка е възможно, когато новопостъпила заявка намери не по-малко от изисквания в системата, т.е. когато ще има изисквания в системата.

Тези събития са независими, така че вероятността всички канали да са заети е равна на сумата от съответните вероятности

Следователно вероятността за образуване на опашка е равна на:

Вероятността за отказ на услуга възниква, когато всички канали и всички места в опашката са заети:

Относителната производителност ще бъде равна на:

Абсолютна честотна лента -

Среден брой заети канали -

Среден брой неактивни канали -

Коефициент на заетост (използване) на каналите -

Коефициент на прекъсване на канала -

Средният брой заявления в опашките -

Ако тази формула приеме различна форма -

Средното време на чакане на опашка се дава по формулите на Литъл -

Средното време на престой на приложение в QS, като за едноканален QS, е по-голямо от средното време на изчакване в опашката със средното време за обслужване, което е равно на, тъй като приложението винаги се обслужва само от един канал :

1.9 Многоканален QS с неограничена опашка

Нека разгледаме многоканален QS с изчакване и неограничена дължина на опашката, който получава поток от заявки с интензивност и който има интензитет на обслужване за всеки канал.

Означената графика на състоянието е показана на фигура 3.7.Тя има безкраен брой състояния:

S - всички канали са свободни, k=0;

S - един канал е зает, останалите са свободни, k=1;

S - два канала са заети, останалите са свободни, k=2;

S - всички n канала са заети, k=n, няма опашка;

S - всички n канала са заети, една заявка е в опашката, k=n+1,

S - всички n канала са заети, r заявки са в опашката, k=n+r,

Получаваме вероятностите на състоянията от формулите за многоканален QS с ограничена опашка при преминаване към границата при m.

Трябва да се отбележи, че сумата от геометричната прогресия в израза за p се отклонява при ниво на натоварване p/n>1, опашката ще се увеличава неограничено, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

няма опашка

Тъй като в такива системи не може да има отказ от услуга, пропускателните характеристики са:

среден брой приложения в опашката -

средно време на чакане на опашка -

среден брой приложения в CMO -

Вероятността QS да е в състояние, в което няма заявки и нито един канал не е зает, се определя от израза

Тази вероятност определя средната част от времето на прекъсване на обслужващия канал. Вероятност да сте заети с обслужване на k заявки -

На тази база е възможно да се определи вероятността или съотношението на времето, през което всички канали са заети с услугата

Ако всички канали вече са заети от услуга, тогава вероятността за състоянието се определя от израза

Вероятността да бъдете в опашката е равна на вероятността да намерите всички канали, които вече са заети с услуга

Средният брой заявки в опашката и чакащи услуга е равен на:

Средното време за изчакване на заявление в опашката според формулата на Little:

и в системата

среден брой канали, заети от услуга:

средно аритметично безплатни канали:

степен на заетост на обслужващия канал:

Важно е да се отбележи, че параметърът характеризира степента на координация на входящия поток, например, клиенти в магазин с интензивността на потока от услуги. Процесът на обслужване ще бъде стабилен при Ако обаче средната дължина на опашката и средното време на изчакване за клиентите да започнат услугата ще се увеличат в системата и следователно QS ще работи нестабилно.

1.10 QS моделиращ алгоритъм

QS, разглеждан в проблема, е QS с:

Двуканална услуга;

Двуканален входен поток (има 2 входа, единият от които получава произволен поток от заявки I, другият вход получава поток от заявки II).

Определяне на часовете за получаване и връчване на заявленията:

· Времената на получаване и обслужване на заявки се генерират произволно по зададен експоненциален закон на разпределение;

· Задава се интензивност на получаване и обслужване на заявки;

Функционирането на разглежданата QS:

Всеки канал обслужва по една заявка;

Ако поне един канал е свободен в момента на постъпване на нова заявка, тогава входящата заявка влиза в услугата;

Ако няма приложения, системата е неактивна.

Сервизна дисциплина:

Приоритет на заявки I: ако системата е заета (и двата канала обслужват заявки), а един от каналите е зает от заявка II, заявка I изпреварва заявка II; Приложение II оставя системата необслужвана;

Ако и двата канала са заети до момента на пристигането на Заявка II, Заявка II не се обслужва;

Ако до момента на пристигане на Заявката I и двата канала обслужват Заявките I, получената Заявка I оставя системата необслужена;

Задача за моделиране: познавайки параметрите на входните потоци на приложенията, симулирайте поведението на системата и изчислете нейните основни характеристики на нейната ефективност. Чрез промяна на стойността на T от по-малки стойности до големи (времевият интервал, през който протича случаен процес на получаване на заявления от 1-ви и 2-ри поток в QS за услуга), могат да се намерят промени в критерия на ефективност на функциониране и изберете оптималния.

Критерии за ефективността на функционирането на QS:

· Вероятност за провал;

· Относителна производителност;

· Абсолютна пропускателна способност;

Принцип на моделиране:

Въвеждаме началните условия: общото време на системата, стойностите на интензитетите на потоците от заявки; броя на внедряванията на системата;

Ние генерираме моментите от време, в които пристигат заявките, последователността на пристигането на Заявки I от Заявки II, времето за обслужване на всяка входяща заявка;

Преброяваме колко молби са обслужени и колко са отхвърлени;

Изчисляваме критерия за ефективност на QS;

ГЛАВА2 . ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ

Фигура 1. Зависимост на OPSS от времето

ПРОГРАМА CAN_SMO;

КАНАЛ = (БЕЗПЛАТНО, ЗАЯВКА1, ЗАЯВКА2);

ИНТЕНЗИТЕТ = дума;

СТАТИСТИКА = дума;

CHANNAL1, CHANNAL2: CHANNAL; (Канали)

T_, t, tc1, tc2: ВРЕМЕ; (време)

l1, l2, n1, n2: ИНТЕНЗИТЕТ; (Интензитети)

обслужено1, не_обслужено1,

обслужено2, не_обслужено2,

S: СТАТИСТИКА; (Статистика)

M,N:INTEGER;(брой реализации)

ФУНКЦИЯ W(t: ВРЕМЕ; l: ИНТЕНЗИТЕТ) : булево; (Определя дали се е появила поръчка)

Начало (по интензитет на потока l)

ако произволно< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

ФУНКЦИЯ F(t: ВРЕМЕ; n: ИНТЕНЗИТЕТ) : ВРЕМЕ; (Определя колко дълго ще се обработва заявката)

Начало (според интензивността на заявките за обслужване n)

F:= t+кръг(60/(n));

Фигура 2. Зависимостта на OPPS от времето

WRITELN("ВЪВЕДЕТЕ БРОЯ НА ИЗПЪЛНЕНИЯТА НА QS РАБОТА");

writeln(M, "та реализация");

CHANNAL1:= БЕЗПЛАТНО; CHANNAL2:= БЕЗПЛАТНО;

l1:= 3; l2:= 1; n1:= 2; n2:= 1;

сървър1:= 0; не_сервирано1:= 0;

сървър2:= 0; не_сервирано2:= 0;

write("Въведете време за изучаване на QS - T: "); readln(_T_);

if CHANNAL1 = CLAIM1 then inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL1:= БЕЗПЛАТНО;

writeln("Канал1 завърши заявката");

if CHANNAL2 = CLAIM1 then inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL2:= БЕЗПЛАТНО;

writeln("Channel2 завърши поръчката");

Фигура 3. Графика на вероятността от повреда в системата от време на време

writeln("Получена заявка1");

ако CHANNAL1 = БЕЗПЛАТНО тогава

начало CHANNAL1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); writeln("Канал1 получи заявка1"); край

иначе, ако CHANNAL2 = БЕЗПЛАТНО тогава

начало CHANNAL2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); writeln("Канал2 прие заявка1"); край

иначе, ако CHANNAL1 = CLAIM2 тогава

начало CHANNAL1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); вкл.(не_обслужено2); writeln("Канал1 прие билет1 вместо билет2"); край

иначе, ако CHANNAL2 = CLAIM2 тогава

начало CHANNAL2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); вкл.(не_обслужено2); writeln("Канал2 прие билет1 вместо билет2"); край

else begin inc(not_served1); writeln("заявка1 не е обслужена"); край;

Фигура 4. Зависимост на броя на приложенията от времето

writeln("Заявка2 получена");

ако CHANNAL1 = БЕЗПЛАТНО тогава

начало CHANNAL1:= CLAIM2; tc1:= F(t,n2); writeln("Канал1 прие заявка2");край

иначе, ако CHANNAL2 = БЕЗПЛАТНО тогава

начало CHANNAL2:= CLAIM2; tc2:= F(t,n2); writeln("Канал2 прие заявка2");край

else begin inc(not_served2); writeln("заявка2 не е обслужена"); край;

S:= обслужено1 + не_обслужено1 + обслужено2 + не_обслужено2;

writeln("Време на работа на QS",_T_);

writeln("обслужван от канал1: ",обслужван1);

writeln("обслужван от канал2: ",обслужван2);

writeln("Получени заявки: ",S);

writeln("Обслужени поръчки: ",served1+served2);

writeln("Няма обслужени заявки: ",not_served1+not_served2);

(writeln("Интензивност на заявките, влизащи в системата: ",(served1+served2)/_T_:2:3);)

writeln("Абсолютна пропускателна способност на системата: ",(served1+served2)/T:2:3);

writeln("Вероятност за повреда: ",(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,"%");

writeln("Относителна пропускателна способност на системата: ",(served1+served2)/S:2:3);

writeln("симулацията приключи");

Таблица 2. Резултати от работата на QS

Характеристики на QS

Работно време

Постъпили заявления

Приложенията са обслужени

Приложенията не са обслужени

Абсолютна пропускателна способност на системата

Относителна пропускателна способност на системата

ГЛАВА 3ПРАВИЛА ЗА БЕЗОПАСНОСТ

Общи положения

· До работа в компютърния клас се допускат лица, които са запознати с инструкциите за безопасност и правилата за поведение.

· При нарушение на инструкциите ученикът се отстранява от работа и се допуска до обучение само с писмено разрешение на преподавателя.

· Работа на учениците в компютърен клас се допуска само в присъствието на преподавател (инженер, лаборант).

· Не забравяйте, че всеки ученик носи отговорност за състоянието на своето работно място и безопасността на оборудването, поставено върху него.

Преди започване на работа:

· Преди да започнете работа, уверете се, че няма видими повреди по оборудването и проводниците. Компютрите и периферните устройства трябва да бъдат поставени на маси в стабилна позиция.

· На учениците е строго забранено да влизат вътре в устройствата. Можете да включвате устройства само с разрешение на учителя.

При работа в компютърен клас е забранено:

1. Влизане и излизане от класната стая без разрешение на учителя.

2. Закъснение за час.

3. Да влиза в класната стая с мръсни и мокри обувки, прашни дрехи, през студения сезон с връхни дрехи.

4. Работете на компютъра с мокри ръце.

5. Поставете чужди предмети на работното място.

6. Станете по време на работа, обърнете се, говорете със съсед.

7. Включвайте и изключвайте оборудването без разрешението на учителя.

8. Нарушаване на реда за включване и изключване на оборудването.

9. Докосвайте клавиатурата и мишката, когато компютърът е изключен, местете мебели и оборудване.

10. Докоснете екрана на дисплея, кабелите, свързващите проводници, съединителите, щепселите и контактите.

11. Приближавайте без разрешение работното място на учителя

Основната заплаха за човешкото здраве при работа с компютър е заплахата от токов удар. Следователно е забранено:

1. Работа на оборудване, което има видими дефекти. Отворете системния блок.

2. Свържете или изключете кабели, докоснете съединители на свързващи кабели, проводници и гнезда, заземителни устройства.

3. Докоснете екрана и гърба на монитора, клавиатурата.

4. Опитайте се да отстраните проблема с оборудването сами.

5. Работете с мокри дрехи и мокри ръце

6. Изпълнява изискванията на учителя и лаборанта; Поддържайте тишина и ред;

7. Докато сте онлайн, работете само със собственото си име и парола;

8. Спазва режима на работа (съгласно Санитарните правила и норми);

9. Започвайте и завършвайте работа само с разрешение на учителя.

10. В случай на рязко влошаване на здравето (поява на болка в очите, рязко влошаване на видимостта, невъзможност за фокусиране или фокусиране върху остротата, болка в пръстите и ръцете, повишен пулс), незабавно напуснете работното място , докладвайте инцидента на учителя и се консултирайте с лекар;

11. Поддържайте работното място чисто.

12. Завършете работата с разрешението на учителя.

13. Предайте свършената работа.

14. Затворете всички активни програми и елегантно изключете компютъра.

15. Подредете работното място.

16. На дежурния да провери готовността на кабинета за следващия урок.

По време на работа на оборудването е необходимо да се пазите от: - токов удар;

- механични повреди, травми

В случай на спешност:

1. Ако се открие искрене, миризма на изгоряло или други проблеми, незабавно прекратете работата и уведомете учителя за това.

2. Ако някой бъде ударен от електрически ток, е необходимо: да спрете работа и да се отдалечите на безопасно разстояние; изключете напрежението (на разпределителното табло на шкафа); информирайте учителя започнете първа помощ и се обадете на лекар.

3. При пожар е необходимо: преустановяване на работата и започване на евакуация; уведомете учителя и се обадете на пожарната (тел. 01); изключете напрежението (на разпределителното табло на шкафа); започнете да гасите огъня с пожарогасител (забранено е да гасите огъня с вода.

Подобни документи

Математическа теория на масовото обслужване като клон на теорията на случайните процеси. Системи за опашка за приложения, пристигащи на интервали. Отворена мрежа на Марков, нейният немарковски случай, намиране на стационарни вероятности.

курсова работа, добавена на 07.09.2009 г


Концепцията за система за масово обслужване, нейната същност и характеристики. Теорията на масовото обслужване като един от разделите на теорията на вероятностите, разглежданите въпроси. Концепцията и характеристиките на случаен процес, неговите видове и модели. Обслужване с очакване.

курсова работа, добавена на 15.02.2009 г


Оптимизиране на управлението на клиентския поток в мрежи за масово обслужване. Методи за установяване на зависимости между характера на изискванията, броя на каналите за обслужване, тяхната производителност и ефективност. теория на графите; Уравнение на Колмогоров, потоци събития.

тест, добавен на 01.07.2015 г


Теорията на опашките е област от приложната математика, която анализира процеси в производствени системи, в които хомогенни събития се повтарят многократно. Определяне на параметрите на системата за масово обслужване с непроменени характеристики.

курсова работа, добавена на 08.01.2009 г


Дефиниция на случаен процес и неговите характеристики. Основни понятия на теорията на масовото обслужване. Концепцията за марковски случаен процес. Потоци от събития. Уравнения на Колмогоров. Гранични вероятности на състояния. Процесите на смърт и размножаване.

резюме, добавено на 01/08/2013


Стационарно разпределение на вероятностите. Изграждане на математически модели, графики на преходи. Получаване на уравнение на равновесие за системи за масово обслужване с различен брой сървъри, различни видове изисквания и ограничени опашки на сървърите.

дисертация, добавена на 23.12.2012 г


Анализ на ефективността на най-простите системи за масово обслужване, изчисляване на техните технически и икономически показатели. Сравнение на производителността на системата с повреди със съответната смесена система. Предимства на преход към система със смесени свойства.

курсова работа, добавена на 25.02.2012 г


Съставяне на симулационен модел и изчисляване на показателите за работа на системата за масово обслужване по зададени параметри. Сравнение на показателите за ефективност с тези, получени чрез числено решаване на уравненията на Колмогоров за вероятностите на състоянията на системата.

курсова работа, добавена на 17.12.2009 г


Примери за процесите на възпроизвеждане и смърт в случай на най-простите системи за масово обслужване. Математическо очакване за система за масово обслужване. Допълнителен поток и безкраен брой устройства. Система с ограничение на времето за престой на приложението.

курсова работа, добавена на 26.01.2014 г


Някои математически задачи от теорията на поддръжката на сложни системи. Организация на обслужване с ограничена информация за надеждността на системата. Алгоритми за безотказно функциониране на системата и намиране на време за планова профилактика на системите.

работа или ефективност на системата за масово обслужване са както следва.

За CMO с неуспехи:

За CMO с неограничено чаканекакто абсолютната, така и относителната пропускателна способност губят значението си, тъй като всяка входяща заявка ще бъде обслужена рано или късно. За такъв QS важни показатели са:

За CMO смесен типизползват се и двете групи показатели: и относителни, и абсолютна честотна лентаи характеристики на очакванията.

В зависимост от целта на операцията на опашката, всеки от горните индикатори (или набор от индикатори) може да бъде избран като критерий за ефективност.

аналитичен модел QS е набор от уравнения или формули, които позволяват да се определят вероятностите от състояния на системата в хода на нейната работа и да се изчислят показателите за ефективност въз основа на известни характеристики на входящия поток и каналите за обслужване.

Няма общ аналитичен модел за произволна QS. Разработени са аналитични модели за ограничен брой специални случаи на QS. Аналитичните модели, които повече или по-малко точно представят реални системи, като правило са сложни и трудни за разглеждане.

Аналитичното моделиране на QS е значително улеснено, ако процесите, протичащи в QS, са марковски (потоците от заявки са прости, времето за обслужване е експоненциално разпределено). В този случай всички процеси в QS могат да бъдат описани с обикновени диференциални уравнения, а в граничния случай, за стационарни състояния, с линейни алгебрични уравнения и след тяхното решаване да се определят избраните показатели за ефективност.

Нека разгледаме примери за някои QS.

2.5.1. Многоканален QS с повреди

Пример 2.5. Трима пътни инспектори проверяват пътните листи на шофьорите на камиони. Ако поне един инспектор е свободен, преминаващият камион се спира. Ако всички инспектори са заети, камионът минава без спиране. Потокът от камиони е най-простият, времето за проверка е произволно с експоненциално разпределение.

Такава ситуация може да бъде симулирана чрез триканален QS с откази (без опашка). Системата е отворена, с хомогенни приложения, монофазна, с абсолютно надеждни канали.

Описание на състоянията:

Всички инспектори са безплатни;

Един инспектор е зает;

Двама инспектори са заети;

Трима инспектори са заети.

Графиката на състоянията на системата е показана на фиг. 2.11.

Ориз. 2.11.

На графиката: - интензивността на потока от товарни автомобили; - интензивността на проверките на документи от един пътен инспектор.

Симулацията се провежда, за да се определи частта от автомобилите, които няма да бъдат тествани.

Решение

Желаната част от вероятността е вероятността за наемане на работа и на тримата инспектори. Тъй като графиката на състоянието представлява типична схема на "смърт и размножаване", ще намерим с помощта на зависимости (2.2).

Пропускателната способност на този пост от инспектори по движението може да се характеризира относителна производителност:

Пример 2.6. За приемане и обработка на донесенията от разузнавателната група към разузнавателния отдел на сдружението е назначена група от трима офицери. Очакваната скорост на докладване е 15 доклада на час. Средното време за обработка на един доклад от един служител е . Всеки офицер може да получава доклади от всяка разузнавателна група. Освободеният служител обработва последния от получените доклади. Входящите отчети трябва да бъдат обработени с вероятност най-малко 95%.

Определете дали назначената група от трима офицери е достатъчна за изпълнение на възложената задача.

Решение

Група офицери работи като CMO с повреди, състояща се от три канала.

Потокът от доклади с интензивност може да се счита за най-простият, тъй като е съвкупност от няколко разузнавателни групи. Интензивност на поддръжката . Законът за разпределение е неизвестен, но това не е съществено, тъй като е показано, че за системи с повреди той може да бъде произволен.

Описанието на състоянията и графиката на състоянието на QS ще бъдат подобни на тези, дадени в Пример 2.5.

Тъй като графиката на състоянието е схема "смърт и размножаване", за нея има готови изрази за граничните вероятности на състоянието:

Отношението се нарича намалена интензивност на потока от приложения. Неговият физически смисъл е следният: стойността е средният брой заявки, идващи към QS за средното време за обслужване на една заявка.

В примера .

В разглежданата QS повреда възниква, когато и трите канала са заети, т.е. Тогава:

защото вероятност за повредапри обработката на отчетите е повече от 34% (), тогава е необходимо да се увеличи персоналът на групата. Нека удвоим състава на групата, т.е. QS вече ще има шест канала и изчислим:

По този начин само група от шест служители ще могат да обработват входящи доклади с вероятност от 95%.

2.5.2. Многоканален QS с изчакване

Пример 2.7. Във форсиращия участък има 15 еднотипни прелезни съоръжения. Потокът от превозни средства, пристигащи на прелеза, е средно 1 единица/мин, средното време за преминаване на една единица техника е 10 минути (като се вземе предвид връщането на прелезното съоръжение).

Оценете основните характеристики на пресичането, включително вероятността за незабавно пресичане веднага след пристигането на част от оборудването.

Решение

Абсолютна честотна лента, т.е. всичко, което идва на прелеза, почти веднага се пресича.

Среден брой действащи прелезни съоръжения:

Коефициенти на използване на пресичане и престой:

Разработена е и програма за решаване на примера. Времевите интервали за пристигане на техниката на прелеза, времето на преминаване се приемат разпределени по експоненциален закон.

Степента на използване на ферибота след 50 рейса е практически еднаква: .