Намерете точка, симетрична на дадената спрямо правата. Как да намерим точка, която е симетрична спрямо права

Правата линия в пространството винаги може да се определи като пресечна линия на две неуспоредни равнини. Ако уравнението на една равнина е уравнението на втората равнина, тогава уравнението на правата линия е дадено като

тук неколинеарни
. Тези уравнения се наричат общи уравнения права линия в пространството.

Канонични уравнения на правата

Всеки ненулев вектор, лежащ на дадена права или успореден на нея, се нарича насочващ вектор на тази права.

Ако точката е известна
линия и нейния насочващ вектор
, тогава каноничните уравнения на правата имат формата:

. (9)

Параметрични уравнения на права линия

Нека са дадени каноничните уравнения на правата

.

От тук получаваме параметричните уравнения на правата линия:

(10)

Тези уравнения са полезни за намиране на пресечната точка на права и равнина.

Уравнение на права, минаваща през две точки
и
изглежда като:

.

Ъгъл между линиите

Ъгъл между линиите

и

е равен на ъгъла между техните насочващи вектори. Следователно може да се изчисли по формула (4):

Състояние на успоредни прави:

.

Условие за перпендикулярност на равнините:

Разстояние на точка от права линия

П дадена точка
и директно

.

От каноничните уравнения на правата точката е известна
, принадлежаща на правата, и нейния насочващ вектор
. След това разстоянието на точката
от права линия е равна на височината на успоредник, изграден върху вектори и
. Следователно,

.

Условие за пресичане на линията

Две неуспоредни прави

,

се пресичат тогава и само ако

.

Взаимно разположение на права и равнина.

Нека правата линия
и плосък. Ъгъл между тях може да се намери по формулата

.

Задача 73.Напишете каноничните уравнения на правата

(11)

Решение. За да се запишат каноничните уравнения на правата (9), е необходимо да се знае всяка точка, принадлежаща на правата, и насочващият вектор на правата.

Нека намерим вектора успоредна на дадената права. Тъй като тя трябва да е перпендикулярна на нормалните вектори на тези равнини, т.е.

,
, тогава

.

От общите уравнения на правата линия имаме това
,
. Тогава

.

Тъй като точката
всяка точка от линията, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравненията на линията и едно от тях може да бъде посочено, например,
, намираме другите две координати от системата (11):

Оттук,
.

Така каноничните уравнения на желаната линия имат формата:

или
.

Задача 74.

и
.

Решение.от канонични уравнениякоординатите на точката са известни на първия ред
принадлежащи на правата, и координатите на вектора на посоката
. От каноничните уравнения на втория ред са известни и координатите на точката
и координати на вектора на посоката
.

Разстоянието между успоредните прави е равно на разстоянието на точка
от втория ред. Това разстояние се изчислява по формулата

.

Нека намерим координатите на вектора
.

Изчислете векторното произведение
:

.

Задача 75.Намерете точка симетрична точка
относително прав

.

Решение. Записваме уравнението на равнината, перпендикулярна на дадената права и минаваща през точката . Като негов нормален вектор можем да приемем насочващия вектор като права линия. Тогава
. Следователно,

Да намерим точка
точката на пресичане на дадената права и равнината P. За да направим това, записваме параметричните уравнения на правата, използвайки уравнения (10), получаваме

Следователно,
.

Нека бъде
точка, симетрична на точка
относно тази линия. Тогава точката
средна точка
. За намиране на координатите на точка използваме формулите за координатите на средата на сегмента:

,
,
.

Така,
.

Задача 76.Напишете уравнението за равнина, минаваща през права линия
и

а) през точка
;

б) перпендикулярна на равнината.

Решение.Нека запишем общи уравнениятази права линия. За да направите това, разгледайте две равенства:

Това означава, че желаната равнина принадлежи на молив от равнини с образуващи и нейното уравнение може да се запише във формата (8):

а) намерете
и от условието, че равнината минава през точката
, следователно нейните координати трябва да отговарят на уравнението на равнината. Заменете координатите на точката
в уравнението на лъч от равнини:

Намерена стойност
заместваме в уравнение (12). получаваме уравнението на желаната равнина:

б) намерете
и от условието желаната равнина да е перпендикулярна на равнината. Нормалният вектор на дадена равнина
, нормалният вектор на желаната равнина (вижте уравнението за пакет от равнини (12).

Два вектора са перпендикулярни тогава и само ако техните скаларно произведениее равно на нула. Следователно,

Заместете намерената стойност
в уравнението на лъч от равнини (12). Получаваме уравнението на желаната равнина:

Задачи за самостоятелно решаване

Задача 77.Приведете в канонична форма уравненията на линиите:

1)
2)

Задача 78.Напишете параметрични уравнения на права линия
, ако:

1)
,
; 2)
,
.

Задача 79. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка
перпендикулярна на правата

Задача 80.Напишете уравненията на права линия, минаваща през точка
перпендикулярна на равнината.

Задача 81.Намерете ъгъла между линиите:

1)
и
;

2)
и

Задача 82.Докажете успоредни прави:

и
.

Задача 83.Докажете перпендикулярността на правите:

и

Задача 84.Изчислете разстоянието на точката
от прав:

1)
; 2)
.

Задача 85.Изчислете разстоянието между успоредни прави:

и
.

Задача 86. В уравнения с права линия
дефинирайте параметър така че тази права да се пресича с правата и да се намери точката на тяхното пресичане.

Задача 87. Покажи, че е прав
успоредна на равнината
, и правата линия
лежи в тази равнина.

Задача 88. Намерете точка симетрична точка спрямо самолета
, ако:

1)
, ;

2)
, ;.

Задача 89.Напишете уравнението за перпендикуляр, пуснат от точка
директно
.

Задача 90. Намерете точка симетрична точка
относително прав
.

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, позволявайки ви да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.

Ъгъл между две прави

Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намираме ъглите, лесно може да се получи отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и е много специфичен геометричен смисъл. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за два реда дадени чрез уравненияв общ изглед:

Ако прав не перпендикулярно, тогава ориентираниъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем голямо внимание на знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларното произведение на насочващи вектори на прави линии:

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочете точна стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените правите линии, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Няма да крия, аз сам избирам правите линии в реда, в който ъгълът е положителен. По-красиво е, но нищо повече.

За да проверите решението, можете да вземете транспортир и да измерите ъгъла.

Метод втори

Ако линиите са дадени чрез уравнения с наклон и не перпендикулярно, тогава ориентираниъгълът между тях може да се намери по формулата:

Условието за перпендикулярност на правите линии се изразява с равенството, от което, между другото, следва много полезна връзка между ъгловите коефициенти на перпендикулярните линии: , която се използва в някои задачи.

Алгоритъмът за решение е подобен на предишния параграф. Но първо, нека пренапишем нашите редове в необходимата форма:

По този начин коефициентите на наклона:

1) Проверете дали линиите са перпендикулярни:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Използваме формулата:

Отговор:

Вторият метод е подходящ за използване, когато уравненията на линиите първоначално са зададени с наклон. Трябва да се отбележи, че ако поне една права линия е успоредна на ординатната ос, тогава формулата изобщо не е приложима, тъй като за такива прави линии наклонът не е дефиниран (вижте статията Уравнение на права на равнина).

Има и трето решение. Идеята е да се изчисли ъгълът между насочващите вектори на правите по формулата, разгледана в урока Точково произведение на вектори:

Тук не говорим за ориентиран ъгъл, а „просто за ъгъл“, тоест резултатът със сигурност ще бъде положителен. Уловката е, че можете да получите тъп ъгъл (не този, от който се нуждаете). В този случай ще трябва да направите уговорка, че ъгълът между линиите е по-малък ъгъл и да извадите получения арккосинус от "пи" радиани (180 градуса).

Желаещите могат да решат проблема и по трети начин. Но все пак препоръчвам да се придържате към първия ъглово-ориентиран подход, защото той е широко използван.

Пример 11

Намерете ъгъла между линиите.

Това е пример за „направи си сам“. Опитайте се да го решите по два начина.

Някак си приказката угасна по пътя.... Защото няма Кашчей Безсмъртния. Има ме и не особено запарен. Честно казано, мислех, че статията ще е много по-дълга. Но все пак ще взема наскоро закупена шапка с очила и ще отида да плувам във водата на септемврийското езеро. Перфектно облекчава умората и отрицателната енергия.

Ще се видим скоро!

И не забравяйте, че Баба Яга не е отменена =)

Решения и отговори:

Пример 3:Решение : Намерете вектора на посоката на правата линия :

Ще съставим уравнението на търсената права с помощта на точката и вектор на посоката . Тъй като една от координатите на вектора на посоката е нула, уравнението препишете във формата:

Отговор :

Пример 5:Решение :
1) Уравнение на права линия направи две точки :

2) Уравнение на права линия направи две точки :

3) Съответни коефициенти за променливи несъразмерно: , така че линиите се пресичат.
4) Намерете точка :


Забележка : тук първото уравнение на системата се умножава по 5, след което второто се изважда член по член от 1-вото уравнение.
Отговор :

Формулиране на проблема. Намерете координатите на точка, симетрична на точка спрямо самолета.

План за решение.

1. Намираме уравнението на права линия, която е перпендикулярна на дадена равнина и минава през точка . Тъй като правата е перпендикулярна на дадената равнина, тогава векторът на нормалата на равнината може да се приеме за неин насочващ вектор, т.е.

.

Следователно уравнението на права линия ще бъде

.

2. Намерете точка пресичане на линията и равнини (вижте задача 13).

3. Точка е средата на сегмента, където точката е точка, симетрична на точка , Ето защо

Задача 14. Намерете точка, симетрична на точка спрямо равнината.

Уравнението на права линия, която минава през точка, перпендикулярна на дадена равнина, ще бъде:

.

Намерете пресечната точка на правата и равнината.

Където - пресечната точка на правата и равнината е средата на отсечката, следователно

Тези. .

Хомогенни равнинни координати. Афинни трансформации на равнината.

Нека бъде М хи при

М(х, приаз (х, при, 1) в пространството (фиг. 8).

аз (х, при

аз (х, при ху.

(hx, hy, h), h  0,

Коментирайте

ч(напр. ч

Наистина, като се има предвид ч

Коментирайте

Пример 1

b) в ъгъла (фиг. 9).

1-ва стъпка.

2-ра стъпка.Ъгъл на завъртане 

матрицата на съответното преобразуване.

3-та стъпка.Прехвърлете към вектора A(a, б)

матрицата на съответното преобразуване.

Пример 3

 по оста x и

1-ва стъпка.

матрицата на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.

3-та стъпка.

най-накрая получи

Коментирайте

[R], [D], [M], [T],

Нека бъде М- произволна точка от равнината с координати хи приизчислени по отношение на дадена праволинейна координатна система. Еднородните координати на тази точка са всяка тройка от едновременно ненулеви числа x 1, x 2, x 3, свързани с дадените числа x и y чрез следните отношения:

При решаване на компютърни графични задачи хомогенните координати обикновено се въвеждат по следния начин: произволна точка М(х, при) на равнината е приписана точка аз (х, при, 1) в пространството (фиг. 8).

Обърнете внимание, че произволна точка на линията, свързваща началото, точката 0(0, 0, 0), с точката аз (х, при, 1) може да бъде дадено от тройка числа от вида (hx, hy, h).

Векторът с координати hx, hy е насочващият вектор на правата, свързваща точките 0 (0, 0, 0) и аз (х, при, един). Тази права пресича равнината z = 1 в точката (x, y, 1), която еднозначно определя точката (x, y) на координатната равнина ху.

Така между произволна точка с координати (x, y) и набор от тройки числа от вида

(hx, hy, h), h  0,

се установява (едно-към-едно) съответствие, което ни позволява да разглеждаме числата hx, hy, h като нови координати на тази точка.

Коментирайте

Хомогенните координати, широко използвани в проективната геометрия, позволяват ефективно да се опишат така наречените неправилни елементи (по същество тези, в които проективната равнина се различава от познатата ни евклидова равнина). Повече подробности за новите функции, осигурени от въведените хомогенни координати, са разгледани в четвъртия раздел на тази глава.

В проективната геометрия за хомогенни координати се приема следната нотация:

x: y: 1 или, по-общо, x 1: x 2: x 3

(припомнете си, че тук е абсолютно задължително числата x 1, x 2, x 3 едновременно да не изчезват).

Използването на хомогенни координати се оказва удобно дори при решаване на най-простите задачи.

Помислете например за въпроси, свързани с мащабирането. Ако устройството за показване работи само с цели числа (или ако е необходимо да работи само с цели числа), тогава за произволна стойност ч(напр. ч= 1) точка с хомогенни координати

не може да се представи. Въпреки това, с разумен избор на h, е възможно да се гарантира, че координатите на тази точка са цели числа. По-специално, за h = 10, за разглеждания пример имаме

Да разгледаме друг случай. За да не доведат резултатите от трансформацията до аритметично препълване, за точка с координати (80000 40000 1000) можете да вземете например h=0,001. В резултат на това получаваме (80 40 1).

Дадените примери показват полезността на използването на хомогенни координати в изчисленията. Въпреки това, основната цел на въвеждането на хомогенни координати в компютърната графика е безспорното им удобство при прилагане към геометрични трансформации.

С помощта на тройки от хомогенни координати и матрици от трети ред може да се опише всяка афинна трансформация на равнината.

Наистина, като се има предвид ч= 1, сравнете два записа: маркирани с * и следната матрица:

Лесно се вижда, че след умножаване на изразите от дясната страна на последната връзка, получаваме както формули (*), така и правилното числено равенство 1=1.

Коментирайте

Понякога в литературата се използва друга нотация - нотация по колони:

Тази нотация е еквивалентна на линейната нотация по-горе (и се получава от нея чрез транспониране).

Елементите на произволна матрица на афинна трансформация нямат ясен геометричен смисъл. Следователно, за да се приложи определено картографиране, тоест да се намерят елементите на съответната матрица според дадено геометрично описание, са необходими специални техники. Обикновено изграждането на тази матрица, в съответствие със сложността на разглеждания проблем и конкретните случаи, описани по-горе, се разделя на няколко етапа.

На всеки етап се търси матрица, която съответства на един или друг от горните случаи A, B, C или D, които имат добре дефинирани геометрични свойства.

Нека изпишем съответните матрици от трети ред.

A. Ротационна матрица, (ротация)

B. Дилатационна матрица

B. Отражателна матрица

D. Трансферна матрица (превод)

Разгледайте примери за афинни трансформации на равнината.

Пример 1

Изградете ротационна матрица около точка A (a,b) в ъгъла (фиг. 9).

1-ва стъпка.Прехвърляне към вектора - A (-a, -b), за да подравните центъра на въртене с началото;

матрицата на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.Ъгъл на завъртане 

матрицата на съответното преобразуване.

3-та стъпка.Прехвърлете към вектора A(a, б)за връщане на центъра на въртене в предишното му положение;

матрицата на съответното преобразуване.

Ние умножаваме матриците в същия ред, както са записани:

В резултат на това получаваме, че желаната трансформация (в матрична нотация) ще изглежда така:

Елементите на получената матрица (особено в последния ред) не са лесни за запомняне. В същото време всяка от трите умножени матрици може лесно да бъде конструирана от геометричното описание на съответното картографиране.

Пример 3

Изградете матрица за разтягане с коефициенти на разтягане по оста x и по протежение на оста y и центрирано в точка A(a, b).

1-ва стъпка.Прехвърлете към вектора -А(-а, -b), за да съпоставите центъра на разтягане с началото;

матрицата на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.Разтягане по координатните оси съответно с коефициенти  и ; трансформационната матрица има формата

3-та стъпка.Прехвърлете към вектора A(a, b), за да върнете центъра на разтягане в предишната му позиция; матрицата на съответното преобразуване е

Умножете матриците в същия ред

най-накрая получи

Коментирайте

Аргументиране по подобен начин, тоест разбиване на предложената трансформация на етапи, поддържани от матрици[R], [D], [M], [T], може да се конструира матрицата на всяка афинна трансформация от нейното геометрично описание.

Преместването се осъществява чрез добавяне, а мащабирането и завъртането чрез умножение.

Трансформация на мащаба (дилатация) спрямо произхода има формата:

или в матрична форма:

където дх,дгса коефициентите на мащабиране по осите, и

- матрица за мащабиране.

За D > 1 се получава разширение, за 0<=D<1- сжатие

Завъртане на трансформацията спрямо произхода има формата:

или в матрична форма:

където φ е ъгълът на въртене и

- ротационна матрица.

коментар:Колоните и редовете на ротационната матрица са взаимно ортогонални единични вектори. Наистина, квадратите на дължините на редовите вектори са равни на едно:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 и (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

а скаларното произведение на редови вектори е

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Тъй като скаларното произведение на векторите А · б = |А| ·| б| ·cosψ, където | А| - дължина на вектора А, |б| - дължина на вектора б, а ψ е най-малкият положителен ъгъл между тях, то от равенството 0 на скаларното произведение на два вектора ред с дължина 1 следва, че ъгълът между тях е 90 ° .

Нека са дадени някаква права линия, дадена от линейно уравнение и точка, дадена от нейните координати (x0, y0), която не лежи на тази права линия. Необходимо е да се намери точка, която би била симетрична на дадена точка по отношение на дадена права линия, т.е. би съвпаднала с нея, ако равнината е мислено огъната наполовина по тази права линия.

Инструкция

1. Ясно е, че и двете точки - дадена и желана - трябва да лежат на една и съща права, като тази права трябва да е перпендикулярна на дадената. По този начин, първата част от задачата е да се намери уравнението на права линия, която би била перпендикулярна на дадена линия и в същото време минава през дадена точка.

2. Правата линия може да се дефинира по два начина. Каноничното уравнение на права линия изглежда така: Ax + By + C = 0, където A, B и C са константи. Също така, права линия може да се определи с помощта на линейна функция: y \u003d kx + b, където k е ъгловата степен, b е изместването.Тези два метода са взаимозаменяеми и е позволено да се движите от всеки към друг. Ако Ax + By + C = 0, тогава y = – (Ax + C)/B. С други думи, в линейна функция y = kx + b, ъгловата степен k = -A/B и отместването b = -C/B. За настоящата задача е по-удобно да се разсъждава въз основа на каноничното уравнение на права линия.

3. Ако две прави са перпендикулярни една на друга и уравнението на първата линия е Ax + By + C = 0, тогава уравнението на втората линия трябва да бъде Bx - Ay + D = 0, където D е константа. За да се намери определена стойност на D, е необходимо допълнително да се знае през коя точка минава перпендикулярната линия. В този случай това е точката (x0, y0).Следователно D трябва да удовлетворява равенството: Bx0 – Ay0 + D = 0, тоест D = Ay0 – Bx0.

4. По-късно, след като се намери перпендикулярната линия, е необходимо да се изчислят координатите на точката на нейното пресичане с дадената. За да направите това, трябва да решите система от линейни уравнения: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Нейното решение ще даде числата (x1, y1), които служат като координати на точка на пресичане на линиите.

5. Желаната точка трябва да лежи върху откритата линия и нейното разстояние до пресечната точка трябва да е равно на разстоянието от пресечната точка до точката (x0, y0). Така координатите на точка, симетрична на точката (x0, y0), могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Но нека го направим по-лесно. Ако точките (x0, y0) и (x, y) са на равни разстояния от точката (x1, y1) и всичките три точки лежат на една и съща права линия, тогава: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0.Следователно x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Замествайки тези стойности във второто уравнение на първата система и опростявайки изразите, е лесно да се уверите, че дясната му страна става същата като лявата. Освен това няма смисъл да се разглежда по-отблизо първото уравнение, тъй като е известно, че точките (x0, y0) и (x1, y1) го удовлетворяват, а точката (x, y) със сигурност лежи на същата права .