Как да намерите дължината на отсечка в координатната равнина. Намиране на координатите на средата на сегмент: примери, решения

Ако докоснете лист от тетрадка с добре подострен молив, ще остане следа, която дава представа за смисъла. (фиг. 3).

На лист хартия отбелязваме две точки A и B. Тези точки могат да бъдат свързани с различни линии (фиг. 4). И как да свържа точките А и Б с най-късата линия? Това може да стане с линийка (фиг. 5). Получената линия се нарича сегмент.

Точка и права - примери геометрични форми.

Точките А и Б се наричат краищата на сегмента.

Има една отсечка, чиито краища са точките A и B. Следователно отсечката се означава, като се изпишат точките, които са нейните краища. Например, сегментът на фигура 5 е обозначен по един от двата начина: AB или BA. Прочетете: "сегмент AB" или "сегмент BA".

Фигура 6 показва три сегмента. Дължината на отсечката AB е равна на 1 см. В отсечката MN тя е поставена точно три пъти, а в отсечката EF точно 4 пъти. Ние ще кажем това дължина на сегмента MN е 3 cm, а дължината на отсечката EF е 4 cm.

Също така е обичайно да се казва: "сегмент MN е 3 cm", "сегмент EF е 4 cm". Пишат: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Измерихме дължините на отсечките MN и EF единичен сегмент, чиято дължина е 1 см. За измерване на сегменти можете да изберете други единици за дължина, например: 1 mm, 1 dm, 1 km. На фигура 7 дължината на сегмента е 17 mm. Измерва се с единична отсечка с дължина 1 mm с линийка с деления. Също така с помощта на линийка можете да построите (начертаете) сегмент с дадена дължина (вижте фиг. 7).

В общи линии, да измериш сегмент означава да преброиш колко единични сегмента се побират в него.

Дължината на сегмент има следното свойство.

Ако точка C е отбелязана на отсечката AB, тогава дължината на отсечката AB е равна на сумата от дължините на отсечките AC и CB(фиг. 8).

Пишат: AB = AC + CB.

Фигура 9 показва два сегмента AB и CD. Тези сегменти ще съвпадат, когато се наслагват.

Два сегмента се наричат ​​равни, ако съвпадат при наслагване.

Следователно отсечките AB и CD са равни. Пишат: AB = CD.

Еднаквите сегменти имат равни дължини.

От двата неравни сегмента ще считаме този с по-голяма дължина за по-голям. Например на фигура 6 сегментът EF е по-голям от сегмента MN.

Дължината на отсечката AB се нарича разстояниемежду точки А и Б.

Ако няколко сегмента са подредени, както е показано на фигура 10, тогава получаваме геометрична фигура, което се нарича прекъсната линия. Обърнете внимание, че всички сегменти на фигура 11 не образуват прекъсната линия. Смята се, че сегментите образуват прекъсната линия, ако краят на първия сегмент съвпада с края на втория, а другият край на втория сегмент съвпада с края на третия и т.н.

Точки A, B, C, D, E − върхове на полилиния ABCDE, точки A и E − прекъсната линия завършва, а отсечките AB, BC, CD, DE са неговите връзки(виж фиг. 10).

Дължината на прекъснатата линияе сумата от дължините на всички негови връзки.

Фигура 12 показва две прекъснати линии, чиито краища съвпадат. Такива прекъснати линии се наричат затворен.

Пример 1 . Отсечката BC е с 3 cm по-малка от отсечката AB, чиято дължина е 8 cm (фиг. 13). Намерете дължината на отсечката AC.

Решение. Имаме: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Използвайки свойството дължина на отсечка, можем да запишем AC = AB + BC. Следователно AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Отговор: 13 см.

Пример 2 . Известно е, че MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (фиг. 14). Намерете дължината на отсечката NK.

Решение. Имаме: MN = MP − NP.

Следователно MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Имаме: NK = MK − MN.

Следователно NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Отговор: 6 см.

Статията по-долу ще разгледа въпросите за намиране на координатите на средата на сегмента при наличието на неговите координати като първоначални данни крайни точки. Но преди да пристъпим към изследване на въпроса, въвеждаме редица определения.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Линеен сегмент- права линия, свързваща две произволни точки, наречени краища на сегмента. Като пример нека това са точките A и B и съответно отсечката A B .

Ако отсечката A B се продължи в двете посоки от точките A и B, ще получим права A B. Тогава отсечката A B е част от получената права, ограничена от точки A и B . Отсечката A B обединява точките A и B , които са нейните краища, както и множеството точки, разположени между тях. Ако, например, вземем произволна точка K, разположена между точките A и B, можем да кажем, че точката K лежи на отсечката A B.

Определение 2

Дължина на рязанее разстоянието между краищата на сегмента в даден мащаб (сегмент с единица дължина). Дължината на отсечката A B означаваме така: A B .

Определение 3

средна точкаТочка на отсечка, която е на еднакво разстояние от краищата му. Ако средата на сегмента A B е означена с точка C, тогава равенството ще бъде вярно: A C \u003d C B

Изходни данни: координатна права O x и разминаващи се точки върху нея: A и B . Тези точки съответстват на реални числа x A и x B . Точка C е средата на сегмент A B: трябва да определите координатата x C .

Тъй като точка C е средата на отсечката A B, равенството ще бъде вярно: | A C | = | C B | . Разстоянието между точките се определя от модула на разликата между техните координати, т.е.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тогава са възможни две равенства: x C - x A = x B - x C и x C - x A = - (x B - x C)

От първото равенство извличаме формула за координатата на точката C: x C \u003d x A + x B 2 (половината от сумата на координатите на краищата на сегмента).

От второто равенство получаваме: x A = x B , което е невъзможно, т.к в оригиналните данни - несъответстващи точки. По този начин, формула за определяне на координатите на средата на отсечката A B с краища A (x A) и B(xB):

Получената формула ще бъде основата за определяне на координатите на средната точка на сегмента в равнина или в пространството.

Изходни данни: правоъгълна координатна система на равнината O x y , две произволни несъвпадащи точки с дадени координати A x A, y A и B x B, y B. Точка C е средата на отсечка A B . Необходимо е да се определят координатите x C и y C за точка C .

Нека вземем за анализ случая, когато точките A и B не съвпадат и не лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. A x, A y; B x , B y и C x , C y - проекции на точки A , B и C върху координатните оси (правите O x и O y).

По построение правите A A x , B B x , C C x са успоредни; линиите също са успоредни една на друга. Заедно с това, според теоремата на Талес, от равенството A C \u003d C B следват равенствата: A x C x \u003d C x B x и A y C y \u003d C y B y, а те от своя страна, показват, че точката C x е средата на сегмента A x B x, а C y е средата на сегмента A y B y. И тогава, въз основа на формулата, получена по-рано, получаваме:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Същите формули могат да се използват в случаите, когато точките A и B лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. Няма да правим подробен анализ на този случай, ще го разгледаме само графично:

Обобщавайки всичко по-горе, координати на средата на отсечката A B на равнината с координатите на краищата A (x A, y A) и B(x B, y B) определен като:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Изходни данни: координатна система О x y z и две произволни точки със зададени координати A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо е да се определят координатите на точка C , която е средата на отсечката A B .

A x, A y, A z; B x , B y , B z и C x , C y , C z - проекции на всички дадени точки върху осите на координатната система.

Според теоремата на Талес равенствата са верни: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следователно точките C x , C y , C z са среди съответно на отсечките A x B x , A y B y , A z B z. Тогава, за определяне на координатите на средата на сегмента в пространството са верни следните формули:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Получените формули са приложими и в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните линии; на права линия, перпендикулярна на една от осите; един координатна равнинаили равнина, перпендикулярна на една от координатните равнини.

Определяне на координатите на средата на отсечка чрез координатите на радиус-векторите на нейните краища

Формулата за намиране на координатите на средата на сегмента може да се изведе и според алгебричната интерпретация на векторите.

Изходни данни: правоъгълна декартова координатна система O x y , точки с дадени координати A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C е средата на отсечка A B .

Според геометричната дефиниция на действията върху векторите ще бъде вярно следното равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в този случай е пресечната точка на диагоналите на успоредника, построен на базата на векторите O A → и O B → , т.е. точката на средата на диагоналите Координатите на радиус вектора на точката са равни на координатите на точката, тогава равенствата са верни: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Нека извършим някои операции върху вектори в координати и ще получим:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следователно точка C има координати:

x A + x B 2, y A + y B 2

По аналогия се дефинира формула за намиране на координатите на средата на сегмент в пространството:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Примери за решаване на задачи за намиране на координатите на средата на отсечка

Сред задачите, включващи използването на получените по-горе формули, има както тези, в които въпросът е директно да се изчислят координатите на средата на сегмента, така и тези, които включват привеждане на дадените условия към този въпрос: терминът "медиана" често се използва, целта е да се намерят координатите на един от краищата на сегмента, както и задачи по симетрия, чието решение като цяло също не трябва да създава затруднения след изучаване настоящата тема. Нека разгледаме типични примери.

Пример 1

Първоначални данни:на равнината - точки с дадени координати A (- 7, 3) и B (2, 4) . Необходимо е да се намерят координатите на средата на сегмента A B.

Решение

Нека означим средата на отсечката A B с точка C . Неговите координати ще бъдат определени като половината от сумата на координатите на краищата на сегмента, т.е. точки А и Б.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Отговор: координати на средата на сегмент A B - 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Първоначални данни:координатите на триъгълника A B C са известни: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Необходимо е да се намери дължината на медианата A M.

Решение

1. По условието на задачата A M е медианата, което означава, че M е средата на отсечката B C . Първо намираме координатите на средата на сегмента B C , т.е. М точки:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Тъй като вече знаем координатите на двата края на медианата (точки A и M), можем да използваме формулата, за да определим разстоянието между точките и да изчислим дължината на медианата A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Отговор: 58

Пример 3

Първоначални данни:паралелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 е даден в правоъгълната координатна система на тримерното пространство. Дадени са координатите на точката C 1 (1 , 1 , 0), дефинирана е и точката M, която е средата на диагонала B D 1 и има координати M (4 , 2 , - 4) . Необходимо е да се изчислят координатите на точка А.

Решение

Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка, която е средата на всички диагонали. Въз основа на това твърдение можем да имаме предвид, че известната от условията на задачата точка M е средата на отсечката А С 1 . Въз основа на формулата за намиране на координатите на средата на отсечката в пространството намираме координатите на точка A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Отговор:координатите на точка А (7, 3, - 8) .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Има цяла група задачи (включени в изпитните типове задачи), свързани с координатната равнина. Това са задачи, като се започне от най-елементарните, които се решават устно (определяне на ординатата или абсцисата на дадена точка, или симетрична дадена точка и др.), за да се стигне до задачи, които изискват качествени знания, разбиране и добри умения (задачи свързани с наклона на права линия).

Постепенно ще разгледаме всички тях. В тази статия ще започнем с основите. то прости задачиза определяне на: абсцисата и ординатата на точка, дължината на отсечка, средата на отсечка, синус или косинус на ъгъла на наклон на права линия.Повечето от тези задачи няма да са интересни. Но смятам, че е необходимо да ги посочим.

Работата е там, че не всички ходят на училище. Много хора минават изпита 3-4 и повече години след дипломирането си и смътно помнят какво е абсцисата и ординатата. Ще анализираме и други задачи, свързани с координатната равнина, не го пропускайте, абонирайте се за актуализацията на блога. Сега nмалко теория.

Да построим точка А на координатната равнина с координати x=6, y=3.

Казват, че абсцисата на точка А е шест, ординатата на точка А е три.

Казано по-просто, оста x е абсцисната ос, оста y е оста y.

Тоест, абсцисата е точка на оста x, в която се проектира точка, дадена на координатната равнина; Ординатата е точката на оста y, в която се проектира определената точка.

Дължината на сегмента в координатната равнина

Формулата за определяне на дължината на сегмент, ако са известни координатите на краищата му:

Както можете да видите, дължината на сегмента е дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълник с катети, равни на

X B - X A и Y B - Y A

* * *

Средата на разреза. Нейните координати.

Формула за намиране на координатите на средата на отсечка:

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки

Формулата за уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки е:

където (x 1; y 1) и (x 2; y 2 ) координати на дадени точки.

Замествайки стойностите на координатите във формулата, тя се редуцира до формата:

y = kx + b, където k е наклонът на правата

Тази информация ще ни е необходима при решаването на друга група задачи, свързани с координатната равнина. Ще има статия за това, не я пропускайте!

Какво друго може да се добави?

Ъгълът на наклона на права линия (или сегмент) е ъгълът между оста oX и тази права линия, вариращ от 0 до 180 градуса.

Да разгледаме задачите.

От точката (6;8) перпендикулярът се спуска към оста y. Намерете ординатата на основата на перпендикуляра.

Основата на перпендикуляра, пуснат към оста y, ще има координати (0; 8). Ординатата е осем.

Отговор: 8

Намерете разстоянието от точка Ас координати (6;8) спрямо оста y.

Разстоянието от точка А до оста y е равно на абсцисата на точка А.

Отговор: 6.

А(6;8) около оста вол.

Точка симетрична точкаИ спрямо оста oX има координати (6; - 8).

Ординатата е минус осем.

Отговор: - 8

Намерете ординатата на точка, симетрична на точка А(6;8) спрямо произхода.

Точка, симетрична на точка А по отношение на началото, има координати (- 6; - 8).

Нейната ордината е -8.

Отговор: -8

Намерете абсцисата на средата на отсечката, свързваща точкитеО(0;0) и А(6;8).

За да се реши задачата, е необходимо да се намерят координатите на средата на сегмента. Координатите на краищата на нашия сегмент са (0;0) и (6;8).

Изчисляваме по формулата:

Получих (3;4). Абсцисата е три.

Отговор: 3

* Абсцисата на средата на сегмента може да се определи без изчисляване по формулата, като се конструира този сегмент върху координатната равнина на листа в клетка. Средата на сегмента ще бъде лесна за определяне от клетките.

Намерете абсцисата на средата на отсечката, свързваща точките А(6;8) и б(–2;2).

За да се реши задачата, е необходимо да се намерят координатите на средата на сегмента. Координатите на краищата на нашия сегмент са (–2;2) и (6;8).

Изчисляваме по формулата:

Получих (2;5). Абсцисата е две.

Отговор: 2

* Абсцисата на средата на сегмента може да се определи без изчисляване по формулата, като се конструира този сегмент върху координатната равнина на листа в клетка.

Намерете дължината на отсечката, свързваща точките (0;0) и (6;8).

Дължината на отсечката при дадените координати на нейните краища се изчислява по формулата:

в нашия случай имаме O(0;0) и A(6;8). означава,

*Редът на координатите при изваждане няма значение. Можете да извадите абсцисата и ординатата на точка A от абсцисата и ординатата на точка O:

Отговор:10

Намерете косинуса на наклона на отсечката, свързваща точките О(0;0) и А(6;8), с оста x.

Ъгълът на наклон на сегмент е ъгълът между този сегмент и оста x.

От точка А спускаме перпендикуляра към оста x:

Тоест ъгълът на наклона на сегмента е ъгълътВОИв правоъгълен триъгълник AVO.

косинус остър ъгълв правоъгълен триъгълник е

съотношение на прилежащия катет към хипотенузата

Трябва да се намери хипотенузатаОА.

Според теоремата на Питагор:В правоъгълен триъгълник, квадратът на хипотенузата е равно на суматаквадрати на краката.

Така косинусът на ъгъла на наклона е 0,6

Отговор: 0,6

От точката (6;8) се спуска перпендикулярът към абсцисната ос. Намерете абсцисата на основата на перпендикуляра.

През точката (6; 8) се прекарва права линия, успоредна на оста x. Намерете ординатата на пресечната му точка с оста OU.

Намерете разстоянието от точка Ас координати (6;8) спрямо оста x.

Намерете разстоянието от точка Ас координати (6;8) до началото.

Има три основни координатни системи, използвани в геометрията, теоретичната механика и други клонове на физиката: декартова, полярна и сферична. В тези координатни системи цялата точка има три координати. Познавайки координатите на 2 точки, е възможно да се определи разстоянието между тези две точки.

Ще имаш нужда

• Декартови, полярни и сферични координати на краищата на отсечка

Инструкция

1. Нека започнем с правоъгълна декартова координатна система. Местоположението на точка в пространството в тази координатна система се определя от координати x,y и z. От началото на координатите до точката се изчертава радиус-вектор. Проекциите на този радиус-вектор върху координатните оси ще бъдат координатиДа предположим, че сега имате две точки с координати x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 съответно. Обозначете съответно за r1 и r2 радиус векторите на първата и втората точка. Очевидно разстоянието между тези две точки ще бъде равно на модула на вектора r = r1-r2, където (r1-r2) е векторната разлика.Координатите на вектора r очевидно ще бъдат както следва: x1- x2, y1-y2, z1-z2. Тогава модулът на вектора r или разстоянието между две точки ще бъде: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)) .

2. Помислете сега за полярната координатна система, в която координатата на точката ще бъде дадена от радиалната координата r (радиус вектор в равнината XY), ъгловата координата? (ъгълът между вектора r и оста X) и координатата z, подобна на координатата z в декартовата система. Полярните координати на точката могат да бъдат преобразувани в декартови по следния начин: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Тогава разстоянието между две точки с координати r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 ще бъдат равни на R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

3. Сега разгледайте сферичната координатна система. В него местоположението на точката е дадено с три координати r, ? и?. r е разстоянието от началото до точката, ? и? са съответно азимутният и зенитният ъгъл. Ъгъл? подобен на ъгъла със същото обозначение в полярната координатна система, а? е ъгълът между радиус вектора r и оста Z, с 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координати r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 ще бъдат равни на R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Подобни видеа