Решаване на уравнения от по-високи степени чрез различни методи. Решаване на уравнения от по-високи степени

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Уравненията са били използвани от човека от древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. Уравненията са доста често срещани в математиката. по-високи степенис цели коефициенти. За да разрешите този вид уравнение, трябва:

Определете рационалните корени на уравнението;

Извадете полинома, който е от лявата страна на уравнението;

Намерете корените на уравнението.

Да предположим, че ни е дадено уравнение със следната форма:

Нека намерим всичките му истински корени. Умножете лявата и дясната страна на уравнението по \

Нека променим променливите \

По този начин получихме намалено уравнение от четвърта степен, което се решава по стандартния алгоритъм: проверяваме делителите, извършваме разделяне и в резултат откриваме, че уравнението има два реални корена \ и два комплексни нечий. Получаваме следния отговор на нашето уравнение от четвърта степен:

Къде мога да реша онлайн уравнение с по-високи степени с програма за решаване?

Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкцията и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.

Текстът на творбата е поместен без изображения и формули.
Пълна версияработата е налична в раздела „Работни файлове“ в PDF формат

Въведение

Решаването на алгебрични уравнения от по-високи степени с едно неизвестно е едно от най-трудните и древни задачи по математика. Най-видните математици на древността са се занимавали с тези проблеми.

Решаването на уравнения от n-та степен е важна задача и за съвременната математика. Интересът към тях е доста голям, тъй като тези уравнения са тясно свързани с търсенето на корените на уравнения, които не се разглеждат от училищната програма по математика.

проблем:липсата на умения за решаване на уравнения от по-високи степени по различни начини сред учениците им пречи да се подготвят успешно за финалната атестация по математика и математически олимпиади, преподаване в профилирана математическа паралелка.

Горните факти се установяват уместностна нашата работа "Решение на уравнения от по-високи степени".

Притежаването на най-простите методи за решаване на уравнения от n-та степен намалява времето за изпълнение на задачата, от което зависи резултатът от работата и качеството на учебния процес.

Обективен:ученето известни начинирешаване на уравнения от по-високи степени и идентифициране на най-достъпните от тях за практическо приложение.

Въз основа на тази цел, следното задачи:

Да проучи литературата и интернет ресурсите по тази тема;

Запознайте се с историческите факти, свързани с тази тема;

Опишете различни начини за решаване на уравнения от по-високи степени

сравнете степента на трудност на всеки от тях;

Да запознае съучениците с методи за решаване на уравнения от по-високи степени;

Създайте набор от уравнения за практическото приложение на всеки от разгледаните методи.

Обект на изследване- уравнения от по-високи степени с една променлива.

Предмет на изследване- начини за решаване на уравнения от по-високи степени.

Хипотеза:няма общ начин и единичен алгоритъм, който позволява намирането на решения на уравнения от n-та степен в краен брой стъпки.

Изследователски методи:

- библиотека графичен метод(анализ на литературата по темата на изследването);

- класификационен метод;

- метод на качествен анализ.

Теоретично значениеизследването се състои в систематизиране на методи за решаване на уравнения от по-високи степени и описание на техните алгоритми.

Практическо значение- представеният материал по тази тема и разработването на учебно помагало за ученици по тази тема.

1. УРАВНЕНИЯ НА ВИСШИТЕ СТЕПЕНИ

1.1 Концепцията за уравнение от n-та степен

Определение 1.Уравнение от n-та степен е уравнение от формата

а 0 xⁿ+a 1 хн -1 +a 2 xⁿ - ²+...+aн -1 x+a n = 0, където коефициентите а 0, а 1, а 2…, ан -1, а n - всякакви реални числа и ,а 0 ≠ 0 .

Полином а 0 xⁿ+a 1 хн -1 +a 2 xⁿ - ²+...+aн -1 x+a n се нарича полином от n-та степен. Коефициентите се отличават с имена: а 0 - старши коефициент; а n е безплатен член.

Определение 2. Решения или корени на дадено уравнениеса всички стойности на променливата х, които превръщат това уравнение в истинско числово равенство или, за което полиномът а 0 xⁿ+a 1 хн -1 +a 2 xⁿ - ²+...+aн -1 x+a n отива на нула. Такава променлива стойност хнаричан още корен на полином. Да решиш уравнение означава да намериш всичките му корени или да установиш, че няма такива.

Ако а 0 = 1, тогава такова уравнение се нарича редуцирано цяло рационално уравнение n thстепен.

За уравнения от трета и четвърта степен има формули на Кардано и Ферари, които изразяват корените на тези уравнения чрез радикали. Оказа се, че на практика те се използват рядко. Така, ако n ≥ 3 и коефициентите на полинома са произволни реални числа, тогава намирането на корените на уравнението не е лесна задача. Но в много специални случаи този проблем се решава докрай. Нека се спрем на някои от тях.

1.2 Исторически фактирешения на уравнения от по-високи степени

Още в древни времена хората осъзнават колко е важно да се научат да решават алгебрични уравнения. Преди около 4000 години вавилонски учени са притежавали решението квадратно уравнениеи решени системи от две уравнения, едното от които е от втора степен. С помощта на уравнения от по-високи степени бяха решени различни проблеми на земемерството, архитектурата и военното дело, много и различни въпроси на практиката и естествените науки бяха сведени до тях, тъй като точният език на математиката позволява просто да се изразят факти и отношения, които, изразени на обикновен език, може да изглеждат объркващи и сложни.

Универсална формула за намиране на корени алгебрично уравнение n-тибез степен. Мнозина, разбира се, излязоха с примамливата идея да намерят формули за всяка степен на n, които биха изразили корените на уравнението по отношение на неговите коефициенти, тоест биха решили уравнението в радикали.

Едва през 16 век италианските математици успяват да продължат напред - да намерят формули за n = 3 и n = 4. В същото време въпросът за общо решениеуравнения от 3-та степен са изследвани от Сципион, Дал, Феро и неговите ученици Фиори и Тарталия.

През 1545 г. е публикувана книгата на италианския математик Д. Кардано "Великото изкуство, или за правилата на алгебрата", където, наред с други въпроси на алгебрата, общи начинирешения на кубични уравнения, както и метод за решаване на уравнения от 4-та степен, открит от неговия ученик Л. Ферари.

Пълно изложение на въпроси, свързани с решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен, е дадено от Ф. Виет.

През 20-те години на 19 век норвежкият математик Н. Абел доказва, че корените на уравненията от пета степен не могат да бъдат изразени чрез радикали.

По време на проучването беше установено, че съвременна наукаима много начини за решаване на уравнения от n-та степен.

Резултатът от търсенето на методи за решаване на уравнения от по-високи степени, които не могат да бъдат решени с методите, разгледани в училищна програма, са се превърнали в методи, базирани на прилагането на теоремата на Vieta (за уравнения на степен n>2), теоремите на Безу, схемите на Хорнер, както и формулата на Кардано и Ферари за решаване на кубични и четвъртични уравнения.

В статията са представени методи за решаване на уравнения и техните видове, превърнали се в откритие за нас. Те включват - метода на неопределените коефициенти, разпределението на пълна степен, симетрични уравнения.

2. РЕШЕНИЕ НА ИНТЕГРИРАНИ УРАВНЕНИЯ С ПО-ВИСОКИ СТЕПЕНИ С ИНТЕГРИРАНИ КОЕФИЦИЕНТИ

2.1 Решаване на уравнения от 3-та степен. Формула D. Cardano

Разгледайте уравненията на формата х 3 +px+q=0.Преобразуваме общото уравнение във вида: х 3 +px 2 +qx+r=0.Нека напишем формулата на сумарния куб; Нека го добавим към първоначалното равенство и да го заменим с г. Получаваме уравнението: г 3 + (q -) (y -) + (r - =0.След трансформациите имаме: г 2 +py + q=0.Сега, нека напишем отново формулата за сборен куб:

(a+b) 3 =а 3 + 3а 2 b+3ab 2 +б 3 = а 3 +б 3 + 3ab (a + b),замени ( a+b)на х, получаваме уравнението х 3 - 3abx - (а 3 +б 3) = 0. Сега е ясно, че първоначалното уравнение е еквивалентно на системата: и Решавайки системата, получаваме:

Получихме формула за решаване на горното уравнение от 3-та степен. Носи името на италианския математик Кардано.

Помислете за пример. Решете уравнението: .

Ние имаме Р= 15 и р= 124, след което с помощта на формулата на Кардано изчисляваме корена на уравнението

Заключение: тази формула е добра, но не е подходяща за решаване на всички кубични уравнения. Въпреки това е обемист. Поради това рядко се използва на практика.

Но този, който владее тази формула, може да я използва при решаване на уравнения от трета степен на изпита.

2.2 Теорема на Виета

От курса по математика знаем тази теорема за квадратно уравнение, но малко хора знаят, че тя се използва и за решаване на уравнения от по-високи степени.

Разгледайте уравнението:

факторизирайте лявата страна на уравнението, разделете на ≠ 0.

Преобразуваме дясната страна на уравнението във формата

; От това следва, че можем да запишем следните равенства в системата:

Формулите, изведени от Vieta за квадратни уравнения и демонстрирани от нас за уравнения от 3-та степен, са верни и за полиноми от по-високи степени.

Нека решим кубичното уравнение:

Заключение: този метод е универсален и достатъчно лесен за разбиране от учениците, тъй като теоремата на Виета им е позната от училищната програма за n = 2. В същото време, за да се намерят корените на уравненията с помощта на тази теорема, е необходимо да имате добри изчислителни умения.

2.3 Теорема на Безу

Тази теорема е кръстена на френския математик от 18 век Ж. Безу.

Теорема.Ако уравнението а 0 xⁿ+a 1 хн -1 +a 2 xⁿ - ²+...+aн -1 x+a n = 0, в която всички коефициенти са цели числа, а свободният член е различен от нула, има цяло число, то този корен е делител на свободния член.

Като се има предвид, че от лявата страна на уравнението полиномът n-та степен, тогава теоремата има друга интерпретация.

Теорема.При деление на полином от n-та степен по отношение на хв бином х-аостатъкът е равен на стойността на дивидента, когато х = а. (писмо аможе да означава всяко реално или имагинерно число, т.е. всякакви комплексно число) .

Доказателство:позволявам f(x) означава произволен полином от n-та степен по отношение на променливата x и нека, когато е разделен на бином ( х-а) се случи насаме q(x), а в останалата част Р. Очевидно е, че q(x)ще има някакъв полином (n - 1) степен относително х, и остатъка Рще бъде постоянна стойност, т.е. независим от х.

Ако остатъкът Рбеше полином от първа степен по x, тогава това би означавало, че делението не е извършено. Така, Рот хне зависи. Чрез дефиницията на разделението получаваме идентичността: f(x)=(x-a)q(x)+R.

Равенството е вярно за всяка стойност на x, така че е вярно и за х=а, получаваме: f(a)=(a-a)q(a)+R. Символ f(a) обозначава стойността на полинома f (х) при x=a, q(a)обозначава стойност q(x) при х=а.остатък Ростана както преди Рот хне зависи. работа ( x-a) q(a) = 0, тъй като множителят ( x-a) = 0,и множителя q(a)има определен брой. Следователно от равенството получаваме: f(a)=R, h.t.d.

Пример 1Намерете остатъка от делението на полином х 3 - 3х 2 + 6х- 5 на бином

х- 2. По теоремата на Безу : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Отговор: R= 3.

Обърнете внимание, че теоремата на Безу не е толкова важна сама по себе си, а поради последствията от нея. (Приложение 1)

Нека се спрем на разглеждането на някои методи за прилагане на теоремата на Bezout към решението практически задачи. Трябва да се отбележи, че при решаване на уравнения с помощта на теоремата на Bezout е необходимо:

Намерете всички цели делители на свободния член;

От тези делители намерете поне един корен на уравнението;

Разделете лявата страна на уравнението на (Ха);

Напишете произведението на делителя и частното от лявата страна на уравнението;

Решете полученото уравнение.

Разгледайте примера за решаване на уравнението x 3 + 4х 2 + x - 6 = 0 .

Решение: намерете делителите на свободния член ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Изчислете стойностите за x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Разделете лявата страна на уравнението на ( Х- 1). Извършваме разделянето с „ъгъл“, получаваме:

Заключение: Теоремата на Безу, един от начините, които разглеждаме в нашата работа, се изучава в програмата за извънкласни дейности. Трудна е за разбиране, защото за да я овладеете, трябва да знаете всички следствия от нея, но в същото време теоремата на Безу е един от основните помощници на учениците на изпита.

2.4 Схема на Хорнер

Да разделим полином на бином x-αможете да използвате специален прост трик, изобретен от английски математици от 17-ти век, по-късно наречен схема на Хорнер. В допълнение към намирането на корените на уравненията, схемата на Horner улеснява изчисляването на техните стойности. За да направите това, е необходимо да замените стойността на променливата в полинома Pn (x)=a 0 xn+a 1 х n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ ан -1 x+aн. (един)

Да разгледаме разделянето на полинома (1) на бинома х-α.

Изразяваме коефициентите на непълното частно b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ млрд -1 и остатъка rпо отношение на коефициентите на полинома Pn( х) и число α. b 0 =а 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, млрд -1 =

= α млрд -2 +aн -1 = α млрд -1 +aн .

Изчисленията по схемата на Хорнер са представени под формата на следната таблица:

	а 0	а 1	а 2 ,
	b 0 =а 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r=α b n-1 +aн

Тъй като r=Pn(α),тогава α е коренът на уравнението. За да се провери дали α е кратен корен, схемата на Хорнер може да се приложи вече към частното b 0 x+ b 1 x+...+млрд -1 според таблицата. Ако в колоната под б.н -1 получаваме отново 0, така че α е кратен корен.

Помислете за пример: решете уравнението х 3 + 4х 2 + x - 6 = 0.

Нека приложим към лявата страна на уравнението факторизацията на полинома от лявата страна на уравнението, схемата на Хорнер.

Решение: намерете делителите на свободния член ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Коефициентите на частното са числата 1, 5, 6, а остатъкът е r = 0.

означава, х 3 + 4х 2 + х - 6 = (х - 1) (х 2 + 5х + 6) = 0.

Оттук: х- 1 = 0 или х 2 + 5х + 6 = 0.

х = 1, х 1 = -2; х 2 = -3. Отговор: 1,- 2, - 3.

Заключение: по този начин в едно уравнение сме показали използването на две различни начинифакторизации на полиноми. Според нас схемата на Хорнер е най-практична и икономична.

2.5 Решаване на уравнения от 4-та степен. Метод на Ферари

Ученикът на Кардано Лудовик Ферари откри начин за решаване на уравнение от 4-та степен. Методът Ferrari се състои от две стъпки.

Етап I: уравнението на формата е представено като произведение на два квадратни тричлена; това следва от факта, че уравнението е от 3-та степен и има поне едно решение.

Етап II: получените уравнения се решават с помощта на факторизация, но за да се намери необходимата факторизация, трябва да се решат кубични уравнения.

Идеята е да представим уравненията като A 2 =B 2, където A= х 2+s,

B-линейна функция на х. След това остава да се решат уравненията A = ±B.

За по-голяма яснота разгледайте уравнението: Отделяме 4-та степен, получаваме: За всяко дизраз ще бъде перфектен квадрат. Добавете към двете страни на уравнението, което получаваме

От лявата страна има пълен квадрат, можете да вземете дтака че дясната страна на (2) става перфектен квадрат. Представете си, че сме постигнали това. Тогава нашето уравнение изглежда така:

Намирането на корена по-късно няма да е трудно. Да избереш правилното днеобходимо е дискриминантът на дясната страна на (3) да изчезне, т.е.

Така че да се намери д, е необходимо да се реши това уравнение от 3-та степен. Това спомагателно уравнение се нарича разтворител.

Можем лесно да намерим корена на цялото число на резолвентата: d= 1

Замествайки уравнението в (1), получаваме

Заключение: методът на Ферари е универсален, но сложен и тромав. В същото време, ако алгоритъмът за решение е ясен, тогава уравненията от 4-та степен могат да бъдат решени по този метод.

2.6 Метод на неопределените коефициенти

Успехът на решаването на уравнението от 4-та степен по метода на Ферари зависи от това дали ще решим резолвентата - уравнението от 3-та степен, което, както знаем, не винаги е възможно.

Същността на метода на неопределените коефициенти е, че типът фактори, на които се разлага даден полином, се отгатва и коефициентите на тези фактори (също полиноми) се определят чрез умножаване на факторите и приравняване на коефициентите при еднакви степени на променлива.

Пример: решете уравнението:

Да предположим, че лявата страна на нашето уравнение може да се разложи на два квадратни тринома с цели коефициенти, така че идентичното равенство

Очевидно е, че коефициентите пред тях трябва да са равни на 1, а свободните членове трябва да са равни на единица + 1, другият има 1.

Коефициентите пред х. Нека ги обозначим с аи за да ги определим, умножаваме двата тричлена от дясната страна на уравнението.

В резултат на това получаваме:

Приравняване на коефициентите при едни и същи степени хв ляво и десни частиравенство (1), получаваме система за намиране и

Решаването на тази система ще имаме

Така че нашето уравнение е еквивалентно на уравнението

Решавайки го, получаваме следните корени: .

Методът на неопределените коефициенти се основава на следните твърдения: всеки полином от четвърта степен в уравнението може да се разложи на произведението на два полинома от втора степен; два полинома са идентично равни тогава и само ако техните коефициенти са равни при еднакви степени Х.

2.7 Симетрични уравнения

Определение.Уравнение от формата се нарича симетрично, ако първите коефициенти отляво на уравнението са равни на първите коефициенти отдясно.

Виждаме, че първите коефициенти отляво са равни на първите коефициенти отдясно.

Ако такова уравнение има нечетна степен, то има корен х= - 1. След това можем да намалим степента на уравнението, като го разделим на ( x+един). Оказва се, че при разделяне на симетричното уравнение на ( x+ 1) се получава симетрично уравнение с четна степен. Доказателството за симетрията на коефициентите е представено по-долу. (Приложение 6) Нашата задача е да се научим да решаваме симетрични уравнения с четна степен.

Например: (1)

Решаваме уравнение (1), разделяме на х 2 (до средна степен) = 0.

Групираме членовете със симетрични

) + 3(х+ . Обозначете при= х+ , нека повдигнем на квадрат двете части, следователно = при 2 Така че 2( при 2 или 2 при 2 + 3 решавайки уравнението, получаваме при = , при= 3. След това се връщаме към замяната х+ = и х+ = 3. Получаваме уравненията и Първото няма решение, а второто има два корена. Отговор:.

Заключение: този тип уравнение не се среща често, но ако попаднете на него, то може да бъде решено лесно и просто, без да се прибягва до тромави изчисления.

2.8 Извличане на пълна степен

Помислете за уравнението.

Лявата страна е кубът на сбора (x + 1), т.е.

Извличаме корена на трета степен от двете части: , тогава получаваме

Къде е единственият корен.

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗСЛЕДВАНЕТО

В резултат на работата стигнахме до следните изводи:

Благодарение на изучаваната теория се запознахме с различни методи за решаване на цели уравнения от по-високи степени;

Формулата на Д. Кардано е трудна за използване и дава голяма вероятност за допускане на грешки в изчислението;

− методът на Л. Ферари позволява да се намали решението на уравнението от четвърта степен до кубичното;

− Теоремата на Безу може да се използва както за кубични уравнения, така и за уравнения от четвърта степен; по-разбираем и илюстративен е, когато се прилага за решаване на уравнения;

Схемата на Хорнер помага значително да се намалят и опростят изчисленията при решаването на уравнения. В допълнение към намирането на корените, схемата на Horner улеснява изчисляването на стойностите на полиномите от лявата страна на уравнението;

Особен интерес представляваше решаването на уравнения по метода на неопределените коефициенти, решаването на симетрични уравнения.

По време на изследователска работаУстановено е, че учениците се запознават с най-простите методи за решаване на уравнения от най-висока степен в избираемите часове по математика, започващи от 9-ти или 10-ти клас, както и в специални курсове на посещаващи математически училища. Този факт е установен в резултат на анкетно проучване на учители по математика в МБОУ „СОУ №9“ и ученици, които проявяват повишен интерес към предмета „математика“.

Най-популярните методи за решаване на уравнения от по-високи степени, които се срещат при решаване на олимпиадни, състезателни задачи и в резултат на подготовка за изпити от студентите, са методите, базирани на прилагането на теоремата на Безу, схемата на Хорнер и въвеждането на нова променлива .

Демонстрация на резултатите от изследователската работа, т.е. начини за решаване на уравнения, които не се изучават в училищната програма по математика, заинтересовани съученици.

Заключение

Изучавайки образователната и научна литература, Интернет ресурси в младежки образователни форуми

Обмисли решаване на уравнения с една променлива със степен по-висока от втората.

Степента на уравнението P(x) = 0 е степента на полинома P(x), т.е. най-голямата от степените на неговите членове с различен от нула коефициент.

Така например уравнението (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 има пета степен, тъй като след операциите за отваряне на скоби и привеждане на подобни, получаваме еквивалентно уравнение x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 от пета степен.

Припомнете си правилата, които ще са необходими за решаване на уравнения със степен по-висока от втората.

Изявления за корените на полином и неговите делители:

1. Полином n-тистепен има брой корени, които не надвишават числото n, а корените с кратност m се срещат точно m пъти.

2. Полином с нечетна степен има поне един реален корен.

3. Ако α е коренът на Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), където Q n – 1 (x) е полином от степен (n – 1) .

5. Редуциран полином с цели коефициенти не може да има дробни рационални корени.

6. За полином от трета степен

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d е възможно едно от двете неща: или се разлага на продукт от три бинома

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) или се разлага на произведение на бином и квадратен трином P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. Всеки полином от четвърта степен се разширява в произведението на два квадратни тринома.

8. Полином f(x) се дели на полином g(x) без остатък, ако съществува полином q(x), такъв че f(x) = g(x) q(x). За разделяне на полиноми се прилага правилото за "деление с ъгъл".

9. За да може полиномът P(x) да се дели на бинома (x – c), е необходимо и достатъчно числото c да бъде корен на P(x) (следствие от теоремата на Безу).

10. Теорема на Виета: Ако x 1, x 2, ..., x n са реалните корени на полинома

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, тогава са валидни следните равенства:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Решение на примери

Пример 1

Намерете остатъка след разделянето на P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 на (x - 1/3).

Решение.

Съгласно следствието от теоремата на Безу: "Остатъкът от деленето на полином на бином (x - c) е равен на стойността на полинома в c." Нека намерим P(1/3) = 0. Следователно остатъкът е 0 и числото 1/3 е коренът на полинома.

Отговор: R = 0.

Пример 2

Разделете "ъгъла" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 на (x + 2). Намерете остатъка и непълното частно.

Решение:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| х + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Отговор: R = 3; частно: 2x 2 - x.

Основни методи за решаване на уравнения от по-високи степени

1. Въвеждане на нова променлива

Методът за въвеждане на нова променлива вече е познат от примера на биквадратни уравнения. Състои се във факта, че за решаване на уравнението f (x) \u003d 0 се въвежда нова променлива (заместване) t \u003d x n или t \u003d g (x) и f (x) се изразява чрез t, получавайки ново уравнение r (t). След това решавайки уравнението r(t), намерете корените:

(t 1, t 2, …, t n). След това се получава набор от n уравнения q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, от които се намират корените на първоначалното уравнение.

Пример 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Решение:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Заместване (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Обратна замяна:

x 2 + x + 1 = 2 или x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 или x 2 + x = 0;

Отговор: От първото уравнение: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, от второто: 0 и -1.

2. Факторизиране по метода на групирането и формулите за съкратено умножение

Основата този методсъщо не е ново и се състои в групиране на термини по такъв начин, че всяка група да съдържа общ фактор. За да направите това, понякога трябва да използвате някои изкуствени трикове.

Пример 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Решение.

Представете си - 3x 2 = -2x 2 - x 2 и групирайте:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 или x 2 + x - 3 \u003d 0.

Отговор: В първото уравнение няма корени, от второто: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Факторизация по метода на неопределените коефициенти

Същността на метода е, че оригиналният полином се разлага на множители с неизвестни коефициенти. Използвайки свойството, че полиномите са равни, ако техните коефициенти са равни при еднакви степени, се намират неизвестните коефициенти на разширение.

Пример 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Решение.

Полином от 3-та степен може да се разложи на произведение на линейни и квадратни множители.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Решаване на системата:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, т.е.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Корените на уравнението (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 се намират лесно.

Отговор: -1; -2.

4. Методът за избор на корена по най-високия и свободен коефициент

Методът се основава на прилагането на теореми:

1) Всеки корен от цяло число на полином с цели коефициенти е делител на свободния член.

2) За да може несъкратимата дроб p / q (p е цяло число, q е естествено) да бъде корен на уравнение с цели коефициенти, е необходимо числото p да е цяло число делител на свободния член a 0 и q е естествен делител на най-високия коефициент.

Пример 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следователно p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

След като намерим един корен, например - 2, ще намерим други корени, като използваме разделяне на ъгъл, метода на неопределените коефициенти или схемата на Хорнер.

Отговор: -2; 1/2; 1/3.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Методи за решаване на уравнения: n n n Замяна на уравнението h(f(x)) = h(g(x)) с уравнението f(x) = g(x) Разлагане на множители. Въвеждане на нова променлива. Функционално – графичен метод. Избор на корен. Приложение на формулите на Vieta.

Замяна на уравнението h(f(x)) = h(g(x)) с уравнението f(x) = g(x). Методът може да се приложи само когато y = h(x) е монотонна функция, която приема всяка своя стойност веднъж. Ако функцията е немонотонна, тогава е възможна загуба на корени.

Решете уравнението (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ нарастваща функция, така че от уравнението (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ можете да преминете към уравнението 3 x + 2 \u003d 5 x - 9, откъдето намираме x \u003d 5,5 Отговор: 5,5.

Факторизация. Уравнението f(x)g(x)h(x) = 0 може да бъде заменено с набор от уравнения f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. След като сте решили уравненията от този набор, трябва да вземете тези корени, които принадлежат към домейна на дефиниция на оригиналното уравнение, и да отхвърлите останалите като външни.

Решете уравнението x³ - 7 x + 6 = 0 Представяйки члена 7 x като x + 6 x, получаваме последователно: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6(x - 1) = 0 x (x - 1)(x + 1) - 6(x - 1) = 0 (x - 1)(x² + x - 6) = 0 Сега проблемът се свежда до решаване на набор от уравнения x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. Отговор: 1, 2, - 3.

Въвеждане на нова променлива. Ако уравнението y(x) = 0 може да се трансформира във формата p(g(x)) = 0, тогава трябва да въведете нова променлива u = g(x), да решите уравнението p(u) = 0, и след това решаване на системата от уравнения g( x) = u 1; g(x) = u2; … ; g(x) = un, където u 1, u 2, …, un са корените на уравнението p(u) = 0.

Решете уравнението Характеристика на това уравнение е равенството на коефициентите на лявата му страна, на еднакво разстояние от краищата му. Такива уравнения се наричат реципрочни. Тъй като 0 не е коренът на това уравнение, разделянето на x² дава

Нека въведем нова променлива. След това получаваме квадратно уравнение. Така че коренът y 1 = - 1 може да бъде игнориран. Получаваме отговора: 2, 0, 5.

Решете уравнението 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 Това уравнение може да се реши като хомогенно. Разделете двете страни на уравнението на (x² - 7 x +12)² (ясно е, че стойностите на x, така че x² - 7 x +12=0, не са решения). Сега нека обозначим Имаме От тук отговор:

Функционално – графичен метод. Ако една от функциите y \u003d f (x), y \u003d g (x) нараства, а другата намалява, тогава уравнението f (x) \u003d g (x) или няма корени, или има един корен.

Решете уравнението Съвсем очевидно е, че x = 2 е коренът на уравнението. Нека докажем, че това е единственият корен. Трансформираме уравнението до формата Забелязваме, че функцията нараства, а функцията намалява. Така че уравнението има само един корен. Отговор: 2.

Избор на корени n n n Теорема 1: Ако цяло число m е корен на полином с цели коефициенти, тогава постоянният член на полинома се дели на m. Теорема 2: Редуцираният полином с цели коефициенти няма дробни корени. Теорема 3: – уравнение с цяло число Let коефициенти. Ако числото и дробта, където p и q са цели числа, е нередуцируем, е коренът на уравнението, тогава p е делител на свободния член an, а q е делител на коефициента при най-високия член a 0.

Теорема на Безу. Остатъкът при деление на произволен полином на бином (x - a) е равен на стойността на делимия полином при x = a. Следствия от теоремата на Безу n n n n Разликата на еднаквите степени на две числа се дели без остатък на разликата на същите числа; Разликата на еднакви четни степени на две числа се дели без остатък както на разликата на тези числа, така и на тяхната сума; Разликата на еднакви нечетни степени на две числа не се дели на сумата от тези числа; Сборът от равни степени на две нечисла се дели на разликата на тези числа; Сборът от еднакви нечетни степени на две числа се дели без остатък на сбора от тези числа; Сумата от еднакви четни степени на две числа не се дели нито на разликата на тези числа, нито на тяхната сума; Полиномът се дели на бинома (x - a) тогава и само ако числото a е корен на този полином; Броят на отделните корени на ненулев полином е не повече от неговата степен.

Решете уравнението x³ - 5 x² - x + 21 = 0 Полиномът x³ - 5 x² - x + 21 има цели коефициенти. Съгласно теорема 1 неговите цели числа, ако има такива, са сред делителите на свободния член: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Чрез проверка се уверяваме, че числото 3 е корен. Съгласно следствие от теоремата на Безу полиномът се дели на (x – 3). По този начин x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7). Отговор:

Решете уравнението 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 Съгласно теорема 1 само числата ± 1 могат да бъдат корени на уравнението. Проверката показва, че тези числа не са корени. Тъй като уравнението не е редуцирано, то може да има дробни рационални корени. Да ги намерим. За да направите това, умножете двете страни на уравнението по 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 Като заместим 2 x = t, получаваме t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Чрез Terem 2, всички рационални корени на това намалено уравнение трябва да са цели. Те могат да бъдат намерени сред делителите на постоянния член: ± 1, ± 2, ± 4. В този случай е подходящо t = - 1. Следователно полиномът 2 x³ - 5 x² - x + 1 се дели на (x + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) Решавайки квадратното уравнение 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0, намираме останалите корени: Отговор:

Решете уравнението 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 Според теорема 3 рационалните корени на това уравнение трябва да се търсят сред числата.Замествайки ги едно по едно в уравнението, намираме, че те удовлетворяват уравнението. Те изчерпват всички корени на уравнението. Отговор:

Намерете сумата от квадратите на корените на уравнението x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 По теоремата на Vieta Отбележете, че откъде

Посочете метода, по който може да се реши всяко от тези уравнения. Решете уравнения #1, 4, 15, 17.

Отговори и инструкции: 1. Въвеждане на нова променлива. 2. Функционално – графичен метод. 3. Замяна на уравнението h(f(x)) = h(g(x)) с уравнението f(x) = g(x). 4. Факторизация. 5. Избор на корени. 6 Функционално – графичен метод. 7. Приложение на формулите на Виета. 8. Избор на корени. 9. Замяна на уравнението h(f(x)) = h(g(x)) с уравнението f(x) = g(x). 10. Въвеждане на нова променлива. 11. Разлагане на множители. 12. Въвеждане на нова променлива. 13. Избор на корени. 14. Приложение на формулите на Виета. 15. Функционално – графичен метод. 16. Разлагане на множители. 17. Въвеждане на нова променлива. 18. Разлагане на множители.

1. Инструкция. Напишете уравнението като 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², Разделете двете страни на x². Въведете променлива Отговор: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. Индикация. Добавете 6 y и - 6 y към лявата страна на уравнението и го запишете като (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - 3 y - осем). Отговор:

14. Инструкция. Според теоремата на Виета Тъй като - са цели числа, то корени на уравнението могат да бъдат само числата - 1, - 2, - 3. Отговор: 15. Отговор: - 1. 17. Индикация. Разделете двете страни на уравнението на x² и го запишете като Въведете променлива Отговор: 1; петнадесет; 2; 3.

Библиография. n n n Колмогоров А. Н. „Алгебра и началото на анализа, 10 – 11” (М.: Просвещение, 2003). Башмаков M. I. "Алгебра и началото на анализа, 10 - 11" (М.: Образование, 1993). Мордкович А. Г. "Алгебра и началото на анализа, 10 - 11" (М.: Мнемозина, 2003). Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. “Алгебра и началото на анализа, 10 – 11” (М.: Просвещение, 2000). Галицки М. Л., Голдман А. М., Звавич Л. И. „Сборник от проблеми по алгебра, 8 - 9“ (М .: Образование, 1997). Карп А. П. „Колекция от проблеми по алгебра и началото на анализа, 10 - 11“ (М .: Образование, 1999). Sharygin I. F. "Избираем курс по математика, решаване на проблеми, 10" (М.: Образование. 1989). Скопец З. А. „Допълнителни глави в курса по математика, 10“ (М .: Образование, 1974). Литинский G.I. "Уроци по математика" (Москва: Аслан, 1994). Muravin G. K. „Уравнения, неравенства и техните системи“ (Математика, приложение към вестник „Първи септември“, № 2, 3, 2003 г.). Колягин Ю. М. „Полиноми и уравнения от по-високи степени“ (Математика, приложение към вестник „Първи септември“, № 3, 2005 г.).

Основни цели:

Да се консолидира понятието цяло рационално уравнение от степен th.
Формулирайте основните методи за решаване на уравнения от по-високи степени (n > 3).
Да научи основните методи за решаване на уравнения от по-високи степени.
Да научите по формата на уравнението да определите най-много ефективен методнеговите решения.

Форми, методи и педагогически техники, които учителят използва в класната стая:

Лекционно-семинарна система на обучение (лекции - обяснение на нов материал, семинари - решаване на задачи).
Информационни и комуникационни технологии (фронтално проучване, устна работа с класа).
Диференцирано обучение, групови и индивидуални форми.
Използване изследователски методв обучение, насочено към развитие на математическия апарат и умствените способности на всеки отделен ученик.
Печатен материал - индивидуално резюме на урока (основни понятия, формули, твърдения, лекционният материал е компресиран под формата на диаграми или таблици).

План на урока:

Организиране на времето.
Целта на етапа: да включи учениците в учебни дейностиопределете съдържанието на урока.
Актуализиране на знанията на учениците.
Целта на етапа: актуализиране на знанията на учениците по предварително изучени свързани теми
Ученето нова тема(лекция). Целта на етапа: да се формулират основните методи за решаване на уравнения от по-високи степени (n > 3)
Обобщаване.
Целта на етапа: още веднъж да се подчертаят ключовите моменти в материала, изучаван в урока.
Домашна работа.
Цел на етапа: формулиране домашна работаза студенти.

Обобщение на урока

1. Организационен момент.

Формулировката на темата на урока: „Уравнения от по-високи степени. Методи за тяхното решаване”.

2. Актуализиране на знанията на учениците.

Теоретичен преглед – разговор. Повторение на вече изучени сведения от теорията. Студентите формулират основни определения и дават формулировки на необходимите теореми. Дадени са примери, демонстриращи нивото на предварително усвоените знания.

Концепцията за уравнение с една променлива.
Концепцията за корена на уравнението, решението на уравнението.
концепция линейно уравнениес една променлива, концепцията за квадратно уравнение с една променлива.
Концепцията за еквивалентност на уравнения, уравнение-последствия (концепцията за външни корени), преход не по следствие (случаят на загуба на корени).
Концепцията за цял рационален израз с една променлива.
Концепцията за цяло рационално уравнение нта степен. Стандартната форма на цяло рационално уравнение. намалено цяло число рационално уравнение.
Преход към набор от уравнения от по-ниски степени чрез разлагане на оригиналното уравнение.
Концепцията за полином нта степен от х. Теорема на Безу. Следствия от теоремата на Безу. Коренни теореми ( З-корени и Q-корени) на цяло рационално уравнение с цели коефициенти (съответно редуцирани и нередуцирани).
Схема на Хорнер.

3. Изучаване на нова тема.

Ще разгледаме цялото рационално уравнение нта степен на стандартната форма с една неизвестна променлива x:Pn(x)= 0 , където P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– полином нта степен от х, а n ≠ 0 . Ако а n = 1, тогава такова уравнение се нарича редуцирано цяло рационално уравнение нта степен. Нека разгледаме такива уравнения за различни стойности ни избройте основните методи за тяхното решаване.

н= 1 е линейно уравнение.

н= 2 е квадратно уравнение.Дискриминантна формула. Формула за изчисляване на корени. Теорема на Виета. Избор на пълен квадрат.

н= 3 е кубично уравнение.

метод на групиране.

Пример: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 х 1 = 4 , x2 = 1,х 3 = -1.

Реципрочно кубично уравнение на формата брадва 3 + bx 2 + bx + а= 0. Решаваме, като комбинираме членове с еднакви коефициенти.

Пример: х 3 – 5х 2 – 5х + 1 = 0 (х + 1)(х 2 – 6х + 1) = 0 х 1 = -1, х 2 = 3 + 2, х 3 = 3 – 2.

Избор на Z-корени въз основа на теоремата. Схема на Хорнер. При прилагането на този метод е необходимо да се подчертае, че изброяването в този случай е крайно и ние избираме корените според определен алгоритъм в съответствие с теоремата за З-корени на редуцираното цяло рационално уравнение с цели коефициенти.

Пример: х 3 – 9х 2 + 23х– 15 = 0. Уравнението е редуцирано. Изписваме делителите на свободния термин ( + 1; + 3; + 5; + петнадесет). Нека приложим схемата на Хорнер:

	х 3	х 2	х 1	х 0	заключение
	1	-9	23	-15
1	1	1 х 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 х 15 - 15 = 0	1 - корен
	х 2	х 1	х 0

Получаваме ( х – 1)(х 2 – 8х + 15) = 0 х 1 = 1, х 2 = 3, х 3 = 5.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Q-корени въз основа на теоремата. Схема на Хорнер. При прилагането на този метод е необходимо да се подчертае, че изброяването в този случай е крайно и избираме корените по определен алгоритъм в съответствие с теоремата за Q-корени на нередуцирано цяло рационално уравнение с цели коефициенти.

Пример: 9 х 3 + 27х 2 – х– 3 = 0. Уравнението не е редуцирано. Изписваме делителите на свободния термин ( + 1; + 3). Нека напишем делителите на коефициента на най-високата степен на неизвестното. ( + 1; + 3; + 9) Следователно ще търсим корени сред стойностите ( + 1; + ; + ; + 3). Нека приложим схемата на Хорнер:

	х 3	х 2	х 1	х 0	заключение
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 не е корен
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 не е корен
	9	x9 + 27 = 30	х 30 - 1 = 9	х 9 - 3 = 0	корен
	х 2	х 1	х 0

Получаваме ( х – )(9х 2 + 30х + 9) = 0 х 1 = , х 2 = - , х 3 = -3.

За удобство на изчислението при избора на Q -корениможе да е удобно да направите промяна на променлива, отидете на горното уравнение и коригирайте Z -корени.

Ако пресечната точка е 1

.

Ако е възможно да се използва заместването на формуляра y=kx

.

Формула Кардано. Съществува универсален методрешение на кубични уравнения е формулата на Кардано. Тази формула се свързва с имената на италианските математици Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталия (1500–1557), Сципион дел Феро (1465–1526). Тази формула е извън обхвата на нашия курс.

н= 4 е уравнение от четвърта степен.

метод на групиране.

Пример: х 4 + 2х 3 + 5х 2 + 4х – 12 = 0 (х 4 + 2х 3) + (5х 2 + 10х) – (6х + 12) = 0 (х + 2)(х 3 + 5х- 6) = 0 (х + 2)(х– 1)(х 2 + х + 6) = 0 х 1 = -2, х 2 = 1.

Метод на променлива замяна.

Биквадратно уравнение на формата брадва 4 + bx 2+s = 0 .

Пример: х 4 + 5х 2 - 36 = 0. Смяна г = х 2. Оттук г 1 = 4, г 2 = -9. Ето защо х 1,2 = + 2 .

Реципрочно уравнение от четвърта степен на формата брадва 4 + bx 3+в х 2 + bx + а = 0.

Решаваме, като комбинираме членове с еднакви коефициенти, като заместваме формата

брадва 4 + bx 3 + cx 2 – bx + а = 0.

Обобщено обратно уравнение на четвърта степен на формата брадва 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2а = 0.

Обща подмяна. Някои стандартни замествания.

Пример 3 . Подмяна на общ изглед(следва от формата на конкретно уравнение).

н = 3.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Q-корени н = 3.

Обща формула. Има универсален метод за решаване на уравнения от четвърта степен. Тази формула се свързва с името на Лудовико Ферари (1522-1565). Тази формула е извън обхвата на нашия курс.

н > 5 - уравнения от пета и по-високи степени.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Z-корени въз основа на теоремата. Схема на Хорнер. Алгоритъмът е подобен на този, обсъден по-горе за н = 3.

Уравнение с цели коефициенти. Избор на Q-коренивъз основа на теоремата. Схема на Хорнер. Алгоритъмът е подобен на този, обсъден по-горе за н = 3.

Симетрични уравнения. Всяко реципрочно уравнение с нечетна степен има корен х= -1 и след като го разложим на множители, получаваме, че един множител има формата ( х+ 1), а вторият фактор е реципрочно уравнение с четна степен (степента му е с единица по-малка от степента на първоначалното уравнение). Всяко реципрочно уравнение от четна степен заедно с корен от формата x = φсъщо съдържа корена на формата. Използвайки тези твърдения, ние решаваме проблема, като понижаваме степента на изследваното уравнение.

Метод на променлива замяна. Използване на хомогенност.

Няма обща формула за решаване на цели уравнения от пета степен (това е показано от италианския математик Паоло Руфини (1765–1822) и норвежкия математик Нилс Хенрик Абел (1802–1829)) и по-високи степени (това е показано от французите математикът Еварист Галоа (1811–1832) )).

Припомнете си отново, че на практика е възможно да се използва комбинацииизброените по-горе методи. Удобно е да се премине към набор от уравнения от по-ниски степени чрез факторизация на първоначалното уравнение.
Извън обхвата на днешната ни дискусия има широко използвани в практиката графични методирешаване на уравнения и методи за приближено решениеуравнения от по-високи степени.

Има ситуации, когато уравнението няма R-корени.

Използване на свойството монотонност на функциите

4. Обобщаване.

Резюме: Вече усвоихме основните методи за решаване на различни уравнения от по-високи степени (за n > 3). Нашата задача е да се научим как ефективно да използваме горните алгоритми. В зависимост от вида на уравнението ще трябва да се научим как да определим кой метод на решение е най-ефективен в този случай, както и правилно да приложим избрания метод.

5. Домашна работа.

: т. 7, с. 164–174, № 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Възможни теми за доклади или резюмета по тази тема:

Формула Кардано
Графичен метод за решаване на уравнения. Примери за решения.
Методи за приближено решаване на уравнения.

Анализ на усвояването на материала и интереса на учениците към темата:

Опитът показва, че интересът на учениците е на първо място възможността за подбор З-корени и Q-корени на уравнения с помощта на доста прост алгоритъм, използващ схемата на Horner. Студентите също се интересуват от различни стандартни типове заместване на променлива, което може значително да опрости вида на проблема. Графичните методи за решаване обикновено са от особен интерес. В този случай можете допълнително да анализирате задачите в графичен метод за решаване на уравнения; обсъждам обща формаграфики за полином от 3, 4, 5 степени; анализирайте как броят на корените на уравнения от 3, 4, 5 степени е свързан с вида на съответната графика. По-долу е даден списък с книги, в които можете да намерите допълнителна информация по тази тема.

Библиография:

Виленкин Н.Я.и др. „Алгебра. Учебник за ученици от 9 клас със задълбочено изучаване на математика ”- М., Образование, 2007 г. - 367 с.
Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф.„Зад страниците на учебник по математика. Аритметика. Алгебра. 10-11 клас” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
Вигодски М.Я."Наръчник по математика" - М., AST, 2010 г. - 1055 с.
Галицки М.Л.„Сборник задачи по алгебра. Урокза 8-9 клас със задълбочено изучаване на математика ”- М., Образование, 2008 - 301 с.
Звавич Л.И.и др. „Алгебра и началото на анализа. 8-11 клетки Наръчник за училища и класове със задълбочено изучаване на математика ”- М., Drofa, 1999 - 352 с.
Звавич Л.И., Аверянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н.„Задачи по математика за подготовка за писмен изпит в 9 клас” - М., Образование, 2007 г. - 112 с.
Иванов А.А., Иванов А.П.“Тематични тестове за систематизиране на знанията по математика” част 1 - М., Fizmatkniga, 2006 - 176 с.
Иванов А.А., Иванов А.П.“Тематични тестове за систематизиране на знанията по математика” част 2 - М., Fizmatkniga, 2006 - 176 с.
Иванов А.П.„Тестове и тестови работиматематика. Урок". - М., Fizmatkniga, 2008 - 304 с.
Лейбсън К.Л.“Сборник практически задачи по математика. Част 2–9 клас” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г.„Алгебра. Допълнителни глави за училищен учебник 9 клас Учебник за ученици от училища и паралелки със задълбочено изучаване на математика.” - М., Образование, 2006 - 224 с.
Мордкович А.Г.„Алгебра. Задълбочено проучване. 8 клас. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
Савин А.П. “енциклопедичен речникмлад математик” – М., Педагогика, 1985 г. – 352 с.
Survillo G.S., Симонов A.S. “Дидактически материалипо алгебра за 9 клас със задълбочено изучаване на математика” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
Чулков П.В.„Уравнения и неравенства в училищния курс по математика. Лекции 1–4” – М., Първи септември, 2006 г. – 88 с.
Чулков П.В.„Уравнения и неравенства в училищния курс по математика. Лекции 5–8” – М., Първи септември, 2009 г. – 84 с.