Функция Парабола и нейната графика. График на квадратна функция
Функция на формата , където се извиква квадратична функция.
Графика на квадратична функция − парабола.
Разгледайте случаите:
СЛУЧАЙ I, КЛАСИЧЕСКА ПАРАБОЛА
Това е , ,
За да изградите, попълнете таблицата, като замените x стойности във формулата:
Маркирайте точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.н. на координатна равнина(колкото по-малка стъпка вземаме x стойности (в този случай стъпка 1) и колкото повече x стойности вземаме, толкова по-гладка ще бъде кривата), получаваме парабола:
Лесно е да се види, че ако вземем случая , , , т.е. тогава получаваме парабола, симетрична спрямо оста (ox). Лесно е да проверите това, като попълните подобна таблица:
II СЛУЧАЙ, "а" РАЗЛИЧЕН ОТ ЕДИН
Какво ще стане, ако вземем , , ? Как ще се промени поведението на параболата? Със заглавие="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Първата снимка (виж по-горе) ясно показва, че точките от таблицата за параболата (1;1), (-1;1) са трансформирани в точки (1;4), (1;-4), т.е. с еднакви стойности ординатата на всяка точка се умножава по 4. Това ще се случи с всички ключови точки от оригиналната таблица. Ние спорим по подобен начин в случаите на снимки 2 и 3.
И когато параболата "стане по-широка" парабола:
Нека обобщим:
1)Знакът на коефициента отговаря за посоката на клоните. Със заглавие="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Абсолютна стойносткоефициент (модул) е отговорен за "разширяването", "компресията" на параболата. Колкото по-голямо е, толкова по-тясна е параболата, колкото по-малко е |a|, толкова по-широка е параболата.
ПОЯВЯВА СЕ СЛУЧАЙ III, "C".
Сега нека да влезем в игра (т.е. разглеждаме случая, когато ), ще разгледаме параболи от формата . Лесно е да се досетите (винаги можете да се обърнете към таблицата), че параболата ще се движи нагоре или надолу по оста, в зависимост от знака:
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ "б".
Кога параболата ще се "откъсне" от оста и най-накрая ще "ходи" по цялата координатна равнина? Когато престане да бъде равен.
Тук, за да изградим парабола, ни трябва формула за изчисляване на върха: , .
Така че в този момент (както в точката (0; 0) нова системакоординати) ще изградим парабола, която вече е в нашите сили. Ако се занимаваме с случая , тогава отгоре отделяме един сегмент на единица надясно, един нагоре, - получената точка е наша (по същия начин стъпка наляво, стъпка нагоре е нашата точка); ако имаме работа, например, тогава отгоре отделяме един единствен сегмент надясно, два - нагоре и т.н.
Например върхът на парабола:
Сега основното нещо, което трябва да разберем е, че в този връх ще изградим парабола според шаблона на парабола, защото в нашия случай.
При построяването на парабола след намиране на координатите на върха е многоУдобно е да се вземат предвид следните точки:
1) парабола трябва да премине през точката . Наистина, замествайки x=0 във формулата, получаваме, че . Това е ординатата на пресечната точка на параболата с оста (oy). В нашия пример (по-горе) параболата пресича оста y при , тъй като .
2) ос на симетрия параболи е права линия, така че всички точки на параболата ще бъдат симетрични спрямо нея. В нашия пример веднага вземаме точката (0; -2) и изграждаме парабола, симетрична спрямо оста на симетрия, получаваме точката (4; -2), през която ще премине параболата.
3) Приравнявайки се към , намираме точките на пресичане на параболата с оста (ox). За да направим това, решаваме уравнението. В зависимост от дискриминанта ще получим едно (, ), две ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . В предишния пример имаме корен на дискриминанта - не е цяло число, когато го изграждаме, всъщност няма смисъл да намираме корените, но можем ясно да видим, че ще имаме две точки на пресичане с (oh) ос (тъй като заглавие = "(!LANG: Изобразено от QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Така че нека работим
Алгоритъм за построяване на парабола, ако е дадена във формата
1) определете посоката на клоните (a>0 - нагоре, a<0 – вниз)
2) намерете координатите на върха на параболата по формулата , .
3) намираме пресечната точка на параболата с оста (oy) по свободния член, изграждаме точка, симетрична на дадената по отношение на оста на симетрия на параболата (трябва да се отбележи, че се случва, че е неизгодно да маркирате тази точка, например, защото стойността е голяма ... пропускаме тази точка ...)
4) В намерената точка - върха на параболата (както в точката (0; 0) на новата координатна система), изграждаме парабола. If title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Намираме точките на пресичане на параболата с оста (oy) (ако самите те все още не са „изплували“), решавайки уравнението
Пример 1
Пример 2
Забележка 1.Ако параболата първоначално ни бъде дадена във формата , където са някои числа (например ), тогава ще бъде още по-лесно да я изградим, тъй като вече са ни дадени координатите на върха . Защо?
Нека вземем квадратен тричлен и изберем пълен квадрат в него: Вижте, ето това имаме , . По-рано наричахме върха на параболата, тоест сега,.
Например, . Маркираме върха на параболата на равнината, разбираме, че клоните са насочени надолу, параболата е разширена (относително). Тоест изпълняваме стъпки 1; 3; четири; 5 от алгоритъма за конструиране на парабола (виж по-горе).
Забележка 2.Ако параболата е дадена във форма, подобна на тази (т.е. представена като произведение на два линейни фактора), тогава веднага виждаме точките на пресичане на параболата с оста (x). В този случай - (0;0) и (4;0). За останалото действаме според алгоритъма, отваряйки скобите.
Зареждане...