Тема. Теория на системите опашка.

Всяка QS се състои от определен брой сервизни единици, които се извикватобслужващи канали (това са машини, транспортни колички, роботи, комуникационни линии, касиери, продавачи и др.). Всеки QS е проектиран да обслужва някоипоток на приложението (изисквания), пристигащи в произволен момент.

Класификация на QS според метода на обработка на входния поток от приложения.

Системи за масово обслужване

С откази

(без опашка)

С опашка

Неограничена опашка

ограничена опашка

с приоритет

По ред на пристигане

Относителен приоритет

Абсолютен приоритет

По време на обслужване

По дължина на опашката

Класификация по начина на функциониране:

отворен, т.е. потокът от приложения не зависи от вътрешно състояние CMO;

затворен, т.е. входният поток зависи от състоянието на QS (един ремонтен работник обслужва всички канали, когато се повредят).

Многоканален QS с изчакване

Система с ограничена дължина на опашката. Обмисли канал QS с чакане, който получава поток от заявки с интензитет ; интензивност на услугата (за един канал) ; брой места в ред

Състоянията на системата са номерирани според броя на заявките, свързани от системата:

без опашка:

- всички канали са безплатни;

- един канал е зает, останалите са свободни;

- зает -канали, останалите не са;

- всички са заети - няма безплатни канали;

има опашка:

- всички n-канали са заети; едно приложение е на опашката;

- всички n-канали са заети, r-заявки в опашката;

- всички n-канали са заети, r-заявки в опашката.

GSP е показан на фиг. 9. Всяка стрелка има съответни интензитети на потоците от събития. Според стрелките отляво надясно, системата винаги се прехвърля от един и същ поток от приложения с интензивност , според стрелките отдясно наляво, системата се прехвърля от обслужващия поток, чийто интензитет е равен на умножено по броя на заетите канали.

Ориз. 9. Многоканален QS с изчакване

Вероятност за повреда.

(29)

Относителната производителност допълва вероятността за повреда до едно:

Абсолютна производителност на QS:

(30)

Среден брой заети канали.

Средният брой клиенти на опашката може да се изчисли директно като очаквана стойностотделен случайна величина:

(31)

където .

Тук отново (израз в скоби) има производна на сумата геометрична прогресия(вижте (23), (24) - (26) по-горе), използвайки връзката за него, получаваме:

Среден брой приложения в системата:

Средно време за изчакване на приложение на опашката.

(32)

Точно както в случая на едноканална чакаща QS, отбелязваме, че този израз се различава от израза за средната дължина на опашката само с фактора , т.е.

.

Средно време на престой на приложение в системата, същото като за едноканален QS .

Системи с неограничена дължина на опашка. Прегледахме канал QS с чакане, когато не повече от m-заявки могат да бъдат в опашката едновременно.

Както и преди, когато се анализират системи без ограничения, е необходимо да се вземат предвид отношенията, получени за .

Вероятност за повреда

Средният брой заявления в опашката ще бъде получен при от (31):

,

и средното време на изчакване е от (32): .

Среден брой приложения .

Пример 2 Бензиностанция с две колонки (n = 2) обслужва поток от автомобили с интензивност =0,8 (коли в минута). Средно време за обслужване на машина:

В района няма друга бензиностанция, така че опашката от автомобили пред бензиностанцията може да расте почти безкрайно. Намерете характеристиките на QS.

CMO с ограничено време за изчакване. Преди това разглеждахме системи с чакане, ограничено само от дължината на опашката (броя m-клиенти едновременно на опашката). В такъв QS иск, който е прераснал в опашка, не го напуска, докато не изчака услуга. В практиката се срещат QS от различен тип, при които приложението след изчакване известно време може да напусне опашката (т.нар. „нетърпеливи“ приложения).

Разгледайте QS от този тип, като приемем, че ограничението на времето за изчакване е случайна променлива.

Поасонов "поток от бягства" с интензивност:

Ако този поток е Поасон, тогава процесът, протичащ в QS, ще бъде Марков. Нека намерим вероятностите на състоянията за него. Номерирането на системните състояния е свързано с броя на заявките в системата - както обслужени, така и поставени на опашка:

без опашка:

- всички канали са безплатни;

- един канал е зает;

- два канала са заети;

- всички n-канали са заети;

има опашка:

- всички n-канала са заети, една заявка е в опашката;

- всички n-канали са заети, r-заявките са в опашката и т.н.

Графиката на състоянията и преходите на системата е показана на фиг. десет.

Ориз. 10. CMO с ограничено време за изчакване

Нека обозначим тази графика както преди; всички стрелки, водещи отляво надясно, ще имат интензивността на потока от приложения . За състояния без опашка, стрелките, водещи от тях отдясно наляво, както и преди, ще имат общата интензивност на обслужващия поток на всички заети канали. Що се отнася до състоянията с опашка, стрелките, водещи от тях отдясно наляво, ще имат общата интензивност на обслужващия поток на всички n-канали плюс съответния интензитет на потока от опашката. Ако има r-записи в опашката, тогава общата интензивност на потока от заминавания ще бъде равна на .

Среден брой заявления в опашката: (35)

За всяка от тези заявки има „изходящ поток“ с интензитет . Така че от средното - приложенията в опашката ще напуснат средно, без да чакат услуга, -приложения за единица време и общо за единица време ще бъдат обслужени средно - приложения. Относителната производителност на QS ще бъде:

Средно заети канали все още се получава чрез разделяне на абсолютната производителност на A на Затворен QS

Досега разглеждахме системи, при които входящият поток не е свързан по никакъв начин с изходящия. Такива системи се наричат ​​отворени. В някои случаи обслужваните заявки след забавяне отново влизат на входа. Такива QS се наричат ​​затворени. Поликлиника, обслужваща даден район, екип от работници, назначени към група машини, са примери за затворени системи.

В затворен QS циркулира същият краен брой потенциални изисквания. Докато потенциално изискване не бъде реализирано като изискване за услуга, то се счита, че е в блок за забавяне. В момента на внедряване той влиза в самата система. Например работници обслужват група машини. Всяка машина е потенциално изискване, което се превръща в реално в момента, в който се повреди. Докато машината работи, тя е в блока за забавяне, а от момента на повредата до края на ремонта е в самата система. Всеки работник е обслужващ канал. = =P 1 + 2 П 2 +...+(n- 1 )P н- 1 +n( 1 -П Входът на триканален QS с повреди получава поток от приложения с интензитет \u003d 4 заявки в минута, време за обслужване на приложение от един каналT обслужване=1/μ =0,5 мин. Изгодно ли е от гледна точка на пропускателната способност на QS да се принудят и трите канала да обслужват приложения наведнъж, а средното време за обслужване се намалява с фактор три? Как това ще повлияе на средното време, което едно приложение прекарва в CMO?

Пример 2 . /µ=2, ρ/н =2/3<1.

Задача 3:

Двама работници обслужват група от четири машини. Спиранията на работеща машина се случват средно след 30 минути. Средното време за настройка е 15 минути. Времето за работа и времето за настройка се разпределят експоненциално.

Намерете средния дял от свободното време за всеки работник и средното време, през което машината работи.

Намерете същите характеристики за система, където:

а) на всеки работник се заделят две машини;

б) двама работници винаги обслужват машината заедно и с двойна интензивност;

в) единствената неизправна машина се обслужва едновременно от двамата работници (с двоен интензитет), а когато се появи поне още една неизправна машина, те започват да работят поотделно, като всеки обслужва една машина (първо опишете системата от гледна точка на процесите на смърт и раждане).

Примери за решаване на проблеми на системи за масово обслужване

Необходимо е да се решат задачи 1–3. Изходните данни са дадени в табл. 2–4.

Някои обозначения, използвани в теорията на опашките за формули:

n е броят на каналите в QS;

λ е интензитетът на входящия поток от приложения P в;

v е интензитетът на изходящия поток заявки P out;

μ е интензитетът на потока от услуги P около;

ρ е индикаторът за натоварване на системата (трафик);

m е максималният брой места в опашката, който ограничава дължината на опашката от приложения;

i е броят на източниците на заявка;

p k е вероятността за k-то състояние на системата;

p o - вероятността от прекъсване на цялата система, т.е. вероятността всички канали да са свободни;

p syst е вероятността за приемане на приложение в системата;

p ref - вероятността за отхвърляне на приложението при приемането му в системата;

р около - вероятността приложението да бъде обслужено;

A е абсолютната производителност на системата;

Q е относителната производителност на системата;

Och - средният брой заявления в опашката;

Относно - среден брой заявки в обслужване;

Sist - среден брой приложения в системата;

Och - средно време за изчакване на заявка на опашката;

Tb - средно време на обслужване на заявката, отнасящо се само за обслужените заявки;

Sis е средното време на престой на приложение в системата;

Ozh - средното време, ограничаващо чакането на заявка на опашката;

е средният брой заети канали.

Абсолютната производителност на QS A е средният брой приложения, които системата може да обслужи за единица време.

Относителната пропускателна способност на QS Q е съотношението на средния брой приложения, обслужвани от системата за единица време, към средния брой приложения, получени през това време.

При решаване на проблеми с опашката е необходимо да се придържате към следната последователност:

1) определяне на типа QS съгласно табл. 4.1;

2) избор на формули в съответствие с вида на QS;

3) решаване на проблеми;

4) формулиране на изводи по проблема.

1. Схема на смъртта и размножаването.Знаем, че при дадена обозначена графика на състоянието можем лесно да напишем уравненията на Колмогоров за вероятностите на състоянието, както и да напишем и решим алгебрични уравнения за крайните вероятности. В някои случаи последните уравнения са успешни

реши предварително, буквално. По-специално, това може да се направи, ако графиката на състоянието на системата е така наречената "схема на смърт и възпроизвеждане".

Графиката на състоянието за схемата на смъртта и размножаването има формата, показана на фиг. 19.1. Особеността на тази графика е, че всички състояния на системата могат да бъдат начертани в една верига, в която всяко от средните състояния ( С 1 , С 2 ,…,С n-1) е свързан със стрелка напред и назад с всяко от съседните състояния - дясно и ляво, и крайните състояния (С 0 , С n) - само с една съседна държава. Терминът "схема на смъртта и размножаването" произхожда от биологични проблеми, където промяната в размера на популацията се описва с такава схема.

Схемата на смъртта и възпроизводството много често се среща в различни проблеми на практиката, по-специално - в теорията на опашката, затова е полезно веднъж завинаги да се намерят окончателните вероятности на състоянията за нея.

Да приемем, че всички потоци от събития, които пренасят системата по стрелките на графиката, са най-прости (за краткост ще наричаме системата Са протичащият в него процес – най-простият).

Използвайки графиката на фиг. 19.1, съставяме и решаваме алгебрични уравнения за крайните вероятности на състоянието), съществуването следва от факта, че от всяко състояние можете да отидете до всяко друго, броят на състоянията е краен). За първото състояние С 0 имаме:

(19.1)

За второто състояние S1:

Поради (19.1) последното равенство се свежда до вида

където кприема всички стойности от 0 до П.И така, окончателните вероятности p0, p1,..., p n удовлетворяват уравненията

(19.2)

освен това трябва да вземем предвид условието за нормализиране

стр 0 + стр 1 + стр 2 +…+ стр n=1. (19.3)

Нека решим тази система от уравнения. От първото уравнение (19.2) изразяваме стр 1 чрез Р 0 :

стр 1 = стр 0. (19.4)

От втория, като вземем предвид (19.4), получаваме:

(19.5)

От третото, като се вземе предвид (19.5),

(19.6)

и като цяло, за всякакви к(от 1 до н):

(19.7)

Нека обърнем внимание на формула (19.7). Числителят е произведението на всички интензитети по стрелките, водещи отляво надясно (от началото до даденото състояние С k), а в знаменателя - произведението на всички интензитети, стоящи при стрелките, водещи отдясно наляво (от началото до Sk).

По този начин всички вероятности на състоянието Р 0 , стр 1 , ..., р nизразено чрез един от тях ( Р 0). Нека заместим тези изрази в условието за нормализиране (19.3). Получаваме чрез поставяне в скоби Р 0:

следователно получаваме израза за Р 0 :

(вдигнахме скобите на степен -1, за да не пишем двуетажни дроби). Всички други вероятности се изразяват чрез Р 0 (виж формули (19.4) - (19.7)). Имайте предвид, че коефициентите за Р 0 във всяка от тях не са нищо повече от последователни членове на редицата след единицата във формулата (19.8). И така, изчисляване Р 0 , ние вече намерихме всички тези коефициенти.

Получените формули са много полезни при решаването на най-простите задачи от теорията на масовото обслужване.

^ 2. Малка формула.Сега извеждаме една важна формула, свързваща (за ограничителния стационарен режим) средния брой приложения Лсистеми, разположени в системата за опашка (т.е. обслужени или стоящи на опашка), и средното време, прекарано от приложението в системата Усист.

Нека разгледаме всеки QS (едноканален, многоканален, марковски, немарковски, с неограничена или ограничена опашка) и два потока от събития, свързани с него: потокът от клиенти, пристигащи в QS, и потокът от клиенти, напускащи QS QS. Ако в системата е установен ограничителен, стационарен режим, тогава средният брой заявки, пристигащи в QS за единица време, е равен на средния брой заявки, които я напускат: и двата потока имат еднаква интензивност λ.

Означават: X(t) -броя на приложенията, пристигнали в CMO преди момента T. Y(T) - броят на приложенията, които са напуснали CMO

до момента T.И двете функции са произволни и се променят рязко (увеличават се с единица) в момента на пристигането на заявките (Х(T)) и изпращане на заявки (Y(t)).Тип функции X(t) и Y(t)показано на фиг. 19.2; и двете линии са стъпаловидни, горната е X(t),нисък- Y(t).Очевидно за всеки момент Tтяхната разлика З(T)= X(t) - Y(t)не е нищо друго освен броя на приложенията в QS. Когато линиите X(t)и Y(t)сливане, няма заявки в системата.

Помислете за много дълъг период от време T(мислено продължавайки графиката далеч отвъд чертежа) и изчислете за нея средния брой приложения в QS. То ще бъде равно на интеграла на функцията Z(t)на този интервал, разделен на дължината на интервала T:

Лсист. = . (19.9) о

Но този интеграл не е нищо друго освен площта на фигурата, оцветена на фиг. 19.2. Нека да разгледаме добре тази рисунка. Фигурата се състои от правоъгълници, всеки от които има височина, равна на единица, и основа, равна на времето на престой в системата от съответния ред (първо, второ и т.н.). Нека отбележим тези времена t1, t2,...Вярно, в края на интервала Tнякои правоъгълници ще влязат в защрихованата фигура не изцяло, а частично, но с достатъчно голяма Tтези малки неща няма да имат значение. Следователно може да се счита, че

(19.10)

където сумата се отнася за всички заявления, получени през времето T.

Разделете дясната и лявата страна (.19.10) на дължината на интервала T.Получаваме, като вземем предвид (19.9),

Лсист. = . (19.11)

Разделяме и умножаваме дясната страна на (19.11) по интензитета X:

Лсист. = .

Но величината Tλне е нищо повече от средния брой заявления, получени през времето ^ Т.Ако разделим сбора на всички времена t iна средния брой приложения, тогава получаваме средното време на престой на приложението в системата Усист. Така,

Лсист. = λ Усист. ,

Усист. = . (19.12)

Това е прекрасната формула на Little: за всяко QS, за всякакво естество на потока от приложения, за всяко разпределение на времето за обслужване, за всяка дисциплина на обслужване средното време на престой на заявка в системата е равно на средния брой заявки в системата, разделен на интензивността на потока от заявки.

По абсолютно същия начин се извежда втората формула на Литъл, която свързва средното време, което приложението прекарва в опашката ^ W ochи средния брой приложения в опашката Лоч:

У och = . (19.13)

За изхода е достатъчно вместо долния ред на фиг. 19.2 вземете функция U(t)- броя на заявления, останали до момента Tне от системата, а от опашката (ако приложение, което е влязло в системата, не попадне в опашката, а веднага се обслужва, пак можем да считаме, че попада в опашката, но остава в нея нула време) .

Формулите на Литъл (19.12) и (19.13) играят важна роля в теорията на масовото обслужване. За съжаление, в повечето от съществуващите ръководства тези формули (доказани в обща форма сравнително наскоро) не са дадени 1).

§ 20. Най-простите системи за масово обслужване и техните характеристики

В този раздел ще разгледаме някои от най-простите QS и ще изведем изрази за техните характеристики (индикатори за ефективност). В същото време ще демонстрираме основните методически похвати, характерни за елементарната, „Марковска“ теория на масовото обслужване. Ние няма да преследваме броя QS проби, за които ще бъдат получени крайните изрази на характеристиките; тази книга не е ръководство по теория на масовото обслужване (подобна роля се изпълнява много по-добре от специални ръководства). Нашата цел е да запознаем читателя с някои "малки трикове", за да улесним пътя през теорията на опашките, която в редица налични (дори претендиращи за популярни) книги може да изглежда като разхвърляна колекция от примери.

Всички потоци от събития, които прехвърлят QS от състояние в състояние, в този раздел ще разгледаме най-простите (без да уточняваме това всеки път конкретно). Сред тях ще бъде и т. нар. „обслужващ поток“. Това означава поток от заявки, обслужван от един непрекъснато зает канал. В този поток интервалът между събитията, както винаги в най-простия поток, има експоненциално разпределение (много ръководства вместо това казват: „времето за обслужване е експоненциално“, ние самите ще използваме този термин в бъдеще).

1) В популярна книга е дадено малко по-различно в сравнение с горното извеждане на формулата на Литъл. Като цяло, запознаването с тази книга („Втори разговор“) е полезно за първоначално запознаване с теорията на опашките.

В този раздел експоненциалното разпределение на времето за обслужване ще се приеме за даденост, както винаги за „най-простата“ система.

В хода на презентацията ще представим характеристиките на ефективността на разглежданата QS.

^ 1. П-канал QS с повреди(Проблем с Erlang). Тук разглеждаме един от първите във времето "класически" проблеми на теорията на масовото обслужване;

този проблем възниква от практическите нужди на телефонията и е решен в началото на нашия век от датския математик Ерлант. Задачата е поставена по следния начин: има Пканали (комуникационни линии), които приемат поток от приложения с интензитет λ. Сервизният поток има интензитет μ (реципрочната стойност на средното време за обслужване Tотносно). Намерете крайните вероятности за състоянията на QS, както и характеристиките на неговата ефективност:

^A-абсолютна производителност, т.е. средният брой приложения, обслужени за единица време;

Q-относителна производителност, т.е. средният дял на входящите заявки, обслужвани от системата;

^ Р отк- вероятността от неуспех, т.е. фактът, че приложението ще остави QS необслужен;

к-среден брой заети канали.

Решение. Състояния на системата ^S(QS) ще бъдат номерирани според броя на заявките в системата (в този случай той съвпада с броя на заетите канали):

S 0 -няма приложения в CMO,

S 1 -има една заявка в QS (един канал е зает, останалите са свободни),

Sk-в SMO е кприложения ( кканалите са заети, останалите са свободни),

S n -в SMO е Пприложения (всички нканалите са заети).

Графиката на състоянието на QS съответства на схемата на смъртта при репродукция (фиг. 20.1). Нека маркираме тази графика - поставете интензитета на потоците на събитията близо до стрелките. от С 0 инча S1системата се прехвърля от поток от заявки с интензитет λ (веднага щом пристигне заявка, системата скача от S0в S1).Същият поток от приложения превежда

Система от всяко ляво състояние до съседно дясно състояние (вижте горните стрелки на Фигура 20.1).

Нека да намалим интензитета на долните стрелки. Нека системата е в държавата ^S 1 (един канал работи). Произвежда μ услуги за единица време. Слагаме стрелката С 1 →С 0 интензитет μ. Сега си представете, че системата е в държавата S2(работят два канала). За да отиде при нея S 1,необходимо е или първият канал, или вторият, да завършат обслужването; общата интензивност на техните обслужващи потоци е 2μ; поставете го на съответната стрелка. Общият обслужващ поток, даден от трите канала, има интензитет от 3μ, кканали - км.Поставяме тези интензитети в долните стрелки на фиг. 20.1.

И сега, знаейки всички интензитети, ще използваме готовите формули (19.7), (19.8) за крайните вероятности в схемата на смъртта и размножаването. Съгласно формулата (19.8) получаваме:

Условия на разлагане ще бъдат коефициентите за p 0в изрази за p1

Обърнете внимание, че формулите (20.1), (20.2) не включват интензитетите λ и μ поотделно, а само като отношение λ/μ. Обозначете

λ/μ = ρ (20.3)

И ние ще наречем стойността на p "намалената интензивност на потока от приложения." Значението му е средният брой заявки, пристигащи за средното време за обслужване на една заявка. Използвайки тази нотация, пренаписваме формулите (20.1), (20.2) във формата:

Формулите (20.4), (20.5) за вероятностите за крайно състояние се наричат ​​формули на Ерланг - в чест на основателя на теорията за масовото обслужване. Повечето от другите формули на тази теория (днес ги има повече от гъби в гората) не носят специални имена.

Така се намират крайните вероятности. Въз основа на тях ще изчислим характеристиките на ефективност на QS. Първо намираме ^ Р отк. - вероятността входящата заявка да бъде отказана (няма да бъде обслужена). За това е необходимо всички Пканалите бяха заети, така че

Р otk = Р n = . (20.6)

От тук намираме относителната производителност - вероятността приложението да бъде обслужено:

Q = 1 - Потворен = 1 - (20,7)

Получаваме абсолютната производителност, като умножим интензивността на потока от заявки λ по Q:

A = λQ = λ. (20.8)

Остава само да се намери средният брой заети канали к.Тази стойност може да бъде намерена "директно", като математическото очакване на дискретна случайна променлива с възможни стойности 0, 1, ..., Пи вероятностите на тези стойности p 0 p 1 , ..., p n:

к = 0 · p 0 +един · p 1 + 2 · p 2 + ... + n · p n .

Замествайки тук изрази (20.5) за Рк, (k = 0, 1, ..., П)и извършвайки подходящите трансформации, в крайна сметка ще получим правилната формула за к.Но ние ще го извлечем много по-лесно (ето го, един от „малките трикове“!) Всъщност знаем абсолютната производителност НО.Това не е нищо друго освен интензивността на потока от приложения, обслужвани от системата. Всеки зает i .shal за единица време обслужва средно |l заявки. Така че средният брой на заетите канали е

k = A/μ, (20.9)

или, като се има предвид (20.8),

k = (20.10)

Насърчаваме читателя сам да разработи примера. Има комуникационна станция с три канала ( н= 3), интензивността на потока от приложения λ = 1,5 (приложения в минута); средно време за обслужване на заявка T v = 2 (мин.), всички потоци на събития (както в целия този параграф) са най-простите. Намерете вероятностите за крайно състояние и характеристиките на ефективността на QS: A, Q, Pотк, к.За всеки случай, ето и отговорите: стр 0 = 1/13, стр 1 = 3/13, стр 2 = 9/26, стр. 3 = 9/26 ≈ 0,346,

НО≈ 0,981, Q ≈ 0,654, Потворен ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

От отговорите между другото се вижда, че нашият CMO е до голяма степен претоварен: от три канала средно около два са заети, а около 35% от входящите заявки остават необслужени. Каним читателя, ако е любопитен и не мързелив, да разбере: колко канала ще са необходими, за да се задоволят поне 80% от входящите заявления? И какъв дял от каналите ще бъдат неактивни в същото време?

Вече има някакъв намек за оптимизация.Всъщност съдържанието на всеки канал за единица време струва определена сума. В същото време всяко обслужвано приложение носи известен доход. Умножете този доход по средния брой приложения НО,обслужени за единица време, ще получим средния доход от CMO за единица време. Естествено, с увеличаване на броя на каналите, този доход расте, но разходите, свързани с поддръжката на каналите, също растат. Какво ще надделее - увеличение на приходите или разходите? Зависи от условията на операцията, от "таксата за обслужване на заявката" и от разходите за поддръжка на канала. Познавайки тези стойности, можете да намерите оптималния брой канали, най-рентабилните. Няма да решим такъв проблем, оставяйки същия „не мързелив и любопитен читател“ да измисли пример и да го реши. Като цяло измислянето на проблеми развива повече от решаването на вече зададени от някого.

^ 2. Едноканален QS с неограничена опашка.На практика едноканален QS с опашка е доста често срещан (лекар, обслужващ пациенти; телефонен автомат с една кабина; компютър, изпълняващ потребителски поръчки). В теорията на масовото обслужване едноканалните QS с опашка също заемат специално място (повечето от получените досега аналитични формули за немарковски системи принадлежат към такива QS). Затова ще обърнем специално внимание на едноканалните QS с опашка.

Нека има едноканална QS с опашка, върху която не се налагат ограничения (нито за дължината на опашката, нито за времето за изчакване). Този QS получава поток от заявки с интензитет λ ; потокът на услугата има интензитет μ, който е обратен на средното време за обслужване на заявката Tотносно. Необходимо е да се намерят крайните вероятности на състоянията на QS, както и характеристиките на неговата ефективност:

Лсист. - среден брой приложения в системата,

Усист. - средно време на престой на приложението в системата,

^L och- среден брой заявления в опашката,

Уоч - средното време, което едно приложение прекарва в опашката,

Пзан - вероятността каналът да е зает (степента на натоварване на канала).

Що се отнася до абсолютната производителност НОи роднина Q,тогава няма нужда да ги изчислявате:

поради факта, че опашката е неограничена, всяко приложение ще бъде обслужено рано или късно, следователно A \u003d λ,по същата причина Q= 1.

Решение. Състоянията на системата, както и досега, ще бъдат номерирани според броя на приложенията в QS:

С 0 - каналът е безплатен

С 1 - каналът е зает (обслужва заявката), няма опашка,

С 2 - каналът е зает, една заявка е в опашката,

С k - каналът е зает, к- 1 заявки са на опашка,

Теоретично броят на състоянията не е ограничен от нищо (безкрайно). Графиката на състоянието има формата, показана на фиг. 20.2. Това е схема на смърт и размножаване, но с безкраен брой състояния. Според всички стрелки потокът от заявки с интензитет λ прехвърля системата отляво надясно, а отдясно наляво - потокът от услуги с интензитет μ.

Първо, нека се запитаме има ли крайни вероятности в този случай? В крайна сметка броят на състоянията на системата е безкраен и по принцип при t → ∞опашката може да расте за неопределено време! Да, вярно е: крайните вероятности за такава QS не винаги съществуват, а само когато системата не е претоварена. Може да се докаже, че ако ρ е строго по-малко от едно (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при T→ ∞ расте безкрайно. Този факт изглежда особено „неразбираем“ за ρ = 1. Изглежда, че няма невъзможни изисквания към системата: по време на обслужването на една заявка пристига средно една заявка и всичко трябва да е наред, но в действителност не е. При ρ = 1 QS се справя с потока от заявки само ако този поток е регулярен и времето за обслужване също не е произволно, равно на интервала между заявките. В този "идеален" случай изобщо няма да има опашка в QS, каналът ще бъде постоянно зает и редовно ще издава обслужвани заявки. Но веднага щом потокът от заявки или потокът от услуги станат поне малко произволни, опашката вече ще расте за неопределено време. На практика това не се случва само защото "безкраен брой приложения в опашката" е абстракция. Това са грубите грешки, до които може да доведе замяната на случайни величини с техните математически очаквания!

Но да се върнем към нашия едноканален QS с неограничена опашка. Строго погледнато, формулите за крайните вероятности в схемата на смъртта и размножаването са изведени от нас само за случая на краен брой състояния, но нека си позволим свобода - ще ги използваме за безкраен брой състояния. Нека изчислим крайните вероятности на състоянията по формули (19.8), (19.7). В нашия случай броят на членовете във формула (19.8) ще бъде безкраен. Получаваме израз за p 0:

стр 0 = -1 =

\u003d (1 + p + p 2 + ... + p k + ... .) -1. (20.11)

Редът във формула (20.11) е геометрична прогресия. Знаем, че за ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний p 0 , p 1 , ..., p k , ...съществува само за r<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

стр 0 = 1 - p. (20.12)

Вероятности p 1 , p 2 , ..., p k ,... може да се намери по формулите:

p1 = ρ p 0 , p 2= ρ2 p 0 ,…,p k = ρ p0, ...,

Откъдето, като вземем предвид (20.12), най-накрая намираме:

p1= ρ (1 - ρ), p2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k =ρ к(1 - p), . . .(20.13)

Както можете да видите, вероятностите p0, p1, ..., p k , ...образуват геометрична прогресия със знаменател p. Колкото и да е странно, най-големият от тях p 0 -вероятността каналът изобщо да бъде безплатен. Колкото и да е натоварена системата с опашката, стига изобщо да може да се справи с потока от приложения (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Намерете средния брой приложения в QS ^L сист. . Тук трябва да побърникате малко. Случайна стойност Z-брой заявки в системата - има възможни стойности 0, 1, 2, .... к, ...с вероятности p0, p 1 , p 2 , ..., p k , ...Математическото му очакване е

Лсистема = 0 p 0 +един · стр 1 + 2 стр 2 +…+к · стр k +…= (20,14)

(сумата се взема не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, тъй като нулевият член е равен на нула).

Заместваме във формула (20.14) израза за p k (20.13):

Лсист. =

Сега изваждаме знака на сумата ρ (1-ρ):

Лсист. = ρ(1-ρ)

Тук отново прилагаме „малкия трик“: кρ к-1 не е нищо друго освен производната по отношение на ρ на израза ρ к; означава,

Лсист. = ρ(1-ρ)

Чрез размяна на операциите диференциране и сумиране получаваме:

Лсист. = ρ (1-ρ) (20.15)

Но сумата във формула (20.15) не е нищо друго освен сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член ρ и знаменателя ρ; тази сума

равно на , и неговата производна , Замествайки този израз в (20.15), получаваме:

Лсистема =. (20.16)

Е, сега нека приложим формулата на Литъл (19.12) и да намерим средното време на престой на приложение в системата:

Усист = (20.17)

Намерете средния брой приложения в опашката Лоч. Ще аргументираме следното: броят на приложенията в опашката е равен на броя на приложенията в системата минус броя на приложенията в процес на обслужване. Така че (според правилото за добавяне на математически очаквания), средният брой приложения в опашката Л pt е равен на средния брой приложения в системата Л syst минус средния брой заявки в процес на обслужване. Броят на обслужваните заявки може да бъде нула (ако каналът е свободен) или едно (ако е зает). Математическото очакване на такава случайна променлива е равно на вероятността каналът да е зает (означихме го Рзан). очевидно, Р zan е равно на едно минус вероятността p 0че канала е безплатен:

Рзан = 1 - Р 0 = p. (20.18)

Следователно средният брой заявки в услуга е равен на

^L около= ρ, (20.19)

Л och = Лсист – ρ =

и накрая

Л pt = (20,20)

Използвайки формулата на Литъл (19.13), намираме средното време, което приложението прекарва в опашката:

(20.21)

Така са открити всички характеристики на ефективността на QS.

Нека предложим на читателя сам да реши един пример: едноканална QS е железопътна разпределителна гара, която получава най-простия поток от влакове с интензивност λ = 2 (влакове на час). Служба (разпускане)

композицията продължава произволно (демонстративно) време със средна стойност t около = 20(мин.). В парка за пристигане на гарата има две коловози, на които пристигащите влакове могат да чакат за обслужване; ако и двата коловоза са заети, влаковете са принудени да чакат на външните коловози. Необходимо е да се намери (за ограничителния, стационарен режим на работа на гарата): среден, брой влакове лсистема, свързана със станцията, средно време Усистема за престой на влака в гарата (на вътрешни коловози, на външни коловози и в ремонт), среден брой Лточки влакове, чакащи на опашка за разпускане (няма значение на кои коловози), средно време УТочки оставане състав в списъка на чакащите. Освен това се опитайте да намерите средния брой влакове, чакащи да бъдат разпуснати на външните коловози. Лвъншно и средното време на това чакане Увъншни (последните две количества са свързани с формулата на Литъл). И накрая, намерете общата дневна глоба W, която гарата ще трябва да плати за демюрейдж на влакове по външни коловози, ако гарата плати глоба a (рубли) за един час демюрейдж на един влак. За всеки случай, ето и отговорите: Лсист. = 2 (състав), Усист. = 1 (час), Лточки = 4/3 (състав), У pt = 2/3 (часа), Лвъншен = 16/27 (състав), Увъншен = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средната дневна санкция W за чакане на влакове по външни коловози се получава чрез умножаване на средния брой влакове, пристигащи на гарата на ден, средното време за чакане на влакове по външни коловози и часовата глоба а: W ≈ 14,2 а.

^ 3. Повторно канализиране на QS с неограничена опашка.Напълно подобен на проблем 2, но малко по-сложен, проблемът на н-канал QS с неограничена опашка. Номерацията на състоянията отново е според броя на приложенията в системата:

S0- няма приложения в CMO (всички канали са безплатни),

S 1 -един канал е зает, останалите са свободни,

S2-два канала са заети, останалите са свободни,

S k- зает кканали, останалите са безплатни,

S n- всички са заети Пканали (без опашка),

Sn+1- всички са заети нканали, едно приложение е в опашката,

S n+r -зает тегло Пканали, rприложенията са на опашка

Графиката на състоянието е показана на фиг. 20.3. Каним читателя да разгледа и обоснове стойностите на интензитетите, посочени със стрелките. Графика фиг. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

има схема на смърт и размножаване, но с безкраен брой състояния. Нека посочим без доказателство естественото условие за съществуването на крайни вероятности: ρ/ н<1. Если ρ/н≥ 1, опашката расте до безкрайност.

Да приемем, че условието ρ/ н < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для p 0ще има поредица от членове, съдържащи факториели, плюс сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател ρ/ н. Обобщавайки го, намираме

(20.22)

Сега нека намерим характеристиките на ефективността на QS. От тях най-лесно е да намерите средния брой заети канали к== λ/μ, = ρ (това обикновено е вярно за всяка QS с неограничена опашка). Намерете средния брой приложения в системата Лсистема и средния брой приложения в опашката Лоч. От тях е по-лесно да се изчисли второто според формулата

Л och =

извършване на съответните трансформации според образеца на задача 2

(с диференциране на серията), получаваме:

Л och = (20.23)

Добавяне към него на средния брой обслужвани приложения (това е и средният брой на заетите канали) k =ρ, получаваме:

Лсистема = Л och + ρ. (20.24)

Разделяне на изрази за Лох и Лсистема върху λ , използвайки формулата на Литъл, получаваме средното време на престой на приложение в опашката и в системата:

(20.25)

Сега нека решим един интересен пример. Железопътна билетна каса с две гишета е двуканална QS с неограничена опашка, която се установява незабавно до две гишета (ако единият прозорец е свободен, следващият пътник на опашката го взема). Касата продава билети на две точки: А и AT.Интензивността на потока от заявления (пътници, които искат да закупят билет) за двете точки А и Бе една и съща: λ A = λ B = 0,45 (пътник в минута), като общо те образуват общ поток от заявки с интензитет λ A + λB = 0,9. Един касиер отделя средно две минути за обслужване на пътник. Опитът показва, че опашките се натрупват пред гишето, пътниците се оплакват от бавното обслужване. НОи в AT,създайте две специализирани каси (по един прозорец във всяка), продавайки билети един - само до точката НО, другото - само до точката AT.Разумността на това предложение е спорна - някои твърдят, че опашките ще останат същите. Необходимо е да се провери полезността на предложението чрез изчисление. Тъй като можем да изчислим характеристиките само за най-простия QS, нека приемем, че всички потоци от събития са най-простите (това няма да повлияе на качествената страна на заключенията).

Добре тогава, да се заемем с работата. Нека разгледаме два варианта за организиране на продажба на билети - съществуващият и предложеният.

Вариант I (съществуващ). Двуканален QS получава поток от приложения с интензитет λ = 0,9; поддържащ интензитет на потока μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l.8. Тъй като ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим p 0 ≈ 0,0525. Средният брой заявления в опашката се намира по формулата (20.23): L och ≈ 7.68; средното време, прекарано от клиента на опашката (според първата от формулите (20.25)), е равно на Уточки ≈ 8,54 (мин.).

Вариант II (предложен). Необходимо е да се вземат предвид две едноканални QS (два специализирани прозореца); всеки получава поток от заявки с интензитет λ = 0,45; μ . все още е равно на 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) Л och = 8,1.

Ето един за вас! Дължината на опашката, оказва се, не само не е намаляла, но се е увеличила! Може би средното време на чакане на опашката е намаляло? Да видим. Деля Лточки на λ = 0,45, получаваме Уточки ≈ 18 (минути).

Това е рационализацията! Вместо да намалява, както средната дължина на опашката, така и средното време на чакане в нея се увеличават!

Нека се опитаме да отгатнем защо се случи това? След като се замислихме, стигаме до извода: това се случи, защото при първия вариант (двуканален QS) средната част от времето, през което всеки от двамата касиери бездейства, е по-малка: ако той не е зает да обслужва пътник, който купува билет до точката НО,той може да се погрижи за пътника, който си купува билет до пункта AT,и обратно. Във втория вариант няма такава взаимозаменяемост: незаетият касиер просто седи безучастно...

добре , добре, - читателят е готов да се съгласи, - увеличението може да се обясни, но защо е толкова значително? Има ли грешна сметка тук?

И ние ще отговорим на този въпрос. Няма грешка. Фактът , че в нашия пример и двата QS работят на границата на възможностите си; струва си леко да се увеличи времето за обслужване (т.е. да се намали μ), тъй като те вече няма да се справят с потока от пътници и опашката ще започне да расте за неопределено време. А „допълнителният престой“ на касиера в известен смисъл е еквивалентен на намаляване на неговата производителност μ.

Така резултатът от изчисленията, който на пръв поглед изглежда парадоксален (или дори просто неверен), се оказва правилен и обясним.

Този вид парадоксални заключения, причината за които никак не е очевидна, е богата в теорията на опашките. Самият автор многократно трябваше да бъде "изненадан" от резултатите от изчисленията, които по-късно се оказаха верни.

Размишлявайки върху последната задача, читателят може да постави въпроса по следния начин: в крайна сметка, ако касата продава билети само до една точка, тогава, естествено, времето за обслужване трябва да намалее, добре, не наполовина, но поне малко, но си мислехме, че все още е средната стойност 2 (мин.). Каним такъв придирчив читател да отговори на въпроса: колко трябва да се намали, за да стане печелившо „предложението за рационализация“? Отново срещаме, макар и елементарен, но все пак оптимизационен проблем. С помощта на приблизителни изчисления, дори и на най-простите модели на Марков, е възможно да се изясни качествената страна на явлението - как е изгодно да се действа и как е неизгодно. В следващия раздел ще представим някои елементарни немарковски модели, които допълнително ще разширят нашите възможности.

След като читателят се запознае с методите за изчисляване на вероятностите на крайното състояние и характеристиките на ефективност за най-простата QS (той е усвоил схемата за смърт и възпроизвеждане и формулата на Little), могат да му бъдат предложени още две прости QS за независимо разглеждане.

^ 4. Едноканален QS с ограничена опашка.Проблемът се различава от проблем 2 само по това, че броят на заявките в опашката е ограничен (не може да надвишава някои зададени T).Ако пристигне нова заявка в момента, когато всички места в опашката са заети, тя оставя QS необслужена (отхвърлена).

Необходимо е да се намерят крайните вероятности на състоянията (между другото, те съществуват в този проблем за всяко ρ - в края на краищата броят на състоянията е краен), вероятността за повреда Р otk, абсолютна честотна лента НО,вероятността каналът да е зает Р zan, средна дължина на опашката Л och, средният брой приложения в CMO Лсист , средно време за чакане на опашка Уоч , средно време на престой на приложение в CMO Усист. Когато изчислявате характеристиките на опашката, можете да използвате същата техника, която използвахме в Задача 2, с тази разлика, че е необходимо да се обобщи не безкрайна прогресия, а крайна.

^ 5. Затворен контур QS с един канал и мизточници на приложения.За конкретност нека поставим задачата в следната форма: служи един работник Tмашини, всяка от които изисква настройка (корекция) от време на време. Интензитетът на потока на търсенето на всяка работна машина е равен на λ . Ако машината не работи в момента, когато работникът е свободен, той веднага отива в сервиз. Ако той не работи в момента, когато работникът е зает, той се нарежда на опашка и чака работникът да се освободи. Средно време за настройка Tоборот = 1/μ. Интензивността на потока от заявки, идващи към работника, зависи от това колко машини работят. Ако работи кмашинни инструменти, то е равно на кλ. Намерете вероятностите за крайно състояние, средния брой работещи машини и вероятността работникът да бъде зает.

Имайте предвид, че в този QS крайните вероятности

ще съществува за всякакви стойности на λ и μ = 1/ T o, тъй като броят на състоянията на системата е краен.

Доста често, когато се анализират икономическите системи, се налага да се решават така наречените проблеми с опашката, които възникват в следната ситуация. Нека се анализира системата за поддръжка на автомобили, състояща се от определен брой станции с различен капацитет. На всяка станция (системен елемент) могат да възникнат поне две типични ситуации:

1. броят на приложенията е твърде голям за тази станция, има опашки и трябва да плащате за забавяне на услугата;
2. станцията получава твърде малко заявки и сега вече е необходимо да се вземат предвид загубите, причинени от престой на станцията.

Ясно е, че целта на системния анализ в този случай е да се определи някаква връзка между загубите на приходи поради опашкии загуби поради само азстанции.

Теория на опашките- специален раздел от теорията на системите е раздел от теорията на вероятностите, в който системите за масово обслужване се изучават с помощта на математически модели.

Система за опашка (QS)- това е модел, който включва: 1) произволен поток от изисквания, обаждания или клиенти, нуждаещи се от услуга; 2) алгоритъма за изпълнение на тази услуга; 3) канали (устройства) за поддръжка.

Примери за CMO са каси, бензиностанции, летища, търговци, фризьори, лекари, телефонни централи и други съоръжения, които обслужват определени приложения.

Проблем с теорията на опашкатасе състои в разработване на препоръки за рационално изграждане на QS и рационална организация на тяхната работа, за да се осигури висока ефективност на обслужването при оптимални разходи.

Основната характеристика на проблемите от този клас е очевидната зависимост на резултатите от анализа и получените препоръки от два външни фактора: честотата на получаване и сложността на поръчките (и следователно времето на тяхното изпълнение).

Предметът на теорията на опашките е да установи връзката между характера на потока от заявки, производителността на отделен обслужващ канал, броя на каналите и ефективността на обслужването.

Като QS характеристикиразглеждан:

• средният процент заявления, които са отхвърлени и оставят системата необслужена;
• средно време на престой на отделни канали и системата като цяло;
• средно време на чакане на опашка;
• вероятността полученото заявление да бъде незабавно обслужено;
• закон за разпределение на дължината на опашката и други.

Добавяме, че заявките (изискванията) влизат в QS произволно (в произволни моменти), с точки на кондензация и разреждане. Времето за обслужване за всяка заявка също е произволно, след което каналът за обслужване се освобождава и е готов да изпълни следващата заявка. Всеки QS, в зависимост от броя на каналите и тяхната производителност, има определен капацитет. SMO пропускателна способностможе би абсолютен(среден брой заявления, обслужени за единица време) и роднина(средно отношение на броя обслужени заявления към броя на подадените).

3.1 Модели на системи за масово обслужване.

Всяка QS може да се характеризира с израза: (а б В Г Д Е) , където

а - разпределение на входния поток от приложения;

b - разпределение на изходящия поток от приложения;

° С – конфигурация на сервизния механизъм;

д – дисциплина на опашката;

д – чакащ блок;

f е капацитетът на източника.

Сега нека разгледаме по-отблизо всяка функция.

Входящ поток от приложения- броя на заявления, получени от системата. Характеризира се с интензивността на входящия поток л.

Изходен поток от приложения– броя на приложенията, обслужвани от системата. Характеризира се с интензивността на изходящия поток м.

системна конфигурацияпредполага общия брой канали и обслужващи възли. SMO може да съдържа:

1. един каналуслуги (една писта, един доставчик);
2. един канал за обслужване, включително множество серийни възли(столова, клиника, конвейер);
3. няколко подобни каналауслуги, свързани паралелно (бензиностанции, информационно бюро, ж.п. гара).

По този начин могат да се разграничат едно- и многоканални QS.

От друга страна, ако всички обслужващи канали в QS са заети, тогава приближеното приложение може да остане в опашката или да напусне системата (например спестовна банка и телефонна централа). В този случай говорим за системи с опашка (изчакване) и системи с откази.

Завъртетее набор от приложения, които са влезли в системата за обслужване и очакват обслужване. Опашката се характеризира с дължината на опашката и нейната дисциплина.

Дисциплина на опашкатае правилото за обслужване на заявки от опашката. Основните видове опашки включват следното:

1. PERPPO (първи дошъл, първи обслужен) е най-често срещаният тип;
2. POSPPO (дошъл последен - първи обслужен);
3. SOP (произволен избор на приложения) - от базата данни.
4. PR - приоритетно обслужване.

Дължина на опашкатаможе би

• неограничен - тогава се говори за система с чисто очакване;
• равно на нула - тогава се говори за система с повреди;
• ограничена по дължина (система от смесен тип).

чакащ блок– "капацитет" на системата - общият брой заявки в системата (на опашка и на обслужване). По този начин, e=c+д.

Капацитет на източникакойто генерира заявки за услуги, е максималният брой заявки, които могат да влязат в QS. Например на летище капацитетът на източника е ограничен от броя на всички съществуващи самолети, а капацитетът на източника на телефонна централа е равен на броя на жителите на Земята, т.е. може да се счита за неограничен.

Броят на QS моделите съответства на броя на възможните комбинации от тези компоненти.

3.2 Входящ поток от изисквания.

С всеки отрязък от време а, а+ T ], нека асоциираме случайна променлива х, равен на броя заявки, получени от системата за времето T.

Потокът от заявки се извиква стационарен, ако законът за разпределение не зависи от началната точка на интервала а, но зависи само от дължината на дадения интервал T. Например потокът от приложения към телефонната централа през деня ( T\u003d 24 часа) не може да се счита за неподвижен, но от 13 до 14 часа ( T\u003d 60 минути) - можете.

Потокът се нарича няма последействие, ако историята на потока не влияе върху получаването на изисквания в бъдеще, т.е. изискванията са независими едно от друго.

Потокът се нарича обикновени, ако не повече от една заявка може да влезе в системата за много кратък период от време. Например потокът към фризьора е обикновен, но не и към службата по вписванията. Но ако като случайна променлива хпомислете за двойки приложения, влизащи в службата по вписванията, тогава такъв поток ще бъде обикновен (т.е. понякога извънреден поток може да бъде намален до обикновен).

Потокът се нарича най-простият, ако е стационарен, без последействие и обикновен.

Основна теорема.Ако потокът е най-простият, тогава r.v. X [ a . а + T] се разпределя по закона на Поасон, т.е. .

Следствие 1. Най-простият поток се нарича още поток на Поасон.

Следствие 2. М(х)= М(Х [ а , а + T ] )= лT, т.е. по време на T лTприложения. Следователно за една единица време системата получава средно лприложения. Тази стойност се нарича интензивноствходен поток.

Помислете за ПРИМЕР .

Студиото получава средно по 3 заявки на ден. Ако приемем, че потокът е най-простият, намерете вероятността броят на заявките да бъде поне 5 през следващите два дни.

Решение.

Според задачата, л=3, T=2 дни, входен поток на Поасон, н ³5. при решаването е удобно да се въведе обратното събитие, което се състои в това, че през времето Tще бъдат получени по-малко от 5 заявления. Следователно, според формулата на Поасон, получаваме

^

3.3 Състояние на системата. Матрица и графика на преходите.

В случаен момент QS преминава от едно състояние в друго: променя се броят на заетите канали, броят на заявките и опашките и т.н.. Така QS с нканали и дължина на опашката, равна на м, може да бъде в едно от следните състояния:

д 0 – всички канали са безплатни;

д 1 – един канал е зает;

д н– всички канали са заети;

д н +1 – всички канали са заети и една заявка е на опашката;

д н + м– всички канали и всички места в опашката са заети.

Подобна система с повреди може да бъде в държави д 0 – д н .

За QS с чисто очакване има безкраен набор от състояния. По този начин, състояние д н QS по време T е количеството н приложения (изисквания), които са в системата в даден момент, т.е. н= н(T) - произволна стойност, д н (T) са резултатите от тази случайна променлива и П н (T) е вероятността системата да е в състояние д н .

Вече сме запознати със състоянието на системата. Имайте предвид, че не всички състояния на системата са еквивалентни. Състоянието на системата се нарича източникако системата може да излезе от това състояние, но не може да се върне към него. Състоянието на системата се нарича изолиран,ако системата не може да излезе или да влезе в това състояние.

За визуализиране на изображенията на състоянията на системата се използват диаграми (така наречените графики на прехода), в които стрелките показват възможните преходи на системата от едно състояние в друго, както и вероятностите за такива преходи.

Фигура 3.1 - графика на прехода

Comp.	E 0	Е 1	Е 2
E 0	Р 0,0	Р 0,1	Р 0,2
Е 1	P 1.0	R 1.1	R 1.2
Е 2	R 2.0	R 2.2	R 2.2

Също така понякога е удобно да се използва преходната матрица. В този случай първата колона означава началните състояния на системата (текущи), а след това са дадени вероятностите за преход от тези състояния към други.

Тъй като системата задължително ще премине от един

състояние към друго, тогава сумата от вероятностите във всеки ред винаги е равна на единица.

3.4 Едноканален QS.

3.4.1 Едноканална QS с повреди.

Ще разгледаме системи, които отговарят на изискванията:

(P/E/1):(–/1/¥) . Нека приемем също, че времето за обслужване на клиент не зависи от броя на клиентите, влизащи в системата. Тук и по-долу "P" означава, че входният поток е разпределен съгласно закона на Поасон, т.е. най-простият, "E" означава, че изходящият поток се разпределя експоненциално. Също така тук и по-долу основните формули са дадени без доказателство.

За такава система са възможни две състояния: д 0 - системата е безплатна и д 1 – системата е заета. Нека създадем матрица на прехода. Да вземем дTе безкрайно малко време. Нека събитието А се състои в това, че в системата през времето дTполучи една заявка. Събитие Б се състои в това, че през времето дTе обслужена една заявка. Събитие НО аз , к- по време на дTсистемата ще премине от състояние д азв състояние д к. защото ле интензитетът на входния поток, след това през времето дTвлиза в системата средно l*DTизисквания. Тоест вероятността за получаване на едно вземане P(A)=л* дT, и вероятността от обратното събитие Р(А)=1-l*DT.P(B)=Е(дT)= П(b< д T)=1- д - м д T = м дT- вероятността за обслужване на заявката в срок дT. След това A 00 - заявлението няма да бъде получено или ще бъде получено, но ще бъде връчено. A 00 \u003d Ā + A * V. R 00 \u003d 1 - l*DT. (взехме предвид това (дT) 2 е безкрайно малка стойност)

A 01 - заявлението ще бъде получено, но няма да бъде връчено. A 01 = A * . R 01 = l*DT.

И 10 - заявлението ще бъде обслужено и няма да има ново. A 10 \u003d B * а. R 10 = м*ДT.

И 11 - заявлението няма да бъде връчено или ще пристигне ново, което все още не е връчено. A 11 = +V * A. R 01 = 1- м*ДT.

Така получаваме матрицата на прехода:

Comp.	E 0	Е 1
E 0	1-л * Dt	л * Dt
Е 1	м * Dt	1-м * Dt

Вероятност за прекъсване и повреда на системата.

Нека сега намерим вероятността системата да е в състояние д 0 по всяко време T(тези. Р 0 ( T) ). Функционална графика
показано на фигура 3.2.

Асимптотата на графиката е права линия
.

Очевидно от някакъв момент T,

1

Фигура 3.2

Най-накрая разбираме това
и
, където Р 1 (T) е вероятността, че в даден момент T системата е заета (т.е. е в състояние д 1 ).

Очевидно е, че в началото на работата на QS текущият процес няма да бъде стационарен: това ще бъде „преходен“, нестационарен режим. След известно време (което зависи от интензивността на входните и изходните потоци) този процес ще изчезне и системата ще премине в стационарно стабилно състояние на работа, а вероятностните характеристики вече няма да зависят от времето.

Стационарен режим на работа и фактор на натоварване на системата.

Ако вероятността системата да е в състояние д к, т.е. Р к (T), не зависи от времето T, тогава казват, че QS е установил стационарен режимработа. В същото време стойността
Наречен фактор на натоварване на системата(или намалената плътност на потока от приложения). След това за вероятностите Р 0 (T) и Р 1 (T) получаваме следните формули:
,
. Можете също да заключите: колкото по-голям е коефициентът на натоварване на системата, толкова по-вероятно е системата да се повреди (т.е. вероятността системата да е заета).

Автомивката разполага с едно звено за поддръжка. Автомобилите пристигат в разпределение на Поасон със скорост 5 автомобила/час. Средното време за обслужване на един автомобил е 10 минути. Намерете вероятността приближаващата кола да намери системата заета, ако QS е в стационарен режим.

Решение.Според задачата, л=5, м г =5/6. Трябва да намерим вероятността Р 1 е вероятността от повреда на системата.
.

3.4.2 Едноканален QS с неограничена дължина на опашката.

Ще разгледаме системи, които отговарят на изискванията: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Системата може да бъде в едно от състоянията д 0 , …, д к, … Анализът показва, че след известно време такава система започва да работи в стационарен режим, ако интензитетът на изходящия поток надвишава интензитета на входния поток (т.е. коефициентът на натоварване на системата е по-малък от единица). Като вземем предвид това условие, получаваме системата от уравнения

решавайки което откриваме, че . По този начин, при условие че г<1, получим
накрая
и
е вероятността QS да бъде в състоянието д кв произволен момент от време.

Средни характеристики на системата.

Поради неравномерно постъпване на заявки в системата и колебания във времето за обслужване, в системата се образува опашка. За такава система можете да проучите:

• н – броя на изискванията в QS (на опашката и в услуга);
• v – дължина на опашката;
• w – време на изчакване за начало на услугата;
• w 0 е общото време, прекарано в системата.

Ще ни е интересно средни характеристики(т.е. вземаме математическото очакване на разглежданите случайни променливи и помним, че г<1).

е средният брой приложения в системата.

е средната дължина на опашката.

е средното време на изчакване за стартиране на услугата, т.е. време за чакане на опашка.

- средното време, което приложението прекарва в системата - на опашка и за обслужване.

На автомивката има един сервизен блок и има място за опашка. Автомобилите пристигат в разпределение на Поасон със скорост 5 автомобила/час. Средното време за обслужване на един автомобил е 10 минути. Намерете всички средни QS характеристики.

Решение. л=5, м=60min/10min = 6. Фактор на натоварване г =5/6. След това средният брой коли в системата
, средна дължина на опашката
, средното време на изчакване за стартиране на услугата
часа = 50 минути и накрая средното време, прекарано в системата
час.

3.4.3 Едноканална QS от смесен тип.

Да предположим, че дължината на опашката е мизисквания. След това, за всеки с£ м, вероятността за намиране на QS в състоянието д 1+ с, се изчислява по формулата
, т.е. едно приложение се обслужва и друго сприложенията са на опашката.

Вероятността от прекъсване на системата е
,

и вероятността от повреда на системата е
.

Дадени са три едноканални системи за всяка л=5, м =6. Но първата система е с откази, втората е с чисто изчакване, а третата е с ограничена дължина на опашката, м=2. Намерете и сравнете вероятностите за прекъсване на тези три системи.

Решение.Коефициент на натоварване на всички системи г=5/6. За система с повреди
. За система с чисто очакване
. За система с ограничена дължина на опашката
. Изводът е очевиден: колкото повече приложения са в опашката, толкова по-малка е вероятността от прекъсване на системата.

3.5 Многоканален QS.

3.5.1 Многоканален QS с повреди.

Ще разгледаме системите (Р/Е/s):(-/s/¥) при предположението, че времето за обслужване не зависи от входния поток и всички линии работят независимо. Многоканалните системи, в допълнение към коефициента на натоварване, могат да се характеризират и с коефициента
, където с– брой канали за обслужване. Изследвайки многоканален QS, получаваме следните формули (формули на Erlang) за вероятността системата да бъде в състояние д кв случаен момент:

, k=0, 1, …

функция на разходите.

Както при едноканалните системи, увеличаването на коефициента на натоварване води до увеличаване на вероятността от повреда на системата. От друга страна, увеличаването на броя на обслужващите линии води до увеличаване на вероятността от прекъсване на системата или отделни канали. Следователно е необходимо да се намери оптималният брой обслужващи канали за тази QS. Средният брой безплатни обслужващи линии може да се намери по формулата
. Нека въведем C( с) – функция на разходите QS в зависимост от с 1 – цената на един отказ (неустойка за неизпълнена заявка) и от с 2 - разходите за престой на една линия за единица време.

За да намерите оптималната опция, трябва да намерите (и това може да се направи) минималната стойност на функцията на разходите: ОТ(с) = с 1* л * стр с +c 2*, чиято графика е показана на фигура 3.3:

Фигура 3.3

Търсенето на минималната стойност на функцията на разходите е, че първо намираме нейните стойности с =1, след това за с =2, след това за с =3 и т.н. докато на дадена стъпка стойността на функцията С( с) няма да бъде по-голям от предишния. Това означава, че функцията е достигнала своя минимум и е започнала да расте. Отговорът е броят на каналите за обслужване (стойност с), за които функцията на разходите е минимална.

ПРИМЕР .

Колко сервизни линии трябва да съдържат QS с повреди, ако л\u003d 2reb / ​​​​час, м\u003d 1reb / ​​​​час, наказанието за всеки отказ е 7 хиляди рубли, цената на престой за една линия е 2 хиляди рубли. след час?

Решение. г = 2/1=2. с 1 =7, с 2 =2.

Да приемем, че QS има два обслужващи канала, т.е. с =2. Тогава
. Следователно, C(2) = c 1 *л*стр 2 +c 2 *(2- y*(1-р 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Нека се преструваме, че с =3. Тогава
, C(3) = c 1 *л*стр 3 +c 2 *
=5.79.

Да приемем, че има четири канала, т.е. с =4. Тогава
,
, C(4) = c 1 *л*стр 4 +c 2 *
=5.71.

Да приемем, че QS има пет обслужващи канала, т.е. с =5. Тогава
, C(5) = 6,7 - повече от предишната стойност. Следователно оптималният брой канали за обслужване е четири.

3.5.2 Многоканален QS с опашка.

Ще разгледаме системи (Р/Е/s):(d/d+s/¥) при предположението, че времето за обслужване не зависи от входния поток и всички линии работят независимо. Ще кажем, че системата е инсталирана стационарна работа, ако средният брой входящи рекламации е по-малък от средния брой обслужени рекламации по всички линии на системата, т.е. л

P(w>0) е вероятността да изчакате услугата да започне,
.

Последната характеристика позволява решаването на проблема за определяне на оптималния брой канали за обслужване по такъв начин, че вероятността да се изчака началото на услугата е по-малка от даден брой. За да направите това, достатъчно е да изчислите последователно очакваната вероятност за с =1, с =2, с=3 и т.н.

ПРИМЕР .

SMO - станция за линейка на малък микрорайон. л=3 обаждания на час и м= 4 разговора на час за един екип. Колко екипажа трябва да има на станцията, така че вероятността да изчакате изход да е по-малка от 0,01?

Решение.Коефициент на натоварване на системата г =0,75. Да приемем, че има два налични отбора. Нека намерим вероятността да изчакаме услугата да започне в с =2.
,
.

Да предположим, че има три бригади, т.е. с=3. Според формулите получаваме това Р 0 =8/17, P(w>0)=0.04>0.01 .

Да приемем, че на станцията има четири екипажа, т.е. с=4. Тогава разбираме това Р 0 =416/881, P(w>0)=0.0077<0.01 . Следователно на гарата трябва да има четири бригади.

3.6 Въпроси за самоконтрол

1. Предмет и задачи на теорията на масовото обслужване.
2. QS, техните модели и обозначения.
3. Поток за въвеждане на изисквания. Интензитетът на входящия поток.
4. Състояние на системата. Матрица и графика на преходите.
5. Едноканален QS с повреди.
6. Едноканален QS с опашка. Характеристики.
7. Стационарен режим на работа. Коефициент на натоварване на системата.
8. Многоканален QS с повреди.
9. Оптимизиране на функцията на разходите.
10. Многоканален QS с опашка. Характеристики.

3.7 Упражнения за самостоятелна работа

1. Снек барът на бензиностанцията разполага с един гише. Автомобилите пристигат според разпределението на Поасон, със средно 2 автомобила на 5 минути. Средно 1,5 минути са достатъчни за изпълнение на поръчка, въпреки че продължителността на услугата се разпределя по експоненциален закон. Намерете: а) вероятността сергията да не работи; б) средно представяне; в) вероятността броят на пристигащите автомобили да бъде поне 10.
2. Рентгеновата машина ви позволява да изследвате средно 7 души на час. Интензивността на посетителите е 5 човека на час. При стационарна работа, определете средните характеристики.
3. Времето за обслужване в QS се подчинява на експоненциален закон,
   м = 7 изисквания на час. Намерете вероятността а) времето за обслужване да е между 3 и 30 минути; б) рекламацията ще бъде връчена в рамките на един час. Използвайте таблицата със стойности на функцията д х .
4. В речното пристанище има една котвена стоянка, интензивността на входящия поток е 5 кораба на ден. Интензивността на товаро-разтоварните операции е 6 кораба на ден. Имайки предвид стационарния режим на работа, определете всички средни характеристики на системата.
5. л=3, м=2, наказанието за всеки отказ е 5, а разходите за престой на линия са 2?
6. Какъв е оптималният брой канали за обслужване, които QS трябва да има, ако л=3, м =1, наказанието за всеки отказ е 7, а разходите за престой на линия са 3?
7. Какъв е оптималният брой канали за обслужване, които QS трябва да има, ако л=4, м=2, наказанието за всеки отказ е 5, а разходите за престой на линия са 1?
8. Определете броя на пистите за самолети, при спазване на изискването вероятността за изчакване да бъде по-малка от 0,05. В същото време интензивността на входния поток е 27 самолета на ден, а интензивността на тяхното обслужване е 30 самолета на ден.
9. Колко еквивалентни независими конвейерни линии трябва да има един цех, за да осигури ритъма на работа, при който вероятността за изчакване на обработката на продуктите трябва да бъде по-малка от 0,03 (всеки продукт се произвежда от една линия). Известно е, че интензивността на получаване на поръчки е 30 продукта на час, а интензивността на обработка на продукт в една линия е 36 продукта на час.
10. Непрекъсната случайна величина X е разпределена по експоненциален закон с параметър l=5. Намерете функцията на разпределение, характеристиките и вероятността за попадение в r.v. X в диапазона от 0,17 до 0,28.
11. Средният брой повиквания, пристигащи в телефонната централа за една минута, е 3. Ако приемем, че потокът е Поасон, намерете вероятността след 2 минути да има: а) две повиквания; б) по-малко от две обаждания; в) поне две обаждания.
12. В кутия има 17 части, 4 от които са дефектни. Монтажникът тегли 5 части на случаен принцип. Намерете вероятността а) всички извлечени части да са с високо качество; б) сред извлечените части 3 дефектни.
13. Колко канала трябва да има QS с повреди, ако л\u003d 2reb / ​​​​час, м\u003d 1reb / ​​​​час, наказанието за всеки отказ е 8 хиляди рубли, цената на престой за една линия е 2 хиляди рубли. след час?

Системата за масово обслужване има един канал. Входящият поток от заявки за услуги е най-простият поток с интензитет λ,. Интензитетът на потока на услугата е равен на μ, (т.е. средно непрекъснато зает канал ще издаде μ обслужвани заявки). Продължителността на услугата е случайна променлива, предмет на експоненциален закон за разпределение. Сервизният поток е най-простият Поасонов поток от събития. Заявка, която пристига в момент, когато каналът е зает, се поставя в опашка и чака обслужване.

Да предположим, че без значение колко заявки влизат на входа на обслужващата система, тази система (опашка + обслужвани клиенти) не може да поеме повече от N -изисквания (заявки), т.е. клиентите, които не чакат, са принудени да бъдат обслужени другаде. И накрая, източникът, който генерира заявки за услуги, има неограничен (безкрайно голям) капацитет.

Графиката на състоянието на QS в този случай има формата, показана на фиг. 2

Фигура 5.2 - Графика на състоянията на едноканален QS с очакване (схема на смърт и възпроизвеждане)

QS състоянията имат следното тълкуване:

S0 - "каналът е безплатен";

S1 - "канал зает" (няма опашка);

S2 - "каналът е зает" (едно приложение е в опашката);

Sn - "каналът е зает" (n - 1 приложения са в опашката);

SN - "каналът е зает" (N - 1 заявки са в опашката).

Стационарният процес в тази система ще бъде описан със следната система от алгебрични уравнения:

(10)

n - номер на държавата.

Решението на горната система от уравнения (10) за нашия QS модел има формата

(11)

(12)

Трябва да се отбележи, че изпълнението на условието за стационарност

за този QS не е необходимо, тъй като броят на заявките, допуснати до обслужващата система, се контролира чрез въвеждане на ограничение за дължината на опашката (която не може да надвишава N - 1), а не чрез съотношението между интензитетите на входния поток , т.е. не чрез отношението λ/μ=ρ

Нека дефинираме характеристиките на едноканален QS с чакане и ограничена дължина на опашката, равна на (N - 1):

вероятност за отказ за обслужване на приложението:

(13)

относителна пропускателна способност на системата:

(14)

абсолютна честотна лента:

среден брой приложения в системата:

(16)

Средно време на престой на приложение в системата:

(17)

средна продължителност на престоя на клиента (приложението) на опашката:

(18)

среден брой приложения (клиенти) в опашката (дължина на опашката):

(19)

Помислете за пример за едноканален QS с изчакване.

Пример2. Специализиран диагностичен пост е едноканален QS. Броят на паркоместата за чакащи за диагностика автомобили е ограничен и равен на 3[ (Н- 1) = 3]. Ако всички паркоместа са заети, т.е. вече има три коли на опашката, тогава следващата кола, пристигнала за диагностика, не попада в сервизната опашка. Потокът от автомобили, пристигащи за диагностика, се разпределя по закона на Поасон и е с интензитет λ = 0,85 (автомобили на час). Времето за диагностика на автомобила е разпределено по експоненциалния закон и е средно 1,05 часа.

Необходимо е да се определят вероятностните характеристики на диагностичен пост, работещ в стационарен режим.

Решение

1. Параметър на потока на автомобилната услуга:

2. Намалената интензивност на автомобилния поток се определя като съотношение на интензитетите λ, и μ, т.е.

3. Изчислете крайните вероятности на системата

4. Вероятността за отказ за обслужване на автомобила:

5. Относителна производителност на диагностичния пост:

6. Абсолютна пропускателна способност на диагностичния пост

(кола на час).

7. Средният брой автомобили в експлоатация и на опашка (т.е. в системата за опашка):

8. Средно време, прекарано от автомобил в системата:

9. Средна продължителност на престой на приложение в опашката за обслужване:

10. Среден брой заявления в опашката (дължина на опашката):

Работата на разглеждания диагностичен пост може да се счита за задоволителна, тъй като диагностичният пост не обслужва автомобили в средно 15,8% от случаите. (P otk = 0,158).

Нека сега да разгледаме едноканален QS с изчакване без ограничение на капацитета на изчакващия блок (т.е. N →∞).Останалите условия за функциониране на QS остават непроменени.

Стационарният режим на работа на тази QS съществува при t →∞ oo за всяко n = 0, 1, 2, ... и когато λ< μ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t →∞ для любого n = 0, 1, 2, ... , имеет вид

(20)

Решението на тази система от уравнения има формата

където ρ = λ/μ< 1.

Характеристиките на QS с едноканална латентност, без ограничение на дължината на опашката, са както следва:

Среден брой клиенти (заявки) в системата за обслужване:

(22)

средна продължителност на престой на клиент в системата:

(23)

среден брой клиенти в опашката за обслужване:

(24)

Средна продължителност на времето, което клиент прекарва на опашка:

(25)

Пример 3. Нека си припомним ситуацията, разгледана в пример 2, където говорим за функционирането на диагностичния пост. Нека разглежданият диагностичен пост има неограничен брой паркинги за автомобили, пристигащи за обслужване, т.е. дължината на опашката не е ограничена.

Необходимо е да се определят крайните стойности на следните вероятностни характеристики:

вероятности за състояния на системата (диагностичен пост);

Средният брой автомобили в системата (в услуга и на опашка);

Средната продължителност на престоя на автомобила в системата (в сервиз и на опашка);

Средният брой автомобили в сервизната опашка;

Средната продължителност на времето, което превозното средство прекарва на опашка.

1. Параметърът на сервизния поток μ и намаленият дебит на автомобила ρ са определени в пример 2:

μ= 0,952; ρ = 0,893.

2. Изчислете граничните вероятности на системата с помощта на формулите

P 0 \u003d 1 - ρ \u003d 1 - 0,893 \u003d 0,107;

P 1 \u003d (1 - ρ) . ρ \u003d (1 - 0,893) * 0,893 \u003d 0,096;

P 2 \u003d (1 - ρ) . ρ 2 \u003d (1 - 0,893) * 0,8932 \u003d 0,085;

R z \u003d (1 - ρ) . ρ 3 \u003d (1 - 0,893) * 0,8933 \u003d 0,076;

P 4 \u003d (1 - ρ) . ρ 4 \u003d (1 - 0,893) * 0,8934 \u003d 0,068;

P 5 \u003d (1 - ρ) . ρ 5 \u003d (1 - 0,893) * 0,8935 \u003d 0,061 и т.н.

Трябва да се отбележи, че P 0 определя частта от времето, през което диагностичният пост е принуден да бъде неактивен (неактивен). В нашия пример това е 10,7%, тъй като P 0 \u003d 0,107.

3. Среден брой автомобили в системата (в сервиз и на опашка):

4. Средна продължителност на престой на клиент в системата:

5. Среден брой автомобили в сервизната опашка:

6. Средна продължителност на престоя на автомобила на опашката:

7. Относителна производителност на системата:

т.е. всяка заявка, която влезе в системата, ще бъде обслужена.

8. Абсолютна честотна лента:

A \u003d λ * q \u003d 0,85 * 1 \u003d 0,85.

Трябва да се отбележи, че предприятие, което извършва диагностика на автомобили, се интересува преди всичко от броя на клиентите, които ще посетят диагностичния пост, когато ограничението за дължината на опашката бъде премахнато.

Да предположим, че в оригиналната версия броят на паркоместата за пристигащи автомобили е бил три (вижте пример 2). Честота мситуации, когато кола, пристигаща на диагностичния пост, не може да се присъедини към опашката:

m=λ*P N

В нашия пример с N = 3 + 1 = 4 и ρ = 0,893

m=λ*P 0 *ρ 4 =0,85*0,248*0,8934=0,134автомобил на час.

При 12-часов режим на работа на диагностичния пост това е еквивалентно на факта, че диагностичният пост средно на смяна (ден) ще загуби 12 * 0,134 = 1,6 превозни средства. Премахването на ограничението за дължината на опашката дава възможност да се увеличи броят на обслужваните клиенти в нашия пример средно с 1,6 превозни средства на смяна (12 часа работа) на диагностичния пост. Ясно е, че решението за разширяване на зоната за паркиране на автомобили, пристигащи на диагностичния обект, трябва да се основава на оценка на икономическите щети, причинени от загубата на клиенти само с три паркоместа за тези автомобили.

4.4 Многоканален модел с входен поток на Поасон и експоненциално разпределение на продължителността на услугата

В преобладаващата част от случаите на практика системите за масово обслужване са многоканални и следователно моделите с n обслужващи канала (където n> 1) представляват безспорен интерес.

Процесът на опашка, описан от този модел, се характеризира с интензитета на входния поток λ, докато не повече от n клиенти (заявки) могат да бъдат обслужени паралелно. Средната продължителност на обслужване на едно приложение е равна на l/μ. Входните и изходните потоци са поасонови. Режимът на работа на един или друг обслужващ канал не влияе върху режима на работа на други обслужващи канали на системата, а продължителността на обслужващата процедура за всеки от каналите е случайна величина, подчинена на експоненциален закон на разпределение. Крайната цел на използването на n канала за обслужване, свързани паралелно, е да се увеличи (в сравнение с едноканална система) скоростта на обслужване на заявките чрез обслужване на n клиенти едновременно.

Графиката на състоянието на многоканална система за масово обслужване с повреди има формата, показана на фиг. 4.3.

Състоянията на този QS имат следното тълкуване:

S 0 - всички канали са безплатни;

S 1 - един канал е зает, останалите са свободни;

……………………….

S k - точно k канала са заети, останалите са свободни;

……………………….

S n - всички n канала са заети, заявката е отказана услуга.

Уравненията на Колмогоров за вероятностите на състоянията на системата Р 0 , …, P k ,…, Р n ще имат следния вид:

(26)

Началните условия за решаване на системата са следните:

P 0 (0)=1, P 1 (0)=P 2 (0)=…=P k (0)=…=P n (0)=0.

Стационарното решение на системата има формата:

(27)

Формули за изчисляване на вероятности P kсе наричат ​​формули на Ерланг.

Нека определим вероятностните характеристики на функционирането на многоканален QS с повреди в стационарен режим:

Вероятност за повреда:

(28)

тъй като заявлението се отхвърля, ако пристигне в момент, когато всички нканалите са заети. Стойността на P otk характеризира пълнотата на обслужване на входящия поток;

Вероятността приложението да бъде прието за обслужване (това е и относителната производителност на системата q) допълва P otk до единица:

(29)

Абсолютна честотна лента

A=λ*q=λ*(1-P отворен); (тридесет)

Средният брой канали, заети от услугата, е както следва:

(31)

Той характеризира степента на натоварване на системата.

Пример 4. Нека n-канален QS е компютърен център (CC) с три (n = 3) взаимозаменяеми компютъра за решаване на входящи задачи. Потокът от задачи, пристигащи в CC, е с интензивност λ = 1 задача на час. Средната продължителност на услугата t obl = 1,8 часа. Потокът от приложения за решаване на проблеми и потокът от обслужване на тези приложения са най-прости.

Необходимо е да се изчислят крайните стойности:

Вероятности за VC състояния;

Вероятност за отказ за обслужване на приложението;

Относителна производителност на CC;

Абсолютна производителност на CC;

Средният брой заети компютри в CC.

Определете колко допълнителен компютър трябва да закупите, за да увеличите пропускателната способност на компютърния център 2 пъти.

1. Дефинирайте параметъра μ на потока на услугата:

ρ=λ/μ=1/0,555=1,8

3. Намираме граничните вероятности на състоянията, използвайки Er-
ланга (27):

P 1 \u003d 1,8 * 0,186 \u003d 0,334;

P 2 \u003d 1,62 * 0,186 \u003d 0,301;

P 3 \u003d 0,97 * 0,186 \u003d 0,180.

4. Вероятността за отказ за обслужване на приложението

P отворен \u003d P 3 \u003d 0,180

5. Относителна правоспособност на КК

q \u003d 1 - P otk \u003d 1 - 0,180 \u003d 0,820.

6. Абсолютна производителност на CC

НО= λ р= 1 0,820 = 0,820.

7. Среден брой заети канали - PC

Така при установения режим на работа на QS средно 1,5 компютъра от три ще бъдат заети - останалите един и половина ще бъдат неактивни. Работата на разглеждания ЦК едва ли може да се счита за задоволителна, тъй като центърът не обслужва заявления средно в 18% от случаите (P 3 = 0,180). Очевидно е, че капацитетът на CC за дадени λ и μ може да се увеличи само чрез увеличаване на броя на компютрите.

Нека определим колко е необходимо да използваме компютър, за да намалим 10 пъти броя на необслужените заявки, пристигащи в CC, т.е. така че вероятността за неуспех при решаването на задачи не надвишава 0,0180. За целта използваме формула (28):

Нека направим следната таблица:

н
P0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
P отворено	0,643	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

Анализирайки данните от таблицата, трябва да се отбележи, че разширяването на броя на CC каналите за тези стойности λ и μ до 6 компютърни единици ще осигурят задоволяване на приложенията за решаване на проблеми с 99,22%, тъй като с П= 6 вероятност за отказ на услуга (R otk)е 0,0078.

4.5 Многоканална система за чакащи опашки

Процесът на масово обслужване се характеризира със следното: входният и изходният поток са поасонови с интензитети съответно λ и μ; не повече от C клиенти могат да бъдат обслужвани паралелно. Системата има C сервизни канали. Средното време за обслужване на клиент е

В стационарно състояние работата на многоканален QS с изчакване и неограничена опашка може да бъде описана с помощта на система от алгебрични уравнения:

(32)

Решението на системата от уравнения (32) има формата

(33) (34)

(35)

Решението ще бъде валидно, ако е изпълнено следното условие:

Вероятностните характеристики на работата в стационарен режим на многоканален QS с изчакване и неограничена опашка се определят по следните формули:

Вероятността системата да има n обслужвани клиенти се определя по формули (33) и (34);

Среден брой клиенти в опашката за обслужване

(36)

Среден брой клиенти в системата (заявки за услуги и на опашка)

Средна продължителност на престоя на клиент (заявка за услуга) на опашката

Средна продължителност на престой на клиент в системата

Помислете за примери за многоканална система за опашка с чакане.

Пример 5. Механична работилница на завод с три поста (канала) извършва ремонт на малка механизация. Потокът от повредени механизми, пристигащи в сервиза, е поасонов и има интензивност λ = 2,5 механизма на ден, средното време за ремонт на един механизъм е разпределено по експоненциален закон и е равно на t = 0,5 дни. Да предположим, че във фабриката няма друг цех и следователно опашката от механизми пред цеха може да расте почти безкрайно.

Необходимо е да се изчислят следните гранични стойности на вероятностните характеристики на системата:

Вероятности за състояния на системата;

Средният брой приложения в опашката за обслужване;

Средният брой приложения в системата;

Средната продължителност на приложението в опашката;

Средната продължителност на престоя на приложението в системата.

1. Дефинирайте параметъра на потока на услугата

μ \u003d 1 / t \u003d 1 / 0,5 \u003d 2.

2. Намалената интензивност на потока от приложения

ρ = λ/μ = 2,5/2,0 = 1,25,

докато λ / μ * c \u003d 2,5 / 2 * 3 \u003d 0,41.

Тъй като λ/μ * s<1 , то очередь не растет безгранично и в сис­теме наступает предельный стационарный режим работы.

3. Изчислете вероятностите за състоянията на системата:

4. Вероятност да няма опашка в работилницата

5. Среден брой заявки в сервизната опашка

6. Среден брой приложения в системата

L s = L q +ρ = 0,111 + 1,25 = 1,361.

7. Средна продължителност на времето, което един механизъм прекарва в сервизна опашка

8. Средна продължителност на престоя на механизма в цеха (в системата)

1

1. Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Математическа статистика (учебник) // Успехите на съвременната естествознание. - 2010. - № 2. - С. 122-123; URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=7763.

2. Хрушчов Д.Г., Силантиев А.В., Агишева Д.К., Зотова С.А. Грешки при приемане на хипотеза в математическата статистика // Международен студентски научен бюлетин. - 2015. - № 3; URL: www..

3. Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Математическа статистика: учебник / Д.К. Агишева, С.А. Зотова, Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная; VPI (клон) VolgGTU. - Волгоград, 2010.

Моделите на опашка често се срещат в нашето ежедневие. Срещаме ги буквално навсякъде: опашки за обслужване в кафене, опашки на касата в магазин, в банка, фризьорски салон, автомивка, на бензиностанция и т.н.

Анализът на процесите на опашка ни дава оценка за влиянието върху режима на работа на системата на такива показатели като честотата на получаване на заявки за услуга, времето за обслужване на входящите заявки, броя и местоположението на различните компоненти на услугата. комплекс и др.

Най-простият едноканален модел с вероятностен входен поток и процедура за обслужване е модел, характеризиращ се с експоненциално разпределение както на продължителността на интервалите между пристигане на искове, така и на продължителността на обслужване. В този случай плътността на разпределението на продължителностите на интервалите между пристиганията на рекламации има формата

където λ е интензитетът на заявките, влизащи в системата (средният брой заявки, влизащи в системата за единица време).

Плътност на разпределение на продължителността на услугата:

къде е интензивността на обслужването; tb - средно време на обслужване на един клиент.

Помислете за система, която работи с повреди. Можете да определите абсолютната и относителната производителност на системата.

Относителната пропускателна способност е равна на дела на обслужените заявки спрямо всички входящи и се изчислява по формулата:

Тази стойност е равна на вероятността P0, че обслужващият канал е свободен.

Абсолютната пропускателна способност е средният брой приложения, които една система за опашка може да обслужи за единица време:

Вероятността за отказ за обслужване на заявката ще бъде равна на вероятността на състоянието "каналът на услугата е зает":

Стойността на Rothk може да се интерпретира като средния дял на необслужените заявки сред всички подадени.

Нека едноканална система за масово обслужване (QS) с повреди представлява едно място в опашката на касата в банката. Приложение – посетител, пристигнал в момент, когато мястото е заето, получава отказ от услуга. Интензитетът на посетителския поток λ = 3 (човека/ч). Средно време на обслужване tb = 0,6 часа.

Ще определим следните гранични стойности в стабилно състояние: относителен капацитет q; абсолютна производителност A; вероятност за отказ на Rothk.

Нека сравним действителната пропускателна способност на системата за опашки с номиналната пропускателна способност, която би била, ако всеки посетител беше обслужен за 0,6 часа и опашката беше непрекъсната.

Първо определяме интензивността на потока от услуги:

Нека изчислим относителната производителност:

Стойността на q означава, че в стационарно състояние системата ще обслужва приблизително 62,4% от пристигащите хора.

Абсолютната производителност се определя по формулата:

Това означава, че системата е способна да изпълнява средно 0,624 услуги на час.

Нека изчислим вероятността от повреда:

Това означава, че около 37,6% от посетителите, пристигащи на касата, ще получат отказ за обслужване.

Нека определим номиналната производителност на системата:

Въз основа на тези изчисления заключаваме, че Anom е няколко пъти по-голям от действителната пропускателна способност, изчислена, като се вземе предвид случайният характер на потока от приложения и времето за обслужване.

Тази система е неефективна. Вероятността за отказ е твърде висока - 37 души от 100 ще напуснат банката, без да получат услуга. Недопустимо е. В такава ситуация има няколко решения на проблема:

Добавете друг канал за услуга, т.е. организирайте двуканална система. Това ще позволи приемането на повече заявления, но води до допълнителни разходи за създаване на допълнителен канал и за по-нататъшната му поддръжка.

Без да добавяте друг канал, намалете времето за обслужване на една заявка, например чрез автоматизиране на канала.

Без да добавяте друг канал, създайте система без повреди, но с чакане в опашката. Това може да се постигне чрез монтиране на дивани за изчакване.

По този начин е възможно да се повиши ефективността на работа чрез най-приемливото решение за банката.

Библиографска връзка

Якушина А.А., Биханов А.В., Елагина А.И., Матвеева Т.А., Агишева Д.К., Светличная В.Б. ЕДНОКАНАЛНА СИСТЕМА ЗА МАШКА С ВХОДЕН ПОТОК НА ПУАСОН // Международен студентски научен бюлетин. - 2016. - № 3-3.;
URL: http://site/ru/article/view?id=15052 (дата на достъп: 18.03.2019 г.). Предлагаме на Вашето внимание списанията, издавани от издателство "Естествонаучна академия"