Свойства на кривите от втори ред

Елипса, хипербола, парабола

Ако в уравнението F( х, г) = 0 линии на равнинната функция F( х, г) е полином от някаква степен на две променливи, тогава такава права се нарича алгебричен, се нарича степен на полином в редкрив. Например права линия е алгебрична линия от първи ред. Нека разгледаме линиите от втори ред.

Кривите от втори ред включват елипса, хипербола и парабола. Тези криви играят важна роля в приложните въпроси.

Определение 1.

Елипсае геометричното място на точки в равнина, чиято сума от разстоянията до две фиксирани точки, принадлежащи на една и съща равнина и наречени фокуси, е постоянна стойност, по-голяма от разстоянието между фокусите.

Нека намерим уравнениетоелипса. За да направим това, вземаме координатна система, така че оста OX да минава през фокусите, а оста OY разделя разстоянието между фокусите наполовина. Нека разстоянието между фокусите F 1 и F 2 е 2 си сумата от разстоянията от текущата точка M( х, при) на елипсата към фокусите е 2 А: r 1 + r 2 = 2а, 2а> 2с.

Тогава фокусите имат координати F 1 ( с, 0) и F 2 (– с, 0), разстояния от точка M( х, при) на фокуси са равни съответно

r 1 = , r 2 = .

От определението получаваме уравнението на елипсата

+ = 2А

Опростявайки това уравнение, получаваме

Вярвайки тук А 2 – с 2 = b 2, получаваме уравнението

, (1)

което се нарича канонично уравнение на елипса.

Нека изучим формата на елипса, използвайки това уравнение.

1) Лесно е да се види, че ако точката ( х, при) принадлежи на елипсата, тогава точките ( -Х, при), (х, –при) , (–х, –при), т.е. елипсата е симетрична спрямо координатните оси и спрямо началото.

2) Нека напишем уравнение (1) във формата откъдето следва, че хÎ[– а; а], гÎ [– b, b].

3) Поради симетрията е достатъчно да се изследва характерът на линията при хÎ.

Кога храсте от 0 до А, намалява от bдо 0, защото при¢ = < 0 для всех хО и го отразява симетрично спрямо координатните оси и началото.

Точките A, B, C, D на пресичане на елипсата с координатните оси се наричат върховете на елипсата, се нарича точка O центърелипса, сегмент AO = OS = АНаречен голямполуос и OB = OD = b – малъкполуос на елипсата, разстояние r 1 и r 2 от точката на елипсата до фокусите се наричат фокусни радиуси.

Ако поставим фокусите на елипсата върху оста на операционния усилвател, уравнението на елипсата ще има точно същата форма като уравнение (1), само голямата полуос ще бъде b. В бъдеще ще се съгласим, че голямата полуос съответства на оста, върху която лежат фокусите на елипсата и, обратно, от уравнението на елипсата по отношение на по-големия параметър Аили bможе да се определи на коя координатна ос лежат фокусите на елипсата.

На практика, като се има предвид каноничното уравнение Можете да изградите елипса по следния начин: от началото на координатите наляво и надясно по оста OX, начертайте сегменти с дължина А, а по оста на ОУ нагоре и надолу - отрязъци по дължина b. Начертайте гладка затворена овална линия през получените точки на върха.

Ако А= b= , тогава с= 0, фокусите на елипсата се сливат в една точка - началото - и елипсата се изражда в кръг

х 2 +при 2 = А 2

с център в началото и радиус А.

Определение 2.

Хиперболае геометричното място на точки в равнина, чийто модул на разликата в разстоянието до две дадени точки от една и съща равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност, по-малка от разстоянието между фокусите.

Ако поставим фокусите на хиперболата върху оста OX, така че началото на координатите да е в средата между тях, означете разстоянието между фокусите като 2 с, модул за дистанционна разлика – 2 А, 2а> 2с, тогава символното уравнение на хиперболата ще има формата | r 1 – r 2 | = 2а, а в координатна форма ще бъде написано така:

½ – ½= 2 А.

Трансформиране на това уравнение по същия начин, както в случая на уравнението на елипсата, и обозначаване b 2 = с 2 –А 2, получаваме канонично уравнениехиперболи

, (2).

Изследвайки формата на хиперболата, намираме това

1) кривата е симетрична по отношение на осите и началото на координатите, следователно е достатъчно да се изследва формата на частта от кривата, разположена в първата четвърт и която е графиката на функцията , хÎ [ А, +¥), ;

2) точки на пресичане с оста OX (– А, 0) и ( А, 0) – тези точки се наричат върхове на хипербола; кривата не се пресича с оста на операционния усилвател;

3) прав при= са асимптотихипербола. Когато се промени хот А ad infinitum функция нараства от 0 до безкрайност, т.к при¢ = > 0 за всички хÎ[ а, +¥). Освен това тази част от кривата е изпъкнала: при¢¢= >0 при хÎ[ а, +¥). След като изобразяваме част от хиперболата в първата четвърт в съответствие с тези изследвания, след това показваме тази линия симетрично спрямо осите и началото на координатите на останалите четвърти, получаваме желаната хипербола.

На практика, при дадено канонично уравнение, хипербола се конструира по следния начин.

1. Първо се изгражда аксиален правоъгълник: вляво и вдясно от началото на разстояние Аначертайте прави линии, успоредни на оста на операционния усилвател, и отгоре и отдолу на разстояние bот началото на координатите - прави, успоредни на оста OX.

2. Правите, върху които лежат диагоналите на получения правоъгълник, са асимптоти на хиперболата.

3. Пресечните точки на страните на правоъгълника с оста OX са върховете на хиперболата. От върховете към асимптотите в лявата и дясната полуравнина са начертани разклонения на хиперболата.

Точки A(– А, 0) и C( А, 0) се наричат върховехиперболи, точка O (начало) – центърхипербола. Отсечка OA = OS = АНаречен реална полуосхиперболи, сегмент OB = OD = b – въображаема полуос. Координатните оси се наричат ​​също съответно реална ос (хиперболата я пресича в две точки) и имагинерна ос (хиперболата не я пресича). Разстояния r 1 и r 2 от точката на хипербола до фокусите се наричат фокусни радиуси.

Ако фокусите на хиперболата са поставени върху оста OU, тогава нейното уравнение ще има формата

, или , (3).

Където А– въображаема полуос, b– валиден. Хиперболите (2) и (3) се наричат спрегнати. Те имат еднакви асимптоти.

По този начин, използвайки каноничното уравнение на хипербола, е лесно да се определи коя от осите е реална (оста, чиято квадратна променлива влиза в уравнението със знак плюс) и коя е въображаема (квадратът на съответната променлива влиза с минус знак).

Ако А = b, се нарича хипербола равностранен(равностранен), неговите асимптоти са перпендикулярни една на друга.

Определение 3.

Параболанаречен геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка(фокус) и от дадена права (директриса), лежаща в една и съща равнина.

Нека намерим уравнението на парабола, използвайки това определение.

Позволявам Р– разстояние между фокуса F и директрисата д. Нека подредим координатната система така, че директрисата да е успоредна на оста OU, фокусът да е върху оста OX, а началото на координатите да се намира в средата между фокуса и директрисата. Нека M( х, при) – текуща точка на параболата, фокус F( ,0), директрисно уравнение х=– , проекция на точка M върху директрисата – точка K(– , х). Тогава символното уравнение на параболата |FM| = |MK| в координатна форма ще приеме формата

След трансформациите получаваме при 2 = 2px.

Ако фокусът на параболата е поставен в точка F(– , 0), а директрисата се приема за права линия х= , тогава уравнението приема формата при 2 = –2px. Ето защо уравнение на канонична параболанаречено уравнение на формата

при 2 = 2px, (4)

Където Р– параметър с произволен знак.

Нека разгледаме местоположението на параболата, използвайки нейното канонично уравнение (4).

1) Преминава през началото (0, 0).

2) Кривата е симетрична спрямо оста OX: точки ( х, при) И ( х, –при) принадлежат на параболата. Оста OX се нарича оста на параболата.

3) Поради симетрията е достатъчно изследването да се проведе при при> 0. Разгледайте функцията за Р> 0 домейн на дефиниция на тази функция хО. Производните на тази функция са равни при¢ = , при¢¢= .За Р>0 тази функция нараства като хО(0, +¥), намалява като хО(–¥, 0), а в точката (0, 0) има минимум. За Р < 0, наоборот, при хО(0, +¥) намалява, когато хО(–¥, 0) нараства, в точката (0, 0) има максимум. Точката (0, 0) се извиква върха на параболата. При Р>0 и при при¢¢ < 0, значит, кривая выпуклая.

4) Въз основа на тези изследвания се появява следната крива

Ако фокусът на параболата е поставен върху оста OU, директрисата е начертана успоредно на оста OX, а началото на координатите все още е разположено в средата между фокуса и директрисата, тогава получаваме уравнението на парабола във формата

х 2 = 2RU, (5)

което се нарича още канонично уравнение на парабола. Тази парабола има началото на координатите като неин връх, оста на симетрия като ос на координатите; при Р>0 клоновете на параболата са насочени нагоре, при Р< 0 – вниз.

Свойства на кривите от втори ред

За всички разглеждани криви има основни характеристики: фокус.

Фокус на латински означава огнище. Свързани с огнищата на криви от втори ред са техните оптични свойства

Нека си представим, че една елипса, хипербола, парабола се върти около ос, съдържаща фокуси. В този случай се образува повърхност, която се нарича съответно елипсоид, хиперболоид или параболоид. Ако реална повърхност от този тип се покрие (от страната на фокуса) с амалгама, тогава ще се получи съответно елиптично, хиперболично или параболично огледало. Известните от физиката закони за отразяване на светлината ни позволяват да направим следните изводи:

1) Ако източник на светлина е поставен в един от фокусите на елиптично огледало, тогава неговите лъчи, отразени от огледалото, ще бъдат събрани в друг фокус.

Магьосниците използваха това свойство: поставиха източник на светлина в единия фокус на елиптично огледало, а в другия - запалимо вещество, което се запали без видими причини, което изуми публиката. Следователно думата „фокус“ ​​получи значението, в което сме свикнали да я използваме.

2) Ако източник на светлина се постави във фокуса на параболично огледало, тогава неговите лъчи, когато се отразяват, ще се движат успоредно на оста на параболата. На това се основава светлината на прожекторите.

3) Ако източник на светлина се постави в един от фокусите на хиперболично огледало, тогава неговите лъчи ще се движат така, сякаш идват от втория фокус.

Наред с фокусите, характерни компоненти на кривите от втори ред са директрисите и ексцентрицитетът.

Определение 4.

Направо дНаречен директоркакрива, ако отношението на разстоянието дот всяка точка на кривата до Лкъм разстоянието rот тази точка до фокуса F на кривата е постоянна стойност. Количеството се нарича ексцентричносткрив.

Елипса има две директриси д 1 и д 2, разположени извън елипсата и перпендикулярни на голямата ос (успоредна на малката) на елипсата.

Хиперболата също има две директриси, те са разположени между клоновете на хиперболата, перпендикулярни на реалната ос (успоредна на въображаемата ос).

Уравненията на директрисите на елипса и хипербола имат формата където А -голяма или реална полуос; директрисата и фокусът, разположени от едната страна на центъра на кривата, се наричат ​​съответстващи един на друг. Отношението на разстоянията от точката на кривата до съответните фокуси и директриси е постоянно.

Параболата има един фокус и една директриса, перпендикулярни на оста на параболата. Директрисните уравнения в зависимост от местоположението на фокуса имат вида .

Ексцентрицитетът от втори ред на кривата характеризира формата на тази крива. За елипса, ексцентричност e< 1, для гиперболы e >1, параболата има e = 1, окръжността има e = 0. Ако А– голяма или реална полуос, с– половината от фокусното разстояние, тогава ексцентрицитетът е равен на . Зависимостта на формата на крива от втори ред със същия фокус и директриса от ексцентрицитета е показана на фигурата.

Лекция 8. Линии от втори ред.

Конспект на лекцията

8.1. Окръжност, изследване на уравнението на окръжност.

8.2. Извеждане на каноничното уравнение на елипсата.

8.3. Хипербола и парабола, техните канонични уравнения.

8.4. Линии от втори ред. Редуциране на криви от втори ред до канонична форма.

8.5. Уравнение на полярната крива от втори ред.

Обиколкае множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка (центъра на окръжността) на разстояние, равно на радиуса на окръжността.

Фигура 8.1 Кръг.

Позволявам СЪС(a,c) – център на кръга, r– радиус на окръжността, М(x,y) – произволна точка от окръжността (Фигура 8.1). По дефиниция на кръг. Нека изразим това равенство в координати: . Нека повдигнем на квадрат двете страни:

. (8.1)

По този начин координатите на всяка точка, лежаща върху окръжността, удовлетворяват уравнение (8.1). Нека покажем, че координатите на точка, която не лежи върху окръжността, не удовлетворяват уравнение (8.1).

Наистина, ако точката М- вътре в кръга, тогава разстоянието, т.е. , и ако точката М- извън кръга, тогава, т.е. . Следователно уравнение (8.1) се удовлетворява от координатите на всички точки, лежащи на окръжността, а не от координатите на точките, които не лежат на окръжността. Следователно уравнение (81) е уравнение на окръжност.

Ако отворим скобите в уравнение (8.1), получаваме уравнението

Където , , .

Ако , тогава уравнение (8.2) определя окръжност.

Ако , тогава уравнение (8.2) определя точката .

Ако , тогава уравнение (8.2) няма геометричен смисъл. В този случай говорим за въображаем кръг.

Фигура 8.2 Кръг с

канонично уравнение

Уравнение (8.1) може да бъде опростено чрез поставяне на началото на новата координатна система в центъра на кръга (Фигура 8.2). Тогава уравнението му ще изглежда така:

Това уравнение се нарича канонично уравнение на окръжност , т.е. уравнение в най-проста форма.

Елипса е множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията до две дадени точки F 1 и F 2, наречени фокуси, е постоянна стойност (означава се 2а) и по-голямо от разстоянието между фокусите.

центъра на елипсата , защото елипсата е симетрична спрямо тази точка.

Дължина |F 1 F 2 | Наречен фокусно разстояние , нека го обозначим 2s, а половината от това разстояние се нарича половин фокусно разстояние , то е равно с.

Нека приемем центъра на елипсата като начало на координатите и правата, минаваща през фокусите, като абсцисната ос (Фигура 8.3).

Фигура 8.3. Елипса

Тогава координатите на фокусите ще бъдат F 1 (-c;0), F 2 (c;0). Всеки сегмент, свързващ две точки от елипса, ако минава през центъра, се нарича диаметър на елипсата . Най-големият диаметър минава през фокусите, този диаметър A 1 A 2 се нарича голямата ос на елипсата . Дължина на голямата ос на елипсата | A 1 A 2 |=2a. Всъщност, по дефиницията на елипса |F 1 A 2 |+|F 2 A 2 |=2a, Но |F 1 A 2 |=|OA 2 |+c, |F 2 A 2 |=|OA 2 |-c. Тогава получаваме 2|OA 2 |=2a,или |OA 2 |=a. По същия начин |A 1 O|=a, следователно, |A 1 A 2 |=2a. Номер АНаречен полу-голям вал . Най-малкият диаметър на елипсата е перпендикулярен на най-големия, т.нар малка ос на елипсата и се обозначава с 2б, Така |B 1 B 2 |=2b. Номер bНаречен второстепенна ос . Краищата на осите, т.е. точки A 1, A 2, B 1, B 2се наричат ​​върхове на елипсата. Основното свойство на елипсата се отнася и за върховете B 1 и B 2. Например за връх B 2 получаваме |F 1 B 2 |+|F 2 B 2 |=2a, и защото | F 1 B 2 |=|F 2 B 2 |, Че 2|F 2 B 2 |=2a, или |F 2 B 2 |=a. Тогава от правоъгълника ∆OF 2 B 2 получаваме важна връзка:

(8.4)

Форма на елипса за даденост Азависи само от разстоянието между огнищата, т.е. от с. Тъй като фокусите се приближават и съвпадат с началото на координатите, елипсата постепенно ще се превърне в кръг. Напротив, ако огнищата се отдалечат от началото, елипсата постепенно се сплесква и се изражда в прав сегмент A 1 A 2. Степента на компресия на една елипса се определя от нейната ексцентричност , което се определя от дробта:

За елипса ексцентрицитетът може да варира от 0 до 1, а за кръг, за елипса, която се е изродила в прав сегмент, .

За да получим каноничното уравнение на елипсата, вземаме произволна точка от елипсата M(x,y). Тогава по дефиниция |MF 1 |+|MF 2 |=2a. Нека изразим това равенство в координати:

За да опростите уравнение (8.6), ще трябва да го повдигнете на квадрат два пъти и да добавите подобни членове. Резултатът ще бъде уравнението

или след разделяне на –

Конструкцията на елипса, според нейната дефиниция, може да се извърши с помощта на нишка с дължина 2а, фиксирани в краищата във фокусите. Като закачим конеца с върха на молив и го преместим така, че конецът винаги да е опънат, ще принудим върха да начертае елипса.

Хиперболае множеството от всички точки на равнината, абсолютната стойност на разликата в разстоянията до две дадени точки и , наречени фокуси, е постоянна стойност (означава се 2а) и по-малки разстояния между фокусите ( 2s).

Средната точка на разстоянието между фокусите се нарича центъра на хиперболата , тъй като хиперболата е симетрична по отношение на тази точка. Дължина - нар фокусно разстояние , и половината от това разстояние половин фокусно разстояние . Удобно е да вземете центъра на хиперболата като начало на координатите и да вземете правата линия, минаваща през фокусите, като абсцисната ос (Фигура 8.4).

Всеки сегмент, свързващ две точки на хипербола и минаващ през центъра, се нарича диаметър на хиперболата . Най-малкият диаметър лежи на оста x; този диаметър се нарича реална ос хиперболи и . Наистина, по дефиниция на хипербола , Но , , тогава или . По същия начин, следователно,.

Номерът се нарича реална полуос , точките се наричат върхове на хипербола . Отношението се нарича ексцентричност на хиперболата , и за хипербола.

Фигура 8.4. Хипербола

Нека е произволна точка от хиперболата. Тогава по дефиниция , или в координатна форма

Уравнение (8.8), в резултат на трансформации, подобни на тези, извършени при извличане на уравнението на елипса, може да бъде намалено до формата:

.

Означавайки , получаваме канонично уравнение на хипербола :

Директни са асимптоти на хипербола . Това са линиите, които хиперболата се приближава в безкрайност, но не се пресичат. . СЪС геометрична точкаизглед - ординатата на асимптотата, възстановена от върха на хиперболата. За да се построят асимптотите на хипербола, препоръчително е първо да се построи правоъгълник със страни и успоредни на координатните оси и с център в началото (такъв правоъгълник се нарича главен правоъгълник на хиперболата). Точки и дефинирайте въображаема ос хипербола.

Ако в уравнение (8.9), тогава хиперболата се нарича равностранен . Асимптотите му образуват прав ъгъл. Ако вземем асимптотите като оси, тогава уравнението приема формата . По този начин равностранната хипербола е графика на обратна пропорционалност.

Обърнете внимание, че уравнението

(8.10)

също дефинира хипербола, чиято реална ос е разположена върху оста, а въображаемата ос е разположена върху оста.

Параболае множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка (наречена фокус параболи) и от дадена линия (нар директорка параболи).

За да изведем каноничното уравнение на парабола, начертаваме оста на правоъгълната координатна система през фокуса, перпендикулярен на директрисата, и поставяме началото на координатите на равни разстояния от фокуса и директрисата (Фигура 8.5). Разстоянието от фокуса до директрисата означаваме с (нарича се параметър на параболата). Тогава и директрисата е дадена от уравнението. Нека е произволна точка на параболата. Нека спуснем перпендикуляр към директрисата. Тогава по дефиниция. Нека изразим това условие в координати:

.

Фигура 8.5. Парабола.

Квадратура и привеждане на подобни, получаваме уравнение на канонична парабола :

Върхапарабола е пресечната точка на парабола с нейната ос на симетрия. Оста на симетрия на парабола се нарича ос на параболата. Параболата, определена от уравнение (8.11), има ос, съвпадаща с оста.

Обърнете внимание, че уравнението определя парабола, която е симетрична спрямо оста.

Има тясна връзка между елипсата, хиперболата и параболата. Това се обяснява с факта, че всички те са линии от втори ред. Всички тези линии могат да бъдат получени чрез пресичане на прав кръгов конус с равнина, въртяща се около ос, избрана, например, перпендикулярна на оста на конуса (Фигура 8.6). Докато наклонът е малък, напречното сечение води до елипса. С увеличаване на наклона елипсата се удължава и нейният ексцентрицитет нараства. Когато равнината е наклонена спрямо оста на конуса по същия начин като образуващите, в сечението се получава парабола. Накрая, когато равнината пресича двете половини на конуса, сечението ще има хипербола. Поради тази причина елипсата, хиперболата и параболата понякога се наричат ​​конични сечения.

Фигура 8.6. Свързаност на кривите от втори ред.

Връзката между тези линии се дължи на факта, че всички те са дадени от уравнение от втора степен и следователно имат общото име линии (или извивки ) втора поръчка .

Общо уравнениелинии от втори реднаречено уравнение на формата

. (8.12)

Чрез трансформиране на координатите това уравнение може да се доведе до канонична форма. Нека завъртим координатните оси под ъгъл, използвайки формулите:

(8.13)

Избираме ъгъла така, че да получим уравнение, което не съдържа произведението на координатите. За да направим това, заместваме (8.13) в (8.12) и приравняваме коефициента за към . В резултат на това получаваме уравнение за определяне на ъгъла на завъртане:

. (8.15)

Формула (8.15) дефинира 4 възможни стойности за всяка от които ни позволява да редуцираме уравнение (8.12) до формата:

(8.16)

Ако , тогава уравнение (8.16) може да се сведе до формата:

което, използвайки паралелна транслация на началото на координатите

сведен до каноничен вид.

Ако тези. или , тогава уравнение (8.16) може да се редуцира до формата.

Нека разгледаме проблема за редуциране на уравнението на линия от втори ред до най-простата (канонична) форма.

Спомнете си, че алгебрична линия от втори ред е геометрично място на точки в равнина, която във всяка афинна координатна система Ox_1x_2 може да бъде определена чрез уравнение от формата p(x_1,x_2)=0, където p(x_1,x_2) е полином от втора степен на две променливи Ox_1x_2. Необходимо е да се намери правоъгълна координатна система, в която уравнението на правата да приеме най-простата форма.

Резултатът от решаването на поставената задача е следната основна теорема (3.3)

Класификация на алгебрични линии от втори ред (теорема 3.3)

За всяка алгебрична линия от втори ред има правоъгълна координатна система Oxy, в която уравнението на тази линия приема една от следните девет канонични форми:

Теорема 3.3 дава аналитични дефиниции на линии от втори ред. Съгласно параграф 2 от Забележки 3.1 линиите (1), (4), (5), (6), (7), (9) се наричат ​​реални (реални), а линиите (2), (3), ( 8) - въображаем.

Нека представим доказателството на теоремата, тъй като тя всъщност съдържа алгоритъм за решаване на поставената задача.

Без загуба на общност можем да приемем, че уравнението на правата от втори ред е дадено в правоъгълната координатна система Oxy. В противен случай можете да преминете от неправоъгълната координатна система Ox_1x_2 към правоъгълната Oxy и уравнението на правата ще има същата форма и същата степен съгласно теорема 3.1 за инвариантността на реда на алгебричната права.

Нека алгебричната линия от втори ред в правоъгълната координатна система Oxy е дадена от уравнението

A_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,

в който поне един от водещите коефициенти a_(11),a_(12),a_(22)е различно от нула, т.е. лявата страна на (3.34) е полином от две променливи x,y от втора степен. Коефициентите при първите степени на променливите x и y, както и техният продукт x\cdot y, се приемат като удвоени просто за удобство на по-нататъшни трансформации.

За да се приведе уравнение (3.34) в канонична форма, се използват следните трансформации на правоъгълни координати:

– завъртане на ъгъл \varphi

\begin(cases)x=x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\y=x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi;\end( случаи)

– паралелен трансфер

\begin(cases)x=x_0+x",\\y=y_0+y";\end(cases)

– промяна в посоките на координатните оси (отражения в координатните оси):

у-ос \begin(cases)x=x",\\y=-y",\end(cases)ос х \begin(cases)x=-x",\\y=y",\end(cases)двете оси \begin(cases)x=-x",\\y=-y";\end(cases)

– преименуване на координатни оси (отражение в правата линия y=x)

\begin(cases)x=y",\\y=x",\end(cases)

където x,y и x",y" са координатите на произволна точка съответно в старата (Oxy) и новата O"x"y" координатни системи.

В допълнение към трансформирането на координатите, двете страни на уравнението могат да бъдат умножени по ненулево число.

Нека първо разгледаме специални случаи, когато уравнение (3.34) има формата:

\begin(aligned) &\mathsf((I)\colon)~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\ &\mathsf((II)\colon)~ \lambda_2\cdot y ^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\ &\mathsf((III)\colon)~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2 +a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \край (подравнено)

Тези уравнения (също полиноми от лявата страна) се наричат ​​редуцирани. Нека покажем, че горните уравнения (I), (II), (III) се свеждат до каноничните (1)–(9).

Уравнение (I).Ако в уравнение (I) свободният член е равен на нула (a_0=0), тогава като разделим двете страни на уравнението \lambda_2y^2=0 на водещия коефициент (\lambda_0\ne0), получаваме y^2= 0 - уравнение на две съвпадащи прави(9), съдържаща оста x y=0. Ако свободният член е различен от нула a_0\ne0, тогава разделяме двете страни на уравнение (I) на водещия коефициент (\lambda_2\ne0): y^2+\frac(a_0)(\lambda_2)=0. Ако стойността е отрицателна, тогава я обозначаваме с -b^2, където b=\sqrt(-\frac(a_0)(\lambda_2)), получаваме y^2-b^2=0 - уравнение на двойка успоредни прави(7): y=b или y=-b. Ако стойността \frac(a_0)(\lambda_2)положителен, след което го обозначаваме с b^2, където b=\sqrt(\frac(a_0)(\lambda_2)), получаваме y^2+b^2=0 - уравнение на двойка въображаеми успоредни прави(8). Това уравнение няма реални решения, така че координатна равнинаняма точки, съответстващи на това уравнение. Въпреки това в района комплексни числауравнението y^2+b^2=0 има две спрегнати решения y=\pm ib, които са илюстрирани с пунктирани линии (вижте параграф 8 от теорема 3.3).

Уравнение (II).Разделете уравнението на водещия коефициент (\lambda_2\ne0) и преместете линейния член на правилната страна: y^2=-\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x. Ако стойността е отрицателна, тогава, обозначавайки p=-\frac(a_1)(\lambda_2)>0, получаваме y^2=2px - уравнение на парабола(6). Ако стойността \frac(a_1)(\lambda_2)положителен, след това чрез промяна на посоката на абсцисната ос, т.е. Извършвайки второто преобразуване в (3.37), получаваме уравнението (y")^2=\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x"или (y")^2=2px" , където p=\frac(a_1)(\lambda_2)>0. Това е уравнението на парабола в нова системакоординати Ox"y" .

Уравнение (III).Възможни са два случая: или водещите коефициенти са с един и същи знак (елиптичен случай), или с противоположни знаци (хиперболичен случай).

В елипсовиден случай (\lambda_1\lambda_2>0)

\mathsf((III))\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1

Знакът е противоположен на a_0, тогава означава положителни количества и \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 - уравнение на елипса (1).

Ако знакът на водещите коеф \ламбда_1,\ламбда_2съвпада със знака a_0, тогава, обозначавайки положителни стойности \frac(a_0)(\lambda_1)И \frac(a_0)(\lambda_2)чрез a^2 и b^2, получаваме -\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1~\Leftrightarrow~\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^ 2)(b^2)=-1 - уравнение на въображаема елипса(2). Това уравнение няма реални решения. Той обаче има решения в областта на комплексните числа, които са илюстрирани с пунктираната линия (вижте параграф 2 от теорема 3.3).

Можем да приемем, че в уравненията на елипса (реална или имагинерна) коефициентите удовлетворяват неравенството a\geqslant b , в противен случай това може да се постигне чрез преименуване на координатните оси, т.е. извършване на трансформацията (3.38) на координатната система.

Ако свободният член на уравнение (III) е равен на нула (a_0=0), тогава, означавайки положителни количества \frac(1)(|\lambda_1|)И \frac(1)(|\lambda_2|)чрез a^2 и b^2, получаваме \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=0 - уравнение на двойка въображаеми пресичащи се прави(3). Това уравнение се удовлетворява само от точка с координати x=0 и y=0, т.е. точка O е началото. Въпреки това, в областта на комплексните числа, лявата страна на уравнението може да бъде факторизирана \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(y)(b)+i\,\frac(x)(a)\ дясно)\!\!\ляво(\frac(y)(b)-i\,\frac(x)(a)\дясно), следователно уравнението има спрегнати решения y=\pm i\,\frac(b)(a)\,x, които са илюстрирани с пунктирани линии, пресичащи се в началото (виж параграф 3 от теорема 3.3).

В хиперболичния случай (\lambda_1,\lambda_2<0) за a_0\ne0 преместваме свободния член в дясната страна и разделяме двете страни на -a_0\ne0 :

\mathsf((III))\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1.

Количества \frac(-a_0)(\lambda_1)И \frac(-a_0)(\lambda_2)имат противоположни знаци. Без загуба на общност приемаме, че знакът на \lambda_2 съвпада със знака на свободния член a_0, т.е. \frac(a_0)(\lambda_2)>0. В противен случай трябва да преименувате координатните оси, т.е. направете трансформация (3.38) на координатната система. Означаване на положителни величини \frac(-a_0)(\lambda_1)И \frac(a_0)(\lambda_2)чрез a^2 и b^2, получаваме \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 - уравнение на хипербола (4).

Нека свободният член в уравнение (III) е нула (a_0=0). Тогава можем да приемем, че \lambda_1>0 и \lambda_2<0 (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины \frac(1)(\lambda_1)И -\frac(1)(\lambda_2)чрез a^2 и b^2, получаваме \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=0 - уравнение на двойка пресичащи се прави(5). Уравненията на линиите се намират чрез разлагане на лявата страна на уравнението

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(x)(a)-\frac(y)(b)\right)\ !\!\left(\frac(x)(a)+\frac(y)(b)\right)=0, това е y=\pm\frac(b)(a)\cdot x

Така дадените уравнения (I), (II), (III) на алгебричната линия от втори ред се свеждат до една от каноничните форми (1)–(9), изброени в теорема 3.3.

Остава да се покаже, че общото уравнение (3.34) може да се сведе до дадените чрез трансформации на правоъгълната координатна система.

Опростяването на общото уравнение (3.34) се извършва на два етапа. На първия етап, чрез завъртане на координатната система, членът с произведението на неизвестните се „унищожава“. Ако няма произведение на неизвестни (a_(12)=0), тогава няма нужда да правим ротация (в този случай отиваме направо към втория етап). На втория етап, използвайки паралелен трансфер, един или двата термина от първа степен се „унищожават“. В резултат се получават следните уравнения (I), (II), (III).

Първи етап:трансформация на уравнението на права от втори ред при завъртане на правоъгълна координатна система.

Ако коефициентът е a_(12)\ne0 , завъртаме координатната система на ъгъл \varphi . Замествайки изрази (3.35) в уравнение (3.34), получаваме:

\begin(gathered) a_(11)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)^2+2a_(12)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)(x"\ sin\varphi+y"\cos\varphi)+a_(22)(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)^2+\\ +2a_1(x"\cos\varphi-y"\sin \varphi)+2a_2(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+a_0=0. \край (събрано)

Привеждайки подобни членове, стигаме до уравнение от вида (3.34):

A"_(11)(x")^2+2a"_(12)x"y"+a"_(22)(y")^2+2a"_1x"+2a"_2y"+a"_0 =0,

\begin(aligned)a"_(11)&=a_(11)\cos^2\varphi+2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\sin^2\varphi;\\ a"_(12)&=-a_(11)\cos\varphi\sin\varphi+a_(12)(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_(22)\cos\varphi \sin\varphi;\\a"_(22)&=a_(11)\sin^2\varphi-2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\cos^2\varphi; \\ a"_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a"_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a"_0=a_0. \край (подравнено)

Нека дефинираме ъгъла \varphi така, че a"_(12)=0. Нека трансформираме израза за a"_(12), като се преместим към двоен ъгъл:

A"_(12)= -\frac(1)(2)\,a_(11)\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi+\frac(1)(2)\,a_(22)\ sin2\varphi= \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi.

Ъгълът \varphi трябва да удовлетворява хомогенното тригонометрично уравнение \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi=0, което е еквивалентно на уравнението

\operatorname(ctg)2\varphi=\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12)),

тъй като a_(12)\ne 0 . Това уравнение има безкраен брой корени

\varphi=\frac(1)(2)\име на оператор(arcctg)\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12))+\frac(\pi)(2)\,n, \ четириъгълник n\in\mathbb(Z).

Нека изберем някой от тях, например ъгъл \varphi от интервала 0<\varphi<\frac{\pi}{2} . Тогава членът 2a"_(12)x"y" ще изчезне в уравнение (3.39), тъй като a"_(12)=0.

Означавайки останалите водещи коефициенти с \lambda_1= a" и \lambda_2=a"_(22) , получаваме уравнението

\lambda_1\cdot(x")^2+\lambda_2\cdot(y")^2+2\cdot a"_1\cdot x"+2\cdot a"_2\cdot y"+a"_0=0.

Съгласно теорема 3.1 уравнение (3.41) е уравнение от втора степен (при трансформация (3.35), редът на правата се запазва), т.е. поне един от водещите коефициенти \lambda_1 или \lambda_2 е различен от нула. Освен това ще приемем, че коефициентът при (y")^2 не е равен на нула (\lambda_2\ne0). В противен случай (с \lambda_2=0 и \lambda_1\ne0) координатната система трябва да се завърти с ъгъл \varphi+\frac(\pi)(2), което също удовлетворява условието (3.40). Тогава вместо координатите x",y" в (3.41) получаваме съответно y",-x", т.е. ненулевият коефициент \lambda_1 ще бъде при (y")^2.

Втора фаза:преобразуване на уравнението на права от втори ред с паралелна транслация на правоъгълна координатна система.

Уравнение (3.41) може да бъде опростено чрез изолиране на идеални квадрати. Има два случая за разглеждане: \lambda_1\ne0 или \lambda_1=0 (според предположението \lambda_2\ne0 ), които се наричат ​​централни (включително елиптични и хиперболични случаи) или съответно параболични. Геометричното значение на тези имена се разкрива по-нататък.

Централен регистър: \lambda_1\ne0 и \lambda_2\ne0 . Избирайки пълни квадрати върху променливите x",y", получаваме

\begin(gathered)\lambda_1\left[(x")^2+2\,\frac(a"_1)(\lambda_1)\,x"+(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1 )\надясно)\^2\right]+ \lambda_2\left[(y")^2+2\,\frac{a"_2}{\lambda_2}\,y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x"+\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0. \end{gathered} !}

След замяна на променливи

\left\(\begin(aligned) x""&=x"+\frac(a"_1)(\lambda_1),\\ y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2) ,\end(aligned)\right.

получаваме уравнението

\lambda_1\,(x"")^2+\lambda_2\,(y"")^2+a""_0=0,

Където a""_0=-\lambda_1(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1)\десен)\^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0 !}.

Параболичен случай: \lambda_1=0 и \lambda_2\ne0. Избирайки пълен квадрат в променливата y", получаваме

\begin(gathered) \lambda_2\left[(y")^2+2\cdot\frac(a"_2)(\lambda_2)\cdot y"+(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2 )\надясно)\^2\right]+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0.\end{gathered} !}

Ако a"_1\ne0 , тогава последното уравнение се редуцира до формата

\lambda_2(\left(y"+ \frac(a"_2)(\lambda_2)\right)\^2+ 2\cdot a"_1\left=0. !}

Чрез промяна на променливи

\left\(\begin(aligned) x""&=x"+\frac(a"_0)(2a"_1)- \frac(\lambda_2)(2a"_1)(\left(\frac(a" _2)(\ламбда_2)\вдясно)\^2,\\ y""&=y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right. !}

получаваме къде a""_1=a"_1

\lambda_2\cdot(y"")^2+2\cdot a""_1\cdot x""=0,

Ако a"_1=0, тогава уравнение (3.44) се редуцира до формата където a""_0=-\lambda_2(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2) \right)\^2+a"_0 !},

\lambda_2\cdot(y"")^2+a""_0,

\left\(\begin(aligned)x""&=x",\\y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2).\end(aligned)\right.

Промените на променливите (3.42), (3.45), (3.48) съответстват на паралелна транслация на координатната система Ox"y" (виж параграф 1 "а" от забележки 2.3).

По този начин, използвайки паралелен трансфер на координатната система Ox"y" получаваме нова координатна система O""x""y"", в която уравнението на линията от втори ред приема формата (3.43), или (3.46 ), или (3.47). Тези уравнения са редуцирани (съответно във формата (III), (II) или (I).

Основната теорема 3.3 за привеждане на уравнението на алгебрична права от втори ред до канонична форма е доказана.

Бележки 3.8

1. Координатна система, в която уравнението на алгебрична линия от втори ред има канонична форма, се нарича канонична. Каноничната координатна система е дефинирана двусмислено. Например, чрез промяна на посоката на оста y към противоположната, ние отново получаваме канонична координатна система, тъй като заместването на променливата y с (-y) не променя уравненията (1)–(9). Следователно ориентацията на каноничната координатна система не е от основно значение, тя винаги може да бъде направена вдясно чрез промяна на посоката на ординатната ос, ако е необходимо.

2. По-рано беше показано, че трансформациите на правоъгълни координатни системи в равнина се свеждат до една от трансформациите (2.9) или (2.10):

\begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi , \end(cases)\quad \begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi+y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi- y"\cdot\cos\varphi.\end(cases)

Следователно задачата за привеждане на уравнението на линия от втори ред до канонична форма се свежда до намиране на началото O"(x_0,y_0) на каноничната координатна система O"x"y" и ъгъла \varphi на наклона на неговата абсцисна ос O"x" към абсцисната ос Ox на първоначалната координатна система Oxy.

3. В случаите (3), (5), (7), (8), (9) линиите се наричат ​​разлагащи, тъй като съответните полиноми от втора степен се разлагат в произведението на полиноми от първа степен.

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!

Линии от втори ред.
Елипса и нейното канонично уравнение. кръг

След задълбочено проучване прави линии в равнинатаПродължаваме да изучаваме геометрията на двуизмерния свят. Залозите са удвоени и ви каня да посетите живописна галерия от елипси, хиперболи, параболи, които са типични представители линии от втори ред. Екскурзията вече започна и първо кратка информация за цялата изложба на различните етажи на музея:

Концепцията за алгебрична права и нейния ред

Права на равнина се нарича алгебричен, ако в афинна координатна системауравнението му има формата , където е полином, състоящ се от членове на формата ( – реално число, – неотрицателни цели числа).

Както можете да видите, уравнението на алгебрична линия не съдържа синуси, косинуси, логаритми и друг функционален бомонд. Влизат само X и Y неотрицателни цели числастепени.

Ред на линияравен на максималната стойност на включените в него условия.

Съгласно съответната теорема концепцията за алгебрична линия, както и нейният ред, не зависят от избора афинна координатна система, следователно, за по-лесно съществуване, приемаме, че всички последващи изчисления се извършват в Декартови координати.

Общо уравнениередът от втори ред има формата , където – произволни реални числа (Прието е да се пише с коефициент две), а коефициентите не са равни на нула в същото време.

Ако , тогава уравнението се опростява до , и ако коефициентите не са равни на нула в същото време, тогава това е точно общо уравнение на "плоска" линия, което представлява първа линия за поръчка.

Мнозина разбраха значението на новите термини, но въпреки това, за да овладеем материала на 100%, ние пъхаме пръстите си в гнездото. За да определите реда на редовете, трябва да повторите всички условиянеговите уравнения и намерете за всяко от тях сбор от градусивходящи променливи.

Например:

терминът съдържа “x” на 1-ва степен;
терминът съдържа "Y" на 1-ва степен;
В члена няма променливи, така че сумата от техните степени е нула.

Сега нека разберем защо уравнението определя правата второпоръчка:

членът съдържа “x” на 2-ра степен;
събираемото е сумата от степените на променливите: 1 + 1 = 2;
членът съдържа "Y" на 2-ра степен;
всички други условия - по-малкостепени.

Максимална стойност: 2

Ако добавим допълнително, да речем, към нашето уравнение, тогава то вече ще определи линия от трети ред. Очевидно е, че общата форма на уравнението на линията от 3-ти ред съдържа „пълен набор“ от членове, сумата от степените на променливите, в които е равна на три:
, където коефициентите не са равни на нула едновременно.

В случай, че добавите един или повече подходящи термини, които съдържат , тогава вече ще говорим за Линии от 4-ти реди т.н.

Ще трябва да срещнем алгебрични линии от 3-ти, 4-ти и по-високи порядъци повече от веднъж, по-специално, когато се запознаем с полярна координатна система.

Нека обаче се върнем към общото уравнение и си припомним най-простите му училищни варианти. Като примери възниква парабола, чието уравнение може лесно да се сведе до общ вид, и хипербола с еквивалентно уравнение. Не всичко обаче е толкова гладко...

Съществен недостатък на общото уравнение е, че почти винаги не е ясно коя права определя. Дори в най-простия случай няма веднага да разберете, че това е хипербола. Такива оформления са добри само на маскарад, така че типичен проблем се разглежда в хода на аналитичната геометрия привеждане на уравнението на линията от 2-ри ред до канонична форма.

Каква е каноничната форма на уравнение?

Това е общоприетата стандартна форма на уравнение, когато за секунди става ясно какъв геометричен обект определя. В допълнение, каноничната форма е много удобна за решаване на много практически задачи. Така, например, според каноничното уравнение "плоска" права, първо, веднага става ясно, че това е права линия, и второ, точката, принадлежаща към нея, и векторът на посоката са лесно видими.

Очевидно е, че всяка 1-ва линия за поръчкае права линия. На втория етаж вече не ни чака пазачът, а много по-разнообразна компания от девет статуи:

Класификация на линии от втори ред

Използвайки специален набор от действия, всяко уравнение на линия от втори ред се редуцира до една от следните форми:

(и са положителни реални числа)

1) – канонично уравнение на елипсата;

2) – канонично уравнение на хипербола;

3) – канонично уравнение на парабола;

4) – въображаемелипса;

5) – двойка пресичащи се прави;

6) – двойка въображаемпресичащи се линии (с една валидна пресечна точка в началото);

7) – двойка успоредни прави;

8) – двойка въображаемпаралелни линии;

9) – двойка съвпадащи линии.

Някои читатели може да имат впечатлението, че списъкът е непълен. Например в точка № 7 уравнението уточнява двойката директен, успоредна на оста, и възниква въпросът: къде е уравнението, което определя правите, успоредни на ординатната ос? Отговор: то не се считат за канонични. Правите линии представляват същия стандартен случай, завъртян на 90 градуса, а допълнителният запис в класификацията е излишен, тъй като не носи нищо принципно ново.

По този начин има девет и само девет различни типа линии от 2-ри ред, но на практика най-често срещаните са елипса, хипербола и парабола.

Нека първо да разгледаме елипсата. Както обикновено, аз се съсредоточавам върху тези точки, които са от голямо значение за решаването на задачи, и ако имате нужда от подробно извеждане на формули, доказателства на теореми, моля, обърнете се към учебника на Базилев/Атанасян или Александров.

Елипса и нейното канонично уравнение

Правопис... моля, не повтаряйте грешките на някои потребители на Yandex, които се интересуват от „как да се изгради елипса“, „разликата между елипса и овал“ и „ексцентричността на елипса“.

Каноничното уравнение на елипса има формата , където са положителни реални числа и . По-късно ще формулирам самата дефиниция на елипса, но засега е време да си дам почивка от магазина за говорене и да реша общ проблем:

Как да изградим елипса?

Да, просто го вземете и просто го нарисувайте. Задачата се появява често и значителна част от учениците не се справят правилно с чертежа:

Пример 1

Построете елипсата, дадена от уравнението

Решение: Първо, нека приведем уравнението в канонична форма:

Защо да донесе? Едно от предимствата на каноничното уравнение е, че ви позволява незабавно да определите върховете на елипсата, които са разположени в точки. Лесно се вижда, че координатите на всяка от тези точки удовлетворяват уравнението.

В такъв случай :


Линеен сегментНаречен главна оселипса;
линейна отсечка – второстепенна ос;
номер Наречен полу-голям валелипса;
номер – второстепенна ос.
в нашия пример: .

За да си представите бързо как изглежда определена елипса, просто погледнете стойностите на „a“ и „be“ на нейното канонично уравнение.

Всичко е наред, гладко и красиво, но има едно предупреждение: направих рисунката с помощта на програмата. И можете да направите рисунката с помощта на всяко приложение. В суровата реалност обаче на масата има карирано листче, а мишките танцуват в кръг по ръцете ни. Хората с артистичен талант, разбира се, могат да спорят, но вие също имате мишки (макар и по-малки). Не напразно човечеството е изобретило линийка, компас, транспортир и други прости устройства за рисуване.

Поради тази причина е малко вероятно да успеем да начертаем точно елипса, познавайки само върховете. Всичко е наред, ако елипсата е малка, например с полуоси. Като алтернатива можете да намалите мащаба и съответно размерите на чертежа. Но като цяло е много желателно да се намерят допълнителни точки.

Има два подхода за построяване на елипса - геометричен и алгебричен. Не харесвам конструирането с пергел и линийка, защото алгоритъмът не е най-краткият и чертежът е значително претрупан. В случай на спешност, моля, обърнете се към учебника, но в действителност е много по-рационално да използвате инструментите на алгебрата. От уравнението на елипсата в черновата бързо изразяваме:

След това уравнението се разделя на две функции:
– определя горната дъга на елипсата;
– определя долната дъга на елипсата.

Елипса, дефинирана от каноничното уравнение, е симетрична по отношение на координатните оси, както и по отношение на началото. И това е страхотно - симетрията почти винаги е предвестник на безплатните. Очевидно е достатъчно да се справим с 1-вата координатна четвърт, така че имаме нужда от функцията . Моли да се намерят допълнителни точки с абсцисите . Нека докоснем три SMS съобщения на калкулатора:

Разбира се, също така е хубаво, че ако се направи сериозна грешка в изчисленията, това веднага ще стане ясно по време на строителството.

Нека маркираме точките на чертежа (червено), симетричните точки на останалите дъги (синьо) и внимателно да свържем цялата компания с линия:


По-добре е да нарисувате първоначалната скица много тънко и едва след това да приложите натиск с молив. Резултатът трябва да е доста прилична елипса. Между другото, бихте ли искали да знаете каква е тази крива?

Дефиниция на елипса. Фокус на елипса и ексцентричност на елипса

Елипса е специален случай на овал. Думата „овал“ не трябва да се разбира във филистимския смисъл („детето нарисува овал“ и т.н.). Това е математически термин, който има подробна формулировка. Целта на този урок не е да разглежда теорията на овалите и различните им типове, на които практически не се обръща внимание в стандартния курс по аналитична геометрия. И в съответствие с по-актуалните нужди веднага преминаваме към стриктната дефиниция на елипса:

Елипсае множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията до всяка от които от две дадени точки, т.нар. триковеелипса, е постоянна величина, числено равна на дължината на голямата ос на тази елипса: .
В този случай разстоянията между фокусите са по-малки от тази стойност: .

Сега всичко ще стане по-ясно:

Представете си, че синята точка „пътува“ по елипса. Така че, без значение коя точка от елипсата вземем, сумата от дължините на сегментите винаги ще бъде една и съща:

Нека се уверим, че в нашия пример стойността на сумата наистина е равна на осем. Мислено поставете точката „хм“ в десния връх на елипсата, след това: , което трябва да се провери.

Друг метод за рисуване се основава на дефиницията на елипса. Висшата математика понякога е причина за напрежение и стрес, така че е време за още една разтоварваща сесия. Моля, вземете ватман или голям лист картон и го закрепете на масата с два пирона. Това ще са трикове. Завържете зелен конец към стърчащите глави на ноктите и го издърпайте докрай с молив. Оловото на молива ще завърши в определена точка, която принадлежи на елипсата. Сега започнете да движите молива по листа хартия, като държите зеления конец опънат. Продължете процеса, докато се върнете в началната точка... страхотно... рисунката може да бъде проверена от лекаря и учителя =)

Как да намерим фокусите на елипса?

В горния пример изобразих „готови“ фокусни точки и сега ще научим как да ги извличаме от дълбините на геометрията.

Ако една елипса е дадена от канонично уравнение, тогава нейните фокуси имат координати , къде е разстоянието от всеки фокус до центъра на симетрия на елипсата.

Изчисленията са по-прости от прости:

! Конкретните координати на огнища не могат да се идентифицират със значението на “це”!Повтарям, че това е РАЗСТОЯНИЕ от всеки фокус до центъра(който в общия случай не е задължително да се намира точно в началото).
И следователно разстоянието между фокусите също не може да бъде обвързано с каноничната позиция на елипсата. С други думи, елипсата може да бъде преместена на друго място и стойността ще остане непроменена, докато фокусите естествено ще променят своите координати. Моля, вземете това предвид, докато проучвате по-нататък темата.

Ексцентричност на елипса и нейното геометрично значение

Ексцентричността на елипса е съотношение, което може да приема стойности в диапазона.

В нашия случай:

Нека да разберем как формата на елипсата зависи от нейния ексцентричност. За това фиксирайте левия и десния върхна разглежданата елипса, т.е. стойността на голямата полуос ще остане постоянна. Тогава формулата за ексцентричност ще приеме формата: .

Нека започнем да доближаваме стойността на ексцентричността до единица. Това е възможно само ако. Какво означава? ...помнете триковете . Това означава, че фокусите на елипсата ще се „раздалечат“ по абсцисната ос към страничните върхове. И тъй като „зелените сегменти не са гумени“, елипсата неизбежно ще започне да се изравнява, превръщайки се във все по-тънка и по-тънка наденица, нанизана на ос.

По този начин, колкото по-близо е стойността на ексцентричността на елипсата до единица, толкова по-удължена е елипсата.

Сега нека моделираме обратния процес: фокусите на елипсата вървяха един към друг, приближавайки се към центъра. Това означава, че стойността на “ce” става все по-малка и съответно ексцентричността клони към нула: .
В този случай „зелените сегменти“, напротив, ще „се претъпкат“ и ще започнат да „бутат“ линията на елипсата нагоре и надолу.

По този начин, Колкото по-близка е стойността на ексцентричността до нула, толкова по-подобна е елипсата... разгледайте ограничаващия случай, когато фокусите са успешно обединени отново в началото:

Кръгът е частен случай на елипса

Наистина, в случай на равенство на полуосите, каноничното уравнение на елипсата приема формата , което рефлексивно се трансформира в уравнението на окръжност с център в началото на радиус "а", добре познато от училище.

На практика по-често се използва обозначението с „говорещата“ буква „ер“: . Радиусът е дължината на сегмент, като всяка точка на окръжността е отдалечена от центъра на радиус.

Обърнете внимание, че определението за елипса остава напълно правилно: фокусите съвпадат и сумата от дължините на съвпадащите сегменти за всяка точка от окръжността е константа. Тъй като разстоянието между фокусите е , тогава ексцентричността на всеки кръг е нула.

Конструирането на кръг е лесно и бързо, просто използвайте компас. Понякога обаче е необходимо да разберете координатите на някои от неговите точки, в този случай вървим по познатия начин - привеждаме уравнението до веселата форма на Матанов:

– функция на горния полукръг;
– функция на долния полукръг.

След това намираме необходимите стойности, диференцират, интегрирами прави други добри неща.

Статията, разбира се, е само за справка, но как можете да живеете в света без любов? Творческа задача за самостоятелно решаване

Пример 2

Съставете каноничното уравнение на елипса, ако са известни един от нейните фокуси и малка полуос (центърът е в началото). Намерете върхове, допълнителни точки и начертайте линия в чертежа. Изчислете ексцентричността.

Решение и рисунка в края на урока

Нека добавим действие:

Завъртете и паралелно преместете елипса

Нека се върнем към каноничното уравнение на елипсата, а именно към условието, чиято мистерия измъчва любознателните умове от първото споменаване на тази крива. Така че разгледахме елипсата , но не е ли възможно на практика да се изпълни уравнението ? Все пак и тук май е елипса!

Този вид уравнение е рядко, но се среща. И всъщност дефинира елипса. Нека демистифицираме:

В резултат на конструкцията се получи нашата родна елипса, завъртяна на 90 градуса. Това е, - Това неканоничен записелипса . запис!- уравнението не определя никаква друга елипса, тъй като няма точки (фокуси) на оста, които да отговарят на определението за елипса.

Малкият дискриминант 5 (§ 66) е положителен за елипса (вижте Пример 1 § 66), отрицателен за хипербола и нула за парабола.

Доказателство. Елипса е представена от уравнението. Това уравнение има малък дискриминант. При преобразуване на координатите той запазва стойността си и когато двете страни на уравнението се умножат по произволно число, дискриминантът се умножава по (§ 66, забележка). Следователно дискриминантът на елипсата е положителен във всяка координатна система. В случай на хипербола и в случай на парабола доказателството е подобно.

Според това се разграничават три типа линии от втори ред (и уравнения от втора степен):

1. Елиптичен тип, характеризиращ се със състоянието

Той включва освен реалната елипса и въображаема елипса (§ 58, пример 5) и двойка въображаеми прави, пресичащи се в реална точка (§ 58, пример 4).

2. Хиперболичен тип, характеризиращ се със състоянието

Той включва, в допълнение към хиперболата, двойка реални пресичащи се прави (§ 58, пример 1).

3. Параболичен тип, характеризиращ се със състоянието

Той включва, в допълнение към парабола, двойка успоредни (реални или въображаеми) линии (те могат да съвпадат).

Пример 1: Уравнение

принадлежи към параболичния тип, тъй като

Тъй като големият дискриминант

не е равно на нула, тогава уравнение (1) представлява неразпадаща се линия, т.е. парабола (вж. §§ 61-62, пример 2).

Пример 2: Уравнение

принадлежи към хиперболичния тип, тъй като

тъй като

тогава уравнение (2) представлява двойка пресичащи се прави. Техните уравнения могат да бъдат намерени с помощта на метода в § 65.

Пример 3: Уравнение

принадлежи към елиптичния тип, тъй като

Тъй като

тогава линията не се разделя и следователно е елипса.

Коментирайте. Линиите от същия тип са свързани геометрично, както следва: двойка пресичащи се въображаеми линии (т.е. една реална точка) е граничният случай на елипса, „свита до точка“ (фиг. 88); двойка пресичащи се реални линии е граничният случай на хипербола, приближаваща нейните асимптоти (фиг. 89); двойка успоредни прави е граничният случай на парабола, в която оста и една двойка точки, симетрични спрямо оста (фиг. 90), са фиксирани, а върхът се движи до безкрайност.