Извеждане на формулата за разстоянието от точка до права. Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права в равнина

Формула за изчисляване на разстоянието от точка до права в равнина

Ако е дадено уравнението на правата Ax + By + C = 0, тогава разстоянието от точката M(M x , M y) до правата може да се намери по следната формула

Примерни задачи за пресмятане на разстоянието от точка до права в равнина

Пример 1

Намерете разстоянието между правата 3x + 4y - 6 = 0 и точката M(-1, 3).

Решение.Заместете във формулата коефициентите на правата и координатите на точката

Отговор:разстоянието от точка до права е 0,6.

уравнение на равнина, минаваща през точки, перпендикулярни на вектор Общо уравнение на равнина

Нарича се ненулев вектор, перпендикулярен на дадена равнина нормален вектор (или накратко, нормално ) за този самолет.

Нека в координатното пространство (в правоъгълна координатна система) е дадено:

а) точка ;

б) ненулев вектор (фиг. 4.8, а).

Необходимо е да се напише уравнение за равнина, минаваща през точка перпендикулярен на вектора Край на доказателството.

Нека сега разгледаме различни видове уравнения на права линия в равнина.

1) Общо уравнение на равнинатаП .

От извеждането на уравнението следва, че в същото време А, би ° Сне е равно на 0 (обяснете защо).

Точка принадлежи на равнината Псамо ако нейните координати удовлетворяват уравнението на равнината. В зависимост от коефициентите А, б, ° Си дсамолет Пзаема една или друга длъжност.

- равнината минава през началото на координатната система, - равнината не минава през началото на координатната система,

- равнината е успоредна на оста х,

х,

- равнината е успоредна на оста Y,

- равнината не е успоредна на оста Y,

- равнината е успоредна на оста З,

- равнината не е успоредна на оста З.

Докажете сами тези твърдения.

Уравнение (6) се извежда лесно от уравнение (5). Наистина, нека точката лежи на равнината П. Тогава неговите координати удовлетворяват уравнението. Като извадим уравнение (7) от уравнение (5) и групираме членовете, получаваме уравнение (6). Помислете сега за два вектора с координати, съответно. От формула (6) следва, че тяхното скаларно произведение е равно на нула. Следователно векторът е перпендикулярен на вектора Началото и краят на последния вектор са съответно в точки, които принадлежат на равнината П. Следователно векторът е перпендикулярен на равнината П. Разстояние от точка до равнина П, чието общо уравнение е се определя по формулата Доказателството на тази формула е напълно подобно на доказателството на формулата за разстоянието между точка и права (виж фиг. 2).
Ориз. 2. Към извеждане на формулата за разстоянието между равнина и права.

Наистина разстоянието дмежду права и равнина е

където е точка, лежаща на равнина. От тук, както и в лекция No11, се получава горната формула. Две равнини са успоредни, ако нормалните им вектори са успоредни. Оттук получаваме условието за успоредност на две равнини - коефициенти на общи уравнения на равнини. Две равнини са перпендикулярни, ако техните нормални вектори са перпендикулярни, следователно получаваме условието за перпендикулярност на две равнини, ако са известни техните общи уравнения

Ъгъл fмежду две равнини е равен на ъгъла между техните нормални вектори (виж фиг. 3) и следователно може да се изчисли от формулата
Определяне на ъгъла между равнините.

(11)

Разстояние от точка до равнина и как да го намерите

Разстояние от точка до самолете дължината на перпендикуляра, пуснат от точка към тази равнина. Има поне два начина да се намери разстоянието от точка до равнина: геометричени алгебричен.

С геометричния методпърво трябва да разберете как е разположен перпендикулярът от точка към равнина: може би той лежи в някаква удобна равнина, това е височина в някакъв удобен (или не толкова) триъгълник или може би този перпендикуляр обикновено е височина в някаква пирамида .

След този първи и най-труден етап проблемът се разпада на няколко специфични планиметрични задачи (може би в различни равнини).

С алгебричния начинза да намерите разстоянието от точка до равнина, трябва да въведете координатна система, да намерите координатите на точката и уравнението на равнината и след това да приложите формулата за разстоянието от точката до равнината.

Ъгъл между прави в равнина.

Определение.

Извеждане на формулата за разстоянието от точка до права

Опция 1

Нека на равнината е дадена права линия л: брадва + от + ° С= 0 и точка M1(х 1;y 1), който не принадлежи на този ред. Намерете разстоянието от точка до права. Под разстоянието ρ от точката M1направо лразберете дължината на сегмента M0M1⏊ л.

За определяне на разстоянието е удобно да се използва единичен вектор, колинеарен на нормалния вектор на правата линия.

Обяснение:тъй като точката M0лежи на права линия л, то нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на дадената права, т.е. ax0 + с 0 + ° С= 0Вариант 2

Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 се определя като .

Доказателство.Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката M към дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:(1) Координати x 1 и y 1 може да се намери като решение на системата от уравнения: Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярна на дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида: A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0, тогава, решавайки, получаваме: Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме: . Теоремата е доказана.

Разгледайте приложението на анализираните методи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия на равнина при решаване на пример.

Намерете разстоянието от точка до права:

Първо, нека решим проблема по първия начин.

В условието на задачата ни е дадено общото уравнение на правата a от вида:

Нека намерим общото уравнение на правата b, която минава през дадена точка, перпендикулярна на правата:

Тъй като правата b е перпендикулярна на правата a, векторът на посоката на права b е нормалният вектор на дадената права:

т.е. насочващият вектор на правата b има координати. Сега можем да напишем каноничното уравнение на правата b в равнината, тъй като знаем координатите на точката M 1, през която минава правата b, и координатите на насочващия вектор на правата b:

От полученото канонично уравнение на правата b преминаваме към общото уравнение на правата:

Сега нека намерим координатите на точката на пресичане на правите a и b (нека го обозначим с H 1), като решим системата от уравнения, съставена от общите уравнения на правите a и b (ако е необходимо, вижте системите за решаване на статията на линейни уравнения):

Така точката H 1 има координати.

Остава да се изчисли желаното разстояние от точката M 1 до правата линия a като разстоянието между точките и:

Вторият начин за решаване на проблема.

Получаваме нормалното уравнение на дадената права. За да направим това, изчисляваме стойността на нормализиращия коефициент и умножаваме двете части на първоначалното общо уравнение на правата линия по него:

(Говорихме за това в раздела за привеждане на общото уравнение на права линия в нормална форма).

Коефициентът на нормализиране е равен на

тогава нормалното уравнение на правата има формата:

Сега вземаме израза от лявата страна на полученото нормално уравнение на правата линия и изчисляваме стойността му за:

Желаното разстояние от дадена точка до дадена права линия:

е равна на абсолютната стойност на получената стойност, тоест пет ().

разстояние от точка до линия:

Очевидно предимството на метода за намиране на разстоянието от точка до права линия в равнина, базиран на използването на нормалното уравнение на права линия, е относително по-малкото количество изчислителна работа. От своя страна, първият начин за намиране на разстоянието от точка до линия е интуитивен и се отличава с последователност и логика.

На равнината е фиксирана правоъгълна координатна система Oxy, дадени са точка и права:

Намерете разстоянието от дадена точка до дадена права.

Първи начин.

Можете да преминете от дадено уравнение на права линия с наклон към общото уравнение на тази права линия и да продължите по същия начин, както в примера, обсъден по-горе.

Но можете да го направите по различен начин.

Знаем, че произведението на наклоните на перпендикулярните прави е равно на 1 (вижте статията перпендикулярни прави, перпендикулярност на правите). Следователно, наклонът на линия, която е перпендикулярна на дадена права:

е равно на 2. Тогава уравнението на права линия, перпендикулярна на дадена права и минаваща през точка, има вида:

Сега нека намерим координатите на точката H 1 - пресечната точка на линиите:

Така желаното разстояние от точка до права линия:

равно на разстоянието между точките и:

Вторият начин.

Нека преминем от даденото уравнение на права линия с наклон към нормалното уравнение на тази права линия:

нормализиращият коефициент е равен на:

следователно нормалното уравнение на дадена права линия има формата:

Сега изчисляваме необходимото разстояние от точката до линията:

Изчислете разстоянието от точка до права:

и към правата линия:

Получаваме нормалното уравнение на правата линия:

Сега изчислете разстоянието от точката до линията:

Нормализиращ фактор за уравнение на права линия:

е равно на 1. Тогава нормалното уравнение на тази линия има формата:

Сега можем да изчислим разстоянието от точка до линия:

то е равно.

Отговор: и 5.

В заключение, отделно ще разгледаме как се намира разстоянието от дадена точка на равнината до координатните линии Ox и Oy.

В правоъгълната координатна система Oxy координатната права Oy е дадена от непълното общо уравнение на правата x=0, а координатната права Ox е дадена от уравнението y=0. Тези уравнения са нормални уравнения на линиите Oy и Ox, следователно разстоянието от точка до тези линии се изчислява по формулите:

съответно.

Фигура 5

На равнината е въведена правоъгълна координатна система Oxy. Намерете разстоянията от точката до координатните линии.

Разстоянието от дадената точка M 1 до координатната права Ox (зададено е от уравнението y=0) е равно на модула на ординатата на точката M 1, т.е.

Разстоянието от дадената точка M 1 до координатната права Oy (съответства на уравнението x=0) е равно на абсолютната стойност на абсцисата на точката M 1: .

Отговор: разстоянието от точка M 1 до правата Ox е 6, а разстоянието от дадената точка до координатната права Oy е равно.

Тази статия говори по темата « разстояние от точка до линия », дефинициите на разстоянието от точка до права се разглеждат с илюстрирани примери по метода на координатите. Всеки блок от теория в края показва примери за решаване на подобни проблеми.

Разстоянието от точка до права се намира чрез определяне на разстоянието от точка до точка. Нека разгледаме по-подробно.

Нека има права a и точка M 1, които не принадлежат на дадената права. Начертайте линия през нея, разположена перпендикулярно на правата a. Вземете точката на пресичане на линиите като H 1. Получаваме, че M 1 H 1 е перпендикуляр, който е спуснат от точката M 1 до правата a.

Определение 1

Разстояние от точка M 1 до права линия aсе нарича разстояние между точките M 1 и H 1 .

Има записи на определението с фигурата на дължината на перпендикуляра.

Определение 2

Разстояние от точка до линияе дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към дадена права.

Дефинициите са еквивалентни. Разгледайте фигурата по-долу.

Известно е, че разстоянието от точка до права линия е най-малкото от всички възможни. Нека да разгледаме това с пример.

Ако вземем точката Q, лежаща на линията a, която не съвпада с точката M 1, тогава получаваме, че сегментът M 1 Q се нарича наклонен, спуснат от M 1 до линията a. Необходимо е да се посочи, че перпендикулярът от точката M 1 е по-малък от всеки друг наклонен, изтеглен от точката към правата линия.

За да докажете това, разгледайте триъгълника M 1 Q 1 H 1 , където M 1 Q 1 е хипотенузата. Известно е, че дължината му винаги е по-голяма от дължината на който и да е от краката. Следователно имаме, че M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изходните данни за намиране от точка до права линия позволяват използването на няколко метода за решаване: чрез Питагоровата теорема, дефиниции на синус, косинус, тангенс на ъгъл и др. Повечето задачи от този тип се решават в училище в часовете по геометрия.

Когато при намиране на разстоянието от точка до линия можете да въведете правоъгълна координатна система, тогава се използва методът на координатите. В този параграф разглеждаме основните два метода за намиране на желаното разстояние от дадена точка.

Първият метод включва намиране на разстоянието като перпендикуляр, прекаран от M 1 към правата a. Вторият метод използва нормалното уравнение на правата линия a, за да намери необходимото разстояние.

Ако в равнината има точка с координати M 1 (x 1, y 1), разположена в правоъгълна координатна система, права линия a, и трябва да намерите разстоянието M 1 H 1, можете да изчислите по два начина. Нека ги разгледаме.

Първи начин

Ако има координати на точката H 1, равни на x 2, y 2, тогава разстоянието от точката до правата се изчислява от координатите от формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - у 1) 2.

Сега нека да преминем към намирането на координатите на точката H 1.

Известно е, че права линия в O x y съответства на уравнението на права линия в равнина. Нека вземем начин да дефинираме права линия a чрез написване на общо уравнение на права линия или уравнение с наклон. Съставяме уравнението на права линия, която минава през точката M 1 перпендикулярно на дадена права a. Нека означим правата с бук b . H 1 е точката на пресичане на прави a и b, така че за да определите координатите, трябва да използвате статията, която се занимава с координатите на точките на пресичане на две прави.

Вижда се, че алгоритъмът за намиране на разстоянието от дадена точка M 1 (x 1, y 1) до правата линия a се извършва според точките:

Определение 3

• намиране на общото уравнение на правата линия a , имащо формата A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, или уравнение с коефициент на наклон, имащо формата y \u003d k 1 x + b 1;
• получаване на общото уравнение на линията b, което има формата A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 или уравнение с наклон y \u003d k 2 x + b 2, ако линията b пресича точката M 1 и е перпендикулярна на дадената права a;
• определяне на координатите x 2, y 2 на точката H 1, която е пресечната точка a и b, за това се решава системата от линейни уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• изчисляване на необходимото разстояние от точка до права линия по формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Втори начин

Теоремата може да помогне да се отговори на въпроса за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права на равнина.

Теорема

Правоъгълна координатна система има O x y има точка M 1 (x 1, y 1), от която е начертана права линия a към равнината, дадена от нормалното уравнение на равнината, имаща формата cos α x + cos β y - p \u003d 0, равна на модула на стойността, получена от лявата страна на уравнението на нормалната права линия, изчислена при x = x 1, y = y 1, означава, че M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Доказателство

Правата a съответства на нормалното уравнение на равнината, което има формата cos α x + cos β y - p = 0, тогава n → = (cos α , cos β) се счита за нормален вектор на правата a при a разстояние от началото до правата a с p единици. Необходимо е да изобразите всички данни на фигурата, добавете точка с координати M 1 (x 1, y 1) , където радиус векторът на точката M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Необходимо е да се начертае права линия от точка до права линия, която ще обозначим с M 1 H 1 . Необходимо е да се покажат проекциите M 2 и H 2 на точките M 1 и H 2 на права линия, минаваща през точка O с насочващ вектор под формата n → = (cos α, cos β) , и числената проекция на вектора ще се означи като O M 1 → = (x 1 , y 1) към посоката n → = (cos α , cos β) като n p n → O M 1 → .

Вариациите зависят от местоположението на самата точка M 1. Разгледайте фигурата по-долу.

Фиксираме резултатите с помощта на формулата M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . След това привеждаме равенството към тази форма M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, за да получим n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скаларното произведение на векторите води до трансформирана формула под формата n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , която е произведение в координатна форма на форма n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Оттук получаваме, че n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . От това следва, че M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теоремата е доказана.

Получаваме, че за да намерим разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1) до правата линия a на равнината, трябва да се извършат няколко действия:

Определение 4

• получаване на нормалното уравнение на правата a cos α · x + cos β · y - p = 0, при положение, че не е в задачата;
• изчисляване на израза cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , където получената стойност приема M 1 H 1 .

Нека приложим тези методи за решаване на задачи с намиране на разстоянието от точка до равнина.

Пример 1

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 (- 1 , 2) до правата 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Решение

Нека използваме първия метод за решаване.

За да направите това, трябва да намерите общото уравнение на правата b, която минава през дадена точка M 1 (- 1 , 2), перпендикулярна на правата 4 x - 3 y + 35 = 0 . От условието се вижда, че правата b е перпендикулярна на правата a, тогава нейният насочващ вектор има координати, равни на (4, - 3) . По този начин имаме възможност да напишем каноничното уравнение на правата b на равнината, тъй като има координати на точката M 1, принадлежи на правата b. Да определим координатите на насочващия вектор на правата b . Получаваме, че x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Полученото канонично уравнение трябва да се преобразува в общо. Тогава разбираме това

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Нека намерим координатите на точките на пресичане на линиите, които ще приемем като обозначение H 1. Трансформациите изглеждат така:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

От горното имаме, че координатите на точката H 1 са (- 5; 5) .

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точка M 1 до правата линия a. Имаме, че координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), след което заместваме във формулата за намиране на разстоянието и получаваме това

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Второто решение.

За да се реши по друг начин, е необходимо да се получи нормалното уравнение на права линия. Изчисляваме стойността на нормализиращия коефициент и умножаваме двете страни на уравнението 4 x - 3 y + 35 = 0 . От тук получаваме, че нормализиращият коефициент е - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормалното уравнение ще бъде във формата - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Според алгоритъма за изчисление е необходимо да се получи нормалното уравнение на права линия и да се изчисли със стойностите x = - 1, y = 2. Тогава разбираме това

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

От тук получаваме, че разстоянието от точката M 1 (- 1 , 2) до дадената права линия 4 x - 3 y + 35 = 0 има стойност - 5 = 5 .

Отговор: 5 .

Вижда се, че при този метод е важно да се използва нормалното уравнение на права линия, тъй като този метод е най-краткият. Но първият метод е удобен с това, че е последователен и логичен, въпреки че има повече изчислителни точки.

Пример 2

В равнината има правоъгълна координатна система O x y с точка M 1 (8, 0) и права линия y = 1 2 x + 1. Намерете разстоянието от дадена точка до права линия.

Решение

Решението по първия начин предполага свеждането на дадено уравнение с наклонен коефициент до общо уравнение. За да опростите, можете да го направите по различен начин.

Ако произведението на наклоните на перпендикулярните прави е -1, тогава наклонът на правата, перпендикулярна на дадения y = 1 2 x + 1, е 2. Сега получаваме уравнението на права линия, минаваща през точка с координати M 1 (8, 0) . Имаме, че y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Пристъпваме към намиране на координатите на точката H 1, т.е. пресечните точки y \u003d - 2 x + 16 и y \u003d 1 2 x + 1. Съставяме система от уравнения и получаваме:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

От това следва, че разстоянието от точката с координати M 1 (8 , 0) до правата y = 1 2 x + 1 е равно на разстоянието от началната точка и крайната точка с координати M 1 (8 , 0) и H 1 (6 , 4) . Нека изчислим и получаваме, че M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Решението по втория начин е да преминем от уравнението с коефициент към нормалната му форма. Тоест, получаваме y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, тогава стойността на нормализиращия коефициент ще бъде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . От това следва, че нормалното уравнение на права линия приема формата - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Нека изчислим от точката M 1 8 , 0 до права линия от вида - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Получаваме:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Отговор: 2 5 .

Пример 3

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точката с координати M 1 (- 2 , 4) до правите линии 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0 .

Решение

Получаваме уравнението на нормалната форма на правата линия 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

След това пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 - 2, 4 до правата x - 3 2 = 0. Получаваме:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Уравнението на правата линия y + 1 = 0 има нормализиращ фактор със стойност -1. Това означава, че уравнението ще приеме формата - y - 1 = 0 . Пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 (- 2 , 4) до правата линия - y - 1 = 0 . Получаваме, че е равно на - 4 - 1 = 5.

Отговор: 3 1 2 и 5 .

Нека разгледаме подробно определянето на разстоянието от дадена точка на равнината до координатните оси O x и O y.

В правоъгълна координатна система оста O y има уравнение на права линия, което е непълно и има формата x \u003d 0 и O x - y \u003d 0. Уравненията са нормални за координатните оси, тогава е необходимо да се намери разстоянието от точката с координати M 1 x 1, y 1 до правите линии. Това се прави въз основа на формулите M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Разгледайте фигурата по-долу.

Пример 4

Намерете разстоянието от точката M 1 (6, - 7) до координатните линии, разположени в равнината O x y.

Решение

Тъй като уравнението y \u003d 0 се отнася до линията O x, можете да намерите разстоянието от M 1 с дадени координати до тази линия, като използвате формулата. Получаваме, че 6 = 6 .

Тъй като уравнението x \u003d 0 се отнася до линията O y, можете да намерите разстоянието от M 1 до тази линия с помощта на формулата. Тогава получаваме, че - 7 = 7 .

Отговор:разстоянието от M 1 до O x има стойност 6, а от M 1 до O y има стойност 7.

Когато в тримерното пространство имаме точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), е необходимо да се намери разстоянието от точка A до правата a.

Помислете за два начина, които ви позволяват да изчислите разстоянието от точка до права линия a, разположена в пространството. Първият случай разглежда разстоянието от точката M 1 до правата, където точката на правата се нарича H 1 и е основата на перпендикуляра, прекаран от точката M 1 към правата a. Вторият случай предполага, че точките на тази равнина трябва да се търсят като височина на успоредника.

Първи начин

От дефиницията имаме, че разстоянието от точката M 1, разположена на правата линия a, е дължината на перпендикуляра M 1 H 1, тогава получаваме това с намерените координати на точката H 1, след което намираме разстоянието между M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и H 1 (x 1, y 1, z 1) въз основа на формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Получаваме, че цялото решение отива в намирането на координатите на основата на перпендикуляра, прекаран от M 1 към правата a. Това се прави по следния начин: H 1 е точката, в която правата a се пресича с равнината, която минава през дадената точка.

Това означава, че алгоритъмът за определяне на разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до правата линия a на пространството предполага няколко точки:

Определение 5

• съставяне на уравнението на равнината χ като уравнение на равнината, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на правата;
• определяне на координатите (x2, y2, z2), принадлежащи на точката H1, която е пресечната точка на правата a и равнината χ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права по формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Втори начин

От условието имаме права a, тогава можем да определим насочващия вектор a → = a x, a y, a z с координати x 3, y 3, z 3 и определена точка M 3, принадлежаща на правата a. Като се имат предвид координатите на точките M 1 (x 1 , y 1) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → може да се изчисли:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Необходимо е да отложите векторите a → \u003d a x, a y, a z и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 от точката M 3, свържете и вземете фигура успоредник. M 1 H 1 е височината на успоредника.

Разгледайте фигурата по-долу.

Имаме, че височината M 1 H 1 е желаното разстояние, тогава трябва да го намерите с помощта на формулата. Тоест, ние търсим M 1 H 1 .

Обозначете площта на успоредника с буквата S, намира се по формулата с помощта на вектора a → = (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формулата за площ има формата S = a → × M 3 M 1 → . Също така, площта на фигурата е равна на произведението на дължините на нейните страни и височината, получаваме, че S \u003d a → M 1 H 1 с a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, което е дължината на вектора a → \u003d (a x, a y, a z) , който е равен на страната на успоредника. Следователно M 1 H 1 е разстоянието от точката до правата. Намира се по формулата M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

За да намерите разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линия a в пространството, трябва да изпълните няколко точки от алгоритъма:

Определение 6

• определяне на насочващия вектор на правата a - a → = (a x , a y , a z) ;
• изчисляване на дължината на насочващия вектор a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• получаване на координатите x 3 , y 3 , z 3, принадлежащи на точката M 3, разположена на правата a;
• изчисляване на координатите на вектора M 3 M 1 → ;
• намиране на кръстосаното произведение на вектори a → (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 като a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, за да се получи дължината по формулата a → × M 3 M 1 → ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в пространството

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 2 , - 4 , - 1 до правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Решение

Първият метод започва с написването на уравнението на равнината χ, минаваща през M 1 и перпендикулярна на дадена точка. Получаваме израз като:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Необходимо е да се намерят координатите на точката H 1, която е точката на пресичане с равнината χ на правата, дадена от условието. Необходимо е да се премине от каноничната форма към пресичащата се. Тогава получаваме система от уравнения от вида:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необходимо е да се изчисли системата x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по метода на Крамър, тогава получаваме, че:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Следователно имаме, че H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Вторият метод трябва да започне с търсене на координати в каноничното уравнение. За да направите това, обърнете внимание на знаменателите на фракцията. Тогава a → = 2 , - 1 , 5 е векторът на посоката на правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необходимо е да се изчисли дължината по формулата a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Ясно е, че правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пресича точката M 3 (- 1 , 0 , - 5), следователно имаме, че векторът с начало M 3 (- 1 , 0 , - 5) и неговият край в точката M 1 2 , - 4 , - 1 е M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Намерете векторното произведение a → = (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Получаваме израз във формата a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

получаваме, че дължината на напречното произведение е a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от точка за права линия, така че я прилагаме и получаваме:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Отговор: 11 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Координатен метод (разстояние между точка и равнина, между прави линии)

Разстоянието между точка и равнина.

Разстоянието между точка и права.

Разстоянието между две линии.

Първото полезно нещо, което трябва да знаете, е как да намерите разстоянието от точка до равнина:

Стойности A, B, C, D - коефициенти на равнината

x, y, z - координати на точки

Задача. Намерете разстоянието между точката A = (3; 7; −2) и равнината 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

Всичко е дадено, можете веднага да замените стойностите в уравнението:

Задача. Намерете разстоянието от точката K = (1; −2; 7) до правата, минаваща през точките V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).

1. Намираме вектор с права линия.
2. Изчисляваме вектора, минаващ през желаната точка и всяка точка от правата.
   
3. Задаваме матрицата и намираме детерминантата за двата получени вектора в 1-ви и 2-ри параграф.
4. Получаваме разстоянието, когато разделим квадратния корен от сумата от квадратите на коефициентите на матрицата на дължината на вектора, който определя правата(Мисля, че не е ясно, така че нека да преминем към конкретен пример).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Намираме вектора през точките K и T, въпреки че би било възможно и през K и V или всяка друга точка на тази права.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Получавате матрица без коефициент D (тук не е необходим за решението):

4) Самолетът се оказа с коефициенти A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z - координати на вектора на правата линия, в този случай векторът TV има координати (9; 12; −20)

Задача. Намерете разстоянието между правата, минаваща през точките E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и правата, минаваща през точките M = (4; −1; 4), L = (-2;3;0).

1. Задаваме векторите на двете линии.
2. Намираме вектора, като вземем по една точка от всяка права.
3. Записваме матрица от 3 вектора (два реда от 1-ва точка, един ред от 2-ра) и намираме нейния числов детерминант.
4. Задаваме матрицата на първите два вектора (в стъпка 1). Задаваме първия ред като x, y, z.
5. Получаваме разстоянието, когато разделим получената стойност от точка 3 по модул на корен квадратен от сбора на квадратите на точка 4.

Нека да преминем към числата.