Едноканален QS с повреди. Относителна производителност Относителна производителност - относителен среден брой приложения
дадени: системата има един обслужващ канал, който получава най-простия поток от заявки с интензитет. Потокът от услуги е с интензитет . Заявка, която установи, че системата е заета, веднага я напуска.
намирам: абсолютната и относителна производителност на QS и вероятността иск, пристигащ в момент t, да бъде отхвърлен.
Системата за всяка T> 0 може да бъде в две състояния: С 0 – каналът е свободен; С 1 - каналът е зает. Преход от С 0 инча С 1 е свързано с появата на заявка и незабавното стартиране на нейното обслужване. Преход от С 1 инч С 0 се извършва веднага след завършване на следващото обслужване (фиг. 9).
Фиг.9. Графика на състоянията на едноканален QS с повреди
Изходните характеристики (характеристики на ефективност) на тази и други QS ще бъдат дадени без заключения и доказателства.
(среден брой заявления, обслужвани за единица време):
където е интензивността на потока от заявления (реципрочната стойност на средния интервал от време между входящи заявления - ); - интензивността на потока от услуги (реципрочната стойност на средното време за обслужване).
Относителна честотна лента(среден дял на приложенията, обслужвани от системата):
Вероятност за повреда(вероятност искът да остави ООП необслужен):
Очевидни са следните отношения: и .
N – QS на канала с повреди (проблем Erlang). Това е една от първите задачи на теорията опашка. Възниква от практическите нужди на телефонията и е решен в началото на 20 век от датския математик Ерланг.
дадени: системата има н– канали, които получават поток от приложения с интензивност. Потокът от услуги е с интензитет . Заявка, която установи, че системата е заета, веднага я напуска.
намирам: абсолютен и относителен капацитет на QS; вероятността дадена поръчка да пристигне наведнъж T, ще бъде отказано; средният брой заявки, обслужени едновременно (или, с други думи, средният брой на заетите канали).
Решение. Състояние на системата С(QS) се номерира според максималния брой заявки в системата (той съвпада с броя на заетите канали):
· С 0 - няма приложения в CMO;
· С 1 - има една заявка в QS (един канал е зает, останалите са свободни);
· С 2 - има две приложения в QS (два канала са заети, останалите са свободни);
· С n - в QS е н- приложения (всички н– каналите са заети).
Графиката на състоянието на QS е показана на фиг. десет.
Фиг.10. Графика на състоянието за n-канален QS с грешки
Защо графиката на състоянието е маркирана по този начин? Извън държавата С 0 за състояние С 1 системата се прехвърля от поток от приложения с интензивност (веднага щом пристигне приложение, системата превключва от С 0 инча Седин). Ако системата беше в държавата С 1 и е пристигнала друга заявка, влиза в държав С 2 и т.н.
Защо такива интензитети за долните стрелки (дъги на графиката)? Нека системата е в държавата С 1 (един канал работи). Произвежда услуги за единица време. Следователно преходната дъга от държавата С 1 на щат С 0 е зареден с интензивност. Сега нека системата е в държавата С 2 (работят два канала). За да отиде при нея С 1, трябва да завършите услугата на първия канал или на втория. Общият интензитет на потоците им е равен и т.н.
Изходните характеристики (характеристики на ефективност) на даден QS се дефинират, както следва.
Абсолютна честотна лента:
където н– брой QS канали; е вероятността QS да бъде в първоначалното състояние, когато всички канали са свободни (крайната вероятност QS да бъде в състояние С 0);
За да напишете формула за определяне, разгледайте фиг.11.
Фиг.11. Графика на състоянието за схемата за смърт и размножаване
Графиката, показана на тази фигура, се нарича още графика на състоянието за схемата „смърт и размножаване“. Нека първо напишем общата формула за (без доказателство):
Между другото, останалите крайни вероятности за QS състояния ще бъдат записани по следния начин.
Вероятността QS да е в състояние С 1, когато един канал е зает.
1) едноканален QS
В ограничителния (стационарен) режим системата от уравнения на Колмогоров:
Като вземем предвид условието за нормализиране p 0 + p 1 = 1, намираме:
които изразяват средното относително време, прекарано от системата в състояние S 0 (когато каналът е свободен) и S 1 (когато каналът е зает), т.е. определят съответно относителната производителност на системата q и вероятността за повреда P otk:
Абсолютна честотна лента: .
Задача 1.Известно е, че в студиото се получават заявки с интензивност ?=90 (заявки на час), а средната продължителност на телефонен разговор е t около = 2 минути. Определете показателите за ефективност на QS (телефонна комуникация) при наличие на един телефонен номер.
Решение.
Интензитет на сервизния поток? = 1/t около = 1/2 = 0,5 (1/min) = 30 (1/h).
Относителен QS капацитет q = 30/(30+90) = 0,25, т.е. средно само 25% от входящите заявления ще преговарят по телефона. Съответно вероятността за отказ на услуга ще бъде P otk = 0,75. QS абсолютна производителност: Q = 90*0,25 = 22,5, т.е. средно ще бъдат обслужени 22,5 заявки на час.
Очевидно само с един телефонен номер CMO няма да може да се справи добре с потока от заявки.
2) многоканален QS
Системата от уравнения на Колмогоров има формата:
В стационарен режим:
Нека решим система (1) по отношение на неизвестните p 0 , p 1 ,..., p m . От първото уравнение:
От второто, като се вземе предвид (2):
По същия начин, от третото, като се вземат предвид (2) и (3):
и като цяло, за всяко k ? м:
Нека въведем обозначението:
Определя средния брой заявки, влизащи в QS за средното време за обслужване на една заявка (намалена плътност на потока от заявки).
Формула (6) изразява всички вероятности p k по отношение на p 0 . Нека използваме условието:
Замествайки (7) в (6), получаваме 0 ? к? м. (осем)
Формули (7) и (8) се наричат формули на Ерланг. Приемайки във формула (8) k = m, получаваме вероятността за повреда
Относителна производителност (вероятност приложението да бъде обслужено):
Формулите на Erlang и техните следствия (9), (10) са изведени за случая на експоненциалния закон за разпределение на времето за обслужване. Но изследвания последните годинипоказа, че тези формули остават валидни за всеки закон за разпределение на времето за обслужване, стига входният поток да е най-простият. Също така формулите на Erlang могат да се използват (с известно приближение) в случай, че потокът от заявки се различава от най-простия (например стационарен поток с ограничено последействие). И накрая, формулите на Erlang могат да се използват приблизително и в случай, когато QS позволява изчакване на клиент на опашката, но когато времето за изчакване е кратко в сравнение със средното време за обслужване на един клиент.
Абсолютна честотна лента:
Средният брой заети канали е очаквана стойностброй заети канали:
или или, дадени (11) и (5)
При големи числаобслужващи каналиизползвайте следните формули, наричани още формули на Erlang:
За големи стойности на i:
Функция на Лаплас.
Вероятност за повреда: (9")
Относителна честотна лента
Среден брой заети канали:
Задача 2.При условията на предходната задача определете оптималния брой телефонни номерав студиото, ако условието за оптималност е удовлетворяване на поне 90 заявки за преговори от всеки 100 заявки.
Решение.Интензитет на натоварване на канала по формула (5) ? = 90/30 = 3, т.е. за средно време (по продължителност) телефонен разговор t около = 2 минути. получава средно по 3 заявки за преговори.
Постепенно ще увеличим броя на каналите (телефонните номера) n = 2, 3, 4,... и ще определим по формули (7), (10), (11) за получените n-канални характеристики на услугата QS. Например за n = 2
Стойностите на QS характеристиките са представени в таблицата:
Според условието за оптималност q ? 0.9, следователно в студиото е необходимо да зададете 5 телефонни номера (в този случай q = 0.9). В същото време ще бъдат обслужвани средно 80 заявки на час (Q = 80,1), а средният брой заети телефонни номера (канали)
Задача 3.Автоматичната телефонна централа осигурява не повече от 120 разговора едновременно. Средната продължителност на разговора е 60 секунди, а повикванията пристигат средно след 0,5 секунди. Разглеждайки такава станция като многоканална система за опашка с откази и най-прост входен поток, определете: а) средния брой заети канали, б) относителната пропускателна способност, в) средното време, през което повикването остава в станцията, като вземете предвид отчетете факта, че разговорът може да не се проведе.
Решение.Имаме: m = 120; ? = 1/0,5 = 2; ? = 1/60; ? =?/? = 120.
Използвайки таблиците на функцията на Лаплас, получаваме:
защото? е интензитетът на входния поток (броят заявки за единица време), тогава? t av = u.
2 . CMO с изчакване и ограничено време за изчакване.
Има m канала за обслужване, входният поток е най-простият с интензитет?, времето за обслужване и времето за изчакване са SV разпределени по експоненциален закон с и? съответно.
Ако i каналите са заети и i ? m, то поради независимостта на тяхното функциониране, интензивността на обслужване нараства i пъти: ? i,i-1 = i?. Когато възникне опашка, всяко състояние на разглежданата QS се характеризира със заетостта на обслужващите канали. Следователно, интензитетът на освобождаване на канала става постоянен u = m?.
Законът за разпределение на времето за изчакване определя ли се от интензивността? напускане на опашката, ако в нея има едно приложение. По силата на независимостта на получаването на рекламации (виж дефиницията на най-простия поток), скоростта, с която рекламациите отказват обслужване и напускат опашката, е равна на r? (за опашка с дължина r ? 1). Така плътността на вероятността на прехода на системата от състояние S m+r към състояние S m+r-1 е равна на сумата от интензитетите на освобождаване на обслужващи канали и отказ на обслужване: ? m+r,m+r-1 = m? +r?.
Съставяме уравненията на Колмогоров:
i=1,...,m-1,r? 0.
Ако няма ограничения за дължината на опашката, тогава системата е обикновена диференциални уравнения(1) е безкраен.
Ако в началния момент t = 0 разглежданата система е била в едно от възможните си състояния S j , то началните условия за нея са следните.
Абсолютна честотна лента- среден брой заявления, които могат да бъдат обслужени за единица време. p 0 - вероятност каналът да е свободен, Q - относителна пропускателна способностИнтензитетът на натоварване ρ=3 показва степента на съгласуваност между входните и изходните потоци на заявките на обслужващия канал и определя стабилността на системата за масово обслужване.
2. Време за обслужване.
мин. 
Следователно, 3% на час каналът няма да бъде зает, времето на празен ход е равно на t pr = 1,7 минути.
канал 1 зает:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 3 1 /1! 0,0282 = 0,0845
2 канала са заети:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 3 2 /2! 0,0282 = 0,13
3 канала са заети:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 3 3 /3! 0,0282 = 0,13
.
Това означава, че 13% от постъпилите заявления не се приемат за обслужване.
.
p отворено + p obs = 1
p obs \u003d 1 - p otk \u003d 1 - 0,13 \u003d 0,87
Следователно 87% от получените заявления ще бъдат обслужени. Приемливото ниво на обслужване трябва да бъде над 90%.
.
n c = ρ p obs = 3 0,87 = 2,6 канала
.
n pr \u003d n - n z \u003d 3 - 2,6 \u003d 0,4 канала
.
Следователно системата е 90% заета с поддръжка.
8. Абсолютна пропускателна способност за многоканален QS.
A = p obs λ = 0,87 6 = 5,2 приложения/мин.
9. Средно време на престой на QS.
t pr \u003d p otk ∙ t obs \u003d 0,13 ∙ 0,5 \u003d 0,06 мин.
.
единици 
мин.
.
L obs = ρ Q = 3 0,87 = 2,62 единици
.
L CMO = L och + L obs = 1,9 + 2,62 = 4,52 единици
.
мин.
Броят заявления, които са били отхвърлени в рамките на един час: λ p 1 = 0,78 приложения на минута.
Номинална производителност на QS: 3 / 0,5 = 6 приложения в минута.
Действителната производителност на CMO: 5,2 / 6 = 87% от номиналната производителност.
Пример #2. Супермаркетът получава ранни зеленчуци и зеленчуци от оранжериите на крайградска държавна ферма. Колите със стока пристигат в супермаркета за неопределено време. Средно λ коли пристигат на ден. Помощните помещения и оборудването за подготовка на зеленчуци за продажба позволяват обработка и съхранение на стоки с обем не повече от m превозни средства едновременно. В супермаркета работят n опаковчици, всеки от които средно може да обработва стоки от една машина за t работни дни. Определете вероятността за обслужване на входяща кола P obs. Какъв трябва да бъде капацитетът на помощните помещения m 1, така че вероятността за обслужване да бъде по-голяма или равна на дадена стойност, т.е. Поб.> П*обс.
λ = 3; t obs = 0.5; n = 2; m = 2, P* obs = 0,92.
Решение.
Ние изчисляваме показателите за обслужване на многоканален QS:
Превеждаме интензивността на потока от приложения в часове: λ = 3/24 = 0,13
Интензивност на потока на услугата:
μ = 1/12 = 0,0833
1. Интензивност на натоварването.
ρ = λ t обс = 0,13 12 = 1,56
Интензитетът на натоварване ρ=1,56 показва степента на съгласуваност между входните и изходните потоци на заявките на обслужващия канал и определя стабилността на системата за масово обслужване.
От 1.56<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. Вероятност каналът да е свободен(дял на каналите за престой).
Следователно, 18% в рамките на един час каналът няма да бъде зает, времето на празен ход е равно на t pr = 11 минути.
Вероятността услугата:
канал 1 зает:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 1,56 1/1! 0,18 = 0,29
2 канала са заети:
p 2 = ρ 2 /2! p0 = 1,562/2! 0,18 = 0,22
4. Пропорция на отхвърлените заявления.
Това означава, че 14% от постъпилите заявления не се приемат за обслужване.
5. Вероятност за обслужване на входящи заявки.
В системи с повреди, събитията от повреда и поддръжка представляват пълна група от събития, така че:
p отворено + p obs = 1
Относителна производителност: Q = p obs.
p obs \u003d 1 - p otk \u003d 1 - 0,14 \u003d 0,86
Следователно 86% от получените заявления ще бъдат обслужени. Приемливото ниво на обслужване трябва да бъде над 90%.
6. Среден брой канали, заети от услуга.
n c = ρ p obs = 1,56 0,86 = 1,35 канала.
Средно неактивни канали.
n pr \u003d n - n z \u003d 2 - 1,35 = 0,7 канала.
7. Степен на заетост на обслужващия канал.
K 3 \u003d n 3 / n \u003d 1,35 / 2 \u003d 0,7
Следователно системата е 70% заета с поддръжка.
8. Намерете абсолютна производителност.
A = p obs λ = 0,86 0,13 = 0,11 заявки/час.
9. Средно време на престой на QS.
t pr \u003d p otk t obs \u003d 0,14 12 \u003d 1,62 часа.
Вероятност за образуване на опашка.
10. Среден брой заявления на опашката.
единици
11. Средно време на престой на QS(средно време на изчакване за обслужване на заявка в опашката).
T pt = L pt / A = 0,44/0,11 = 3,96 часа
12. Среден брой обслужени заявки.
L obs = ρ Q = 1,56 0,86 = 1,35 единици
13. Среден брой приложения в системата.
L CMO = L pt + L obs = 0,44 + 1,35 = 1,79 единици
13. Средно време на престой на приложение в CMO.
T CMO = L CMO /A = 1,79/0,11 = 16,01 часа
Сега нека отговорим на въпроса: какъв трябва да бъде капацитетът на помощните помещения m 1, така че вероятността за обслужване да бъде по-голяма или равна на дадена стойност, т.е. P obs. > 0,92. Правим изчислението въз основа на условието: 
където 
За нашите данни: 
След това трябва да изберете такъв k (вижте точка 3 "дял на времето на празен ход на каналите"), при който p otk 0,92.
например при k = m 1 = 4, p out = 0,07 или p obs = 0,93.
Най-простият едноканален модел.Такъв модел с вероятностен входен поток и процедура за обслужване е модел, характеризиращ се с експоненциално разпределение както на продължителността на интервалите между пристигане на искове, така и на продължителността на обслужване. В този случай плътността на разпределението на продължителностите на интервалите между пристиганията на рекламации има формата
(1)
къде е интензивността на заявките, влизащи в системата.
Плътност на разпределение на продължителността на услугата:
, (2)
къде е интензивността на обслужване.
Потоците от заявки и услуги са най-прости.
Оставете системата да работи с неуспехи.Необходимо е да се определи абсолютната и относителната производителност на системата.
Нека представим тази система за масово обслужване под формата на графика (фиг. 1), която има две състояния:
S 0 -каналът е свободен (изчакване);
S1- каналът е зает (заявката се обработва).
Ориз. един.Графика на състоянията на едноканален QS с повреди
Означаваме вероятностите на състоянията:
P 0 (t) -вероятността от състоянието "каналът е свободен";
P 1 (t)- вероятността от състоянието "каналът е зает".
Въз основа на обозначената графика на състоянието (фиг. 1), съставяме система от диференциални уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието:
(3)
Системата от линейни диференциални уравнения (3) има решение, като се вземе предвид условието за нормализиране = 1. Решението на тази система се нарича нестационарно, тъй като зависи пряко от t и изглежда така:
(4)
(5)
Лесно е да се провери, че за едноканален QS с повреди, вероятността Р 0 (t)не е нищо друго освен относителната производителност на системата р.
Наистина ли, P 0- вероятността в момент t каналът да е свободен и заявката да е пристигнала в момент t , ще бъдат обслужени и следователно за дадено време t средното съотношение на броя на обслужените заявки към броя на входящите заявки също е равно на , т.е.
q = . (6)
След дълъг интервал от време () се достига стационарен (устойчив) режим:
Познавайки относителната производителност, лесно е да се намери абсолютната. Абсолютна честотна лента (НО)- средният брой, който системата за масово обслужване може да обслужи за единица време:
Вероятността за отказ за обслужване на заявката ще бъде равна на вероятността за състояние "каналът е зает":
Тази стойност може да се тълкува като среден дял на необслужените заявления сред подадените.
Пример 1Нека едноканална QS с повреди представлява една дневна сервизна станция (OD) за измиване на автомобили. Приложението - кола, пристигнала в момент, когато постът е зает - е отказан сервиз. Дебит на превозното средство = 1,0 (превозно средство на час). Средното време за обслужване е 1,8 часа. Автомобилният поток и сервизният поток са най-простите.
Необходимо е да се определят граничните стойности в стабилно състояние:
относителна производителност q;
абсолютна честотна лента НО;
вероятност за повреда.
Сравнете действителната пропускателна способност на QS с номиналната, която би била, ако всяка кола беше обслужена точно 1,8 часа и колите следваха една след друга без прекъсване.
Решение
1. Нека определим интензивността на потока от услуги:
2. Нека изчислим относителната производителност:
Стойност розначава, че в стабилно състояние системата ще обслужва приблизително 35% от превозните средства, пристигащи на SW поста.
3. Абсолютната производителност се определя по формулата:
1 0,356 = 0,356.
Това означава, че системата (след SW) е в състояние да извърши средно 0,356 автомобилни услуги на час.
3. Вероятност за повреда:
Това означава, че на около 65% от автомобилите, пристигащи на SW поста, ще бъде отказано обслужване.
4. Нека определим номиналната производителност на системата:
(коли на час).
Оказва се, че 1,5 пъти повече от действителната пропускателна способност, изчислена, като се вземе предвид случайният характер на потока от приложения и времето за обслужване.
Едноканален QS с изчакване.Системата за масово обслужване има един канал. Входящият поток от заявки за услуги е най-простият поток с интензивност. Интензивността на потока от услуги е (т.е. средно непрекъснато зает каналще издава обслужвани приложения). Продължителността на услугата е случайна променлива, предмет на експоненциален закон за разпределение. Сервизният поток е най-простият Поасонов поток от събития. Заявка, която пристига в момент, когато каналът е зает, се поставя в опашка и чака обслужване.
Да предположим, че без значение колко заявки влизат на входа на обслужващата система, тази система (опашка + обслужвани клиенти) не може да поеме повече от N-изисквания (заявки), т.е. клиентите, които не чакат, са принудени да бъдат обслужени другаде. И накрая, източникът, който генерира заявки за услуги, има неограничен (безкрайно голям) капацитет.
Графиката на състоянието на QS в този случай има формата, показана на фиг. 2.
Ориз. 2.Графика на състоянията на едноканален QS с очакване
(схема на смъртта и размножаването)
QS състоянията имат следното тълкуване:
S 0 - каналът е свободен;
S 1 - каналът е зает (няма опашка);
S 2 - каналът е зает (една заявка е в опашката);
……………………
S n -каналът е зает (n - 1 заявки са в опашката);
…………………...
S N -каналът е зает (Н- 1 заявки са на опашката).
Стационарният процес в тази система ще бъде описан от следната система алгебрични уравнения:
П- държавен номер.
Решението на горната система от уравнения (10) за нашия QS модел има формата
(11)
Трябва да се отбележи, че изпълнението на условието за стационарност за тази QS не е необходимо, тъй като броят на заявките, допуснати до обслужващата система, се контролира чрез въвеждане на ограничение за дължината на опашката (която не може да надвишава н- 1), а не съотношението между интензитетите на входния поток, т.е. не съотношението
Да дефинираме характеристики на едноканален QSс чакане и ограничена дължина на опашката, равна на (Н- 1):
вероятност за отказ за обслужване на приложението:
(13)
относителна пропускателна способност на системата:
(14)
абсолютна честотна лента:
A = q 𝝀; (15)
среден брой приложения в системата:
(16)
Средно време на престой на приложение в системата:
средна продължителност на престоя на клиента (приложението) на опашката:
среден брой приложения (клиенти) в опашката (дължина на опашката):
L q= (1 - P N)W q .(19)
Помислете за пример за едноканален QS с изчакване.
Пример 2Специализиран диагностичен пост е едноканален QS. Броят на паркингите за чакащи за диагностика автомобили е ограничен и е равен на 3 [ (Н- 1) = 3]. Ако всички паркоместа са заети, т.е. вече има три коли на опашката, тогава следващата кола, пристигнала за диагностика, не влиза в сервизната опашка. Потокът от автомобили, пристигащи за диагностика, се разпределя по закона на Поасон и е с интензитет 𝝀 = 0,85 (автомобили на час). Времето за диагностика на автомобила е разпределено по експоненциалния закон и е средно 1,05 часа.
Задължително за дефинираневероятностни характеристики на диагностичния пост, работещ в стационарен режим.
Решение
1. Параметър на потока за поддръжка на автомобила:
.
2. Намалената интензивност на автомобилния поток се определя като съотношение на интензитетите 𝝀 и µ, т.е.
3. Нека изчислим крайните вероятности на системата:
4. Вероятността за отказ за обслужване на автомобила:
5. Относителна производителност на диагностичния пост:
6. Абсолютна пропускателна способност на диагностичния пост
НО= 𝝀 р= 0,85 0,842 = 0,716 (превозни средства на час).
7. Средният брой автомобили в експлоатация и на опашка (т.е. в системата за опашка):
8. Средно време, през което едно превозно средство остава в системата:
9. Средна продължителност на престоя на приложението в опашката за обслужване:
10. Среден брой заявления в опашката (дължина на опашката):
L q= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.
Работата на разглеждания диагностичен пост може да се счита за задоволителна, тъй като диагностичният пост не обслужва автомобили в средно 15,8% от случаите. (Р otk = 0,158).
Едноканален QS с изчакване без ограничение на капацитета на изчакващия блок(т.е.). Останалите условия за функциониране на QS остават непроменени.
Стационарният режим на работа на тази QS съществува за всяко n = 0, 1, 2,... и когато 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого П=0,1,2,…, има формата
Решението на тази система от уравнения има формата
Характеристиките на QS с едноканална латентност, без ограничение на дължината на опашката, са както следва:
среден брой клиенти (заявки) в системата за обслужване:
(22)
средна продължителност на престой на клиент в системата:
(23)
среден брой клиенти в опашката за обслужване:
Средна продължителност на времето, което клиент прекарва на опашка:
Пример 3Нека си припомним ситуацията, разгледана в пример 2, където говорим за функционирането на диагностичния пост. Нека разглежданият диагностичен пост има неограничен брой паркинги за автомобили, пристигащи за обслужване, т.е. дължината на опашката не е ограничена.
Необходимо е да се определят крайните стойности на следните вероятностни характеристики:
Вероятности за състояния на системата (диагностичен пост);
Средният брой автомобили в системата (в услуга и на опашка);
Средната продължителност на престоя на автомобила в системата (в сервиз и на опашка);
Средният брой автомобили в сервизната опашка;
4. Средна продължителност на престой на клиент в системата:
5. Среден брой автомобили в сервизната опашка:
6. Средно време, което една кола прекарва на опашка:
7. Относителна производителност на системата:
т.е. всяка заявка, която влезе в системата, ще бъде обслужена.
8 . Абсолютна честотна лента:
А= q = 0,85 1 = 0,85.
Трябва да се отбележи, че предприятие, което извършва диагностика на автомобили, се интересува преди всичко от броя на клиентите, които диагностичният пост ще посети, когато ограничението за дължината на опашката бъде премахнато.
Да речем в оригинална версияброят на паркоместата за пристигащи автомобили е три (виж пример 2). Честота Tситуации, когато кола, пристигаща на диагностичния пост, не може да се присъедини към опашката:
T= λP N .
В нашия пример, с N=3 + 1= 4 и ρ = 0,893,
t \u003d λ P 0ρ 4 \u003d 0,85 0,248 0,8934 \u003d 0,134 коли на час.
При 12-часов режим на работа на диагностичния пост това е еквивалентно на факта, че диагностичният пост средно на смяна (ден) ще загуби 12 0,134 = 1,6 превозни средства.
Премахването на ограничението за дължината на опашката дава възможност да се увеличи броят на обслужваните клиенти в нашия пример със средно 1,6 превозни средства на смяна (12 часа работа) на диагностичния пост. Ясно е, че решението за разширяване на зоната за паркиране на автомобили, пристигащи на диагностичния пункт, трябва да се основава на оценка на икономическите щети, причинени от загубата на клиенти само с три паркоместа за тези автомобили.
Подобна информация.
Кратка теория
Нека n-каналната система за масово обслужване (QS) получи най-простия поток от изисквания с интензивност. Продължителността на услугата е експоненциално разпределена със средното време на услугата. Ако всички обслужващи канали са заети, тогава новополучената заявка се нарежда на опашка за получени преди това необслужени заявки. Безплатният канал започва да обслужва следващата заявка от опашката. Нека да определим основните характеристики на работата на такава система. Тъй като броят на заявките в опашката може да бъде безкрайно голям, броят на системните състояния също може да бъде безкрайно голям.
Вероятността за свободно състояние на системата:
Последният израз е получен при условието , което е условието за стационарност на QS. В случай, че системата не успее да се справи с услугата, опашката расте за неопределено време. Отношението се означава с и се нарича ниво на натоварване на системата:
Нека дефинираме основните характеристики на многоканален QS с очакване. Вероятността да получите отказ е нула. Относителната производителност е стойност, която допълва вероятността за повреда до единица: . Абсолютна производителност. Нека определим средния брой заети канали: всеки зает канал обслужва заявки средно за единица време и цялата система обслужва заявки. Тогава:
Степен на заетост на обслужващите канали:
Образуването на опашка е възможно, когато новополучено искане намери поне n заявки в системата, т.е. когато в системата има , , заявки. Тези събития са независими, така че вероятността всички канали да са заети е равна на сумата от вероятностите , Следователно вероятността за формиране на опашка:
Средният брой клиенти на опашката може да се изчисли като математическото очакване чрез добавяне на произведенията на възможния брой клиенти и вероятността броят на клиентите да бъде на опашката:
Среден брой билети, свързани със системата:
Нека да определим средното време за изчакване на приложение в опашката. Опашката се образува, ако всички канали са заети. Тъй като скоростта на обслужване е , потокът от освободени канали има скорост . Ако заявката е пристигнала в момента, когато всички канали са заети и няма опашка, тогава времето за изчакване ще бъде средно , а ако намери една заявка в опашката, тогава и т.н. Намираме средното време на изчакване за приложенията в опашката, като сумираме продуктите на средното време на изчакване и съответната вероятност:
Средно време на престой на приложенията в системата:
Малки формули:
Среден брой неактивни канали за обслужване:
Коефициент на празен ход на канала:
Пример за решение на проблем
Задачата
В строителния склад работят четирима склададжии. Потокът от посетители е с интензитет 2 приложения в минута. Времето за обслужване има експоненциално разпределение със средно 1,5 минути на билет. Определете производителността на склада.
Ако имате нужда от платена помощ при учене с решаване на задачи, можете да прочетете за това подробно (как да оставите заявка, цени, условия, начини на плащане) на страницата Как да поръчате решаване на задача чрез оптимални методи за решение...
Решението на проблема
От това следва, че вероятността и четиримата склададжии да не работят е 0,05. Нека да определим други показатели за ефективност на системата.
Абсолютната пропускателна способност на склада, т.е. броят заявки, обслужени за единица време (приложения в минута). Среден брой на заетите складодържатели. Вероятността за образуване на опашка, т.е. вероятността в момента на заявката на клиента и четиримата складови служители да са заети:
Среден брой заявления в опашката:
Средно време на опашка:
Среден брой приложения в системата:
Средно време на престой на приложение в системата:
Среден брой неработещи склададжии:
Ако сроковете за доставка контролна работаизчерпване, тогава за парите на сайта можете да направите своята тестова работа по методите на оптимални решения.
Среденцената на решаването на контролната работа е 700 - 1200 рубли (но не по-малко от 300 рубли за цялата поръчка). Цената се влияе силно от спешността на решението (от дни до няколко часа). Цената на онлайн помощ в изпита / теста - от 1000 рубли. за решението за билети.
Всички въпроси относно цената можете да зададете директно в чата, след като спуснете условието на задачите и ви информираме за сроковете за решаването му. Времето за реакция е няколко минути.
Примери за свързани задачи
Многоканален QS с повреди
Дадена е необходимата теоретична информация, по-специално формулите на Erlang, както и примерно решение на задачата по темата "Многоканална система за масово обслужване с откази". Подробно са разгледани показателите на многоканална система за масово обслужване (QS) с откази - вероятността за отказ и вероятността за обслужване, абсолютната пропускателна способност на системата и средният брой канали, заети от обслужването на приложението.
Мрежово планиране - работен график
На примера за решаване на проблема, въпросите на конструирането мрежова графикаработи, намиране критична пътекаи критично време. Той също така показва изчисляването на параметрите и резервите на събития и работи - ранни и късни дати, общи (пълни) и частни резерви.
Междусекторен модел на Леонтиев
На примера за решаване на проблема се разглежда междусекторният модел на Леонтиев. Показано е изчисляването на матрицата на коефициентите на преките материални разходи, матрицата "вложени-изходящи", матрицата на коефициентите на непреките разходи, векторите на крайното потребление и брутната продукция.
Зареждане...