Уравнение на права линия спрямо точка и нормален вектор. Общо уравнение на права в равнина

Уравнение на права на равнина.

Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.

Определение. Уравнение на линиятае връзката y = f(x) между координатите на точките, които изграждат тази линия.

Имайте предвид, че уравнението на линията може да бъде изразено по параметричен начин, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър T.

Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай времето играе ролята на параметър.

Уравнение на права на равнина.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

освен това константите A, B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2  0. Това уравнение от първи ред се нарича общото уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C \u003d 0, A  0, B  0 - линията минава през началото

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - линията е успоредна на оста Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - линията е успоредна на оста Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - правата линия съвпада с оста Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права чрез точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата, дадена от уравнението Ax + By + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на права линия, минаваща през точката A (1, 2), перпендикулярна на вектора (3, -1).

Нека съставим при A \u003d 3 и B = -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C \u003d 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадената точка A в получения израз.

Получаваме: 3 - 2 + C \u003d 0, следователно C \u003d -1.

Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

На равнина уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1  x 2 и x \u003d x 1, ако x 1 \u003d x 2.

Фракция
=k се извиква фактор на наклонаправ.

Пример.Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права чрез точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата Ax + Vy + C = 0 доведе до формата:

и посочете
, тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклонк.

Уравнение на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждайки уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задаването на права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор ( 1 ,  2), чиито компоненти удовлетворяват условието A 1 + B 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.

Ah + Wu + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на права линия с насочен вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).

Ще търсим уравнението на желаната права линия във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията:

1A + (-1)B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има формата: Ax + Ay + C = 0 или x + y + C/A = 0.

при x = 1, y = 2 получаваме С/A = -3, т.е. желано уравнение:

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ah + Wu + C = 0 C 0, тогава, разделяйки на –C, получаваме:
или

, където

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът ае координатата на пресечната точка на правата с оста x, и b- координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата x - y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права в сегментите.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако двете страни на уравнението Ax + Wy + C = 0, разделено на числото
, което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcos + ysin - p = 0 –

нормално уравнение на права линия.

Знакът  на нормиращия фактор трябва да бъде избран така, че С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, а  е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения за тази линия.

уравнението на тази права линия в сегменти:

уравнението на тази права с наклона: (разделете на 5)

нормално уравнение на права линия:

; cos = 12/13; sin = -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото.

Пример.Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Напишете уравнението на права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Уравнението на права линия има формата:
, a = b = 1; ab/2 = 8; а = 4; -четири.

a = -4 не отговаря на условието на задачата.

Обща сума:
или x + y - 4 = 0.

Пример.Напишете уравнението на права линия, минаваща през точка A (-2, -3) и началото.

Уравнението на права линия има формата:
, където x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ъгъл между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени две линии y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогава остър ъгълмежду тези редове ще бъдат определени като

.

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2 .

Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/k 2 .

Теорема. Правите Ax + Vy + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A са пропорционални 1 =  А, Б 1 =  B. Ако също C 1 =  C, тогава линиите съвпадат.

Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права линия, преминаваща през дадена точка

перпендикулярна на тази линия.

Определение. Линията, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата y \u003d kx + b, е представена от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако точка M(x 0 , г 0 ), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C = 0 се определя като

.

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката M към дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярна на дадена права линия.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

.

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Намираме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, следователно линиите са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от върха C.

Намираме уравнението на страната AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Желаното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогава y =
. защото височината минава през точка С, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение:
откъдето b = 17. Общо:
.

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналитична геометрия в пространството.

Уравнение на правата в пространството.

Уравнението на права линия в пространството с точка и

вектор на посоката.

Вземете произволна линия и вектор (m, n, p) успоредна на дадената права. вектор Наречен водещ векторправ.

Нека вземем две произволни точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и M(x, y, z) на правата линия.

z

M1

Нека обозначим радиус векторите на тези точки като и , това е очевидно - =
.

защото вектори
и са колинеарни, тогава връзката е вярна
= t, където t е някакъв параметър.

Общо можем да напишем: = + T.

защото това уравнение е изпълнено от координатите на всяка точка от линията, тогава полученото уравнение е параметрично уравнение на права линия.

Това векторно уравнение може да бъде представено в координатна форма:

Преобразувайки тази система и приравнявайки стойностите на параметъра t, получаваме канонични уравненияправа линия в пространството:

.

Определение. Насочващи косинусидиректни са насочващите косинуси на вектора , което може да се изчисли по формулите:

;

.

От тук получаваме: m: n: p = cos : cos : cos.

Числата m, n, p се наричат фактори на наклонаправ. защото е ненулев вектор, m, n и p не могат да бъдат нула едновременно, но едно или две от тези числа могат да бъдат нула. В този случай в уравнението на права линия съответните числители трябва да бъдат приравнени на нула.

Уравнение на права линия в пространството

през две точки.

Ако две произволни точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са маркирани на права линия в пространството, тогава координатите на тези точки трябва да удовлетворяват уравнението на права линия, получена по-горе:

.

Освен това за точка M 1 можем да запишем:

.

Решавайки тези уравнения заедно, получаваме:

.

Това е уравнението на права линия, минаваща през две точки в пространството.

Общи уравнения на права линия в пространството.

Уравнението на права линия може да се разглежда като уравнение на линия на пресичане на две равнини.

Както беше обсъдено по-горе, равнина във векторна форма може да бъде дадена от уравнението:

+ D = 0, където

- равнина нормална; - радиус-вектор на произволна точка от равнината.

Урок от поредицата "Геометрични алгоритми"

Здравей скъпи читателю!

Днес ще започнем да учим алгоритми, свързани с геометрията. Факт е, че има много олимпиадни задачи по информатика, свързани с изчислителната геометрия, и решаването на такива задачи често създава трудности.

В няколко урока ще разгледаме редица елементарни подзадачи, на които се основава решаването на повечето задачи на изчислителната геометрия.

В този урок ще напишем програма за намиране на уравнението на права линияпреминавайки през даденото две точки. За да решаваме геометрични проблеми, се нуждаем от познания по изчислителна геометрия. Ще посветим част от урока на опознаването им.

Информация от изчислителната геометрия

Изчислителната геометрия е дял от компютърните науки, който изучава алгоритми за решаване на геометрични проблеми.

Първоначалните данни за такива задачи могат да бъдат набор от точки на равнината, набор от сегменти, многоъгълник (даден например чрез списък на неговите върхове в ред на часовниковата стрелка) и т.н.

Резултатът може да бъде или отговор на някакъв въпрос (като точка принадлежи ли на отсечка, пресичат ли се две отсечки, ...), или някакъв геометричен обект (например най-малкият изпъкнал многоъгълник, свързващ дадени точки, площта на многоъгълник и т.н.).

Ще разглеждаме проблемите на изчислителната геометрия само на равнината и само в декартовата координатна система.

Вектори и координати

За да се приложат методите на изчислителната геометрия, е необходимо геометричните изображения да се преведат на езика на числата. Приемаме, че на равнината е дадена декартова координатна система, в която посоката на въртене обратно на часовниковата стрелка се нарича положителна.

Сега геометричните обекти получават аналитичен израз. Така че, за да зададете точка, достатъчно е да посочите нейните координати: двойка числа (x; y). Отсечка може да бъде определена чрез указване на координатите на краищата му, права линия може да бъде уточнена чрез указване на координатите на двойка нейни точки.

Но основният инструмент за решаване на проблеми ще бъдат векторите. Затова нека ви напомня малко информация за тях.

Линеен сегмент AB, което има точка НОсчита се за начало (точка на приложение), а точката AT- краят се нарича вектор ABи обозначават или , или удебелени малки букви, например а .

За да обозначим дължината на вектор (т.е. дължината на съответния сегмент), ще използваме символа за модул (например ).

Произволен вектор ще има координати, равни на разликата между съответните координати на неговия край и начало:

,

точки тук Аи б имат координати съответно.

За изчисления ще използваме концепцията ориентиран ъгъл, тоест ъгъл, който взема предвид относителната позиция на векторите.

Ориентиран ъгъл между векторите а и b положителен, ако въртенето е далеч от вектора а към вектора b се извършва в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка) и отрицателна в другия случай. Вижте фиг.1а, фиг.1б. Също така се казва, че двойка вектори а и b позитивно (негативно) ориентиран.

По този начин стойността на ориентирания ъгъл зависи от реда на изброяване на векторите и може да приема стойности в интервала.

Много задачи с изчислителна геометрия използват концепцията за векторни (изкривени или псевдоскаларни) произведения на вектори.

Векторното произведение на векторите a и b е произведението на дължините на тези вектори и синуса на ъгъла между тях:

.

Векторно произведение на вектори в координати:

Изразът вдясно е детерминанта от втори ред:

За разлика от определението, дадено в аналитичната геометрия, това е скалар.

Знакът на кръстосаното произведение определя позицията на векторите един спрямо друг:

а и b позитивно ориентирани.

Ако стойността е , тогава двойката вектори а и b негативно ориентирани.

Кръстосаното произведение на ненулеви вектори е нула тогава и само ако те са колинеарни ( ). Това означава, че те лежат на една права или на успоредни прави.

Нека разгледаме някои прости задачи, необходими за решаване на по-сложни.

Нека дефинираме уравнението на права линия с координатите на две точки.

Уравнение на права, минаваща през две различни точкизададени от техните координати.

Нека на правата са дадени две несъвпадащи точки: с координати (x1;y1) и с координати (x2; y2). Съответно векторът с начало в точката и край в точката има координати (x2-x1, y2-y1). Ако P(x, y) е произволна точка от нашата линия, тогава координатите на вектора са (x-x1, y - y1).

С помощта на кръстосаното произведение условието за колинеарност на векторите и може да се запише по следния начин:

Тези. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Пренаписваме последното уравнение, както следва:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

И така, правата линия може да бъде дадена чрез уравнение от вида (1).

Задача 1. Дадени са координатите на две точки. Намерете неговото представяне във формата ax + by + c = 0.

В този урок се запознахме с малко информация от изчислителната геометрия. Решихме задачата за намиране на уравнението на правата по координатите на две точки.

В следващия урок ще напишем програма за намиране на пресечната точка на две прави, дадени от нашите уравнения.

Общо уравнениеправ:

Частни случаи на общото уравнение на права линия:

какво ако ° С= 0, уравнение (2) ще има формата

брадва + от = 0,

и правата линия, определена от това уравнение, минава през началото, тъй като координатите на началото х = 0, г= 0 удовлетворяват това уравнение.

б) Ако в общото уравнение на правата (2) б= 0, тогава уравнението приема формата

брадва + ОТ= 0, или .

Уравнението не съдържа променлива г, а правата, определена от това уравнение, е успоредна на оста Ой.

в) Ако в общото уравнение на правата (2) А= 0, тогава това уравнение приема формата

от + ОТ= 0, или ;

уравнението не съдържа променлива х, а определената от него права е успоредна на оста вол.

Трябва да се помни: ако една права линия е успоредна на която и да е координатна ос, тогава нейното уравнение не съдържа член, съдържащ координата със същото име с тази ос.

г) Кога ° С= 0 и А= 0 уравнение (2) приема формата от= 0, или г = 0.

Това е уравнението на оста вол.

д) Кога ° С= 0 и б= 0 уравнение (2) може да се запише във формата брадва= 0 или х = 0.

Това е уравнението на оста Ой.

Взаимно разположение на прави в равнина. Ъгъл между прави в равнина. Състояние на успоредни прави. Условието за перпендикулярност на линиите.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Векторите S 1 и S 2 се наричат ​​направляващи за техните прави.

Ъгълът между линиите l 1 и l 2 се определя от ъгъла между векторите на посоката.
Теорема 1: cos ъгъл между l 1 и l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Теорема 2:За да са равни 2 реда е необходимо и достатъчно:

Теорема 3:така че 2 линии да са перпендикулярни е необходимо и достатъчно:

L 1 l 2 — A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Общо уравнение на равнината и неговите частни случаи. Уравнение на равнина в отсечки.

Общо уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Специални случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - равнината минава през началото

2. С=0 Ax+By+D = 0 – равнина || унция

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – равнина || ой

4. A=0 By+Cz+D = 0 – равнина || ОХ

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 - равнината минава през OX

6. B=0 и D=0 Ax+Cz = 0 - равнината минава през OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 - равнината минава през OZ

Взаимно разположение на равнини и прави линии в пространството:

1. Ъгълът между правите в пространството е ъгълът между техните насочващи вектори.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Ъгълът между равнините се определя чрез ъгъла между нормалните им вектори.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Косинусът на ъгъла между права и равнина може да се намери чрез синуса на ъгъла между насочващия вектор на правата и нормалния вектор на равнината.

4. 2 реда || в космоса, когато техните || векторни водачи

5. 2 равнини || когато || нормални вектори

6. По същия начин се въвеждат понятията за перпендикулярност на прави и равнини.

Въпрос #14

Различни видове уравнение на права линия в равнина (уравнение на права линия в сегменти, с наклон и т.н.)

Уравнение на права линия в сегменти:
Да предположим, че в общото уравнение на права линия:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - правата линия минава през началото.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Уравнението на права линия с наклон:

Всяка права линия, която не е равна на оста y (B не = 0), може да бъде записана по следния начин. форма:

k = tgα α е ъгълът между правата и положително насочената линия ОХ

b - точка на пресичане на правата с оста OS

Документация:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Уравнение на права линия в две точки:

Въпрос #16

Крайната граница на функция в точка и за x→∞

Крайна граница в точка x 0:

Числото A се нарича граница на функцията y \u003d f (x) за x → x 0, ако за всяко E > 0 има b > 0, така че за x ≠ x 0, удовлетворяващо неравенството | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Границата е означена: = A

Крайна граница в точка +∞:

Числото A се нарича граница на функцията y = f(x) за x → + ∞ , ако за всяко E > 0 съществува C > 0, така че за x > C неравенството |f(x) - A|< Е

Границата е означена: = A

Крайна граница в точка -∞:

Числото A се нарича граница на функцията y = f(x) за x→-∞,ако за някой Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Има безкрайно много прави, които могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всеки две несъвпадащи точки има само една права линия.

Две несъвпадащи прави в равнината или се пресичат в една точка, или се пресичат

паралелен (следва от предишния).

Има три опции в 3D пространството. относителна позициядве прави линии:

• линиите се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• пресичат се прави линии.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система, права линия

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

и постоянна А, Бне е равно на нула в същото време. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би ОТВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линията минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Чрез + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- линията съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- линията съвпада с оста о

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни формив зависимост от всяка даденост

начални условия.

Уравнение на права чрез точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на правата дадено от уравнението

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).

Решение. Нека съставим при A \u003d 3 и B \u003d -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C \u003d 0. За да намерим коефициента C

заместваме в получения израз координатите на дадената точка А. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и x = x 1, ако x 1 = x 2 .

Фракция = kНаречен фактор на наклона прав.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права чрез точка и наклон.

Ако общото уравнение на права линия Ah + Wu + C = 0доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен вектор на посоката на правата линия.

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права линия във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x=1, y=2получаваме C/ A = -3, т.е. желано уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

геометричен смисълкоефициенти в това, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос оа b- координатата на пресечната точка на линията с оста OU.

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия в сегменти.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ah + Wu + C = 0разделяне на число , което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права линия в сегменти:

Уравнението на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгъл между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави

ще се определи като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ah + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ако също С 1 \u003d λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, е перпендикулярна на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b

представено от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до линията Ah + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, паднал от точката Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Правата, минаваща през точката K(x 0; y 0) и успоредна на правата y = kx + a, се намира по формулата:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Където k е наклонът на правата линия.

Алтернативна формула:
Правата, минаваща през точката M 1 (x 1 ; y 1) и успоредна на правата Ax+By+C=0, се представя от уравнението

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Напишете уравнението на права линия, минаваща през точката K( ;) успоредна на правата y = x + .

Пример #1. Съставете уравнението на права линия, минаваща през точката M 0 (-2.1) и в същото време:
а) успоредна на правата 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярна на правата 2x+3y -7 = 0.
Решение . Нека представим уравнението на наклона като y = kx + a. За да направим това, прехвърляме всички стойности с изключение на y към правилната страна: 3y = -2x + 7 . След това разделяме дясната страна на коефициента 3. Получаваме: y = -2/3x + 7/3
Намерете уравнението NK, минаващо през точката K(-2;1), успоредна на правата линия y = -2 / 3 x + 7 / 3
Замествайки x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, получаваме:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
или
y = -2 / 3 x - 1 / 3 или 3y + 2x +1 = 0

Пример #2. Напишете уравнението на права линия, успоредна на правата линия 2x + 5y = 0 и образуваща, заедно с координатните оси, триъгълник, чиято площ е 5.
Решение . Тъй като правите са успоредни, уравнението на желаната права е 2x + 5y + C = 0. Площ правоъгълен триъгълник, където a и b са неговите катети. Намерете точките на пресичане на желаната линия с координатните оси:
;
.
И така, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Заместете във формулата площта: . Получаваме две решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y - 10 = 0 .

Пример #3. Напишете уравнението на правата, минаваща през точката (-2; 5) и успоредната права 5x-7y-4=0 .
Решение. Тази права линия може да бъде представена чрез уравнението y = 5/7 x – 4/7 (тук a = 5/7). Уравнението на търсената права е y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0.

Пример #4. Решавайки пример 3 (A=5, B=-7) с помощта на формула (2), намираме 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример номер 5. Напишете уравнението на права линия, минаваща през точката (-2;5) и успоредна права линия 7x+10=0.
Решение. Тук A=7, B=0. Формула (2) дава 7(x+2)=0, т.е. х+2=0. Формула (1) не е приложима, тъй като това уравнение не може да бъде решено по отношение на y (тази права линия е успоредна на оста y).