Дължината на сегмента в координатната равнина. Намиране на координатите на средата на сегмент: примери, решения

Ако докоснете лист от тетрадка с добре подострен молив, ще остане следа, която дава представа за смисъла. (фиг. 3).

На лист хартия отбелязваме две точки A и B. Тези точки могат да бъдат свързани с различни линии (фиг. 4). И как да свържа точките А и Б с най-късата линия? Това може да стане с линийка (фиг. 5). Получената линия се нарича сегмент.

Точка и права - примери геометрични форми.

Точките А и Б се наричат краищата на сегмента.

Има една отсечка, чиито краища са точките A и B. Следователно отсечката се означава, като се изпишат точките, които са нейните краища. Например, сегментът на фигура 5 е обозначен по един от двата начина: AB или BA. Прочетете: "сегмент AB" или "сегмент BA".

Фигура 6 показва три сегмента. Дължината на отсечката AB е равна на 1 см. В отсечката MN тя е поставена точно три пъти, а в отсечката EF точно 4 пъти. Ние ще кажем това дължина на сегмента MN е 3 cm, а дължината на отсечката EF е 4 cm.

Също така е обичайно да се казва: "сегмент MN е 3 cm", "сегмент EF е 4 cm". Пишат: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Измерихме дължините на отсечките MN и EF единичен сегмент, чиято дължина е 1 см. За измерване на сегменти можете да изберете други единици за дължина, например: 1 mm, 1 dm, 1 km. На фигура 7 дължината на сегмента е 17 mm. Измерва се с единична отсечка с дължина 1 mm с линийка с деления. Също така с помощта на линийка можете да построите (начертаете) сегмент с дадена дължина (вижте фиг. 7).

В общи линии, да измериш сегмент означава да преброиш колко единични сегмента се побират в него.

Дължината на сегмент има следното свойство.

Ако точка C е отбелязана на отсечката AB, тогава дължината на отсечката AB е равна на сумата от дължините на отсечките AC и CB(фиг. 8).

Пишат: AB = AC + CB.

Фигура 9 показва два сегмента AB и CD. Тези сегменти ще съвпадат, когато се наслагват.

Два сегмента се наричат равни, ако съвпадат при наслагване.

Следователно отсечките AB и CD са равни. Пишат: AB = CD.

Еднаквите сегменти имат равни дължини.

От двата неравни сегмента ще считаме този с по-голяма дължина за по-голям. Например на фигура 6 сегментът EF е по-голям от сегмента MN.

Дължината на отсечката AB се нарича разстояниемежду точки А и Б.

Ако няколко сегмента са подредени, както е показано на фигура 10, тогава получаваме геометрична фигура, което се нарича прекъсната линия. Обърнете внимание, че всички сегменти на фигура 11 не образуват прекъсната линия. Смята се, че сегментите образуват прекъсната линия, ако краят на първия сегмент съвпада с края на втория, а другият край на втория сегмент съвпада с края на третия и т.н.

Точки A, B, C, D, E − върхове на полилиния ABCDE, точки A и E − прекъсната линия завършва, а отсечките AB, BC, CD, DE са неговите връзки(виж фиг. 10).

Дължината на прекъснатата линияе сумата от дължините на всички негови връзки.

Фигура 12 показва две прекъснати линии, чиито краища съвпадат. Такива прекъснати линии се наричат затворен.

Пример 1 . Отсечката BC е с 3 cm по-малка от отсечката AB, чиято дължина е 8 cm (фиг. 13). Намерете дължината на отсечката AC.

Решение. Имаме: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Използвайки свойството дължина на отсечка, можем да запишем AC = AB + BC. Следователно AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Отговор: 13 см.

Пример 2 . Известно е, че MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (фиг. 14). Намерете дължината на отсечката NK.

Решение. Имаме: MN = MP − NP.

Следователно MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Имаме: NK = MK − MN.

Следователно NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Отговор: 6 см.

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се пренаредят: и , но първият вариант е по-стандартен

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 cm (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но в него има няколко важни момента, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обърни внимание на важен технически трик – изваждане на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждане на фактора изпод корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, оставянето на отговора във формуляра няма да е грешка – но определено е недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често под корена се оказва достатъчно голямо число, например . Как да бъдем в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, разделете напълно, така: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим цяло число, което не може да бъде извлечено, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.н.

В хода на решаването на различни задачи често се откриват корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележката на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и другите степени едновременно:

Правила за действия със степени в общ изгледможе да се намери в училищен учебникпо алгебра, но, мисля, от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Статията по-долу ще разгледа въпросите за намиране на координатите на средата на сегмента при наличието на неговите координати като първоначални данни крайни точки. Но преди да пристъпим към изследване на въпроса, въвеждаме редица определения.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Линеен сегмент- права линия, свързваща две произволни точки, наречени краища на сегмента. Като пример нека това са точките A и B и съответно отсечката A B .

Ако отсечката A B се продължи в двете посоки от точките A и B, ще получим права A B. Тогава отсечката A B е част от получената права, ограничена от точки A и B . Отсечката A B обединява точките A и B , които са нейните краища, както и множеството точки, разположени между тях. Ако, например, вземем произволна точка K, разположена между точките A и B, можем да кажем, че точката K лежи на отсечката A B.

Определение 2

Дължина на рязанее разстоянието между краищата на сегмента в даден мащаб (сегмент с единица дължина). Дължината на отсечката A B означаваме така: A B .

Определение 3

средна точкаТочка на отсечка, която е на еднакво разстояние от краищата му. Ако средата на сегмента A B е означена с точка C, тогава равенството ще бъде вярно: A C \u003d C B

Изходни данни: координатна права O x и разминаващи се точки върху нея: A и B . Тези точки съответстват на реални числа x A и x B . Точка C е средата на сегмент A B: трябва да определите координатата x C .

Тъй като точка C е средата на отсечката A B, равенството ще бъде вярно: | A C | = | C B | . Разстоянието между точките се определя от модула на разликата между техните координати, т.е.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тогава са възможни две равенства: x C - x A = x B - x C и x C - x A = - (x B - x C)

От първото равенство извличаме формула за координатата на точката C: x C \u003d x A + x B 2 (половината от сумата на координатите на краищата на сегмента).

От второто равенство получаваме: x A = x B , което е невъзможно, т.к в оригиналните данни - несъответстващи точки. По този начин, формула за определяне на координатите на средата на отсечката A B с краища A (x A) и B(xB):

Получената формула ще бъде основата за определяне на координатите на средната точка на сегмента в равнина или в пространството.

Изходни данни: правоъгълна координатна система на равнината O x y , две произволни несъвпадащи точки с дадени координати A x A, y A и B x B, y B. Точка C е средата на отсечка A B . Необходимо е да се определят координатите x C и y C за точка C .

Нека вземем за анализ случая, когато точките A и B не съвпадат и не лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. A x, A y; B x , B y и C x , C y - проекции на точки A , B и C върху координатните оси (правите O x и O y).

По построение правите A A x , B B x , C C x са успоредни; линиите също са успоредни една на друга. Заедно с това, според теоремата на Талес, от равенството A C \u003d C B следват равенствата: A x C x \u003d C x B x и A y C y \u003d C y B y, а те от своя страна, показват, че точката C x е средата на сегмента A x B x, а C y е средата на сегмента A y B y. И тогава, въз основа на формулата, получена по-рано, получаваме:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Същите формули могат да се използват в случаите, когато точките A и B лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. Няма да правим подробен анализ на този случай, ще го разгледаме само графично:

Обобщавайки всичко по-горе, координати на средата на отсечката A B на равнината с координатите на краищата A (x A, y A) и B(x B, y B) определен като:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Изходни данни: координатна система О x y z и две произволни точки със зададени координати A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо е да се определят координатите на точка C , която е средата на отсечката A B .

A x, A y, A z; B x , B y , B z и C x , C y , C z - проекции на всички дадени точки върху осите на координатната система.

Според теоремата на Талес равенствата са верни: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следователно точките C x , C y , C z са среди съответно на отсечките A x B x , A y B y , A z B z. Тогава, за определяне на координатите на средата на сегмента в пространството са верни следните формули:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Получените формули са приложими и в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните линии; на права линия, перпендикулярна на една от осите; един координатна равнинаили равнина, перпендикулярна на една от координатните равнини.

Определяне на координатите на средата на отсечка чрез координатите на радиус-векторите на нейните краища

Формулата за намиране на координатите на средата на сегмента може да се изведе и според алгебричната интерпретация на векторите.

Изходни данни: правоъгълна декартова координатна система O x y , точки с дадени координати A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C е средата на отсечка A B .

Според геометричната дефиниция на действията върху векторите ще бъде вярно следното равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в този случай е пресечната точка на диагоналите на успоредника, построен на базата на векторите O A → и O B → , т.е. точката на средата на диагоналите Координатите на радиус вектора на точката са равни на координатите на точката, тогава равенствата са верни: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Нека извършим някои операции върху вектори в координати и ще получим:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следователно точка C има координати:

x A + x B 2, y A + y B 2

По аналогия се дефинира формула за намиране на координатите на средата на сегмент в пространството:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Примери за решаване на задачи за намиране на координатите на средата на отсечка

Сред задачите, включващи използването на получените по-горе формули, има както тези, в които въпросът е директно да се изчислят координатите на средата на сегмента, така и тези, които включват привеждане на дадените условия към този въпрос: терминът „медиана“ често се използва, целта е да се намерят координатите на един от краищата на сегмента, както и задачи по симетрия, чието решение като цяло също не трябва да създава затруднения след изучаване настоящата тема. Нека разгледаме типични примери.

Пример 1

Първоначални данни:на равнината - точки с дадени координати A (- 7, 3) и B (2, 4) . Необходимо е да се намерят координатите на средата на сегмента A B.

Решение

Нека означим средата на отсечката A B с точка C . Неговите координати ще бъдат определени като половината от сумата на координатите на краищата на сегмента, т.е. точки А и Б.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Отговор: координати на средата на сегмент A B - 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Първоначални данни:координатите на триъгълника A B C са известни: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Необходимо е да се намери дължината на медианата A M.

Решение

По условието на задачата A M е медианата, което означава, че M е средата на отсечката B C . Първо намираме координатите на средата на сегмента B C , т.е. М точки:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

Тъй като сега знаем координатите на двата края на медианата (точки A и M), можем да използваме формулата, за да определим разстоянието между точките и да изчислим дължината на медианата A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Отговор: 58

Пример 3

Първоначални данни:паралелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 е даден в правоъгълната координатна система на тримерното пространство. Дадени са координатите на точката C 1 (1 , 1 , 0), дефинирана е и точката M, която е средата на диагонала B D 1 и има координати M (4 , 2 , - 4) . Необходимо е да се изчислят координатите на точка А.

Решение

Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка, която е средата на всички диагонали. Въз основа на това твърдение можем да имаме предвид, че известната от условията на задачата точка M е средата на отсечката А С 1 . Въз основа на формулата за намиране на координатите на средата на отсечката в пространството намираме координатите на точка A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Отговор:координатите на точка А (7, 3, - 8) .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

сегментнаричаме частта от права линия, състояща се от всички точки на тази линия, които се намират между дадените две точки - те се наричат краища на сегмента.

Нека разгледаме първия пример. Нека определен сегмент е даден в координатната равнина от две точки. В този случай можем да намерим дължината му, като приложим Питагоровата теорема.

И така, в координатната система начертайте сегмент с дадените координати на краищата му(x1; y1) и (x2; y2) . на ос х и Y пуснете перпендикуляри от краищата на сегмента. Маркирайте в червено сегментите, които са проекции от оригиналния сегмент върху координатната ос. След това прехвърляме проекционните сегменти успоредно на краищата на сегментите. Получаваме триъгълник (правоъгълен). Хипотенузата на този триъгълник ще бъде самият сегмент AB, а краката му са прехвърлените проекции.

Нека изчислим дължината на тези проекции. Така че по оста Y дължината на проекцията е y2-y1 , и на оста х дължината на проекцията е х2-х1 . Нека приложим Питагоровата теорема: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В такъв случай |AB| е дължината на сегмента.

Ако използвате тази схема за изчисляване на дължината на сегмент, тогава можете дори да не построите сегмент. Сега изчисляваме каква е дължината на отсечката с координати (1;3) и (2;5) . Прилагайки Питагоровата теорема, получаваме: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . И това означава, че дължината на нашия сегмент е равна на 5:1/2 .

Разгледайте следния метод за намиране на дължината на сегмент. За да направим това, трябва да знаем координатите на две точки в някаква система. Обмисли тази опция, прилагайки двумерна декартова координатна система.

И така, в двумерна координатна система са дадени координатите на крайните точки на сегмента. Ако начертаем прави линии през тези точки, те трябва да са перпендикулярни на координатната ос, тогава получаваме правоъгълен триъгълник. Първоначалният сегмент ще бъде хипотенузата на получения триъгълник. Краката на триъгълника образуват сегменти, чиято дължина е равна на проекцията на хипотенузата върху координатните оси. Въз основа на теоремата на Питагор заключаваме: за да намерите дължината на даден сегмент, трябва да намерите дължините на проекциите на две координатни оси.

Намерете проекционните дължини (X и Y) оригиналния сегмент към координатните оси. Изчисляваме ги, като намираме разликата в координатите на точки по отделна ос: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Изчислете дължината на отсечката НО , за това намираме корен квадратен:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Ако нашата отсечка се намира между точки, чиито координати 2;4 и 4;1 , тогава неговата дължина, съответно, е равна на √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .