Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениразгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, горещо препоръчвам да прочетете горната уводна статия, тъй като за да усвоите материала, трябва да се ориентирате в термините и обозначенията, които използвам, да имате основни познания за вектори и да може да решава елементарни проблеми. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типични задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА работа.. Опитайте се да не пропускате примерите, те са придружени от полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате покрития материал и да "хванете ръка" за решаване на често срещани проблеми на аналитичната геометрия.

Добавяне на вектори, умножение на вектор по число.... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече разгледаните действия, има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, кръстосано произведение на вектории смесено произведение на вектори. Скаларният продукт на векторите ни е познат от училище, другите два продукта традиционно са свързани с курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е стереотипен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и разрешите ВСИЧКО И НАЕДНОВЕД. Това важи особено за манекените, повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математиката, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материалите избирателно, в известен смисъл, да „придобият“ липсващите знания, за вас аз ще бъда безобиден граф Дракула =)

И накрая, нека отворим малко вратата и да погледнем какво се случва, когато два вектора се срещнат...

Дефиниция на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече. Помислете за свободни ненулеви вектори и . Ако отложим тези вектори от произволна точка, тогава получаваме картина, която мнозина вече са представили психически:

Признавам, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от строго определение на ъгъла между векторите, моля, вижте учебника, но за практически задачи ние по принцип не се нуждаем от него. Също ТУК И ПО-НАДАДЕ, понякога ще пренебрегвам нулевите вектори поради ниското им практическо значение. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат в теоретичната непълнота на някои от следващите твърдения.

може да приема стойности от 0 до 180 градуса (от 0 до радиани) включително. Аналитично даден фактсе записва като двойно неравенство: или (в радиани).

В литературата иконата на ъгъл често се пропуска и просто се изписва.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху съществена информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто .

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Умножете вектор по вектор, за да получите число. Наистина, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъла е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

Решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Косинусовите стойности могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще се изисква в почти всички секции на кулата и ще се изисква много пъти.

Чисто от математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в случая е просто число и това е. От гледна точка на физичните проблеми, скаларното произведение винаги има определен физически смисъл, тоест след резултата трябва да се посочи една или друга физическа единица. Каноничният пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно точков продукт). Работата на силата се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например.

Пример 2

Намерете дали , а ъгълът между векторите е .

Това е пример за самостоятелно решаване, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точковия продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказа положително, а в пример 2 – отрицателно. Нека разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека да разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За по-добро разбиране на информацията по-долу е по-добре да проучите косинусовата графика в ръководството Свойства на графики и функции. Вижте как косинусът се държи на отсечката.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира в рамките , като са възможни следните случаи:

1) Ако ъгълмежду вектори пикантен: (от 0 до 90 градуса), след това , и точковият продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула и скаларното произведение също ще бъде положително. Тъй като , тогава формулата е опростена: .

2) Ако ъгълмежду вектори глупав: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковият продукт е отрицателен: . Специален случай: ако векторите насочен противоположно, тогава се разглежда ъгълът между тях разгърнати: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са еднопосочни.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са насочени противоположно.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако ъгълмежду вектори прав: (90 градуса) тогава и точковият продукт е нула: . Обратното също е вярно: ако , то . Компактното изявление е формулирано по следния начин: Скаларното произведение на два вектора е нула тогава и само ако дадените вектори са ортогонални. Кратка математическа нотация:

! Забележка : повторете основите на математическата логика: иконата за двустранно логическо следствие обикновено се чете "ако и само тогава", "ако и само ако". Както виждате, стрелките са насочени и в двете посоки – „от това следва това, и обратното – от това следва това“. Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Претенции за икона само чече "от това следва това", а не фактът, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че иконата не може да се използва в този случай. В същото време, вместо иконата могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, открихме, че заключихме, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай има голям практическо значение , тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим тази задача във втория раздел на урока.

Свойства на точков продукт

Нека се върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях е равен на нула, , а формулата за скаларно произведение приема формата: .

Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е насочен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се нарича скаларен квадратвектор , и се означават като .

По този начин, векторен скаларен квадрат е равно на квадратадължината на дадения вектор:

От това равенство можете да получите формула за изчисляване на дължината на вектор:

Въпреки че изглежда неясно, но задачите на урока ще поставят всичко на мястото си. За да разрешим проблемите, ние също се нуждаем свойства на точков продукт.

За произволни вектори и всяко число са верни следните свойства:

1) - подвижни или комутативензакон за скаларен продукт.

2) - разпределение или разпределителензакон за скаларен продукт. Просто казано, можете да отваряте скоби.

3) - комбинация или асоциативензакон за скаларен продукт. Константата може да бъде извадена от скаларното произведение.

Често всички видове имоти (които също трябва да бъдат доказани!) Се възприемат от студентите като ненужен боклук, който трябва само да бъде запомнен и безопасно забравен веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че продуктът не се променя от пермутация на факторите:. Трябва да ви предупредя, че във висшата математика с такъв подход е лесно да объркате нещата. Така, например, комутативното свойство не е валидно за алгебрични матрици. Не е вярно за кръстосано произведение на вектори. Ето защо е най-малкото по-добре да се задълбочите във всички свойства, които ще срещнете в хода на висшата математика, за да разберете какво може и какво не може да се направи.

Пример 3

.

Решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. за какво става въпрос? Сумата от векторите и е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори можете да намерите в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сборът от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работещата формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но в условието подобни параметри са дадени за вектори, така че ще отидем по друг начин:

(1) Заменяме изрази на вектори .

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми, вулгарен език може да се намери в статията Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Имаме право.

(3) В първия и последния член записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме комутативността на скаларното произведение: .

(4) Ето подобни термини: .

(5) В първия член използваме формулата за скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат съответно работи същото: . Вторият член се разширява по стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателно значениеточков продукт посочва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Задачата е типична, ето пример за самостоятелно решение:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на векторите и , ако е известно, че .

Сега друга често срещана задача, само за новата формула за дължина на вектора. Обозначенията тук ще се припокриват малко, така че за по-голяма яснота ще го пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора, ако .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме векторния израз.

(2) Използваме формулата за дължина: , докато имаме цяло число като вектор "ve".

(3) Използваме училищната формула за квадрат на сбора. Обърнете внимание как работи любопитно тук: - всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Тези, които желаят, могат да пренаредят векторите на места: - получи се същото до пренареждане на условията.

(4) Това, което следва, вече е познато от предишните две задачи.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размерите - "единици".

Пример 6

Намерете дължината на вектора, ако .

Това е пример за „направи си сам“. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от скаларния продукт. Нека да разгледаме нашата формула отново . По правилото на пропорцията нулираме дължините на векторите до знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какъв е смисълът на тази формула? Ако са известни дължините на два вектора и тяхното скаларно произведение, тогава може да се изчисли косинусът на ъгъла между тези вектори и, следователно, самият ъгъл.

Скаларното произведение число ли е? Номер. Дължините на вектора числа ли са? Числа. Така че дробта също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , тогава с помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и , ако е известно, че .

Решение:Използваме формулата:

На последния етап от изчисленията беше използвана техника - елиминиране на ирационалността в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , тогава:

Стойностите на обратните тригонометрични функции могат да бъдат намерени от тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия много по-често се появява някаква тромава мечка и стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с помощта на калкулатор. Всъщност ще виждаме тази картина отново и отново.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерността - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „премахна всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако, разбира се, по условие не се изисква отговорът да се представи само в радиани или само в градуси).

Сега ще можете сами да се справите с по-трудна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгълът между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото многостранна.
Нека анализираме алгоритъма за решение:

1) Според условието се изисква да се намери ъгълът между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намираме скаларното произведение (вижте примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самият ъгъл:

Кратко решение и отговор в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същия точков продукт. Координати. Ще бъде още по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
зададени от координати в ортонормална основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на вектори и ако

Това е пример за „направи си сам“. Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест да не броите, а веднага да извадите тройката от скаларното произведение и да умножите по нея последно. Решение и отговор в края на урока.

В края на параграфа, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължини на вектори , ако

Решение:отново се предлага методът от предишния раздел: но има и друг начин:

Нека намерим вектора:

И дължината му по тривиалната формула :

Скаларното произведение тук изобщо не е от значение!

Колко без работа е при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Защо не се възползвате от очевидното свойство за дължина на вектор? Какво може да се каже за дължината на вектор? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но това няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектора:
- знакът на модула "изяжда" възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формулата за косинуса на ъгъла между векторите, дадени с координати

Сега имаме пълна информация, за да изразим получената по-рано формула за косинуса на ъгъла между векторите по отношение на координатите на векторите:

Косинус на ъгъла между равнинните вектории, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на върха).

Решение:По условие чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Веднага си припомнете училищното обозначение на ъгъла: - специално внимание на средатабуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост може да се напише и просто.

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и , с други думи: .

Желателно е да се научите как да извършвате анализа, извършен мислено.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус на ъгъл:

Именно този ред на задачата препоръчвам на манекените. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията "на един ред":

Ето пример за "лоша" косинусова стойност. Получената стойност не е окончателна, така че няма много смисъл да се отървем от ирационалността в знаменателя.

Нека намерим ъгъла:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За проверка на ъгъла може да се измери и с транспортир. Не повреждайте покритието на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяйте това попита за ъгъла на триъгълника(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: намерени с калкулатор.

Тези, които са харесали процеса, могат да изчислят ъглите и да се уверят, че каноничното равенство е вярно

Пример 17

Триъгълникът е даден в пространството чрез координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока

Малък последен раздел ще бъде посветен на проекциите, в които скаларното произведение също е „замесено“:

Проекция на вектор върху вектор. Векторна проекция върху координатни оси.
Векторни насочващи косинуси

Помислете за вектори и:

Проектираме вектора върху вектора , за това пропускаме от началото и края на вектора перпендикулярина вектор (зелено пунктирани линии). Представете си, че светлинните лъчи падат перпендикулярно на вектор. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде "сянката" на вектора. В този случай проекцията на вектор върху вектор е ДЪЛЖИНАТА на отсечката. Тоест, ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: "голям вектор" означава вектор КОЕТОпроект, "вектор с малък индекс" обозначава вектора НАкойто се проектира.

Самият запис гласи така: „проекцията на вектора „a“ върху вектора „be““.

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде къс"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И векторът "а" вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "be", просто - на права линия, съдържаща вектора "be". Същото нещо ще се случи, ако векторът "а" се остави настрана в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху правата, съдържаща вектора "бе".

Ако ъгълътмежду вектори пикантен(както е на снимката), тогава

Ако векторите ортогонален, тогава (проекцията е точка, чиито размери се приемат за нула).

Ако ъгълътмежду вектори глупав(на фигурата мислено пренаредете стрелката на вектора), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Отделете тези вектори от една точка:

Очевидно при преместване на вектор неговата проекция не се променя

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Ако в задачата както дължините на векторите, така и ъгълът между тях са представени „на сребърен поднос“, то условието на задачата и нейното решение изглеждат така:

Пример 1Дадени са вектори. Намерете скаларното произведение на вектори, ако техните дължини и ъгълът между тях са представени със следните стойности:

Валидна е и друга дефиниция, която е напълно еквивалентна на дефиниция 1.

Определение 2. Скаларното произведение на векторите е число (скалар), равно на произведението на дължината на един от тези вектори и проекцията на друг вектор върху оста, определена от първия от тези вектори. Формула съгласно дефиниция 2:

Ще решим проблема с помощта на тази формула след следващата важна теоретична точка.

Дефиниция на скаларното произведение на векторите по координати

Същото число може да се получи, ако умножените вектори са дадени с техните координати.

Определение 3.Точковият продукт на векторите е числото, равно на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати.

На повърхността

Ако два вектора и на равнината се определят от техните две Декартови координати

тогава точковият продукт на тези вектори е равен на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати:

.

Пример 2Намерете числената стойност на проекцията на вектора върху оста, успоредна на вектора.

Решение. Намираме скаларното произведение на векторите чрез добавяне на продуктите по двойки на техните координати:

Сега трябва да приравним полученото скаларно произведение към произведението на дължината на вектора и проекцията на вектора върху ос, успоредна на вектора (в съответствие с формулата).

Намираме дължината на вектора като Корен квадратенот сумата на квадратите на неговите координати:

.

Напишете уравнение и го решете:

Отговор. Желаната числена стойност е минус 8.

В космоса

Ако два вектора и в пространството са определени от техните три декартови правоъгълни координати

,

тогава скаларното произведение на тези вектори също е равно на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати, само че вече има три координати:

.

Задачата за намиране на скаларното произведение по разглеждания начин е след анализ на свойствата на скаларното произведение. Тъй като в задачата ще е необходимо да се определи какъв ъгъл образуват умножените вектори.

Свойства на точковото произведение на векторите

Алгебрични свойства

1. (комутативно свойство: стойността на тяхното скаларно произведение не се променя от промяната на местата на умножените вектори).

2. (асоциативно свойство по отношение на числов фактор: скаларното произведение на вектор, умножено по някакъв коефициент и друг вектор, е равно на скаларното произведение на тези вектори, умножено по същия коефициент).

3. (разпределително свойство по отношение на сумата от вектори: скаларното произведение на сумата от два вектора по третия вектор е равно на сумата от скаларните произведения на първия вектор по третия вектор и на втория вектор по третия вектор).

4. (скаларен квадрат на вектор, по-голям от нула), ако е ненулев вектор и , ако е нулев вектор.

Геометрични свойства

В дефинициите на изучаваната операция вече засегнахме концепцията за ъгъл между два вектора. Време е да изясним тази концепция.

На фигурата по-горе се виждат два вектора, които се редуцират до общо начало. И първото нещо, на което трябва да обърнете внимание: има два ъгъла между тези вектори - φ 1 и φ 2 . Кой от тези ъгли се появява в дефинициите и свойствата на скаларното произведение на векторите? Сумата от разглежданите ъгли е 2 π и следователно косинусите на тези ъгли са равни. Дефиницията на точковия продукт включва само косинуса на ъгъла, а не стойността на неговия израз. Но в имотите се разглежда само един ъгъл. И това е единият от двата ъгъла, който не превишава π тоест 180 градуса. Този ъгъл е показан на фигурата като φ 1 .

1. Два вектора се наричат ортогонален и ъгълът между тези вектори е прав (90 градуса или π /2 ) ако скаларното произведение на тези вектори е нула :

.

Ортогоналността във векторната алгебра е перпендикулярността на два вектора.

2. Два ненулеви вектора съставят остър ъгъл (от 0 до 90 градуса или, което е същото, по-малко π точковият продукт е положителен .

3. Два ненулеви вектора съставят тъп ъгъл (от 90 до 180 градуса или, което е същото - повече π /2 ) тогава и само ако точковият продукт е отрицателен .

Пример 3Векторите са дадени в координати:

.

Изчислете точковите произведения на всички двойки дадени вектори. Какъв ъгъл (остър, прав, тъп) образуват тези двойки вектори?

Решение. Ще изчислим, като съберем продуктите на съответните координати.

Получихме отрицателно число, така че векторите образуват тъп ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

Получихме нула, така че векторите образуват прав ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус от ъгъла между тях .

Пример 4Дадени са дължините на два вектора и ъгълът между тях:

.

Определете при каква стойност на числото векторите и са ортогонални (перпендикулярни).

Решение. Умножаваме векторите според правилото за умножение на полиноми:

Сега нека изчислим всеки член:

.

Нека съставим уравнение (равенство на произведението на нула), да дадем подобни членове и да решим уравнението:

Отговор: получихме стойността λ = 1.8 , при което векторите са ортогонални.

Пример 5Докажете, че векторът ортогонален (перпендикулярен) на вектор

Решение. За да проверим ортогоналността, ние умножаваме векторите и като полиноми, замествайки вместо него израза, даден в условието на проблема:

.

За да направите това, трябва да умножите всеки член (термин) на първия полином по всеки член на втория и да добавите получените продукти:

.

В резултат на това дължимата част се намалява. Получава се следният резултат:

Заключение: в резултат на умножението получихме нула, следователно ортогоналността (перпендикулярността) на векторите е доказана.

Решете проблема сами и след това вижте решението

Пример 6Като се има предвид дължините на вектори и , И ъгълът между тези вектори е π /четири. Определете на каква стойност μ вектори и са взаимно перпендикулярни.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус от ъгъла между тях .

Матрично представяне на скаларното произведение на вектори и произведението на n-мерни вектори

Понякога, за по-голяма яснота, е изгодно да се представят два умножени вектора под формата на матрици. Тогава първият вектор се представя като матрица на ред, а вторият - като матрица на колона:

Тогава скаларното произведение на векторите ще бъде произведението на тези матрици :

Резултатът е същият като този, получен по метода, който вече разгледахме. Получихме едно единствено число и произведението на реда на матрицата по колоната на матрицата също е едно единствено число.

В матрична форма е удобно да се представи продуктът на абстрактното n-мерни вектори. По този начин произведението на два четириизмерни вектора ще бъде произведение на редова матрица с четири елемента по колонна матрица също с четири елемента, произведението на два петизмерни вектора ще бъде произведение на редова матрица с пет елемента по колонна матрица също с пет елемента и т.н.

Пример 7Намерете точкови произведения на двойки вектори

,

използване на матрично представяне.

Решение. Първата двойка вектори. Представяме първия вектор като матрица на ред, а втория като матрица на колона. Намираме скаларното произведение на тези вектори като произведение на матрицата на реда по матрицата на колоната:

По същия начин представяме втората двойка и намираме:

Както можете да видите, резултатите са същите като за същите двойки от пример 2.

Ъгъл между два вектора

Извеждането на формулата за косинус на ъгъла между два вектора е много красиво и стегнато.

За изразяване на скалярното произведение на векторите

(1)

в координатна форма първо намираме скаларното произведение на ортовете. Скаларното произведение на вектор със себе си е по дефиниция:

Написаното във формулата по-горе означава: скаларното произведение на вектор със себе си е равно на квадрата на неговата дължина. Косинусът от нула е равен на едно, така че квадратът на всеки орт ще бъде равен на едно:

Тъй като векторите

са перпендикулярни по двойки, тогава произведенията по двойки на ортовете ще бъдат равни на нула:

Сега нека извършим умножението на векторни полиноми:

Заместник в правилната странаравенство на стойностите на съответните скаларни продукти на ортовете:

Получаваме формулата за косинуса на ъгъла между два вектора:

Пример 8Дадени три точки А(1;1;1), б(2;2;1), ° С(2;1;2).

Намерете ъгъл.

Решение. Намираме координатите на векторите:

,

.

Използвайки формулата за косинус на ъгъл, получаваме:

Следователно,.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус от ъгъла между тях .

Пример 9Дадени са два вектора

Намерете сбора, разликата, дължината, скалярното произведение и ъгъла между тях.

2.Разлика

I. Скаларното произведение изчезва тогава и само ако понеедин от векторите е нулев или ако векторите са перпендикулярни. Наистина, ако или , или тогава .

Обратно, ако умножените вектори не са нула, тогава защото от условието

когато следва:

Тъй като посоката на нулевия вектор е неопределена, нулевият вектор може да се счита за перпендикулярен на всеки вектор. Следователно посоченото свойство на скаларното произведение може да се формулира по-кратко: скаларното произведение изчезва тогава и само ако векторите са перпендикулярни.

II. Скаларният продукт има свойството на изместимост:

Това свойство следва директно от определението:

защото различни означения за един и същи ъгъл.

III. Единствено и само важностима разпределителен закон. Приложението му е толкова голямо, колкото и в обикновената аритметика или алгебра, където се формулира по следния начин: за да умножите сумата, трябва да умножите всеки член и да добавите получените продукти, т.е.

Очевидно умножението на многозначни числа в аритметиката или полиноми в алгебрата се основава на това свойство на умножението.

Този закон има същото основно значение във векторната алгебра, тъй като въз основа на него можем да приложим обичайното правило за умножение на полиноми към вектори.

Нека докажем, че за всеки три вектора A, B, C равенството

Съгласно второто определение на скаларното произведение, изразено с формулата, получаваме:

Прилагайки сега свойство 2 на проекциите от § 5, намираме:

Q.E.D.

IV. Скаларното произведение има свойството на комбинация по отношение на числения фактор; това свойство се изразява със следната формула:

т.е., за да умножите скаларното произведение на векторите по число, достатъчно е да умножите един от факторите по това число.