Системи линейни неравенства. Основни понятия, решаване на системи от линейни неравенства

Системата от неравенстваОбичайно е да се нарича всеки набор от две или повече неравенства, съдържащи неизвестно количество.

Тази формулировка е ясно илюстрирана например от такова системи от неравенства:

Решете системата от неравенства - означава да се намерят всички стойности на неизвестната променлива, за които се реализира всяко неравенство на системата, или да се докаже, че няма такива .

И така, за всеки индивид системни неравенстваизчислете неизвестната променлива. Освен това от получените стойности избира само онези, които са верни както за първото, така и за второто неравенство. Следователно при заместване на избраната стойност и двете неравенства на системата стават правилни.

Нека анализираме решението на няколко неравенства:

Поставете едната под другата двойка числови линии; поставете стойността отгоре х, при което първото неравенство o ( х> 1) става истина, а отдолу стойността х, които са решение на второто неравенство ( х> 4).

Сравнявайки данните за числови редове, имайте предвид, че решението и за двете неравенстваще бъде х> 4. Отговор, х> 4.

Пример 2

Изчисляване на първия неравенствополучаваме -3 х< -6, или х> 2, втората - х> -8, или х < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения х, по който първият системно неравенство, и на долната числова ос, всички тези стойности х, при което се реализира второто неравенство на системата.

Сравнявайки данните, установяваме, че и двете неравенстваще бъдат приложени за всички стойности хпоставени от 2 до 8. Набори от стойности хобозначавам двойно неравенство 2 < х< 8.

Пример 3Да намерим

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката изпълзява стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил измине сто крачки, костенурката ще пропълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Тази дискусия стана логичен шокза всички следващите поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са разглеждали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и в момента, за да се стигне до общо мнение за същността на парадоксите научна общноствсе още не е успял... математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема ..."[Уикипедия," Апориите на Зенон "]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката, Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда, че времето се забавя до пълно спиране в момента, в който Ахил настига костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил безкрайно бързо ще изпревари костенурката“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да измине хиляда крачки, костенурката пълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но не е така цялостно решениепроблеми. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Предстои ни да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент летящата стрела се опира в различни точки в пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движение на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти във времето, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, ви трябват две снимки, направени от различни точкипространство в един момент от времето, но е невъзможно да се определи фактът на движение от тях (естествено, все още са необходими допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). Това, което искам да отбележа по-специално, е, че две точки във времето и две точки в пространството са две различни неща, които не трябва да се бъркат, тъй като предоставят различни възможности за изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Много добре разликите между набор и мултимножество са описани в Уикипедия. Ние гледаме.

Както можете да видите, "множеството не може да има два еднакви елемента", но ако има идентични елементи в множеството, такова множество се нарича "мултимножество". Разумните същества никога няма да разберат такава логика на абсурда. Това е нивото говорещи папагалии обучени маймуни, при които умът отсъства от думата "напълно". Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които са построили моста, са били в лодка под моста по време на тестовете на моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „помни ме, аз съм в къщата“, или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.

Учихме математика много добре и сега седим на касата и плащаме заплати. Тук един математик идва при нас за парите си. Преброяваме му цялата сума и я разпределяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща номинална стойност. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговата "математическа заплата". Обясняваме математиката, че той ще получи останалите сметки само когато докаже, че множеството без еднакви елементи не е равно на множеството с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

Първо ще проработи логиката на депутатите: „към другите можеш, но към мен не!“ По-нататък ще започнем да ни уверяваме, че на банкноти от същия номинал има различни числасметки, което означава, че те не могат да се считат за идентични елементи. Е, ние броим заплатата в монети - няма цифри на монетите. Тук математикът трескаво ще си припомни физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и разположението на атомите за всяка монета е уникално ...

А сега имам най-много интерес Питай: къде е границата, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, науката тук дори не е близо.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площта на полетата е една и съща, което означава, че имаме мултимножество. Но ако разгледаме имената на едни и същи стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Колко правилно? И тук математикът-шаман-шулер изважда козово асо от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво "мислимо като неединно цяло" или "немислимо като единно цяло".

Неделя, 18 март 2018 г

Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те са шамани за това, за да научат своите потомци на своите умения и мъдрост, в противен случай шаманите просто ще изчезнат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. В математиката няма формула, чрез която можете да намерите сумата от цифрите на всяко число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат елементарно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, да кажем, че имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразувахме числото в числов графичен символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена снимка на няколко картинки, съдържащи отделни номера. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични знаци в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са "курсовете по кроене и шиене" от шаманите, използвани от математиците. Но това не е всичко.

От гледна точка на математиката няма значение в коя бройна система записваме числото. И така, в различни системиизчислението, сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. ОТ Голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, помислете за числото 26 от статията за. Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп, вече го направихме. Нека да видим резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Все едно намирането на площта на правоъгълник в метри и сантиметри ще ви даде напълно различни резултати.

Нулата във всички бройни системи изглежда еднакво и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как се означава в математиката това, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо друго освен числа? За шаманите мога да го позволя, но за учените не. Реалността не е само в числа.

Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са единици за измерване на числата. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от дадено математическо действие не зависи от стойността на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.

Ох! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на безкрайната святост на душите при възнесение на небето! Нимб отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Жена... Ореол отгоре и стрелка надолу е мъж.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, число четири, обозначение на градуса). И не го смятам за глупачка това момиче, което не знае физика. Тя просто има дъгов стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е "минус четири градуса" или "едно а". Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетична системаразчитане. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат числото и буквата като един графичен символ.

Неравенства и системи от неравенства е една от темите, които се разглеждат в гимназияпо алгебра. По отношение на трудност не е най-трудният, защото има прости правила (за тях малко по-късно). По правило учениците усвояват лесно решението на системи от неравенства. Това се дължи и на факта, че учителите просто "обучават" учениците си по тази тема. И те не могат да не направят това, защото се изучава в бъдеще с помощта на други математически величини, а също така се проверява за OGE и Единния държавен изпит. AT училищни учебницитемата за неравенствата и системите от неравенства е разгледана много подробно, така че ако ще я изучавате, тогава е най-добре да прибегнете до тях. Тази статия преразказва само големи материали и може да има някои пропуски в нея.

Понятието система от неравенства

Ако се обърнем към научния език, можем да дефинираме понятието "система от неравенства". Това е такъв математически модел, който представлява няколко неравенства. Този модел, разбира се, изисква решение и то ще бъде общият отговор за всички неравенства на системата, предложена в задачата (обикновено се пише така, например: „Решете системата от неравенства 4 x + 1 > 2 и 30 - x > 6..."). Въпреки това, преди да преминете към видовете и методите на решения, трябва да разберете нещо друго.

Системи неравенства и системи уравнения

В процес на учене нова темамного често има недоразумения. От една страна всичко е ясно и по-скоро бих се заел да решавам задачи, но от друга някои моменти остават в "сянка", не се разбират добре. Също така някои елементи от вече придобити знания могат да се преплитат с нови. В резултат на това "наслагване" често възникват грешки.

Ето защо, преди да преминем към анализа на нашата тема, трябва да си припомним разликите между уравнения и неравенства, техните системи. За да направите това, трябва още веднъж да обясните какви са тези математически понятия. Уравнението винаги е равенство и винаги е равно на нещо (в математиката тази дума се обозначава със знака "="). Неравенството е модел, при който една стойност е или по-голяма, или по-малка от друга, или съдържа твърдението, че те не са еднакви. Така че в първия случай е уместно да се говори за равенство, а във втория, колкото и очевидно да звучи от самото име, за неравенството на изходните данни. Системите от уравнения и неравенства практически не се различават една от друга и методите за тяхното решаване са еднакви. Единствената разлика е, че първият използва равенства, докато вторият използва неравенства.

Видове неравенства

Има два вида неравенства: числени и с неизвестна променлива. Първият тип предоставя стойности (числа), които не са равни една на друга, например 8> 10. Вторият тип е неравенство, съдържащо неизвестна променлива (обозначена с някаква буква от латинската азбука, най-често X). Тази променлива трябва да се намери. В зависимост от това колко са, математическият модел разграничава неравенства с една (съставляват система от неравенства с една променлива) или няколко променливи (съставляват система от неравенства с няколко променливи).

Последните два типа, според степента на изграждане и степента на сложност на решението, се разделят на прости и сложни. Простите се наричат ​​още линейни неравенства. Те от своя страна се делят на строги и нестроги. Strict специално "казва", че една стойност трябва да бъде или по-малко, или повече, така че това е чисто неравенство. Има няколко примера: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 и т.н. Нестрогите също включват равенство. Това означава, че една стойност може да бъде по-голяма или равна на друга стойност (знак "≥") или по-малка или равна на друга стойност (знак "≤"). Също така в линейни неравенстваах променливата не е в корена, на квадрат, не се дели на нищо, поради което се наричат ​​"прости". Комплексните включват неизвестни променливи, намирането на които изисква изпълнение Повече ▼математически операции. Те често са в квадрат, куб или под корен, могат да бъдат модулни, логаритмични, дробни и т.н. Но тъй като нашата задача е да разберем решението на системи от неравенства, ще говорим за система от линейни неравенства. Преди това обаче трябва да кажем няколко думи за техните свойства.

Свойства на неравенствата

Свойствата на неравенствата включват следните разпоредби:

1. Знакът на неравенството се обръща, ако се приложи операцията за промяна на последователността от страни (например, ако t 1 ≤ t 2, тогава t 2 ≥ t 1).
2. И двете части на неравенството ви позволяват да добавите едно и също число към себе си (например, ако t 1 ≤ t 2, тогава t 1 + число ≤ t 2 + число).
3. Две или повече неравенства, които имат знак на една и съща посока, ви позволяват да добавите техните лява и дясна част (например, ако t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, тогава t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. И двете части на неравенството позволяват да бъдат умножени или разделени на едно и също положително число (например, ако t 1 ≤ t 2 и числото ≤ 0, тогава числото t 1 ≥ числото t 2).
5. Две или повече неравенства, които имат положителни членове и знак с една и съща посока, позволяват да бъдат умножени едно по друго (например, ако t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 тогава t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. И двете части на неравенството позволяват да бъдат умножени или разделени на едно и също отрицателно число, но знакът на неравенството се променя (например, ако t 1 ≤ t 2 и числото ≤ 0, тогава числото t 1 ≥ число t 2).
7. Всички неравенства имат свойството транзитивност (например, ако t 1 ≤ t 2 и t 2 ≤ t 3, тогава t 1 ≤ t 3).

Сега, след като проучихме основните положения на теорията, свързани с неравенствата, можем да продължим директно към разглеждането на правилата за решаване на техните системи.

Решаване на системи от неравенства. Главна информация. Решения

Както бе споменато по-горе, решението са стойностите на променливата, които отговарят на всички неравенства на дадената система. Решаването на системи от неравенства е изпълнението на математически операции, които в крайна сметка водят до решението на цялата система или доказват, че тя няма решения. В този случай се казва, че променливата се отнася до празния числов набор (записан така: буква, обозначаваща променлива∈ (знак "принадлежи") ø (знак "празно множество"), например x ∈ ø (чете се: "Променливата "x" принадлежи на празното множество"). Има няколко начина за решаване на системи от неравенства: графичен, алгебричен, метод на заместване. Трябва да се отбележи, че те са математически модели, които имат няколко неизвестни променливи. В случай, че има само един, методът на интервалите е подходящ.

Графичен начин

Позволява ви да решите система от неравенства с няколко неизвестни (от две или повече). Благодарение на този метод системата от линейни неравенства се решава доста лесно и бързо, така че това е най-често срещаният метод. Това е така, защото изчертаването намалява количеството математически операции за писане. Става особено приятно да си вземете малко почивка от писалката, да вземете молив с линийка и да продължите с по-нататъшни действия с тяхна помощ, когато е свършена много работа и искате малко разнообразие. въпреки това този методнякои не го харесват поради факта, че трябва да се откъснете от задачата и да превключите умствената си дейност към рисуване. Това обаче е много ефективен начин.

За решаване на система от неравенства с помощта на графичен начин, е необходимо да прехвърлите всички членове на всяко неравенство в лявата им страна. Знаците ще бъдат обърнати, нулата трябва да бъде написана отдясно, след което всяко неравенство трябва да бъде написано отделно. В резултат на това функциите ще бъдат получени от неравенства. След това можете да вземете молив и линийка: сега трябва да начертаете графика на всяка получена функция. Целият набор от числа, които ще бъдат в интервала на тяхното пресичане, ще бъде решението на системата от неравенства.

Алгебричен начин

Позволява ви да решите система от неравенства с две неизвестни променливи. Освен това неравенствата трябва да имат един и същ знак за неравенство (т.е. трябва да съдържат или само знака „по-голямо от“, или само знака „по-малко от“ и т.н.) Въпреки ограниченията си, този метод също е по-сложен. Прилага се на два етапа.

Първият включва действията за премахване на една от неизвестните променливи. Първо трябва да го изберете, след което да проверите за наличието на числа пред тази променлива. Ако няма (тогава променливата ще изглежда като една буква), тогава не променяме нищо, ако има (типът на променливата ще бъде например 5y или 12y), тогава е необходимо да се уверите че във всяко неравенство числото пред избраната променлива е едно и също. За да направите това, трябва да умножите всеки член на неравенствата по общ множител, например, ако 3y е записано в първото неравенство и 5y във второто, тогава трябва да умножите всички членове на първото неравенство по 5 , а вторият с 3. Ще се получи съответно 15y и 15y.

Вторият етап от решението. Необходимо е да прехвърлите лявата страна на всяко неравенство в десните им страни с промяна на знака на всеки термин към противоположния, напишете нула отдясно. След това идва забавната част: премахване на избраната променлива (известна още като „намаляване“), докато се събират неравенствата. Ще получите неравенство с една променлива, която трябва да бъде решена. След това трябва да направите същото, само че с друга неизвестна променлива. Получените резултати ще бъдат решението на системата.

Метод на заместване

Позволява ви да решите система от неравенства, когато е възможно да въведете нова променлива. Обикновено този метод се използва, когато неизвестната променлива в единия член на неравенството се повдига на четвърта степен, а в другия член се повдига на квадрат. По този начин този метод е насочен към намаляване на степента на неравенствата в системата. Примерното неравенство x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 се решава по този начин, както следва. Въвежда се нова променлива, например t. Те пишат: "Нека t = x 2", тогава моделът се пренаписва в нова форма. В нашия случай получаваме t 2 - t - 1 ≤0. Това неравенство трябва да бъде решено чрез интервалния метод (за него малко по-късно), след това се върнете обратно към променливата X, след което направете същото с друго неравенство. Получените отговори ще бъдат решение на системата.

Метод на разстоянието

Това е най-лесният начин за решаване на системи от неравенства, като в същото време е универсален и широко разпространен. Използва се в гимназията, а дори и в гимназията. Същността му се състои в това, че ученикът търси интервали на неравенство на числовата линия, която е начертана в тетрадка (това не е графика, а просто обикновена права линия с числа). Там където се пресичат интервалите на неравенствата се намира решението на системата. За да използвате метода на интервали, трябва да изпълните следните стъпки:

1. Всички членове на всяко неравенство се прехвърлят в лявата страна с промяна на знака към противоположния (нулата се записва вдясно).
2. Неравенствата се изписват поотделно, решението на всяко от тях се определя.
3. Намират се пресечните точки на неравенствата върху реалната права. Всички числа на тези кръстовища ще бъдат решението.

Кой начин да използвате?

Очевидно този, който изглежда най-лесен и удобен, но има моменти, когато задачите изискват определен метод. Най-често те казват, че трябва да решите или с помощта на графика, или с помощта на метода на интервала. Алгебричният метод и заместването се използват изключително рядко или изобщо не се използват, тъй като са доста сложни и объркващи, а освен това се използват повече за решаване на системи от уравнения, отколкото за неравенства, така че трябва да прибягвате до чертане на графики и интервали. Те носят видимост, която не може да не допринесе за ефективното и бързо провеждане на математическите операции.

Ако нещо не работи

По време на изучаването на определена тема по алгебра, разбира се, могат да възникнат проблеми с нейното разбиране. И това е нормално, защото мозъкът ни е устроен така, че не е в състояние да разбере сложния материал наведнъж. Често трябва да прочетете отново абзац, да вземете помощта на учител или да практикувате решаването на типични проблеми. В нашия случай те изглеждат например така: „Решете системата от неравенства 3 x + 1 ≥ 0 и 2 x - 1 > 3“. Така личният стремеж, помощта на трети лица и практиката помагат за разбирането на всяка сложна тема.

Решебник?

И книгата с решения също е много подходяща, но не за измамни домашни, а за самопомощ. В тях можете да намерите системи от неравенства с решение, да ги разгледате (като модели), да се опитате да разберете как точно авторът на решението се е справил със задачата и след това да се опитате да го направите сами.

заключения

Алгебрата е един от най-трудните предмети в училище. Е, какво можете да направите? Математиката винаги е била такава: за едни се получава лесно, а за други е трудно. Но във всеки случай трябва да се помни, че общообразователната програма е проектирана по такъв начин, че всеки ученик да може да се справи с нея. Освен това трябва да имате предвид огромен брой помощници. Някои от тях бяха споменати по-горе.

Една от темите, които изискват максимално внимание и постоянство от учениците, е решаването на неравенства. Толкова подобни на уравненията и в същото време много различни от тях. Защото тяхното решаване изисква специален подход.

Свойства, необходими за намиране на отговора

Всички те се използват за замяна на съществуващ запис с еквивалентен. Повечето от тях са подобни на това, което беше в уравненията. Но има и разлики.

• Функция, която е дефинирана в DPV, или произволно число, може да се добави към двете части на оригиналното неравенство.
• По същия начин умножението е възможно, но само с положителна функция или число.
• Ако това действие се извършва с отрицателна функция или число, тогава знакът за неравенство трябва да бъде обърнат.
• Функциите, които не са отрицателни, могат да бъдат повдигнати на положителна степен.

Понякога решаването на неравенства е придружено от действия, които дават странични отговори. Те трябва да бъдат елиминирани чрез сравняване на зоната на ODZ и набора от решения.

Използване на метода на разстоянието

Същността му е да сведе неравенството до уравнение, в което нулата е от дясната страна.

1. Определете областта, в която се намират допустимите стойности на променливите, т.е. ODZ.
2. Преобразувайте неравенството с помощта на математически операции, така че дясната му страна да е нула.
3. Заменете знака за неравенство с "=" и решете съответното уравнение.
4. На цифровата ос маркирайте всички отговори, получени по време на решението, както и интервалите на ODZ. В случай на строго неравенство, точките трябва да бъдат начертани с пробити точки. Ако има знак за равенство, тогава те трябва да бъдат боядисани.
5. Определете знака на първоначалната функция на всеки интервал, произтичащ от точките на ODZ и отговорите, които го разделят. Ако знакът на функцията не се променя при преминаване през точка, тогава тя влиза в отговора. В противен случай е изключено.
6. Граничните точки за ОДЗ трябва да се проверят допълнително и едва тогава да се включват или не в отговор.
7. Полученият отговор трябва да бъде записан под формата на обединени множества.

Малко за двойните неравенства

Те използват два знака за неравенство в записа наведнъж. Тоест, някаква функция е ограничена от условия два пъти наведнъж. Такива неравенства се решават като система от две, когато първоначалното се разделя на части. А в метода на интервалите са посочени отговорите от решението на двете уравнения.

За разрешаването им също е допустимо да се използват свойствата, посочени по-горе. С тяхна помощ е удобно да се намали неравенството до нула.

Какво ще кажете за неравенствата, които имат модул?

В този случай решението на неравенствата използва следните свойства и те са валидни за положителна стойност на "a".

Ако "x" приема алгебричен израз, тогава следните замествания са валидни:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a на x< -a или х >а.

Ако неравенствата не са строги, тогава формулите също са верни, само че в тях освен знака за по-голямо или по-малко се появява "=".

Как се решава системата от неравенства?

Тези знания ще са необходими в случаите, когато се дава такава задача или има запис на двойно неравенство или в записа се появява модул. В такава ситуация решението ще бъде такива стойности на променливите, които биха задоволили всички неравенства в записа. Ако няма такива числа, системата няма решения.

Планът, според който се извършва решението на системата от неравенства:

• решавайте всеки от тях поотделно;
• изобразяват всички интервали върху числовата ос и определят техните пресечни точки;
• запишете отговора на системата, който ще бъде обединението на случилото се във втория параграф.

Какво ще кажете за дробните неравенства?

Тъй като по време на тяхното решение може да се наложи да промените знака на неравенството, е необходимо да следвате всички точки на плана много внимателно и внимателно. В противен случай може да получите обратния отговор.

Решение дробни неравенствасъщо използва интервалния метод. И планът за действие ще бъде:

• Използвайки описаните свойства, придайте на дроба такава форма, че да остане само нула вдясно от знака.
• Заменете неравенството с "=" и определете точките, в които функцията ще бъде равна на нула.
• Маркирайте ги върху координатната ос. В този случай числата, получени от изчисленията в знаменателя, винаги ще бъдат изчертани. Всички останали се основават на условието за неравенство.
• Определете интервали на постоянство.
• В отговор запишете обединението на тези интервали, чийто знак съответства на този, който е бил в първоначалното неравенство.

Ситуации, когато ирационалността се проявява в неравенството

С други думи, в записа има математически корен. Тъй като повечето от задачите в училищния курс по алгебра са за квадратен корен, ще бъде разгледан именно той.

Решението на ирационалните неравенства се свежда до получаване на система от две или три, която ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Примери за решаване на различни видове неравенства

За да добавим яснота към теорията за решаване на неравенства, по-долу са дадени примери.

Първи пример. 2x - 4 > 1 + x

Решение: За да се определи DHS, трябва само да се погледне внимателно неравенството. Образува се от линейни функции, така че е дефиниран за всички стойности на променливата.

Сега от двете страни на неравенството трябва да извадите (1 + x). Оказва се: 2x - 4 - (1 + x) > 0. След отваряне на скобите и задаване на подобни членове неравенството ще приеме следния вид: x - 5 > 0.

Приравнявайки го на нула, е лесно да се намери неговото решение: x = 5.

Сега тази точка с номер 5 трябва да бъде маркирана на координатния лъч. След това проверете знаците на оригиналната функция. На първия интервал от минус безкрайност до 5 можете да вземете числото 0 и да го замените в неравенството, получено след трансформациите. След изчисления се получава -7 >0. под дъгата на интервала трябва да подпишете знак минус.

На следващия интервал от 5 до безкрайност можете да изберете числото 6. Тогава се оказва, че 1 > 0. Знакът "+" е подписан под дъгата. Този втори интервал ще бъде отговорът на неравенството.

Отговор: x се намира в интервала (5; ∞).

Втори пример. Необходимо е да се реши система от две уравнения: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Решение. ODZ на тези неравенства също лежи в областта на произволни числа, тъй като са дадени линейни функции.

Второто неравенство ще приеме формата на следното уравнение: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. След трансформация: -x - 4 =0. Той произвежда стойност за променливата, равна на -4.

Тези две числа трябва да бъдат маркирани на оста, показваща интервалите. Тъй като неравенството не е строго, всички точки трябва да бъдат защриховани. Първият интервал е от минус безкрайност до -4. Нека бъде избрано числото -5. Първото неравенство ще даде стойност -3, а второто 1. Така че този интервал не е включен в отговора.

Вторият интервал е от -4 до -2. Можете да изберете числото -3 и да го замените и в двете неравенства. И в първия, и във втория се получава стойност -1. И така, под дъгата "-".

В последния интервал от -2 до безкрайност нулата е най-доброто число. Трябва да го замените и да намерите стойностите на неравенствата. В първия от тях се получава положително число, а във втория нула. Този интервал също трябва да бъде изключен от отговора.

От трите интервала само един е решението на неравенството.

Отговор: x принадлежи на [-4; -2].

Трети пример. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Решение. Първата стъпка е да се определят точките, в които функциите изчезват. За ляво това число ще бъде 2, за дясно - 1. Те ​​трябва да бъдат маркирани върху гредата и да бъдат определени интервалите на постоянство.

На първия интервал, от минус безкрайност до 1, функцията от лявата страна на неравенството взема положителни стойности, а отдясно - отрицателна. Под дъгата трябва да напишете два знака „+“ и „-“ един до друг.

Следващият интервал е от 1 до 2. На него и двете функции приемат положителни стойности. И така, има два плюса под дъгата.

Третият интервал от 2 до безкрайност ще даде следния резултат: лявата функция е отрицателна, дясната е положителна.

Като се вземат предвид получените знаци, е необходимо да се изчислят стойностите на неравенството за всички интервали.

На първия се получава следното неравенство: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Минусът преди двете във второто неравенство се дължи на факта, че тази функция е отрицателна.

След трансформацията неравенството изглежда така: x > 0. То веднага дава стойностите на променливата. Тоест от този интервал в отговор ще отиде само интервалът от 0 до 1.

На втория: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Трансформациите ще дадат такова неравенство: -3x + 4 е по-голямо от нула. Неговата нула ще бъде стойността x = 4/3. Като се има предвид знакът за неравенство, се оказва, че x трябва да е по-малко от това число. Това означава, че този интервал намалява до интервала от 1 до 4/3.

Последното дава следния запис на неравенство: - (2 - x) > 2 (x - 1). Трансформацията му води до това: -x > 0. Тоест уравнението е вярно за x по-малко от нула. Това означава, че неравенството не дава решения на търсения интервал.

На първите два интервала граничното число беше 1. Трябва да се провери отделно. Тоест заместване в първоначалното неравенство. Оказва се: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Преброяването показва, че 1 е по-голямо от 0. Това е вярно твърдение, така че единица е включена в отговора.

Отговор: x се намира в интервала (0; 4/3).

Тази статия е събрала първоначална информация за системи от неравенства. Тук даваме дефиниция на система от неравенства и дефиниция на решение на система от неравенства. Изброяват се и основните типове системи, с които най-често се налага да работите в часовете по алгебра в училище, и са дадени примери.

Навигация в страницата.

Какво е система от неравенства?

Удобно е да се дефинират системи от неравенства по същия начин, както въведохме определението за система от уравнения, тоест според вида на записа и значението, вложено в него.

Определение.

Система от неравенствае запис, представляващ определен брой неравенства, записани едно под друго, обединени отляво с къдрава скоба, и обозначаващ множеството от всички решения, които са едновременно решения на всяко неравенство на системата.

Нека дадем пример за система от неравенства. Вземете две произволни, например 2 x−3>0 и 5−x≥4 x−11, запишете ги едно под друго
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
и се обединяват със знака на системата - къдрава скоба, в резултат на което получаваме система от неравенства със следната форма:

По подобен начин се дава представа за системите от неравенства в училищните учебници. Струва си да се отбележи, че определенията в тях са дадени по-тясно: за неравенства с една променлива или с две променливи.

Основните видове системи от неравенства

Ясно е, че са безкрайно много различни системинеравенства. За да не се изгубите в това разнообразие, препоръчително е да ги разгледате по групи, които имат свои собствени Характеристика. Всички системи от неравенства могат да бъдат разделени на групи според следните критерии:

• по броя на неравенствата в системата;
• по броя на променливите, включени в записа;
• от естеството на неравенствата.

Според броя на неравенствата, включени в записа, се разграничават системи от две, три, четири и т.н. неравенства. В предишния параграф дадохме пример за система, която е система от две неравенства. Нека да покажем друг пример за система от четири неравенства .

Отделно казваме, че няма смисъл да говорим за система от едно неравенство, в този случай всъщност говорим сиза самото неравенство, а не за системата.

Ако погледнете броя на променливите, тогава има системи от неравенства с едно, две, три и т.н. променливи (или, както се казва, неизвестни). Погледнете последната система от неравенства, написана два абзаца по-горе. Това е система с три променливи x, y и z. Обърнете внимание, че нейните първи две неравенства не съдържат и трите променливи, а само една от тях. В контекста на тази система те трябва да се разбират като неравенства с три променливи от вида x+0 y+0 z≥−2 и 0 x+y+0 z≤5, съответно. Имайте предвид, че училището се фокусира върху неравенствата с една променлива.

Остава да обсъдим какви видове неравенства са включени в писмените системи. В училище се разглеждат предимно системи от две неравенства (по-рядко - три, още по-рядко - четири или повече) с една или две променливи, а самите неравенства обикновено са целочислени неравенствапърва или втора степен (рядко - повече от високи градусиили частично рационален). Но не се изненадвайте, ако в подготвителните материали за OGE срещнете системи от неравенства, съдържащи ирационални, логаритмични, експоненциални и други неравенства. Като пример представяме системата от неравенства , взето е от .

Какво е решението на система от неравенства?

Въвеждаме още една дефиниция, свързана със системите от неравенства - дефиницията на решение на система от неравенства:

Определение.

Решаване на система от неравенства с една променливанарича се такава стойност на променлива, която превръща всяко от неравенствата на системата в истина, с други думи, е решението на всяко неравенство на системата.

Нека обясним с пример. Нека вземем система от две неравенства с една променлива. Нека вземем стойността на променливата x равна на 8 , тя е решение на нашата система от неравенства по дефиниция, тъй като нейното заместване в неравенствата на системата дава две правилни числени неравенства 8>7 и 2−3 8≤0 . Напротив, единицата не е решение на системата, тъй като когато се замени с нея променливата x, първото неравенство ще се превърне в неправилно числово неравенство 1>7 .

По подобен начин можем да въведем определението за решение на система от неравенства с две, три или повече променливи:

Определение.

Решаване на система от неравенства с две, три и т.н. променливинаречен чифт, тройка и т.н. стойностите на тези променливи, което е едновременно решение на всяко неравенство на системата, т.е. превръща всяко неравенство на системата в истинско числено неравенство.

Например, двойка стойности x=1 , y=2 или в друга нотация (1, 2) е решение на система от неравенства с две променливи, тъй като 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системите от неравенства може да нямат решения, могат да имат краен брой решения или могат да имат безкрайно много решения. Често се говори за набор от решения на система от неравенства. Когато една система няма решения, тогава има празно множество от нейните решения. Когато има краен брой решения, тогава множеството от решения съдържа краен брой елементи, а когато има безкрайно много решения, тогава множеството от решения се състои от безкраен брой елементи.

Някои източници въвеждат дефиниции на конкретно и общо решение на система от неравенства, като например в учебниците на Мордкович. Под частно решение на системата от неравенстваразберете неговото единствено решение. На свой ред общо решение на системата от неравенства- всичко това са нейни лични решения. Тези термини обаче имат смисъл само когато се изисква да се подчертае кое решение се обсъжда, но обикновено това вече е ясно от контекста, така че е много по-често да се казва просто „решение на система от неравенства“.

От дефинициите на система от неравенства и нейните решения, въведени в тази статия, следва, че решението на система от неравенства е пресечната точка на множествата от решения на всички неравенства на тази система.

Библиография.

1. Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., Sr. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ИЗПОЛЗВАНЕ-2013. Математика: типови изпитни варианти: 30 варианта / изд. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. - М .: Издателство "Национално образование", 2012. - 192 с. - (USE-2013. FIPI - школа).