Сумата от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От елементарно до доста солидно.

Първо, нека да разгледаме значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мъка. За да намерите сумата на една аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много или много ... добавянето е досадно.) В този случай формулата спестява.

Формулата за сумиране е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много.

S n е сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всичкочленове, с първиНа последно.Важно е. Съберете точно всичкичленове подред, без пропуски и скокове. И точно, започвайки от първи.В пъзели, като намиране на сбора от третия и осмия член или сбора от членовете от петия до двадесетия - директно приложениеформулите са разочароващи.)

а 1 - първиятчлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. последно числоред. Името не е много познато, но приложено към количеството е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

н е номерът на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Въпрос за попълване: какъв член ще последно,ако е дадено безкраенаритметична прогресия?

За уверен отговор трябва да разберете елементарното значение на аритметичната прогресия и ... прочетете внимателно заданието!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе ограничена, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение какъв вид прогресия е дадена: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: чрез поредица от числа или чрез формулата на n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В задачата цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... Но нищо, в примерите по-долу ще разкрием тези тайни.)

Примерни задачи за сбор от аритметична прогресия.

Преди всичко, полезна информация:

Основната трудност при задачите за сумата от аритметична прогресия е правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите шифроват тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека да разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството по формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния термин н.

Къде да вземем последния членски номер н? Да, на същото място, в състоянието! Пише намерете сумата първите 10 членове.Ами кой номер ще е последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nще заместим във формулата а 10, но вместо това н- десет. Отново, номерът на последния член е същият като броя на членовете.

Остава да се определи а 1и а 10. Това се изчислява лесно по формулата на n-тия член, която е дадена в постановката на задачата. Не знаете как да го направите? Посетете предишния урок, без този - нищо.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи на формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава да ги замените и да преброите:

Това е всичко. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 \u003d 2.3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Остава да заменим всички елементи във формулата за сумата от аритметична прогресия и да изчислим отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nпросто заместваме формулата на n-тия член, получаваме:

Даваме подобни, получаваме нова формула за сбора на членовете на аритметична прогресия:

Както виждате, няма нужда n-ти член a n. В някои задачи тази формула помага много, да ... Можете да запомните тази формула. И можете просто да го изтеглите в точното време, както тук. В крайна сметка формулата за сумата и формулата за n-тия член трябва да се запомнят по всякакъв начин.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сумата от всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Как! Без първи член, без последен, без прогресия изобщо... Как да живея!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите от условието всички елементи на сумата на аритметичната прогресия. Какво представляват двуцифрените числа - знаем. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще първи? 10, вероятно.) последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят равномерно на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да напишете серия според условието на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Разбира се! Всеки термин се различава от предишния строго с три. Ако 2 или 4 се добави към термина, да речем, резултатът, т.е. ново число вече няма да се дели на 3. Можете веднага да определите разликата на аритметичната прогресия към купчината: d = 3.Полезен!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът нпоследен член? Който си мисли, че 99, греши фатално... Числата – те винаги вървят подред, а нашите членове прескачат тройката. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да нарисувате прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако формулата се приложи към нашия проблем, получаваме, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Разглеждаме формулата за сумата от аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме всичко необходимо за изчисляване на сумата от условието на проблема:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава елементарна аритметика. Заменете числата във формулата и изчислете:

Отговор: 1665

Друг вид популярни пъзели:

4. Дадена е аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четвърти.

Гледаме формулата на сумата и ... сме разстроени.) Формулата, нека ви напомня, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да рисувате цялата прогресия в ред и да поставите членовете от 20 до 34. Но ... някак си се оказва глупаво и за дълго време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще от първия мандат до деветнадесетия.Втората част на - двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го добавим към сбора на членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Това показва, че за намиране на сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Разглеждат се и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Започваме ли?

Извличаме параметрите на прогресията от условието на задачата:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Преброяваме ги по формулата на n-ия член, както в задача 2:

а 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

а 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Нищо не остана. Извадете сбора на 19 члена от сбора на 34 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има много полезна функция за решаване на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме какво, изглежда, не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляйки ненужното от пълния резултат. Такъв „финт с ушите“ често спестява в зли пъзели.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

практически съвети:

Когато решавате каквато и да е задача за сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула на n-тия член:

Тези формули веднага ще ви кажат какво да търсите, в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия се дава от условието: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива пъзели често се срещат в GIA.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на най-любимия човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и похарчете с 50 рубли повече на всеки следващ ден, отколкото на предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно ли е?) Ще помогне допълнителна формула от задача 2.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Някой третира думата "прогресия" с повишено внимание, като много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на брояча на такситата (където те все още остават). И да се разбере същността (а в математиката няма нищо по-важно от „да се разбере същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, като се анализират няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Прието е числовата последователност да се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

и 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това, не всеки произволен набор от цифри и числа ни интересува. Ще насочим вниманието си към числова редица, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числената стойност на n-то число е някаква функция на n.

a - стойност на член на числовата редица;

n е неговият сериен номер;

f(n) е функция, където порядъкът в числовата последователност n е аргументът.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формулата на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

В графиката по-долу е лесно да се види защо числова последователностнаречено „нарастващо“.

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Стойността на посочения член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Този начин обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, минус едно .

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден член

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. Освен това не е необходимо да изчислява стойностите на всеки термин и след това да ги сумира. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметична прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по числото на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия член се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

В задачата се изисква да се определи сумата от членовете на серията от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така че сборът от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме такъв пример.

Качването в такси (което включва 3 км) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние за пътуване 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацане.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 p.

числото, което ни интересува - стойността на (27 + 1)-ия член на аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Изчисленията на календарни данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до светилото. В допълнение, различни числени серии се използват успешно в статистиката и други приложни клонове на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с голяма, в сравнение с аритметична, скорост на промяна. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива експоненциално.

N-тият член на редицата с геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят е съответно 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметична прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете 5-ия член на прогресията

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Сборът на даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n членове на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е равен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Да, да: аритметичната прогресия не е играчка за вас :)

Е, приятели, ако четете този текст, тогава вътрешните доказателства ми казват, че все още не знаете какво е аритметична прогресия, но наистина (не, така: СООООО!) искате да знаете. Затова няма да ви измъчвам с дълги въведения и веднага ще се заема с работата.

Като начало, няколко примера. Помислете за няколко набора от числа:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Какво е общото между всички тези комплекти? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. а именно: всеки следващ елемент се различава от предходния със същия номер.

Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всяко едно повече от предишното. Във втория случай разликата между съседни числа вече е равна на пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай има корени като цяло. Въпреки това, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, докато $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. в който случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $\sqrt(2)$ (и не се плашете, че това число е ирационално).

И така: всички такива последователности се наричат ​​просто аритметични прогресии. Нека дадем строга дефиниция:

Определение. Поредица от числа, в която всяко следващо се различава от предходното с абсолютно същата стойност, се нарича аритметична прогресия. Самата стойност, с която се различават числата, се нарича прогресивна разлика и най-често се обозначава с буквата $d$.

Нотация: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресия, $d$ е нейната разлика.

И само няколко важни забележки. Първо, разглежда се само прогресията подреденпоследователност от числа: разрешено е да се четат стриктно в реда, в който са написани - и нищо друго. Не можете да пренареждате или разменяте числата.

Второ, самата последователност може да бъде крайна или безкрайна. Например множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако напишете нещо като (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Многоточието след четирите, така да се каже, подсказва, че доста числа отиват по-далеч. Безкрайно много например. :)

Бих искал също да отбележа, че прогресиите се увеличават и намаляват. Вече видяхме нарастващи - един и същи набор (1; 2; 3; 4; ...). Ето примери за намаляващи прогресии:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Добре, добре: последният пример може да изглежда прекалено сложен. Но останалото, мисля, разбирате. Затова въвеждаме нови определения:

Определение. Аритметична прогресия се нарича:

1. нараства, ако всеки следващ елемент е по-голям от предходния;
2. намаляващ, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

Освен това има така наречените "стационарни" последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).

Остава само един въпрос: как да различим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие тук всичко зависи само от знака на числото $d$, т.е. разлики в прогресията:

1. Ако $d \gt 0$, тогава прогресията нараства;
2. Ако $d \lt 0$, тогава прогресията очевидно намалява;
3. И накрая, има случай $d=0$ — в този случай цялата прогресия се свежда до стационарна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата $d$ за трите намаляващи прогресии по-горе. За да направите това, достатъчно е да вземете всеки два съседни елемента (например първия и втория) и да извадите от числото отдясно числото отляво. Ще изглежда така:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Както можете да видите, и в трите случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, след като повече или по-малко разбрахме дефинициите, е време да разберем как се описват прогресиите и какви свойства притежават.

Членове на прогресията и рекурентната формула

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да бъдат разменени, те могат да бъдат номерирани:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \точно\)\]

Индивидуалните елементи на това множество се наричат ​​членове на прогресията. Те се обозначават по този начин с помощта на число: първият член, вторият член и т.н.

Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани по формулата:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Дясна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Накратко, за да намерите $n$-тия член на прогресията, трябва да знаете $n-1$-ия член и разликата $d$. Такава формула се нарича повтаряща се, защото с нейна помощ можете да намерите всяко число, като знаете само предишното (и всъщност всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-сложна формула, която намалява всяко изчисление до първия член и разликата:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Вероятно вече сте срещали тази формула. Обичат да го дават във всякакви справочници и решебници. И във всеки разумен учебник по математика той е един от първите.

Предлагам ви обаче да практикувате малко.

Задача номер 1. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.

Решение. И така, знаем първия член $((a)_(1))=8$ и прогресивната разлика $d=-5$. Нека използваме току-що дадената формула и заместваме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: (8; 3; -2)

Това е всичко! Имайте предвид, че нашата прогресия намалява.

Разбира се, $n=1$ не може да бъде заменено - вече знаем първия член. Въпреки това, като заменихме единицата, ние се уверихме, че дори за първия член нашата формула работи. В други случаи всичко се свеждаше до банална аритметика.

Задача номер 2. Напишете първите три члена на аритметична прогресия, ако седмият член е −40, а седемнадесетият член е −50.

Решение. Пишем условието на проблема с обичайните термини:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \право.\]

Слагам знака на системата, защото тези изисквания трябва да се изпълняват едновременно. И сега отбелязваме, че ако извадим първото уравнение от второто уравнение (имаме право да направим това, защото имаме система), получаваме това:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \край (подравняване)\]

Точно така открихме разликата в прогресията! Остава да замените намереното число в някое от уравненията на системата. Например в първия:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \край (матрица)\]

Сега, знаейки първия член и разликата, остава да намерим втория и третия член:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \край (подравняване)\]

Готов! Проблема решен.

Отговор: (-34; -35; -36)

Забележете едно любопитно свойство на прогресията, което открихме: ако вземем $n$-тия и $m$-тия член и ги извадим един от друг, получаваме разликата на прогресията, умножена по числото $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решаването на много проблеми с прогресията. Ето един отличен пример за това:

Задача номер 3. Петият член на аритметичната прогресия е 8,4, а десетият член е 14,4. Намерете петнадесетия член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и трябва да намерим $((a)_(15))$, отбелязваме следното:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \край (подравняване)\]

Но по условие $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, така че $5d=6$, откъдето имаме:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: 20.4

Това е всичко! Не беше необходимо да съставяме никакви системи от уравнения и да изчисляваме първия член и разликата - всичко беше решено само в няколко реда.

Сега нека разгледаме друг вид проблем - търсенето на отрицателни и положителни членове на прогресията. Не е тайна, че ако прогресията се увеличава, докато първият й член е отрицателен, тогава рано или късно в нея ще се появят положителни членове. И обратното: условията на намаляваща прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

В същото време далеч не винаги е възможно да се намери този момент „на челото“, последователно сортирайки елементите. Често задачите са проектирани по такъв начин, че без да знаем формулите, изчисленията биха отнели няколко листа - просто щяхме да заспим, докато намерим отговора. Затова ще се опитаме да разрешим тези проблеми по по-бърз начин.

Задача номер 4. Колко отрицателни членове в аритметична прогресия -38,5; -35,8; …?

Решение. И така, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, от което веднага намираме разликата:

Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че наистина в един момент ще се натъкнем на положителни числа. Въпросът е само кога ще стане това.

Нека се опитаме да разберем: колко дълго (т.е. до какво естествено число $n$) се запазва отрицателността на членовете:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \вдясно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Стрелка надясно ((n)_(\max ))=15. \\ \край (подравняване)\]

Последният ред се нуждае от пояснение. Така че знаем, че $n \lt 15\frac(7)(27)$. От друга страна, само целите стойности на числото ще ни подхождат (още повече: $n\in \mathbb(N)$), така че най-голямото допустимо число е именно $n=15$ и в никакъв случай 16.

Задача номер 5. В аритметична прогресия $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Намерете номера на първия положителен член от тази прогресия.

Това би бил точно същият проблем като предишния, но не знаем $((a)_(1))$. Но съседните термини са известни: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така че можем лесно да намерим разликата в прогресията:

В допълнение, нека се опитаме да изразим петия член по отношение на първия и разликата, използвайки стандартната формула:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \край (подравняване)\]

Сега продължаваме по аналогия с предишната задача. Откриваме в кой момент от нашата последователност ще се появят положителни числа:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Дясна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \край (подравняване)\]

Минималното цяло число решение на това неравенство е числото 56.

Моля, имайте предвид, че в последната задача всичко беше сведено до строго неравенство, така че опцията $n=55$ няма да ни подхожда.

Сега, след като се научихме как да решаваме прости задачи, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека научим още едно много полезно свойство на аритметичните прогресии, което ще ни спести много време и неравни клетки в бъдеще. :)

Средно аритметично и равни отстъпи

Помислете за няколко последователни члена на нарастващата аритметична прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$. Нека се опитаме да ги отбележим на числова ос:

Членове на аритметичната прогресия на числовата ос

Специално отбелязах произволните членове $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не всеки $((a)_(1)), \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ и т.н. Защото правилото, което сега ще ви кажа, работи по един и същ начин за всякакви „сегменти“.

А правилото е много просто. Нека си припомним рекурсивната формула и я запишем за всички маркирани членове:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \край (подравняване)\]

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \край (подравняване)\]

Е, какво от това? Но фактът, че термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на същото разстояние от $((a)_(n)) $ . И това разстояние е равно на $d$. Същото може да се каже и за термините $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - те също са премахнати от $((a)_(n) )$ на същото разстояние, равно на $2d$. Можете да продължите безкрайно, но снимката добре илюстрира смисъла

Членовете на прогресията лежат на еднакво разстояние от центъра

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $((a)_(n))$, ако съседните числа са известни:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Изведехме великолепно твърдение: всеки член на аритметична прогресия е равен на средноаритметичното на съседните членове! Освен това можем да се отклоняваме от нашия $((a)_(n))$ наляво и надясно не с една стъпка, а с $k$ стъпки — и въпреки това формулата ще бъде правилна:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тези. можем лесно да намерим някои $((a)_(150))$, ако знаем $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, защото $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много задачи са специално "заточени" за използването на средноаритметичното. Погледни:

Задача номер 6. Намерете всички стойности на $x$, така че числата $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ да са последователни членове на аритметична прогресия (в определен ред).

Решение. Тъй като тези числа са членове на прогресия, условието за средно аритметично за тях е изпълнено: централният елемент $x+1$ може да бъде изразен чрез съседни елементи:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \край (подравняване)\]

Резултатът е класическо квадратно уравнение. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ са отговорите.

Отговор: -3; 2.

Задача номер 7. Намерете стойностите на $$, така че числата $-1;4-3;(()^(2))+1$ да образуват аритметична прогресия (в този ред).

Решение. Отново изразяваме средния член по отношение на средната аритметична стойност на съседните членове:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\вдясно.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \край (подравняване)\]

Още едно квадратно уравнение. И отново два корена: $x=6$ и $x=1$.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на задача получите някои брутални числа или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има чудесен трик, който ви позволява да проверите: правилно ли решихме проблема?

Да кажем, че в задача 6 имаме отговори -3 и 2. Как можем да проверим дали тези отговори са верни? Нека просто ги включим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$, които трябва да образуват аритметична прогресия. Заместете $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \край (подравняване)\]

Получихме числата -54; −2; 50, които се различават с 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото се случва и за $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \край (подравняване)\]

Отново прогресия, но с разлика 27. Така задачата е решена правилно. Желаещите могат сами да проверят втората задача, но веднага ще кажа: и там всичко е правилно.

Като цяло, докато решавахме последните проблеми, се натъкнахме на друг интересен факт, който също трябва да се помни:

Ако три числа са такива, че второто е средната стойност на първото и последното, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „конструираме“ необходимите прогресии въз основа на условието на проблема. Но преди да се заемем с подобна "конструкция", трябва да обърнем внимание на още един факт, който пряко следва от вече разгледаното.

Групиране и сбор от елементи

Нека се върнем отново към числовата ос. Отбелязваме там няколко члена на прогресията, между които може би. струва много други членове:

6 елемента, отбелязани на числовата ос

Нека се опитаме да изразим „лявата опашка“ чрез $((a)_(n))$ и $d$, а „дясната опашка“ чрез $((a)_(k))$ и $ d$. Много е просто:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \край (подравняване)\]

Сега имайте предвид, че следните суми са равни:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= С; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \край (подравняване)\]

Казано по-просто, ако разгледаме като начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакво число $S$, и след това започнем да стъпваме от тези елементи в противоположни посоки (един към друг или обратно, за да се отдалечим), тогава сумите на елементите, на които ще се натъкнем също ще бъдат равни$S$. Това може да бъде представено най-добре графично:

Еднаквите тирета дават равни суми

Разбирането на този факт ще ни позволи да решаваме проблеми с фундаментално по-високо ниво на сложност от тези, които разгледахме по-горе. Например тези:

Задача номер 8. Определете разликата на аритметична прогресия, в която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е възможно най-малкото.

Решение. Нека запишем всичко, което знаем:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \край (подравняване)\]

Така че не знаем разликата на прогресията $d$. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да бъде пренаписан както следва:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \край (подравняване)\]

За тези в резервоара: извадих общия множител 11 от втората скоба. Така желаният продукт е квадратична функция по отношение на променливата $d$. Следователно, разгледайте функцията $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, т.к. ако отворим скобите, получаваме:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Както можете да видите, коефициентът с най-висок член е 11 - това е положително число, така че наистина имаме работа с парабола с разклонения нагоре:

графика на квадратна функция – парабола

Моля, обърнете внимание: тази парабола приема минималната си стойност в своя връх с абсцисата $((d)_(0))$. Разбира се, можем да изчислим тази абциса по стандартната схема (има формула $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било много по-разумно да имайте предвид, че желаният връх лежи върху осесиметрията на параболата, така че точката $((d)_(0))$ е на еднакво разстояние от корените на уравнението $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \край (подравняване)\]

Ето защо не бързах да отварям скобите: в оригиналната форма корените бяха много, много лесни за намиране. Следователно абсцисата е равна на средноаритметичното на числата −66 и −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Какво ни дава откритото число? При него исканият продукт приема най-малката стойност (между другото, ние не сме изчислили $((y)_(\min ))$ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата на първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)

Отговор: -36

Задача номер 9. Поставете три числа между числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ така, че заедно с дадените числа да образуват аритметична прогресия.

Решение. Всъщност трябва да направим поредица от пет числа, като първото и последното число вече са известни. Означете липсващите числа с променливите $x$, $y$ и $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Обърнете внимание, че числото $y$ е "средата" на нашата последователност - то е на еднакво разстояние от числата $x$ и $z$ и от числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1)( 6)$. И ако в момента не можем да получим $y$ от числата $x$ и $z$, то ситуацията е различна с краищата на прогресията. Запомнете средното аритметично:

Сега, знаейки $y$, ще намерим останалите числа. Имайте предвид, че $x$ се намира между $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$ току-що намерени. Следователно

Разсъждавайки по подобен начин, намираме оставащото число:

Готов! Намерихме и трите числа. Нека ги запишем в отговора в реда, в който трябва да бъдат вмъкнати между оригиналните числа.

Отговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Задача номер 10. Между числата 2 и 42 поставете няколко числа, които заедно с дадените числа образуват аритметична прогресия, ако е известно, че сборът на първото, второто и последното от въведените числа е 56.

Решение. Още по-трудна задача, която обаче се решава по същия начин като предходните - чрез средноаритметичното. Проблемът е, че не знаем точно колко числа да вмъкнем. Затова за категоричност приемаме, че след вмъкването ще има точно $n$ числа, като първото от тях е 2, а последното е 42. В този случай желаната аритметична прогресия може да се представи като:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Обърнете внимание обаче, че числата $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се получават от числата 2 и 42, стоящи в краищата на една стъпка едно към друго , т.е. към центъра на последователността. И това означава, че

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Но тогава горният израз може да бъде пренаписан така:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \край (подравняване)\]

Познавайки $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, можем лесно да намерим разликата в прогресията:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Дясна стрелка d=5. \\ \край (подравняване)\]

Остава само да намерите останалите членове:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \край (подравняване)\]

Така вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на редицата - числото 42. Общо трябваше да се вмъкнат само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстови задачи с прогресии

В заключение бих искал да разгледам няколко относително прости проблема. Ами простичко: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са прочели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат като жест. Въпреки това, точно такива задачи се срещат в OGE и USE по математика, така че ви препоръчвам да се запознаете с тях.

Задача номер 11. Екипът е произвел 62 части през януари, като през всеки следващ месец са произвели по 14 части повече от предходния. Колко части е произвела бригадата през ноември?

Решение. Очевидно броят на частите, боядисани по месеци, ще бъде нарастваща аритметична прогресия. И:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ноември е 11-ият месец в годината, така че трябва да намерим $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Следователно през ноември ще бъдат произведени 202 части.

Задача номер 12. През януари книговезката работилница е подвързала 216 книги, като всеки месец е подвързвала с 4 книги повече от предходния месец. Колко книги подвърза работилницата през декември?

Решение. Все същото:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Декември е последният, 12-ти месец на годината, така че търсим $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Това е отговорът – през декември ще бъдат подвързани 260 книги.

Е, ако сте прочели дотук, бързам да ви поздравя: завършихте успешно „курса за млад боец“ по аритметични прогресии. Спокойно можем да преминем към следващия урок, където ще изучаваме формулата за сумата на прогресията, както и важни и много полезни следствия от нея.

Каква е същността на формулата?

Тази формула ви позволява да намерите всякакви ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Разбира се, трябва да знаете първия член а 1и разлика в прогресията д, добре, без тези параметри не можете да запишете конкретна прогресия.

Не е достатъчно да запомните (или да измамите) тази формула. Необходимо е да се усвои нейната същност и да се приложи формулата в различни проблеми. Да, и не забравяйте в точното време, да ...) Как не забравяйте- Не знам. Но как да запомнитеАко трябва, ще ви подскажа. За тези, които усвояват урока до края.)

И така, нека се заемем с формулата на n-тия член на аритметичната прогресия.

Какво е формула като цяло - ние си представяме.) Какво е аритметична прогресия, членно число, прогресивна разлика - е ясно казано в предишния урок. Погледнете, ако не сте го чели. Там всичко е просто. Остава да разберем какво n-ти член.

Прогресията като цяло може да бъде записана като поредица от числа:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

а 1- обозначава първия член на аритметичната прогресия, а 3- трети член а 4- четвърти и т.н. Ако се интересуваме от петия мандат, да кажем, че работим с а 5, ако сто и двадесети - от 120.

Как да се определи най-общо всякаквичлен на аритметична прогресия, s всякаквиномер? Много просто! Като този:

a n

Това е, което е n-ти член на аритметична прогресия.Под буквата n всички номера на членовете са скрити наведнъж: 1, 2, 3, 4 и т.н.

И какво ни дава такъв рекорд? Само си помислете, че вместо число те записаха буква ...

Тази нотация ни дава мощен инструмент за работа с аритметични прогресии. Използване на нотацията a n, можем бързо да намерим всякаквичлен всякаквиаритметична прогресия. И куп задачи за решаване в прогресия. Ще видите по-нататък.

Във формулата на n-тия член на аритметична прогресия:

a n = a 1 + (n-1)d

а 1- първият член на аритметичната прогресия;

н- членски номер.

Формулата свързва ключовите параметри на всяка прогресия: a n ; a 1; ди н. Около тези параметри всички пъзели се въртят в прогресия.

Формулата на n-тия член може също да се използва за записване на конкретна прогресия. Например в задачата може да се каже, че прогресията е дадена от условието:

a n = 5 + (n-1) 2.

Такъв проблем може дори да обърка ... Няма серия, няма разлика ... Но, сравнявайки условието с формулата, е лесно да разберем, че в тази прогресия a 1 \u003d 5 и d \u003d 2.

И може да бъде още по-ядосан!) Ако вземем същото условие: a n = 5 + (n-1) 2,да, отвори скобите и дай подобни? Получаваме нова формула:

an = 3 + 2n.

то Само не общо, а за конкретна прогресия. Тук се крие капанът. Някои хора смятат, че първият член е тройка. Въпреки че в действителност първият член е пет ... Малко по-ниско ще работим с такава модифицирана формула.

В задачите за прогресия има друго обозначение - a n+1. Това е, познахте, членът "n плюс първия" на прогресията. Значението му е просто и безвредно.) Това е член на прогресията, чийто брой е по-голям от числото n с единица. Например, ако при някакъв проблем приемаме за a nпети мандат, тогава a n+1ще бъде шестият член. и т.н.

Най-често обозначението a n+1среща се в рекурсивни формули. Не се страхувайте от тази ужасна дума!) Това е просто начин за изразяване на термин от аритметична прогресия през предишния.Да предположим, че ни е дадена аритметична прогресия в тази форма, използвайки рекурентната формула:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвъртият - през трети, петият - през четвърти и т.н. И как да преброим веднага, да кажем двадесетия член, а 20? Но няма начин!) Докато 19-ият мандат не е известен, 20-ият не може да се брои. Това е фундаменталната разлика между рекурсивната формула и формулата на n-тия член. Рекурсивно работи само чрез предишентермин, а формулата на n-тия член - чрез първияти позволява незабавнонамерете всеки член по неговия номер. Без да броим цялата поредица от числа по ред.

В аритметична прогресия една рекурсивна формула може лесно да се превърне в правилна. Пребройте чифт последователни членове, изчислете разликата д,намерете, ако е необходимо, първия член а 1, напишете формулата в обичайната форма и работете с нея. В GIA често се срещат такива задачи.

Приложение на формулата на n-тия член на аритметична прогресия.

Първо, нека да разгледаме директното приложение на формулата. В края на предишния урок имаше проблем:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто въз основа на значението на аритметичната прогресия. Добавете, да добавете ... Час или два.)

И според формулата решението ще отнеме по-малко от минута. Можете да го засечете.) Ние решаваме.

Условията предоставят всички данни за използване на формулата: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Остава да видим какво н.Няма проблем! Трябва да намерим 121. Тук пишем:

Моля, обърни внимание! Вместо индекс нсе появи конкретно число: 121. Което е съвсем логично.) Интересува ни членът на аритметичната прогресия номер сто и двадесет и едно.Това ще бъде нашето н.Това е смисълът н= 121 ще заместим по-нататък във формулата, в скоби. Заменете всички числа във формулата и изчислете:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Това е всичко. Също толкова бързо можеше да се намери петстотин и десетият член, а хиляда и третият, всеки. Ние поставяме вместо нжелания номер в индекса на буквата " а"и в скоби, и считаме.

Нека ви напомня същността: тази формула ви позволява да намерите всякаквичлен на аритметична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Нека решим проблема по-умно. Да кажем, че имаме следния проблем:

Намерете първия член на аритметичната прогресия (a n), ако a 17 =-2; d=-0,5.

Ако имате затруднения, ще ви предложа първата стъпка. Запишете формулата за n-тия член на аритметична прогресия!Да да. Напишете на ръка, направо в бележника си:

a n = a 1 + (n-1)d

И сега, гледайки буквите на формулата, разбираме какви данни имаме и какво липсва? На разположение d=-0,5,има седемнадесети член ... Всичко? Ако мислите, че това е всичко, тогава не можете да разрешите проблема, да ...

Имаме и номер н! В състояние а 17 =-2скрит два варианта.Това е както стойността на седемнадесетия член (-2), така и неговия номер (17). Тези. n=17.Това "малко нещо" често се изплъзва покрай главата и без него (без "малкото нещо", а не главата!) Проблемът не може да бъде решен. Въпреки че ... и без глава.)

Сега можем просто да заменим нашите данни във формулата:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

О да, а 17знаем, че е -2. Добре, нека го поставим в:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Това по същество е всичко. Остава да изразим първия член на аритметичната прогресия от формулата и да изчислим. Получавате отговора: а 1 = 6.

Такава техника - писане на формула и просто заместване на известни данни - помага много при прости задачи. Е, трябва, разбира се, да можете да изразите променлива от формула, но какво да правите!? Без това умение математиката изобщо не може да се изучава ...

Друг популярен проблем:

Намерете разликата на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 =2; а 15 =12.

Какво правим? Ще се изненадате, ние пишем формулата!)

a n = a 1 + (n-1)d

Помислете какво знаем: a 1 =2; а 15 =12; и (специален акцент!) n=15. Чувствайте се свободни да замените във формулата:

12=2 + (15-1)d

Нека направим аритметиката.)

12=2 + 14d

д=10/14 = 5/7

Това е правилният отговор.

И така, задачи a n, a 1и дреши. Остава да научите как да намерите номера:

Числото 99 е член на аритметична прогресия (a n), където a 1 =12; d=3. Намерете номера на този член.

Заместваме известните количества във формулата на n-тия член:

a n = 12 + (n-1) 3

На пръв поглед тук има две неизвестни величини: a n и n.Но a nе някакъв член на прогресията с числото н... И този член на прогресията познаваме! 99 е. Не знаем номера му. н,така че това число също трябва да бъде намерено. Заместете прогресивния член 99 във формулата:

99 = 12 + (n-1) 3

Изразяваме от формулата н, мислим. Получаваме отговора: n=30.

А сега проблем на същата тема, но по-креативен):

Определете дали числото 117 ще бъде член на аритметична прогресия (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Нека напишем формулата отново. Какво, няма опции? Хм... Защо ни трябват очи?) Виждаме ли първия член на прогресията? Виждаме. Това е -3,6. Можете спокойно да напишете: a 1 \u003d -3,6.Разлика дможе да се определи от серията? Лесно е, ако знаете каква е разликата между аритметичната прогресия:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Да, направихме най-простото нещо. Остава да се справим с неизвестен номер ни неразбираемо число 117. В предишната задача поне се знаеше, че е даден членът на прогресията. Но тук дори не знаем, че ... Как да бъдем!? Е, как да бъде, как да бъде ... Включете творческите си способности!)

Ние предполагамче 117 в крайна сметка е член на нашата прогресия. С непознат номер н. И точно както в предишната задача, нека се опитаме да намерим това число. Тези. пишем формулата (да-да!)) и заместваме нашите числа:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Отново изразяваме от формулатан, броим и получаваме:

Опа! Номерът се получи дробна!Сто и една и половина. И дробни числа в прогресии не може да бъде.Какъв извод правим? да Номер 117 не ечлен на нашата прогресия. Това е някъде между 101-ия и 102-ия член. Ако числото се оказа естествено, т.е. положително цяло число, тогава числото ще бъде член на прогресията с намереното число. И в нашия случай отговорът на проблема ще бъде: не.

Задача, базирана на реална версия на GIA:

Аритметичната прогресия се дава от условието:

a n \u003d -4 + 6,8n

Намерете първия и десетия член на прогресията.

Тук прогресията е зададена по необичаен начин. Някаква формула ... Случва се.) Въпреки това, тази формула (както написах по-горе) - също и формулата на n-тия член на аритметична прогресия!Тя също позволява намерете всеки член на прогресията по неговия номер.

Търсим първия член. Този, който мисли. че първият член е минус четири, е фатална грешка!) Тъй като формулата в задачата е модифицирана. Първият член на аритметична прогресия в него скрит.Нищо, сега ще го намерим.)

Точно както в предишните задачи, ние заместваме n=1в тази формула:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Тук! Първият член е 2,8, а не -4!

По подобен начин търсим десетия член:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Това е всичко.

А сега, за тези, които са прочели до тези редове, обещаният бонус.)

Да предположим, че в трудна бойна ситуация на GIA или Единния държавен изпит сте забравили полезната формула на n-тия член на аритметичната прогресия. Нещо ми хрумва, но някак несигурно... Дали нтам, или n+1, или n-1...Как да бъде!?

Спокоен! Тази формула е лесна за извеждане. Не много строго, но определено достатъчно за увереност и правилно решение!) За заключение е достатъчно да запомните елементарното значение на аритметичната прогресия и да имате няколко минути време. Просто трябва да нарисувате картина. За яснота.

Начертаваме цифрова ос и отбелязваме първата върху нея. втори, трети и т.н. членове. И забележете разликата дмежду членовете. Като този:

Гледаме картината и си мислим: на какво е равен вторият член? Второ един д:

а 2 =a 1 + 1 д

Какъв е третият член? Третиятчлен е равен на първия член плюс две д.

а 3 =a 1 + 2 д

Схващаш ли? Не слагам някои думи с удебелен шрифт за нищо. Добре, още една стъпка.)

Какъв е четвъртият член? Четвърточлен е равен на първия член плюс три д.

а 4 =a 1 + 3 д

Време е да осъзнаем, че броят на пропуските, т.е. д, винаги с един по-малко от номера на члена, който търсите н. Тоест до бройката n, брой празнинище бъде n-1.И така, формулата ще бъде (без опции!):

a n = a 1 + (n-1)d

Като цяло, визуалните изображения са много полезни при решаването на много задачи по математика. Не пренебрегвайте снимките. Но ако е трудно да нарисувате картина, тогава ... само формула!) В допълнение, формулата на n-тия член ви позволява да свържете целия мощен арсенал от математика към решението - уравнения, неравенства, системи и т.н. Не можете да поставите картина в уравнение...

Задачи за самостоятелно решаване.

За загряване:

1. В аритметична прогресия (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Намерете 3.

Подсказка: според снимката проблемът се решава за 20 секунди ... Според формулата се оказва по-трудно. Но за овладяването на формулата е по-полезно.) В раздел 555 този проблем е решен както чрез картината, така и чрез формулата. Почувствай разликата!)

И това вече не е загрявка.)

2. В аритметична прогресия (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Намерете a 3 .

Какво, нежелание да нарисуваш картина?) Все пак! По-добре е във формулата, да...

3. Аритметичната прогресия се дава от условието:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сто двадесет и петия член на тази прогресия.

В тази задача прогресията се дава по повтарящ се начин. Но като броим до сто двадесет и петия член... Не всеки може да направи такъв подвиг.) Но формулата на n-тия член е по силите на всеки!

4. Дадена е аритметична прогресия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Намерете номера на най-малкия положителен член на прогресията.

5. Съгласно условието на задача 4 да се намери сумата от най-малкия положителен и най-големия отрицателен член на прогресията.

6. Произведението от петия и дванадесетия член на нарастваща аритметична прогресия е -2,5, а сумата от третия и единадесетия член е нула. Намерете 14.

Не е най-лесната задача, да ...) Тук методът "на пръстите" няма да работи. Трябва да пишете формули и да решавате уравнения.

Отговори (в безпорядък):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Се случи? Това е хубаво!)

Не всичко се получава? Случва се. Между другото, в последната задача има една тънка точка. Ще се изисква внимание при четене на проблема. И логика.

Решението на всички тези проблеми е разгледано подробно в раздел 555. И фантастичният елемент за четвъртия, и финият момент за шестия, и общите подходи за решаване на всякакви проблеми за формулата на n-тия член - всичко е боядисано. Препоръчвам.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Първо ниво

Аритметична прогресия. Подробна теория с примери (2019)

Числова последователност

И така, нека седнем и започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете произволни числа и може да са колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое от тях е първото, кое второто и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е едно и също.
Числото с числото се нарича -тият член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Такава числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, с която са се занимавали древните гърци.

Това е числова редица, всеки член на която е равен на предходния, добавен със същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Сравнете нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществуват двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме към предишната стойност на числото на прогресията, докато стигнем до члена на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, -тият член на описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Начин

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането щеше да ни отнеме повече от час и не е факт, че нямаше да допуснем грешки при събирането на числата.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим какво съставлява стойността на -тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте се самостоятелно да намерите по този начин стойността на член на тази аритметична прогресия.

Изчислено? Сравнете вашите записи с отговора:

Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметична прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "деперсонализираме" тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии се увеличават или намаляват.

Повишаване на- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека да го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа:

От тогава:

Така се убедихме, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите -тия и -тия членове на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - извеждаме свойството на аритметична прогресия.
Да предположим, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно е, казвате вие ​​и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има вероятност да направите грешки в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да се реши този проблем в една стъпка, като се използва някаква формула? Разбира се, да, и ние ще се опитаме да го изведем сега.

Нека означим желания член от аритметичната прогресия като, знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведехме в началото:
, тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека сумираме предишните и следващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишния и следващите членове на прогресията е два пъти по-голяма от стойността на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да се съберат и разделят на.

Точно така, имаме едно и също число. Да оправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото не е никак трудно.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата един от най-великите математици на всички времена, "кралят на математиците" - Карл Гаус, лесно извежда за себе си ...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учителят, зает да проверява работата на ученици от други класове, зададе следната задача в урока: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително. " Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) след минута даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчага след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза модел, който можете лесно да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ti членове: Трябва да намерим сумата от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако трябва да намерим сбора на неговите членове в задачата, както търсеше Гаус?

Нека изобразим прогресията, която ни е дадена. Погледнете внимателно маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитах? Какво забелязахте? Правилно! Сумите им са равни

Сега отговорете колко такива двойки ще има в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата на сумата формулата на th член.
Какво получи?

Много добре! Сега да се върнем към задачата, дадена на Карл Гаус: изчислете сами колко е сумата от числата, започващи от -тото, и сумата от числата, започващи от -тото.

Колко получихте?
Гаус се оказа, че сумата от членовете е равна и сумата от членовете. Така ли реши?

Всъщност формулата за сбора на членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумни хора са използвали свойствата на аритметичната прогресия с всички сили.
Например, представете си Древен Египет и най-голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамида ... Фигурата показва едната й страна.

Къде е прогресията тук, казвате? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Пребройте колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, като движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така:
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметична прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (ние броим броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите и на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Съгласно ли е? Браво, усвоихте сумата от th-ия член на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да построите пирамида от блоковете в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

обучение

Задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти ще кляка Маша за седмици, ако направи клякания на първата тренировка.
2. Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи.

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
   (седмици = дни).

   Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметична прогресия.
   Броят на нечетните числа в - половината обаче проверете този факт, като използвате формулата за намиране на -тия член на аритметична прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Заменяме наличните данни във формулата:

   Отговор:Сборът от всички нечетни числа, съдържащи се в е равен на.

3. Припомнете си задачата за пирамидите. За нашия случай, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, има само куп слоеве, т.е.
   Заместете данните във формулата:

   Отговор:В зидарията има трупи.

Обобщаване

1. - числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Увеличава се и намалява.
2. Намиране на формулачлен на аритметичната прогресия се записва по формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членове на аритметична прогресия- - където - броят на числата в прогресията.
4. Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете произволни числа и могат да бъдат колкото искате. Но винаги можете да кажете кой от тях е първият, кой вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и само с едно. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с числото се нарича -тият член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако -тият член на редицата може да бъде даден с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Наричаме повтаряща се формула, в която, за да разберете -тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки такава формула, трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега е ясно каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? И ето какво:

(в крайна сметка се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

Така че формулата е:

Тогава стотният член е:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко такива двойки има? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

решение:

Първото такова число е това. Всеки следващ се получава чрез добавяне на число към предишния. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формулата за тия член за тази прогресия е:

Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден атлетът бяга с 1 м повече от предишния ден. Колко километра ще пробяга след седмици, ако пробяга km m през първия ден?
2. Велосипедист изминава повече мили всеки ден от предишния. Първия ден измина км. Колко дни трябва да кара, за да измине един километър? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
3. Всяка година цената на хладилника в магазина се намалява с една и съща сума. Определете колко намалява цената на хладилника всяка година, ако, пуснат за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   Отговор:
2. Тук е дадено:, необходимо е да се намери.
   Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът.
   Нека изчислим изминатото разстояние през последния ден, като използваме формулата на -тия член:
   (км).
   Отговор:

3. Дадено: . Намирам: .
   Не става по-лесно:
   (търкайте).
   Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия е нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формулата за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва като формула, където е броят на числата в прогресията.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Това улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сумата от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.