Как се решават прости тригонометрични уравнения. Тригонометрични уравнения

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, от които се нуждаете успешна доставка USE по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 профилен изпитматематика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.

Примери:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Как се решават тригонометрични уравнения:

Всяко тригонометрично уравнение трябва да бъде сведено до един от следните типове:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

където \(t\) е израз с x, \(a\) е число. Такива тригонометрични уравненияНаречен протозои. Те са лесни за решаване с помощта на () или специални формули:

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Решение:

Отговор: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Какво означава всеки символ във формулата за корените на тригонометричните уравнения, вижте.

внимание!Уравненията \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) нямат решения, ако \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Тъй като синусът и косинусът за всеки x е по-голям или равен на \(-1\) и по-малък или равен на \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример . Решете уравнението \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Отговор : няма решения.

Пример . Решете тригонометричното уравнение tg\(⁡x=1\).
Решение:

Решете уравнението с помощта на числова окръжност. За това:
1) Нека изградим кръг)
2) Постройте осите \(x\) и \(y\) и оста на допирателните (тя минава през точката \((0;1)\) успоредна на оста \(y\)).
3) На оста на допирателните маркирайте точката \(1\).
4) Свържете тази точка и началото - права линия.
5) Отбележете точките на пресичане на тази права и числовата окръжност.
6) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Запишете всички стойности на тези точки. Тъй като те са точно \(π\) една от друга, всички стойности могат да бъдат записани в една формула:

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Решение:

Нека отново използваме числовия кръг.
1) Да построим окръжност, оси \(x\) и \(y\).
2) На косинусовата ос (ос \(x\)) маркирайте \(0\).
3) Начертайте перпендикуляр на косинусовата ос през тази точка.
4) Маркирайте точките на пресичане на перпендикуляра и окръжността.
5) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Нека напишем цялата стойност на тези точки и да ги приравним към косинуса (към това, което е вътре в косинуса).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Както обикновено, ще изразим \(x\) в уравнения.
Не забравяйте да третирате числата с \(π\), както и с \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) и т.н. Това са същите числа като всички останали. Без цифрова дискриминация!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Намаляването на тригонометричните уравнения до най-простите е творческа задача, тук трябва да използвате и двете, и специални методи за решаване на уравнения:
- Метод (най-популярният в изпита).
- Метод.
- Метод на спомагателните аргументи.

Помислете за пример за решаване на квадратно тригонометрично уравнение

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Нека направим промяната \(t=\cos⁡x\).

	Нашето уравнение стана типично. Можете да го разрешите с.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Правим замяна.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Решаваме първото уравнение с помощта на числова окръжност. Оттогава второто уравнение няма решения \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и не може да бъде равно на две за всяко x.
	Нека запишем всички числа, лежащи в тези точки.

Отговор: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример за решаване на тригонометрично уравнение с изследване на ODZ:

Пример (USE) . Решете тригонометричното уравнение \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Има дроб и има котангенс - така че трябва да запишете. Нека ви напомня, че котангенсът всъщност е дроб: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Следователно DPV за ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Обърнете внимание на "не-решенията" върху числовия кръг.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Нека се отървем от знаменателя в уравнението, като го умножим по ctg\(x\). Можем да направим това, защото по-горе написахме, че ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Приложете формулата за двоен ъгъл за синуса: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ако ръцете ви се протегнаха да делите на косинус - дръпнете ги назад! Можете да разделите на израз с променлива, ако тя определено не е равна на нула (например: \(x^2+1,5^x\)). Вместо това изваждаме \(\cos⁡x\) извън скоби.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Нека разделим уравнението на две.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Решаваме първото уравнение с помощта на числова окръжност. Разделете второто уравнение на \(2\) и преместете \(\sin⁡x\) в дясната страна.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Корените, които се оказаха, не са включени в ODZ. Затова няма да ги запишем в отговор. Второто уравнение е типично. Разделете го на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не може да бъде решение на уравнението, защото в този случай \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡ x =-1\)).
	Отново използваме кръг.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Тези корени не са изключени от ODZ, така че те могат да бъдат написани като отговор.

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Веднъж станах свидетел на разговор между двама кандидати:

– Кога трябва да добавите 2πn и кога - πn? не мога да си спомня!

- И аз имам същия проблем.

Исках да им кажа: „Не е необходимо да запаметявате, а да разбирате!“

Тази статия е предназначена предимно за ученици от гимназията и, надявам се, ще им помогне с "разбирането" за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

Цифров кръг

Наред с понятието числова ос съществува и понятието числова окръжност. Както знаем, в правоъгълна координатна система окръжност с център в точката (0; 0) и радиус 1 се нарича единична окръжност.Представете си числова линия с тънка нишка и я навийте около този кръг: референтната точка (точка 0), прикрепете към „дясната“ точка на единичния кръг, увийте положителната полуос обратно на часовниковата стрелка и отрицателната полуос в посоката (фиг. 1). Такава единична окръжност се нарича числова окръжност.

Свойства на числовата окръжност

Всяко реално число е в една точка от числовата окръжност.
Във всяка точка от числовата окръжност има безкрайно много реални числа. Тъй като дължината на единичната окръжност е 2π, разликата между произволни две числа в една точка от окръжността е равна на едно от числата ±2π; ±4π; ±6π; …

Нека заключим: знаейки едно от числата на точка А, можем да намерим всички числа на точка А.

Нека начертаем диаметъра на AC (фиг. 2). Тъй като x_0 е едно от числата на точка A, то числата x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... и само те ще бъдат числата на точка C. Нека изберем едно от тези числа, да речем x_0+π, и да го използваме, за да запишем всички числа на точка C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ З. Обърнете внимание, че числата в точки A и C могат да се комбинират в една формула: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (за k = 0; ±2; ±4; ... получаваме числата на точка A, а за k = ±1, ±3, ±5, … са номерата на точка C).

Нека заключим: знаейки едно от числата на една от точките A или C на диаметъра AC, можем да намерим всички числа на тези точки.

Две противоположни числа са разположени в точки от окръжността, които са симетрични спрямо абсцисната ос.

Нека начертаем вертикална хорда AB (фиг. 2). Тъй като точките A и B са симетрични спрямо оста Ox, числото -x_0 се намира в точка B и следователно всички числа на точка B са дадени по формулата: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Записваме числата в точки A и B с една формула: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или B на вертикалната хорда AB, можем да намерим всички числа в тези точки. Разгледайте хоризонталната хорда AD и намерете номерата на точка D (фиг. 2). Тъй като BD е диаметърът и числото -x_0 принадлежи на точка B, тогава -x_0 + π е едно от числата на точка D и следователно всички числа на тази точка са дадени по формулата x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Числата в точки A и D могат да бъдат записани с помощта на една формула: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; ... получаваме номерата на точка A, а при k = ±1; ±3; ±5; ... - номерата на точка D).

Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или D на хоризонталната хорда AD, можем да намерим всички числа в тези точки.

Шестнадесет основни точки на числовия кръг

На практика решението на повечето от най-простите тригонометрични уравнения се свързва с шестнадесет точки от окръжността (фиг. 3). Какви са тези точки? Червени, сини и зелени точки разделят кръга на 12 равни части. Тъй като дължината на полуокръжността е π, дължината на дъгата A1A2 е π/2, дължината на дъгата A1B1 е π/6, а дължината на дъгата A1C1 е π/3.

Сега можем да посочим едно число на точките:

π/3 на С1 и

Върховете на оранжевия квадрат са средните точки на дъгите на всяка четвърт, така че дължината на дъгата A1D1 е равна на π/4 и следователно π/4 е едно от числата на точката D1. Използвайки свойствата на числовата окръжност, можем да запишем всички числа във всички маркирани точки на нашата окръжност с помощта на формули. Фигурата показва и координатите на тези точки (пропускаме описанието на тяхното придобиване).

След като научихме горното, сега имаме достатъчна подготовка за решаване на специални случаи (за девет стойности на числото а)най-простите уравнения.

Решете уравнения

1)sinx=1⁄(2).

– Какво се иска от нас?

– Намерете всички онези числа x, чийто синус е 1/2.

Спомнете си дефиницията на синуса: sinx - ординатата на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x. На окръжността имаме две точки, чиято ордината е равна на 1/2. Това са краищата на хоризонталната хорда B1B2. Това означава, че изискването „решете уравнението sinx=1⁄2” е еквивалентно на изискването „намерете всички числа в точка B1 и всички числа в точка B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Трябва да намерим всички числа в точките C4 и C3.

3) sinx=1. На окръжността имаме само една точка с ордината 1 - точка A2 и следователно трябва да намерим само всички числа на тази точка.

Отговор: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Само точка A_4 има ордината -1. Всички числа от тази точка ще бъдат конете на уравнението.

Отговор: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

На окръжността имаме две точки с ордината 0 - точките A1 и A3. Можете да посочите числата на всяка от точките поотделно, но като се има предвид, че тези точки са диаметрално противоположни, е по-добре да ги комбинирате в една формула: x=πk ,k∈Z .

Отговор: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Припомнете си определението за косинус: cosx - абсцисата на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x.Върху окръжността имаме две точки с абсцисата √2⁄2 – краищата на хоризонталната хорда D1D4. Трябва да намерим всички числа в тези точки. Записваме ги, като ги комбинираме в една формула.

Отговор: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Трябва да намерим числата в точките C_2 и C_3.

Отговор: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Само точки A2 и A4 имат абсциса 0, което означава, че всички числа във всяка от тези точки ще бъдат решения на уравнението.
.

Решенията на уравнението на системата са числата в точките B_3 и B_4 Неравенство cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Отговор: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Обърнете внимание, че за всяка допустима стойност на x вторият фактор е положителен и следователно уравнението е еквивалентно на системата

Решенията на системното уравнение са броят точки D_2 и D_3. Числата на точката D_2 не удовлетворяват неравенството sinx≤0.5, но числата на точката D_3 го удовлетворяват.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

При решаване на мн задачи по математика, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка от споменатите задачи е следният: необходимо е да се установи какъв тип задача се решава, запомнете необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Различна ситуация възниква при тригонометрични уравнения.Не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.

Понякога е трудно да се определи неговият тип чрез появата на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решим тригонометричното уравнение, трябва да опитаме:

1. приведете всички функции, включени в уравнението, до "едни и същи ъгли";
2. приведете уравнението към "същите функции";
3. факторизиране на лявата страна на уравнението и т.н.

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Схема на решение

Етап 1.Изразете тригонометричната функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2Намерете аргумент на функцията с помощта на формули:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен х = а; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Променливо заместване

Схема на решение

Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).

Стъпка 3Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4Направете обратна замяна.

Стъпка 5Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2 не отговаря на условието |t| ≤ 1.

4) грях (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намаляване на реда на уравнението

Схема на решение

Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулите за намаляване на мощността:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

тен 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos2x + cos2x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Схема на решение

Етап 1.Приведете това уравнение във формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получете уравнението за tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Стъпка 3Решете уравнението с известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 или t = -4, така че

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с тригонометрични формули

Схема на решение

Етап 1.Използвайки всички видове тригонометрични формули, доведете това уравнение до уравнение, което може да бъде решено с методи I, II, III, IV.

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.

Пример.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много Важно е, че тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми на стереометрията, физиката и др.Процесът на решаване на такива задачи, така да се каже, съдържа много от знанията и уменията, които се придобиват при изучаването на елементите на тригонометрията.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучението по математика и развитието на личността като цяло.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Урок и презентация на тема: "Решаване на най-простите тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина "Интеграл" за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Хомогенни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, вече изучихме арксинуса, аркосинуса, арктангенса и арккотангенса. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометрични уравнения - уравнения, в които променливата се съдържа под знака на тригонометричната функция.

Повтаряме формата за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако |а|≤ 1, то уравнението cos(x) = a има решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ако |а|≤ 1, то уравнението sin(x) = a има решение:

3) Ако |a| > 1, тогава уравнението sin(x) = a и cos(x) = a няма решения 4) Уравнението tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнението ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат вида: Т(kx+m)=a, T- произволна тригонометрична функция.

Пример.

Решете уравнения: a) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Нека означим 3x=t, след което ще пренапишем нашето уравнение във формата:

Решението на това уравнение ще бъде: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

От таблицата със стойности получаваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Нека се върнем към нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогава x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Отговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, където n е цяло число. (-1)^n - минус едно на степен n.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решете уравненията: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

A) Този път веднага ще преминем директно към изчисляването на корените на уравнението:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогава x/5= πk => x=5πk

Отговор: x=5πk, където k е цяло число.

B) Записваме във формата: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаем, че: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Отговор: x=2π/9 + πk/3, където k е цяло число.

Решете уравнения: cos(4x)= √2/2. И намерете всички корени на сегмента.

Решение:

Ще решим в общ изгледнашето уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Сега нека видим какви корени падат върху нашия сегмент. За k За k=0, x= π/16, ние сме в дадения сегмент.
При k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, те удрят отново.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но тук не уцелихме, което означава, че няма да уцелим и за голямо k.

Отговор: x= π/16, x= 9π/16

Два основни метода за решение.

Разгледахме най-простите тригонометрични уравнения, но има и по-сложни. За решаването им се използват методът за въвеждане на нова променлива и методът на факторизиране. Нека да разгледаме примерите.

Нека решим уравнението:

Решение:
За да решим нашето уравнение, използваме метода за въвеждане на нова променлива, означена с: t=tg(x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 = 0

Да намерим корените квадратно уравнение: t=-1 и t=1/3

След това tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, имаме най-простото тригонометрично уравнение, нека намерим неговите корени.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Отговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Нека използваме идентичността: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Нашето уравнение става: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Нека въведем замяната t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение са корените: t=2 и t=-1/2

Тогава cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

защото косинус не може да приема стойности, по-големи от едно, тогава cos(x)=2 няма корени.

За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Отговор: x= ±2π/3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Определение: Уравнение от вида a sin(x)+b cos(x) се нарича хомогенни тригонометрични уравнения от първа степен.

Уравнения на формата

хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решим хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, го разделяме на cos(x): Невъзможно е да се раздели на косинус, ако е равен на нула, нека се уверим, че това не е така:
Нека cos(x)=0, тогава asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус не са равни на нула едновременно, имаме противоречие, така че можем безопасно да разделим с нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Извадете общия множител: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

След това трябва да решим две уравнения:

cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 за x= π/2 + πk;

Разгледайте уравнението cos(x)+sin(x)=0 Разделете нашето уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Отговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как се решават хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, винаги се придържайте към тези правила!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a \u003d 0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), пример за решението на който е на предишния пързалка

2. Ако a≠0, тогава трябва да разделите двете части на уравнението на квадратния косинус, получаваме:

Правим промяната на променливата t=tg(x), получаваме уравнението: