Използвайки свойствата на експоненциалната функция, определете знака на израза. Експоненциална функция, нейните свойства и графика - Хипермаркет на знанието

1.Експоненциална функцияе функция от вида y(x) =a x, в зависимост от експонентата x, с постоянна стойност на основата на степента a, където a > 0, a ≠ 0, xϵR (R е множеството от реални числа) .

Обмисли графика на функцията, ако основата не удовлетворява условието: a>0
а) а< 0
Ако< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Ако a = 0, функцията y = е дефинирана и има постоянна стойност 0

в) a \u003d 1
Ако a = 1 - функцията y = е дефинирана и има постоянна стойност 1

2. Разгледайте експоненциалната функция по-подробно:

0

Функционална област (OOF)

Зона на допустимите функционални стойности (ODZ)

3. Нули на функцията (y = 0)

4. Точки на пресичане с оста y (x = 0)

5. Нарастваща, намаляваща функция

Ако , тогава функцията f(x) нараства
Ако , тогава функцията f(x) намалява
Функция y= , при 0 Функцията y \u003d, за a> 1, монотонно нараства
Това следва от свойствата на монотонност на степен с реален показател.

6. Четни, нечетни функции

Функцията y = не е симетрична спрямо оста 0y и спрямо началото, следователно не е нито четна, нито нечетна. (обща функция)

7. Функцията y \u003d няма екстремуми

8. Свойства на степен с реален показател:

Нека a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

Тогава за xϵR; yϵR:

Свойства на монотонност на степента:

ако , тогава
Например:

Ако a> 0, тогава .
Експоненциалната функция е непрекъсната във всяка точка ϵ R.

9. Относително разположение на функцията

Колкото по-голяма е основата a, толкова по-близо до осите x и y

a > 1, a = 20

Ако a0, тогава експоненциалната функция приема форма, близка до y = 0.
Ако a1, тогава по-нататък от осите x и y и графиката приема формата, близка до функцията y \u003d 1.

Пример 1
Начертайте y=

Урок #2

Тема: Показателна функция, нейните свойства и графика.

Мишена:Проверете качеството на асимилацията на понятието "експоненциална функция"; да формират умения за разпознаване на експоненциална функция, при използване на нейните свойства и графики, да научат учениците да използват аналитичните и графични форми за запис на експоненциална функция; осигурете работна среда в класната стая.

Оборудване:табло, плакати

Форма на урока: класна стая

Тип на урока: практически урок

Тип урок: урок за обучение на умения

План на урока

1. Организационен момент

2. Самостоятелна работа и проверка на домашните

3. Разрешаване на проблеми

4. Обобщаване

5. Домашна работа

По време на часовете.

1. Организационен момент :

Здравейте. Отворете тетрадките, запишете днешната дата и темата на урока „Показателна функция“. Днес ще продължим да изучаваме експоненциалната функция, нейните свойства и графика.

2. Самостоятелна работа и проверка на домашните .

Мишена:проверете качеството на усвояване на понятието "експоненциална функция" и проверете изпълнението на теоретичната част от домашното

Метод:тестова задача, фронтално изследване

Като домашна работа ви бяха дадени числа от задачника и параграф от учебника. Сега няма да проверяваме изпълнението на числата от учебника, но ще предадете тетрадките си в края на урока. Сега теорията ще бъде проверена под формата на малък тест. Задачата е една и съща за всички: даден ви е списък с функции, трябва да разберете кои от тях са ориентировъчни (подчертайте ги). И до експоненциалната функция трябва да напишете дали е нарастваща или намаляваща.

Опция 1 Отговор б) Г) - експоненциална, намаляваща	Вариант 2 Отговор Г) - експоненциална, намаляваща Д) - показателен, нарастващ
Вариант 3 Отговор а) - показателен, нарастващ б) - експоненциален, намаляващ	Вариант 4 Отговор а) - експоненциален, намаляващ IN) - показателен, нарастващ

Сега нека си припомним заедно коя функция се нарича експоненциална?

Функция от формата , където и , се нарича експоненциална функция.

Какъв е обхватът на тази функция?

Всички реални числа.

Какъв е диапазонът на експоненциалната функция?

Всички положителни реални числа.

Намалява, ако основата е по-голяма от нула, но по-малка от единица.

Кога една експоненциална функция намалява в своята област?

Увеличава се, ако основата е по-голяма от единица.

3. Разрешаване на проблеми

Мишена: да формират умения за разпознаване на експоненциална функция, при използване на нейните свойства и графики, да научат учениците да използват аналитичните и графични форми за запис на експоненциална функция

Метод: демонстрация от учителя на решаване на типични задачи, устна работа, работа на дъската, работа в тетрадка, разговор на учителя с учениците.

Свойствата на експоненциалната функция могат да се използват при сравняване на 2 или повече числа. Например: № 000. Сравнете стойностите и ако a) ..gif" width="37" height="20 src=">, тогава това е доста трудна работа: ще трябва да вземем кубичен корен от 3 и 9 и да ги сравним. Но знаем, че това се увеличава, това е в собствената си опашка означава, че когато аргументът се увеличава, стойността на функцията се увеличава, тоест за нас е достатъчно да сравним стойностите на аргумента една с друга и, очевидно, че (може да се демонстрира на постер с нарастваща експоненциална функция). И винаги, когато решавате такива примери, първо определете основата на експоненциалната функция, сравнете с 1, определете монотонността и продължете със сравняването на аргументите. В случай на намаляваща функция: с нарастването на аргумента стойността на функцията намалява, следователно знакът за неравенство се променя при преминаване от неравенството на аргументите към неравенството на функциите. След това решаваме устно: б)

-

IN)

-

G)

-

- № 000. Сравнете числата: а) и

Следователно функцията се увеличава, тогава

Защо ?

Повишаване на функцията и

Следователно, тогава функцията намалява

И двете функции нарастват в цялата си област на дефиниция, тъй като са експоненциални с основа, по-голяма от единица.

Какъв е смисълът от това?

Изграждаме диаграми:

Коя функция расте по-бързо при стремеж https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Коя функция намалява по-бързо при стремеж https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

На интервала коя от функциите има най-голяма стойност в дадена точка?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Първо, нека разберем обхвата на тези функции. Дали съвпада?

Да, домейнът на тези функции е всички реални числа.

Назовете обхвата на всяка от тези функции.

Диапазоните на тези функции съвпадат: всички положителни реални числа.

Определете вида на монотонността на всяка от функциите.

И трите функции намаляват в цялата си област на дефиниция, тъй като са експоненциални с основа по-малка от единица и по-голяма от нула.

Каква е особената точка на графиката на експоненциална функция?

Какъв е смисълът от това?

Каквато и да е основата на степента на експоненциална функция, ако степента е 0, тогава стойността на тази функция е 1.

Изграждаме диаграми:

Нека анализираме графиките. Колко пресечни точки имат функционалните графики?

Коя функция намалява по-бързо при стремеж? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Коя функция расте по-бързо при стремеж? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

На интервала коя от функциите има най-голяма стойност в дадена точка?

На интервала коя от функциите има най-голяма стойност в дадена точка?

Защо експоненциалните функции с различни основи имат само една пресечна точка?

Експоненциалните функции са строго монотонни в цялата си област на дефиниция, така че могат да се пресичат само в една точка.

Следващата задача ще се фокусира върху използването на това свойство. № 000. Намерете най-голямата и най-малката стойност на дадена функция на даден интервал а). Спомнете си, че една строго монотонна функция приема своите минимални и максимални стойности в края на даден интервал. И ако функцията нараства, тогава нейната най-голяма стойност ще бъде в десния край на сегмента, а най-малката в левия край на сегмента (демонстрация на плаката, използвайки експоненциалната функция като пример). Ако функцията е намаляваща, тогава нейната най-голяма стойност ще бъде в левия край на сегмента, а най-малката в десния край на сегмента (демонстрация на плаката, използвайки експоненциалната функция като пример). Функцията се увеличава, тъй като следователно най-малката стойност на функцията ще бъде в точката https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Точки б) , V) г) решавайте самостоятелно тетрадки, ще го проверяваме устно.

Учениците решават задачата в тетрадката си

Намаляваща функция

Намаляваща функция най-голямата стойност на функцията на интервала най-малката стойност на функцията на интервала

Увеличаване на функцията най-малката стойност на функцията на интервала най-голямата стойност на функцията на интервала

- № 000. Намерете най-голямата и най-малката стойност на дадена функция на даден интервал а) . Тази задача е почти същата като предишната. Но тук е дадена не отсечка, а лъч. Знаем, че функцията нараства и няма нито най-голямата, нито най-малката стойност на цялата числова ос https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> и клони към , т.е. на лъча функцията при клони към 0, но няма най-малката си стойност, но има най-голямата стойност в точката . Точки б) , V) , G) Решете сами тетрадките, ще проверим устно.

Експоненциална функция

Функция на формата y = a х , където a е по-голямо от нула и a не е равно на единица, се нарича експоненциална функция. Основните свойства на експоненциалната функция:

1. Домейнът на експоненциалната функция ще бъде множеството от реални числа.

2. Диапазонът на експоненциалната функция ще бъде множеството от всички положителни реални числа. Понякога този набор се обозначава като R+ за краткост.

3. Ако в експоненциална функция основата a е по-голяма от единица, тогава функцията ще бъде нарастваща по цялата област на дефиниция. Ако експоненциалната функция за основата a удовлетворява следното условие 0

4. Всички основни свойства на степените ще бъдат валидни. Основните свойства на степените са представени от следните равенства:

а х *a г = а (x+y) ;

(а х )/(а г ) = а (x-y) ;

(а*б) х = (а х )*(а г );

(а/б) х = а х /б х ;

(а х ) г = а (x*y) .

Тези равенства ще бъдат валидни за всички реални стойности на x и y.

5. Графиката на експоненциалната функция винаги минава през точката с координати (0;1)

6. В зависимост от това дали експоненциалната функция нараства или намалява, нейната графика ще има един от два вида.

Следващата фигура показва графика на нарастваща експоненциална функция: a>0.

Следващата фигура е графика на намаляваща експоненциална функция: 0

Както графиката на нарастващата експоненциална функция, така и графиката на намаляващата експоненциална функция, съгласно свойството, описано в пети параграф, минават през точката (0; 1).

7. Експоненциалната функция няма точки на екстремум, т.е., с други думи, тя няма точки на минимум и максимум на функцията. Ако разгледаме функцията на всеки конкретен сегмент, тогава функцията ще приеме минималните и максималните стойности в края на този интервал.

8. Функцията не е четна или нечетна. Експоненциалната функция е обща функция. Това може да се види и от графиките, нито една от тях не е симетрична нито спрямо оста Oy, нито спрямо началото.

Логаритъм

Логаритмите винаги са се считали за трудна тема в училищния курс по математика. Има много различни дефиниции на логаритъма, но по някаква причина повечето учебници използват най-сложните и неудачни от тях.

Ще дефинираме логаритъма просто и ясно. Нека създадем таблица за това:

И така, имаме степени на две. Ако вземете числото от долния ред, тогава можете лесно да намерите степента, до която трябва да вдигнете две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност дефиницията на логаритъма:

Определение

Логаритъмбаза a от аргумент x е степента, до която числото трябва да бъде повишеноа за да получите номерах.

Обозначаване

log a x = b
където a е основата, x е аргументът, b Какво точно е логаритъма.

Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Може също така да се регистрира 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.

Операцията за намиране на логаритъм на число по дадена основа се наричалогаритъм . Така че нека добавим нов ред към нашата таблица:

За съжаление, не всички логаритми се разглеждат толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъма ще лежи някъде в сегмента. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат ​​ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват неограничено и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде аргументът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъма. Запомнете: логаритъма е степен , на който трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента.Това е основата, която е повдигната на степен - на снимката тя е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам това прекрасно правило на моите ученици още на първия урок - и няма объркване.

Разбрахме определението - остава да се научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че От определението следват два важни факта:

Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от определението на степента чрез рационален показател, до който се свежда определението на логаритъма.

Базата трябва да е различна от единица, тъй като единица на всяка степен е единица.Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограниченияНаречен валиден диапазон(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Забележи това без ограничение в броя b (логаритмична стойност) не се припокрива. Например, логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 = −1, защото 0,5 = 2 −1 .

Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не е необходимо да знаем ODZ на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенствата влязат в действие, изискванията на DHS ще станат задължителни. Наистина, в основата и аргумента може да има много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега помислете за общото схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

Изпратете фондация a и аргумент x като степен с най-малката възможна основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;

Вземете решение за променлива b уравнение: x = a b ;

Получен номер b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много уместно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. По същия начин и с десетичните дроби: ако веднага ги преобразувате в обикновени, ще има в пъти по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема с конкретни примери:

Изчислете логаритъма: log 5 25

Нека представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Нека съставим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Получи отговор: 2.

Изчислете логаритъма:

Нека представим основата и аргумента като степен на три: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Нека съставим и решим уравнението:

Получих отговора: -4.

−4

Изчислете логаритъма: log 4 64

Нека представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Нека съставим и решим уравнението:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Получи отговор: 3.

Изчислете логаритъма: log 16 1

Нека представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Нека съставим и решим уравнението:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Получен отговор: 0.

Изчислете логаритъма: log 7 14

Нека представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не е представено като степен на седем, защото 7 1< 14 < 7 2 ;

От предходния параграф следва, че логаритъмът не се взема предвид;

Отговорът е без промяна: log 7 14.

дневник 7 14

Малка забележка към последния пример. Как да се уверим, че едно число не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разложи на прости множители. Ако има поне два различни фактора в разширението, числото не е точна степен.

Разберете дали точните степени на числото са: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - точната степен, т.к. има само един множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна степен, защото има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - точна степен;
35 = 7 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 2 - отново не е точна степен;

8, 81 - точна степен; 48, 35, 14 - бр.

Обърнете внимание също, че самите прости числа винаги са точни степени на себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

Определение

Десетичен логаритъмот аргумент x е логаритъма при основа 10, т.е. степента, на която трябва да повишите числото 10, за да получите числотох.

Обозначаване

lg x

Например, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намерете lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичният логаритъм. Ако обаче не сте свикнали с такова обозначение, винаги можете да го пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните числа.

натурален логаритъм

Има друг логаритъм, който има собствена нотация. В известен смисъл той е дори по-важен от десетичния знак. Това е натурален логаритъм.

Определение

натурален логаритъмот аргумент x е основният логаритъмд , т.е. степента, до която трябва да се повдигне числотод за да получите номерах.

Обозначаване

в х

Мнозина ще попитат: какво е числото e? Това е ирационално число, точната му стойност не може да бъде намерена и записана. Ето само първите числа:
e = 2,718281828459...

Няма да се задълбочаваме какво е това число и защо е необходимо. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
вътре x = log e x

Така ln e = 1; log e 2 = 2; В e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип натуралният логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единица: ln 1 = 0.

За естествените логаритми са валидни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всяко число, могат да се събират, изваждат и преобразуват по всеки възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат ​​основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: log a x и log a y . След това те могат да се събират и изваждат и:

дневник a x +дневник a y = дневника ( х · г );

дневник a x −дневник a y = дневника ( х : г ).

Така, сборът от логаритмите е равен на логаритъма от произведението, а разликата е логаритъм от частното.Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук са едни и същи бази. Ако базите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока " "). Разгледайте примерите - и вижте:

Намерете стойността на израза: log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, този контрол - подобни изрази напълно сериозно (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0 можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Намерете стойността на израза:

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четворката може да се прехвърли в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Теорема

Нека логаритъма се регистрира a x . След това за произволен номер c, така че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

От втората формула следва, че е възможно да се разменят основата и аргументът на логаритъма, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Тъй като произведението не се променя от пермутация на множители, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване се изисква да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай броятн става изразител на аргумента. Номерн може да бъде абсолютно всичко, защото това е просто стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:основно логаритмично тъждество.

Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повдигне до такава степен, че числото b в тази степен дава числото a? Точно така: това е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора "висят" на него.

Подобно на новите формули за базово преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача

Намерете стойността на израза:

Решение

Имайте предвид, че log 25 64 = log 5 8 - просто извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

200

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от изпита :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които е трудно да наречем свойства - по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Постоянно се намират в проблеми и учудващо създават проблеми дори на "напредналите" ученици.

log a a = 1 е логаритмична единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъма на произволна основаа от самата тази база е равно на едно.

log a 1 = 0 е логаритмична нула. База а може да е всичко, но ако аргументът е единица - логаритъма е нула! защотоа 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика!

Хипермаркет на Знанието >>Математика >>Математика 10 клас >>

Експоненциалната функция, нейните свойства и графика

Помислете за израза 2x и намерете неговите стойности за различни рационални стойности на променливата x, например за x=2;

Като цяло, без значение каква рационална стойност даваме на променливата x, винаги можем да изчислим съответната числена стойност на израза 2x. Така може да се говори за експоненциален функции y=2 x дефинирано в множеството Q от рационални числа:

Нека разгледаме някои свойства на тази функция.

Имот 1.е нарастваща функция. Извършваме доказването на два етапа.
Първи етап.Нека докажем, че ако r е положително рационално число, тогава 2 r >1.
Възможни са два случая: 1) r - естествено число, r = n; 2) обикновен нередуцируем фракция,

От лявата страна на последното неравенство имаме , а от дясната страна 1. Следователно последното неравенство може да бъде пренаписано като

Така във всеки случай неравенството 2 r > 1 е в сила, както се изисква.

Втора фаза.Нека x 1 и x 2 са числа и x 1 и x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(означихме разликата x 2 -x 1 с буквата r).

Тъй като r е положително рационално число, то от доказаното на първия етап 2 r > 1, т.е. 2 r -1 >0. Числото 2x" също е положително, което означава, че произведението 2 x-1 (2 Г -1) също е положително. Така доказахме, че неравенство 2 Xr -2x "\u003e 0.

И така, от неравенството x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Имот 2.ограничено отдолу и неограничено отгоре.
Ограничеността на функцията отдолу следва от неравенството 2 x > 0, което е валидно за всякакви стойности на x от областта на функцията. В същото време, без значение какво положително число M е взето, винаги може да се избере такъв показател x, че да бъде изпълнено неравенството 2 x > M - което характеризира неограничеността на функцията отгоре. Нека дадем няколко примера.

Имот 3.няма нито минимална, нито максимална стойност.

Какво дадена функцияне е от най-голямо значение, очевидно, тъй като, както току-що видяхме, не е ограничено отгоре. Но той е ограничен отдолу, защо не е с най-малка стойност?

Да приемем, че 2 g - най-малка стойностфункции (r е някакъв рационален показател). Вземете рационално число q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Всичко това е добре, ще кажете, но защо разглеждаме функцията y-2 x само върху множеството от рационални числа, защо не я разглеждаме, както други известни функции, върху цялата числова ос или върху някакъв непрекъснат интервал от числовата линия? Какво ни спира? Нека помислим за ситуацията.

Числовата ос съдържа не само рационални, но и ирационални числа. За предварително изследваните функции това не ни притесни. Например, намерихме стойностите на функцията y \u003d x 2 еднакво лесно както за рационални, така и за ирационални стойности на x: достатъчно беше да поставим на квадрат дадената стойност на x.

Но с функцията y \u003d 2 x ситуацията е по-сложна. Ако на аргумента x се даде рационална стойност, тогава по принцип x може да бъде изчислен (върнете се в началото на параграфа, където направихме точно това). И ако на аргумента x се даде ирационална стойност? Как, например, да се изчисли? Все още не знаем това.
Математиците са намерили изход; така си говореха.

Известно е, че Разгледайте поредица от рационални числа - десетични приближения на число чрез дефицит:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Ясно е, че 1,732 = 1,7320 и 1,732050 = 1,73205. За да избегнем подобни повторения, изхвърляме тези членове на редицата, които завършват с числото 0.

Тогава получаваме нарастваща последователност:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Съответно се увеличава и последователността.

Всички членове на тази редица са положителни числа, по-малки от 22, т.е. тази последователност е ограничена. По теоремата на Вайерщрас (вижте § 30), ако една последователност е нарастваща и ограничена, тогава тя се събира. Освен това от § 30 знаем, че ако една редица се сближава, то само до една граница. Беше договорено тази единствена граница да се счита за стойност на числов израз. И няма значение, че е много трудно да се намери дори приблизителна стойност на числовия израз 2; важно е това да е конкретно число (в края на краищата не се страхувахме да кажем, че например е коренът на рационално уравнение, корена на тригонометричното уравнение, без наистина да мислим какво точно са тези числа:
И така, разбрахме какво значение влагат математиците в символа 2 ^. По същия начин може да се определи какво е и изобщо какво е a, където a е ирационално число и a > 1.
Но какво да кажем, когато 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Сега можем да говорим не само за степени с произволни рационални показатели, но и за степени с произволни реални показатели. Доказано е, че степените с реални показатели имат всички обичайни свойства на степените: при умножаване на степени с еднакви основи показателите се добавят, при деление се изваждат, при повишаване на степен на степен се умножават и т.н. . Но най-важното е, че сега можем да говорим за функцията y-ax, дефинирана върху множеството от всички реални числа.
Нека се върнем към функцията y \u003d 2 x, изградете нейната графика. За да направим това, ще съставим таблица с функционални стойности \u200b\u200с \u003d 2 x:

Да отбележим точките на координатната равнина (фиг. 194), те очертават определена линия, начертават я (фиг. 195).

Свойства на функцията y - 2 x:
1)
2) не е нито четен, нито нечетен; 248
3) нараства;

5) няма нито най-големи, нито най-малки стойности;
6) непрекъснато;
7)
8) изпъкнал надолу.

Строги доказателства за изброените свойства на функцията y-2 x са дадени в курса на висшата математика. Някои от тези свойства обсъдихме по-рано в една или друга степен, някои от тях са ясно демонстрирани от построената графика (виж фиг. 195). Например, липсата на паритет или нечетност на функция е геометрично свързана с липсата на симетрия на графиката, съответно, спрямо оста y или спрямо началото.

Всяка функция от вида y=a x, където a >1, има подобни свойства. На фиг. 196 в една координатна система са построени графики на функции y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Сега нека разгледаме функцията, нека направим таблица със стойности за нея:

Нека маркираме точките на координатната равнина (фиг. 197), те очертават определена линия, начертайте я (фиг. 198).

Функционални свойства

1)
2) не е нито четен, нито нечетен;
3) намалява;
4) неограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) няма нито най-големи, нито най-малки стойности;
6) непрекъснато;
7)
8) изпъкнал надолу.
Всяка функция от формата y \u003d a x, където O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Моля, обърнете внимание: функционални графики тези. y \u003d 2 x, симетричен спрямо оста y (фиг. 201). Това е следствие от общото твърдение (вижте § 13): графиките на функциите y = f(x) и y = f(-x) са симетрични спрямо оста y. По същия начин, графиките на функциите y \u003d 3 x и

Обобщавайки казаното, ще дадем определение на експоненциалната функция и ще подчертаем нейните най-важни свойства.

Определение.Функцията за изглед се нарича експоненциална функция.
Основните свойства на експоненциалната функция y \u003d a x

Графиката на функцията y \u003d a x за a> 1 е показана на фиг. 201 и за 0<а < 1 - на рис. 202.

Кривата, показана на фиг. 201 или 202 се нарича експонента. Всъщност математиците обикновено наричат ​​самата експоненциална функция y = a x. Така че терминът "показател" се използва в два смисъла: както за името на експоненциалната функция, така и за името на графиката на експоненциалната функция. Обикновено е ясно по смисъл дали говорим за експоненциална функция или нейна графика.

Обърнете внимание на геометричната характеристика на графиката на експоненциалната функция y \u003d ax: оста x е хоризонталната асимптота на графиката. Вярно е, че това твърдение обикновено се прецизира по следния начин.
Оста x е хоризонталната асимптота на графиката на функцията

С други думи

Първа важна забележка. Учениците често бъркат термините: степенна функция, експоненциална функция. Сравнете:

Това са примери за степенни функции;

са примери за експоненциални функции.

Като цяло y \u003d x r, където r е конкретно число, е степенна функция (аргументът x се съдържа в основата на степента);
y \u003d a", където a е конкретно число (положително и различно от 1), е експоненциална функция (аргументът x се съдържа в експонентата).

Атакуваща „екзотична“ функция като y = x" не се счита нито за експоненциална, нито за степенна (понякога се нарича функция за експоненциална степен).

Втора важна забележка. Обикновено не се разглежда експоненциална функция с основа a = 1 или с основа a, удовлетворяваща неравенството a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 и a Факт е, че ако a \u003d 1, тогава за всяка стойност x е вярно равенството Ix \u003d 1. По този начин експоненциалната функция y \u003d a "за a \u003d 1" се изражда "в постоянна функция y \ u003d 1 - това не е интересно Ако a \u003d 0, тогава 0x \u003d 0 за всяка положителна стойност на x, т.е. получаваме функцията y \u003d 0, дефинирана за x\u003e 0 - това също не е интересно.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Преди да преминем към решаване на примери, отбелязваме, че експоненциалната функция е значително различна от всички функции, които сте изучавали досега. За да проучите задълбочено нов обект, трябва да го разгледате от различни ъгли, в различни ситуации, така че ще има много примери.
Пример 1

Решение, а) След като начертахме графиките на функциите y \u003d 2 x и y \u003d 1 в една координатна система, забелязваме (фиг. 203), че те имат една обща точка (0; 1). Така че уравнението 2x = 1 има един корен x = 0.

И така, от уравнението 2x = 2° получаваме x = 0.

б) След като изградихме графиките на функциите y \u003d 2 x и y \u003d 4 в една координатна система, забелязваме (фиг. 203), че те имат една обща точка (2; 4). Така че уравнението 2x = 4 има един корен x = 2.

И така, от уравнението 2 x \u003d 2 2 получихме x \u003d 2.

в) и г) Въз основа на същите съображения заключаваме, че уравнението 2 x \u003d 8 има един корен и за да го намерим, може да не се изграждат графики на съответните функции;

ясно е, че x=3, тъй като 2 3 =8. По същия начин намираме единствения корен на уравнението

И така, от уравнението 2x = 2 3 получихме x = 3, а от уравнението 2 x = 2 x получихме x = -4.
д) Графиката на функцията y \u003d 2 x се намира над графиката на функцията y \u003d 1 за x\u003e 0 - това се чете добре на фиг. 203. Следователно решението на неравенството 2x > 1 е интервалът
е) Графиката на функцията y \u003d 2 x се намира под графиката на функцията y \u003d 4 при x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Вероятно сте забелязали, че в основата на всички изводи, направени при решаването на пример 1, беше свойството на монотонност (увеличаване) на функцията y \u003d 2 x. Подобни разсъждения ни позволяват да проверим валидността на следните две теореми.

Решение.Можете да действате по следния начин: изградете графика на функцията y-3 x, след това я разтегнете от оста x с коефициент 3 и след това повдигнете получената графика нагоре с 2 мащабни единици. Но е по-удобно да се използва фактът, че 3- 3* \u003d 3 * + 1 и следователно да се начертае функцията y \u003d 3 x * 1 + 2.

Нека да преминем, както многократно сме правили в подобни случаи, към спомагателна координатна система с начало в точка (-1; 2) - пунктирани линии x = - 1 и 1x = 2 на фиг. 207. Нека "прикрепим" функцията y=3* към нова координатна система. За да направите това, ние избираме контролни точки за функцията , но ние ще ги изградим не в старата, а в новата координатна система (тези точки са отбелязани на фиг. 207). След това ще построим експонента по точки - това ще бъде необходимата графика (виж фиг. 207).
За намиране на най-голямата и най-малката стойност дадена функцияна сегмента [-2, 2], ще използваме факта, че дадената функция е нарастваща и следователно тя приема най-малката и най-голямата си стойност съответно в левия и десния край на сегмента.
Така:

Пример 4Решете уравнението и неравенствата:

Решение, а) Да построим графики на функции y=5* и y=6-x в една координатна система (фиг. 208). Те се пресичат в една точка; съдейки по чертежа, това е точката (1; 5). Проверката показва, че всъщност точката (1; 5) удовлетворява както уравнението y = 5*, така и уравнението y=6x. Абсцисата на тази точка служи като единствен корен на даденото уравнение.

И така, уравнението 5 x = 6-x има един корен x = 1.

б) и в) Показателят y-5x лежи над правата y=6-x, ако x>1, - това ясно се вижда на фиг. 208. Следователно решението на неравенството 5*>6-x може да се запише по следния начин: x>1. И решението на неравенството 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Отговор: а) x = 1; b)x>1; в) х<1.

Пример 5Дадена функция Докажи това
Решение.По условие имаме.

ЕКСПОНЕНЦИАЛНИ И ЛОГАРИТМИЧНИ ФУНКЦИИ VIII

§ 179 Основни свойства на експоненциалната функция

В този раздел ще изучаваме основните свойства на експоненциалната функция

y = a х (1)

Припомнете си, че под А във формула (1) имаме предвид всяко фиксирано положително число, различно от 1.

Имот 1. Домейнът на експоненциалната функция е множеството от всички реални числа.

Наистина, за положително А изразяване А х определени за всяко реално число х .

Имот 2. Експоненциалната функция приема само положителни стойности.

Наистина, ако х > 0, тогава, както беше доказано в § 176,

А х > 0.

Ако х <. 0, то

А х =

Където - х вече е по-голямо от нула. Ето защо А - х > 0. Но тогава

А х = > 0.

Накрая при х = 0

А х = 1.

Второто свойство на експоненциалната функция има проста графична интерпретация. Това се крие във факта, че графиката на тази функция (виж Фиг. 246 и 247) е разположена изцяло над оста x.

Имот 3. Ако А >1, след това при х > 0 А х > 1, и при х < 0 А х < 1. Ако А < 1, то, напротив, х > 0 А х < 1, и при х < 0 А х > 1.

Това свойство на експоненциалната функция позволява и проста геометрична интерпретация. При А > 1 (фиг. 246) криви y = a х разположен над линията при = 1 at х > 0 и под правата линия при = 1 at х < 0.

Ако А < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a х разположен под линията при = 1 at х > 0 и над тази права линия при х < 0.

Нека дадем строго доказателство за 3-то свойство. Позволявам А > 1 и х е произволно положително число. Нека покажем това

А х > 1.

Ако номер х рационален ( х = м / н ) , Че А х = А м / н = н √а м .

Тъй като А > 1, тогава А м > 1, но коренът на число, по-голямо от едно, очевидно също е по-голямо от 1.

Ако х ирационални, тогава има положителни рационални числа Х" И Х" , които служат като десетични приближения на числото х :

Х"< х < х" .

Но тогава, по дефиниция на степен с ирационален показател

А х" < А х < А х"" .

Както е показано по-горе, числото А х" повече от един. Следователно броят А х , повече от А х" , също трябва да е по-голямо от 1,

И така, ние го показахме а >1 и произволно положително х

А х > 1.

Ако броят х беше отрицателен, тогава щяхме да имаме

А х =

където е числото х би било положително. Ето защо А - х > 1. Следователно,

А х = < 1.

По този начин, при А > 1 и произволно отрицателно х

А х < 1.

Случай, когато 0< А < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Имот 4. Ако x = 0, тогава независимо от a А х =1.

Това следва от определението за степен нула; нулевата степен на всяко число, различно от нула, е равна на 1. Графично това свойство се изразява във факта, че за всяко А крива при = А х (виж фиг. 246 и 247) пресича оста при в точката с ордината 1.

Имот 5. При А >1 експоненциална функция = А х е монотонно нарастваща, а за a < 1 - монотонно намаляващи.

Това свойство позволява и проста геометрична интерпретация.

При А > 1 (фиг. 246) крива при = А х с растеж х се издига все по-високо и по-високо, и А < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Нека дадем строго доказателство за 5-то свойство.

Позволявам А > 1 и х 2 > х 1 . Нека покажем това

А х 2 > А х 1

Тъй като х 2 > х 1 ., тогава х 2 = х 1 + д , Където д е някакво положително число. Ето защо

А х 2 - А х 1 = А х 1 + д - А х 1 = А х 1 (А д - 1)

Според 2-ро свойство на експоненциалната функция А х 1 > 0. Тъй като д > 0, след това от 3-то свойство на експоненциалната функция А д > 1. И двата фактора в продукта А х 1 (А д - 1) са положителни, следователно този продукт сам по себе си е положителен. означава, А х 2 - А х 1 > 0 или А х 2 > А х 1 , което подлежеше на доказване.

И така, при а > 1 функция при = А х нараства монотонно. По същия начин е доказано, че А < 1 функция при = А х монотонно намалява.

Последица. Ако две степени на едно и също положително число, различни от 1, са равни, тогава техните показатели също са равни.

С други думи, ако

А b = А ° С (А > 0 и А =/= 1),

b = c .

Наистина, ако числата b И с не бяха равни, тогава поради монотонността на функцията при = А х повечето от тях биха съответствали на А >1 е по-голямо, а при А < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или А b > А ° С , или А b < А ° С . И двете противоречат на условието А b = А ° С . Остава да се признае, че b = c .

Имот 6. Ако > 1, след това с неограничено увеличаване на аргумента х (х -> ∞ ) стойности на функцията при = А х също растат за неопределено време (при -> ∞ ). С неограничено намаляване на аргумента х (х -> -∞ ) стойностите на тази функция клонят към нула, като същевременно остават положителни (при->0; при > 0).

Като се вземе предвид доказаната по-горе монотонност на функцията при = А х , можем да кажем, че в разглеждания случай функцията при = А х нараства монотонно от 0 до ∞ .

Ако 0 <А < 1, след това с неограничено увеличение на аргумента x (x -> ∞), стойностите на функцията y \u003d a x клонят към нула, като остават положителни (при->0; при > 0). С неограничено намаляване на аргумента x (х -> -∞ ) стойностите на тази функция растат за неопределено време (при -> ∞ ).

Поради монотонността на функцията y = a x можем да кажем, че в този случай функцията при = А х намалява монотонно от ∞ до 0.

Шестото свойство на експоненциалната функция е ясно отразено на фигури 246 и 247. Няма да го доказваме строго.

Трябва само да установим диапазона на експоненциалната функция y = a x (А > 0, А =/= 1).

По-горе доказахме, че функцията y = a x приема само положителни стойности и се увеличава монотонно от 0 до ∞ (при А > 1), или намалява монотонно от ∞ до 0 (при 0< А <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x когато промените някакви скокове? Приема ли някакви положителни стойности? На този въпрос се отговаря положително. Ако А > 0 и А =/= 1, тогава каквото и да е положителното число при 0 трябва да се намери х 0, така че

А х 0 = при 0 .

(Поради монотонността на функцията y = a x определена стойност х 0 би бил единственият, разбира се.)

Доказателството за този факт е извън обхвата на нашата програма. Неговата геометрична интерпретация е тази за всяка положителна стойност при 0 функционална графика y = a x трябва да се пресичат с линията при = при 0 и освен това само в една точка (фиг. 248).

От това можем да направим следния извод, който формулираме под формата на свойство 7.

Имот 7. Областта на промяна на експоненциалната функция y \u003d a x (А > 0, А =/= 1)е множеството от всички положителни числа.

Упражнения

1368. Намерете домейните на следните функции:

1369. Кое от дадените числа е по-голямо от 1 и кое по-малко от 1:

1370. Въз основа на какво свойство на експоненциалната функция може да се твърди, че

а) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; б) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Кое число е по-голямо:

а) π - √3 или (1 / π ) - √3; в) (2 / 3) 1 + √6 или (2 / 3) √2 + √5 ;

б) ( π / 4) 1 + √3 или ( π / 4) 2; г) (√3 ) √2 - √5 или (√3) √3 - 2 ?

1372. Еквивалентни ли са неравенствата:

1373. Какво може да се каже за числата х И при , Ако a x = и y , Където А е дадено положително число?

1374. 1) Възможно ли е сред всички стойности на функция при = 2х подчертаване:

2) Възможно ли е сред всички стойности на функцията при = 2 | x| подчертаване:

а) най-висока стойност; б) най-малката стойност?