Примери за решаване на логаритмични неравенства. Подготовка за изпита

Смятате ли, че има още време до изпита и ще имате време да се подготвите? Може би това е така. Но във всеки случай, колкото по-рано ученикът започне обучението, толкова по-успешно преминава изпитите. Днес решихме да посветим статия на логаритмичните неравенства. Това е една от задачите, което означава възможност за получаване на допълнителна точка.

Знаете ли вече какво е логаритъм (log)? Силно се надяваме. Но дори и да нямате отговор на този въпрос, това не е проблем. Много е лесно да се разбере какво е логаритъм.

Защо точно 4? Трябва да увеличите числото 3 до такава степен, че да получите 81. Когато разберете принципа, можете да продължите към по-сложни изчисления.

Преминахте през неравенствата преди няколко години. И оттогава постоянно ги срещаш в математиката. Ако имате проблеми с решаването на неравенства, вижте съответния раздел.
Сега, когато се запознахме с понятията поотделно, ще преминем към тяхното разглеждане като цяло.

Най-простото логаритмично неравенство.

Най-простите логаритмични неравенства не се ограничават до този пример, има още три, само с различни знаци. Защо е необходимо това? За да разберете по-добре как да решавате неравенство с логаритми. Сега даваме по-приложим пример, все още доста прост, оставяме сложните логаритмични неравенства за по-късно.

Как да го решим? Всичко започва с ODZ. Трябва да знаете повече за това, ако искате винаги лесно да решавате всяко неравенство.

Какво е ODZ? DPV за логаритмични неравенства

Съкращението означава обхвата на валидните стойности. В задачите за изпита тази формулировка често изскача. ODZ ще ви бъде полезно не само в случай логаритмични неравенства.

Погледнете отново горния пример. Въз основа на него ще разгледаме ODZ, за да разберете принципа и решението на логаритмичните неравенства не повдига въпроси. От дефиницията на логаритъма следва, че 2x+4 трябва да е по-голямо от нула. В нашия случай това означава следното.

Това число трябва да е положително по дефиниция. Решете представеното по-горе неравенство. Това може да се направи дори устно, тук е ясно, че X не може да бъде по-малко от 2. Решението на неравенството ще бъде дефинирането на диапазона от допустими стойности.
Сега нека преминем към решаването на най-простото логаритмично неравенство.

Изхвърляме самите логаритми от двете части на неравенството. Какво ни остава като резултат? просто неравенство.

Лесно е за решаване. X трябва да е по-голямо от -0,5. Сега комбинираме двете получени стойности в системата. По този начин,

Това ще бъде областта на допустимите стойности за разглежданото логаритмично неравенство.

Защо изобщо е необходим ODZ? Това е възможност да отсеете грешните и невъзможни отговори. Ако отговорът не е в обхвата на приемливите стойности, тогава отговорът просто няма смисъл. Това си струва да запомните за дълго време, тъй като на изпита често има нужда да търсите ODZ и това се отнася не само за логаритмични неравенства.

Алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство

Решението се състои от няколко стъпки. Първо, необходимо е да се намери обхватът на приемливите стойности. Ще има две стойности в ODZ, разгледахме това по-горе. Следващата стъпка е да се реши самото неравенство. Методите за решение са както следва:

• метод за заместване на множителя;
• разграждане;
• метод на рационализация.

В зависимост от ситуацията трябва да се използва един от горните методи. Да преминем направо към решението. Ще разкрием най-популярния метод, който е подходящ за решаване на USE задачи в почти всички случаи. След това ще разгледаме метода на разлагане. Може да помогне, ако попаднете на особено „сложно“ неравенство. И така, алгоритъмът за решаване на логаритмичното неравенство.

Примери за решения :

Не напразно взехме точно такова неравенство! Обърнете внимание на основата. Запомнете: ако е по-голямо от едно, знакът остава същият при намиране на диапазона от валидни стойности; в противен случай знакът за неравенство трябва да се промени.

В резултат на това получаваме неравенството:

Сега привеждаме лявата страна към формата на уравнението, равна на нула. Вместо знака "по-малко" поставяме "равно", решаваме уравнението. Така ще намерим ODZ. Надяваме се, че с решението на такива просто уравнениеняма да имаш проблем. Отговорите са -4 и -2. Това не е всичко Трябва да покажете тези точки на диаграмата, като поставите "+" и "-". Какво трябва да се направи за това? Заместете числата от интервалите в израза. Когато стойностите са положителни, поставяме "+" там.

Отговор: x не може да бъде по-голямо от -4 и по-малко от -2.

Намерихме диапазона от валидни стойности само за лявата страна, сега трябва да намерим диапазона от валидни стойности за дясната страна. Това в никакъв случай не е по-лесно. Отговор: -2. Пресичаме двете получени области.

И едва сега започваме да решаваме самото неравенство.

Нека го опростим максимално, за да улесним вземането на решение.

Отново използваме интервалния метод в решението. Нека пропуснем изчисленията, с него всичко вече е ясно от предишния пример. Отговор.

Но този метод е подходящ, ако логаритмичното неравенство има еднакви основи.

Решение логаритмични уравненияи неравенства с различни основанияпредполага първоначално свеждане до една основа. След това използвайте горния метод. Но има и по-сложен случай. Помислете за един от най сложни типовелогаритмични неравенства.

Логаритмични неравенства с променлива основа

Как се решават неравенства с такива характеристики? Да, и такива могат да бъдат намерени на изпита. Решаването на неравенства по следния начин също ще има благоприятен ефект върху вашите учебен процес. Нека разберем проблема подробно. Нека оставим теорията настрана и да преминем направо към практиката. За решаване на логаритмични неравенства е достатъчно веднъж да се запознаете с примера.

За да се реши логаритмичното неравенство на представената форма, е необходимо да се намали правилната странакъм логаритъм със същата основа. Принципът наподобява еквивалентни преходи. В резултат на това неравенството ще изглежда така.

Всъщност остава да се създаде система от неравенства без логаритми. Използвайки метода на рационализация, преминаваме към еквивалентна система от неравенства. Ще разберете самото правило, когато замените подходящите стойности и следвате техните промени. Системата ще има следните неравенства.

Използвайки метода на рационализация при решаване на неравенства, трябва да запомните следното: трябва да извадите едно от основата, x, по дефиниция на логаритъма, се изважда от двете части на неравенството (дясната от лявата), двете изразите се умножават и поставят под първоначалния знак спрямо нула.

По-нататъшното решение се извършва по интервалния метод, тук всичко е просто. Важно е да разберете разликите в методите за решаване, тогава всичко ще започне да се получава лесно.

В логаритмичните неравенства има много нюанси. Най-простите от тях са достатъчно лесни за решаване. Как да направите така, че да решите всеки от тях без проблеми? Вече сте получили всички отговори в тази статия. Сега ви предстои дълга практика. Постоянно практикувайте решаването на различни задачи в рамките на изпита и ще можете да получите най-висок резултат. Успех в трудната работа!

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Често при решаването на логаритмични неравенства има проблеми с променлива основа на логаритъма. И така, неравенство на формата

е стандартно училищно неравенство. По правило за решаването му се използва преход към еквивалентен набор от системи:

недостатък този методе необходимостта от решаване на седем неравенства, без да броим две системи и едно множество. Дори при дадени квадратични функции, решението за населението може да изисква много време.

Може да бъде предложен алтернативен, по-малко отнемащ време начин за решаване на това стандартно неравенство. За да направим това, вземаме предвид следната теорема.

Теорема 1. Нека непрекъснато нарастваща функция върху множество X. Тогава върху това множество знакът на нарастването на функцията ще съвпада със знака на нарастването на аргумента, т.е. , където .

Забележка: ако непрекъснато намаляваща функция на множеството X, тогава .

Да се ​​върнем на неравенството. Нека да преминем към десетичния логаритъм (можете да отидете до всеки с постоянна основа, по-голяма от едно).

Сега можем да използваме теоремата, като забележим в числителя увеличението на функциите и в знаменателя. Така че е вярно

В резултат на това броят на изчисленията, водещи до отговора, е намален с около половината, което спестява не само време, но също така ви позволява потенциално да правите по-малко аритметични и небрежни грешки.

Пример 1

Сравнявайки с (1), намираме , , .

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 2

Сравнявайки с (1) намираме , , .

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 3

Тъй като лявата страна на неравенството е нарастваща функция за и , тогава отговорът е зададен.

Наборът от примери, в които може да се приложи Terme 1, може лесно да бъде разширен, ако се вземе предвид Terme 2.

Нека на снимачната площадка хфункциите , , , са дефинирани и на това множество знаците и съвпадат, т.е. тогава ще е справедливо.

Пример 4

Пример 5

При стандартния подход примерът се решава по схемата: произведението е по-малко от нула, когато факторите са с различни знаци. Тези. разглеждаме набор от две системи от неравенства, в които, както беше посочено в началото, всяко неравенство се разпада на още седем.

Ако вземем предвид теорема 2, тогава всеки от факторите, вземайки предвид (2), може да бъде заменен с друга функция, която има същия знак в този пример на O.D.Z.

Методът за замяна на нарастването на функция с увеличение на аргумента, като се вземе предвид теорема 2, се оказва много удобен при решаване на типични проблеми на C3 USE.

Пример 6

Пример 7

. Нека обозначим . Вземете

. Имайте предвид, че замяната предполага: . Връщайки се към уравнението, получаваме .

Пример 8

В теоремите, които използваме, няма ограничение за класовете функции. В тази статия, като пример, теоремите бяха приложени към решаването на логаритмични неравенства. Следващите няколко примера ще демонстрират обещанието на метода за решаване на други видове неравенства.