Решете изпитни задачи. Подготовка за изпита по математика (профилно ниво): задачи, решения и обяснения

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешен преминаване на изпитапо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профила USE по математика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.

Няма промени в USE по математика на ниво профил през 2019 г. - изпитната програма, както и в предходните години, е съставена от материали от основните математически дисциплини. Билетите ще включват математически, геометрични и алгебрични задачи.

Няма промени в KIM USE 2019 по математика на ниво профил.

Характеристики на USE задачите по математика-2019

Когато се подготвяте за изпита по математика (профил), обърнете внимание на основните изисквания на изпитната програма. Предназначен е за проверка на знанията по задълбочена програма: вектор и математически модели, функции и логаритми, алгебрични уравненияи неравенства.
Отделно тренирайте решаване на задачи за.
Важно е да проявявате нестандартно мислене.

Структура на изпита

ИЗПОЛЗВАЙТЕ заданияпрофил математикаразделен на два блока.

Част - кратки отговори, включва 8 задачи, които проверяват основната математическа подготовка и умението за прилагане на знанията по математика в ежедневието.
част -кратко и подробни отговори. Състои се от 11 задачи, 4 от които изискват кратък отговор, а 7 - подробен с аргументация на извършените действия.

Повишена сложност- задачи 9-17 от втората част на КИМ.
Високо ниво на трудност- задачи 18-19 –. Тази част от изпитните задачи проверява не само нивото на математическите знания, но и наличието или отсъствието на творчески подход към решаването на сухи „дигитални“ задачи, както и ефективността на способността да се използват знанията и уменията като професионален инструмент .

важно!Ето защо, в подготовката за USE теорияпо математика винаги подкрепя решаването на практически задачи.

Как ще се разпределят точките?

Задачите от първата част на KIMs по математика са близки до USE тестовеосновно ниво, така че е невъзможно да се постигне висок резултат на тях.

Точките за всяка задача по математика на ниво профил бяха разпределени както следва:

за верни отговори на задачи No 1-12 - по 1 точка;
No 13-15 - по 2 бр.;
No 16-17 - по 3 бр.;
No 18-19 - по 4 бр.

Продължителността на изпита и правилата за провеждане на изпита

За да завършите изпита -2019 ученикът е назначен 3 часа 55 минути(235 минути).

През това време ученикът не трябва:

бъдете шумни;
използват джаджи и други технически средства;
отписвам;
опитайте се да помогнете на другите или поискайте помощ за себе си.

За подобни действия изпитващият може да бъде изгонен от аудиторията.

На Държавен изпитматематика позволено да донесесамо линийка с вас, останалите материали ще ви бъдат дадени непосредствено преди изпита. издаден на място.

Ефективната подготовка е решението онлайн тестове Math 2019. Изберете и вземете най-висок резултат!

Средно общо образование

Линия UMK G.K. Muravina. Алгебра и начала математически анализ(10-11) (дълбоко)

Линия UMK Merzlyak. Алгебра и началото на анализа (10-11) (U)

Математика

Подготовка за изпита по математика (профилно ниво): задачи, решения и обяснения

Анализираме задачи и решаваме примери с учителя

Изпитна работапрофилното ниво продължава 3 часа 55 минути (235 минути).

Минимален праг- 27 точки.

Изпитната работа се състои от две части, които се различават по съдържание, сложност и брой задачи.

Определящата характеристика на всяка част от работата е формата на задачите:

част 1 съдържа 8 задачи (задачи 1-8) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб;
част 2 съдържа 4 задачи (задачи 9-12) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб и 7 задачи (задачи 13-19) с подробен отговор (пълен запис на решението с обосновка на извършени действия).

Панова Светлана Анатолиевна, учител по математика от най-високата категория на училището, трудов стаж от 20 години:

„За да получи диплома, абитуриентът трябва да положи два задължителни изпита под формата на Единен държавен изпит, единият от които е математика. В съответствие с Концепцията за развитие на математическото образование в Руска федерация USE по математика се разделя на две нива: основно и специализирано. Днес ще разгледаме опции за нивото на профила.

Задача номер 1- проверява способността на участниците в USE да прилагат уменията, придобити в хода на 5-9 клас по начална математика в практически дейности. Участникът трябва да притежава изчислителни умения, да може да работи с рационални числа, да може да закръгля десетични знациможете да конвертирате една мерна единица в друга.

Пример 1В апартамента, в който живее Петр, е монтиран разходомер студена вода(брояч). На първи май броячът показваше разход от 172 кубика. м вода, а на първи юни - 177 куб.м. м. Каква сума трябва да плати Петър за студена вода за май, ако цената на 1 куб. м студена вода е 34 рубли 17 копейки? Дайте отговора си в рубли.

Решение:

1) Намерете количеството вода, изразходвано на месец:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Намерете колко пари ще бъдат платени за изразходваната вода:

34.17 5 = 170.85 (разтривайте)

Отговор: 170,85.

Задача номер 2- е една от най-простите задачи на изпита. По-голямата част от завършилите успешно се справят с него, което показва притежаването на дефиницията на понятието функция. Задача тип № 2 според кодификатора на изискванията е задача за използване на придобитите знания и умения в практическа дейност и Ежедневието. Задача № 2 се състои в описание, използване на функции, различни реални връзки между величини и интерпретиране на техните графики. Задача номер 2 проверява способността за извличане на информация, представена в таблици, диаграми, графики. Завършилите трябва да могат да определят стойността на функция по стойността на аргумента when различни начинидефиниране на функция и описание на поведението и свойствата на функцията според нейната графика. Също така е необходимо да можете да намерите максималното или най-малка стойности построяване на графики на изучаваните функции. Допуснатите грешки са от случаен характер при разчитане на условията на задачата, разчитане на диаграмата.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2Фигурата показва промяната в обменната стойност на една акция на минна компания през първата половина на април 2017 г. На 7 април бизнесменът закупи 1000 акции от тази компания. На 10 април той продаде три четвърти от закупените акции, а на 13 април продаде всички останали. Колко е загубил бизнесменът в резултат на тези операции?

Решение:

2) 1000 3/4 = 750 (акции) - съставляват 3/4 от всички закупени акции.

6) 247500 + 77500 = 325000 (рубли) - бизнесменът получава след продажбата на 1000 акции.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (рубли) - бизнесменът е загубил в резултат на всички операции.

Отговор: 15000.

Задача номер 3- е задача от основно ниво на първа част, проверява умението за извършване на действия с геометрични формивърху съдържанието на учебната дисциплина „Планиметрия“. Задача 3 проверява умението за изчисляване на площта на фигура върху карирана хартия, умението за изчисляване на градусни мерки на ъгли, изчисляване на периметри и др.

Пример 3Намерете площта на правоъгълник, начертан върху карирана хартия с размер на клетката 1 cm на 1 cm (вижте фигурата). Дайте отговора си в квадратни сантиметри.

Решение:За да изчислите площта на тази фигура, можете да използвате формулата Peak:

За да изчислим площта на този правоъгълник, използваме формулата Peak:

С= B +	Ж
	2

където V = 10, G = 6, следователно

С = 18 +	6
	2

Отговор: 20.

Вижте също: Единен държавен изпит по физика: решаване на проблеми с вибрациите

Задача номер 4- задачата от курса "Теория на вероятностите и статистика". Тества се способността за изчисляване на вероятността от събитие в най-простата ситуация.

Пример 4В кръга има 5 червени и 1 синя точки. Определете кои полигони са по-големи: тези с всички червени върхове или тези с един от сините върхове. В отговора си посочете колко повече от едното от другото.

Решение: 1) Използваме формулата за броя на комбинациите от нелементи от к:

всички чиито върхове са червени.

3) Един петоъгълник с всички червени върхове.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоъгълника с всички червени върхове.

чиито върхове са червени или с един син връх.

8) Един шестоъгълник, чиито върхове са червени с един син връх.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоъгълника, които имат всички червени върхове или един син връх.

10) 42 - 16 = 26 полигона, които използват синята точка.

11) 26 - 16 = 10 многоъгълника - колко многоъгълници, в които един от върховете е синя точка, са повече от многоъгълници, в които всички върхове са само червени.

Отговор: 10.

Задача номер 5- основното ниво на първата част проверява способността за решаване на най-простите уравнения (ирационални, експоненциални, тригонометрични, логаритмични).

Пример 5Решете уравнение 2 3 + х= 0,4 5 3 + х .

Решение.Разделете двете страни на това уравнение на 5 3 + х≠ 0, получаваме

2 3 + х	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откъдето следва, че 3 + х = 1, х = –2.

Отговор: –2.

Задача номер 6в планиметрията за намиране на геометрични величини (дължини, ъгли, площи), моделиране на реални ситуации на езика на геометрията. Изследването на конструираните модели с помощта на геометрични концепции и теореми. Източникът на трудностите по правило е незнанието или неправилното прилагане на необходимите теореми на планиметрията.

Площ на триъгълник ABCе равно на 129. DE- средна линия, успоредна на страната AB. Намерете площта на трапеца ЛЕГЛО.

Решение.Триъгълник CDEподобен на триъгълник ТАКСИв два ъгъла, тъй като ъгълът на върха ° Собщ, ъгъл CDEравен на ъгъла ТАКСИкато съответните ъгли при DE || ABсекуща AC. защото DEе средната линия на триъгълника по условието, след това по свойството на средната линия | DE = (1/2)AB. Така че коефициентът на подобие е 0,5. Площите на подобни фигури са свързани като квадрат на коефициента на подобие, т.е

Следователно, С ЛЕГЛО = С Δ ABC – С Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задача номер 7- проверява приложението на производната към изследването на функцията. За успешно прилагане е необходимо смислено, неформално владеене на концепцията за дериват.

Пример 7Към графиката на функцията г = f(х) в точката с абсцисата х 0 е начертана допирателна, която е перпендикулярна на правата, минаваща през точките (4; 3) и (3; -1) на тази графика. намирам f′( х 0).

Решение. 1) Нека използваме уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, и да намерим уравнението на права линия, минаваща през точки (4; 3) и (3; -1).

(г – г 1)(х 2 – х 1) = (х – х 1)(г 2 – г 1)

(г – 3)(3 – 4) = (х – 4)(–1 – 3)

(г – 3)(–1) = (х – 4)(–4)

–г + 3 = –4х+ 16| · (-едно)

г – 3 = 4х – 16

г = 4х– 13, където к 1 = 4.

2) Намерете наклона на тангентата к 2, която е перпендикулярна на правата г = 4х– 13, където к 1 = 4, по формулата:

3) Наклонът на тангентата е производната на функцията в точката на контакт. означава, f′( х 0) = к 2 = –0,25.

Отговор: –0,25.

Задача номер 8- проверява знанията по елементарна стереометрия сред участниците в изпита, способността да прилага формули за намиране на повърхнини и обеми на фигури, двустенни ъгли, сравнява обемите на подобни фигури, да може да извършва действия с геометрични фигури, координати и вектори и т.н.

Обемът на куб, описан около сфера, е 216. Намерете радиуса на сферата.

Решение. 1) Vкуб = а 3 (където ае дължината на ръба на куба), така че

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Тъй като сферата е вписана в куб, това означава, че дължината на диаметъра на сферата е равна на дължината на ръба на куба, следователно д = а, д = 6, д = 2Р, Р = 6: 2 = 3.

Задача номер 9- изисква от завършилия да трансформира и опростява алгебрични изрази. Задача № 9 с повишено ниво на сложност с кратък отговор. Задачите от раздела "Изчисления и трансформации" в USE са разделени на няколко вида:

преобразувания на числени рационални изрази;

преобразувания на алгебрични изрази и дроби;

трансформации на числови/буквени ирационални изрази;

действия със степени;

трансформация логаритмични изрази;

преобразуване на числови/буквени тригонометрични изрази.

Пример 9Изчислете tgα, ако е известно, че cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Нека използваме формулата с двоен аргумент: cos2α = 2 cos 2 α - 1 и да намерим

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Следователно tan 2 α = ± 0,5.

3) По условие

3π	< α < π,
4

следователно α е ъгълът на втората четвърт и tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Отговор: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задача номер 10- проверява способността на учениците да използват усвоените ранни знания и умения в практическата дейност и ежедневието. Можем да кажем, че това са задачи по физика, а не по математика, но в условието са дадени всички необходими формули и количества. Задачите се свеждат до решаване на линеен или квадратно уравнение, линейни или квадратно неравенство. Следователно е необходимо да можете да решавате такива уравнения и неравенства и да определяте отговора. Отговорът трябва да бъде под формата на цяло число или последна десетична дроб.

Две тела с маса м= 2 kg всяка, движещи се с еднаква скорост v= 10 m/s под ъгъл 2α една спрямо друга. Енергията (в джаули), освободена при техния абсолютно нееластичен сблъсък, се определя от израза Q = мв 2 sin 2 α. Под какъв най-малък ъгъл 2α (в градуси) трябва да се движат телата, за да се отделят най-малко 50 джаула в резултат на сблъсъка?
Решение.За да решим задачата, трябва да решим неравенството Q ≥ 50, на интервала 2α ∈ (0°; 180°).

мв 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Тъй като α ∈ (0°; 90°), ще решим само

Представяме решението на неравенството графично:

Тъй като по предположение α ∈ (0°; 90°), това означава, че 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задача номер 11- е характерно, но се оказва трудно за учениците. Основният източник на трудности е изграждането на математически модел (съставяне на уравнение). Задача номер 11 проверява умението за решаване на текстови задачи.

Пример 11.През пролетната ваканция 11-класникът Вася трябваше да реши 560 тренировъчни задачи, за да се подготви за изпита. На 18 март, в последния учебен ден, Вася реши 5 задачи. След това всеки ден решаваше същия брой задачи повече от предишния ден. Определете колко задачи е решил Вася на 2 април в последния ден от ваканцията.

Решение:Обозначете а 1 = 5 - броят на задачите, които Вася реши на 18 март, д– дневен брой задачи, решени от Вася, н= 16 - броят на дните от 18 март до 2 април включително, С 16 = 560 - общият брой задачи, а 16 - броят на задачите, които Вася реши на 2 април. Като знаете, че всеки ден Вася е решавал същия брой задачи повече от предишния ден, тогава можете да използвате формулите за намиране на сумата аритметична прогресия:

560 = (5 + а 16) 8,

5 + а 16 = 560: 8,

5 + а 16 = 70,

а 16 = 70 – 5

а 16 = 65.

Отговор: 65.

Задача номер 12- проверете способността на учениците да извършват действия с функции, да могат да прилагат производната към изучаването на функцията.

Намерете максималната точка на функция г= 10ln( х + 9) – 10х + 1.

Решение: 1) Намерете домейна на функцията: х + 9 > 0, х> –9, тоест x ∈ (–9; ∞).

2) Намерете производната на функцията:

4) Намерената точка принадлежи на интервала (–9; ∞). Дефинираме знаците на производната на функцията и изобразяваме поведението на функцията на фигурата:

Желаната максимална точка х = –8.

Изтеглете безплатно работната програма по математика към линията на UMK G.K. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравина 10-11 Изтеглете безплатни ръководства по алгебра

Задача номер 13- повишено ниво на сложност с подробен отговор, което проверява способността за решаване на уравнения, най-успешно решени сред задачите с подробен отговор на повишено ниво на сложност.

а) Решете уравнението 2log 3 2 (2cos х) – 5log 3 (2cos х) + 2 = 0

б) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на отсечката.

Решение:а) Нека log 3 (2co х) = T, след това 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

log3(2co х) =	2	⇔	2cos х = 9	⇔	cos х =	4,5	⇔ защото \|cos х\| ≤ 1,

log3(2co х) =	1		2cos х = √3		cos х =	√3
	2					2

тогава cos х =	√3
	2

х =	π	+ 2π к
	6

х = –	π	+ 2π к, к ∈ З
	6

б) Намерете корените, лежащи на отсечката .

От фигурата се вижда, че дадената отсечка има корени

11π	и	13π	.
6		6

Отговор:а)	π	+ 2π к; –	π	+ 2π к, к ∈ З; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Задача номер 14- напреднало ниво се отнася за задачите от втора част с подробен отговор. Задачата проверява умението за извършване на действия с геометрични фигури. Задачата съдържа два елемента. В първия параграф трябва да се докаже задачата, а във втория параграф да се изчисли.

Диаметърът на обиколката на основата на цилиндъра е 20, образуващата на цилиндъра е 28. Равнината пресича основите си по хорди с дължина 12 и 16. Разстоянието между хордите е 2√197.

а) Докажете, че центровете на основите на цилиндъра лежат от една и съща страна на тази равнина.

б) Намерете ъгъла между тази равнина и равнината на основата на цилиндъра.

Решение:а) Хорда с дължина 12 е на разстояние = 8 от центъра на основния кръг, а хорда с дължина 16, по същия начин, е на разстояние 6. Следователно разстоянието между техните проекции върху равнина, успоредна на основите на цилиндрите е или 8 + 6 = 14, или 8 − 6 = 2.

Тогава разстоянието между хордите е или

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Съгласно условието е реализиран вторият случай, при който проекциите на хордите лежат от едната страна на оста на цилиндъра. Това означава, че оста не пресича тази равнина в цилиндъра, т.е. основите лежат от едната му страна. Това, което трябваше да се докаже.

б) Нека означим центровете на основите като O 1 и O 2. Начертайте от центъра на основата с хорда с дължина 12 среден перпендикуляркъм тази хорда (има дължина 8, както вече беше отбелязано) и от центъра на друга основа към друга хорда. Те лежат в една и съща равнина β, перпендикулярна на тези хорди. Нека наречем средата на по-малката хорда B, по-голяма от A, и проекцията на A върху втората основа H (H ∈ β). Тогава AB,AH ∈ β и следователно AB,AH са перпендикулярни на хордата, т.е. пресечната линия на основата с дадената равнина.

Така че необходимият ъгъл е

∠ABH = арктан	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Задача номер 15- повишено ниво на сложност с подробен отговор, проверява способността за решаване на неравенства, най-успешно решени сред задачите с подробен отговор на повишено ниво на сложност.

Пример 15Решете неравенството | х 2 – 3х| дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 .

Решение:Областта на дефиниране на това неравенство е интервалът (–1; +∞). Разгледайте три случая поотделно:

1) Нека х 2 – 3х= 0, т.е. х= 0 или х= 3. В този случай това неравенство става вярно, следователно тези стойности са включени в решението.

2) Нека сега х 2 – 3х> 0, т.е. х∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). В този случай това неравенство може да бъде пренаписано във формата ( х 2 – 3х) дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 и разделете на положителен израз х 2 – 3х. Получаваме дневник 2 ( х + 1) ≤ –1, х + 1 ≤ 2 –1 , х≤ 0,5 -1 или х≤ -0,5. Като вземем предвид домейна на дефиницията, имаме х ∈ (–1; –0,5].

3) И накрая, помислете х 2 – 3х < 0, при этом х∈ (0; 3). В този случай първоначалното неравенство ще бъде пренаписано във формата (3 х – х 2) дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2. След разделяне на положителен израз 3 х – х 2, получаваме дневник 2 ( х + 1) ≤ 1, х + 1 ≤ 2, х≤ 1. Като вземем предвид площта, имаме х ∈ (0; 1].

Комбинирайки получените решения, получаваме х ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Отговор: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задача номер 16- напреднало ниво се отнася за задачите от втора част с подробен отговор. Задачата проверява умението за извършване на действия с геометрични фигури, координати и вектори. Задачата съдържа два елемента. В първия параграф трябва да се докаже задачата, а във втория параграф да се изчисли.

AT равнобедрен триъгълник ABC с ъгъл 120° при върха A е начертана ъглополовяща BD. Правоъгълникът DEFH е вписан в триъгълник ABC, така че страната FH лежи на отсечката BC, а върхът E лежи на отсечката AB. а) Докажете, че FH = 2DH. б) Намерете лицето на правоъгълника DEFH, ако AB = 4.

Решение:а)

1) ΔBEF - правоъгълник, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, тогава EF = BE поради свойството на катета срещу ъгъла от 30°.

2) Нека EF = DH = х, тогава BE = 2 х, BF = х√3 по Питагоровата теорема.

3) Тъй като ΔABC е равнобедрен, то ∠B = ∠C = 30˚.

BD е ъглополовяща на ∠B, така че ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Разгледайте ΔDBH - правоъгълен, т.к DH⊥BC.

2х	=	4 – 2х
2х(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – х
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – х

х = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) С DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

С DEFH = 24 - 12√3.

Отговор: 24 – 12√3.

Задача номер 17- задача с подробен отговор, тази задача проверява приложението на знанията и уменията в практическата дейност и ежедневието, способността за изграждане и изследване на математически модели. Тази задача е текстова с икономическо съдържание.

Пример 17.Депозитът в размер на 20 милиона рубли се планира да бъде открит за четири години. В края на всяка година банката увеличава депозита с 10% спрямо размера му в началото на годината. Освен това в началото на третата и четвъртата година вложителят ежегодно попълва депозита с хмилиона рубли, където х - цялономер. намирам най-висока стойност х, при което банката ще добави по-малко от 17 милиона рубли към депозита за четири години.

Решение:В края на първата година вноската ще бъде 20 + 20 · 0,1 = 22 милиона рубли, а в края на втората - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 милиона рубли. В началото на третата година вноската (в милиони рубли) ще бъде (24,2 + х), а накрая - (24,2 + Х) + (24,2 + Х) 0,1 = (26,62 + 1,1 х). В началото на четвъртата година вноската ще бъде (26,62 + 2,1 Х), а накрая - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) 0,1 = (29,282 + 2,31 х). По условие трябва да намерите най-голямото цяло число x, за което неравенството

(29,282 + 2,31х) – 20 – 2х < 17

29,282 + 2,31х – 20 – 2х < 17

0,31х < 17 + 20 – 29,282

0,31х < 7,718

х <	7718
	310

х <	3859
	155

х < 24	139
	155

Най-голямото цяло число решение на това неравенство е числото 24.

Отговор: 24.

Задача номер 18- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Упражнение високо нивосложността не е задача за прилагане на един метод за решение, а за комбинация различни методи. За успешното изпълнение на задача 18 освен солидни математически познания са необходими и висока математическа култура.

При какво асистема от неравенства

	х 2 + г 2 ≤ 2ай – а 2 + 1

	г + а ≤ \|х\| – а

има точно две решения?

Решение:Тази система може да бъде пренаписана като

	х 2 + (г– а) 2 ≤ 1

	г ≤ \|х\| – а

Ако начертаем върху равнината набора от решения на първото неравенство, получаваме вътрешността на окръжност (с граница) с радиус 1 с център в точката (0, а). Множеството от решения на второто неравенство е частта от равнината, която лежи под графиката на функцията г = | х| – а, а последната е графиката на функцията
г = | х| , изместен надолу с а. Решението на тази система е пресечната точка на множествата от решения на всяко от неравенствата.

Следователно тази система ще има две решения само в случая, показан на фиг. един.

Допирните точки между окръжността и правите ще бъдат двете решения на системата. Всяка от правите е наклонена спрямо осите под ъгъл 45°. Така че триъгълникът PQR- правоъгълен равнобедрен. Точка Qима координати (0, а), и точката Р– координати (0, – а). Освен това съкращения PRи PQса равни на радиуса на кръга, равен на 1. Следователно,

QR= 2а = √2, а =	√2	.
	2

Отговор: а =	√2	.
	2

Задача номер 19- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Задача с високо ниво на сложност не е задача за прилагане на един метод за решаване, а за комбинация от различни методи. За успешното изпълнение на задача 19 е необходимо да можете да търсите решение, като избирате различни подходи измежду познатите, модифицирайки изучаваните методи.

Позволявам снсума Пчленове на аритметична прогресия ( a p). Известно е, че S n + 1 = 2н 2 – 21н – 23.

а) Дайте формулата Пчлен на тази прогресия.

б) Намерете най-малката сума по модул S n.

в) Намерете най-малкото П, при което S nще бъде квадрат на цяло число.

Решение: а) Очевидно, a n = S n – S n- един. Използвайки тази формула, получаваме:

S n = С (н – 1) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 1) – 23 = 2н 2 – 25н,

S n – 1 = С (н – 2) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 2) – 23 = 2н 2 – 25н+ 27

означава, a n = 2н 2 – 25н – (2н 2 – 29н + 27) = 4н – 27.

Б) защото S n = 2н 2 – 25н, след това разгледайте функцията С(х) = | 2х 2 – 25x|. Нейната графика може да се види на фигурата.

Очевидно е, че най-малката стойност се достига в целочислените точки, разположени най-близо до нулите на функцията. Очевидно това са точки. х= 1, х= 12 и х= 13. Тъй като, С(1) = |С 1 | = |2 – 25| = 23, С(12) = |С 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, С(13) = |С 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, тогава най-малката стойност е 12.

в) От предходния параграф следва, че снположителен, тъй като н= 13. Тъй като S n = 2н 2 – 25н = н(2н– 25), тогава очевидният случай, когато този израз е перфектен квадрат, се реализира, когато н = 2н- 25, тоест с П= 25.

Остава да проверим стойностите от 13 до 25:

С 13 = 13 1, С 14 = 14 3, С 15 = 15 5, С 16 = 16 7, С 17 = 17 9, С 18 = 18 11, С 19 = 19 13 С 20 = 20 13, С 21 = 21 17, С 22 = 22 19, С 23 = 23 21, С 24 = 24 23.

Оказва се, че за по-малки стойности Ппълен квадрат не се постига.

Отговор:а) a n = 4н- 27; б) 12; в) 25.

________________

*От май 2017 г. съвместната издателска група DROFA-VENTANA е част от Корпорацията за руски учебници. В състава на корпорацията влизат още издателство Астрел и дигиталната образователна платформа LECTA. изпълнителен директорназначен Александър Бричкин, диплом Финансова академиякъм правителството на Руската федерация, кандидат на икономическите науки, ръководител на иновативни проекти на издателство DROFA в областта на цифровото образование ( електронни формиучебници, "Руско електронно училище", цифрова образователна платформа LECTA). Преди да се присъедини към издателство DROFA, той заема длъжността вицепрезидент по стратегическо развитие и инвестиции на издателския холдинг EKSMO-AST. Днес Руската корпорация за издаване на учебници има най-голямото портфолио от учебници, включени във Федералния списък - 485 заглавия (приблизително 40%, без учебниците за поправително училище). Издателствата на корпорацията притежават най-търсените от руските училища комплекти учебници по физика, рисуване, биология, химия, технологии, география, астрономия - области на знанието, необходими за развитието на производствения потенциал на страната. Портфолиото на корпорацията включва учебници и учебни ръководстваза основно училищеполучи президентската награда за образование. Това са учебници и ръководства по предметни области, които са необходими за развитието на научно-техническия и индустриалния потенциал на Русия.

Оценка

две части, включително 19 задачи. Част 1 Част 2

3 часа 55 минути(235 минути).

Отговори

Но ти можеш направи компас Калкулаторина изпита не се използва.

паспорта), паси капилярна или! Разрешено за приеманесъс себе си вода(в прозрачна бутилка) и храна

Изпитната работа се състои от две части, включително 19 задачи. Част 1съдържа 8 задачи с основно ниво на сложност с кратък отговор. Част 2съдържа 4 задачи с повишено ниво на сложност с кратък отговор и 7 задачи с високо ниво на сложност с подробен отговор.

За завършване на изпита се дава работа по математика 3 часа 55 минути(235 минути).

Отговорикъм задачи 1–12 се записват като цяло число или краен десетичен знак. Запишете числата в полетата за отговори в текста на работата, а след това ги прехвърлете в издадения по време на изпита лист за отговори №1!

Когато работите, можете да използвате издадените с работата. Можете да използвате само линийка, но ти можеш направи компассъс собствените си ръце. Забранено е използването на инструменти с отпечатани върху тях справочни материали. Калкулаторина изпита не се използва.

За изпита трябва да носите със себе си документ за самоличност. паспорта), паси капилярна или гел химикал с черно мастило! Разрешено за приеманесъс себе си вода(в прозрачна бутилка) и храна(плодове, шоколад, хлебчета, сандвичи), но може да бъдете помолени да оставите в коридора.

Средно общо образование

Линия UMK G.K. Muravina. Алгебра и началото на математическия анализ (10-11) (задълбочено)

Линия UMK Merzlyak. Алгебра и началото на анализа (10-11) (U)

Математика

Подготовка за изпита по математика (профилно ниво): задачи, решения и обяснения

Анализираме задачи и решаваме примери с учителя

Изпитната работа на ниво профил е с продължителност 3 часа 55 минути (235 минути).

Минимален праг- 27 точки.

Изпитната работа се състои от две части, които се различават по съдържание, сложност и брой задачи.

Определящата характеристика на всяка част от работата е формата на задачите:

част 1 съдържа 8 задачи (задачи 1-8) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб;
част 2 съдържа 4 задачи (задачи 9-12) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб и 7 задачи (задачи 13-19) с подробен отговор (пълен запис на решението с обосновка на извършени действия).

„За да получи диплома, абитуриентът трябва да положи два задължителни изпита под формата на Единен държавен изпит, единият от които е математика. В съответствие с Концепцията за развитие на математическото образование в Руската федерация Единният държавен изпит по математика е разделен на две нива: основно и специализирано. Днес ще разгледаме опции за нивото на профила.

Задача номер 1- проверява способността на участниците в USE да прилагат уменията, придобити в хода на 5-9 клас по начална математика в практически дейности. Участникът трябва да притежава изчислителни умения, да може да работи с рационални числа, да може да закръгля десетични дроби, да може да преобразува една мерна единица в друга.

Пример 1В апартамента, в който живее Петр, е монтиран водомер (мер) за студена вода. На първи май броячът показваше разход от 172 кубика. м вода, а на първи юни - 177 куб.м. м. Каква сума трябва да плати Петър за студена вода за май, ако цената на 1 куб. м студена вода е 34 рубли 17 копейки? Дайте отговора си в рубли.

Решение:

1) Намерете количеството вода, изразходвано на месец:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Намерете колко пари ще бъдат платени за изразходваната вода:

34.17 5 = 170.85 (разтривайте)

Отговор: 170,85.

Задача номер 2- е една от най-простите задачи на изпита. По-голямата част от завършилите успешно се справят с него, което показва притежаването на дефиницията на понятието функция. Задача тип No 2 според кодификатора на изискванията е задача за използване на придобитите знания и умения в практическата дейност и ежедневието. Задача № 2 се състои в описание, използване на функции, различни реални връзки между величини и интерпретиране на техните графики. Задача номер 2 проверява способността за извличане на информация, представена в таблици, диаграми, графики. Завършилите трябва да могат да определят стойността на функция чрез стойността на аргумента с различни начини за специфициране на функцията и да опишат поведението и свойствата на функцията според нейната графика. Необходимо е също да можете да намирате най-голямата или най-малката стойност от графиката на функцията и да изграждате графики на изучаваните функции. Допуснатите грешки са от случаен характер при разчитане на условията на задачата, разчитане на диаграмата.

#ADVERTISING_INSERT#

Решение:

2) 1000 3/4 = 750 (акции) - съставляват 3/4 от всички закупени акции.

6) 247500 + 77500 = 325000 (рубли) - бизнесменът получава след продажбата на 1000 акции.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (рубли) - бизнесменът е загубил в резултат на всички операции.

Отговор: 15000.

Задача номер 3- е задача от основното ниво на първа част, с нея се проверяват уменията за извършване на действия с геометрични фигури според съдържанието на дисциплината "Планиметрия". Задача 3 проверява умението за изчисляване на площта на фигура върху карирана хартия, умението за изчисляване на градусни мерки на ъгли, изчисляване на периметри и др.

Решение:За да изчислите площта на тази фигура, можете да използвате формулата Peak:

За да изчислим площта на този правоъгълник, използваме формулата Peak:

С= B +	Ж
	2

където V = 10, G = 6, следователно

С = 18 +	6
	2

Отговор: 20.

Решение: 1) Използваме формулата за броя на комбинациите от нелементи от к:

всички чиито върхове са червени.

3) Един петоъгълник с всички червени върхове.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоъгълника с всички червени върхове.

чиито върхове са червени или с един син връх.

8) Един шестоъгълник, чиито върхове са червени с един син връх.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоъгълника, които имат всички червени върхове или един син връх.

10) 42 - 16 = 26 полигона, които използват синята точка.

Отговор: 10.

Пример 5Решете уравнение 2 3 + х= 0,4 5 3 + х .

Решение.Разделете двете страни на това уравнение на 5 3 + х≠ 0, получаваме

2 3 + х	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откъдето следва, че 3 + х = 1, х = –2.

Отговор: –2.

Следователно, С ЛЕГЛО = С Δ ABC – С Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

(г – г 1)(х 2 – х 1) = (х – х 1)(г 2 – г 1)

(г – 3)(3 – 4) = (х – 4)(–1 – 3)

(г – 3)(–1) = (х – 4)(–4)

–г + 3 = –4х+ 16| · (-едно)

г – 3 = 4х – 16

г = 4х– 13, където к 1 = 4.

2) Намерете наклона на тангентата к 2, която е перпендикулярна на правата г = 4х– 13, където к 1 = 4, по формулата:

3) Наклонът на тангентата е производната на функцията в точката на контакт. означава, f′( х 0) = к 2 = –0,25.

Отговор: –0,25.

Обемът на куб, описан около сфера, е 216. Намерете радиуса на сферата.

Решение. 1) Vкуб = а 3 (където ае дължината на ръба на куба), така че

а 3 = 216

а = 3 √216

преобразувания на числени рационални изрази;

преобразувания на алгебрични изрази и дроби;

трансформации на числови/буквени ирационални изрази;

действия със степени;

преобразуване на логаритмични изрази;

преобразуване на числови/буквени тригонометрични изрази.

Пример 9Изчислете tgα, ако е известно, че cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Нека използваме формулата с двоен аргумент: cos2α = 2 cos 2 α - 1 и да намерим

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Следователно tan 2 α = ± 0,5.

3) По условие

3π	< α < π,
4

следователно α е ъгълът на втората четвърт и tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Отговор: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задача номер 10- проверява способността на учениците да използват усвоените ранни знания и умения в практическата дейност и ежедневието. Можем да кажем, че това са задачи по физика, а не по математика, но в условието са дадени всички необходими формули и количества. Задачите се свеждат до решаване на линейно или квадратно уравнение, или линейно или квадратно неравенство. Следователно е необходимо да можете да решавате такива уравнения и неравенства и да определяте отговора. Отговорът трябва да бъде под формата на цяло число или последна десетична дроб.

мв 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Тъй като α ∈ (0°; 90°), ще решим само

Представяме решението на неравенството графично:

Решение:Обозначете а 1 = 5 - броят на задачите, които Вася реши на 18 март, д– дневен брой задачи, решени от Вася, н= 16 - броят на дните от 18 март до 2 април включително, С 16 = 560 - общият брой задачи, а 16 - броят на задачите, които Вася реши на 2 април. Знаейки, че всеки ден Вася е решавал същия брой задачи повече от предишния ден, тогава можете да използвате формулите за намиране на сумата от аритметична прогресия:

560 = (5 + а 16) 8,

5 + а 16 = 560: 8,

5 + а 16 = 70,

а 16 = 70 – 5

а 16 = 65.

Отговор: 65.

Намерете максималната точка на функция г= 10ln( х + 9) – 10х + 1.

Решение: 1) Намерете домейна на функцията: х + 9 > 0, х> –9, тоест x ∈ (–9; ∞).

2) Намерете производната на функцията:

Желаната максимална точка х = –8.

а) Решете уравнението 2log 3 2 (2cos х) – 5log 3 (2cos х) + 2 = 0

б) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на отсечката.

Решение:а) Нека log 3 (2co х) = T, след това 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

log3(2co х) =	2	⇔	2cos х = 9	⇔	cos х =	4,5	⇔ защото \|cos х\| ≤ 1,

log3(2co х) =	1		2cos х = √3		cos х =	√3
	2					2

тогава cos х =	√3
	2

х =	π	+ 2π к
	6

х = –	π	+ 2π к, к ∈ З
	6

б) Намерете корените, лежащи на отсечката .

От фигурата се вижда, че дадената отсечка има корени

11π	и	13π	.
6		6

Отговор:а)	π	+ 2π к; –	π	+ 2π к, к ∈ З; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

а) Докажете, че центровете на основите на цилиндъра лежат от една и съща страна на тази равнина.

б) Намерете ъгъла между тази равнина и равнината на основата на цилиндъра.

Тогава разстоянието между хордите е или

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

б) Нека означим центровете на основите като O 1 и O 2. Нека начертаем от центъра на основата с хорда с дължина 12 перпендикулярната ъглополовяща към тази хорда (тя има дължина 8, както вече беше отбелязано) и от центъра на другата основа към друга хорда. Те лежат в една и съща равнина β, перпендикулярна на тези хорди. Нека наречем средата на по-малката хорда B, по-голяма от A, и проекцията на A върху втората основа H (H ∈ β). Тогава AB,AH ∈ β и следователно AB,AH са перпендикулярни на хордата, т.е. пресечната линия на основата с дадената равнина.

Така че необходимият ъгъл е

∠ABH = арктан	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Пример 15Решете неравенството | х 2 – 3х| дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 .

Решение:Областта на дефиниране на това неравенство е интервалът (–1; +∞). Разгледайте три случая поотделно:

Комбинирайки получените решения, получаваме х ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Отговор: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

В равнобедрен триъгълник ABC с ъгъл 120° при върха A е начертана ъглополовяща BD. Правоъгълникът DEFH е вписан в триъгълник ABC, така че страната FH лежи на отсечката BC, а върхът E лежи на отсечката AB. а) Докажете, че FH = 2DH. б) Намерете лицето на правоъгълника DEFH, ако AB = 4.

Решение:а)

1) ΔBEF - правоъгълник, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, тогава EF = BE поради свойството на катета срещу ъгъла от 30°.

2) Нека EF = DH = х, тогава BE = 2 х, BF = х√3 по Питагоровата теорема.

3) Тъй като ΔABC е равнобедрен, то ∠B = ∠C = 30˚.

BD е ъглополовяща на ∠B, така че ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Разгледайте ΔDBH - правоъгълен, т.к DH⊥BC.

2х	=	4 – 2х
2х(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – х
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – х

х = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) С DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

С DEFH = 24 - 12√3.

Отговор: 24 – 12√3.

Пример 17.Депозитът в размер на 20 милиона рубли се планира да бъде открит за четири години. В края на всяка година банката увеличава депозита с 10% спрямо размера му в началото на годината. Освен това в началото на третата и четвъртата година вложителят ежегодно попълва депозита с хмилиона рубли, където х - цялономер. Намерете най-високата стойност х, при което банката ще добави по-малко от 17 милиона рубли към депозита за четири години.

(29,282 + 2,31х) – 20 – 2х < 17

29,282 + 2,31х – 20 – 2х < 17

0,31х < 17 + 20 – 29,282

0,31х < 7,718

х <	7718
	310

х <	3859
	155

х < 24	139
	155

Най-голямото цяло число решение на това неравенство е числото 24.

Отговор: 24.

Задача номер 18- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Задача с високо ниво на сложност не е задача за прилагане на един метод за решаване, а за комбинация от различни методи. За успешното изпълнение на задача 18 освен солидни математически познания са необходими и висока математическа култура.

При какво асистема от неравенства

	х 2 + г 2 ≤ 2ай – а 2 + 1

	г + а ≤ \|х\| – а

има точно две решения?

Решение:Тази система може да бъде пренаписана като

	х 2 + (г– а) 2 ≤ 1

	г ≤ \|х\| – а

Следователно тази система ще има две решения само в случая, показан на фиг. един.

QR= 2а = √2, а =	√2	.
	2

Отговор: а =	√2	.
	2

Позволявам снсума Пчленове на аритметична прогресия ( a p). Известно е, че S n + 1 = 2н 2 – 21н – 23.

а) Дайте формулата Пчлен на тази прогресия.

б) Намерете най-малката сума по модул S n.

в) Намерете най-малкото П, при което S nще бъде квадрат на цяло число.

Решение: а) Очевидно, a n = S n – S n- един. Използвайки тази формула, получаваме:

S n = С (н – 1) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 1) – 23 = 2н 2 – 25н,

S n – 1 = С (н – 2) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 2) – 23 = 2н 2 – 25н+ 27

означава, a n = 2н 2 – 25н – (2н 2 – 29н + 27) = 4н – 27.

Остава да проверим стойностите от 13 до 25:

С 13 = 13 1, С 14 = 14 3, С 15 = 15 5, С 16 = 16 7, С 17 = 17 9, С 18 = 18 11, С 19 = 19 13 С 20 = 20 13, С 21 = 21 17, С 22 = 22 19, С 23 = 23 21, С 24 = 24 23.

Оказва се, че за по-малки стойности Ппълен квадрат не се постига.

Отговор:а) a n = 4н- 27; б) 12; в) 25.

________________

*От май 2017 г. съвместната издателска група DROFA-VENTANA е част от Корпорацията за руски учебници. В състава на корпорацията влизат още издателство Астрел и дигиталната образователна платформа LECTA. Александър Бричкин, възпитаник на Финансовата академия към правителството на Руската федерация, кандидат на икономическите науки, ръководител на иновативни проекти на издателство DROFA в областта на цифровото образование (електронни форми на учебници, Руско електронно училище, дигитално образование LECTA платформа) е назначен за генерален директор. Преди да се присъедини към издателство DROFA, той заема длъжността вицепрезидент по стратегическо развитие и инвестиции на издателския холдинг EKSMO-AST. Днес Руската корпорация за издаване на учебници има най-голямото портфолио от учебници, включени във Федералния списък - 485 заглавия (приблизително 40%, с изключение на учебниците за поправителните училища). Издателствата на корпорацията притежават най-търсените от руските училища комплекти учебници по физика, рисуване, биология, химия, технологии, география, астрономия - области на знанието, необходими за развитието на производствения потенциал на страната. Портфолиото на корпорацията включва учебници и учебни помагала за началните училища, отличени с наградата на Президента за образование. Това са учебници и ръководства по предметни области, които са необходими за развитието на научно-техническия и индустриалния потенциал на Русия.