Решаване на сложни примери чрез натурален логаритъм. Логаритмични изрази

Продължаваме да изучаваме логаритми. В тази статия ще говорим за изчисляване на логаритми, този процес се нарича логаритъм. Първо, ще се занимаваме с изчисляването на логаритми по дефиниция. След това помислете как се намират стойностите на логаритмите, като се използват техните свойства. След това ще се спрем на изчисляването на логаритмите чрез първоначално дадените стойности на други логаритми. И накрая, нека научим как да използваме таблици с логаритми. Цялата теория е снабдена с примери с подробни решения.

Навигация в страницата.

Изчисляване на логаритми по дефиниция

В най-простите случаи е възможно бързо и лесно изпълнение намиране на логаритъм по дефиниция. Нека да разгледаме по-подробно как протича този процес.

Същността му е да представи числото b във формата a c , откъдето по дефиницията на логаритъма числото c е стойността на логаритъма. Тоест по дефиниция намирането на логаритъм съответства на следната верига от равенства: log a b=log a a c =c .

И така, изчисляването на логаритъма по дефиниция се свежда до намирането на такова число c, че a c \u003d b, а самото число c е желаната стойност на логаритъма.

Като се има предвид информацията от предишните параграфи, когато числото под знака на логаритъма е дадено от някаква степен на основата на логаритъма, тогава можете веднага да посочите на какво е равен логаритъма - то равна настепен. Да покажем примери.

Пример.

Намерете log 2 2 −3 и също изчислете натурален логаритъм от e 5,3.

Решение.

Дефиницията на логаритъма ни позволява веднага да кажем, че log 2 2 −3 = −3 . Наистина, числото под знака на логаритъма е равно на основа 2 на степен −3.

По подобен начин намираме втория логаритъм: lne 5,3 =5,3.

Отговор:

log 2 2 −3 = −3 и lne 5,3 =5,3 .

Ако числото b под знака на логаритъма не е дадено като степен на основата на логаритъма, тогава трябва внимателно да обмислите дали е възможно да излезете с представяне на числото b във формата a c . Често това представяне е съвсем очевидно, особено когато числото под знака на логаритъма е равно на основата на степен 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Изчислете логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно се вижда, че 25=5 2 , това ви позволява да изчислите първия логаритъм: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Пристъпваме към изчисляването на втория логаритъм. Едно число може да бъде представено като степен на 7: (вижте ако е необходимо). Следователно, .

Нека пренапишем третия логаритъм в следната форма. Сега можете да видите това , откъдето заключаваме, че . Следователно, по дефиницията на логаритъма .

Накратко решението може да се напише по следния начин:

Отговор:

log 5 25=2 , и .

Когато под знака на логаритъма има достатъчно голяма стойност естествено число, тогава няма да навреди да го разложим на прости множители. Често помага да се представи такова число като някаква степен на основата на логаритъма и следователно да се изчисли този логаритъм по дефиниция.

Пример.

Намерете стойността на логаритъма.

Решение.

Някои свойства на логаритмите ви позволяват незабавно да посочите стойността на логаритмите. Тези свойства включват свойството на логаритъм от едно и свойството на логаритъм на число, равно на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1 . Тоест, когато числото 1 или числото a е под знака на логаритъма, равен на основата на логаритъма, тогава в тези случаи логаритмите са съответно 0 и 1.

Пример.

Какви са логаритмите и lg10?

Решение.

Тъй като , следва от дефиницията на логаритъма .

Във втория пример числото 10 под знака на логаритъма съвпада с неговата основа, така че десетичният логаритъм от десет е равен на единица, тоест lg10=lg10 1 =1 .

Отговор:

И lg10=1 .

Имайте предвид, че изчисляването на логаритми по дефиниция (което обсъдихме в предишния параграф) предполага използването на равенството log a a p =p, което е едно от свойствата на логаритмите.

На практика, когато числото под знака на логаритъма и основата на логаритъма лесно се представят като степен на някакво число, е много удобно да се използва формулата , което съответства на едно от свойствата на логаритмите. Помислете за пример за намиране на логаритъм, илюстриращ използването на тази формула.

Пример.

Изчислете логаритъма на .

Решение.

Отговор:

Свойствата на логаритмите, които не са споменати по-горе, също се използват в изчислението, но ще говорим за това в следващите параграфи.

Намиране на логаритми по отношение на други известни логаритми

Информацията в този параграф продължава темата за използването на свойствата на логаритмите при тяхното изчисляване. Но тук основната разлика е, че свойствата на логаритмите се използват за изразяване на оригиналния логаритъм чрез друг логаритъм, чиято стойност е известна. Нека вземем пример за пояснение. Да кажем, че знаем, че log 2 3≈1,584963, тогава можем да намерим, например, log 2 6, като направим малка трансформация, използвайки свойствата на логаритъма: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

В горния пример за нас беше достатъчно да използваме свойството логаритъм на произведението. Много по-често обаче трябва да използвате по-широк арсенал от свойства на логаритми, за да изчислите оригиналния логаритъм по отношение на дадените.

Пример.

Изчислете логаритъма от 27 при основа 60, ако е известно, че log 60 2=a и log 60 5=b.

Решение.

Така че трябва да намерим log 60 27 . Лесно се вижда, че 27=3 3 и първоначалният логаритъм, поради свойството на логаритъма на степента, може да бъде пренаписан като 3·log 60 3 .

Сега нека видим как log 60 3 може да бъде изразено чрез известни логаритми. Свойството на логаритъм на число, равно на основата, ви позволява да напишете логаритъм на равенство 60 60=1 . От друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . По този начин, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Следователно, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Накрая изчисляваме първоначалния логаритъм: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Отговор:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Отделно си струва да споменем значението на формулата за преход към нова основа на логаритъма на формата . Тя ви позволява да преминете от логаритми с произволна основа към логаритми с конкретна основа, чиито стойности са известни или е възможно да ги намерите. Обикновено от оригиналния логаритъм, според формулата за преход, те преминават към логаритми в една от базите 2, e или 10, тъй като за тези бази има таблици с логаритми, които им позволяват да бъдат изчислени с определена степен на точност. В следващия раздел ще покажем как се прави това.

Таблици на логаритми, тяхното използване

За приблизително изчисляване на стойностите на логаритмите можете да използвате логаритмични таблици. Най-често използваните са таблицата с логаритъм с основа 2, таблицата с натурален логаритъм и таблицата с десетичен логаритъм. Когато работите в десетичната бройна система, е удобно да използвате таблица с логаритми по основа десет. С негова помощ ще се научим да намираме стойностите на логаритмите.

Представената таблица позволява с точност до една десет хилядна да се намерят стойностите на десетичните логаритми на числа от 1000 до 9999 (с три знака след десетичната запетая). Ще анализираме принципа за намиране на стойността на логаритъма с помощта на таблица с десетични логаритми, използвайки конкретен пример - това е по-ясно. Нека намерим lg1,256.

В лявата колона на таблицата с десетични логаритми намираме първите две цифри на числото 1,256, тоест намираме 1,2 (това число е оградено в синьо за яснота). Третата цифра на числото 1.256 (номер 5) се намира в първия или последния ред вляво от двойната линия (това число е оградено в червено). Четвъртата цифра от оригиналното число 1.256 (номер 6) се намира в първия или последния ред вдясно от двойната линия (това число е оградено в зелено). Сега намираме числата в клетките на таблицата с логаритми в пресечната точка на маркирания ред и маркираните колони (тези числа са маркирани оранжево). Сумата от маркираните числа дава желаната стойност на десетичния логаритъм до четвъртия знак след десетичната запетая, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Възможно ли е, като се използва горната таблица, да се намерят стойностите на десетични логаритми на числа, които имат повече от три цифри след десетичната запетая и също така да надхвърлят границите от 1 до 9,999? Да, можеш. Нека покажем как става това с пример.

Нека изчислим lg102,76332. Първо трябва да пишете номер в стандартна форма: 102,76332=1,0276332 10 2 . След това мантисата трябва да се закръгли до третия знак след десетичната запетая, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, докато първоначалният десетичен логаритъм е приблизително равен на логаритъма на полученото число, т.е. вземаме lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Сега приложете свойствата на логаритъма: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Накрая намираме стойността на логаритъма lg1.028 според таблицата на десетичните логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. В резултат на това целият процес на изчисляване на логаритъма изглежда така: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

В заключение си струва да се отбележи, че с помощта на таблицата с десетични логаритми можете да изчислите приблизителната стойност на всеки логаритъм. За да направите това, достатъчно е да използвате формулата за преход, за да отидете до десетични логаритми, да намерите техните стойности в таблицата и да извършите останалите изчисления.

Например, нека изчислим log 2 3 . Според формулата за прехода към нова основа на логаритъма имаме . От таблицата с десетични логаритми намираме lg3≈0,4771 и lg2≈0,3010. По този начин, .

Библиография.

Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Логаритъмът на положително число b при основа a (a>0, a не е равно на 1) е число c, такова че a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Имайте предвид, че логаритъма на неположително число не е дефиниран. Освен това основата на логаритъма трябва да е положително число, а не равно на 1. Например, ако повдигнем на квадрат -2, получаваме числото 4, но това не означава, че логаритъмът с основа -2 от 4 е 2.

Основно логаритмично тъждество

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно е, че областите на дефиниране на дясната и лявата част на тази формула са различни. Лявата страна е дефинирана само за b>0, a>0 и a ≠ 1. Дясна часте дефинирано за всяко b, но изобщо не зависи от a. По този начин прилагането на основното логаритмично "тъждество" при решаване на уравнения и неравенства може да доведе до промяна в DPV.

Две очевидни следствия от дефиницията на логаритъма

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Наистина, при повишаване на числото a на първа степен получаваме същото число, а при повдигане на нулева степен получаваме единица.

Логаритъм от произведението и логаритъм от частното

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Бих искал да предупредя учениците срещу необмисленото използване на тези формули при решаване на логаритмични уравнения и неравенства. Когато се използват "отляво надясно", ODZ се стеснява, а при преминаване от сбора или разликата на логаритмите към логаритъма на произведението или частното ODZ се разширява.

Наистина, изразът log a (f (x) g (x)) е дефиниран в два случая: когато и двете функции са строго положителни или когато f(x) и g(x) са и двете по-малки от нула.

Преобразувайки този израз в сумата log a f (x) + log a g (x) , ние сме принудени да се ограничим само до случая, когато f(x)>0 и g(x)>0. Има стесняване на обхвата на допустимите стойности, което е категорично недопустимо, тъй като може да доведе до загуба на решения. Подобен проблем съществува и за формула (6).

Степента може да бъде извадена от знака на логаритъма

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И отново искам да призова за точност. Разгледайте следния пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Лявата страна на равенството очевидно е дефинирана за всички стойности на f(x) с изключение на нула. Дясната страна е само за f(x)>0! Изваждайки степента на логаритъма, ние отново стесняваме ODZ. Обратната процедура води до разширяване на обхвата на допустимите стойности. Всички тези бележки се отнасят не само за степен 2, но и за всяка четна степен.

Формула за преместване в нова база

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Този рядък случай, когато ODZ не се променя по време на преобразуването. Ако сте избрали разумно основата c (положителна и не равна на 1), формулата за преминаване към нова база е напълно безопасна.

Ако изберем числото b като нова база c, получаваме важен частен случай на формула (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Няколко прости примера с логаритми

Пример 1 Изчислете: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Използвахме формулата за сумата от логаритми (5) и дефиницията на десетичния логаритъм.

Пример 2 Изчислете: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Използвахме новата формула за базов преход (8).

Таблица с формули, свързани с логаритми

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

С това видео започвам дълга поредица от уроци за логаритмични уравнения. Сега имате три примера наведнъж, въз основа на които ще се научим да решаваме най-много прости задачи, които се наричат протозои.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нека ви напомня, че най-простото логаритмично уравнение е следното:

log a f(x) = b

Важно е променливата x да присъства само в аргумента, т.е. само във функцията f(x). А числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функции, съдържащи променливата x.

Основни методи за решаване

Има много начини за решаване на такива структури. Например повечето учители в училище предлагат следния начин: Незабавно изразете функцията f ( x ) с помощта на формулата е( x ) = а б . Тоест, когато срещнете най-простата конструкция, можете веднага да преминете към решението без допълнителни действия и конструкции.

Да, разбира се, решението ще се окаже правилно. Проблемът с тази формула обаче е, че повечето студенти не разбирам, откъде идва и защо точно буква а повдигаме на буква б.

В резултат на това често наблюдавам много обидни грешки, когато например тези букви се разменят. Тази формула трябва или да се разбере или да се запомни, а вторият метод води до грешки в най-неподходящите и най-важните моменти: на изпити, тестове и т.н.

Ето защо предлагам на всички мои ученици да изоставят стандартната училищна формула и да използват втория подход за решаване на логаритмични уравнения, който, както вероятно се досещате от името, се нарича канонична форма.

Идеята за каноничната форма е проста. Нека отново погледнем нашата задача: отляво имаме log a , докато буквата a означава точно числото и в никакъв случай функцията, съдържаща променливата x. Следователно тази буква подлежи на всички ограничения, които се налагат върху основата на логаритъма. а именно:

1 ≠ a > 0

От друга страна, от същото уравнение виждаме, че логаритъмът трябва да е равен на числото b и не се налагат ограничения върху тази буква, тъй като тя може да приеме всякаква стойност - както положителна, така и отрицателна. Всичко зависи от това какви стойности приема функцията f(x).

И тук си спомняме нашето прекрасно правило, че всяко число b може да бъде представено като логаритъм при основа a от a на степен b:

b = log a a b

Как да запомните тази формула? Да, много просто. Нека напишем следната конструкция:

b = b 1 = b log a a

Разбира се, в този случай възникват всички ограничения, които записахме в началото. А сега нека използваме основното свойство на логаритъма и въведем коефициента b като степен на а. Получаваме:

b = b 1 = b log a a = log a a b

В резултат на това първоначалното уравнение ще бъде пренаписано в следната форма:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Това е всичко. Нова функциявече не съдържа логаритъм и се решава чрез стандартни алгебрични техники.

Разбира се, сега някой ще възрази: защо изобщо беше необходимо да се измисли някаква канонична формула, защо да се правят две допълнителни ненужни стъпки, ако беше възможно незабавно да се премине от първоначалната конструкция към крайната формула? Да, само защото повечето ученици не разбират откъде идва тази формула и в резултат на това редовно правят грешки, когато я прилагат.

Но такава последователност от действия, състояща се от три стъпки, ви позволява да решите оригиналното логаритмично уравнение, дори ако не разбирате откъде идва тази крайна формула. Между другото, този запис се нарича канонична формула:

log a f(x) = log a a b

Удобството на каноничната форма се крие и във факта, че тя може да се използва за решаване на много широк клас логаритмични уравнения, а не само на най-простите, които разглеждаме днес.

Примери за решения

Сега нека да разгледаме реални примери. Така че нека решим:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Нека го пренапишем така:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Много ученици бързат и се опитват незабавно да повишат числото 0,5 на степен, която ни дойде от първоначалната задача. И наистина, когато вече сте добре обучени да решавате подобни проблеми, можете веднага да извършите тази стъпка.

Ако обаче сега започвате да изучавате тази тема, по-добре е да не бързате никъде, за да не правите обидни грешки. Така че имаме каноничната форма. Ние имаме:

3x - 1 = 0,5 -3

Това вече не е логаритмично уравнение, а линейно по отношение на променливата x. За да го решим, нека първо се справим с числото 0,5 на степен −3. Обърнете внимание, че 0,5 е 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

всичко десетични знациконвертирайте в нормално, когато решавате логаритмично уравнение.

Пренаписваме и получаваме:

3x − 1 = 8
3x=9
х=3

Всичко, което получихме отговора. Първата задача е решена.

Втора задача

Да преминем към втората задача:

Както можете да видите, това уравнение вече не е най-простото. Макар и само защото разликата е отляво, а не един логаритъм в една основа.

Следователно трябва по някакъв начин да се отървете от тази разлика. В този случай всичко е много просто. Нека разгледаме по-отблизо основите: вляво е числото под корена:

Обща препоръка: във всички логаритмични уравнения се опитайте да се отървете от радикалите, т.е. записи с корени, и преминете към мощностни функции, просто защото показателите на тези степени лесно се изваждат от знака на логаритъма и в крайна сметка такава нотация значително опростява и ускорява изчисленията. Нека го напишем така:

Сега си спомняме забележителното свойство на логаритъма: от аргумента, както и от основата, можете да извадите степени. В случай на бази се случва следното:

log a k b = 1/k log b

С други думи, числото, което е стояло в степента на основата, се изнася напред и в същото време се обръща, тоест става реципрочна стойност на числото. В нашия случай имаше степен на база с показател 1/2. Следователно можем да го извадим като 2/1. Получаваме:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Моля, обърнете внимание: в никакъв случай не трябва да се отървете от логаритмите на тази стъпка. Спомнете си математиката от 4-5 клас и реда на операциите: първо се извършва умножение и едва след това събиране и изваждане. В този случай изваждаме един от същите елементи от 10 елемента:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Сега нашето уравнение изглежда както трябва. Това е най-простата конструкция и ние я решаваме с помощта на каноничната форма:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
х=25

Това е всичко. Вторият проблем е решен.

Трети пример

Да преминем към третата задача:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Спомнете си следната формула:

log b = log 10 b

Ако по някаква причина сте объркани, като пишете lg b, тогава, когато правите всички изчисления, можете просто да напишете log 10 b. Можете да работите с десетични логаритми по същия начин, както с други: изваждайте степени, събирайте и представяйте всяко число като lg 10.

Точно тези свойства ще използваме сега, за да решим задачата, тъй като тя не е най-простата, която записахме в самото начало на нашия урок.

Като начало отбележете, че множителят 2 преди lg 5 може да бъде вмъкнат и става степен на основа 5. В допълнение, свободният член 3 може също да бъде представен като логаритъм - това е много лесно да се види от нашата нотация.

Преценете сами: всяко число може да бъде представено като логаритъм по основа 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Нека пренапишем оригиналния проблем, като вземем предвид получените промени:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Пред нас отново е каноничната форма и ние я получихме, заобикаляйки етапа на трансформации, т.е. най-простото логаритмично уравнение не се появи никъде с нас.

Това е, за което говорих в самото начало на урока. Каноничната форма позволява решаването на по-широк клас задачи от стандартната училищна формула, която се дава от повечето училищни учители.

Това е всичко, отърваваме се от знака на десетичния логаритъм и получаваме проста линейна конструкция:

х + 3 = 25 000
х = 24997

Всичко! Проблема решен.

Бележка относно обхвата

Тук бих искал да направя важна забележка относно областта на дефиницията. Със сигурност сега има ученици и учители, които ще кажат: „Когато решаваме изрази с логаритми, е задължително да запомним, че аргументът f (x) трябва да е по-голям от нула!“ В тази връзка възниква логичен въпрос: защо в нито една от разгледаните задачи не сме изискали това неравенство да бъде изпълнено?

Не се безпокой. В тези случаи няма да се появят допълнителни корени. И това е друг страхотен трик, който ви позволява да ускорите решението. Просто знайте, че ако в задачата променливата x се среща само на едно място (по-точно в единствения аргумент на единствения логаритъм) и никъде другаде в нашия случай не се среща променливата x, тогава напишете домейна няма нуждазащото ще работи автоматично.

Преценете сами: в първото уравнение получихме, че 3x - 1, т.е. аргументът трябва да е равен на 8. Това автоматично означава, че 3x - 1 ще бъде по-голямо от нула.

Със същия успех можем да напишем, че във втория случай x трябва да е равно на 5 2, т.е. със сигурност е по-голямо от нула. И в третия случай, където х + 3 = 25 000, т.е. отново очевидно е по-голямо от нула. С други думи, обхватът е автоматичен, но само ако x се среща само в аргумента само на един логаритъм.

Това е всичко, което трябва да знаете, за да решавате прости проблеми. Само това правило, заедно с правилата за трансформация, ще ви позволи да разрешите много широк клас проблеми.

Но нека бъдем честни: за да се справим най-накрая с тази техника, за да научим как да прилагаме каноничната форма логаритмично уравнениеНе е достатъчно само да гледате един видео урок. Затова още сега изтеглете опциите за самостоятелно решение, които са приложени към този видео урок и започнете да решавате поне една от тези две независими работи.

Ще ви отнеме само няколко минути. Но ефектът от такова обучение ще бъде много по-висок в сравнение с това, ако току-що сте гледали този видео урок.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да разберете логаритмичните уравнения. Приложете каноничната форма, опростете изразите, като използвате правилата за работа с логаритми - и няма да се страхувате от никакви задачи. И това е всичко, което имам за днес.

Разглеждане на обхвата

Сега нека поговорим за обхвата логаритмична функция, както и как това се отразява на решаването на логаритмични уравнения. Помислете за конструкция на формата

log a f(x) = b

Такъв израз се нарича най-прост - той има само една функция, а числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функция, която зависи от променливата x. Решава се много просто. Просто трябва да използвате формулата:

b = log a a b

Тази формула е едно от ключовите свойства на логаритъма и при заместване в нашия оригинален израз получаваме следното:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Това е позната формула от училищни учебници. Много ученици вероятно ще имат въпрос: тъй като функцията f ( x ) в оригиналния израз е под знака на дневника, върху нея се налагат следните ограничения:

f(x) > 0

Това ограничение е валидно, защото не съществува логаритъм от отрицателни числа. Така че може би поради това ограничение трябва да въведете проверка за отговори? Може би те трябва да бъдат заменени в източника?

Не, в най-простите логаритмични уравнения не е необходима допълнителна проверка. И ето защо. Разгледайте нашата крайна формула:

f(x) = a b

Факт е, че числото a във всеки случай е по-голямо от 0 - това изискване също се налага от логаритъма. Числото a е основата. В този случай не се налагат ограничения върху числото b. Но това няма значение, защото на каквато и степен да повдигнем положително число, пак ще получим положително число на изхода. Така изискването f (x) > 0 се изпълнява автоматично.

Това, което наистина си струва да се провери, е обхватът на функцията под знака на журнала. Може да има доста сложни дизайни и в процеса на решаването им определено трябва да ги следвате. Да видим.

Първа задача:

Първа стъпка: преобразувайте дробта отдясно. Получаваме:

Отърваваме се от знака на логаритъма и получаваме обичайното ирационално уравнение:

От получените корени само първият ни подхожда, тъй като вторият корен е по-малък от нула. Единственият отговор ще бъде числото 9. Това е всичко, проблемът е решен. Не се изискват допълнителни проверки дали изразът под знака логаритъм е по-голям от 0, тъй като не просто е по-голям от 0, но по условието на уравнението е равен на 2. Следователно изискването „по-голямо от нула“ е автоматично удовлетворен.

Да преминем към втората задача:

Тук всичко е същото. Пренаписваме конструкцията, замествайки тройката:

Отърваваме се от знаците на логаритъма и получаваме ирационално уравнение:

Поставяме на квадрат двете части, като вземем предвид ограниченията и получаваме:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Решаваме полученото уравнение чрез дискриминанта:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Но x = −6 не ни устройва, защото ако заместим това число в нашето неравенство, получаваме:

−6 + 4 = −2 < 0

В нашия случай се изисква то да е по-голямо от 0 или в краен случай равно. Но x = −1 ни подхожда:

−1 + 4 = 3 > 0

Единственият отговор в нашия случай е x = −1. Това е цялото решение. Да се върнем към самото начало на нашите изчисления.

Основният извод от този урок е, че не е необходимо да се проверяват границите за функция в най-простите логаритмични уравнения. Тъй като в процеса на решаване всички ограничения се изпълняват автоматично.

Това обаче в никакъв случай не означава, че можете напълно да забравите за проверката. В процеса на работа върху логаритмично уравнение, то може да се превърне в ирационално, което ще има свои собствени ограничения и изисквания за дясната страна, които видяхме днес в два различни примера.

Чувствайте се свободни да решавате подобни проблеми и бъдете особено внимателни, ако има корен в спора.

Логаритмични уравнения с различни основи

Продължаваме да изучаваме логаритмични уравнения и анализираме още два доста интересни трика, с които е модерно да се решават по-сложни структури. Но първо, нека си припомним как се решават най-простите задачи:

log a f(x) = b

В тази нотация a и b са просто числа, а във функцията f (x) променливата x трябва да присъства и само там, тоест x трябва да присъства само в аргумента. Ние ще трансформираме такива логаритмични уравнения, като използваме каноничната форма. За това отбелязваме, че

b = log a a b

И a b е просто аргумент. Нека пренапишем този израз, както следва:

log a f(x) = log a a b

Точно това се опитваме да постигнем, така че и отляво, и отдясно да има логаритъм при основа а. В този случай можем, образно казано, да зачеркнем знаците на log, а от гледна точка на математиката можем да кажем, че просто приравняваме аргументите:

f(x) = a b

В резултат на това получаваме нов израз, който ще бъде решен много по-лесно. Нека приложим това правило към нашите задачи днес.

И така, първият дизайн:

Първо, отбелязвам, че вдясно има дроб, чийто знаменател е log. Когато видите израз като този, струва си да си спомните прекрасното свойство на логаритмите:

Преведено на руски, това означава, че всеки логаритъм може да бъде представен като частно от два логаритма с произволна основа c. Разбира се, 0< с ≠ 1.

И така: тази формула има един чудесен специален случай, когато променливата c е равна на променливата b. В този случай получаваме конструкция на формата:

Това е тази конструкция, която наблюдаваме от знака вдясно в нашето уравнение. Нека заменим тази конструкция с log a b, получаваме:

С други думи, в сравнение с първоначалната задача сме разменили аргумента и основата на логаритъма. Вместо това трябваше да обърнем дробта.

Припомняме, че всяка степен може да бъде извадена от основата според следното правило:

С други думи, коефициентът k, който е степента на основата, се изважда като обърната дроб. Нека го изведем като обърната дроб:

Дробният фактор не може да бъде оставен отпред, защото в този случай няма да можем да представим този запис като канонична форма (в края на краищата в каноничната форма няма допълнителен фактор пред втория логаритъм). Следователно, нека поставим дробта 1/4 в аргумента като степен:

Сега приравняваме аргументите, чиито основи са еднакви (и наистина имаме еднакви бази) и записваме:

х + 5 = 1

x = −4

Това е всичко. Получихме отговора на първото логаритмично уравнение. Обърнете внимание: в първоначалния проблем променливата x се среща само в един журнал и е в неговия аргумент. Следователно няма нужда да проверяваме домейна и нашето число x = −4 наистина е отговорът.

Сега да преминем към втория израз:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Тук, в допълнение към обичайните логаритми, ще трябва да работим с lg f (x). Как да решим такова уравнение? На неподготвен ученик може да изглежда, че това е някакъв калай, но всъщност всичко е решено елементарно.

Погледнете внимателно термина lg 2 log 2 7. Какво можем да кажем за него? Основите и аргументите на log и lg са еднакви и това би трябвало да даде някои улики. Нека си припомним още веднъж как се изваждат градусите под знака на логаритъма:

log a b n = nlog a b

С други думи, степента на числото b в аргумента става фактор пред самия log. Нека приложим тази формула към израза lg 2 log 2 7. Не се страхувайте от lg 2 – това е най-често срещаният израз. Можете да го пренапишете така:

За него са валидни всички правила, които важат за всеки друг логаритъм. По-специално, факторът отпред може да бъде въведен в силата на аргумента. нека напишем:

Много често учениците упорито не виждат това действие, защото не е добре да въвеждате един дневник под знака на друг. Всъщност в това няма нищо престъпно. Освен това получаваме формула, която е лесна за изчисляване, ако запомните важно правило:

Тази формула може да се разглежда както като определение, така и като едно от нейните свойства. Във всеки случай, ако преобразувате логаритмично уравнение, трябва да знаете тази формула по същия начин, както представянето на което и да е число под формата на log.

Връщаме се към нашата задача. Пренаписваме го, като вземем предвид факта, че първият член отдясно на знака за равенство просто ще бъде равен на lg 7. Имаме:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Нека преместим lg 7 наляво, получаваме:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Изваждаме изразите отляво, защото имат една и съща основа:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Сега нека разгледаме по-отблизо уравнението, което имаме. На практика това е каноничната форма, но има коефициент −3 отдясно. Нека го поставим в правилния lg аргумент:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че задраскваме знаците на lg и приравняваме аргументите:

(x + 4) -3 = 8

х + 4 = 0,5

Това е всичко! Решихме второто логаритмично уравнение. В този случай не са необходими допълнителни проверки, тъй като в първоначалния проблем x присъства само в един аргумент.

Позволете ми да обобщя ключовите моменти от този урок.

Основната формула, която се изучава във всички уроци на тази страница, посветени на решаването на логаритмични уравнения, е каноничната форма. И не се отчайвайте от факта, че повечето училищни учебници ви учат как да решавате този вид проблеми по различен начин. Този инструмент работи много ефективно и ви позволява да решавате много по-широк клас проблеми от най-простите, които изучавахме в самото начало на нашия урок.

В допълнение, за решаване на логаритмични уравнения ще бъде полезно да знаете основните свойства. а именно:

Формулата за преместване на една база и специален случай, когато обръщаме дневник (това ни беше много полезно в първата задача);
Формулата за въвеждане и извеждане на степени под знака на логаритъма. Тук много студенти се забиват и не виждат направо, че изведената и вкарана мощност може сама по себе си да съдържа log f (x). Нищо лошо в това. Можем да въведем един дневник според знака на друг и в същото време значително да опростим решението на задачата, което наблюдаваме във втория случай.

В заключение бих искал да добавя, че не е необходимо да проверявате обхвата във всеки от тези случаи, защото навсякъде променливата x присъства само в един знак на log и в същото време е в неговия аргумент. В резултат на това всички изисквания на домейна се изпълняват автоматично.

Проблеми с променлива база

Днес ще разгледаме логаритмични уравнения, които за много ученици изглеждат нестандартни, ако не и напълно неразрешими. Говорим за изрази, които се основават не на числа, а на променливи и дори функции. Ние ще решаваме такива конструкции, използвайки нашата стандартна техника, а именно чрез каноничната форма.

Като начало, нека си припомним как се решават най-простите задачи, които се основават на обикновени числа. И така, най-простата конструкция се нарича

log a f(x) = b

За да разрешим такива проблеми, можем да използваме следната формула:

b = log a a b

Пренаписваме нашия оригинален израз и получаваме:

log a f(x) = log a a b

След това приравняваме аргументите, т.е. пишем:

f(x) = a b

Така се отърваваме от знака на дневника и решаваме обичайния проблем. В този случай корените, получени в решението, ще бъдат корените на първоначалното логаритмично уравнение. В допълнение, записът, когато и лявото, и дясното са на един и същ логаритъм с една и съща основа, се нарича канонична форма. Именно до този запис ще се опитаме да сведем днешните строежи. Така че да тръгваме.

Първа задача:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Заменете 1 с log x − 2 (x − 2) 1 . Степента, която наблюдаваме в аргумента, всъщност е числото b, което беше отдясно на знака за равенство. Нека пренапишем нашия израз. Получаваме:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

какво виждаме Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че можем спокойно да приравним аргументите. Получаваме:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Но решението не свършва дотук, защото това уравнение не е еквивалентно на първоначалното. В края на краищата, получената конструкция се състои от функции, които са дефинирани на цялата числова ос, а нашите оригинални логаритми не са дефинирани навсякъде и не винаги.

Следователно трябва да запишем домейна на дефиниция отделно. Нека не бъдем по-мъдри и първо да напишем всички изисквания:

Първо, аргументът на всеки от логаритмите трябва да е по-голям от 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Второ, основата не само трябва да е по-голяма от 0, но и различна от 1:

x − 2 ≠ 1

В резултат на това получаваме системата:

Но не се тревожете: при обработката на логаритмични уравнения такава система може да бъде значително опростена.

Съдете сами: от една страна, от нас се изисква квадратичната функция да е по-голяма от нула, а от друга страна, тази квадратна функция се приравнява на някакъв линеен израз, който също се изисква да бъде по-голям от нула.

В този случай, ако изискваме x − 2 > 0, тогава автоматично ще бъде изпълнено изискването 2x 2 − 13x + 18 > 0. Следователно можем спокойно да зачеркнем неравенството, съдържащо квадратична функция. По този начин броят на изразите, съдържащи се в нашата система, ще бъде намален до три.

Разбира се, може и да задраскаме линейно неравенство, т.е. зачертайте x − 2 > 0 и изисквайте 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но трябва да се съгласите, че е много по-бързо и по-лесно да се реши най-простото линейно неравенство, отколкото тази система, която получава едни и същи корени.

Като цяло, опитайте се да оптимизирате изчисленията, когато е възможно. А в случай на логаритмични уравнения, задраскайте най-трудните неравенства.

Нека пренапишем нашата система:

Ето такава система от три израза, два от които всъщност вече сме измислили. Да пишем отделно квадратно уравнениеи го реши:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Пред нас е редуциран квадратен тричлен и следователно можем да използваме формулите на Vieta. Получаваме:

(x − 5)(x − 2) = 0

х 1 = 5

х2 = 2

Сега, обратно към нашата система, откриваме, че x = 2 не ни подхожда, защото от нас се изисква x да е строго по-голямо от 2.

Но x \u003d 5 ни подхожда доста добре: числото 5 е по-голямо от 2 и в същото време 5 не е равно на 3. Следователно, единственото решениена тази система ще бъде x = 5.

Всичко, задачата е решена, включително като се вземе предвид ODZ. Да преминем към второто уравнение. Тук очакваме още интересни и смислени изчисления:

Първата стъпка: както и последния път, ние привеждаме целия този бизнес в канонична форма. За да направим това, можем да напишем числото 9 по следния начин:

Основата с корена не може да бъде докосната, но е по-добре да трансформирате аргумента. Нека преминем от корена към степента с рационален показател. нека напишем:

Нека не пренаписвам цялото ни голямо логаритмично уравнение, а веднага приравнявам аргументите:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Пред нас е отново редуцираният квадратен трином, ще използваме формулите на Vieta и ще напишем:

(x + 3)(x + 1) = 0

х 1 = -3

х 2 = -1

И така, получихме корените, но никой не ни гарантира, че ще отговарят на първоначалното логаритмично уравнение. В края на краищата регистрационните знаци налагат допълнителни ограничения (тук ще трябва да запишем системата, но поради тромавостта на цялата конструкция реших да изчисля отделно домейна на дефиницията).

Първо, не забравяйте, че аргументите трябва да са по-големи от 0, а именно:

Това са изискванията, наложени от областта на дефиницията.

Веднага отбелязваме, че тъй като приравняваме първите два израза на системата един към друг, можем да зачеркнем всеки от тях. Нека зачеркнем първото, защото изглежда по-заплашително от второто.

Освен това имайте предвид, че решенията на второто и третото неравенство ще бъдат едни и същи множества (кубът на някакво число е по-голям от нула, ако самото това число е по-голямо от нула; подобно е с корена на трета степен - тези неравенства са напълно подобни, така че един от тях можем да го зачеркнем).

Но с третото неравенство това няма да работи. Нека се отървем от знака на радикала вляво, за което повдигаме двете части на куб. Получаваме:

Така че получаваме следните изисквания:

−2 ≠ x > −3

Кой от нашите корени: x 1 = -3 или x 2 = -1 отговаря на тези изисквания? Очевидно само x = −1, тъй като x = −3 не удовлетворява първото неравенство (тъй като нашето неравенство е строго). Общо, връщайки се към нашия проблем, получаваме един корен: x = −1. Това е, проблемът е решен.

Още веднъж ключовите точки на тази задача:

Чувствайте се свободни да прилагате и решавате логаритмични уравнения, като използвате канонична форма. Студентите, които правят такъв запис и не преминават директно от първоначалния проблем към конструкция като log a f ( x ) = b , правят много по-малко грешки от тези, които бързат за някъде, прескачайки междинните стъпки на изчисленията;
Веднага щом в логаритъма се появи променлива основа, проблемът престава да бъде най-простият. Следователно при решаването му е необходимо да се вземе предвид домейнът на дефиницията: аргументите трябва да са по-големи от нула, а базите не само трябва да са по-големи от 0, но и не трябва да са равни на 1.

Можете да наложите последните изисквания към крайните отговори по различни начини. Например, възможно е да се реши цяла система, съдържаща всички изисквания на домейна. От друга страна, можете първо да решите самата задача и след това да си спомните за областта на дефиницията, да я разработите отделно под формата на система и да я приложите към получените корени.

Кой начин да изберете, когато решавате определено логаритмично уравнение, зависи от вас. Във всеки случай отговорът ще бъде същият.

Дадени са основните свойства на логаритъма, графиката на логаритъма, областта на дефиниране, множеството от стойности, основните формули, увеличението и намалението. Разглежда се намирането на производната на логаритъма. Както и интеграл, разширение на степенни редове и представяне с помощта на комплексни числа.

Дефиниция на логаритъм

Логаритъм с основа ае функцията y (x) = log x, обратна на експоненциалната функция с основа a: x (y) = a y.

Десетичен логаритъме логаритъма към основата на числото 10 : log x ≡ log 10 x.

натурален логаритъме логаритъма при основата на e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Графиката на логаритъма се получава от графиката на експоненциалната функция огледално отражениеспрямо правата y = x . Отляво има графики на функцията y (x) = log xза четири стойности основи на логаритъма:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 и а = 1/8 . Графиката показва, че за a > 1 логаритъма е монотонно нарастващ. С увеличаването на x растежът се забавя значително. При 0 < a < 1 логаритъма е монотонно намаляващ.

Свойства на логаритъма

Домейн, набор от стойности, възходящ, низходящ

Логаритъмът е монотонна функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на логаритъма са представени в таблицата.


Домейн	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Диапазон от стойности	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонен	нараства монотонно	намалява монотонно
Нули, y= 0	x= 1	x= 1
Точки на пресичане с оста y, x = 0	Не	Не
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частни ценности

Извиква се логаритъм с основа 10 десетичен логаритъми се маркира така:

основен логаритъм дНаречен натурален логаритъм :

Основни формули за логаритъм

Свойства на логаритъма, произтичащи от дефиницията на обратната функция:

Основното свойство на логаритмите и последствията от него

Формула за заместване на основата

Логаритъме математическата операция за вземане на логаритъм. Когато се взема логаритъм, продуктите на множителите се преобразуват в суми от членове.

Потенциранее математическата операция, обратна на логаритъма. При потенциране дадената основа се повдига на степен на израза, върху който се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се преобразуват в произведения на фактори.

Доказателство на основните формули за логаритми

Формулите, свързани с логаритмите, следват от формули за експоненциални функции и от дефиницията на обратна функция.

Разгледайте свойството на експоненциалната функция
.
Тогава
.
Приложете свойството на експоненциалната функция
:
.

Нека докажем формулата за промяна на основата.
;
.
Задавайки c = b, имаме:

Обратна функция

Реципрочната стойност на основата е логаритъм експоненциална функцияс показател а.

Ако , тогава

Производна на логаритъма

Производна на логаритъм по модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>

За да се намери производната на логаритъм, тя трябва да бъде намалена до основата д.
;
.

Интеграл

Интегралът на логаритъма се изчислява чрез интегриране по части: .
Така,

Изрази чрез комплексни числа

Разгледайте функцията за комплексно число z:
.
Експрес комплексно число zчрез модул rи аргумент φ :
.
Тогава, използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или

Въпреки това аргументът φ не е ясно дефиниран. Ако поставим
, където n е цяло число,
тогава ще бъде едно и също число за различни н.

Следователно логаритъмът, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.

Разширение на степенни редове

За разширението се извършва:

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.