Алгоритъм за решаване на неравенства с логаритми. Логаритмични неравенства

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Сред цялото разнообразие от логаритмични неравенства отделно се изучават неравенствата с променлива основа. Те се решават по специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Вместо чавка "∨", можете да поставите произволен знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че и в двете неравенства знаците са еднакви.

Така че се отърваваме от логаритмите и свеждаме проблема до рационално неравенство. Последното е много по-лесно за решаване, но при изхвърляне на логаритми може да се появят допълнителни корени. За да ги отрежете, достатъчно е да намерите обхвата на допустимите стойности. Ако сте забравили ODZ на логаритъм, силно препоръчвам да го повторите - вижте "Какво е логаритъм".

Всичко, свързано с обхвата на допустимите стойности, трябва да бъде написано и решено отделно:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Тези четири неравенства съставляват система и трябва да се изпълняват едновременно. Когато се намери диапазонът от приемливи стойности, остава да се пресече с решението на рационално неравенство - и отговорът е готов.

Задача. Решете неравенството:

Първо, нека напишем ODZ на логаритъма:

Първите две неравенства се изпълняват автоматично, а последното ще трябва да бъде написано. Тъй като квадратът на число е нула тогава и само ако самото число е нула, имаме:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Оказва се, че ODZ на логаритъма са всички числа с изключение на нула: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Сега решаваме основното неравенство:

Извършваме прехода от логаритмичното неравенство към рационалното. В първоначалното неравенство има знак „по-малко от“, така че полученото неравенство също трябва да бъде със знак „по-малко от“. Ние имаме:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Нулите на този израз: x = 3; х = -3; x = 0. Освен това x = 0 е коренът на втората кратност, което означава, че при преминаване през него знакът на функцията не се променя. Ние имаме:

Получаваме x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Това множество се съдържа изцяло в ODZ на логаритъма, което означава, че това е отговорът.

Преобразуване на логаритмични неравенства

Често първоначалното неравенство се различава от горното. Това е лесно да се коригира според стандартните правила за работа с логаритми - вижте "Основни свойства на логаритмите". а именно:

Всяко число може да бъде представено като логаритъм с дадена основа;
Сумата и разликата на логаритми с една и съща основа могат да бъдат заменени с един логаритъм.

Отделно искам да ви напомня за диапазона от допустими стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритма, е необходимо да се намери DPV на всеки от тях. По този начин общата схема за решаване на логаритмични неравенства е следната:

Намерете ODZ на всеки логаритъм, включен в неравенството;
Редуцирайте неравенството до стандартното, като използвате формулите за събиране и изваждане на логаритми;
Решете полученото неравенство по горната схема.

Задача. Решете неравенството:

Намерете дефиниционната област (ODZ) на първия логаритъм:

Решаваме по интервалния метод. Намиране на нулите на числителя:

3x − 2 = 0;
х = 2/3.

След това - нулите на знаменателя:

x − 1 = 0;
х = 1.

Маркираме нули и знаци върху координатната стрелка:

Получаваме x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Вторият логаритъм на ODZ ще бъде същият. Ако не ми вярвате, можете да проверите. Сега трансформираме втория логаритъм, така че основата да е две:

Както можете да видите, тройките в основата и преди логаритъма са се свили. Имаме два логаритма от същата база. Нека ги съберем заедно:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Получихме стандартното логаритмично неравенство. Отърваваме се от логаритмите по формулата. Тъй като в първоначалното неравенство има знак по-малко, полученият рационален израз също трябва да бъде по-малък от нула. Ние имаме:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Имаме два комплекта:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Кандидат за отговор: x ∈ (−1; 3).

Остава да пресечем тези множества - получаваме истинския отговор:

Интересуваме се от пресечната точка на множества, така че избираме интервалите, защриховани на двете стрелки. Получаваме x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - всички точки са пробити.

Логаритмични неравенства

В предишните уроци се запознахме с логаритмичните уравнения и сега знаем какво представляват и как се решават. И днешният урок ще бъде посветен на изучаването на логаритмични неравенства. Какви са тези неравенства и каква е разликата между решаване на логаритмично уравнение и неравенства?

Логаритмичните неравенства са неравенства, които имат променлива под знака на логаритъма или в основата му.

Или може също да се каже, че логаритмично неравенство е неравенство, в което неговата неизвестна стойност, както в логаритмичното уравнение, ще бъде под знака на логаритъма.

Най-простите логаритмични неравенства изглеждат така:

където f(x) и g(x) са някои изрази, които зависят от x.

Нека да разгледаме това чрез следния пример: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решаване на логаритмични неравенства

Преди да решите логаритмични неравенства, струва си да се отбележи, че когато се решават, те са подобни на експоненциални неравенства, а именно:

Първо, когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, ние също трябва да сравним основата на логаритъма с единица;

Второ, когато решаваме логаритмично неравенство с помощта на промяна на променливи, трябва да решаваме неравенства по отношение на промяната, докато получим най-простото неравенство.

Но ние разгледахме подобни моменти на решаване на логаритмични неравенства. Сега нека разгледаме една доста съществена разлика. Вие и аз знаем, че логаритмичната функция има ограничена област на дефиниция, така че когато преминавате от логаритми към изрази, които са под знака на логаритъма, трябва да вземете предвид обхвата на приемливите стойности (ODV).

Тоест, трябва да се има предвид, че когато решаваме логаритмично уравнение, първо можем да намерим корените на уравнението и след това да проверим това решение. Но решаването на логаритмичното неравенство няма да работи по този начин, тъй като преминавайки от логаритми към изрази под знака на логаритъма, ще е необходимо да запишете ODZ на неравенството.

Освен това си струва да запомните, че теорията на неравенствата се състои от реални числа, които са положителни и отрицателни числа, както и числото 0.

Например, когато числото "a" е положително, тогава трябва да се използва следната нотация: a > 0. В този случай както сумата, така и произведението на тези числа също ще бъдат положителни.

Основният принцип за решаване на неравенство е да го замените с по-просто неравенство, но основното е то да е еквивалентно на даденото. Освен това получихме и неравенство и отново го заменихме с такова, което има по-проста форма и т.н.

Решавайки неравенства с променлива, трябва да намерите всичките му решения. Ако две неравенства имат една и съща променлива x, тогава тези неравенства са еквивалентни, при условие че техните решения са еднакви.

При изпълнение на задачи за решаване на логаритмични неравенства е необходимо да се помни, че когато a > 1, тогава логаритмичната функция нараства, а когато 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Начини за решаване на логаритмични неравенства

Сега нека да разгледаме някои от методите, които се използват при решаване на логаритмични неравенства. За по-добро разбиране и асимилация ще се опитаме да ги разберем с помощта на конкретни примери.

Знаем, че най-простото логаритмично неравенство има следния вид:

В това неравенство V - е един от тези знаци за неравенство като:<,>, ≤ или ≥.

Когато основата на този логаритъм е по-голяма от единица (a>1), което прави прехода от логаритми към изрази под знака на логаритъма, тогава в тази версия знакът за неравенство се запазва и неравенството ще изглежда така:

което е еквивалентно на следната система:

В случай, че основата на логаритъма е по-голяма от нула и по-малка от единица (0

Това е еквивалентно на тази система:

Нека разгледаме още примери за решаване на най-простите логаритмични неравенства, показани на снимката по-долу:

Решение на примери

Задачата.Нека се опитаме да разрешим това неравенство:

Решението на зоната на допустимите стойности.

Сега нека се опитаме да умножим дясната му страна по:

Да видим какво можем да направим:

Сега нека преминем към преобразуването на подлогаритмични изрази. Тъй като основата на логаритъма е 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А от това следва, че интервалът, който получихме принадлежи изцяло на ОДЗ и е решение на такова неравенство.

Ето отговора, който получихме:

Какво е необходимо за решаване на логаритмични неравенства?

Сега нека се опитаме да анализираме какво ни е необходимо за успешно решаване на логаритмични неравенства?

Първо, съсредоточете цялото си внимание и се опитайте да не правите грешки, когато извършвате трансформациите, които са дадени в това неравенство. Също така трябва да се помни, че при решаването на такива неравенства е необходимо да се предотврати разширяване и стесняване на неравенството на ODZ, което може да доведе до загуба или придобиване на странични решения.

Второ, когато решавате логаритмични неравенства, трябва да се научите да мислите логически и да разбирате разликата между такива понятия като система от неравенства и набор от неравенства, така че лесно да избирате решения на неравенство, като се ръководите от неговия DHS.

Трето, за да разрешите успешно подобни неравенства, всеки от вас трябва да знае отлично всички свойства на елементарните функции и ясно да разбира тяхното значение. Такива функции включват не само логаритмични, но и рационални, степенни, тригонометрични и т.н., с една дума всички онези, които сте изучавали навсякъде училищно обучениеалгебра.

Както можете да видите, след като сте изучавали темата за логаритмичните неравенства, няма нищо трудно в решаването на тези неравенства, при условие че сте внимателни и упорити в постигането на целите си. За да няма проблеми при решаването на неравенства, трябва да тренирате колкото е възможно повече, решавайки различни задачи и в същото време да запомните основните начини за решаване на такива неравенства и техните системи. При неуспешни решения на логаритмични неравенства трябва внимателно да анализирате грешките си, за да не се връщате към тях отново в бъдеще.

Домашна работа

За по-добро усвояване на темата и консолидиране на обхванатия материал, решете следните неравенства:

Едно неравенство се нарича логаритмично, ако съдържа логаритмична функция.

Методите за решаване на логаритмични неравенства не се различават от с изключение на две неща.

Първо, при преминаване от логаритмичното неравенство към неравенството под логаритмични функцииТрябва следват знака на полученото неравенство. Подчинява се на следното правило.

Ако основата на логаритмичната функция е по-голяма от $1$, тогава при преминаване от логаритмично неравенство към неравенство на сублогаритмични функции знакът за неравенство се запазва, а ако е по-малък от $1$, тогава се обръща.

Второ, решението на всяко неравенство е интервал и следователно в края на решението на неравенството на сублогаритмичните функции е необходимо да се състави система от две неравенства: първото неравенство на тази система ще бъде неравенството на сублогаритмични функции, а вторият ще бъде интервалът от областта на дефиниране на логаритмичните функции, включени в логаритмичното неравенство.

Практикувайте.

Да решим неравенствата:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Основата на логаритъма е $2>1$, така че знакът не се променя. Използвайки дефиницията на логаритъма, получаваме:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )