Представен е видео урок „Графичен метод за решаване на системи от уравнения“. учебен материалда овладеят тази тема. Материалът съдържа обща концепцияза решаване на система от уравнения, както и подробно обяснениеизползвайки пример за това как се решава система от уравнения графично.

Визуалната помощ използва анимация, за да направи конструкциите по-удобни и разбираеми, както и различни начиниподчертаване на важни понятия и детайли за задълбочено разбиране на материала и по-добро запаметяване.

Видео урокът започва с представяне на темата. На учениците се припомня какво е система от уравнения и с какви системи от уравнения вече са били запознати в 7. клас. Преди това учениците трябваше да решават системи от уравнения от вида ax+by=c. Задълбочавайки концепцията за решаване на системи от уравнения и с цел развиване на способността за решаването им, този видео урок разглежда решението на система, състояща се от две уравнения от втора степен, както и едно уравнение от втора степен, и втора от първа степен. Припомняме си какво представлява решаването на система от уравнения. Дефиницията на решение на система като двойка стойности на променливи, които обръщат нейните уравнения, когато бъдат заменени с правилно равенство, се показва на екрана. В съответствие с дефиницията на системното решение се конкретизира задачата. Показва се на екрана, за да запомните, че решаването на система означава намиране на подходящи решения или доказване на липсата им.

Предлага се усвояване на графичен метод за решаване на определена система от уравнения. Приложението на този метод се разглежда на примера за решаване на система, състояща се от уравненията x 2 +y 2 =16 и y=-x 2 +2x+4. Графично решениеСистемата започва с начертаване на всяко от тези уравнения. Очевидно графиката на уравнението x 2 + y 2 = 16 ще бъде кръг. Точките, принадлежащи на дадена окръжност, са решението на уравнението. До уравнението е изградено върху координатна равнинакръг с радиус 4 с център O в началото. Графиката на второто уравнение е парабола, чиито клонове са спуснати надолу. Тази парабола, съответстваща на графиката на уравнението, е построена върху координатната равнина. Всяка точка, принадлежаща на парабола, представлява решение на уравнението y = -x 2 + 2x + 4. Обяснява се, че решението на система от уравнения е точки от графиките, които едновременно принадлежат на графиките на двете уравнения. Това означава, че пресечните точки на построените графики ще бъдат решения на системата от уравнения.

Отбелязва се, че графичният метод се състои в намиране на приблизителната стойност на координатите на точки, разположени в пресечната точка на две графики, които отразяват набора от решения на всяко уравнение на системата. Фигурата показва координатите на намерените пресечни точки на двете графики: A, B, C, D[-2;-3.5]. Тези точки са решения на система от уравнения, намерени графично. Можете да проверите коректността им, като ги замените в уравнението и получите справедливо равенство. След заместването на точките в уравнението става ясно, че някои от точките дават точната стойност на решението, а някои представляват приблизителната стойност на решението на уравнението: x 1 = 0, y 1 = 4; x 2 =2, y 2 ≈3,5; x 3 ≈3,5, y 3 = -2; x 4 = -2, y 4 ≈-3,5.

Видео урокът обяснява подробно същността и приложението на графичния метод за решаване на система от уравнения. Това дава възможност да се използва като видеоурок в урок по алгебра в училище при изучаване на тази тема. Материалът ще бъде полезен и за самоподготовкастуденти и може да помогне в обяснението на темата по време на дистанционно обучение.

Един от начините за решаване на уравнения е графично. Основава се на построяването на функционални графики и определяне на техните пресечни точки. Нека разгледаме графичен метод за решаване на квадратното уравнение a*x^2+b*x+c=0.

Първо решение

Нека преобразуваме уравнението a*x^2+b*x+c=0 във формата a*x^2 =-b*x-c. Изграждаме графики на две функции y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (права линия). Търсим пресечни точки. Абсцисите на пресечните точки ще бъдат решението на уравнението.

Нека покажем с пример:реши уравнението x^2-2*x-3=0.

Нека го трансформираме в x^2 =2*x+3. Построяваме графики на функциите y= x^2 и y=2*x+3 в една координатна система.

Графиките се пресичат в две точки. Техните абсциси ще бъдат корените на нашето уравнение.

Решение по формула

За да бъдем по-убедителни, нека проверим това решение аналитично. Нека решим квадратно уравнениепо формулата:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

означава, решенията са същите.

Графичният метод за решаване на уравнения също има своя недостатък, с негова помощ не винаги е възможно да се получи точно решение на уравнението. Нека се опитаме да решим уравнението x^2=3+x.

Нека построим парабола y=x^2 и права линия y=3+x в една координатна система.

Разбрах го отново подобна рисунка. Права линия и парабола се пресичат в две точки. Но точни стойностиНе можем да кажем абсцисата на тези точки, само приблизителни: x≈-1.3 x≈2.3.

Ако сме доволни от отговори с такава точност, тогава можем да използваме този метод, но това се случва рядко. Обикновено са необходими точни решения. Поради това графичният метод се използва рядко и главно за проверка на съществуващи решения.

Нуждаете се от помощ с обучението си?

В този урок ще разгледаме решаването на системи от две уравнения с две променливи. Първо, нека разгледаме графичното решение на система от две линейни уравнения и спецификата на набора от техните графики. След това ще решим няколко системи с помощта на графичния метод.

Тема: Системи уравнения

Урок: Графичен методрешения на система от уравнения

Помислете за системата

Двойка числа, която е едновременно решение както на първото, така и на второто уравнение на системата, се нарича решаване на система от уравнения.

Решаването на система от уравнения означава намиране на всички нейни решения или установяване, че няма решения. Разгледахме графиките на основните уравнения, нека да преминем към разглеждането на системите.

Пример 1. Решете системата

Решение:

Това са линейни уравнения, графиката на всяко от тях е права линия. Графиката на първото уравнение минава през точките (0; 1) и (-1; 0). Графиката на второто уравнение минава през точките (0; -1) и (-1; 0). Правите се пресичат в точката (-1; 0), това е решението на системата от уравнения ( Ориз. 1).

Решението на системата е двойка числа.Замествайки тази двойка числа във всяко уравнение, получаваме правилното равенство.

Имаме единствено решениелинейна система.

Спомнете си, че при решаването на линейна система са възможни следните случаи:

системата има уникално решение - линиите се пресичат,

системата няма решения - правите са успоредни,

системата има безкраен брой решения - правите линии съвпадат.

Разгледахме специален случай на системата, когато p(x; y) и q(x; y) са линейни изрази на x и y.

Пример 2. Решете система от уравнения

Решение:

Графиката на първото уравнение е права линия, графиката на второто уравнение е кръг. Нека построим първата графика по точки (фиг. 2).

Центърът на окръжността е в точка O(0; 0), радиусът е 1.

Графиките се пресичат в точка A(0; 1) и точка B(-1; 0).

Пример 3. Решете системата графично

Решение: Нека построим графика на първото уравнение - това е окръжност с център t.O(0; 0) и радиус 2. Графиката на второто уравнение е парабола. Той е изместен нагоре с 2 спрямо началото, т.е. неговият връх е точка (0; 2) (фиг. 3).

Графиките имат един обща точка- т. А(0; 2). Това е решението на системата. Нека включим няколко числа в уравнението, за да проверим дали е правилно.

Пример 4. Решете системата

Решение: Нека построим графика на първото уравнение - това е окръжност с център t.O(0; 0) и радиус 1 (фиг. 4).

Нека начертаем функцията Това е прекъсната линия (фиг. 5).

Сега нека го преместим 1 надолу по оста oy. Това ще бъде графиката на функцията

Нека поставим и двата графика в една и съща координатна система (фиг. 6).

Получаваме три пресечни точки - точка A(1; 0), точка B(-1; 0), точка C(0; -1).

Разгледахме графичния метод за решаване на системи. Ако можете да начертаете графика на всяко уравнение и да намерите координатите на пресечните точки, тогава този метод е напълно достатъчен.

Но често графичният метод дава възможност да се намери само приблизително решение на системата или да се отговори на въпроса за броя на решенията. Следователно са необходими други методи, по-точни, с които ще се занимаваме в следващите уроци.

1. Мордкович А.Г. и др.Алгебра 9 клас: Учебник. За общо образование Институции.- 4-то изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макаричев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: учебен. за общообразователни ученици. институции / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-мо издание, рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-то изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-то изд., изтрито. - М.: 2010. - 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 клас. В 2 части Част 2. Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Изд. А. Г. Мордкович. — 12-то изд., рев. - М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Секция по математика на College.ru ().

2. Интернет проект „Задачи“ ().

3. Образователен портал„ЩЕ РАЗРЕША ИЗПОЛЗВАНЕТО“ ().

1. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.

По-надежден от графичния метод, обсъден в предишния параграф.

Метод на заместване

Използвахме този метод в 7 клас за решаване на системи от линейни уравнения. Алгоритъмът, разработен в 7. клас, е доста подходящ за решаване на системи от произволни две уравнения (не непременно линейни) с две променливи x и y (разбира се, променливите могат да бъдат обозначени с други букви, което няма значение). Всъщност използвахме този алгоритъм в предишния параграф, когато проблемът с двуцифрено числодоведе до математически модел, което е система от уравнения. Решихме тази система от уравнения по-горе, използвайки метода на заместване (вижте пример 1 от § 4).

Алгоритъм за използване на метода на заместване при решаване на система от две уравнения с две променливи x, y.

1. Изразете y чрез x от едно уравнение на системата.
2. Заместете получения израз вместо y в друго уравнение на системата.
3. Решете полученото уравнение за x.
4. Заместете последователно всеки от корените на уравнението, намерени в третата стъпка, вместо x в израза y до x, получен в първата стъпка.
5. Напишете отговора под формата на двойки стойности (x; y), които са намерени съответно в третата и четвъртата стъпка.

4) Заменете една по една всяка от намерените стойности на y във формулата x = 5 - 3. Ако тогава
5) Двойки (2; 1) и решения на дадена система от уравнения.

Отговор: (2; 1);

Алгебричен метод на добавяне

Този метод, подобно на метода на заместване, ви е познат от курса по алгебра за 7 клас, където се използва за решаване на системи от линейни уравнения. Нека си припомним същността на метода, използвайки следния пример.

Пример 2.Решете система от уравнения

Нека умножим всички членове на първото уравнение на системата по 3 и оставим второто уравнение непроменено:
Извадете второто уравнение на системата от първото уравнение:

В резултат на алгебричното събиране на две уравнения на изходната система се получава уравнение, което е по-просто от първото и второто уравнения на дадената система. С това по-просто уравнение имаме право да заместим всяко уравнение на дадена система, например второто. Тогава дадената система от уравнения ще бъде заменена с по-проста система:

Тази система може да бъде решена с помощта на метода на заместване. От второто уравнение намираме. Замествайки този израз вместо y в първото уравнение на системата, получаваме

Остава да заменим намерените стойности на x във формулата

Ако x = 2 тогава

Така открихме две решения на системата:

Метод за въвеждане на нови променливи

Запознахте се с метода за въвеждане на нова променлива при решаване на рационални уравнения с една променлива в курса по алгебра за 8. клас. Същността на този метод за решаване на системи от уравнения е същата, но от техническа гледна точка има някои особености, които ще разгледаме в следващите примери.

Пример 3.Решете система от уравнения

Нека въведем нова променлива. Тогава първото уравнение на системата може да бъде пренаписано в повече в проста форма: Нека решим това уравнение за променливата t:

И двете стойности отговарят на условието и следователно са корени рационално уравнениес променлива t. Но това означава или където намираме, че x = 2y, или
По този начин, използвайки метода за въвеждане на нова променлива, успяхме да „стратифицираме“ първото уравнение на системата, което беше доста сложно на външен вид, в две по-прости уравнения:

x = 2 y; y - 2x.

Какво следва? И тогава всеки от двамата получи прости уравнениятрябва да се разглеждат един по един в система с уравнението x 2 - y 2 = 3, което все още не сме запомнили. С други думи, проблемът се свежда до решаването на две системи от уравнения:

Трябва да намерим решения на първата система, втората система и да включим всички получени двойки стойности в отговора. Нека решим първата система от уравнения:

Нека използваме метода на заместване, особено след като тук всичко е готово за него: нека заместим израза 2y вместо x във второто уравнение на системата. Получаваме

Тъй като x = 2y, намираме съответно x 1 = 2, x 2 = 2. Така се получават две решения на дадената система: (2; 1) и (-2; -1). Нека решим втората система от уравнения:

Нека отново използваме метода на заместване: заместете израза 2x вместо y във второто уравнение на системата. Получаваме

Това уравнение няма корени, което означава, че системата от уравнения няма решения. Следователно само решенията на първата система трябва да бъдат включени в отговора.

Отговор: (2; 1); (-2;-1).

Методът за въвеждане на нови променливи при решаване на системи от две уравнения с две променливи се използва в два варианта. Първи вариант: въвежда се една нова променлива и се използва само в едно уравнение на системата. Точно това се случи в пример 3. Втори вариант: две нови променливи се въвеждат и използват едновременно в двете уравнения на системата. Такъв ще бъде случаят в пример 4.

Пример 4.Решете система от уравнения

Нека въведем две нови променливи:

Нека вземем това предвид тогава

Това ще ви позволи да пренапишете отзад тази системав много по-проста форма, но сравнително нови променливи a и b:

Тъй като a = 1, то от уравнението a + 6 = 2 намираме: 1 + 6 = 2; 6=1. Така, по отношение на променливите a и b, имаме едно решение:

Връщайки се към променливите x и y, получаваме система от уравнения

Нека приложим метода за решаване на тази система алгебрично събиране:

Оттогава от уравнението 2x + y = 3 намираме:
Така, по отношение на променливите x и y, имаме едно решение:

Нека завършим този параграф с кратък, но доста сериозен теоретичен разговор. Вече сте натрупали известен опит в решаването различни уравнения: линейни, квадратни, рационални, ирационални. Знаете, че основната идея за решаване на уравнение е постепенно преминаване от едно уравнение към друго, по-просто, но еквивалентно на даденото. В предишния параграф въведохме концепцията за еквивалентност за уравнения с две променливи. Тази концепция се използва и за системи от уравнения.

Определение.

Две системи от уравнения с променливи x и y се наричат ​​еквивалентни, ако имат еднакви решения или ако и двете системи нямат решения.

И трите метода (заместване, алгебрично събиране и въвеждане на нови променливи), които обсъдихме в този раздел, са абсолютно правилни от гледна точка на еквивалентност. С други думи, използвайки тези методи, ние заместваме една система от уравнения с друга, по-проста, но еквивалентна на оригиналната система.

Графичен метод за решаване на системи от уравнения

Вече се научихме как да решаваме системи от уравнения по такива общи и надеждни начини като метода на заместване, алгебричното събиране и въвеждането на нови променливи. Сега нека си припомним метода, който вече изучавахте в предишния урок. Тоест, нека повторим това, което знаете за метода на графичното решение.

Методът за графично решаване на системи от уравнения включва изграждане на графика за всяко от конкретните уравнения, които са включени в дадена система и са разположени в една и съща координатна равнина, както и където е необходимо да се намерят пресечните точки на тези точки. графики. За решаване на тази система от уравнения са координатите на тази точка (x; y).

Трябва да се помни, че за една графична система от уравнения е типично да има или едно единствено правилното решение, или безкраен брой решения, или никакви решения.

Сега нека разгледаме всяко от тези решения по-подробно. И така, система от уравнения може да има уникално решение, ако линиите, които са графиките на уравненията на системата, се пресичат. Ако тези прави са успоредни, тогава такава система от уравнения няма абсолютно никакви решения. Ако директните графики на уравненията на системата съвпадат, тогава такава система позволява да се намерят много решения.

Е, сега нека да разгледаме алгоритъма за решаване на система от две уравнения с 2 неизвестни с помощта на графичен метод:

Първо, първо изграждаме графика на първото уравнение;
Втората стъпка ще бъде да се построи графика, която се отнася до второто уравнение;
Трето, трябва да намерим пресечните точки на графиките.
И в резултат на това получаваме координатите на всяка пресечна точка, което ще бъде решението на системата от уравнения.

Нека разгледаме този метод по-подробно, като използваме пример. Дадена ни е система от уравнения, която трябва да бъде решена:

Решаване на уравнения

1. Първо, ще изградим графика на това уравнение: x2+y2=9.

Но трябва да се отбележи, че тази графика на уравненията ще бъде кръг с център в началото и радиусът му ще бъде равен на три.

2. Следващата ни стъпка ще бъде да начертаем графика на уравнение като: y = x – 3.

В този случай трябва да построим права линия и да намерим точките (0;−3) и (3;0).

3. Да видим какво имаме. Виждаме, че правата пресича окръжността в две от нейните точки A и B.

Сега търсим координатите на тези точки. Виждаме, че координатите (3;0) съответстват на точка A, а координатите (0;−3) съответстват на точка B.

И какво получаваме в резултат?

Числата (3;0) и (0;−3), получени при пресичане на правата с окръжността, са именно решенията и на двете уравнения на системата. И от това следва, че тези числа също са решения на тази система от уравнения.

Тоест отговорът на това решение са числата: (3;0) и (0;−3).

Първо ниво

Решаване на уравнения, неравенства, системи с помощта на графики на функции. Визуално ръководство (2019)

Много задачи, които сме свикнали да изчисляваме чисто алгебрично, могат да бъдат решени много по-лесно и по-бързо; използването на функционални графики ще ни помогне в това. Казвате "как така?" нарисувай нещо и какво да нарисуваш? Повярвайте ми, понякога е по-удобно и по-лесно. Да започваме ли? Да започнем с уравненията!

Графично решаване на уравнения

Графично решаване на линейни уравнения

Както вече знаете, графиката на линейно уравнение е права линия, откъдето идва и името на този тип. Линейните уравнения са доста лесни за решаване алгебрично - прехвърляме всички неизвестни от едната страна на уравнението, всичко, което знаем, от другата и готово! Намерихме корена. Сега ще ви покажа как да го направите графично.

Така че имате уравнението:

Как да го решим?
Опция 1и най-често срещаният е да преместим неизвестните от едната страна и известните от другата, получаваме:

Сега да строим. Какво получи?

Какъв според вас е коренът на нашето уравнение? Точно така, координатата на пресечната точка на графиките е:

Нашият отговор е

Това е цялата мъдрост на графичното решение. Както можете лесно да проверите, коренът на нашето уравнение е число!

Както казах по-горе, това е най-често срещаният вариант, близо до алгебрично решение, но можете да го решите по различен начин. За да разгледаме алтернативно решение, нека се върнем към нашето уравнение:

Този път няма да местим нищо от една страна на друга, а ще изградим графиките директно, както са сега:

Построен? Да видим!

Какво е решението този път? Това е вярно. Същото нещо - координатата на пресечната точка на графиките:

И отново нашият отговор е.

Както можете да видите, с линейни уравнениявсичко е изключително просто. Време е да разгледаме нещо по-сложно... Напр. графично решение на квадратни уравнения.

Графично решаване на квадратни уравнения

И така, сега нека започнем да решаваме квадратното уравнение. Да кажем, че трябва да намерите корените на това уравнение:

Разбира се, вече можете да започнете да броите през дискриминанта или според теоремата на Виета, но много хора без нерви правят грешки при умножаване или повдигане на квадрат, особено ако примерът е с големи числа, и както знаете, няма да имате калкулатор за изпита... Затова нека се опитаме да се отпуснем малко и да рисуваме, докато решаваме това уравнение.

Можете да намерите решения на това уравнение графично различни начини. Нека помислим различни опции, а вие можете да изберете кой ви харесва най-много.

Метод 1. Директно

Ние просто изграждаме парабола, използвайки това уравнение:

За да направите това бързо, ще ви дам един малък намек: Удобно е да започнете конструкцията, като определите върха на параболата.Следните формули ще ви помогнат да определите координатите на върха на парабола:

Ще кажете „Спри! Формулата за е много подобна на формулата за намиране на дискриминанта,” да, така е, и това е огромен недостатък на „директното” конструиране на парабола, за да се намерят нейните корени. Все пак, нека преброим до края, а след това ще ви покажа как да го направите много (много!) по-лесно!

броихте ли Какви координати получихте за върха на параболата? Нека да го разберем заедно:

Абсолютно същия отговор? Много добре! И сега вече знаем координатите на върха, но за да построим парабола ни трябват още... точки. Колко минимални точки мислите, че са ни необходими? Правилно, .

Знаете, че параболата е симетрична спрямо върха си, например:

Съответно се нуждаем от още две точки от левия или десния клон на параболата и в бъдеще ще отразяваме симетрично тези точки от противоположната страна:

Да се ​​върнем към нашата парабола. За нашия случай точка. Имаме нужда от още две точки, така че можем да вземем положителни, или можем да вземем отрицателни? Кои точки са по-удобни за вас? За мен е по-удобно да работя с положителни, така че ще изчисля при и.

Сега имаме три точки и можем лесно да конструираме нашата парабола, като отразяваме две последни точкиспрямо върха му:

Какво според вас е решението на уравнението? Точно така, точки, в които, тоест и. защото.

И ако кажем това, това означава, че също трябва да е равно, или.

Просто? Завършихме решаването на уравнението с вас по сложен графичен начин или ще има още!

Разбира се, можете да проверите нашия отговор алгебрично - можете да изчислите корените, като използвате теоремата на Виета или Дискриминанта. Какво получи? Същото? Ето вижте! Сега нека да разгледаме едно много просто графично решение, сигурен съм, че наистина ще ви хареса!

Метод 2. Разделен на няколко функции

Нека вземем същото уравнение: , но ще го запишем малко по-различно, а именно:

Можем ли да го напишем така? Можем, тъй като трансформацията е еквивалентна. Да погледнем по-нататък.

Нека да конструираме две функции поотделно:

1. - графиката е проста парабола, която можете лесно да конструирате дори без да дефинирате върха с помощта на формули и да съставите таблица за определяне на други точки.
2. - графиката е права линия, която можете също толкова лесно да конструирате, като оцените стойностите в главата си, без дори да прибягвате до калкулатор.

Построен? Да сравним с това, което получих:

Какви според вас са корените на уравнението в този случай? вярно! Координатите, получени от пресичането на две графики и, което е:

Съответно решението на това уравнение е:

Какво казваш? Съгласете се, този метод на решение е много по-лесен от предишния и дори по-лесен от търсенето на корени чрез дискриминант! Ако е така, опитайте да решите следното уравнение, като използвате този метод:

Какво получи? Нека сравним нашите графики:

Графиките показват, че отговорите са:

успяхте ли Много добре! Сега нека разгледаме уравненията малко по-сложни, а именно решаване на смесени уравнения, тоест уравнения, съдържащи функции от различни типове.

Графично решение на смесени уравнения

Сега нека се опитаме да разрешим следното:

Разбира се, можете да приведете всичко към общ знаменател, да намерите корените на полученото уравнение, без да забравяте да вземете предвид ODZ, но отново ще се опитаме да го решим графично, както направихме във всички предишни случаи.

Този път нека изградим следните 2 графики:

1. - графиката е хипербола
2. - графиката е права линия, която можете лесно да конструирате, като оцените стойностите в главата си, без дори да прибягвате до калкулатор.

Разбра ли? Сега започнете да строите.

Ето какво получих:

Гледайки тази снимка, кажете ми какви са корените на нашето уравнение?

Точно така и. Ето потвърждението:

Опитайте да включите нашите корени в уравнението. Се случи?

Това е вярно! Съгласете се, решаването на такива уравнения графично е удоволствие!

Опитайте сами да решите уравнението графично:

Ще ви подскажа: преместете част от уравнението в дясната страна, така че най-простите функции за конструиране да са от двете страни. Разбрахте ли подсказката? Поемам инициатива!

Сега да видим какво имате:

Съответно:

1. - кубична парабола.
2. - обикновена права линия.

Е, нека изградим:

Както записахте отдавна, коренът на това уравнение е - .

След като сте работили с толкова голям брой примери, сигурен съм, че сте разбрали колко лесно и бързо е да се решават уравнения графично. Време е да разберете как да решавате системи по този начин.

Графично решение на системи

Графичното решаване на системи по същество не се различава от графичното решаване на уравнения. Ще изградим и две графики, а техните пресечни точки ще бъдат корените на тази система. Една графика е едно уравнение, втората графика е друго уравнение. Всичко е изключително просто!

Нека започнем с най-простото - решаване на системи от линейни уравнения.

Решаване на системи от линейни уравнения

Да кажем, че имаме следната система:

Първо, нека го трансформираме така, че отляво да има всичко, което е свързано с, а отдясно - всичко, което е свързано с. С други думи, нека напишем тези уравнения като функция в нашата обичайна форма:

Сега просто изграждаме две прави линии. Какво е решението в нашия случай? вярно! Точката на тяхното пресичане! И тук трябва да сте много, много внимателни! Помислете защо? Нека ви подскажа: имаме работа със система: в системата има и двете, и... Разбрахте ли подсказката?

Това е вярно! Когато решаваме система, трябва да гледаме и двете координати, а не само както при решаването на уравнения! Друг важен момент е да ги записваме правилно и да не бъркаме къде имаме смисъла и къде смисъла! Записахте ли го? Сега нека сравним всичко по ред:

И отговорите: и. Направете проверка - заменете намерените корени в системата и се уверете дали сме го решили правилно графично?

Решаване на системи от нелинейни уравнения

Ами ако вместо една права линия имаме квадратно уравнение? Всичко е наред! Просто изграждате парабола вместо права линия! Не вярвайте? Опитайте да разрешите следната система:

Каква е следващата ни стъпка? Точно така, запишете го, така че да ни е удобно да изграждаме графики:

И сега всичко е въпрос на малки неща - изградете го бързо и ето вашето решение! Ние изграждаме:

Същите ли се оказаха графиките? Сега маркирайте решенията на системата на фигурата и запишете правилно идентифицираните отговори!

Направих ли всичко? Сравнете с моите бележки:

всичко наред ли е Много добре! Вие вече разбивате този тип задачи като ядки! Ако е така, нека ви дадем по-сложна система:

Какво правим? вярно! Пишем системата така, че да е удобно да се изгражда:

Ще ви дам малък намек, тъй като системата изглежда много сложна! Когато изграждате графики, изграждайте ги „повече“ и най-важното, не се изненадвайте от броя на пресечните точки.

Така че, да тръгваме! Издишани? Сега започнете да строите!

И как? Красив? Колко пресечни точки получихте? Имам три! Нека сравним нашите графики:

Също? Сега внимателно запишете всички решения на нашата система:

Сега погледнете отново системата:

Можете ли да си представите, че сте решили това само за 15 минути? Съгласете се, математиката все още е проста, особено когато гледате израз, не се страхувате да направите грешка, а просто го вземете и го решете! Ти си голямо момче!

Графично решение на неравенства

Графично решаване на линейни неравенства

След последния пример можете да направите всичко! Сега издишайте - в сравнение с предишните раздели, този ще бъде много, много лесен!

Ще започнем, както обикновено, с графично решение линейно неравенство. Например този:

Първо, нека извършим най-простите трансформации - отворете скобите на идеалните квадрати и представете подобни условия:

Неравенството не е строго, следователно не е включено в интервала и решението ще бъде всички точки, които са вдясно, тъй като повече, повече и така нататък:

Отговор:

Това е всичко! Лесно? Нека решим просто неравенство с две променливи:

Нека начертаем функция в координатната система.

Получихте ли такъв график? Сега нека разгледаме внимателно какво неравенство имаме там? По-малко? Това означава, че рисуваме върху всичко, което е вляво от нашата права линия. Ами ако имаше повече? Точно така, тогава ще рисуваме върху всичко, което е вдясно от нашата права линия. Просто е.

Всички решения на това неравенство са „защриховани“ оранжево. Това е всичко, неравенството с две променливи е решено. Това означава, че координатите на всяка точка от защрихованата област са решенията.

Графично решение на квадратни неравенства

Сега ще разберем как да решаваме графично квадратни неравенства.

Но преди да се заемем с работата, нека прегледаме някои материали относно квадратичната функция.

За какво е отговорен дискриминантът? Точно така, за позицията на графиката спрямо оста (ако не си спомняте това, определено прочетете теорията за квадратичните функции).

Във всеки случай, ето малко напомняне за вас:

Сега, след като опреснихме целия материал в паметта си, нека да се заемем с работата - да решим неравенството графично.

Веднага ще ви кажа, че има два варианта за решаването му.

Опция 1

Записваме нашата парабола като функция:

Използвайки формулите, ние определяме координатите на върха на параболата (точно същото като при решаване на квадратни уравнения):

броихте ли Какво получи?

Сега да вземем още две различни точкии изчислете за тях:

Нека започнем да изграждаме един клон на параболата:

Симетрично отразяваме нашите точки върху друг клон на параболата:

Сега да се върнем към нашето неравенство.

Трябва да е по-малко от нула, съответно:

Тъй като в нашето неравенство знакът е строго по-малък от, ние изключваме крайните точки - „пробиваме“.

Отговор:

Дълъг път, нали? Сега ще ви покажа по-проста версия на графичното решение, използвайки примера на същото неравенство:

Вариант 2

Връщаме се към нашето неравенство и маркираме интервалите, от които се нуждаем:

Съгласете се, много по-бързо е.

Нека сега запишем отговора:

Нека разгледаме друго решение, което опростява алгебричната част, но основното е да не се бъркате.

Умножете лявата и дясната страна по:

Опитайте се да решите следното сами квадратно неравенствопо какъвто начин желаете: .

успяхте ли

Вижте как се оказа моята графика:

Отговор: .

Графично решение на смесени неравенства

Сега нека да преминем към по-сложни неравенства!

Как ви харесва това:

Зловещо е, нали? Честно казано, нямам идея как да реша това алгебрично... Но не е необходимо. Графично няма нищо сложно в това! Очите се страхуват, но ръцете правят!

Първото нещо, с което ще започнем, е като построим две графики:

Няма да пиша таблица за всеки един - сигурен съм, че можете да го направите перфектно сами (уау, има толкова много примери за решаване!).

Ти ли го боядиса? Сега изградете две графики.

Да сравним нашите рисунки?

И при вас ли е така? Страхотен! Сега нека подредим пресечните точки и да използваме цвета, за да определим коя графика трябва да имаме по-голяма на теория, т.е. Вижте какво стана накрая:

Сега нека просто да погледнем къде нашата избрана графика е по-висока от графиката? Чувствайте се свободни да вземете молив и да рисувате върху тази област! Тя ще бъде решението на нашето сложно неравенство!

На какви интервали по оста се намираме по-високо от? Правилно, . Това е отговорът!

Е, сега можете да се справите с всяко уравнение, всяка система и още повече всяко неравенство!

НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Алгоритъм за решаване на уравнения чрез функционални графики:

1. Нека го изразим чрез
2. Нека дефинираме типа функция
3. Нека изградим графики на получените функции
4. Нека намерим пресечните точки на графиките
5. Нека напишем отговора правилно (като вземем предвид ODZ и знаците за неравенство)
6. Нека проверим отговора (заместете корените в уравнението или системата)

За повече информация относно конструирането на функционални графики вижте темата „”.