Ъгълът на наклона на допирателната към графиката. Тангента към графика на функция в точка

Темата "Ъгловият коефициент на тангенса като тангенс на ъгъла на наклон" в сертификационния изпит дава няколко задачи наведнъж. В зависимост от състоянието им, от завършилия може да се изисква както пълен, така и кратък отговор. В подготовка за преминаване на изпитапо математика ученикът задължително трябва да повтори задачите, в които се изисква изчисляване на наклона на тангентата.

Това ще ви помогне образователен портал"Школково". Нашите експерти са подготвили и представили теоретичен и практически материал възможно най-достъпно. Запознавайки се с него, завършилите с всякакво ниво на подготовка ще могат успешно да решават задачи, свързани с производни, в които се изисква да се намери тангенса на наклона на тангентата.

Основни моменти

За да се намери правилното и рационално решение на такива задачи в USE, е необходимо да се припомни основното определение: производната е скоростта на промяна на функцията; тя е равна на тангенса на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в определена точка. Също толкова важно е да завършите чертежа. Това ще ви позволи да намерите правилното решение на задачите на USE върху производната, в която се изисква да се изчисли тангенса на наклона на тангентата. За по-голяма яснота е най-добре да начертаете графика върху равнината OXY.

Ако вече сте се запознали с основния материал по темата за производната и сте готови да започнете да решавате задачи за изчисляване на тангенса на ъгъла на наклон на допирателна, подобно на ИЗПОЛЗВАЙТЕ заданияможете да го направите онлайн. Към всяка задача, например задачи по темата "Връзка на производната със скоростта и ускорението на тялото", записахме верния отговор и алгоритъма за решение. В този случай учениците могат да се упражняват да изпълняват задачи с различни нива на сложност. Ако е необходимо, упражнението може да бъде запазено в секцията „Любими“, за да можете по-късно да обсъдите решението с учителя.

На съвременния етап от развитието на образованието една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество при учениците може да се развие само ако те систематично се занимават с основите на изследователската дейност. Основата на учениците да използват своите творчески сили, способности и таланти са формираните пълноценни знания и умения. В тази връзка проблемът за формиране на система от основни знания и умения за всяка тема от училищния курс по математика е не малко важен. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическата цел не на отделните задачи, а на тяхната внимателно обмислена система. В най-широк смисъл системата се разбира като набор от взаимосвързани взаимодействащи елементи, които имат цялост и стабилна структура.

Обмислете методология за обучение на студентите как да съставят уравнение на допирателна към графика на функция. По същество всички задачи за намиране на уравнението на допирателната се свеждат до необходимостта да се изберат от множеството (сноп, семейство) прави онези от тях, които отговарят на определено изискване - те са допирателни към графиката на определена функция. В този случай наборът от редове, от които се извършва изборът, може да бъде определен по два начина:

а) точка, лежаща на равнината xOy (централен молив от прави);
б) ъглов коефициент (успореден пакет от прави).

В тази връзка, когато изучаваме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два вида задачи:

1) задачи върху допирателна, зададена от точка, през която минава;
2) задачи за допирателна, зададена от нейния наклон.

Обучението за решаване на задачи по допирателна беше извършено с помощта на алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Неговата фундаментална разликаот вече известните е, че абсцисата на допирателната се обозначава с буквата a (вместо x0), във връзка с което уравнението на допирателната приема формата

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(сравнете с y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Тази методическа техника, по наше мнение, позволява на учениците бързо и лесно да осъзнаят къде са записани координатите на текущата точка в общото уравнение на допирателната и къде са допирните точки.

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x)

1. Означете с буквата а абсцисата на точката на контакт.
2. Намерете f(a).
3. Намерете f "(x) и f "(a).
4. Заменете намерените числа a, f (a), f "(a) в общо уравнениедопирателна y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на самостоятелен избор на операции от учениците и последователността на тяхното изпълнение.

Практиката го показа последователно решениевсяка от ключовите задачи с помощта на алгоритъма ви позволява да формирате способността да напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като опорни точки за действия. Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствените действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.

В първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

• допирателната минава през точка, лежаща на кривата (задача 1);
• допирателната минава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Приравнете допирателната към графиката на функцията в точката M(3; – 2).

Решение. Точката M(3; – 2) е точката на контакт, тъй като

1. a = 3 - абсцисата на точката на допир.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 е уравнението на допирателната.

Задача 2. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = - x 2 - 4x + 2, минаващи през точката M(- 3; 6).

Решение. Точката M(– 3; 6) не е допирателна, тъй като f(– 3) 6 (фиг. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - уравнение на допирателната.

Допирателната минава през точката M(– 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ако a = – 4, тогава уравнението на допирателната е y = 4x + 18.

Ако a \u003d - 2, тогава уравнението на допирателната има формата y \u003d 6.

Във втория тип основните задачи ще бъдат следните:

• допирателната е успоредна на права (задача 3);
• допирателната минава под някакъв ъгъл към дадената права (задача 4).

Задача 3. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, успоредна на правата y \u003d 9x + 1.

1. a - абсцисата на точката на допир.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Но, от друга страна, f "(a) \u003d 9 (условие за паралелизъм). Така че трябва да решим уравнението 3a 2 - 6a \u003d 9. Неговите корени a \u003d - 1, a \u003d 3 (фиг. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 е уравнението на допирателната;

1) а = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 е уравнението на допирателната.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = 0,5x 2 - 3x + 1, минаваща под ъгъл 45 ° към правата линия y = 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) \u003d tg 45 ° намираме a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - абсцисата на точката на допир.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - уравнението на допирателната.

Лесно е да се покаже, че решението на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или няколко ключови проблема. Разгледайте следните два проблема като пример.

1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y = 2x 2 - 5x - 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и едната от тях докосва параболата в точката с абсцисата 3 (фиг. 5).

Решение. Тъй като е дадена абсцисата на точката на контакт, първата част от решението се свежда до ключова задача 1.

1. a = 3 - абсцисата на допирната точка на една от страните прав ъгъл.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - уравнението на първата допирателна.

Нека a е наклонът на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y = 7x – 20 на първата допирателна имаме tg a = 7. Намерете

Това означава, че наклонът на втората допирателна е .

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Тогава нека B(c; f(c)) е допирателната точка на втората права

1. - абсцисата на втората точка на контакт.
2.
3.
4.
е уравнението на втората допирателна.

Забележка. Ъгловият коефициент на тангентата може да бъде намерен по-лесно, ако учениците знаят отношението на коефициентите на перпендикулярните прави k 1 k 2 = - 1.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисите на общите допирателни точки, тоест до решаване на ключова задача 1 в общ изглед, съставяне на система от уравнения и нейното последващо решение (фиг. 6).

1. Нека a е абсцисата на допирната точка върху графиката на функцията y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Нека c е абсцисата на допирателната точка върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) = c.
4.

Тъй като допирателните са общи, тогава

Така че y = x + 1 и y = - 3x - 3 са общи тангенти.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготвят учениците за самостоятелно разпознаване на типа ключова задача при решаване на по-сложни задачи, изискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщение, излагане на хипотеза и др.). Такива задачи включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример проблема (обратен на проблем 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За какво b и c са правите y \u003d x и y \u003d - 2x допирателни към графиката на функцията y \u003d x 2 + bx + c?

Нека t е абсцисата на точката на контакт на правата y = x с параболата y = x 2 + bx + c; p е абсцисата на точката на контакт на правата y = - 2x с параболата y = x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y = x ще приеме формата y = (2t + b)x + c - t 2 , а уравнението на допирателната y = - 2x ще приеме формата y = (2p + b)x + c - p 2 .

Съставете и решете система от уравнения

Отговор:

Пример 1Дадена функция f(х) = 3х 2 + 4х– 5. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х) в точката на графиката с абсцисата х 0 = 1.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (3х 2 + 4х– 5)′ = 6 х + 4.

Тогава f(х 0) = f(1) = 2; (х 0) = = 10. Уравнението на допирателната има формата:

г = (х 0) (х – х 0) + f(х 0),

г = 10(х – 1) + 2,

г = 10х – 8.

Отговор. г = 10х – 8.

Пример 2Дадена функция f(х) = х 3 – 3х 2 + 2х+ 5. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), успоредна на правата г = 2х – 11.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (х 3 – 3х 2 + 2х+ 5)′ = 3 х 2 – 6х + 2.

Тъй като допирателната към графиката на функцията f(х) в точката с абсцисата х 0 е успореден на правата г = 2х– 11, тогава наклонът му е 2, т.е. х 0) = 2. Намерете тази абциса от условието, че 3 х– 6х 0 + 2 = 2. Това равенство е валидно само за х 0 = 0 и х 0 = 2. Тъй като и в двата случая f(х 0) = 5, след това правата линия г = 2х + bдокосва графиката на функцията или в точка (0; 5), или в точка (2; 5).

В първия случай численото равенство е вярно 5 = 2×0 + b, където b= 5, а във втория случай численото равенство е вярно 5 = 2 × 2 + b, където b = 1.

Така че има две допирателни г = 2х+ 5 и г = 2х+ 1 към графиката на функцията f(х) успоредна на правата г = 2х – 11.

Отговор. г = 2х + 5, г = 2х + 1.

Пример 3Дадена функция f(х) = х 2 – 6х+ 7. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), преминаваща през точката А (2; –5).

Решение.защото f(2) –5, след това точката Ане принадлежи към графиката на функцията f(х). Позволявам х 0 - абсцисата на точката на допир.

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (х 2 – 6х+ 1)′ = 2 х – 6.

Тогава f(х 0) = х– 6х 0 + 7; (х 0) = 2х 0 - 6. Уравнението на допирателната има формата:

г = (2х 0 – 6)(х – х 0) + х– 6х+ 7,

г = (2х 0 – 6)х– х+ 7.

Тъй като точката Апринадлежи на тангентата, то численото равенство е вярно

–5 = (2х 0 – 6)×2– х+ 7,

където х 0 = 0 или х 0 = 4. Това означава, че през точката Авъзможно е да се начертаят две допирателни към графиката на функцията f(х).

Ако х 0 = 0, тогава уравнението на допирателната има формата г = –6х+ 7. Ако х 0 = 4, тогава уравнението на допирателната има формата г = 2х – 9.

Отговор. г = –6х + 7, г = 2х – 9.

Пример 4Дадени функции f(х) = х 2 – 2х+ 2 и ж(х) = –х 2 - 3. Нека напишем уравнението на общата допирателна към графиките на тези функции.

Решение.Позволявам х 1 - абсцисата на точката на контакт на желаната линия с графиката на функцията f(х), а х 2 - абсцисата на точката на контакт на същата линия с графиката на функцията ж(х).

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (х 2 – 2х+ 2)′ = 2 х – 2.

Тогава f(х 1) = х– 2х 1 + 2; (х 1) = 2х 1 - 2. Уравнението на допирателната има формата:

г = (2х 1 – 2)(х – х 1) + х– 2х 1 + 2,

г = (2х 1 – 2)х – х+ 2. (1)

Нека намерим производната на функцията ж(х):

= (–х 2 – 3)′ = –2 х.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Тип работа: 7

Състояние

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирната точка е по-малка от нула.

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика.

Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на тангенс, т.е. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Получаваме система от уравнения \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно състоянието на абсцисата точките на допир са по-малки от нула, следователно x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Отговор

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Правата y=-3x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=-x^2+5x-7. Намерете абсцисата на точката на контакт.

Решение

Наклонът на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е y"(x_0). Но y"=-2x+5, така че y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Ъгловият коефициент на правата y=-3x+4, определен в условието, е -3.

Получаваме: x_0 = 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. Ниво на профил". Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(-6; 2) и B(-1; 1). Означаваме с C(-6; 1) пресечната точка на правите x=-6 и y=1, а с \alpha ъгъла ABC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува тъп ъгъл \pi -\alpha с положителната посока на оста Ox.

Както знаете, tg(\pi -\alpha) ще бъде стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0. забележи това tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.От тук по формулите за редукция получаваме: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Правата y=-2x-4 е допирателна към графиката на функцията y=16x^2+bx+12. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирната точка е по-голяма от нула.

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката върху графиката на функцията y=16x^2+bx+12, през която

е допирателна към тази графика.

Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y "(x_0)=32x_0+b=-2. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на тангенс, т.е. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Получаваме система от уравнения \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \край (случаи)

Решавайки системата, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно условието на абсцисата допирните точки са по-големи от нула, следователно x_0=1, тогава b=-2-32x_0=-34.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2; 8). Определете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на правата линия y=6.

Решение

Правата y=6 е успоредна на оста Ox. Следователно намираме такива точки, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста Ox. На тази диаграма такива точки са екстремни точки (максимални или минимални точки). Както можете да видите, има 4 точки на екстремум.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Правата y=4x-6 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9. Намерете абсцисата на точката на контакт.

Решение

Наклонът на допирателната към графиката на функцията y \u003d x ^ 2-4x + 9 в произволна точка x_0 е y "(x_0). Но y" \u003d 2x-4, което означава y "(x_0) \ u003d 2x_0-4 Наклонът на допирателната y \u003d 4x-7, посочен в условието, е равен на 4. Паралелните линии имат еднакви наклони. Следователно намираме такава стойност x_0, че 2x_0-4 \u003d 4. Получаваме : x_0 \u003d 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x_0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0.

Решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(1; 1) и B(5; 4). Означаваме с C(5; 1) пресечната точка на правите x=5 и y=1, а с \alpha ъгъла BAC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува ъгъл \alpha с положителната посока на оста Ox.