Решаване на всички видове прости тригонометрични уравнения. Тригонометрични уравнения

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешен преминаване на изпитапо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 профилен изпитматематика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.

Примери:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Как се решават тригонометрични уравнения:

Всяко тригонометрично уравнение трябва да бъде сведено до един от следните типове:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

където \(t\) е израз с x, \(a\) е число. Такива тригонометрични уравнения се наричат протозои. Те са лесни за решаване с помощта на () или специални формули:

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Решение:

Отговор: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Какво означава всеки символ във формулата на корена? тригонометрични уравненияпогледнете .

внимание!Уравненията \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) нямат решения, ако \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Тъй като синусът и косинусът за всеки x е по-голям или равен на \(-1\) и по-малък или равен на \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример . Решете уравнението \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Отговор : няма решения.

Пример . Решете тригонометричното уравнение tg\(⁡x=1\).
Решение:

Решете уравнението с помощта на числова окръжност. За това: 1) Нека изградим кръг) 2) Постройте осите \(x\) и \(y\) и оста на допирателните (тя минава през точката \((0;1)\) успоредна на оста \(y\)). 3) На оста на допирателните маркирайте точката \(1\). 4) Свържете тази точка и началото - права линия. 5) Отбележете точките на пресичане на тази права и числовата окръжност. 6) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Запишете всички стойности на тези точки. Тъй като те са точно \(π\) една от друга, всички стойности могат да бъдат записани в една формула:

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Решение:

Нека отново използваме числовия кръг. 1) Да построим окръжност, оси \(x\) и \(y\). 2) На косинусовата ос (ос \(x\)) маркирайте \(0\). 3) Начертайте перпендикуляр на косинусовата ос през тази точка. 4) Маркирайте точките на пресичане на перпендикуляра и окръжността. 5) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Нека напишем цялата стойност на тези точки и да ги приравним към косинуса (към това, което е вътре в косинуса). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Както обикновено, ще изразим \(x\) в уравнения. Не забравяйте да третирате числата с \(π\), както и с \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) и т.н. Това са същите числа като всички останали. Без цифрова дискриминация! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Намаляването на тригонометричните уравнения до най-простите е творческа задача, тук трябва да използвате и двете, и специални методи за решаване на уравнения:
- Метод (най-популярният в изпита).
- Метод.
- Метод на спомагателните аргументи.

Помислете за пример за решаване на квадратно тригонометрично уравнение

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Нека направим промяната \(t=\cos⁡x\).
	Нашето уравнение стана типично. Можете да го разрешите с.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Правим замяна.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Решаваме първото уравнение с помощта на числова окръжност. Оттогава второто уравнение няма решения \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и не може да бъде равно на две за всяко x.
	Нека запишем всички числа, лежащи в тези точки.

Отговор: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример за решаване на тригонометрично уравнение с изследване на ODZ:

Пример (USE) . Решете тригонометричното уравнение \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Има дроб и има котангенс - така че трябва да запишете. Нека ви напомня, че котангенсът всъщност е дроб: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Следователно DPV за ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Обърнете внимание на "не-решенията" върху числовия кръг.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Нека се отървем от знаменателя в уравнението, като го умножим по ctg\(x\). Можем да направим това, защото по-горе написахме, че ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Приложете формулата за двоен ъгъл за синуса: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ако ръцете ви се протегнаха да делите на косинус - дръпнете ги назад! Можете да разделите на израз с променлива, ако тя определено не е равна на нула (например: \(x^2+1,5^x\)). Вместо това изваждаме \(\cos⁡x\) извън скоби.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Нека разделим уравнението на две.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Решаваме първото уравнение с помощта на числова окръжност. Разделете второто уравнение на \(2\) и преместете \(\sin⁡x\) в дясната страна.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Корените, които се оказаха, не са включени в ODZ. Затова няма да ги запишем в отговор. Второто уравнение е типично. Разделете го на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не може да бъде решение на уравнението, защото в този случай \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡ x =-1\)).
	Отново използваме кръг.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Тези корени не са изключени от ODZ, така че те могат да бъдат написани като отговор.

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Справочни данни за тригонометричните функции синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица със синуси и косинуси, производни, интеграли, разширения в редове, секанс, косеканс. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.

Геометрично определение на синус и косинус

|BD|- дължината на дъгата на окръжност с център в точка А.
α е ъгъл, изразен в радиани.

Определение
синуситее тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.

Косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.

Приети обозначения

;
;
.

;
;
.

Графика на функцията синус, y = sin x

Графика на функцията косинус, y = cos x

Свойства на синуса и косинуса

Периодичност

Функции y= грях хи y= cos xпериодичен с период 2 пи.

Паритет

Функцията синус е нечетна. Функцията косинус е четна.

Област на определение и стойности, екстремуми, нарастване, намаляване

Функциите синус и косинус са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x (вижте доказателството за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).

	y= грях х	y= cos x
Обхват и приемственост	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Възходящ
Спускане
Максимуми, y= 1
Минимуми, y = - 1
Нули, y= 0
Точки на пресичане с оста y, x = 0	y= 0	y= 1

Основни формули

Сума от синус и косинус на квадрат

Формули за синус и косинус за сбор и разлика

;
;

Формули за произведение на синуси и косинуси

Формули за сбор и разлика

Изразяване на синус през косинус

;
;
;
.

Изразяване на косинус чрез синус

;
;
;
.

Изразяване чрез тангенс

; .

За имаме:
; .

в:
; .

Таблица на синусите и косинусите, тангенсите и котангенсите

Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за някои стойности на аргумента.

Изрази чрез комплексни променливи

;

Формула на Ойлер

{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратни функции

Функциите, обратни на синус и косинус, са съответно арксинус и арккосинус.

Арксинус, арксинус

Аркосинус, аркосус

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.

Концепцията за решаване на тригонометрични уравнения.

• За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометричното уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решаване на основни тригонометрични уравнения.

• Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
• sin x = a; cos x = a
• тен х = а; ctg x = a
• Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различните позиции x на единичната окръжност, както и използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
• Пример 1. sin x = 0,866. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: 2π/3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Така че отговорът е написан така:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Пример 2 cos x = -1/2. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = 2π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
• Отговор: x \u003d π / 4 + πn.
• Пример 4. ctg 2x = 1,732.
• Отговор: x \u003d π / 12 + πn.

Трансформации, използвани при решаване на тригонометрични уравнения.

• За преобразуване на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (факторизация, редукция на хомогенни членове и др.) и тригонометрични тъждества.
• Пример 5. Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се преобразува в уравнението 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. По този начин следните основни тригонометрични уравнения трябва да се реши: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Намиране на ъгли от известни стойности на функции.

  • Преди да научите как да решавате тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намирате ъгли от известни стойности на функции. Това може да стане с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
  • Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговора x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, чийто косинус също е равен на 0,732.

• Отделете разтвора върху единичната окръжност.

  • Можете да поставите решения на тригонометричното уравнение върху единичната окръжност. Решенията на тригонометричното уравнение върху единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
  • Пример: Решенията x = π/3 + πn/2 върху единичната окръжност са върховете на квадрата.
  • Пример: Решенията x = π/4 + πn/3 върху единичната окръжност са върховете на правилен шестоъгълник.

• Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

  • Ако даденото тригонометрично уравнение съдържа само една тригонометрична функция, решете това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако това уравнение включва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
    • Метод 1
  • Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, където f(x), g(x), h(x) са основните тригонометрични уравнения.
  • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Решение. Като използвате формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2*sin x*cos x, заменете sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
  • Пример 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
  • Пример 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
    • Метод 2
  • Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някакво неизвестно, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.н.).
  • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Решение. В това уравнение заменете (cos^2 x) с (1 - sin^2 x) (според тъждеството). Трансформираното уравнение изглежда така:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Сега уравнението е: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не удовлетворява диапазона на функцията (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Решение. Заменете tg x с t. Пренапишете оригиналното уравнение, както следва: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tg x.

Веднъж станах свидетел на разговор между двама кандидати:

– Кога трябва да добавите 2πn и кога - πn? не мога да си спомня!

- И аз имам същия проблем.

Исках да им кажа: „Не е необходимо да запаметявате, а да разбирате!“

Тази статия е предназначена предимно за ученици от гимназията и, надявам се, ще им помогне с "разбирането" за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

Цифров кръг

Наред с понятието числова ос съществува и понятието числова окръжност. Както знаем, в правоъгълна координатна система окръжност с център в точката (0; 0) и радиус 1 се нарича единична окръжност.Представете си числова линия с тънка нишка и я навийте около този кръг: референтната точка (точка 0), прикрепете към „дясната“ точка на единичния кръг, увийте положителната полуос обратно на часовниковата стрелка и отрицателната полуос в посоката (фиг. 1). Такава единична окръжност се нарича числова окръжност.

Свойства на числовата окръжност

• Всяко реално число е в една точка от числовата окръжност.
• Във всяка точка от числовата окръжност има безкрайно много реални числа. Тъй като дължината на единичната окръжност е 2π, разликата между произволни две числа в една точка от окръжността е равна на едно от числата ±2π; ±4π; ±6π; …

Нека заключим: знаейки едно от числата на точка А, можем да намерим всички числа на точка А.

Нека начертаем диаметъра на AC (фиг. 2). Тъй като x_0 е едно от числата на точка A, то числата x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... и само те ще бъдат числата на точка C. Нека изберем едно от тези числа, да речем x_0+π, и да го използваме, за да запишем всички числа на точка C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ З. Обърнете внимание, че числата в точки A и C могат да се комбинират в една формула: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (за k = 0; ±2; ±4; ... получаваме числата на точка A, а за k = ±1, ±3, ±5, … са номерата на точка C).

Нека заключим: знаейки едно от числата на една от точките A или C на диаметъра AC, можем да намерим всички числа на тези точки.

• Две противоположни числа са разположени в точките на окръжността, които са симетрични спрямо абсцисната ос.

Нека начертаем вертикална хорда AB (фиг. 2). Тъй като точките A и B са симетрични спрямо оста Ox, числото -x_0 се намира в точка B и следователно всички числа на точка B са дадени по формулата: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Записваме числата в точки A и B с една формула: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или B на вертикалната хорда AB, можем да намерим всички числа в тези точки. Разгледайте хоризонталната хорда AD и намерете номерата на точка D (фиг. 2). Тъй като BD е диаметърът и числото -x_0 принадлежи на точка B, тогава -x_0 + π е едно от числата на точка D и следователно всички числа на тази точка са дадени по формулата x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Числата в точки A и D могат да бъдат записани с помощта на една формула: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; ... получаваме номерата на точка A, а при k = ±1; ±3; ±5; ... - номерата на точка D).

Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или D на хоризонталната хорда AD, можем да намерим всички числа в тези точки.

Шестнадесет основни точки на числовия кръг

На практика решението на повечето от най-простите тригонометрични уравнения се свързва с шестнадесет точки от окръжността (фиг. 3). Какви са тези точки? Червени, сини и зелени точки разделят кръга на 12 равни части. Тъй като дължината на полуокръжността е π, дължината на дъгата A1A2 е π/2, дължината на дъгата A1B1 е π/6, а дължината на дъгата A1C1 е π/3.

Сега можем да посочим едно число на точките:

π/3 на С1 и

Върховете на оранжевия квадрат са средните точки на дъгите на всяка четвърт, така че дължината на дъгата A1D1 е равна на π/4 и следователно π/4 е едно от числата на точката D1. Използвайки свойствата на числовата окръжност, можем да запишем всички числа във всички маркирани точки на нашата окръжност с помощта на формули. Фигурата показва и координатите на тези точки (пропускаме описанието на тяхното придобиване).

След като научихме горното, сега имаме достатъчна подготовка за решаване на специални случаи (за девет стойности на числото а)най-простите уравнения.

Решете уравнения

1)sinx=1⁄(2).

– Какво се иска от нас?

– Намерете всички онези числа x, чийто синус е 1/2.

Спомнете си дефиницията на синуса: sinx - ординатата на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x. На окръжността имаме две точки, чиято ордината е равна на 1/2. Това са краищата на хоризонталната хорда B1B2. Това означава, че изискването „решете уравнението sinx=1⁄2” е еквивалентно на изискването „намерете всички числа в точка B1 и всички числа в точка B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Трябва да намерим всички числа в точките C4 и C3.

3) sinx=1. На окръжността имаме само една точка с ордината 1 - точка A2 и следователно трябва да намерим само всички числа на тази точка.

Отговор: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Само точка A_4 има ордината -1. Всички числа от тази точка ще бъдат конете на уравнението.

Отговор: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

На окръжността имаме две точки с ордината 0 - точките A1 и A3. Можете да посочите числата на всяка от точките поотделно, но като се има предвид, че тези точки са диаметрално противоположни, е по-добре да ги комбинирате в една формула: x=πk ,k∈Z .

Отговор: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Припомнете си определението за косинус: cosx - абсцисата на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x.Върху окръжността имаме две точки с абсцисата √2⁄2 – краищата на хоризонталната хорда D1D4. Трябва да намерим всички числа в тези точки. Записваме ги, като ги комбинираме в една формула.

Отговор: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Трябва да намерим числата в точките C_2 и C_3.

Отговор: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Само точки A2 и A4 имат абсциса 0, което означава, че всички числа във всяка от тези точки ще бъдат решения на уравнението.
.

Решенията на уравнението на системата са числата в точките B_3 и B_4 Неравенство cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Отговор: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Обърнете внимание, че за всяка допустима стойност на x вторият фактор е положителен и следователно уравнението е еквивалентно на системата

Решенията на системното уравнение са броят точки D_2 и D_3. Числата на точката D_2 не удовлетворяват неравенството sinx≤0.5, но числата на точката D_3 го удовлетворяват.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.