Ще има и задачи за самостоятелно решаване, на които можете да видите отговорите.

Ако в задачата както дължините на векторите, така и ъгълът между тях са представени „на сребърен поднос“, тогава условието на задачата и нейното решение изглеждат така:

Пример 1.Дадени са вектори. Намерете скаларното произведение на вектори, ако техните дължини и ъгълът между тях са представени със следните стойности:

Друга дефиниция също е валидна, напълно еквивалентна на дефиниция 1.

Определение 2. Скаларното произведение на векторите е число (скалар), равно на произведението на дължината на един от тези вектори и проекцията на друг вектор върху оста, определена от първия от тези вектори. Формула съгласно дефиниция 2:

Ще решим проблема с помощта на тази формула след следващата важна теоретична точка.

Дефиниция на скаларното произведение на векторите по координати

Същото число може да се получи, ако векторите, които се умножават, получат техните координати.

Определение 3. Скаларно произведениевектори е число, равно на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати.

На повърхността

Ако два вектора и на равнината се определят от техните две Декартови правоъгълни координати

тогава скаларното произведение на тези вектори е равно на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати:

.

Пример 2.Намерете числената стойност на проекцията на вектора върху оста, успоредна на вектора.

Решение. Намираме скаларното произведение на векторите чрез добавяне на продуктите по двойки на техните координати:

Сега трябва да приравним полученото скаларно произведение към произведението на дължината на вектора и проекцията на вектора върху ос, успоредна на вектора (в съответствие с формулата).

Намерете дължината на вектора като Корен квадратенот сумата на квадратите на неговите координати:

.

Създаваме уравнение и го решаваме:

Отговор. Необходимата цифрова стойност е минус 8.

В космоса

Ако два вектора и в пространството са определени от техните три декартови правоъгълни координати

,

тогава скаларното произведение на тези вектори също е равно на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати, само че вече има три координати:

.

Задачата за намиране на скаларното произведение чрез разглеждания метод е след анализ на свойствата на скаларното произведение. Защото в задачата ще трябва да определите какъв ъгъл образуват умножените вектори.

Свойства на скаларното произведение на векторите

Алгебрични свойства

1. (комутативно свойство: обръщането на местата на умножените вектори не променя стойността на тяхното скаларно произведение).

2. (асоциативно свойство по отношение на числов фактор: скаларното произведение на вектор, умножено по определен фактор и друг вектор, е равно на скаларното произведение на тези вектори, умножено по същия фактор).

3. (разпределително свойство спрямо сумата от вектори: скаларното произведение на сумата от два вектора по третия вектор е равно на сумата от скаларните произведения на първия вектор по третия вектор и на втория вектор по третия вектор).

4. (скаларен квадрат на вектор, по-голям от нула), ако е ненулев вектор и , ако е нулев вектор.

Геометрични свойства

В дефинициите на изучаваната операция вече засегнахме концепцията за ъгъл между два вектора. Време е да изясним тази концепция.

На фигурата по-горе можете да видите два вектора, които се редуцират до общо начало. И първото нещо, на което трябва да обърнете внимание е, че има два ъгъла между тези вектори - φ 1 И φ 2 . Кой от тези ъгли се появява в дефинициите и свойствата на скаларното произведение на векторите? Сумата от разглежданите ъгли е 2 π и следователно косинусите на тези ъгли са равни. Дефиницията на точков продукт включва само косинуса на ъгъла, а не стойността на неговия израз. Но свойствата разглеждат само един ъгъл. И това е единият от двата ъгъла, който не превишава π , тоест 180 градуса. На фигурата този ъгъл е обозначен като φ 1 .

1. Два вектора се наричат ортогонален И ъгълът между тези вектори е прав (90 градуса или π /2 ), ако скаларното произведение на тези вектори е нула :

.

Ортогоналността във векторната алгебра е перпендикулярността на два вектора.

2. Два ненулеви вектора съставят остър ъгъл (от 0 до 90 градуса, или, което е същото - по-малко π точковият продукт е положителен .

3. Два ненулеви вектора съставят тъп ъгъл (от 90 до 180 градуса или, което е същото - повече π /2) ако и само ако те точковият продукт е отрицателен .

Пример 3.Координатите се дават от векторите:

.

Изчислете скаларните произведения на всички двойки дадени вектори. Какъв ъгъл (остър, прав, тъп) образуват тези двойки вектори?

Решение. Ще изчислим, като съберем продуктите на съответните координати.

Получихме отрицателно число, така че векторите образуват тъп ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

Получихме нула, така че векторите образуват прав ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус от ъгъла между тях .

Пример 4.Дадени са дължините на два вектора и ъгълът между тях:

.

Определете при каква стойност на числото векторите и са ортогонални (перпендикулярни).

Решение. Нека умножим векторите, използвайки правилото за умножение на полиноми:

Сега нека изчислим всеки член:

.

Нека създадем уравнение (продуктът е равен на нула), добавим подобни членове и решим уравнението:

Отговор: получихме стойността λ = 1.8, при което векторите са ортогонални.

Пример 5.Докажете, че векторът ортогонален (перпендикулярен) на вектора

Решение. За да проверим ортогоналността, умножаваме векторите и като полиноми, замествайки вместо това израза, даден в формулировката на проблема:

.

За да направите това, трябва да умножите всеки член (термин) на първия полином по всеки член на втория и да добавите получените продукти:

.

В получения резултат фракцията се намалява с. Получава се следният резултат:

Заключение: в резултат на умножението получихме нула, следователно ортогоналността (перпендикулярността) на векторите е доказана.

Решете проблема сами и след това вижте решението

Пример 6.Дължините на векторите и са дадени, а ъгълът между тези вектори е π /4 . Определете на каква стойност μ вектори и са взаимно перпендикулярни.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус от ъгъла между тях .

Матрично представяне на точковия продукт на векторите и произведението на n-мерните вектори

Понякога е изгодно за яснота да се представят два умножени вектора под формата на матрици. Тогава първият вектор се представя като матрица на ред, а вторият - като матрица на колона:

Тогава скаларното произведение на векторите ще бъде произведението на тези матрици :

Резултатът е същият като този, получен по метода, който вече разгледахме. Имаме едно единствено число и произведението на матрица на ред по матрица на колона също е едно единствено число.

Удобно е да се представи продуктът на абстрактни n-мерни вектори в матрична форма. По този начин произведението на два четириизмерни вектора ще бъде произведение на редова матрица с четири елемента по колонна матрица също с четири елемента, произведението на два петизмерни вектора ще бъде произведение на редова матрица с пет елемента по колонна матрица също с пет елемента и т.н.

Пример 7.Намерете скаларни произведения на двойки вектори

,

използване на матрично представяне.

Решение. Първата двойка вектори. Представяме първия вектор като матрица на ред, а втория като матрица на колона. Намираме скаларното произведение на тези вектори като произведение на матрица на ред и матрица на колона:

Представяме по подобен начин втората двойка и намираме:

Както можете да видите, резултатите са същите като за същите двойки от пример 2.

Ъгъл между два вектора

Извеждането на формулата за косинус на ъгъла между два вектора е много красиво и стегнато.

За изразяване на скалярното произведение на векторите

(1)

в координатна форма първо намираме скаларното произведение на единичните вектори. Скаларното произведение на вектор със себе си по дефиниция:

Написаното във формулата по-горе означава: скаларното произведение на вектор със себе си е равно на квадрата на неговата дължина. Косинусът от нула е равен на едно, така че квадратът на всяка единица ще бъде равен на едно:

Тъй като вектори

са по двойки перпендикулярни, тогава произведенията по двойки на единичните вектори ще бъдат равни на нула:

Сега нека извършим умножението на векторни полиноми:

Заместник в правилната странаравенство на стойностите на съответните скаларни продукти на единични вектори:

Получаваме формулата за косинуса на ъгъла между два вектора:

Пример 8.Дават се три точки А(1;1;1), б(2;2;1), ° С(2;1;2).

Намерете ъгъла.

Решение. Намиране на координатите на векторите:

,

.

Използвайки формулата за косинусния ъгъл, получаваме:

Следователно, .

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус от ъгъла между тях .

Пример 9.Дадени са два вектора

Намерете сбора, разликата, дължината, скалярното произведение и ъгъла между тях.

2.Разлика

Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениРазгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, силно препоръчвам да прочетете горната уводна статия, тъй като за да усвоите материала, трябва да сте запознати с термините и обозначенията, които използвам, да имате основни познания за векторите и можете да решавате основни проблеми. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типични задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА дейност.. Опитайте се да не пропускате примерите; те идват с полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате преминатия материал и да станете по-добри в решаването на често срещани проблеми в аналитичната геометрия.

Събиране на вектори, умножение на вектор с число.... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече обсъдените действия, има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, векторно произведение на векториИ смесено произведение на вектори. Скаларното произведение на векторите ни е познато от училище, другите два продукта традиционно принадлежат към курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е ясен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и решите ВСИЧКО НАВЕДНЪЖ. Това важи особено за манекените; повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математиката, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материали избирателно, в известен смисъл, да „получат“ липсващите знания; за вас аз ще бъда безвреден граф Дракула =)

Нека най-накрая отворим вратата и да гледаме с ентусиазъм какво се случва, когато два вектора се срещнат...

Дефиниция на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече подробности. Нека разгледаме свободни ненулеви вектори и . Ако начертаете тези вектори от произволна точка, ще получите картина, която мнозина вече са си представили мислено:

Признавам, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от стриктна дефиниция на ъгъла между векторите, вижте учебника; за практически задачи по принцип не ни е от полза. Също така ТУК И ТУК ще игнорирам нулевите вектори на места поради ниското им практическо значение. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат в теоретичната непълнота на някои последващи твърдения.

може да приема стойности от 0 до 180 градуса (0 до радиани), включително. Аналитично този фактзаписано като двойно неравенство: или (в радиани).

В литературата символът за ъгъл често се пропуска и просто се изписва.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Сега това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху съществена информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто.

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Векторът се умножава по вектор и резултатът е число. Наистина, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъл е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

Решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Косинусовите стойности могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще е необходимо в почти всички секции на кулата и ще е необходимо много пъти.

От чисто математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в този случай е просто число и това е. От гледна точка на физичните проблеми, скаларното произведение винаги има определен физически смисъл, тоест след резултата трябва да се посочи една или друга физическа единица. Каноничен пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно скаларен продукт). Работата на силата се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например, .

Пример 2

Намерете дали , а ъгълът между векторите е равен на .

Това е пример, който трябва да решите сами, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точковия продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказва положително, а в пример 2 – отрицателно. Нека да разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека да разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За да разберете по-добре информацията по-долу, е по-добре да проучите косинусната графика в ръководството Функционални графики и свойства. Вижте как косинусът се държи на отсечката.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира в рамките , като са възможни следните случаи:

1) Ако ъгълмежду вектори пикантен: (от 0 до 90 градуса), след това , И точковият продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула и скаларният продукт също ще бъде положителен. Тъй като , формулата опростява: .

2) Ако ъгълмежду вектори тъп: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковият продукт е отрицателен: . Специален случай: ако векторите противоположни посоки, тогава се разглежда ъгълът между тях разширена: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са съпосочни.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са в противоположни посоки.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако ъгълмежду вектори прав: (90 градуса), тогава скаларното произведение е нула: . Обратното също е вярно: ако , то . Твърдението може да се формулира компактно по следния начин: Скаларното произведение на два вектора е нула тогава и само ако векторите са ортогонални. Кратка математическа нотация:

! Забележка : Да повторим основи на математическата логика: Двустранна икона за логическо следствие обикновено се чете "ако и само ако", "ако и само ако". Както можете да видите, стрелките са насочени в двете посоки - "от това следва това и обратно - от това следва това." Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Иконата гласи само че, че „от това следва това“, и не е факт, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че в този случай не можете да използвате иконата. В същото време, вместо иконата Могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, открихме, че заключихме, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай има повече практическо значение , тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим този проблем във втория раздел на урока.

Свойства на точковия продукт

Нека се върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях е нула, , а формулата за скаларно произведение приема формата: .

Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е подравнен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се нарича скаларен квадратвектор и се означават като .

По този начин, скаларен квадратен вектор равно на квадратдължина на този вектор:

От това равенство можем да получим формула за изчисляване на дължината на вектора:

Засега изглежда неясно, но целите на урока ще поставят всичко на мястото си. За решаване на проблемите, от които се нуждаем свойства на точковия продукт.

За произволни вектори и всяко число са верни следните свойства:

1) – комутативен или комутативензакон за скаларен продукт.

2) – разпространение или разпределителензакон за скаларен продукт. Просто можете да отворите скобите.

3) – асоциативни или асоциативензакон за скаларен продукт. Константата може да бъде получена от скаларното произведение.

Често всякакви имоти (които също трябва да бъдат доказани!) се възприемат от студентите като ненужни боклуци, които трябва само да бъдат запомнени и безопасно забравени веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че пренареждането на факторите не променя продукта: . Трябва да ви предупредя, че във висшата математика е лесно да се объркат нещата с такъв подход. Така, например, свойството комутативност не е вярно за алгебрични матрици. Също така не е вярно за векторно произведение на вектори. Следователно най-малкото е по-добре да се задълбочите във всички свойства, които срещате в курса по висша математика, за да разберете какво можете и какво не можете.

Пример 3

.

Решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. Какво е това все пак? Сумата от вектори е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори можете да намерите в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сборът от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работещата формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но условието дава подобни параметри за вектори, така че ще поемем по различен маршрут:

(1) Заменете изразите на векторите.

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми, вулгарен език може да намерите в статията Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Имаме право.

(3) В първия и последния член записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме комутативността на скаларното произведение: .

(4) Представяме подобни условия: .

(5) В първия член използваме формулата за скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат съответно работи същото: . Разширяваме втория член според стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателно значениеСкаларното произведение посочва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Проблемът е типичен, ето пример как да го разрешите сами:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на вектори и ако е известно, че .

Сега друга често срещана задача, само за новата формула за дължината на вектор. Нотацията тук ще бъде малко припокриваща се, така че за по-голяма яснота ще я пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора, ако .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме израза за вектора .

(2) Използваме формулата за дължина: и целият израз ve действа като вектор „ve“.

(3) Използваме училищната формула за квадрат на сбора. Забележете как работи тук по любопитен начин: – всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Желаещите могат да пренаредят векторите: - случва се същото, до пренареждането на членовете.

(4) Това, което следва, вече е познато от предишните две задачи.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размерите - „единици“.

Пример 6

Намерете дължината на вектора, ако .

Това е пример, който можете да решите сами. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от точковия продукт. Нека да разгледаме нашата формула отново . Използвайки правилото на пропорцията, нулираме дължините на векторите до знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какъв е смисълът на тази формула? Ако дължините на два вектора и тяхното скаларно произведение са известни, тогава може да се изчисли косинусът на ъгъла между тези вектори и, следователно, самият ъгъл.

Точковият продукт число ли е? Номер. Дължините на вектора числа ли са? Числа. Това означава, че дробта също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , тогава с помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и ако е известно, че .

Решение:Използваме формулата:

На последния етап от изчисленията е използван технически похват - елиминиране на ирационалност в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , Че:

Стойностите на обратните тригонометрични функции могат да бъдат намерени от тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия, много по-често някоя тромава мечка като , и стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с помощта на калкулатор. Всъщност ще видим такава картина повече от веднъж.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерите - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „разреша всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако условието, разбира се, не изисква представяне на отговора само в радиани или само в градуси).

Сега можете самостоятелно да се справите с по-сложна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгълът между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото е многоетапна.
Нека да разгледаме алгоритъма за решение:

1) Според условието трябва да намерите ъгъла между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намерете скаларното произведение (вижте примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самият ъгъл:

Кратко решение и отговор в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същото скаларно произведение. Координати. Ще бъде още по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
зададени от координати в ортонормална основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на вектори и ако

Това е пример, който можете да решите сами. Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест да не броите, а веднага да извадите тройката извън скаларния продукт и да я умножите по нея последна. Решението и отговорът са в края на урока.

В края на раздела, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължините на векторите , Ако

Решение:Методът от предишния раздел се предлага отново: но има и друг начин:

Нека намерим вектора:

И дължината му по тривиалната формула :

Точковият продукт тук изобщо не е от значение!

Също така не е полезно при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Не трябва ли да се възползваме от очевидното свойство на дължината на вектора? Какво можете да кажете за дължината на вектора? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но това няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектора:
– знакът за модул „изяжда” възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формула за косинуса на ъгъла между векторите, които са зададени с координати

Сега имаме пълна информация, за да изразим получената по-рано формула за косинуса на ъгъла между векторите чрез координатите на векторите:

Косинус на ъгъла между равнинните вектории , определени в ортонормална основа, изразено с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, определени в ортонормална основа, изразено с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на върха).

Решение:Според условията чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Нека веднага да си спомним училищното обозначение на ъгъл: – специално внимание на средно аритметичнобуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост можете също да напишете просто .

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и, с други думи: .

Препоръчително е да се научите как да извършвате анализа психически.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус от ъгъл:

Точно това е редът на изпълнение на задачата, който препоръчвам за манекени. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията „на един ред“:

Ето пример за „лоша“ косинусова стойност. Получената стойност не е окончателна, така че няма смисъл да се отървете от ирационалността в знаменателя.

Нека намерим самия ъгъл:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За проверка ъгълът може да се измери и с транспортир. Не повреждайте капака на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяме това попита за ъгъла на триъгълник(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: , намерено с помощта на калкулатор.

Тези, които са се насладили на процеса, могат да изчислят ъглите и да проверят валидността на каноничното равенство

Пример 17

Триъгълникът се определя в пространството от координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока

Кратък последен раздел ще бъде посветен на прогнозите, които също включват скаларен продукт:

Проекция на вектор върху вектор. Проекция на вектор върху координатни оси.
Насочващи косинуси на вектор

Помислете за векторите и:

Нека проектираме вектора върху вектора; за да направим това, от началото и края на вектора пропускаме перпендикулярикъм вектор (зелен пунктирани линии). Представете си, че лъчите светлина падат перпендикулярно на вектора. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде „сянката“ на вектора. В този случай проекцията на вектора върху вектора е ДЪЛЖИНАТА на сегмента. Тоест, ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: „голям вектор“ означава вектора КОЙТОпроект, „вектор с малък индекс“ означава вектора НАкойто се проектира.

Самият запис гласи така: „проекция на вектор „a“ върху вектор „be“.“

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде къс"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И вектор „а“ вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "be", просто - към правата линия, съдържаща вектора "be". Същото ще се случи, ако векторът „а“ бъде отложен в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху правата линия, съдържаща вектора „бе“.

Ако ъгълътмежду вектори пикантен(както е на снимката), тогава

Ако векторите ортогонален, тогава (проекцията е точка, чиито размери се считат за нула).

Ако ъгълътмежду вектори тъп(на фигурата мислено пренаредете векторната стрелка), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Нека начертаем тези вектори от една точка:

Очевидно, когато един вектор се движи, неговата проекция не се променя

I. Скаларното произведение изчезва тогава и само ако понеедин от векторите е нула или ако векторите са перпендикулярни. Всъщност, ако или , или тогава .

Обратно, ако векторите, които се умножават, не са нула, тогава защото от условието

когато следва:

Тъй като посоката на нулевия вектор е несигурна, нулевият вектор може да се счита за перпендикулярен на всеки вектор. Следователно посоченото свойство на скаларното произведение може да се формулира по-кратко: скаларното произведение изчезва тогава и само ако векторите са перпендикулярни.

II. Скаларното произведение има комутативното свойство:

Това свойство следва директно от определението:

защото различни означения за един и същи ъгъл.

III. Единствено и само важноима разпределителен закон. Приложението му е толкова голямо, колкото и в обикновената аритметика или алгебра, където се формулира по следния начин: за да умножите сбор, трябва да умножите всеки член и да съберете получените продукти, т.е.

Очевидно умножението на многозначни числа в аритметиката или полиноми в алгебрата се основава на това свойство на умножението.

Този закон има същото основно значение във векторната алгебра, тъй като въз основа на него можем да приложим обичайното правило за умножение на полиноми към вектори.

Нека докажем, че за всеки три вектора A, B, C е вярно следното равенство:

Съгласно второто определение на скаларното произведение, изразено с формулата, получаваме:

Сега прилагайки свойството на 2 проекции от § 5, намираме:

Q.E.D.

IV. Скаларното произведение има свойството на комбинираемост по отношение на числов фактор; това свойство се изразява със следната формула:

тоест, за да умножите скаларното произведение на векторите по число, достатъчно е да умножите един от факторите по това число.