Решаване на уравнения с логаритми по степени. Техника за решаване на логаритмични уравнения

основни свойства.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

същите основания

log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъма на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете стойността на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете стойността на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, вие ще знаете и точна стойностизложители и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Вземете логаритъм на изразите

Пример 1
а). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

4. където .

Пример 2 Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всяко число, могат да се събират, изваждат и преобразуват по всеки възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

И така, сумата от логаритмите е равна на логаритъма от произведението, а разликата е логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако базите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израздори когато отделните му части не се разглеждат (вижте урока "Какво е логаритъм"). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Въз основа на този факт мн тестови работи. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Лесно се вижда, че последното правило следва първите им две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъма на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Формули на логаритми. Логаритмите са примери за решения.

Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четворката може да се прехвърли в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само ако основите са еднакви. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

От втората формула следва, че е възможно да се разменят основата и аргументът на логаритъма, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Тъй като произведението не се променя от пермутация на множители, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичен логаритъм, преместване в нова база:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване се изисква да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Наистина, какво ще стане, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: това е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора „висят“ върху него.

Подобно на новите формули за базово преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - току-що извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Дадени са правилата за умножение на степени с същата база, получаваме:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които е трудно да наречем свойства - по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Постоянно се намират в проблеми и учудващо създават проблеми дори на "напредналите" ученици.

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а от самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Вижте също:

Логаритъмът на числото b при основа a означава израза. Да се изчисли логаритъма означава да се намери такава мощност x (), при която равенството е вярно

Основни свойства на логаритъма

Горните свойства трябва да се знаят, тъй като на тяхна основа почти всички задачи и примери се решават въз основа на логаритми. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При изчисляване формулите за сумата и разликата на логаритмите (3.4) се срещат доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или двойка.
Логаритъмът с основа десет обикновено се нарича логаритъм с основа десет и се обозначава просто lg(x).

От протокола се вижда, че в протокола не са записани осн. Например

Натуралният логаритъм е логаритъмът, чиято основа е степента (означена като ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Толстой. Познавайки това правило, ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм по основа две е

Производната на логаритъма на функцията е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или първообразният логаритъм се определя от зависимостта

Горният материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За разбиране на материала ще дам само няколко общи примера от училищна програмаи университети.

Примери за логаритми

Вземете логаритъм на изразите

Пример 1
а). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

2.
По свойството разлика на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

4. където .

Привидно сложен израз, използващ серия от правила, се опростява до формата

Намиране на стойностите на логаритмите

Пример 2 Намерете x if

Решение. За изчислението прилагаме свойства 5 и 13 до последния член

Заместник в записа и скърби

Тъй като основите са равни, приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Вземете логаритъм на променливата, за да запишете логаритъма чрез сумата от членовете

Това е само началото на запознаването с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от придобитите знания за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ние ще разширим знанията ви за още не по-малко важна тема- логаритмични неравенства ...

Основни свойства на логаритмите

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Тези формули ще помогнат за изчисляване на логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Преход към нова основа

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - току-що извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а от самата тази основа е равен на едно.
log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Логаритмично уравнениесе нарича уравнение, в което неизвестното (x) и изразите с него са под знака логаритмична функция. Решаването на логаритмични уравнения предполага, че вече сте запознати с и.
Как се решават логаритмични уравнения?

Най-простото уравнение е log a x = b, където a и b са някои числа, x е неизвестно.
Решаване на логаритмично уравнениее x = a b при условие: a > 0, a 1.

Трябва да се отбележи, че ако x е някъде извън логаритъма, например log 2 x \u003d x-2, тогава такова уравнение вече се нарича смесено уравнение и е необходим специален подход за решаването му.

Идеалният случай е, когато попаднете на уравнение, в което само числата са под знака на логаритъма, например x + 2 \u003d log 2 2. Тук е достатъчно да знаете свойствата на логаритмите, за да го решите. Но такъв късмет не се случва често, така че се пригответе за по-трудни неща.

Но първо, нека започнем с прости уравнения. За да ги решите, е желателно да имате най-общата представа за логаритъма.

Решаване на прости логаритмични уравнения

Те включват уравнения като log 2 x \u003d log 2 16. Може да се види с невъоръжено око, че като пропуснем знака на логаритъма, получаваме x \u003d 16.

За да се реши по-сложното логаритмично уравнение, обикновено се води до решаване на обичайното алгебрично уравнениеили към решението на най-простото логаритмично уравнение log a x = b. При най-простите уравнения това става с едно движение, поради което се наричат най-прости.

Горният метод за изхвърляне на логаритми е един от основните начини за решаване на логаритмични уравнения и неравенства. В математиката тази операция се нарича потенциране. Съществуват определени правилаили ограничения за този вид операции:

логаритмите имат еднакви числени основи
логаритмите в двете части на уравнението са свободни, т.е. без никакви коефициенти и други различни видове изрази.

Да кажем, че в уравнението log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), потенцирането не е приложимо - коефициентът 2 вдясно не позволява. В следващия пример log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) едно от ограниченията също не е изпълнено - има два логаритма отляво. Това би било едно - съвсем различно нещо!

По принцип можете да премахнете логаритми само ако уравнението има формата:

log a(...) = log a(...)

Абсолютно всякакви изрази могат да бъдат в скоби, това абсолютно не засяга операцията за потенциране. И след премахването на логаритмите ще остане по-просто уравнение - линейно, квадратно, експоненциално и т.н., което вече, надявам се, знаете как да решите.

Да вземем друг пример:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Прилагайки потенциране, получаваме:

log 3 (2x-1) = 2

Въз основа на определението за логаритъм, а именно, че логаритъмът е числото, до което трябва да се повдигне основата, за да се получи израз, който е под знака на логаритъма, т.е. (4x-1), получаваме:

Отново получихме хубав отговор. Тук направихме без елиминирането на логаритмите, но потенцирането е приложимо и тук, защото логаритъмът може да бъде направен от всяко число и точно това, което ни трябва. Този метод е много полезен при решаването на логаритмични уравнения и особено на неравенства.

Нека решим нашето логаритмично уравнение log 3 (2x-1) = 2 с помощта на потенциране:

Нека представим числото 2 като логаритъм, например log 3 9, защото 3 2 =9.

След това log 3 (2x-1) = log 3 9 и отново получаваме същото уравнение 2x-1 = 9. Надявам се, че всичко е ясно.

Така че разгледахме как да решим най-простите логаритмични уравнения, които всъщност са много важни, защото решение на логаритмични уравнения, дори и най-ужасните и засукани, накрая винаги се свеждат до решаването на най-простите уравнения.

Във всичко, което направихме по-горе, пренебрегнахме един много важен момент, който ще играе решаваща роля в бъдеще. Факт е, че решението на всяко логаритмично уравнение, дори и най-елементарното, се състои от две еквивалентни части. Първото е решението на самото уравнение, второто е работа с областта на допустимите стойности (ODV). Това е само първата част, която усвоихме. В горните примери ODD не влияе по никакъв начин на отговора, така че не го взехме под внимание.

Да вземем друг пример:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Външно това уравнение не се различава от елементарното, което се решава много успешно. Но не е така. Не, разбира се, че ще го решим, но най-вероятно ще бъде погрешно, защото в него има малка засада, в която веднага попадат както C, така и отлични студенти. Нека го разгледаме по-отблизо.

Да предположим, че трябва да намерите корена на уравнението или сумата от корените, ако има няколко:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Прилагаме потенциране, тук е допустимо. В резултат на това получаваме обичайното квадратно уравнение.

Намираме корените на уравнението:

Има два корена.

Отговор: 3 и -1

На пръв поглед всичко е точно. Но нека проверим резултата и го заместим в първоначалното уравнение.

Да започнем с x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверката беше успешна, сега опашката x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Да, спри! Външно всичко е перфектно. Един момент - няма логаритми от отрицателни числа! И това означава, че коренът x \u003d -1 не е подходящ за решаване на нашето уравнение. И следователно правилният отговор ще бъде 3, а не 2, както написахме.

Именно тук ОДЗ изигра своята фатална роля, за която забравихме.

Позволете ми да ви напомня, че в зоната на допустимите стойности се приемат такива стойности на x, които са разрешени или имат смисъл за оригиналния пример.

Без ODZ всяко решение, дори и абсолютно правилно, на всяко уравнение се превръща в лотария - 50/50.

Как бихме могли да ни хванат, докато решаваме елементарен на пръв поглед пример? И ето го в момента на потенциране. Логаритмите изчезнаха, а с тях и всички ограничения.

Какво да правим в такъв случай? Отказвам да премахна логаритмите? И напълно да изоставим решението на това уравнение?

Не, ние просто, като истински герои от една известна песен, ще обикаляме!

Преди да продължим с решаването на всяко логаритмично уравнение, ще запишем ODZ. Но след това можете да правите каквото си пожелаете с нашето уравнение. След като получихме отговора, ние просто изхвърляме онези корени, които не са включени в нашия ODZ, и записваме окончателната версия.

Сега нека решим как да напишем ODZ. За да направим това, ние внимателно изследваме оригиналното уравнение и търсим подозрителни места в него, като деление на x, корен от четна степен и т.н. Докато не решим уравнението, ние не знаем на какво е равно х, но знаем със сигурност, че такива х, които при заместване ще дадат деление на 0 или извличане на корен квадратен от отрицателно число, очевидно не са подходящи за отговора. Следователно такива х са неприемливи, докато останалите ще представляват ODZ.

Нека отново използваме същото уравнение:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Както можете да видите, няма деление на 0, квадратни коренисъщо не, но има изрази с x в тялото на логаритъма. Веднага припомняме, че изразът вътре в логаритъма винаги трябва да бъде > 0. Това условие е написано под формата на ODZ:

Тези. още нищо не сме решили, но вече записахме необходимо условиеза целия сублогаритмичен израз. Къдравата скоба означава, че тези условия трябва да бъдат изпълнени едновременно.

ОДЗ е записана, но е необходимо и да решим получената система от неравенства, което ще направим. Получаваме отговора x > v3. Сега знаем със сигурност кой x няма да ни подхожда. И тогава започваме да решаваме самото логаритмично уравнение, което направихме по-горе.

След като получихме отговорите x 1 \u003d 3 и x 2 \u003d -1, лесно се вижда, че само x1 \u003d 3 е подходящ за нас и ние го записваме като окончателен отговор.

За в бъдеще е много важно да запомните следното: ние решаваме всяко логаритмично уравнение на 2 етапа. Първият - решаваме самото уравнение, вторият - решаваме условието на ODZ. И двата етапа се изпълняват независимо един от друг и се сравняват само при писане на отговора, т.е. изхвърляме всички ненужни и записваме верния отговор.

За да консолидирате материала, силно препоръчваме да гледате видеоклипа:

Във видеото, други примери за решаване на дневника. уравнения и отработване на метода на интервалите на практика.

Към това по темата, как се решават логаритмични уравнениядокато всичко. Ако нещо според решението на дневника. уравнения останаха неясни или неразбираеми, напишете въпросите си в коментарите.

Забележка: Академията за социално образование (KSUE) е готова да приеме нови студенти.

Много ученици се забиват в уравнения от този вид. В същото време самите задачи по никакъв начин не са сложни - достатъчно е просто да извършите компетентно заместване на променлива, за което трябва да се научите как да изолирате стабилни изрази.

В допълнение към този урок ще намерите доста обемна самостоятелна работа, състояща се от два варианта с по 6 задачи.

Метод на групиране

Днес ще анализираме две логаритмични уравнения, едното от които не може да бъде решено "изцяло" и изисква специални трансформации, а второто ... обаче няма да кажа всичко наведнъж. Гледайте видеоклипа, изтеглете самостоятелна работа - и научете как да решавате сложни проблеми.

И така, групиране и изваждане на общите фактори от скобата. Освен това ще ви кажа какви клопки крие областта на дефинирането на логаритми и как малки забележки в областта на дефинициите могат значително да променят както корените, така и цялото решение.

Да започнем с групирането. Трябва да решим следното логаритмично уравнение:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Първо, отбелязваме, че x 2 − 3x може да бъде факторизирано:

log 2 x (x − 3)

Тогава си спомняме чудесната формула:

log a fg = log a f + log a g

Веднага малка забележка: тази формула работи добре, когато a, f и g са обикновени числа. Но когато вместо тях има функции, тези изрази престават да бъдат равноправни. Представете си тази хипотетична ситуация:

f< 0; g < 0

В този случай произведението fg ще бъде положително, следователно log a ( fg ) ще съществува, но log a f и log a g няма да съществуват отделно и ние няма да можем да извършим такова преобразуване.

Игнориране този фактще доведе до стесняване на областта на дефиниране и в резултат на това до загуба на корени. Следователно, преди да извършите такава трансформация, е необходимо предварително да се уверите, че функциите f и g са положителни.

В нашия случай всичко е просто. Тъй като има функция log 2 x в оригиналното уравнение, тогава x > 0 (все пак променливата x е в аргумента). Има и log 2 (x − 3), така че x − 3 > 0.

Следователно във функцията log 2 x (x − 3) всеки фактор ще бъде по-голям от нула. Следователно можем спокойно да разложим продукта на сумата:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

На пръв поглед може да изглежда, че не е станало по-лесно. Напротив: броят на термините само се увеличи! За да разберем как да продължим по-нататък, въвеждаме нови променливи:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

И сега групираме третия член с първия:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Имайте предвид, че както първата, така и втората скоба съдържат b − 1 (във втория случай ще трябва да извадите „минуса“ от скобата). Нека факторизираме нашата конструкция:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

И сега си спомняме нашето прекрасно правило: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Нека си припомним какво са b и a. Получаваме две прости логаритмични уравнения, в които остава само да се отървем от знаците на log и да приравним аргументите:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Получихме два корена, но това не е решение на оригиналното логаритмично уравнение, а само кандидати за отговора. Сега нека проверим домейна. За първия аргумент:

x > 0

И двата корена отговарят на първото изискване. Да преминем към втория аргумент:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Но тук вече x = 2 не ни удовлетворява, но x = 5 ни устройва доста добре. Следователно единственият отговор е x = 5.

Преминаваме към второто логаритмично уравнение. На пръв поглед е много по-просто. Въпреки това, в процеса на решаването му, ще разгледаме тънките точки, свързани с домейна на дефиницията, чието невежество значително усложнява живота на начинаещите студенти.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение. Не е необходимо да конвертирате нищо - дори основите са същите. Затова просто приравняваме аргументите:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Пред нас е даденото квадратно уравнение, което лесно се решава с помощта на формулите на Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Но тези корени все още не са окончателни отговори. Необходимо е да се намери областта на дефиниция, тъй като в оригиналното уравнение има два логаритма, т.е. строго е необходимо да се вземе предвид домейнът на дефиницията.

И така, нека напишем областта на дефиницията. От една страна, аргументът на първия логаритъм трябва да бъде по-голям от нула:

x 2 − 6x + 2 > 0

От друга страна, вторият аргумент също трябва да е по-голям от нула:

7 − 2x > 0

Тези изисквания трябва да бъдат изпълнени едновременно. И тук започва най-интересното. Разбира се, можем да решим всяко от тези неравенства, след това да ги пресечем и да намерим домейна на цялото уравнение. Но защо си правите живота толкова труден?

Да отбележим една тънкост. Отървавайки се от знаците на дневника, приравняваме аргументите. Това означава, че изискванията x 2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 са еквивалентни. В резултат на това всяко от двете неравенства може да бъде зачеркнато. Нека зачеркнем най-трудното и оставим обичайното линейно неравенство за себе си:

-2x > -7

х< 3,5

Тъй като разделихме двете страни на отрицателно число, знакът на неравенството се промени.

Така че намерихме ODZ без никакви квадратни неравенства, дискриминанти и пресечни точки. Сега остава само да изберете корените, които лежат на този интервал. Очевидно само x = −1 ще ни подхожда, защото x = 5 > 3,5.

Можете да напишете отговора: x = 1 е единственото решениеоригинално логаритмично уравнение.

Изводите от това логаритмично уравнение са следните:

Не се страхувайте да разделите логаритмите на множители и след това да разложите сумата от логаритми. Запомнете обаче, че като разделите продукта на сумата от два логаритма, вие по този начин стеснявате областта на дефиниция. Следователно, преди да извършите такова преобразуване, не забравяйте да проверите какви са изискванията за обхват. Най-често не възникват проблеми, но не боли да играете на сигурно още веднъж.
Когато се отървете от каноничната форма, опитайте се да оптимизирате изчисленията. По-конкретно, ако се изисква f > 0 и g > 0, но в самото уравнение f = g , тогава смело задраскваме едно от неравенствата, оставяйки само най-простото за себе си. В този случай областта на дефиницията и отговорите няма да пострада по никакъв начин, но обемът на изчисленията ще бъде значително намален.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа за групата. :)

Типични грешки при решаване

Днес ще анализираме две типични логаритмични уравнения, в които много ученици се спъват. На примера на тези уравнения ще видим какви грешки най-често се допускат в процеса на решаване и трансформиране на оригиналните изрази.

Дробно-рационални уравнения с логаритми

Веднага трябва да се отбележи, че това е доста коварен вид уравнение, в което дроб с логаритъм някъде в знаменателя не винаги присъства веднага. Въпреки това, в процеса на трансформации, такава фракция задължително ще възникне.

В същото време бъдете внимателни: в процеса на трансформации първоначалната област на дефиниране на логаритми може да се промени значително!

Обръщаме се към още по-строги логаритмични уравнения, съдържащи дроби и променливи основи. За да направя повече в един кратък урок, няма да разказвам елементарна теория. Да преминем направо към задачите:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Гледайки това уравнение, някой ще попита: „Какво общо има то дробно рационално уравнение? Къде е частта в това уравнение? Нека не бързаме и да разгледаме по-отблизо всеки термин.

Първи член: 4 log 25 (x − 1). Основата на логаритъма е число, но аргументът е функция на x. Все още не можем да направим нищо по въпроса. Продължа напред.

Следващият член е log 3 27. Припомнете си, че 27 = 3 3 . Следователно можем да пренапишем целия логаритъм, както следва:

log 3 27 = 3 3 = 3

Така че вторият член е просто тройка. Трети член: 2 log x − 1 5. И тук не всичко е просто: основата е функция, аргументът е обикновено число. Предлагам да обърна целия логаритъм по следната формула:

log a b = 1/log b a

Такава трансформация може да се извърши само ако b ≠ 1. В противен случай логаритъма, който ще се получи в знаменателя на втората дроб, просто няма да съществува. В нашия случай b = 5, така че всичко е наред:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Нека пренапишем оригиналното уравнение, като вземем предвид получените трансформации:

4 log 25 (x - 1) - 3 + 2/ log 5 (x - 1) = 1

Имаме log 5 (x − 1) в знаменателя на дробта и log 25 (x − 1) в първия член. Но 25 \u003d 5 2, така че изваждаме квадрата от основата на логаритъма според правилото:

С други думи, експонентата в основата на логаритъма става частта отпред. И изразът ще бъде пренаписан така:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

В крайна сметка получихме дълго уравнение с куп еднакви логаритми. Нека въведем нова променлива:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Но това вече е дробно-рационално уравнение, което се решава с помощта на алгебра от 8-9 клас. Първо, нека го разделим на две:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Точният квадрат е в скоби. Нека го навием:

(t − 1) 2 /t = 0

Една дроб е нула, когато нейният числител е нула, а знаменателят й е различен от нула. Никога не забравяйте този факт:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Нека си припомним какво е t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Отърваваме се от регистрационните знаци, приравняваме техните аргументи и получаваме:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Всичко. Проблема решен. Но нека се върнем към първоначалното уравнение и си спомним, че имаше два логаритма с променливата x едновременно. Следователно трябва да напишете домейна на дефиницията. Тъй като x − 1 е в аргумента логаритъм, този израз трябва да е по-голям от нула:

x − 1 > 0

От друга страна, същото x − 1 присъства и в основата, така че трябва да се различава от едно:

x − 1 ≠ 1

Оттук заключаваме:

x > 1; x ≠ 2

Тези изисквания трябва да бъдат изпълнени едновременно. Стойността x = 6 удовлетворява и двете изисквания, така че x = 6 е крайното решение на логаритмичното уравнение.

Да преминем към втората задача:

Отново, нека не бързаме и да разгледаме всеки термин:

log 4 (x + 1) - има четворка в основата. Обичайният номер и не можете да го докоснете. Но последния път се натъкнахме на точен квадрат в основата, който трябваше да бъде изваден изпод знака на логаритъма. Нека направим същото сега:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Номерът е, че вече имаме логаритъм с променлива x, макар и в основата - това е обратната стойност на логаритъма, който току-що намерихме:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Следващият член е log 2 8. Това е константа, тъй като и аргументът, и основата са обикновени числа. Нека намерим стойността:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Можем да направим същото с последния логаритъм:

Сега нека пренапишем оригиналното уравнение:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Нека приведем всичко към общ знаменател:

Пред нас отново е дробно-рационално уравнение. Нека въведем нова променлива:

t = log 2 (x + 1)

Нека пренапишем уравнението, като вземем предвид новата променлива:

Внимавайте: на тази стъпка размених условията. Числителят на дробта е квадратът на разликата:

Както миналия път, една дроб е нула, когато нейният числител е нула, а знаменателят й е различен от нула:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Имаме един корен, който отговаря на всички изисквания, така че се връщаме към променливата x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

х + 1 = 16;

х=15

Това е всичко, решихме уравнението. Но тъй като имаше няколко логаритма в оригиналното уравнение, е необходимо да се изпише областта на дефиниция.

Така че изразът x + 1 е в аргумента на логаритъма. Следователно, x + 1 > 0. От друга страна, x + 1 също присъства в основата, т.е. x + 1 ≠ 1. Общо:

0 ≠ x > −1

Намереният корен отговаря ли на тези изисквания? Несъмнено. Следователно x = 15 е решението на оригиналното логаритмично уравнение.

И накрая, бих искал да кажа следното: ако погледнете уравнението и разберете, че трябва да решите нещо сложно и нестандартно, опитайте се да подчертаете стабилни структури, които по-късно ще бъдат обозначени с друга променлива. Ако някои термини изобщо не съдържат променливата x, те често могат да бъдат просто изчислени.

Това е всичко, за което исках да говоря днес. Надявам се, че този урок ще ви помогне при решаването на сложни логаритмични уравнения. Гледайте други видео уроци, изтеглете и решете самостоятелна работаи ще се видим в следващото видео!

Примери:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични уравнения:

Когато решавате логаритмично уравнение, трябва да се стремите да го преобразувате във формата \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) и след това да направите преход към \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Решение:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
Преглед:\(10>2\) - подходящ за ОДЗ
Отговор:\(x=10\)

ODZ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Много важно!Този преход може да се извърши само ако:

Написал си за първоначалното уравнение и накрая провери дали намерените са включени в DPV. Ако това не бъде направено, може да се появят допълнителни корени, което означава грешно решение.

Числото (или изразът) е едно и също отляво и отдясно;

Логаритмите отляво и отдясно са "чисти", тоест не трябва да има, умножения, деления и т.н. - само единични логаритми от двете страни на знака за равенство.

Например:

Имайте предвид, че уравнения 3 и 4 могат лесно да бъдат решени чрез прилагане на желаните свойства на логаритмите.

Пример . Решете уравнението \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Решение :

		Нека напишем ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Отляво пред логаритъма е коефициентът, отдясно е сумата от логаритмите. Това ни притеснява. Нека прехвърлим двете към степента \(x\) чрез свойството: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Ние представяме сумата от логаритми като единичен логаритъм чрез свойството: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Доведохме уравнението до формата \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) и записахме ODZ, което означава, че можем да направим прехода към формата \(f (x)=g(x)\ ).
		Се случи . Решаваме го и получаваме корените.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Проверяваме дали корените пасват под ODZ. За да направим това, в \(x>0\) вместо \(x\) заместваме \(5\) и \(-5\). Тази операция може да се извърши орално.
\(5>0\), \(-5>0\)		Първото неравенство е вярно, второто не. Така че \(5\) е коренът на уравнението, но \(-5\) не е. Записваме отговора.

Отговор : \(5\)

Пример : Решете уравнението \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Решение :

		Нека напишем ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Типично уравнение, решено с . Заменете \(\log_2⁡x\) с \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Получих обичайното. Търси своите корени.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Извършване на обратна замяна
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Преобразуваме правилните части, представяйки ги като логаритми: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) и \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Сега нашите уравнения са \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) и можем да преминем към \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Проверяваме съответствието на корените на ODZ. За да направим това, вместо \(x\) заместваме \(4\) и \(2\) в неравенството \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		И двете неравенства са верни. И така, както \(4\), така и \(2\) са корените на уравнението.

Отговор : \(4\); \(2\).

Подготовката за финалния тест по математика включва важен раздел - "Логаритми". Задачите от тази тема задължително се съдържат в изпита. Опитът от последните години показва, че логаритмичните уравнения създават трудности за много ученици. Следователно учениците с различни нива на обучение трябва да разберат как да намерят правилния отговор и бързо да се справят с тях.

Преминете успешно сертификационния тест с помощта на образователния портал "Школково"!

В подготовка за единната държавен изпитабитуриентите се нуждаят от надежден източник, който предоставя най-пълната и точна информация за успешното решаване на тестови задачи. Въпреки това, учебникът не винаги е под ръка, а търсенето необходими правилаи формулите онлайн често отнемат време.

Образователният портал "Школково" ви позволява да се подготвите за изпита навсякъде и по всяко време. Нашият сайт предлага най-удобния подход за повторение и усвояване на голямо количество информация за логаритми, както и за едно и няколко неизвестни. Започнете с лесни уравнения. Ако сте се справили с тях без затруднения, преминете към по-трудни. Ако имате проблеми с решаването на определено неравенство, можете да го добавите към любимите си, за да можете да се върнете към него по-късно.

Можете да намерите необходимите формули за изпълнение на задачата, повторение на специални случаи и методи за изчисляване на корена на стандартно логаритмично уравнение, като разгледате раздела "Теоретичен справочник". Учителите на "Школково" събраха, систематизираха и очертаха всички необходими за успешна доставкаматериали по най-простия и разбираем начин.

За да се справите лесно със задачи с всякаква сложност, на нашия портал можете да се запознаете с решението на някои типични логаритмични уравнения. За да направите това, отидете в секцията "Каталози". Представихме голям брой примери, включително такива с профилни уравнения USE нивоматематика.

Ученици от училища в цяла Русия могат да използват нашия портал. За да започнете, просто се регистрирайте в системата и започнете да решавате уравнения. За да консолидирате резултатите, ви съветваме да се връщате ежедневно на уебсайта на Школково.