Въведение

Математическо описание на метода

1 Главна информацияотносно системите опашка

2 Многоканален QS с повреди

Обосновка и избор на инструментална среда за изчисления

Алгоритмична поддръжка

1 Постановка на проблем

2 Математически модел

3 Изграждане на QS модели с грешки в Simulink

3.1 За 3-канален QS

3.2 За 5-канален QS

4 Изчисляване на показателите за ефективност

4.1 за 3-канален QS

4.2 За 5-канален QS

5 Анализ на резултатите от симулацията

Заключение

Списък на използваната литература

ВЪВЕДЕНИЕ

Към днешна дата методът на симулация е един от най- ефективни методиизследване на процеси и системи от най-разнообразен характер и степен на сложност. Същността на метода се състои в съставянето на модел, който симулира процеса на функциониране на системата и изчисляване на характеристиките на този модел, за да се получат статистически данни за симулираната система. Използвайки резултатите от симулационното моделиране, е възможно да се опише поведението на системата, да се оцени влиянието на различни системни параметри върху нейните характеристики, да се идентифицират предимствата и недостатъците на предложените промени и да се предвиди поведението на системата.

Най-добрата илюстрация за обхвата на симулационното моделиране са системите за масово обслужване. Много реални системи са описани в термините на QS: компютърни системи, комуникационни мрежови възли, магазини, производствени обекти - всякакви системи, където са възможни опашки и откази на обслужване. Целта на това срочна писмена работа- създаване на блокова диаграма в средата MatLab Simulink, която ясно илюстрира алгоритъма за изчисляване на параметрите на многоканален QS модел с повреди и формиране на препоръки за избор на оптимален брой канали за обслужване.

За да постигнем тази цел, подчертаваме основните задачи:

-подробно описание на многоканален QS с повреди;

избор на тестов случай и постановка на проблем;

определяне на алгоритъма за решение;

създаване на симулационен модел в среда MATLAB (Simulink);

анализ на резултатите и обосновка на избора на оптимален брой канали за изследваната КС

1. МАТЕМАТИЧЕСКО ОПИСАНИЕ НА МЕТОДА

.1 Обща информация за системите за масово обслужване

В живота често има системи, предназначени за многократна употреба при решаване на един и същи тип задачи: опашка в магазин, поддръжка на автомобили на бензиностанции, билетни касии т.н. Възникващите при това процеси се наричат ​​обслужващи процеси, а системите – системи за масово обслужване (QS).

Процесите на получаване и обслужване на заявките в QS са случайни, поради случайния характер на потока от заявки и продължителността на тяхното обслужване.

Ще разгледаме QS със случаен марковски процес, когато вероятността за състоянието на QS в бъдеще зависи само от сегашното му състояние и не зависи от миналото (процес без последействие или без памет). Условието за марковски стохастичен процес е необходимо всички потоци от събития, при които системата преминава от едно състояние в друго (потоци от заявки, потоци от услуги и т.н.), да бъдат поасонови. Поасоновият поток от събития има редица свойства, включително свойствата на липсата на последействие, обикновеността и стационарността.

В най-простия Поасонов поток от събития произволна стойностразпределени по експоненциалния закон:

,(1.1)

където λ - интензитет на потока.

Целта на теорията на системите за масово обслужване е да разработи препоръки за тяхното рационално изграждане, организация на работа и регулиране на потока от приложения. От това следват задачите, свързани с теорията на опашките: установяване на зависимостите на работата на QS от неговата организация, характера на потока от приложения, броя на каналите и тяхната производителност, правилата на QS.

Основата на ООП е определен бройсервизни устройства - обслужващи канали.

Целта на QS е да обслужва потока от приложения ( изискване), представляващи поредица от събития, които се случват нередовно и в неизвестни преди това и произволни моменти. Само обслужванеприложения също има непостоянен и случаен характер. Случайният характер на потока от заявки и времето на тяхното обслужване определя неравномерното натоварване на QS: необслужените заявки могат да се натрупват на входа (претоварване на QS) или няма заявки или има по-малко от безплатни канали(недостатъчно натоварване QS).

По този начин заявките се получават от QS, някои от които се приемат за обслужване от системните канали, други се поставят на опашка за обслужване, а някои оставят системата необслужена.

Основните елементи на QS са:

1.входен поток от приложения;

2.обръщане;

.обслужващи канали;

.изходящ поток от приложения (обслужвани приложения).

Ефективността на функционирането на QS се определя от нейната пропускателна способност - относително числообслужвани приложения.

Според броя на каналите n всички QS се делят на едноканални (n = 1) и многоканални (n > 1). Многоканалната QS може да бъде както хомогенна (по канали), така и разнородна (по продължителност на заявките за услуга).

Според дисциплината на обслужване има три класа QS:

1.CMO с неуспехи(нулево очакване или ясни загуби). „Отхвърленото“ заявление влиза отново в системата, за да бъде обслужено (например обаждане на абонат през АТС).

2.CMO с очакване(неограничено чакане или опашка). Когато системата е заета, приложението влиза в опашката и в крайна сметка ще бъде изпълнено (търговски, потребителски и медицински услуги).

.CMO смесен тип (ограничено чакане). Има ограничение за дължината на опашката (автосервиз). Ограничение за времето на престой на приложението в CMO (ПВО, специални условиябанково обслужване) също може да се има предвид.

Разграничете отворен(потокът от приложения не е ограничен), поръчан(заявленията се обслужват по реда на постъпване) и монофазни(хомогенните канали извършват една и съща операция) QS.

Ефективността на системите за масово обслужване се характеризира с показатели, които могат да бъдат разделени на три групи:

1.Група от показатели за ефективността на използването на QS:

-абсолютна честотна лента ( НО) е средният брой обслужени заявки за единица време или интензивността на изходящия поток от обслужени заявки (това е част от интензивността на входящия поток от заявки);

относителна производителност ( Q) - отношението на абсолют честотна лентакъм средния брой заявления, получени от системата за единица време;

средната продължителност на периода на заетост на SMO ( );

интензивност на натоварването ( ρ) показва степента на съгласуваност на входните и изходните потоци на заявките за обслужващ канал и определя стабилността на QS;

Коефициент на използване на QS - средният дял от времето, през което системата е заета с обслужване на заявки.

2.Индикатори за качество на услугата на приложението:

средно време за изчакване на заявка в опашката ( );

средно време на престой (обслужване) на приложение в QS ( );

вероятността за отказ на заявката в услуга без изчакване ( );

вероятност за незабавно приемане на заявлението ( );

законът за разпределение на времето за изчакване на заявка в опашката в QS;

среден брой приложения в опашката ( );

средният брой приложения в QS ( ).

.Индикатори за ефективност на функционирането на двойката "QS - потребител" (цялата съвкупност от приложения или техния източник, например среден доход за единица време от QS). Тази група е полезна, когато приходите от СК и разходите за нейната поддръжка се измерват в едни и същи единици, и отразява спецификата на работата на СК.

1.2 Многоканален QS с повреди

Системата M/M/n/0 е n-линейна QS с r места за чакане (r=0), която получава поток с интензитет на Поасон , докато времето за обслужване на искове е независимо и времето за обслужване на всеки иск на всеки сървър се разпределя според експоненциалния закон с параметъра . В случай, когато , рекламацията, пристигнала в пренатоварената система (т.е. когато всички устройства и всички места за чакане са заети), се губи и не се връща отново в нея. Системата M/M/n/r също се отнася до експоненциална QS.

Уравнения, описващи разпределението на заявките в системата

Нека напишем системата диференциални уравненияКолмогоров. За да направите това, помислете за моментите t и . Ако приемем, че в момент t процесът v(t) е в състояние i, ние определяме къде може да стигне в даден момент и намерете вероятностите неговите преходи във времето . Тук има три възможни случая.

A. i процес няма да излезе от състояние i е равно на произведението на вероятността неполучаване на заявление за време на вероятността фактът, че през това време нито една от i заявките няма да бъде обслужена, т.е. е равно на . Вероятност за преход във времето да заявя i+1 е - вероятността за получаване на приложението в системата. И накрая, тъй като всеки уред ще приключи навреме обслужване на приложението в него с вероятност , и има i устройства, тогава вероятността за преминаване към състояние i-1 е равна на . Останалите преходи имат вероятност .

Б. n≤i остани в състояние, което съм , преминете към състояние i-1 в същото време

Така всъщност доказахме, че процесът е процес на раждане и смърт с интензитети при при и при . Обозначаване чрез , разпределението на броя на заявките в системата в момент t, получаваме следните изрази за в случай, когато :

,

,

,

Ако , че очевидно няма да има последен израз, а в предпоследния индексът i може да приема стойностите i=n,n+1,… .

изваждане сега от двете страни на уравнението, разделяйки на и отиване до краен предел

при , получаваме система от диференциални уравнения:

,

,

, (1.2)

.

Стационарно разпределение на опашката

В случай на крайно r, например r=0, процесът е ергодичен. Освен това ще бъде ергодичен в случая при условие, описано по-долу. След това от (1) при получаваме, че стационарните вероятности на състоянията pi удовлетворяват системата от уравнения:

,

,(1.3)

,

.

Нека сега обясним извеждането на системата от уравнения (1.3) на базата на принципа на глобалния баланс. Така например, според диаграмата на прехода за фиксирано състояние i, , имаме, че общите вероятностни потоци, влизащи в състояние i и излизащи от него, са равни, съответно, и .

Фигура 1 Диаграма на прехода

Въз основа сега на принципа на локалния баланс, че балансът на вероятностите протича между състояния i и i + 1 се отразява от равенства:

,

,(1.4)

които са уравненията на локалния баланс за дадената QS. Валидността на равенствата (1.4) се проверява чрез директно сумиране на системата от уравнения (1.3) по i при i=0,1,…,n+r-1.

От релация (1.4), рекурсивно изразяваща вероятностите през ,

където , а се определя от условието за нормализиране , т.е.

.(1.6)

Ясно е, че формулите могат да бъдат получени от общите отношения за стационарните вероятности на състоянията на процеса на раждане и смърт за горните стойности и .

Ако , тогава стационарният режим съществува за всеки .

Нека сега напишем изрази за някои характеристики на опашката.

Стационарна вероятност незабавното обслужване на рекламация (обслужване без изчакване) съвпада със стационарната вероятност в системата да има 0,1,…,n-1 рекламации, т.е.

Нека разгледаме частния случай, който ни интересува, когато r=0. тогава в системата няма места за чакане (система със загуби M/M/n/0) и такава система се нарича Erlang системи. Системата Erlang описва процесите, протичащи в най-простите телефонни мрежи, и е кръстена на A. K. Erlang, който пръв я изучава. За системата M/M/n/0 стационарните вероятности се определят от формулата на Erlang

,.

Следователно стационарната вероятност за загуба на поръчка се определя по формулата:

,

която се нарича още формула на Ерланг.

Най-после кога , тогава имаме система , за които, за всякакви съществуват стационарни вероятности и, както следва от формулите на Ерланг за , имат формата

,.

Нека сега се върнем към отношенията (1.4). Сумирайки тези равенства върху i=0,1,…,n+r-1, получаваме

,

където е средният брой заети устройства. Написаното отношение изразява равенството на интензитетите на потоците, постъпващи в системата, и потоците, обслужвани от нея в стационарен режим. От тук можем да получим израза за пропускателната способност на системата , дефинирана като среден брой приложения, обслужвани от системата за единица време, и понякога наричана интензивност на изход:

.

Изразът за стационарния брой N заявки в системата може лесно да се получи или директно от разпределението на вероятностите (4), или като се използва очевидната връзка .

Стационарно разпределение на времето за престой на приложението в системата

Стационарното разпределение W(x) на времето за изчакване за започване на обслужване на получена заявка в системата M/M/n/r се изчислява почти по същия начин, както при системата . Обърнете внимание, че иск, който при пристигането на i намира други искове в системата, веднага започва да се обслужва, ако i време.

Чрез прости трансформации намираме, като вземем предвид независимостта на времето за обслужване от времето за изчакване за начало на обслужване, намираме, че стационарното разпределение V(x) на времето на престой в системата на прието за обслужване приложение има PL

.

Стационарни средни времена на изчакване за стартиране на услугата и престой на приложението в системата се дават по формулите:

,

.

Последният израз може да се получи и от формулите на Литъл.

Нестационарни характеристики

Нестационарно разпределение на броя на заявките в системата се получава чрез интегриране на система (1) с отчитане на първоначалното разпределение .

Ако , то системата (1) е линейна хомогенна система от обикновени диференциални уравнения от първи ред с постоянни коефициенти.

Изходящ поток

В системата , в стационарно състояние, потокът от искове, напускащи системата, е Поасон. Същото може да се каже и за изходящия поток от системата M/M/n/r, ако под него разбираме общия поток от обслужени и загубени заявки. Доказателството за това чрез метода на обръщане на времето напълно съвпада с доказателството на подобен факт за системата .

2. Обосновка и избор на инструментална среда за изчисления

Системното моделиране е важен инструмент, когато става въпрос за разбиране, обяснение на неразбираем проблем или решаване на даден проблем с помощта на компютър. Серия от компютърни експерименти изследват модела и получават потвърждение или опровержение на предексперименталните хипотези за поведението на модела.

Мениджърът използва резултатите от поведението на модела за реален обект, тоест взема планирано или предвидимо решение, получено чрез изучаване на модела.Това е компютърна софтуерна система за моделиране на системи за управление. Simulink е компонент на Matlab и използва всички възможности за моделиране. Линейни, нелинейни, дискретни, стохастични и хибридни системи се моделират с помощта на Matlab Simulink.

В същото време, за разлика от класическите методи за моделиране, потребителят не трябва да изучава задълбочено езика за програмиране и многобройните методи на математиката, а по-скоро общите познания, необходими за работа с компютър и познания за предметната област, в която работи .

Когато работите в Matlab Simulink, можете да симулирате динамични системи, да избирате методи за решаване на диференциални уравнения, както и начини за промяна на времето на модела (с фиксирана или променлива стъпка). По време на симулацията е възможно да се наблюдават процесите, които се случват в системата. За целта се използват специални устройства за наблюдение, които са част от библиотеката Simulink. Резултатите от симулацията могат да бъдат представени под формата на графики и таблици.

Предимството на Simulink е, че ви позволява да обогатявате блокови библиотеки с програми, написани както на Matlab, така и на C++, Fortran и Ada.

Изследваният модел на системата е под формата на блокова схема. Всеки типичен блок е обект с графични чертежи, графични и математически символи на изпълнимата програма и числови или формулни параметри. Блоковете са свързани с линии, които отразяват движението на материални, финансови и информационни потоци между обектите.

И така, Matlab Simulink е система за симулационно моделиране, която ви позволява удобно и лесно да изграждате и изследвате модели на икономически процеси.

3. Алгоритмична поддръжка

.1 Постановка на проблема

Като многоканален QS с повреди, помислете за работата на компютърен център.

Изчислителният център за колективно ползване с три компютъра получава заявки от предприятия за изчислителна работа. Ако и трите компютъра работят, тогава новопостъпилата поръчка не се приема и предприятието е принудено да се обърне към друг компютърен център. Средното време за работа с една поръчка е 3 ч. Интензитетът на потока заявки е 0,25 (1/ч).

Необходимо е да се определят основните характеристики на ефективността на тази QS, ако интензивността, с която всеки компютър обслужва поръчката, е 1/3 от приложението на час, а интензивността, с която приложенията пристигат в компютърния център, е 0,25 единици на час. Разгледайте случая на увеличаване на броя на компютрите с 2 единици в центъра и вижте как се променят основните характеристики на тази система. Въз основа на резултатите от анализа на получените резултати дайте препоръки за оптималния брой канали за обслужване.

Нека QS съдържа n канала, интензитетът на входящия поток от заявки е равен на , а интензивността на обслужване на заявка от всеки канал е равна на . Означената графика на състоянието на системата е показана на Фигура 2.

Фигура 2 - Графика на състоянията на многоканален QS с повреди

състояние С 0означава, че всички канали са безплатни, посочете S к (k = 1, n) означава, че k канала са заети с обслужване на заявки. Преходът от едно състояние към друго съседно дясно става внезапно под въздействието на входящ поток от заявки с интензитет независимо от броя на активните канали (горни стрелки). За преминаването на системата от едно състояние в съседно ляво състояние няма значение кой канал се освобождава. Стойност характеризира интензивността на заявките за обслужване при работа в QS k канали (долни стрелки).

Лесно е да се види, че многоканален QS с неуспехи е специален случай на системата за раждане и смърт, ако вземем последното и

(3.1)

В този случай формулите (4) и (5) могат да се използват за намиране на крайните вероятности. Като вземем предвид (16), получаваме от тях:

(3.2)

(3.3)

Формулите (3.2) и (3.3) се наричат ​​формулите на Ерланг, основателят на теорията на масовото обслужване.

Вероятността за отказ на обслужване на заявката p_otk е равна на вероятността всички канали да са заети, т.е. системата е в състояние S н . По този начин,

(3.4)

Относителната производителност на QS може да се намери от (3.4):

(3.5)

Намираме абсолютната производителност от (3.5):

Средният брой заети канали може да се намери по този начин: тъй като всеки зает канал обслужва средно приложения, тогава може да се намери с помощта на формулата:

3.3 Изграждане на QS модели с грешки в Simulink

.3.1 за 3-канален QS

Фигура 3 QS модел с 3 сервизни канала

Фигура 3 (продължение) QS модел с 3 сервизни канала

В моделите, реализирани в Simulink, е възможно да се показват стойностите на показателите за ефективност на QS. При промяна на входните параметри, стойностите ще бъдат преизчислени автоматично.

Система за масово обслужване с три канала може да бъде в четири състояния: S0 - всички канали са свободни, S1 - 1 канал е зает, S2 - 2 канала са заети, S3 - всичките 3 канала са заети. Вероятностите за тези състояния са представени на фигура 4.

Фигура 4 Вероятности за състояние за QS с 3 канала

3.3.2 За 5-канален QS

Фигура 5 QS модел с 5 канала

Фигура 5 (продължение) QS модел с 5 канала

Както в случая на n=3 за QS с n=5, извеждането на стойностите на показателите за ефективност в самия модел се реализира.

Система за масово обслужване с пет канала може да бъде в шест състояния: S0 - всички канали са свободни, S1 - 1 канал е зает, S2 - 2 канала са заети, S3 - 3 канала са заети, S4 - 4 канала са заети, S5 - всички 5 канала са заети. Вероятностите за тези състояния са показани на фигура 7

Фигура 6 Вероятности за състояние за QS с 5 канала

3.4 Изчисляване на показателите за ефективност

Изчисляването на показателите за ефективност на системи за масово обслужване с три и пет канала е направено с помощта на пакета MS Excel, като се използват формулите, описани в параграф 3.2

.4.1 за 3-канален QS

Таблица 1 Изчисляване на показателите за ефективност на триканален QS

n (брой канали за обслужване) 3ʎ (интензитет на входящия поток от заявки) 0.25µ (интензитет на потока от обслужвани заявки, напускащи един канал) 0.33333 ρ ( намалена интензивност на потока от приложения) 0.75 вероятности за състояния P_00.47584P_10.35688P_20.13383P_30.03346 вероятност заявлението да бъде отхвърлено) 0.03346n" (среден брой заети канали) 0.72491

3.4.2 За 5-канален QS

Таблица 2 Изчисляване на показателите за ефективност за петканален QS

n (брой канали за обслужване) 5ʎ (интензитет на входящия поток от заявки) 0,25µ (интензитет на потока от обслужвани заявки, напускащи един канал) 0,33333 ρ ( намалена интензивност на потока от приложения) 0.75 вероятности от състояния P_00.47243P_10.35432P_20.13287P_30.03322P_40.00623P_50.00093 сума от вероятности 0.99907P_otk (вероятност приложението да бъде отхвърлено) 0.00093n" (среден брой канали) 0.7493

3.5 Анализ на резултатите от симулацията

Таблица 3 Сравнение на резултатите от симулацията с теоретични изчисления за триканален QS

Параметър Теоретична стойност Емпирична стойност Отклонение (в дроби)

Таблица 4 Сравнение на резултатите от симулацията с теоретични изчисления за петканален QS

Параметър Теоретична стойност Емпирична стойност Отклонение (в дроби)

От таблиците се вижда, че отклонението на емпиричните стойности от теоретичните не надвишава ε =7%. Това означава, че конструираните от нас модели описват адекватно поведението на системата и са приложими за намиране на оптимални съотношения за броя на каналите за обслужване.

Таблица 5 Сравнение на емпирични показатели QS където n=3 и QS където n=5

Параметър QS индикатори, където n=3 QS индикатори, където n=5P_00.4870.4852P_otk0.031360.0009952Q0.96860.999A0.24220.2498n "0.72650.7493

Очевидно, колкото по-голям е броят на обслужващите канали, толкова по-малка е вероятността от повреда на системата и толкова по-голяма е вероятността заявката да бъде обслужена. Абсолютната производителност на системата в случай на функциониране на 5 канала, макар и малко по-висока, отколкото ако функционират само 3 канала, обаче това показва, че е необходимо да се направи избор в полза на увеличаване на броя на каналите за обслужване.

По този начин проведеният експеримент показа доколко може да се вярва на резултатите от симулацията и заключенията, направени въз основа на интерпретацията на тези резултати.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В хода на курсовата работа бяха решени всички поставени задачи и беше постигната целта, а именно бяха създадени модели, които описват икономическия процес, изчислени са показателите на тези модели и са формулирани препоръки за практическо приложение.

Симулацията е извършена в системата Matlab Simulink под формата на блокови диаграми, които показват същността на икономическите процеси в проста и удобна форма. Адекватността на конструираните модели беше проверена и чрез изчисляване на теоретичните показатели за ефективност на избраните типове QS, според резултатите от които моделите бяха разпознати с голяма вероятност, близки до реалността. От това следва, че когато разглеждаме подобни процеси и за да спестим време, можем да използваме моделите, разработени в хода на тази работа.

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНАТА ЛИТЕРАТУРА

1.Рижиков Ю.И. Симулационно моделиране. Теория и технологии. - SPb.: KORONA print: M.: Alteks-A, 2004.

2.Варфоломеев В.И. Алгоритмично моделиране на елементи на икономически системи: Практикум. Proc. надбавка. - М .: Финанси и статистика, 2000.

.Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика. Proc. надбавка за университети. - М.: Висше училище, 1998

ТЕОРИЯ НА ОПАШКИТЕ

Въведение

Теорията на опашките е важен клон на системния анализ и изследване на операциите. Той е богат на различни приложения: от задачи. свързани с експлоатацията на телефонните мрежи, с научната организация на производството. Тази теория се използва там, където има обаждания и клиенти, сигнали и продукти от масово производство, както и там, където продуктите се обслужват, обработват, прехвърлят.

Идеите и методите на теорията на масовото обслужване (QMT) стават все по-разпространени. Много задачи на техниката, икономиката, военното дело, природните науки могат да бъдат поставени и решени по отношение на ТМТ.

TMT дължи появата си преди всичко на приложните проблеми на телефонията, в които поради големия брой независими или слабо зависими източници (абонати на телефонни централи) потоците от приложения (обаждания) са явно произволни. Случайните флуктуации (флуктуации) около определена средна стойност в този случай не са резултат от някакво отклонение от нормата, а закономерност, присъща на целия процес. От друга страна, стабилността на работата на телефонните централи, възможността за получаване на добри статистически данни създадоха предпоставки за идентифициране на основните характеристики, присъщи на този процес на обслужване.

За първи път Dane A.K. обърна внимание на това и проведе изследване. Ерланг. Основните му трудове в тази област датират от 1908-1921 г. Оттогава интересът към проблемите, поставени от Erlang, нарасна изключително много. През 1927 - 1928 г. се появяват произведенията на Молина и Фрая, по-късно през 1930 - 1932 г. - интересни произведения на Полачек, А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчин.

Трябва да се каже, че първите задачи на TMT бяха доста прости и позволиха да се получат окончателните аналитични зависимости. О, развитието вървеше както по линията на увеличаване на обхвата на приложение на ТМТ, така и по линията на усложняване на задачите, които стоят пред него. Оказа се, че проблемите от типа на телефона възникват в голямо разнообразие от области на изследване: в естествените науки. в техниката, в транспорта, във военното дело, в организацията на производството и др.

23. Системи за масово обслужване

В много области на човешката практическа дейност ние сме изправени пред необходимостта да останем в състояние на очакване. Подобни ситуации възникват на опашки в билетни каси, на големи летища, когато служителите на самолета чакат разрешение за излитане или кацане, на телефонни централи в очакване на освобождаване на абонатната линия, в сервизи в очакване на ремонт на машини и оборудване. , в складове на снабдителни и маркетингови организации в очакване на разтоварване или товарене на превозни средства. Във всички тези случаи имаме работа с масов характер и услуга. Теорията на опашките се занимава с изучаването на такива ситуации.

Теория на опашките- областта на приложната математика, която се занимава с анализ на процеси в системите за производство, услуги, управление, в които хомогенни събития се повтарят многократно, например в предприятия за потребителски услуги; в системи за приемане, обработка и предаване на информация; автоматични производствени линии и др.

Предметът на теорията на опашките е да се установят връзки между естеството на потока от заявки, броя на каналите за обслужване, производителността на един канал и ефективната услуга, за да се намерят най-добрите начини за контролиране на тези процеси.

23.1. Концепцията за smo

В теорията на системите за масово обслужване (QS) обслужваният обект се нарича изискване. В общия случай изискването обикновено се разбира като искане за задоволяване на някаква нужда, например разговор с абонат, кацане на самолет, закупуване на билет, получаване на материали в склад.

Средствата, които обслужват изискванията, се наричат устройства за сервиране или обслужващи канали . Например, те включват телефонни канали, писти за кацане, майстори по ремонта, билетни служители, пунктове за товарене и разтоварване в бази и складове.

Извиква се набор от подобни обслужващи устройства система за опашка . Такива системи могат да бъдат телефонни централи, летища, билетни каси, сервизи, складове и бази на снабдителни и маркетингови организации и др.

Основната задача на QS теорията е изучаването на режима на работа на обслужващата система и изучаването на явленията, които възникват в процеса на обслужване. И така, една от характеристиките на системата за обслужване е времето, прекарано от изискването в опашката. Очевидно това време може да бъде намалено чрез увеличаване на броя на сервизните устройства. Но всяко допълнително устройство изисква определени материални разходи, докато времето на престой на сервизното устройство се увеличава поради липсата на изисквания за обслужване, което също е негативно явление. Следователно в теорията на QS възникват проблеми с оптимизацията: как да се постигне определено ниво на обслужване (максимално намаляване на опашката или загуба на клиенти) при минимални разходи, свързани с престоя на сервизните устройства.

Източник.Източникът се определя като устройство или набор, от който заявките влизат в системата за обслужване. Източникът се нарича безкраен или краен, в зависимост от това дали съдържа безкраен или краен брой изисквания. Винаги ще приемаме, че изискванията за генериране на източник са неизчерпаеми. Например, въпреки че има краен брой абонати на дадена телефонна централа, ние приемаме, че те образуват безкраен източник.

входящ поток.Изискванията, идващи от източника към услугата, формират входящия поток. Самото изискване може да се разглежда като искане за задоволяване на някаква потребност. Има много примери за входящи потоци. Това е потокът от информация, получена за обработка в компютър; поток от заявления за ATS; потокът от клиенти, идващи в студиото и пациенти в поликлиниката, потокът от кораби, пристигащи на пристанището; вражески самолети и ракети, летящи към целта и др.

Система за обслужване.Сервизната система се разбира като набор от технически средства или производствен персонал (различни инсталации, устройства, устройства, тунели, писти, комуникационни линии, продавачи, екипи от работници или служители, касиери и др.), Изпълняващи обслужващи функции. Всичко по-горе, както вече беше споменато, е обединено от едно име „сервизен канал“ (обслужващо устройство). Съставът на системата се определя от броя на каналите (устройства, линии). Според броя на каналите системите могат да бъдат разделени на едноканални и многоканални.

Изходящ поток.Изходящият поток е потокът от заявки, напускащи системата, след като са били обслужени. Това може да включва заявки, които са напуснали системата, без да бъдат обслужени.

Входящият поток, функционирането на обслужващата система в резултат на обслужването, изходящият поток подлежат на количествено описание. За да се проведе математическо изследване на процеса на масово обслужване, е необходимо да се дефинира напълно системата за масово обслужване. Това обикновено означава:

- настройка на входния поток.Тук имаме предвид както средната интензивност на получаване на изисквания, така и статистическия модел на тяхното получаване (т.е. законът за разпределение на моментите на получаване на изисквания в системата);

- настройка на сервизния механизъм.Това означава да посочите кога услугата е разрешена, колко заявки могат да бъдат обслужени едновременно и колко време трае услугата. Последното свойство обикновено се характеризира със статистическото разпределение на продължителността на обслужването (закон за разпределение на времето на обслужване);

- назначение за служебна дисциплина.Това означава да се посочи методът, по който се избира една заявка от опашката (ако има такава) за обслужване. В най-простата си форма служебната дисциплина е да се обслужват изискванията в реда, в който са получени (справедлив принцип), но има много други възможности.

Задачата на системата предполага и добре познато описание на взаимодействието между отделните й части.

Когато системата е достатъчно пълно дефинирана, има основа за изграждане на математически модел. Ако математическият модел повече или по-малко адекватно отразява реалната система, тогава той позволява да се получат основните характеристики на функционирането на системата. Разбира се, моделът значително опростява практическата ситуация, но това не омаловажава математическите методи на теорията на масовото обслужване и състоянието на нещата не се различава от състоянието на нещата в други области на приложната математика.

Теорията на QS е посветена на разработването на методи за анализ, проектиране и рационална организация на системи, свързани с различни области на дейност, като комуникации, изчисления, търговия, транспорт и военно дело. Въпреки цялото си разнообразие, горните системи притежават редица характерни свойства, а именно.

• QS (системи за опашка) е системни модели, при които в произволни моменти пристигат приложения (изисквания) отвън или отвътре. Те трябва да бъдат обслужвани от системата по един или друг начин. Продължителността на услугата най-често е произволна.
• CMO е съвкупностсервиране оборудванеи персоналс подходяща организация на сервизния процес.
• Да настроиш QS означава да го настроиш структура и статистхарактеристики на последователността на получаване на заявления и последователността на тяхното обслужване.

Задачата на QS анализасе състои в определяне на редица показатели за неговата ефективност, които могат да бъдат разделени на следните групи:

• показатели, характеризиращи системата като цяло:номер нзаети обслужващи канали, броят на обслужващите канали (λ b) чакащи услуга или отхвърлени приложения (λ ° С) за единица време и др.;
• вероятностни характеристики: вероятността заявката да бъде обслужена ( П obs) или да получите отказ на услуга ( П otk), че всички устройства са безплатни ( стр 0) или определен брой от тях са заети ( p k), вероятността да има опашка и т.н.;
• икономически показатели : цената на загубите, свързани с напускането на необслужвано по една или друга причина приложение от системата, икономическият ефект, получен в резултат на обслужването на приложение и др.

Част от техническите показатели (първите две групи) характеризират системата от гледна точка на потребителите, другата част характеризира системата по отношение на неговото представяне. Често изборът на тези показатели може да подобри работата на системата, но да влоши системата от гледна точка на потребителите и обратно. Използването на икономически показатели ни позволява да разрешим това противоречие и да оптимизираме системата, като вземем предвид и двете гледни точки.
По време на домашния тест се изучават най-простите QS. Това са системи с отворен цикъл; безкраен източник на заявки не е включен в системата. Входният поток от заявки, потоците от услуги и очакванията на тези системи са най-прости. Няма приоритети. Системите са монофазни.

Многоканална система с повреди

Системата се състои от един обслужващ възел, съдържащ n обслужващи канала, всеки от които може да обслужва само една заявка.
Всички обслужващи канали с еднаква производителност са неразличими за системния модел. Ако заявка влезе в системата и намери поне един свободен канал, веднага започва да се обслужва. Ако всички канали са заети в момента на постъпване на рекламация в системата, тогава рекламацията оставя системата необслужена.

смесени системи

1. Ограничена система за дължината на опашката .
   Състои се от устройство (опашка) и сервизен възел. Поръчка напуска опашката и напуска системата, ако към момента на появяване в акумулатора вече има m поръчки (m е максималният възможен брой места в опашката). Ако дадено приложение влезе в системата и намери поне един свободен канал, веднага започва да се обслужва. Ако всички канали са заети в момента на влизане на заявка в системата, тогава заявката не напуска системата, а заема място в опашката. Едно приложение напуска системата необслужено, ако до влизането му в системата всички канали за обслужване и всички места в опашката са заети.
   Дисциплината на опашката се определя за всяка система. Това е система от правила, които определят реда, в който приложенията пристигат от опашката до сервизния възел. Ако всички приложения и канали за обслужване са еквивалентни, тогава най-често важи правилото „който дойде по-рано, се обслужва по-рано“.
2. Ограничена система за времето на кандидатстване на опашката.
   Състои се от устройство (опашка) и сервизен възел. Тя се различава от предишната система по това, че приложение, което е влязло в акумулатора (опашката), може да чака само началото на услугата за ограничено време. Т ож(най-често е случайна величина). Ако нейното време Т оже изтекъл, тогава заявката напуска опашката и оставя системата необслужена.

Математическо описание на QS

QS се разглеждат като някои физически системи с дискретни състояния x 0, x 1, ..., x n,действащ при непрекъснато време T . Броят на състоянията n може да бъде краен или изброим (n → ∞). Системата може да преминава от едно състояние x i (i= 1, 2, ... , n) в друго x j (j= 0, 1,…,н)в произволен момент от време T. За да покаже правилата за такива преходи, диаграма, наречена графика на състоянието. За видовете системи, изброени по-горе, графиките на състоянията образуват верига, в която всяко състояние (с изключение на крайните) е свързано чрез пряка и обратна връзка с две съседни състояния. Това е схемата смърт и размножаване .
Преходите от състояние в състояние се случват в произволни моменти. Удобно е да се приеме, че тези преходи се случват в резултат на действието на някои потоци(потоци от входящи заявки, откази в обслужването на заявки, поток за възстановяване на устройства и др.). Ако всички потоци протозои,след това произволното процес с дискретно състояние и непрекъснато време ще бъде марковски .
Поток от събитияе поредица от подобни събития, случващи се в произволни моменти. Може да се разглежда като поредица от произволни моменти във времето T 1 , T 2 , … възникване на събития.
най-простиятПоток се извиква, ако има следните свойства:

• Обикновеност. Събитията следват едно по едно (обратното на поток, където събитията следват в групи).
• стационарност. Вероятност за достигане на даден брой събития за интервал от време Tзависи само от дължината на интервала и не зависи от това къде по времевата ос се намира този интервал.
• Без последействие. За два неприпокриващи се времеви интервала τ 1 и τ 2, броят на събитията, които попадат в единия от тях, не зависи от това колко събития попадат в другия интервал.

В най-простия поток, времеви интервали T 1 , T 2 ,… между моментите T 1 , T 2 , … събитията са случайни, независими едно от друго и имат експоненциално вероятностно разпределение f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, където λ е параметърът на експоненциалното разпределение, който е едновременно интензивностпоток и представляващ средния брой събития, случващи се за единица време. Така t =M[T]=1/λ.
Марков случайни събития се описват с обикновени диференциални уравнения. Променливите в тях са вероятностите за състояния Р 0 (t),стр 1 (t),…,p n (t).
За много големи времена на функциониране на системата (теоретично, като t → ∞) в най-простите системи (системи, в които всички потоци са прости и графиката е схема на смърт и възпроизводство), наблюдаваме установен,или стационаренрежим на работа. В този режим системата ще промени състоянието си, но вероятностите за тези състояния ( крайни вероятности) r към, k= 1, 2 ,…, н,не зависят от времето и могат да се разглеждат като средно относително времесистемата е в правилно състояние.

Приложение на различни математически методи за формализация. Акцент върху сложна система - непредвидима. Превозвачнесигурността е човекът.

Типичен пример за стохастични (случайни, вероятностни) проблеми са моделите на системи за масово обслужване.

SMO са повсеместни. Това са телефонни мрежи, бензиностанции, потребителски услуги, билетни каси, търговски събития и др.

От позицията на моделиране на процеса на опашка възникват ситуации, когато се формират опашки от заявки (изисквания) за услуга, както следва. След като влезе в системата за обслужване, изискването се присъединява към опашката от други (по-рано получени) изисквания. Каналът за обслужване избира изискване от тези в опашката, за да започне да го обслужва. След приключване на процедурата по обслужване на следваща заявка, обслужващият канал започва да обслужва следващата заявка, ако има такава в чакащия блок. Цикълът на функциониране на такъв тип QS се повтаря многократно през целия период на работа на обслужващата система. Предполага се, че преходът на системата към обслужване на следващото изискване след завършване на обслужването на предходното изискване става моментално, в произволни моменти.

Примери за SMO са:

постове за поддръжка на автомобили;

постове за ремонт на автомобили;

одиторски фирми и др.

Основателят на теорията за масовото обслужване, по-специално теорията на опашките, е известният датски учен А. К. Ерланг (1878-1929), който изучава процесите на обслужване в телефонните централи.

Системите, в които протичат обслужващи процеси, се наричат ​​системи за масово обслужване (QS).

За да опишете система за опашка, трябва да посочите:

- входен поток от приложения;

- служебна дисциплина;

- време за обслужване

- броя на обслужващите канали.

входен поток изисквания (приложения) се описва чрез идентифициране на двете вероятностни разпределителен законмоменти на получаване на изискванията в системата, и брой изискваниявъв всеки запис.

При запитване служебни дисциплини(DO) е необходимо да се опишат правилата за опашка на изискванията и обслужването им в системата. Дължината на опашката може да бъде както ограничена, така и неограничена. В случай на ограничения на дължината на опашката, заявката, получена на входа на QS, се отказва. Най-често използваните DO се определят от следните правила:

кой превари, той завари;

дойде последен - обслужен първи; (кутия за тенис топки, стек в техника)

случаен избор на приложения;

подбор на кандидатури по приоритетен критерий.

Време за обслужванеприложения в QS е случайна променлива. Най-разпространеният закон за разпределение е експоненциалният закон.  - скорост на обслужване. =брой заявки за услуги/единици. време.

Сервизни канали, могат да бъдат поставени успоредно или последователно. При последователно подреждане на канали всяко приложение се обслужва по всички канали последователно. При паралелно подреждане на канали услугата се извършва на всички канали едновременно, когато те станат безплатни.

Обобщената структура на QS е показана на фиг.

Предмет теория на опашкатае да се установи връзката между факторите, които определят функционалността на QS, и ефективността на нейното функциониране.

Проблеми с дизайна на QS.

Задачите за определяне на характеристиките на структурата на QS включват проблема с избора на броя на обслужващите канали (основни елементи (F аз)), проблемът за определяне на метода за свързване на канали (набор от свързващи елементи (Hj)), както и проблемът за определяне на пропускателната способност на каналите.

един). Избор на структура. Ако каналите работят паралелно, тогава проблемът с избора на Str се свежда до определяне на броя на каналите в сервизната част въз основа на условието за осигуряване на работоспособността на QS. (Освен ако опашката не расте безкрайно).

Имайте предвид, че при определяне на броя на системните канали, в случай на тяхното паралелно разположение, е необходимо да се спазва здравословно състояние на системата. Означаваме:  - среден брой получени заявки за единица време, т.е. интензитет на входния поток;  - среден брой удовлетворени заявки за единица време, т.е. интензивност на обслужването; С - брой обслужващи канали. Тогава ще бъде написано условието за работоспособност на QS

или
. Изпълнението на това условие ни позволява да изчислим долната граница на броя на каналите.

Ако
, системата не може да се справи с опашката. Опашката расте безкрайно.

2). Необходимо е да се определи критерият за ефективност на функциониране QS, като се вземат предвид разходите за загуби на време както от страна на приложенията, така и от страна на сервизната част.

Следните три основни групи показатели се разглеждат като индикатори за ефективността на функциониране на QS:

1. Индикатори за ефективността на използването на QS.

Абсолютната производителност на QS е средният брой приложения, които QS може да обслужи за единица време.

Относителната производителност на QS е съотношението на средния брой приложения, обслужени от QS за единица време, към средния брой заявки, получени през това време.

Средната продължителност на периода на заетост на SMO.

Степента на използване на QS е средният дял от времето, през което QS е зает с обслужване на приложения.

2. Индикатори за качеството на обслужване на приложенията.

Средно време за изчакване на приложение на опашката.

Средно време на престой на приложение в CMO.

Вероятност заявката да бъде отказана услуга без изчакване.

Вероятността входяща заявка да бъде незабавно приета за обслужване.

Законът за разпределение на времето за изчакване на заявка в опашката.

Законът за разпределение на времето, прекарано от приложението в QS.

Средният брой приложения в опашката.

Средният брой приложения в CMO.

3. Показатели за ефективността на функционирането на двойката "QS - потребител".

При избора на критерий за ефективността на функционирането на QS е необходимо да се вземе предвид двойственият подход при разглеждането на системите за масово обслужване. Например, работата на супермаркет, подобно на CMO, може да се разглежда от противоположни страни. От една страна, традиционно прието, купувачът, чакащ на опашка на касата, е заявка за услуга, а касиерът е канал за обслужване. От друга страна, касиер, който чака клиенти, може да се разглежда като заявка за услуга, а клиентът е сервизно устройство, способно да удовлетвори заявката, т.е. отидете до касата и спрете принудителния престой на касата. (традиционно - купувачи > отколкото касиери, ако касиерите > от купувачи, те чакат купувачи).

ОТ
Като се има предвид това, целесъобразно е да се минимизират и двете части на QS едновременно.

Използването на такъв двоен подход предполага необходимостта да се вземат предвид при формирането на критерия за ефективност не само горните показатели поотделно, но и няколко показателя едновременно, отразяващи интересите както на обслужващата, така и на обслужваната QS подсистема. Например, показано е, че най-важният критерий за ефективност при задачите за опашка е общото време, прекарано от клиента в опашката, от една страна, и празните канали за обслужване, от друга.

Класификация на системите за масово обслужване

1. По естеството на услугата се разграничават следните видове QS:

1.1. Системи за изчакване или системи за опашка. Изискванията, които са влезли в системата и не са приети веднага за обслужване, се натрупват в опашка. Ако каналите са свободни, тогава заявката се обслужва. Ако всички канали са заети към момента на постъпване на заявката, то следващата заявка ще бъде обслужена след приключване на обслужването на предходната. Такава система се нарича напълно достъпна (с неограничена опашка).

Има системи с автономно обслужване, когато обслужването стартира в определени моменти от време;

Системи с ограничена опашка. (ремонт на гараж)

Системи с повреди. Всички заявки, пристигнали към момента на обслужване на заявката, се отхвърлят. (GTS)

Системи с групов входен поток и групово обслужване. В такива системи приложенията пристигат в групи във времеви точки и обслужването също се извършва в групи.

2. Според броя на обслужващите канали QS се разделят на следните групи.

Единичен канал QS.

Многоканален QS. Обслужването на следващата заявка може да започне преди края на услугата на предходната заявка. Всеки канал действа като независим сървър.

3. Според обхвата на обслужваните обекти се разграничават два вида.

Затворен QS.Системата за опашка със затворен цикъл е система за опашка, в която обслужените клиенти могат да се върнат в системата и да бъдат обслужени отново. Примери за затворен SMO са сервизи, спестовни банки.

Отворени CMO.

4. По броя на етапите на обслужване се разграничават еднофазни и многофазни QS.

монофазни QS са хомогенни системи, които изпълняват една и съща услуга.

Полифазен QS са системи, в които обслужващите канали са подредени последователно и изпълняват различни обслужващи операции. Пример за многофазна QS са автосервизите.

Горната класификация на QS е условна. На практика най-често QS действат като смесени системи. Например, заявките изчакват началото на услугата до определен момент, след което системата започва да работи като система с повреди.

ВЪВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМИ ЗА ОБСЛУЖВАНЕ НА ОПАШКА

1.1 Обща концепция на теорията на масовото обслужване

1.2 Моделиране на системи за масово обслужване

1.3 QS графики на състоянието

1.4 Стохастични процеси

Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСВАЩИ СИСТЕМИ ЗА ОПАК

2.1 Уравнения на Колмогоров

2.2 Процесите на "раждане - смърт"

2.3 Икономическо и математическо формулиране на проблемите с масовото обслужване

Глава III. МОДЕЛИ НА СИСТЕМИ ЗА ОПАКОВКА

3.1 Едноканален QS с отказ на обслужване

3.2 Многоканален QS с отказ на услуга

3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване

3.4 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката

3.5 Едноканален QS с неограничена опашка

3.6 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката

3.7 Многоканален QS с неограничена опашка

3.8 Анализ на системата за опашки в супермаркети

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Въведение

В момента се появи голямо количество литература, която е пряко посветена на теорията на масовото обслужване, развитието на нейните математически аспекти, както и различни области на нейното приложение - военна, медицинска, транспортна, търговска, авиационна и др.

Теорията на опашките се основава на теорията на вероятностите и математическата статистика. Първоначалното развитие на теорията за масовото обслужване се свързва с името на датския учен А.К. Ерланг (1878-1929), с неговите трудове в областта на проектирането и експлоатацията на телефонни централи.

Теорията на опашките е област от приложната математика, която се занимава с анализ на процеси в системите за производство, услуги и контрол, в които хомогенни събития се повтарят много пъти, например в предприятия за потребителски услуги; в системи за приемане, обработка и предаване на информация; автоматични производствени линии и др. Голям принос за развитието на тази теория направиха руските математици А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцел и др.

Предметът на теорията на опашките е да се установят връзки между естеството на потока от заявки, броя на каналите за обслужване, производителността на един канал и ефективната услуга, за да се намерят най-добрите начини за контролиране на тези процеси. Задачите на теорията на масовото обслужване са от оптимизационен характер и в крайна сметка включват икономическия аспект за определяне на такъв вариант на системата, който ще осигури минимум общи разходи от чакане за обслужване, загуба на време и ресурси за обслужване и от престой. на обслужващи канали.

В търговските дейности приложението на теорията на опашките все още не е намерило желаното разпространение.

Това се дължи главно на трудността при поставяне на цели, необходимостта от задълбочено разбиране на съдържанието на търговските дейности, както и надеждни и точни инструменти, които позволяват изчисляване на различни варианти за последствията от управленските решения в търговските дейности.

Глава аз . Задаване на задачи за опашка

1.1 Обща концепция на теорията на масовото обслужване

Природата на опашките в различни области е много фина и сложна. Търговската дейност е свързана с извършването на много операции на етапите на движение, например маса от стоки от сферата на производство към сферата на потребление. Такива операции са товарене на стоки, транспортиране, разтоварване, съхранение, обработка, пакетиране, продажба. В допълнение към тези основни операции, процесът на движение на стоките е съпроводен от голям брой предварителни, подготвителни, съпътстващи, паралелни и последващи операции с платежни документи, контейнери, пари, автомобили, клиенти и др.

Изброените фрагменти от търговската дейност се характеризират с масово получаване на стоки, пари, посетители в произволно време, след това тяхното последователно обслужване (удовлетворяване на изисквания, заявки, заявки) чрез извършване на подходящи операции, времето за изпълнение на които също е произволно. Всичко това създава неравномерност в работата, генерира подтоварвания, престои и претоварвания в търговските операции. Опашките създават много проблеми, например посетителите в кафенета, столове, ресторанти или шофьори на автомобили в стокови депа, чакащи за разтоварване, товарене или документация. В тази връзка има задачи за анализ на съществуващите възможности за извършване на целия набор от операции, например в търговския етаж на супермаркет, ресторант или в цехове за производство на собствени продукти, за да се оцени тяхната работа, да се идентифицират слаби звена и резерви и в крайна сметка да разработят препоръки, насочени към повишаване на ефективността на търговските дейности.

Освен това възникват други задачи, свързани със създаването, организирането и планирането на нова икономична, рационална възможност за извършване на много операции в рамките на търговския етаж, сладкарския цех, всички нива на обслужване на ресторант, кафене, столова, планов отдел, счетоводен отдел, отдел персонал и др.

Задачите на организацията на опашката възникват в почти всички сфери на човешката дейност, например обслужване на купувачи в магазини от продавачи, обслужване на посетители в заведения за обществено хранене, обслужване на клиенти в предприятия за потребителски услуги, осигуряване на телефонни разговори на телефонна централа, предоставяне на медицинска помощ на пациенти в клиника и др. Във всички горепосочени примери е необходимо да се задоволят нуждите на голям брой потребители.

Изброените задачи могат да бъдат успешно решени с помощта на специално създадени за тези цели методи и модели на теорията на масовото обслужване (QMT). Тази теория обяснява, че е необходимо да се обслужва някого или нещо, което се дефинира от понятието „заявка (изискване) за услуга“, а операциите по обслужване се извършват от някой или нещо, наречено канали за обслужване (възли). Ролята на приложения в търговската дейност играят стоки, посетители, пари, одитори, документи, а ролята на обслужващи канали играят продавачи, администратори, готвачи, сладкари, сервитьори, касиери, мърчандайзери, товарачи, търговско оборудване и др. Важно е да се отбележи, че в един вариант, например, готвачът в процеса на приготвяне на ястия е обслужващ канал, а в друг той действа като заявка за услуга, например към ръководителя на производството за получаване на стоки.

Поради масовия характер на получаване на услуги, приложенията формират потоци, които се наричат ​​входящи преди извършване на обслужващи операции и след евентуално изчакване за започване на услугата, т.е. престой в опашката, потоците на услугата на формата в каналите и след това се формира изходящ поток от заявки. Като цяло наборът от елементи на входящия поток от заявки, опашката, каналите за обслужване и изходящия поток от заявки образува най-простата едноканална система за опашка - QS.

Системата е набор от взаимосвързани и. целенасочено взаимодействащи си части (елементи). Примери за такива прости QS в търговските дейности са местата за получаване и обработка на стоки, центрове за сетълмент с клиенти в магазини, кафенета, столове, работни места на икономист, счетоводител, търговец, готвач при дистрибуция и др.

Сервизната процедура се счита за завършена, когато заявката за услуга напусне системата. Продължителността на интервала от време, необходим за реализиране на сервизната процедура, зависи главно от естеството на заявката за услуга, състоянието на самата сервизна система и сервизния канал.

Всъщност продължителността на престоя на купувача в супермаркета зависи, от една страна, от личните качества на купувача, неговите искания, от гамата стоки, които той ще закупи, и от друга страна, от формата на организацията на обслужването и придружителите, което може значително да повлияе на времето, прекарано от купувача в супермаркета, и интензивността на обслужването. Например, касиер-контрольорите, овладяващи "слепия" метод на работа на касов апарат, позволиха да се увеличи пропускателната способност на възлите за сетълмент с 1,3 пъти и да се спести време, изразходвано за сетълменти с клиенти на всяка каса с повече от 1,5 часа на ден . Въвеждането на единен възел за сетълмент в супермаркета дава осезаеми ползи за купувача. Така че, ако при традиционната форма на сетълмент времето за обслужване на един клиент е средно 1,5 минути, тогава с въвеждането на един възел за сетълмент - 67 секунди. От тях 44 секунди се изразходват за извършване на покупка в секцията и 23 секунди се изразходват директно за плащания за покупки. Ако купувачът направи няколко покупки в различни раздели, тогава загубата на време се намалява чрез закупуване на две покупки с 1,4 пъти, три - с 1,9, пет - с 2,9 пъти.

Под обслужване на заявки имаме предвид процеса на задоволяване на потребност. Услугата е различна по своята същност. Във всички примери обаче получените заявки трябва да се обслужват от някакво устройство. В някои случаи услугата се извършва от един човек (обслужване на клиенти от един продавач, в някои случаи от група хора (обслужване на пациенти от лекарска комисия в поликлиника), а в някои случаи с технически средства (продажба на газирана вода). набор от инструменти, които обслужват приложенията, се нарича канал за обслужване.

Ако обслужващите канали са в състояние да задоволят едни и същи заявки, тогава обслужващите канали се наричат ​​хомогенни. Набор от хомогенни канали за обслужване се нарича система за обслужване.

Системата за опашка получава голям брой заявки в произволни моменти, чиято продължителност на услугата също е случайна променлива. Последователното пристигане на клиенти в системата за опашка се нарича входящ поток от клиенти, а последователността от клиенти, напускащи системата за опашка, се нарича изходящ поток.

Случайният характер на разпределението на продължителността на изпълнение на сервизните операции, заедно със случайния характер на пристигането на изискванията за услуга, води до факта, че в каналите на услугата възниква случаен процес, който „може да се нарече (по аналогия) с входния поток от заявки) потокът от заявки за услуги или просто потокът от услуги.

Имайте предвид, че клиентите, влизащи в системата за опашка, могат да я напуснат, без да бъдат обслужени. Например, ако клиентът не намери желания продукт в магазина, той напуска магазина без да бъде обслужен. Купувачът може също да напусне магазина, ако желаният продукт е наличен, но има дълга опашка и купувачът няма време.

Теорията на опашките се занимава с изучаването на процесите, свързани с опашките, разработването на методи за решаване на типични проблеми с опашките.

При изследване на ефективността на обслужващата система важна роля играят различни начини за организиране на обслужващи канали в системата.

При паралелно подреждане на обслужващи канали заявката може да бъде обслужена от всеки безплатен канал. Пример за такава система за обслужване е възел за сетълмент в магазини за самообслужване, където броят на каналите за обслужване съвпада с броя на касиерите-контрольори.

На практика едно приложение често се обслужва последователно от няколко обслужващи канала. В този случай следващият обслужващ канал започва да обслужва заявката, след като предишният канал е приключил работата си. В такива системи процесът на обслужване е многофазен по природа, обслужването на приложение от един канал се нарича фаза на обслужване. Например, ако магазинът на самообслужване има отдели с продавачи, тогава купувачите се обслужват първо от продавачи, а след това от касиери-контрольори.

Организацията на системата за обслужване зависи от волята на лицето. Качеството на функциониране на системата в теорията на опашките се разбира не от това колко добре се извършва услугата, а колко пълно е натоварена обслужващата система, дали каналите за обслужване са празни, дали се образува опашка.

В търговските дейности приложенията, влизащи в системата за масово обслужване, също имат големи претенции към качеството на услугата като цяло, което включва не само списък от характеристики, които са се развили исторически и се разглеждат директно в теорията на масовото обслужване, но и допълнителни характеристики, които са специфични за спецификата на търговската дейност, по-специално индивидуалните процедури за поддръжка, изискванията за които са нараснали значително към момента. В тази връзка е необходимо да се вземат предвид и показателите за търговска дейност.

Работата на сервизната система се характеризира с такива показатели. Като време за изчакване на услугата, дължина на опашката, възможност за отказ на услуга, възможност за прекъсване на обслужващия канал, цена на услугата и в крайна сметка удовлетворение от качеството на услугата, което включва и бизнес ефективност. За да се подобри качеството на системата за обслужване, е необходимо да се определи как да се разпределят входящите приложения между каналите за обслужване, колко канала за обслужване трябва да имате, как да организирате или групирате каналите за обслужване или устройствата за обслужване, за да подобрите ефективността на бизнеса. За решаването на тези проблеми съществува ефективен метод за моделиране, който включва и съчетава постиженията на различни науки, включително математиката.

1.2 Моделиране на системи за масово обслужване

Преходите на QS от едно състояние в друго се случват под въздействието на точно определени събития - получаване на заявки и тяхното обслужване. Последователността на събитията, следващи едно след друго в произволни моменти от време, образува така наречения поток от събития. Примери за такива потоци в търговската дейност са потоци от различно естество - стоки, пари, документи, транспорт, клиенти, клиенти, телефонни разговори, преговори. Поведението на системата обикновено се определя не от един, а от няколко потока от събития наведнъж. Например обслужването на клиентите в магазина се определя от потока на клиентите и потока от услуги; в тези потоци моментите на появяване на купувачите, времето, прекарано на опашката и времето, изразходвано за обслужване на всеки купувач, са случайни.

В този случай основната характеристика на потоците е вероятностното разпределение на времето между съседни събития. Има различни потоци, които се различават по своите характеристики.

Поток от събития се нарича регулярен, ако събитията в него следват едно след друго през предварително определени и строго определени интервали от време. Такъв поток е идеален и се среща много рядко на практика. По-често има нередовни потоци, които нямат свойството на редовност.

Поток от събития се нарича стационарен, ако вероятността произволен брой събития да попаднат във времеви интервал зависи само от дължината на този интервал и не зависи от това колко далеч е този интервал от началото на времето. Стационарността на потока означава, че неговите вероятностни характеристики не зависят от времето, по-специално, интензивността на такъв поток е средният брой събития за единица време и остава постоянна. На практика потоците обикновено могат да се считат за стационарни само за определен ограничен интервал от време. Обикновено потокът от клиенти, например в магазина, се променя значително през работния ден. Въпреки това е възможно да се отделят определени интервали от време, в рамките на които този поток може да се счита за стационарен, с постоянна интензивност.

Поток от събития се нарича поток без последствия, ако броят на събитията, които попадат в един от произволно избраните времеви интервали, не зависи от броя на събитията, които попадат в друг, също произволно избран интервал, при условие че тези интервали не се пресичат . В поток без последствия събитията се появяват в последователни моменти независимо едно от друго. Например, потокът от клиенти, влизащи в магазин, може да се счита за поток без последствия, тъй като причините, довели до пристигането на всеки от тях, не са свързани с подобни причини за други клиенти.

Поток от събития се нарича обикновен, ако вероятността за постигане на две или повече събития наведнъж за много кратък период от време е незначителна в сравнение с вероятността за постигане само на едно събитие. В обикновен поток събитията се случват едно по едно, а не два или повече пъти. Ако един поток едновременно притежава свойствата на стационарност, обикновеност и липса на следствие, тогава такъв поток се нарича най-простият (или Поасонов) поток от събития. Математическото описание на въздействието на такъв поток върху системите е най-просто. Следователно, по-специално, най-простият поток играе специална роля сред другите съществуващи потоци.

Помислете за някакъв времеви интервал t на времевата ос. Да приемем, че вероятността случайно събитие да попадне в този интервал е p, а общият брой възможни събития е n. При наличието на свойството на обикновен поток от събития, вероятността p трябва да бъде достатъчно малка стойност, и π достатъчно голямо число, тъй като се разглеждат масови явления. При тези условия, за да изчислите вероятността да постигнете определен брой събития t във времеви интервал t, можете да използвате формулата на Поасон:

P m, n = a m_e-a; (m=0,n),

където стойността a = pr е средният брой събития, попадащи във времевия интервал t, който може да се определи чрез интензивността на потока от събития X, както следва: a= λ τ

Размерът на интензитета на потока X е средният брой събития за единица време. Между p и λ, p и τ съществува следната връзка:

където t е целият период от време, върху който се разглежда действието на потока от събития.

Необходимо е да се определи разпределението на времевия интервал T между събитията в такъв поток. Тъй като това е случайна променлива, нека намерим нейната функция на разпределение. Както е известно от теорията на вероятностите, интегралната функция на разпределение F(t) е вероятността стойността T да бъде по-малка от времето t.

Съгласно условието не трябва да се случват събития през времето T, а поне едно събитие трябва да се появи на времевия интервал t. Тази вероятност се изчислява, като се използва вероятността от противоположното събитие на интервала от време (0; t), където не е паднало събитие, т.е. m=0, тогава

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0

За малък ∆t може да се получи приблизителна формула, получена чрез заместване на функцията e - Xt само с два члена на разширението в серия със степен на ∆t, тогава вероятността поне едно събитие да попадне в малък интервал от време ∆ т е

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Плътността на разпределение на интервала от време между две последователни събития се получава чрез диференциране на F(t) по отношение на времето,

f(t)= λe- λ t ,t≥0

Използвайки получената функция на плътността на разпределението, могат да се получат числените характеристики на случайната променлива T: математическото очакване M (T), дисперсията D(T) и стандартното отклонение σ(T).

М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/ λ2; σ(T)=1/ λ .

От това можем да направим следното заключение: средният времеви интервал T между всеки две съседни събития в най-простия поток е средно 1/λ, а стандартното му отклонение също е 1/λ, където λ е интензитетът на потока, т.е. среден брой събития, случващи се за единица време. Законът за разпределение на случайна променлива с такива свойства M(T) = T се нарича експоненциален (или експоненциален), а стойността λ е параметър на този експоненциален закон. По този начин, за най-простия поток, математическото очакване на интервала от време между съседни събития е равно на неговото стандартно отклонение. В този случай вероятността броят на заявките, пристигащи за обслужване в интервал от време t, да е равен на k, се определя от закона на Поасон:

P k (t)=(λt) k / k! *e -λ t,

където λ е интензивността на потока от заявки, средният брой събития в QS за единица време, например [човека / мин.; rub./час; чекове/час; документи/ден; кг./час; тона/година] .

За такъв поток от приложения времето между две съседни приложения T се разпределя експоненциално с плътност на вероятността:

ƒ(t)= λe - λt .

Случайното време на изчакване в опашката за стартиране на услугата може също да се счита за експоненциално разпределено:

ƒ (t och)=V*e - v t och,

където v е интензитетът на потока на преминаване на опашката, определен от средния брой приложения, преминаващи за обслужване за единица време:

където T och - средното време на чакане за услуга в опашката.

Изходният поток от заявки е свързан с потока на услугата в канала, където продължителността на услугата t obs също е случайна променлива и в много случаи се подчинява на експоненциален закон за разпределение с плътност на вероятността:

ƒ(t obs)=µ*e µ t obs,

където µ е интензивността на обслужващия поток, т.е. среден брой обслужвани заявки за единица време:

µ=1/ t obs [човек/мин; rub./час; чекове/час; документи/ден; кг./час; тона/година] ,

където t obs е средното време за обслужване на заявки.

Важна характеристика на QS, която съчетава показателите λ и µ, е интензивността на натоварването: ρ= λ/ µ, която показва степента на координация на входните и изходните потоци на заявките на обслужващия канал и определя стабилността на система за опашка.

В допълнение към концепцията за най-простия поток от събития, често е необходимо да се използват концепции за потоци от други видове. Поток от събития се нарича Palm поток, когато в този поток интервалите от време между последователни събития T 1 , T 2 , ..., T k ..., T n са независими, равномерно разпределени, случайни променливи, но за разлика от най-простите поток, те не са непременно разпределени според експоненциалния закон. Най-простият поток е специален случай на Palm потока.

Важен специален случай на потока Palm е така нареченият поток Erlang.

Този поток се получава чрез "разреждане" на най-простия поток. Такова "изтъняване" се извършва чрез избиране на събития от обикновен поток според определено правило.

Например, ако се съгласим да вземем предвид само всяко второ събитие от елементите на най-простия поток, получаваме Erlang поток от втори ред. Ако вземем само всяко трето събитие, тогава се формира Erlang поток от трети ред и т.н.

Възможно е да се получат Erlang потоци от всеки k-ти ред. Очевидно най-простият поток е потокът на Erlang от първи ред.

Всяко проучване на система за масово обслужване започва с проучване на това, което трябва да бъде обслужено и следователно с изследване на входящия поток от клиенти и неговите характеристики.

Тъй като моментите от време t и интервалите от време на получаване на заявления τ, тогава продължителността на обслужващите операции t obs и времето за изчакване в опашката t och, както и дължината на опашката l och са случайни променливи, тогава, следователно характеристиките на състоянието на QS са от вероятностен характер и за тяхното описание следва да се прилагат методи и модели на теорията на масовото обслужване.

Характеристиките k, τ, λ, L och, T och, v, t obs, µ, p, P k, изброени по-горе, са най-често срещаните за QS, които обикновено са само част от целевата функция, тъй като е необходимо също да се вземат предвид показатели за търговска дейност.

1.3 QS графики на състоянието

При анализиране на случайни процеси с дискретни състояния и непрекъснато време е удобно да се използва вариант на схематично представяне на възможните състояния на CMO (фиг. 6.2.1) под формата на графика с маркиране на възможните му фиксирани състояния. Състоянията на QS обикновено се изобразяват с правоъгълници или кръгове, а възможните посоки на преход от едно състояние към друго са ориентирани със стрелки, свързващи тези състояния. Например, етикетираната графика на състоянието на едноканална система на произволен процес на обслужване в будка за вестници е показана на фиг. 1.3.

12

Ориз. 1.3. Означена QS графика на състоянието

Системата може да бъде в едно от трите състояния: S 0 - каналът е свободен, неактивен, S 1 - каналът е зает с обслужване, S 2 - каналът е зает с обслужване и едно приложение е в опашката. Преходът на системата от състояние S 0 към S l става под въздействието на най-простия поток от заявки с интензитет λ 01, а от състояние S l към състояние S 0 системата се прехвърля от обслужващ поток с интензитет λ 01 . Графиката на състоянието на система за масово обслужване с интензитети на потока, прикрепени към стрелките, се нарича етикетирана. Тъй като престоят на системата в едно или друго състояние е вероятностен по природа, вероятността: p i (t), че системата ще бъде в състояние S i в момент t, се нарича вероятност за i-то състояние на QS и се определя от броя на заявките k, получени за обслужване.

Случайният процес, протичащ в системата, се състои в това, че в произволни времена t 0 , t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n системата се намира последователно в едно или друго предварително известно дискретно състояние. Такива. Случайна последователност от събития се нарича верига на Марков, ако за всяка стъпка вероятността за преход от едно състояние S t към което и да е друго Sj не зависи от това кога и как системата е преминала в състояние S t . Веригата на Марков се описва с помощта на вероятността от състояния и те образуват пълна група от събития, така че тяхната сума е равна на единица. Ако вероятността за преход не зависи от числото k, тогава веригата на Марков се нарича хомогенна. Познавайки първоначалното състояние на системата за масово обслужване, могат да се намерят вероятностите за състояния за всяка стойност на k-броя заявки, получени за обслужване.

1.4 Стохастични процеси

Преходът на QS от едно състояние в друго се случва произволно и е случаен процес. Работата на QS е случаен процес с дискретни състояния, тъй като възможните му състояния във времето могат да бъдат изброени предварително. Освен това преходът от едно състояние в друго става рязко, в произволни моменти, поради което се нарича процес с непрекъснато време. По този начин работата на QS е случаен процес с дискретни състояния и непрекъснат; време. Например, в процеса на обслужване на купувачи на едро в компанията Kristall в Москва е възможно предварително да се фиксират всички възможни състояния на протозои. ООП, които са включени в целия цикъл на търговски услуги от момента на сключване на споразумение за доставка на алкохолни напитки, плащане за него, документи, освобождаване и получаване на продукти, допълнително натоварване и изваждане от склада на готови продукти.

От многото разновидности на случайни процеси най-разпространени в търговската дейност са тези процеси, при които във всеки един момент характеристиките на процеса в бъдещето зависят само от състоянието му в момента и не зависят от предисторията - от миналото . Например възможността за получаване на алкохолни напитки от завода Kristall зависи от наличността му в склада за готов продукт, т.е. състоянието му в момента и не зависи от това кога и как други купувачи са получили и изнесли тези продукти в миналото.

Такива случайни процеси се наричат ​​процеси без последствия или процеси на Марков, при които при фиксирано настояще бъдещото състояние на QS не зависи от миналото. Случаен процес, изпълняващ се в система, се нарича случаен процес на Марков или „процес без последствия“, ако има следното свойство: за всеки момент t 0, вероятността за всяко състояние t > t 0 на системата S i, - в бъдеще (t>t Q ) зависи само от състоянието си в настоящето (при t = t 0) и не зависи от това кога и как системата е стигнала до това състояние, т.е. поради това как се е развил процесът в миналото.

Марковските стохастични процеси се разделят на два класа: процеси с дискретни и непрекъснати състояния. Процес с дискретни състояния възниква в системи, които имат само някои фиксирани състояния, между които са възможни скокови преходи в някои неизвестни предварително моменти от време. Помислете за пример за процес с дискретни състояния. В офиса на фирмата има два телефона. За тази услуга са възможни следните състояния: S o - телефоните са безплатни; S l - един от телефоните е зает; S 2 - двата телефона са заети.

Процесът, протичащ в тази система, е, че системата произволно скача от едно дискретно състояние в друго.

Процесите с непрекъснати състояния се характеризират с непрекъснат плавен преход от едно състояние в друго. Тези процеси са по-характерни за техническите устройства, отколкото за икономическите обекти, където обикновено само приблизително може да се говори за непрекъснатост на процеса (например непрекъснато потребление на запас от стоки), докато всъщност процесът винаги има дискретен характер . Затова по-долу ще разгледаме само процеси с дискретни състояния.

Марковските случайни процеси с дискретни състояния от своя страна се подразделят на процеси с дискретно време и процеси с непрекъснато време. В първия случай преходите от едно състояние в друго се случват само в определени, предварително фиксирани моменти от време, докато в интервалите между тези моменти системата запазва своето състояние. Във втория случай преходът на системата от състояние в състояние може да се случи във всеки произволен момент.

На практика процесите с непрекъснато време са много по-често срещани, тъй като преходите на системата от едно състояние в друго обикновено се случват не в определено време, а във всяко произволно време.

За описание на процеси с непрекъснато време се използва модел под формата на така наречената верига на Марков с дискретни състояния на системата или непрекъсната верига на Марков.

Глава II . Уравнения, описващи системи за масово обслужване

2.1 Уравнения на Колмогоров

Да разгледаме математическо описание на марковски случаен процес с дискретни състояния на системата S o , S l , S 2 (виж Фиг. 6.2.1) и непрекъснато време. Смятаме, че всички преходи на системата за масово обслужване от състояние S i към състояние Sj се случват под въздействието на най-простите потоци от събития с интензитет λ ij , а обратният преход под въздействието на друг поток λ ij ,. Въвеждаме обозначението p i като вероятността в момент t системата да е в състояние S i . За всеки момент от време t е справедливо да се запише условието за нормализиране - сумата от вероятностите на всички състояния е равна на 1:

Σp i (t)=p 0 (t)+ p 1 (t)+ p 2 (t)=1

Нека анализираме системата в момент t, като зададем малко времево увеличение Δt и намерим вероятността p 1 (t + Δt), че системата в момент (t + Δt) ще бъде в състояние S 1, което се постига чрез различни опции :

а) системата в момента t с вероятност p 1 (t) е била в състояние S 1 и за малко времево приращение Δt никога не е преминавала в друго съседно състояние - нито в S 0, нито в bS 2 . Системата може да бъде изведена от състояние S 1 чрез общ прост поток с интензитет (λ 10 + λ 12), тъй като суперпозицията на най-простите потоци е и най-простият поток. На тази основа вероятността за излизане от състоянието S 1 за кратък период от време Δt е приблизително равна на (λ 10 +λ 12)* Δt. Тогава вероятността да не излезете от това състояние е равна на , Съответно вероятността системата да остане в състояние Si, въз основа на теоремата за умножение на вероятностите, е равна на:

p 1 (t);

б) системата е била в съседно състояние S o и за кратко време Δt премина в състояние S o Преходът на системата се извършва под въздействието на потока λ 01 с вероятност, приблизително равна на λ 01 Δt

Вероятността системата да бъде в състояние S 1 в този случай е равна на p o (t)λ 01 Δt;

в) системата е била в състояние S 2 и за времето Δt е преминала в състояние S 1 под въздействието на поток с интензитет λ 21 с вероятност приблизително равна на λ 21 Δt. Вероятността системата да бъде в състояние S 1 е равна на p 2 (t) λ 21 Δt.

Прилагайки теоремата за добавяне на вероятностите за тези опции, получаваме израза:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,

което може да се напише по различен начин:

p 2 (t + Δt) -p 1 (t) / Δt \u003d p o (t) λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12) .

Преминавайки към границата при Δt-> 0, приближените равенства се превръщат в точни и тогава получаваме производната от първи ред

dp 2 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12),

което е диференциално уравнение.

Извършвайки разсъждения по подобен начин за всички останали състояния на системата, получаваме система от диференциални уравнения, които се наричат ​​A.N. Колмогоров:

dp 0 /dt= p 1 λ 10 ,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,

dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21 .

Има общи правила за съставяне на уравненията на Колмогоров.

Уравненията на Колмогоров позволяват да се изчислят всички вероятности на QS състояния S i като функция от времето p i (t). В теорията на случайните процеси се показва, че ако броят на състоянията на системата е краен и от всяко от тях е възможно да се премине към всяко друго състояние, тогава има ограничаващи (крайни) вероятности на състояния, които показват средна относителна стойност на времето, което системата прекарва в това състояние. Ако пределната вероятност на състоянието S 0 е равна на p 0 = 0,2, тогава, следователно, средно 20% от времето, или 1/5 от работното време, системата е в състояние S o . Например, при липса на заявки за обслужване k = 0, p 0 = 0,2,; следователно, средно 2 часа на ден, системата е в състояние S o и е неактивна, ако работният ден е 10 часа.

Тъй като граничните вероятности на системата са постоянни, замествайки съответните производни в уравненията на Колмогоров с нулеви стойности, получаваме система от линейни алгебрични уравненияописващ стационарния режим на QS. Такава система от уравнения се съставя според обозначената графика на състоянията на QS според следните правила: отляво на знака за равенство в уравнението е ограничаващата вероятност p i на разглежданото състояние Si, умножена по общия интензитет на всички потоци, които извеждат (изходящи стрелки) на излъченото състояние S i към системата, и вдясно от знакът за равенство е сумата от произведенията на интензитета на всички потоци, влизащи (входящи стрелки) в състоянието на системата, върху вероятността на тези състояния, от които произхождат тези потоци. За да се реши такава система, е необходимо да се добави още едно уравнение, което определя условието за нормализиране, тъй като сумата от вероятностите на всички QS състояния е 1: n

Например, за QS, който има обозначена графика на три състояния S o, S 1, S 2, фиг. 6.2.1, системата от уравнения на Колмогоров, съставена въз основа на посоченото правило, има следната форма:

За състоянието S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

За състоянието S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21

За състоянието S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p0 +p1 +p2 =1

dp 4 (t) / dt \u003d λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t),

p 1 (t)+ p 2 (t)+ p 3 (t)+ p 4 (t)=1 .

Към тези уравнения трябва да добавим още начални условия. Например, ако при t = 0 системата S е в състояние S 1, тогава началните условия могат да бъдат записани, както следва:

p 1 (0)=1, p 2 (0)= p 3 (0)= p 4 (0)=0 .

Преходите между състоянията на QS стават под влияние на получаването на заявления и тяхното обслужване. Вероятността за преход в случая, когато потокът от събития е най-прост, се определя от вероятността за настъпване на събитие през времето Δt, т.е. стойността на елемента на вероятността за преход λ ij Δt, където λ ij е интензивността на потока от събития, които прехвърлят системата от състояние i в състояние i (по протежение на съответната стрелка на графиката на състоянието).

Ако всички потоци от събития, които прехвърлят системата от едно състояние в друго, са най-прости, тогава процесът, протичащ в системата, ще бъде марковски случаен процес, т.е. процес без последствия. В този случай поведението на системата е доста просто, определя се дали е известна интензивността на всички тези прости потоци от събития. Например, ако в системата се появи стохастичен процес на Марков с непрекъснато време, след като напишем системата от уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието и интегрирайки тази система при дадени начални условия, получаваме всички вероятности на състоянието като функция на времето:

p i (t), p 2 (t),…., p n (t) .

В много случаи на практика се оказва, че вероятностите за състояния като функция на времето се държат по такъв начин, че има

lim p i (t) = p i (i=1,2,…,n) ; t→∞

независимо от вида на началните условия. В този случай те казват, че има гранични вероятности за състояния на системата при t->∞ и в системата се установява някакъв граничен стационарен режим. В този случай системата произволно променя своите състояния, но всяко от тези състояния се осъществява с определена постоянна вероятност, определена от средното време, което системата прекарва във всяко от състоянията.

Възможно е да се изчислят граничните вероятности на състоянието p i, ако всички производни в системата са равни на 0, тъй като в уравненията на Колмогоров при t-> ∞ зависимостта от времето изчезва. Тогава системата от диференциални уравнения се превръща в система от обикновени линейни алгебрични уравнения, което заедно с условието за нормализиране позволява да се изчислят всички гранични вероятности на състоянията.

2.2 Процесите на "раждане - смърт"

Сред хомогенните марковски процеси има клас случайни процеси, които се използват широко в конструкцията математически моделив областта на демографията, биологията, медицината (епидемиология), икономиката, търговските дейности. Това са така наречените процеси „раждане-смърт“, процеси на Марков със стохастични графики на състоянието със следната форма:

S3

kjlS n

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Ориз. 2.1 Етикетирана графика на процеса раждане-смърт

Тази графика възпроизвежда добре позната биологична интерпретация: стойността λ k отразява интензивността на раждането на нов представител на определена популация, например зайци, а текущият размер на популацията е k; стойността на μ е интензивността на смъртта (продажбата) на един представител на тази популация, ако текущият обем на популацията е равен на k. По-специално, населението може да бъде неограничено (броят n на състоянията на процеса на Марков е безкраен, но изброим), интензитетът λ може да бъде равен на нула (популация без възможност за прераждане), например, когато възпроизвеждането на зайци спира.

За марковския процес на "раждане - смърт", описан от стохастичната графика, показана на фиг. 2.1, намираме крайното разпределение. Използвайки правилата за съставяне на уравнения за краен брой n от граничните вероятности на състоянието на системата S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, S n , ние съставяме съответните уравнения за всяко състояние:

за състоянието S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1 ;

за състоянието S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2 , което, като се вземе предвид предишното уравнение за състоянието S 0, може да се преобразува във формата λ 1 p 1 = μ 1 p 2 .

По подобен начин могат да се съставят уравнения за останалите състояния на системата S 2 , S 3 ,…, S k ,…, S n . В резултат на това получаваме следната система от уравнения:

Чрез решаването на тази система от уравнения могат да се получат изрази, които определят крайните състояния на системата за масово обслужване:

Трябва да се отбележи, че формулите за определяне на крайните вероятности на състоянията p 1 , p 2 , p 3 ,…, p n включват членове, които са интегрална частсумата от израза, който определя p 0 . Числителите на тези членове съдържат продуктите на всички интензитети при стрелките на графиката на състоянието, водещи отляво надясно към разглежданото състояние S k, а знаменателите са продуктите на всички интензитети, стоящи при стрелките, водещи отдясно наляво към разглеждано състояние S k , т.е. μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 ,… μ k . В тази връзка записваме тези модели в по-компактна форма:

k=1,n

2.3 Икономико-математическа формулировка на задачи за масово обслужване

Правилната или най-успешната икономико-математическа формулировка на проблема до голяма степен определя полезността на препоръките за подобряване на системите за масово обслужване в търговските дейности.

В тази връзка е необходимо внимателно да се следи процесът в системата, да се търсят и идентифицират значими връзки, да се формулира проблем, да се подчертае цел, да се определят индикатори и да се подчертае икономически критерииоценка на работата на QS. В този случай най-общият интегрален показател може да бъде разходите, от една страна, за QS на търговската дейност като система за обслужване, а от друга страна, разходите за приложения, които могат да имат различно физическо естество.

К. Маркс в крайна сметка разглежда повишаването на ефективността във всяка област на дейност като спестяване на време и вижда това като един от най-важните икономически закони. Той пише, че икономията на времето, както и планираното разпределение на работното време между различните отрасли на производството, остава първият икономически закон, основан на колективното производство. Този закон се проявява във всички сфери на обществената дейност.

За стоките, включително паричните потоци в търговската сфера, критерият за ефективност е свързан с времето и скоростта на обръщение на стоките и определя интензивността на паричния поток към банката. Времето и скоростта на обращение, като икономически показатели за търговската дейност, характеризират ефективността на използването на средствата, инвестирани в инвентара. Обръщаемостта на материалните запаси отразява средната степен на реализация на средните запаси. Индикаторите за оборота на стоките и нивата на запасите са тясно свързани с известни модели. По този начин е възможно да се проследи и установи връзката на тези и други показатели на търговската дейност с времеви характеристики.

Следователно ефективността на търговско предприятие или организация е сумата от времето, изразходвано за извършване на отделни операции по обслужване, докато в същото време за населението разходите за време включват времето за пътуване, посещение на магазин, столова, кафене, ресторант, чакане за стартиране на обслужване, запознаване с менюто, избор на продукти, калкулация и др. Проведените изследвания на структурата на прекараното време от населението показват, че значителна част от него се изразходва нерационално. забележи това търговска дейноств крайна сметка насочени към задоволяване на човешките нужди. Следователно усилията за моделиране на QS трябва да включват анализ на времето за всяка елементарна услуга. С помощта на подходящи методи трябва да се създадат модели на връзката на QS показателите. Това налага най-разпространените и познати икономически показатели като оборот, печалба, разходи за дистрибуция, рентабилност и други да бъдат обвързани в икономико-математически модели с допълнително възникваща група показатели, обусловени от спецификата на обслужващите системи и въведени. от спецификата на самата теория на масовото обслужване.

Например, характеристиките на QS индикаторите с неизправности са: времето за изчакване на приложенията в опашката T pt = 0, тъй като по своята същност в такива системи съществуването на опашка е невъзможно, тогава L pt = 0 и следователно вероятност за образуването му P pt = 0. Според броя на заявките k се определя режимът на работа на системата, нейното състояние: при k=0 - свободни канали, при 1 n - услуга и повреда. Индикаторите на такива QS са вероятността за отказ на услуга R otk, вероятността за услуга R obs, средното време на престой на канала t pr, средният брой на заетите n s и свободните канали n sv, средната услуга t obs, абсолютната пропускателна способност А.

За QS с неограничено чакане е характерно, че вероятността за обслужване на заявка P obs = 1, тъй като дължината на опашката и времето за изчакване за начало на услугата не са ограничени, т.е. формално L och →∞ и T och →∞. В системите са възможни следните режими на работа: при k=0 има прост обслужващ канал, при 1 n - обслужване и опашка. Индикаторите за такава ефективност на такива QS са средният брой приложения в опашката L och, средният брой приложения в системата k, средното време на престой на приложението в системата T QS, абсолютната производителност A.

При QS с изчакване с ограничение на дължината на опашката, ако броят на заявките в системата е k=0, тогава има свободен канал, с 1 n + m - услуга, опашка и отказ на чакане за услуга. Индикаторите за ефективност на такива QS са вероятността за отказ на услуга Р otk - вероятността за услуга Р obs, среден брой приложения в опашката L och, среден брой приложения в системата L smo, средното време на престой на приложението в системата T smo, абсолютната производителност A.

По този начин списъкът от характеристики на системите за масово обслужване може да бъде представен по следния начин: средно време за обслужване - t obs; средно време на чакане на опашката - T och; среден престой в SMO - T smo; средната дължина на опашката - L och; среден брой заявления в ООП - L ООП; брой обслужващи канали - n; интензитетът на входящия поток заявления - λ; интензивност на обслужване - μ; интензивност на натоварването - ρ; коефициент на натоварване - α; относителна производителност - Q; абсолютна пропускателна способност - А; дял на времето на престой в QS - Р 0 ; дял на обслужваните приложения - R obs; делът на загубените заявки - P otk, средният брой на заетите канали - n z; среден брой безплатни канали - n St; коефициент на натоварване на канала - K z; средно време на празен ход на каналите - t пр.

Трябва да се отбележи, че понякога е достатъчно да се използват до десет ключови индикатора, за да се идентифицират слабостите и да се разработят препоръки за подобряване на QS.

Това често се свързва с решаването на въпроси на координирана работна верига или набори от QS.

Например в търговската дейност е необходимо да се вземат предвид и икономическите показатели на QS: общи разходи - C; разходи за обращение - С io, разходи за потребление - С ip, разходи за обслужване на едно приложение - С 1, загуби, свързани с напускането на приложение - С у1, оперативни разходи на канала - С c, разходи за престой на канала - С pr, капиталови инвестиции - C cap, намалени годишни разходи - C pr, текущи разходи - C tech, приход от QS за единица време - D 1

В процеса на определяне на целите е необходимо да се разкрият взаимовръзките на показателите на QS, които според основната си принадлежност могат да бъдат разделени на две групи: първата е свързана с разходите за обработка на C IO, които се определят от брой канали, заети от поддръжка на канали, разходи за поддръжка на QS, интензивност на обслужване, степен на натоварване на каналите, тяхната ефективност.използване, пропускателна способност на QS и др.; втората група показатели се определя от разходите за действителните заявки C un, влизащи в услугата, които формират входящия поток, усещат ефективността на услугата и са свързани с такива показатели като дължина на опашката, време за изчакване на услугата, вероятност на отказ от услуга, времето, през което приложението престоява в QS и др.

Тези групи индикатори са противоречиви в смисъл, че подобряването на ефективността на една група, например намаляване на дължината на опашката или времето за чакане на опашка чрез увеличаване на броя на каналите за обслужване (сервитьори, готвачи, товарачи, касиери), е свързано с влошаване на работата на групата, тъй като това може да доведе до увеличаване на времето за престой на каналите за обслужване, разходите за поддръжката им и др. В тази връзка е съвсем естествено да се формализират обслужващите задачи за изграждане на QS по такъв начин, че да се установи разумен компромис между показателите на действителните заявки и пълнотата на използване на възможностите на системата. За тази цел е необходимо да се избере обобщен, интегрален показател за ефективността на QS, който едновременно да включва претенциите и възможностите на двете групи. Като такъв индикатор може да бъде избран критерий за икономическа ефективност, включващ както разходите за обращение C io, така и разходите за приложения C ip, които ще имат оптимална стойност с минимални общи разходи C. На тази основа целта функцията на проблема може да бъде написана по следния начин:

С= (С io + С ip) →мин

Тъй като разходите за обращение включват разходите, свързани с работата на QS - C ex и времето на престой на обслужващите канали - C pr, а разходите за заявки включват загуби, свързани с напускането на необслужени заявки - C n, и с оставането в опашката - C pt, тогава целевата функция може да бъде пренаписана, като се вземат предвид тези показатели по следния начин:

C \u003d ((C pr n sv + C ex n h) + C och R obs λ (T och + t obs) + C от R otk λ) → мин.

В зависимост от задачата променливите, т.е. управляемите, индикатори могат да бъдат: броя на каналите за обслужване, организацията на каналите за обслужване (паралелно, последователно, смесено), дисциплина на опашката, приоритет при обслужване на приложения, взаимопомощ между каналите и т.н. Някои от индикаторите в задачата се показват като неуправляеми, което обикновено са изходните данни. Като критерий за ефективност в целевата функция може да има и оборот, печалба или доход, например рентабилност, тогава оптималните стойности на управляваните QS показатели очевидно вече са максимизирани, както в предишната версия.

В някои случаи трябва да използвате друга опция за писане на целевата функция:

C \u003d (C ex n s + C pr (n-n s) + C otk * P otk *λ + C syst * n s ) → min

Като общ критерий може да се избере например нивото на културата на обслужване на клиентите в предприятията, тогава целевата функция може да бъде представена чрез следния модел:

K около \u003d [(Z pu * K y) + (Z pv * K c) + (Z pd * K d) + (Z pz * K z) + (Z от * K 0) + (Z kt * K ct )]*K mp,

където Z pu - значимостта на показателя за устойчивост на асортимента от стоки;

K y - коефициент на стабилност на асортимента от стоки;

Z pv - значимостта на показателя за въвеждане на прогресивни методи за продажба на стоки;

K in - коефициентът на въвеждане на прогресивни методи за продажба на стоки;

Зпд - значимостта на показателя допълнителна услуга;

K d - коефициент на допълнително обслужване;

Z pz - значимостта на показателя за изпълнение на покупката;

K s - коефициентът на завършеност на покупката;

3 на - значението на показателя за времето, прекарано в чакане в услуга;

До около - индикатор за времето, прекарано в чакане за обслужване;

З kt - значимостта на показателя за качеството на работата на екипа;

K kt - коефициентът на качеството на работата на екипа;

K mp - показател за културата на обслужване според мнението на клиентите;

За анализа на QS можете да изберете други критерии за оценка на ефективността на QS. Например, като такъв критерий за системи с повреди, можете да изберете вероятността от повреда Р ref, чиято стойност няма да надвишава предварително определена стойност. Например изискването P otk<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

След конструирането на целевата функция е необходимо да се определят условията за решаване на проблема, да се намерят ограничения, да се зададат първоначалните стойности на индикаторите, да се маркират неуправляеми индикатори, да се изгради или изберете набор от модели на връзката на всички индикатори за анализирания тип QS, за да се намерят в крайна сметка оптималните стойности на контролираните показатели, например броят на готвачите, сервитьорите, касиерите, товарачите, обемите на складовите помещения и др.

Глава III . Модели на системи за масово обслужване

3.1 Едноканален QS с отказ на обслужване

Нека анализираме прост едноканален QS с откази на услуга, който получава поток на Поасон от заявки с интензитет λ, а обслужването се извършва под действието на поток на Поасон с интензитет μ.

Работата на едноканален QS n=1 може да бъде представена като обозначена графика на състоянието (3.1).

Преходите на QS от едно състояние S 0 към друго S 1 възникват под действието на входен поток от заявки с интензитет λ, а обратният преход се осъществява под действието на обслужващ поток с интензитет μ.

S0

S1

S 0 – обслужващият канал е свободен; S 1 – каналът е зает с обслужване;

Ориз. 3.1 Означена графика на състоянието на едноканален QS

Нека напишем системата от диференциални уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието съгласно горните правила:

Откъде получаваме диференциалното уравнение за определяне на вероятността p 0 (t) на състоянието S 0:

Това уравнение може да се реши при начални условия при допускането, че системата в момента t=0 е била в състояние S 0 , след това р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.

В този случай решението на диференциалното уравнение ви позволява да определите вероятността каналът да е свободен и да не е зает с услуга:

Тогава не е трудно да се получи израз за вероятността да се определи вероятността каналът да е зает:

Вероятността p 0 (t) намалява с времето и в границата, когато t→∞ клони към стойността

и вероятността p 1 (t) в същото време нараства от 0, клонейки в границата като t→∞ до стойността

Тези вероятностни граници могат да бъдат получени директно от уравненията на Колмогоров при условието

Функциите p 0 (t) и p 1 (t) определят преходния процес в едноканална QS и описват процеса на експоненциално приближаване на QS до нейното гранично състояние с времева константа, характерна за разглежданата система.

С достатъчна за практиката точност можем да приемем, че преходният процес в QS завършва за време равно на 3τ.

Вероятността p 0 (t) определя относителната производителност на QS, която определя съотношението на обслужените заявки по отношение на общия брой входящи заявки за единица време.

Действително, p 0 (t) е вероятността заявката, пристигнала в момент t, да бъде приета за обслужване. Общо за единица време идват λ заявки, като от тях се обслужват λр 0 заявки.

Тогава делът на обслужените заявки по отношение на целия поток от заявки се определя от стойността

В границата при t→∞, почти вече при t>3τ, стойността на относителния капацитет ще бъде равна на

Абсолютната пропускателна способност, която определя броя на заявките, обслужени за единица време в лимита при t→∞, е равна на:

Съответно делът на заявления, които са били отхвърлени, е при същите ограничителни условия:

и общият брой необслужени заявки е равен на

Примери за едноканални QS с отказ на обслужване са: гишето за поръчки в магазина, контролната зала на транспортна компания, складовият офис, офисът на управлението на търговско дружество, с които комуникацията се осъществява по телефона.

3.2 Многоканален QS с отказ на услуга

В търговските дейности примери за многоканални CMO са офиси на търговски предприятия с няколко телефонни канала, безплатна справочна услуга за наличността на най-евтините автомобили в автомагазините в Москва има 7 телефонни номера и, както знаете, е много трудно да се премине и да се получи помощ.

Следователно автомагазините губят клиенти, възможността да увеличат броя на продадените автомобили и приходите от продажби, оборота, печалбата.

Туристическите туристически компании имат два, три, четири или повече канала, като например Express-Line.

Помислете за многоканален QS с откази на услуга на фиг. 3.2, който получава Поасонов поток от заявки с интензитет λ.

S0

S1

ск

S n

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Ориз. 3.2. Етикетирана графика на състоянието на многоканален QS с откази

Сервизният поток във всеки канал има интензитет μ. Според броя на приложенията на QS се определят неговите състояния S k, представени като обозначена графика:

S 0 – всички канали са свободни k=0,

S 1 – зает е само един канал, k=1,

S 2 - заети са само два канала, k=2,

S k – k каналите са заети,

S n – всичките n канала са заети, k= n.

Състоянията на многоканален QS се променят рязко в произволни моменти. Преходът от едно състояние, например S 0 към S 1, се осъществява под въздействието на входния поток от заявки с интензитет λ и обратно - под влияние на потока от обслужващи заявки с интензитет μ. За прехода на системата от състояние S k към S k -1 няма значение кой от каналите да бъде освободен, следователно потокът от събития, който прехвърля QS, има интензитет kμ, следователно потокът от събития който прехвърля системата от S n към S n -1 има интензитет nμ . Така е формулиран класическият проблем Ерланг, кръстен на датския инженер и математик, основател на теорията за масовото обслужване.

Случаен процес, възникващ в QS, е частен случай на процеса „раждане-смърт“ и се описва от система от диференциални уравнения на Erlang, които позволяват да се получат изрази за граничните вероятности на състоянието на разглежданата система, наречени формулите на Erlang:

.

След като изчислим всички вероятности от състояния на n-каналната QS с откази р 0 , р 1 , р 2 , …,р k ,…, р n , можем да намерим характеристиките на обслужващата система.

Вероятността за отказ на услуга се определя от вероятността, че входяща заявка за услуга ще намери всички n канала заети, системата ще бъде в състояние S n:

k=n.

В системи с повреди, събитията от повреда и поддръжка представляват пълна група от събития, т.е

R otk + R obs \u003d 1

На тази база относителната производителност се определя по формулата

Q \u003d P obs \u003d 1-R otk \u003d 1-R n

Абсолютната производителност на QS може да се определи по формулата

Вероятността за обслужване или съотношението на обслужените заявки определя относителната пропускателна способност на QS, която може да се определи и по друга формула:

От този израз можете да определите средния брой обслужвани приложения или, което е същото, средния брой канали, заети от обслужване

Степента на заетост на канала се определя от отношението на средния брой заети канали към общия им брой

Вероятността каналите да са заети с услугата, която взема предвид средното време на заетост t busy и времето на престой t pr канали, се определя, както следва:

От този израз можете да определите средното време на празен ход на каналите

Средното време на престой на приложението в системата в стационарно състояние се определя по формулата на Little

T cmo \u003d n c / λ.

3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване

В реалния живот системата за туристически услуги изглежда много по-сложна, така че е необходимо да се детайлизира изложението на проблема, като се вземат предвид исканията и изискванията както на клиентите, така и на туристическите агенции.

За да се повиши ефективността на туристическата агенция, е необходимо да се моделира поведението на потенциалния клиент като цяло от началото на операцията до нейното завършване. Структурата на взаимното свързване на основните системи за масово обслужване всъщност се състои от QS от различни типове (фиг. 3.3).

Търсене Избор Избор Решение

референт

търсене на туристическа компания

Плащане Flight Exodus

Ориз. 3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване

Проблемът от позицията на масовото обслужване на туристите, отиващи на почивка, е да се определи точното място за почивка (обиколка), адекватно на изискванията на кандидата, съответстващо на неговите здравословни и финансови възможности и представи за почивка като цяло. В това той може да бъде подпомогнат от туристически агенции, търсенето на които обикновено се извършва от рекламни съобщения на CMO r, след това след избор на компания се получават консултации по телефона CMO t, след задоволителен разговор, пристигане в туристическата агенция и получаване на по-подробни консултации лично с референта, след това плащане на обиколката и получаване на услуги от авиокомпанията за полета CMO a и в крайна сметка услугата в хотела CMO 0 . По-нататъшното развитие на препоръките за подобряване на работата на QS на компанията е свързано с промяна в професионалното съдържание на преговорите с клиенти по телефона. За целта е необходимо да се задълбочи анализът, свързан с детайлизирането на диалога на референта с клиентите, тъй като не всеки телефонен разговор води до сключване на договор за закупуване на ваучер. Формализирането на задачата за поддръжка показа необходимостта от формиране на пълен (необходим и достатъчен) списък от характеристики и техните точни стойности на предмета на търговска сделка. След това тези характеристики се класират, например, по метода на сравненията по двойки и се подреждат в диалог според степента на тяхната значимост, например: сезон (зима), месец (януари), климат (сух), температура на въздуха (+ 25 "C), влажност (40%), географско местоположение (по-близо до екватора), време за полет (до 5 часа), трансфер, държава (Египет), град (Хургада), море (червено), температура на морската вода ( +23°C), ранг на хотела (4 звезди, работещ климатик, гаранция за шампоан в стаята), разстояние от морето (до 300 м), разстояние от магазини (в близост), разстояние от дискотеки и други източници на шум ( далеч, тишина по време на сън в хотела), храна (шведска маса - закуска, вечеря, честота на промени в менюто на седмица), хотели (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), екскурзии (Кайро, Луксор, коралови острови, гмуркане гмуркане), развлекателни програми, спортни игри, цена на турнето, начин на плащане, съдържание на застраховка, какво да вземете със себе си, какво да закупите на място, гаранции, неустойки.

Има още един много важен показател, който е полезен за клиента, който се предлага да бъде установен независимо от разяждащия четец. След това, използвайки метода за сравняване по двойки на изброените характеристики x i , можете да формирате матрица за сравнение n x p, чиито елементи се попълват последователно в редове съгласно следното правило:

0 ако характеристиката е по-малко значима,

и ij = 1, ако характеристиката е еквивалентна,

2, ако характеристиката доминира.

След това на въз основа на които е възможно да се избере туристическа агенция, тур или хотел, според формулата

F = ∑ M i * x i -» макс.

За да се елиминират възможни грешки в тази процедура, например се въвежда 5-степенна скала за оценка с градация на характеристиките B i (x i) според принципа по-лошо (B i = 1 точка) - по-добро (B i = 5 точки). Например, колкото по-скъпо е турнето, толкова по-лошо, колкото по-евтино е, толкова по-добре. Въз основа на това целевата функция ще има различна форма:

F b = ∑ M i * B i * x i -> макс.

По този начин, въз основа на прилагането на математически методи и модели, използвайки предимствата на формализирането, е възможно да се формулира постановката на проблема по-точно и по-обективно и значително да се подобри работата на QS в търговските дейности за постигане на целите.

3.4 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката

В търговските дейности QS с чакане (опашка) са по-често срещани.

Да разгледаме проста едноканална QS с ограничена опашка, в която броят на местата в опашката m е фиксирана стойност. Следователно, заявление, което пристига в момента, когато всички места в опашката са заети, не се приема за обслужване, не влиза в опашката и напуска системата.

Графиката на този QS е показана на фиг. 3.4 и съвпада с графиката на фиг. 2.1 описващ процеса "раждане-смърт", с тази разлика, че при наличие само на един канал.

S m

S3

S2

S1

S0

λ λλλ... λ

μ μμμ... μ

Ориз. 3.4. Означената графика на процеса на "раждане - смърт" на услугата, всички интензитети на потоците на услугата са равни

QS състоянията могат да бъдат представени, както следва:

S 0 - каналът за обслужване е безплатен,

S, - обслужващият канал е зает, но няма опашка,

S 2 - каналът на услугата е зает, има една заявка в опашката,

S 3 - каналът на услугата е зает, има две заявки в опашката,

S m +1 - каналът на услугата е зает, всичките m места в опашката са заети, всяка следваща заявка се отхвърля.

За да се опише случайният процес на QS, може да се използват посочените по-горе правила и формули. Нека напишем изразите, определящи граничните вероятности на състоянията:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 \u003d ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p0 = -1

Изразът за p 0 може да бъде написан в този случай по-просто, като се използва фактът, че знаменателят е геометрична прогресия по отношение на p, тогава след подходящите трансформации получаваме:

ρ= (1- ρ )

Тази формула е валидна за всички p, различни от 1, но ако p = 1, тогава p 0 = 1/(m + 2) и всички други вероятности също са равни на 1/(m + 2). Ако приемем m = 0, тогава преминаваме от разглеждане на едноканална QS с изчакване към вече разгледаната едноканална QS с откази на обслужване. Действително, изразът за пределната вероятност p 0 в случай m = 0 има формата:

p o \u003d μ / (λ + μ)

А в случай на λ = μ то има стойност p 0 = 1/2.

Нека дефинираме основните характеристики на едноканален QS с чакане: относителна и абсолютна пропускателна способност, вероятност за неуспех, както и средната дължина на опашката и средното време на изчакване за приложение в опашката.

Заявката се отхвърля, ако пристигне в момента, когато QS вече е в състояние S m +1 и следователно всички места в опашката са заети и един канал обслужва.Следователно вероятността за неуспех се определя от вероятността за появата

Състояния S m +1:

P отворен \u003d p m +1 \u003d ρ m +1 * p 0

Относителната пропускателна способност или делът на обслужените заявки, пристигащи за единица време, се определя от израза

Q \u003d 1- p otk \u003d 1- ρ m+1 * p 0

абсолютната честотна лента е:

Средният брой приложения L och на опашка за услуга се определя от математическото очакване на случайна променлива k - броят на приложенията на опашка

случайната променлива k приема само следните цели числа:

1 - има едно приложение в опашката,

2 - има две приложения в опашката,

t-всички места в опашката са заети

Вероятностите на тези стойности се определят от съответните вероятности на състоянието, като се започне от състоянието S 2 . Законът за разпределение на дискретна случайна променлива k е изобразен по следния начин:

к	1	2	м
пи	p2	стр. 3	p m+1

Математическото очакване на тази случайна променлива е:

L pt = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

В общия случай, за p ≠ 1, тази сума може да се трансформира с помощта на модели на геометрична прогресия в по-удобна форма:

L och \u003d p 2 * 1- p m * (m-m*p+1)*p0

В специалния случай при p = 1, когато всички вероятности p k се окажат равни, можете да използвате израза за сумата от членовете на числовата серия

1+2+3+ m = м ( м +1)

Тогава получаваме формулата

L’ och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).

Прилагайки подобни разсъждения и трансформации, може да се покаже, че средното време на изчакване за обслужване на заявка и опашка се определя от формулите на Литъл

T och \u003d L och / A (при p ≠ 1) и T 1 och \u003d L ’och / A (при p \u003d 1).

Такъв резултат, когато се окаже, че T och ~ 1/ λ, може да изглежда странно: с увеличаване на интензивността на потока от заявки изглежда, че дължината на опашката трябва да се увеличи и средното време на изчакване трябва да намалее. Все пак трябва да се има предвид, че, първо, стойността на L och е функция на λ и μ и, второ, разглежданият QS има ограничена дължина на опашката от не повече от m приложения.

Заявка, която пристига в QS в момент, когато всички канали са заети, се отхвърля и следователно времето на „изчакване“ в QS е нула. Това води в общия случай (за p ≠ 1) до намаляване на Т och с увеличаване на λ, тъй като делът на такива приложения нараства с увеличаване на λ.

Ако се откажем от ограничението за дължината на опашката, т.е. клонят към m-> →∞, тогава случаите p< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k = p k * (1 - p)

За достатъчно голямо k, вероятността p k клони към нула. Следователно относителната производителност ще бъде Q = 1, а абсолютната производителност ще бъде равна на A -λ Q - λ, следователно всички входящи заявки се обслужват и средната дължина на опашката ще бъде равна на:

L och = стр 2 1-стр

и средното време на изчакване по формулата на Литъл

T och \u003d L och / A

В границата p<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Като една от характеристиките на QS се използва средното време Tsmo за престой на приложение в QS, включително средното време, прекарано в опашката и средното време за обслужване. Тази стойност се изчислява по формулите на Little: ако дължината на опашката е ограничена, средният брой приложения в опашката е равен на:

Lcm= м +1 ;2

T cmo= Л smo;за p ≠ 1

Тогава средното време на престой на заявката в системата за опашка (както на опашка, така и в услуга) е равно на:

T cmo= м +1 за p ≠1 2μ

3.5 Едноканален QS с неограничена опашка

В търговските дейности, например, търговският директор е едноканален QS с неограничено чакане, тъй като той, като правило, е принуден да обслужва приложения от различен характер: документи, телефонни разговори, срещи и разговори с подчинени, представители на данъчната инспекция, полицията, стоковите експерти, маркетолозите, доставчиците на продукти и решават проблеми в стоковата и финансовата сфера с висока степен на финансова отговорност, която е свързана със задължителното изпълнение на заявки, които понякога нетърпеливо очакват изпълнението на своите изисквания, и грешките при неправилно обслужване обикновено са много осезаеми икономически.

В същото време стоките, внесени за продажба (услуга), докато са в склада, образуват опашка за услуга (продажба).

Дължината на опашката е броят артикули за продажба. В тази ситуация продавачите действат като канали, обслужващи стоки. Ако количеството стоки, предназначени за продажба, е голямо, тогава в този случай имаме работа с типичен случай на QS с очакване.

Нека разгледаме най-простата едноканална QS с чакаща услуга, която получава Поасонов поток от заявки с интензитет λ и интензитет на услугата µ.

Освен това заявката, получена в момента, когато каналът е зает с обслужване, е на опашка и чака обслужване.

Означената графика на състоянието на такава система е показана на фиг. 3.5

Броят на възможните му състояния е безкраен:

Каналът е безплатен, няма опашка, ;

Каналът е зает с обслужване, няма опашка, ;

Каналът е зает, една заявка в опашката, ;

Каналът е зает, приложението е в опашката.

Модели за оценка на вероятността от състояния на QS с неограничена опашка могат да бъдат получени от формули, изолирани за QS с неограничена опашка чрез преминаване към границата като m→∞:

Ориз. 3.5 Графика на състоянията на едноканален QS с неограничена опашка.

Трябва да се отбележи, че за QS с ограничена дължина на опашката във формулата

има геометрична прогресия с първия член 1 и знаменателя. Такава последователност е сумата от безкраен брой членове при . Тази сума се сближава, ако прогресията, безкрайно намаляваща при , която определя работата в стационарно състояние на QS, с при , опашката при може да нарасне до безкрайност с течение на времето.

Тъй като няма ограничение за дължината на опашката в разглеждания QS, всяка заявка може да бъде обслужена, следователно, съответно относителната пропускателна способност и абсолютната пропускателна способност

Вероятността да бъдете в опашката за k приложения е равна на:

;

Средният брой приложения в опашката -

Средният брой приложения в системата -

;

Средно време на престой на приложение в системата -

;

Средно време на престой на приложението в системата -

.

Ако в едноканален QS с чакане интензивността на получаване на заявки е по-голяма от интензивността на обслужване, тогава опашката непрекъснато ще се увеличава. В тази връзка най-голям интерес представлява анализът на стабилна QS, работеща в стационарен режим при .

3.6 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката

Да разгледаме многоканален QS, който получава Поасонов поток от заявки с интензитет, а интензитетът на обслужване на всеки канал е, максималният възможен брой места в опашката е ограничен от m. Дискретните състояния на QS се определят от броя на приложенията, постъпили в системата, които могат да бъдат записани.

Всички канали са безплатни, ;

Само един канал е зает (който и да е), ;

Заети са само два канала (всеки), ;

Всички канали са заети.

Докато QS е в някое от тези състояния, няма опашка. След като всички канали за обслужване са заети, следващите заявки образуват опашка, като по този начин определят по-нататъшното състояние на системата:

Всички канали са заети и едно приложение е на опашката,

Всички канали са заети и две приложения са в опашката,

Всички канали са заети и всички места в опашката са заети,

Графика на състоянията на n-канален QS с опашка, ограничена до m места на фиг. 3.6

Ориз. 3.6 Графика на състоянието на n-канален QS с ограничение на дължината на опашката m

Преминаването на QS към състояние с по-високи числа се определя от потока от входящи заявки с интензитет, като по условие тези заявки се обслужват от едни и същи канали с еднаква за всеки канал интензивност на обслужващия поток. В този случай общата интензивност на потока от услуги се увеличава със свързването на нови канали до такова състояние, когато всички n канала са заети. С появата на опашката интензитетът на обслужване се увеличава още повече, тъй като вече е достигнал максималната си стойност, равна на .

Нека напишем изрази за граничните вероятности на състоянията:

Изразът за може да се преобразува с помощта на формулата на геометричната прогресия за сумата от членове със знаменател:

Образуването на опашка е възможно, когато новопостъпила заявка намери не по-малко от изисквания в системата, т.е. когато ще има изисквания в системата. Тези събития са независими, така че вероятността всички канали да са заети е равна на сумата от съответните вероятности. Следователно вероятността за формиране на опашка е:

Вероятността за отказ на услуга възниква, когато всички канали и всички места в опашката са заети:

Относителната производителност ще бъде равна на:

Абсолютна честотна лента -

Среден брой заети канали -

Среден брой неактивни канали -

Коефициент на заетост (използване) на каналите -

Коефициент на празен ход на канала -

Средният брой заявления в опашките -

Ако , тази формула приема различна форма -

Средното време на чакане на опашка се дава по формулите на Литъл −

Средното време на престой на приложение в QS, като за едноканален QS, е по-голямо от средното време на изчакване в опашката със средното време за обслужване, равно на , тъй като приложението винаги се обслужва само от един канал:

3.7 Многоканален QS с неограничена опашка

Нека разгледаме многоканален QS с изчакване и неограничена дължина на опашката, който получава поток от заявки с интензивност и който има интензитет на обслужване на всеки канал. Означената графика на състоянието е показана на фигура 3.7.Тя има безкраен брой състояния:

S - всички канали са свободни, k=0;

S - един канал е зает, останалите са свободни, k=1;

S - два канала са заети, останалите са свободни, k=2;

S - всички n канала са заети, k=n, няма опашка;

S - всички n канала са заети, една заявка е в опашката, k=n+1,

S - всички n канала са заети, r заявки са в опашката, k=n+r,

Получаваме вероятностите на състоянията от формулите за многоканален QS с ограничена опашка при преминаване към границата при m. Трябва да се отбележи, че сумата от геометричната прогресия в израза за p се отклонява при ниво на натоварване p/n>1, опашката ще се увеличава неограничено, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

няма опашка

…

…

Фиг.3.7 Маркирана графика на състоянието на многоканален QS

с неограничена опашка

за които дефинираме изрази за граничните вероятности на състоянията:

Тъй като в такива системи не може да има отказ от услуга, пропускателните характеристики са:

среден брой приложения в опашката -

средно време за чакане на опашка

средният брой приложения в CMO -

Вероятността QS да е в състояние, когато няма заявки и нито един канал не е зает, се определя от израза

Тази вероятност определя средната част от времето на прекъсване на обслужващия канал. Вероятността да сте заети с обслужване на k заявки е

На тази база е възможно да се определи вероятността или съотношението на времето, през което всички канали са заети с услугата

Ако всички канали вече са заети от услуга, тогава вероятността за състоянието се определя от израза

Вероятността да бъдете в опашката е равна на вероятността да намерите всички канали, които вече са заети с услуга

Средният брой заявки в опашката и чакащи услуга е равен на:

Средното време за изчакване на заявление в опашката по формулата на Литъл: и в системата

среден брой канали, заети от услуга:

среден брой безплатни канали:

степен на заетост на обслужващия канал:

Важно е да се отбележи, че параметърът характеризира степента на координация на входящия поток, например, клиенти в магазин с интензивността на потока от услуги. Процесът на обслужване ще бъде стабилен при Ако обаче средната дължина на опашката и средното време на изчакване за клиентите да започнат услугата ще се увеличат в системата и следователно QS ще работи нестабилно.

3.8 Анализ на системата за опашки в супермаркети

Една от важните задачи на търговската дейност е рационалната организация на търговския и технологичен процес на масово обслужване, например в супермаркет. По-специално, определянето на капацитета на касата на търговско предприятие не е лесна задача. Икономически и организационни показатели като натоварването на оборота на 1 m 2 търговска площ, производителността на предприятието, времето, прекарано от клиентите в магазина, както и показатели за нивото на технологичното решение на търговския етаж: съотношението на площите на зоните за самообслужване и сетълментния възел, коефициентите на инсталационните и изложбените площи, до голяма степен определени от производителността на паричния възел. В този случай пропускателната способност на две зони (фази) на обслужване: зоната за самообслужване и зоната на сетълментния възел (фиг. 4.1).

CMO

CMO

Интензивността на входния поток от купувачи;

Интензивността на пристигането на купувачите на зоната за самообслужване;

Интензивността на пристигането на купувачите в сетълмента;

Интензивността на потока от услуги.

Фиг.4.1. Модел на двуфазен CMO на търговски етаж на супермаркет

Основната функция на възела за сетълмент е да осигури висока производителност на клиенти в търговския етаж и да създаде удобно обслужване на клиентите. Факторите, влияещи върху пропускателната способност на сетълмент възела, могат да бъдат разделени на две групи:

1) икономически и организационни фактори: системата за отговорност в супермаркета; средна цена и структура на една покупка;

2) организационна структура на касата;

3) технически и технологични фактори: използвани видове касови апарати и касови кабини; технология за обслужване на клиенти, използвана от контрольор-касиер; съответствие с капацитета на касата на интензивността на клиентските потоци.

От тези групи фактори най-голямо влияние оказват организационната структура на касата и съответствието на капацитета на касата с интензивността на клиентопотоците.

Помислете за двете фази на системата за обслужване:

1) избор на стоки от купувачите в зоната за самообслужване;

2) обслужване на клиенти в района на сетълмент възела. Входящият поток от купувачи навлиза във фазата на самообслужване и купувачът самостоятелно избира нужните му стокови единици, оформяйки ги в една покупка. Освен това времето на тази фаза зависи от това как са взаимно разположени стоковите зони, какъв фронт имат, колко време отделя купувачът за избор на конкретен продукт, каква е структурата на покупката и др.

Изходящият поток от клиенти от зоната за самообслужване е едновременно и входящият поток към зоната на касата, което включва последователно изчакване на клиента на опашката и последващо обслужване от контрольор-касиер. Възелът за плащане може да се разглежда като система за опашка със загуби или като система за опашка с изчакване.

Въпреки това, нито първата, нито втората разглеждани системи позволяват действително да се опише процесът на обслужване на касата на супермаркет поради следните причини:

в първия вариант касовият апарат, чийто капацитет ще бъде проектиран за система със загуби, изисква значителни както капиталови инвестиции, така и текущи разходи за поддръжка на касиер контролери;

във втория вариант касовият възел, чийто капацитет ще бъде проектиран за система с очаквания, води до голяма загуба на време за клиентите, чакащи услуга. В същото време, в пиковите часове, зоната на сетълмент възела „прелива“ и опашката от купувачи „се влива“ в зоната за самообслужване, което нарушава нормалните условия за избор на стоки от други купувачи.

В тази връзка е препоръчително втората фаза на обслужване да се разглежда като система с ограничена опашка, междинна между система с чакане и система със загуби. Приема се, че не повече от L могат да бъдат едновременно в системата и L=n+m, където n е броят на обслужените клиенти на касите, m е броят на клиентите, които стоят на опашка, и всеки m+1- приложението оставя системата необслужена.

Това условие позволява, от една страна, да се ограничи площта на зоната на възела за сетълмент, като се вземе предвид максимално допустимата дължина на опашката, а от друга страна, да се въведе ограничение за времето, през което клиентите чакат за услуга в касов пункт, т.е. вземете предвид разходите за потребителско потребление.

Правомерността на поставянето на проблема в тази форма се потвърждава от проучвания на клиентските потоци в супермаркетите, резултатите от които са дадени в табл. 4.1, чийто анализ разкри тясна връзка между средната дълга опашка на касата и броя на купувачите, които не са направили покупки.

Работно време	Ден от седмицата
	петък			Събота			неделя
	завой,	количество купувачи без пазаруване		завой,	количество купувачи без пазаруване		завой,	количество купувачи без пазаруване
		хората	%		хората	%		хората	%
от 9 до 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
от 10 до 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
от 11 до 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
от 12 до 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
от 14 до 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
от 15 до 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
от 16 до 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
от 17 до 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
от 18 до 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
от 19 до 20	6	105	7,6	6	77	6
от 20 до 21	6	58	7	5	39	4,4
Обща сума	749	6,5	862	6,3	904	4,5

Има още една важна характеристика в организацията на работата на касата на супермаркета, която значително влияе върху нейната производителност: наличието на експресни каси (една или две покупки). Проучването на структурата на клиентопотока в супермаркетите по вид касово обслужване показва, че оборотният поток е 12,9% (Таблица 4.2).

Дни от седмицата	Клиентски потоци			Търговски оборот
	Обща сума	чрез експресна каса	% спрямо дневния поток	Обща сума	чрез експресна каса	% от дневния оборот
Летен период
понеделник	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
вторник	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
сряда	10175	2435	24	33945	2047,37	6
четвъртък	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
петък	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
Събота	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
неделя	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
зимен период
понеделник	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
вторник	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
сряда	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
четвъртък	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
петък	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
Събота	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
неделя	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

За окончателното изграждане на математически модел на процеса на обслужване, като се вземат предвид горните фактори, е необходимо да се определят функциите на разпределение на случайните променливи, както и случайните процеси, които описват входящите и изходящите потоци на клиентите:

1) функцията за разпределяне на времето на купувачите за избор на стоки в зоната за самообслужване;

2) функцията за разпределяне на работното време на контролера-касиер за обикновени каси и експресни каси;

3) произволен процес, описващ входящия поток от клиенти в първата фаза на обслужване;

4) произволен процес, описващ входящия поток към втората фаза на обслужване за обикновени каси и експресни каси.

Удобно е да се използват модели за изчисляване на характеристиките на система за масово обслужване, ако входящият поток от заявки към системата за масово обслужване е най-простият поток на Поасон и времето за обслужване на заявките се разпределя според експоненциален закон.

Изследването на клиентския поток в зоната на касовия възел показа, че за него може да се приеме Поасонов поток.

Функцията на разпределение на времето за обслужване на клиенти от касиерите е експоненциална; такова предположение не води до големи грешки.

Безспорен интерес представлява анализът на характеристиките на обслужване на потока от клиенти в касата на супермаркета, изчислен за три системи: със загуби, с очакване и смесен тип.

Изчисленията на параметрите на процеса на обслужване на клиенти в касата са извършени за търговско предприятие с търговска площ S=650 въз основа на следните данни.

Целевата функция може да бъде написана в общата форма на връзката (критерия) на приходите от продажби от характеристиките на QS:

където - касата се състои от = 7 каси от обичайния тип и = 2 експресни каси,

Интензивността на обслужване на клиенти в зоната на обикновените каси - 0,823 души / мин.;

Интензитетът на натоварване на касовите апарати в зоната на обикновените каси е 6,65,

Интензивността на обслужване на клиентите в зоната на експресните каси - 2,18 души / мин.;

Интензитетът на входящия поток към зоната на обикновените каси - 5,47 души / мин.

Интензитетът на натоварване на касовите апарати в зоната на експресните каси е 1,63,

Интензитетът на входящия поток към зоната за експресна каса е 3,55 души/мин.;

За модела QS с ограничение на дължината на опашката в съответствие с проектираната зона на касата, максимално допустимият брой клиенти, стоящи на опашка на една каса, се приема m = 10 клиента.

Трябва да се отбележи, че за да се получат сравнително малки абсолютни стойности на вероятността от загуба на приложения и времето за изчакване на клиентите в касата, трябва да се спазват следните условия:

Таблица 6.6.3 показва резултатите от качествените характеристики на функционирането на СОК в зоната на сетълмент възел.

Изчисленията са направени за най-натоварения период от работния ден от 17:00 до 21:00 часа. Именно през този период, както показват резултатите от проучванията, пада около 50% от еднодневния поток от купувачи.

От данните в табл. 4.3 следва, че ако за изчислението е избрано:

1) модел с откази, тогава 22,6% от потока купувачи, обслужвани от обикновени каси, и съответно 33,6% от потока купувачи, обслужвани от експресни каси, ще трябва да напуснат, без да направят покупки;

2) модел с очакване, тогава не трябва да има никакви загуби на заявки в сетълмент възела;

Раздел. 4.3 Характеристики на системата за обслужване на клиенти в зоната на сетълмент възел

Тип каса	Брой каси във възела	Тип CMO	QS характеристики
			Средният брой на натоварени каси,	средно време за чакане за услуга,	Вероятността от загуба на приложения,
Редовни каси	7	с неуспехи с очакване с ограничение
Експресни каси	2	с неуспехи с очакване с ограничение

3) модел с ограничение на дължината на опашката, тогава само 0,12% от потока купувачи, обслужвани от обикновени каси, и 1,8% от потока купувачи, обслужвани от експресни каси, ще напуснат търговския етаж, без да правят покупки. Следователно моделът с ограничение на дължината на опашката позволява по-точно и реалистично да се опише процесът на обслужване на клиентите в района на касата.

Интерес представлява сравнително изчисление на капацитета на касовия пункт със и без експресни каси. В табл. 4.4 показва характеристиките на касовата система на три стандартни размера на супермаркети, изчислени според модели за QS с ограничение на дължината на опашката за най-натоварения период от работния ден от 17 до 21 часа.

Анализът на данните в тази таблица показва, че неотчитането на фактора "Структура на клиентския поток по вид касово обслужване" на етапа на технологичното проектиране може да доведе до увеличаване на зоната на сетълмент възела с 22- 33%, а оттам съответно и до намаляване на инсталационните и изложбените площи на търговско-технологичното оборудване и стоковата маса, разположени на търговския етаж.

Проблемът за определяне на капацитета на дадена каса е верига от взаимосвързани характеристики. По този начин увеличаването на неговия капацитет намалява времето за чакане на клиентите за обслужване, намалява вероятността от загуба на изисквания и съответно загуба на оборот. Заедно с това е необходимо да се намали зоната за самообслужване, предната част на търговското и технологичното оборудване и съответно масата на стоките на търговския етаж. В същото време се увеличават разходите за заплати на касиерите и оборудването на допълнителни работни места. Ето защо

№ п / стр	QS характеристики	мерна единица	Обозначаване		Показатели, изчислени по видове супермаркети търговска площ, кв. м
					Без експресна каса						Включително експресно плащане
					650		1000		2000		650			1000			2000
											Редовни каси		Експресни каси	Редовни каси		експресни каси	Редовни каси		експресни каси
1	Брой купувачи	хората	к		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	Интензивността на входящия поток		λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	Интензивност на поддръжката	човек/мин	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	Интензивност на натоварването	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	Брой касови апарати	PCS.	н		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	Общ брой каси на сетълмент възела	PCS.		∑n		12		17		34		9			14			26

е необходимо да се извършат оптимизационни изчисления. Нека разгледаме характеристиките на системата за обслужване на касата на супермаркет с търговска площ от 650 m, изчислена с помощта на QS модели с ограничена дължина на опашката за различни капацитети на касата в табл. 4.5.

Въз основа на анализа на данните в табл. 4.5 можем да заключим, че с увеличаването на броя на касите времето за изчакване на купувачите на опашката се увеличава, а след това след определен момент рязко спада. Естеството на промяната в графика на времето за изчакване на клиента е разбираемо, ако паралелно разгледаме промяната в вероятността от загуба на търсене.Очевидно е, че когато капацитетът на POS възела е прекалено малък, тогава повече от 85% от клиентите ще остане необслужен, а останалите клиенти ще бъдат обслужени в много кратки срокове. Колкото по-голям е капацитетът на POS възела, толкова по-вероятно е искове да бъдат загубени, докато чакат услугата си, което означава, че времето им за чакане в опашката съответно ще се увеличи. След очакванията и вероятността от загуби ще намалее драстично.

За търговски обект 650, това ограничение за обикновената каса е между 6 и 7 каси. При съответно 7 каси средното време за изчакване е 2,66 минути, а вероятността от загуба на заявления е много малка – 0,1%. По този начин, което ще ви позволи да получите минимални общи разходи за масово обслужване на клиенти.

Вид касово обслужване	Брой каси във възел n, бр.	Характеристики на сервизната система		Среден приход за 1 час търкайте.	Средна загуба на приходи за 1 час rub	Броят на купувачите в района на възела на сетълмента	Площта на зоната на селищния възел, Sy, m	Относително тегло на площта на възловата зона 650/ Sy
		Средно време на изчакване, Т, мин	Вероятността от загуба на приложения
Зони на обикновени каси
Зони за експресно плащане

Заключение

Въз основа на анализа на данните в табл. 4.5 можем да заключим, че с увеличаване на броя на касите, времето за чакане на купувачите на опашката се увеличава. И след това след определен момент рязко спада. Естеството на промяната в графика на времето за изчакване на клиента е разбираемо, ако паралелно разгледаме промяната във вероятността от загуба на вземания.Очевидно е, че когато капацитетът на касовия възел е прекалено малък, тогава повече от 85% от клиентите ще остане необслужен, а останалите клиенти ще бъдат обслужени в много кратки срокове. Колкото по-голяма е мощността на паричния възел. Вероятността от загуба на изисквания ще намалее и съответно толкова по-голям брой купувачи ще чакат за тяхната услуга, а оттам и времето на тяхното чакане на опашка съответно ще се увеличи. След като възелът за сетълмент превиши оптималната мощност, времето за изчакване и вероятността от загуби рязко ще намалеят.

За супермаркет с търговска площ 650 кв. метра, тази граница за зоната на конвенционалните касови апарати е между 6-8 касови апарата. При съответно 7 каси средното време за изчакване е 2,66 минути, а вероятността от загуба на заявления е много малка – 0,1%. По този начин задачата е да изберете такъв капацитет на касата, който ще ви позволи да получите минималните общи разходи за масово обслужване на клиенти.

В тази връзка следващата стъпка в решаването на проблема е оптимизирането на капацитета на касата на базата на използването на различни видове QS модели, като се вземат предвид общите разходи и факторите, изброени по-горе.