Логаритмични формули логаритъм 3 st p 4. Логаритъм

Логаритъм на число н по разум а се нарича експонента х , до който трябва да вдигнете а за да получите номера н

При условие че
,
,

От дефиницията на логаритъма следва, че
, т.е.
- това равенство е основното логаритмично тъждество.

Логаритмите при основа 10 се наричат ​​десетични логаритми. Вместо
пишете
.

основни логаритми д се наричат ​​естествени и означ
.

Основни свойства на логаритмите.

Логаритъмът от единица за всяка основа е нула

Логаритъм на произведението е равно на суматалогаритмите на факторите.

3) Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите

Фактор
се нарича модул на преход от логаритми в основата а до логаритми в основата b .

Използвайки свойства 2-5, често е възможно да се намали логаритъма на сложен израз до резултата от прости аритметични операции върху логаритми.

Например,

Такива трансформации на логаритъма се наричат ​​логаритми. Трансформации, реципрочни на логаритми, се наричат ​​потенциране.

Глава 2. Елементи на висшата математика.

1. Граници

ограничение на функцията
е крайно число A, ако при стремеж xx 0 за всеки предварително определен
, има номер
че веднага щом
, тогава
.

Функция, която има граница, се различава от нея с безкрайно малка сума:
, където - b.m.w., т.е.
.

Пример. Помислете за функцията
.

При стремеж
, функция г отива на нула:

1.1. Основни теореми за границите.

Границата на постоянна стойност е равна на тази постоянна стойност

.

Границата на сумата (разликата) на краен брой функции е равна на сумата (разликата) на границите на тези функции.

Границата на произведението на краен брой функции е равна на произведението на границите на тези функции.

Границата на частното на две функции е равна на частното на границите на тези функции, ако границата на знаменателя не е равна на нула.

Забележителни граници

,
, където

1.2. Примери за изчисляване на лимити

Не всички лимити обаче се изчисляват толкова просто. По-често изчисляването на границата се свежда до разкриване на несигурност на типа: или .

.

2. Производна на функция

Нека имаме функция
, непрекъснат на сегмента
.

Аргумент получих тласък
. След това функцията ще бъде увеличена
.

Стойност на аргумента съответства на стойността на функцията
.

Стойност на аргумента
съответства на стойността на функцията.

Следователно,.

Нека намерим границата на тази връзка при
. Ако тази граница съществува, тогава тя се нарича производна на дадената функция.

Определение на 3 производната на дадена функция
по аргумент наречена граница на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, когато нарастването на аргумента произволно клони към нула.

Производна на функция
може да се означи по следния начин:

; ; ; .

Определение 4Операцията за намиране на производната на функция се нарича диференциация.

2.1. Механичното значение на производната.

Помислете за праволинейно движение на някакво твърдо тяло или материална точка.

Нека в някакъв момент от времето подвижна точка
беше на разстояние от изходна позиция
.

След известен период от време
тя се премести на разстояние
. Поведение =- средна скорост на материална точка
. Нека намерим границата на това отношение, като вземем предвид това
.

Следователно определянето на моментната скорост на материална точка се свежда до намиране на производната на пътя по отношение на времето.

2.2. Геометрична стойност на производната

Да предположим, че имаме графично дефинирана някаква функция
.

Ориз. 1. Геометричният смисъл на производната

Ако
, тогава точката
, ще се движи по кривата, приближавайки се до точката
.

Следователно
, т.е. стойността на производната, дадена на стойността на аргумента числено е равен на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната в дадена точка с положителната посока на оста
.

2.3. Таблица с основни формули за диференциране.

Силова функция

Експоненциална функция

логаритмична функция

тригонометрична функция

Обратна тригонометрична функция

2.4. Правила за диференциране.

Производно на

Производна на сумата (разликата) на функциите

Производна на произведението на две функции

Производната на частното на две функции

2.5. Производно на сложна функция.

Нека функцията
така че да може да се представи като

и
, където променливата тогава е междинен аргумент

Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на дадената функция по отношение на междинния аргумент по производната на междинния аргумент по отношение на x.

Пример1.

Пример2.

3. Функционален диференциал.

Нека има
, диференцируеми на някакъв интервал
остави при тази функция има производна

,

тогава можете да пишете

(1),

където - безкрайно малко количество,

тъй като при

Умножавайки всички членове на равенство (1) по
ние имаме:

Където
- б.м.в. по-висок ред.

Стойност
се нарича диференциал на функцията
и означено

.

3.1. Геометричната стойност на диференциала.

Нека функцията
.

Фиг.2. Геометричният смисъл на диференциала.

.

Очевидно диференциалът на функцията
е равно на увеличението на ординатата на допирателната в дадената точка.

3.2. Производни и диференциали от различен порядък.

Ако има
, тогава
се нарича първа производна.

Производната на първата производна се нарича производна от втори ред и се записва
.

Производна от n-ти ред на функцията
се нарича производна на (n-1) ред и се записва:

.

Диференциалът на диференциала на функция се нарича втори диференциал или диференциал от втори ред.

.

.

3.3 Решаване на биологични проблеми с помощта на диференциация.

Задача 1. Проучванията показват, че растежът на колония от микроорганизми се подчинява на закона
, където н – брой микроорганизми (в хиляди), T – време (дни).

б) Ще се увеличи ли или ще намалее населението на колонията през този период?

Отговор. Колонията ще нарасне по размер.

Задача 2. Водата в езерото периодично се изследва за контрол на съдържанието на патогенни бактерии. През T дни след изследването концентрацията на бактерии се определя от съотношението

.

Кога ще достигне минималната концентрация на бактерии в езерото и ще може да се плува в него?

Решение Функция достига max или min, когато нейната производна е нула.

,

Нека определим, че макс или минимум ще бъде след 6 дни. За да направим това, вземаме втората производна.

Отговор: След 6 дни ще има минимална концентрация на бактерии.

Един от елементите на алгебрата на примитивното ниво е логаритъмът. Името идва от Гръцкиот думата „число“ или „степен“ и означава степента, на която е необходимо да се повдигне числото в основата, за да се намери крайното число.

Видове логаритми

• log a b е логаритъм на числото b при основа a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - десетичен логаритъм (логаритъм с основа 10, a = 10);
• ln b - натурален логаритъм (логаритъм с основа e, a = e).

Как се решават логаритми?

Логаритъмът на числото b при основа a е показател, което изисква основата a да бъде повдигната до числото b. Резултатът се произнася по следния начин: „логаритъм от b към основата на a“. Решението на логаритмичните задачи е, че трябва да определите дадената степен по числата по посочените числа. Има някои основни правила за определяне или решаване на логаритъма, както и за трансформиране на самата нотация. Използвайки ги, се прави решение логаритмични уравнения, намират се производни, решават се интеграли и се извършват много други операции. По принцип решението на самия логаритъм е неговата опростена нотация. По-долу са основните формули и свойства:

За всяко a ; а > 0; a ≠ 1 и за всяко x ; y > 0.

• a log a b = b е основната логаритмична идентичност
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - формула за преход към нова база
• log a x = 1/log x a

Как се решават логаритми - стъпка по стъпка инструкции за решаване

• Първо, запишете необходимото уравнение.

Моля, обърнете внимание: ако основният логаритъм е 10, тогава записът се съкращава, получава се десетичен логаритъм. Ако си струва естествено число e, след това записваме, намалявайки до натурален логаритъм. Това означава, че резултатът от всички логаритми е степента, на която се повишава основното число, за да се получи числото b.

Директно решението се крие в изчисляването на тази степен. Преди да решите израз с логаритъм, той трябва да бъде опростен според правилото, тоест с помощта на формули. Можете да намерите основните идентичности, като се върнете малко назад в статията.

Събиране и изваждане на логаритми с две различни числа, но с същите основания, заменете с един логаритъм с произведението или деленето съответно на числата b и c. В този случай можете да приложите формулата за преход към друга база (вижте по-горе).

Ако използвате изрази за опростяване на логаритъма, има някои ограничения, които трябва да знаете. А това е: основата на логаритъма а е само положително число, но не е равно на единица. Числото b, подобно на a, трябва да е по-голямо от нула.

Има случаи, когато след като опростите израза, няма да можете да изчислите логаритъма в цифрова форма. Случва се такъв израз да няма смисъл, защото много степени са ирационални числа. При това условие оставете степента на числото като логаритъм.

\(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека го обясним по-лесно. Например \(\log_(2)(8)\) е равно на степента \(2\), на която трябва да се повиши, за да се получи \(8\). От това е ясно, че \(\log_(2)(8)=3\).

Аргумент и основа на логаритъма

Всеки логаритъм има следната "анатомия":

Аргументът на логаритъма обикновено се записва на неговото ниво, а основата се записва с долен индекс по-близо до знака на логаритъма. И този запис се чете така: "логаритъм от двадесет и пет при основа пет."

Как да изчислим логаритъма?

За да изчислите логаритъма, трябва да отговорите на въпроса: до каква степен трябва да се повдигне основата, за да получите аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) На каква степен трябва да се повдигне \(4\), за да се получи \(16\)? Очевидно второто. Ето защо:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(5)\), за да се получи \(1\)? И каква степен прави всяко число единица? Нула разбира се!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(7)\), за да се получи \(\sqrt(7)\)? В първата - всяко число от първа степен е равно на себе си.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) На каква степен трябва да се повдигне \(3\), за да се получи \(\sqrt(3)\)? От знаем, че това е дробна степен, което означава Корен квадратене степента \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Пример : Изчислете логаритъма \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

Отговор : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Защо е измислен логаритъма?

За да разберем това, нека решим уравнението: \(3^(x)=9\). Просто съпоставете \(x\), за да работи равенството. Разбира се, \(x=2\).

Сега решете уравнението: \(3^(x)=8\). На какво е равно x? Това е смисълът.

Най-гениалните ще кажат: "Х е малко по-малко от две." Как точно трябва да се напише това число? За да отговорят на този въпрос, те измислиха логаритъм. Благодарение на него отговорът тук може да бъде записан като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да подчертая, че \(\log_(3)(8)\), както и всеки логаритъм е просто число. Да, изглежда необичайно, но е кратко. Защото ако искахме да го запишем във формуляра десетична дроб, тогава ще изглежда така: \(1.892789260714.....\)

Пример : Решете уравнението \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

Отговор : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични и естествени логаритми

Както е посочено в дефиницията на логаритъма, неговата основа може да бъде всяко положително число освен едно \((a>0, a\neq1)\). И сред всички възможни основи има две, които се срещат толкова често, че е измислена специална кратка нотация за логаритми с тях:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно приблизително на \(2,7182818…\)), а логаритъмът се записва като \(\ln(a)\).

Това е, \(\ln(a)\) е същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: Логаритъм, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Това е, \(\lg(a)\) е същото като \(\log_(10)(a)\), където \(a\) е някакво число.

Основно логаритмично тъждество

Логаритмите имат много свойства. Един от тях се нарича "Основна логаритмична идентичност" и изглежда така:

Това свойство следва пряко от определението. Нека видим как точно се появи тази формула.

Спомнете си кратката дефиниция на логаритъма:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Тогава можем да запишем \(\log_(a)(c)\) вместо \(b\) във формулата \(a^(b)=c\) . Оказа се \(a^(\log_(a)(c))=c\) - основното логаритмично тъждество.

Можете да намерите останалите свойства на логаритмите. С тяхна помощ можете да опростите и изчислите стойностите на изрази с логаритми, които са трудни за директно изчисляване.

Пример : Намерете стойността на израза \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Отговор : \(25\)

Как да напиша число като логаритъм?

Както бе споменато по-горе, всеки логаритъм е просто число. Обратното също е вярно: всяко число може да бъде записано като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава можете да напишете \(\log_(2)(4)\) вместо две.

Но \(\log_(3)(9)\) също е равно на \(2\), така че можете също да напишете \(2=\log_(3)(9)\) . По същия начин с \(\log_(5)(25)\) и с \(\log_(9)(81)\) и т.н. Тоест, оказва се

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Така, ако имаме нужда, можем да запишем двете като логаритъм с произволна основа навсякъде (дори в уравнение, дори в израз, дори в неравенство) - просто записваме основата на квадрат като аргумент.

Същото е и с тройката - може да се запише като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \) ... Тук записваме основата в куба като аргумент:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четири:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

И с минус едно:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

И с една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Всяко число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Пример : Намерете стойността на израз \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Отговор : \(1\)

Както знаете, когато умножавате изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b * a c = a b + c). Това математически законе изведен от Архимед, а по-късно, през 8 век, математикът Вирасен създава таблица с целочислени показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където се изисква да се опрости тромавото умножение до просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. Прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) "b" според основата му "a" се счита за степен на "c ", до което е необходимо да се повдигне основата "a", така че в крайна сметка да се получи стойността "b". Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направихме някои изчисления наум, получаваме числото 3! И правилно, защото 2 на степен 3 дава числото 8 в отговора.

Разновидности на логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три различни вида логаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъмът на всяко число b при основата a>1.

Всеки от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редуциране и последващо редуциране до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и реда на действията в техните решения.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат за аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са верни. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече корен от четна степен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да научите как да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• основата "a" винаги трябва да е по-голяма от нула и в същото време да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби смисъла си, тъй като "1" и "0" във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че "c" трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, беше дадена задача да се намери отговорът на уравнението 10 x \u003d 100. Много е лесно, трябва да изберете такава степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 \u003d 100.

Сега нека представим този израз като логаритмичен. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се свеждат до намирането на степента, до която трябва да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате техническо мислене и познаване на таблицата за умножение. По-големите стойности обаче ще изискват таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които изобщо не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степента c, на която е повдигнато числото a. На пресечната точка в клетките се определят стойностите на числата, които са отговорът (a c = b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числени изрази могат да бъдат записани като логаритмично уравнение. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм от 81 при основа 3, което е четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32 записваме като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения малко по-долу, веднага след изучаване на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е израз със следната форма: log 2 (x-1) > 3 - така е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъма. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм от 2 x = √9) предполагат една или повече специфични числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенството и двата обхвата на приемливи стойности и точките, нарушаващи тази функция. В резултат на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнението, а непрекъсната серияили набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще се запознаем с примери за уравнения, нека първо анализираме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само ако a е по-голямо от 0, не е равно на единица и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на произведението може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Освен това, предпоставкае: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази формула от логаритми с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогава a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (степенни свойства ), и по-нататък по дефиниция: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича "свойство на степента на логаритъма". Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на редовни постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека регистрираме a b \u003d t, оказва се a t \u003d b. Ако повдигнете двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове логаритмични задачи са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са включени в задължителната част на изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни тестове по математика, трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение може да се приложи определени правила. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или намален до общ изглед. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Нека ги опознаем скоро.

Когато решаваме логаритмични уравнения, е необходимо да определим какъв вид логаритъм имаме пред нас: пример за израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че трябва да определите степента, в която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения на естествени логаритми трябва да се прилагат логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме примери за решаване на различни видове логаритмични задачи.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

Така че, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритми.

1. Свойството логаритъм на произведението може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голямо значениечисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъма, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Необходимо е само да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от изпита

Логаритмите често се срещат на приемните изпити, особено много логаритмични задачи на изпита ( Държавен изпитза всички завършили гимназия). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-трудните и обемни задачи). Изпитът предполага точно и перфектно познаване на темата "Натурални логаритми".

Примерите и решенията на проблеми са взети от официални ИЗПОЛЗВАЙТЕ опции. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2 , по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4 , следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Всички логаритми е най-добре да се сведат до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака на логаритъма са посочени като положителни, следователно, когато се извади показателят на експонентата на израза, който е под знака на логаритъма и като негова основа, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.

Логаритмични изрази, решение на примери. В тази статия ще разгледаме проблеми, свързани с решаването на логаритми. Задачите поставят въпроса за намиране стойността на израза. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и е изключително важно да се разбере значението му. Що се отнася до USE, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложни задачи, а също и в задачи, свързани с изучаването на функции.

Ето примери за разбиране на самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да помните:

*Логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на частното (дробта) е равен на разликата на логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на степента е равен на произведението на експонентата и логаритъма на нейната основа.

* * *

*Преход към нова база

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритми е тясно свързано с използването на свойствата на експонентите.

Ние изброяваме някои от тях:

Същността на това свойство е, че при прехвърляне на числителя към знаменателя и обратно, знакът на експонента се променя на противоположния. Например:

Следствие от това свойство:

* * *

При повишаване на степен на степен основата остава същата, но показателите се умножават.

* * *

Както можете да видите, самата концепция за логаритъм е проста. Основното е, че е необходима добра практика, която дава определено умение. Разбира се, познаването на формулите е задължително. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не е формирано, тогава при решаване на прости задачи човек лесно може да направи грешка.

Практикувайте, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след това преминете към по-сложните. В бъдеще със сигурност ще покажа как се решават "грозните" логаритми, няма да има такива на изпита, но представляват интерес, не го пропускайте!

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.