Решете дробния интеграл. Интегриране на рационални дроби

Както е известно, всяка рационална функция на някаква променлива x може да се разложи на полином и прости, елементарни дроби. Има четири вида прости дроби:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Тук a, A, B, b, c са реални числа. Уравнение x 2+bx+c=0няма реални корени.

Интегриране на дроби от първите два вида

Интегрирането на първите две дроби се извършва по следните формули от таблицата на интегралите:
,
, n ≠ - 1 .

1. Интегриране на дроб от първи тип

Дроб от първия тип чрез заместване t = x - a се редуцира до табличен интеграл:
.

2. Интегриране на дроб от втори тип

Част от втория тип се редуцира до табличен интеграл чрез същото заместване t \u003d x - a:

.

3. Интегриране на дроб от трети тип

Помислете за интеграла на дроб от трети тип:
.
Ще го изчислим на две стъпки.

3.1. Стъпка 1. Изберете производната на знаменателя в числителя

Избираме производната на знаменателя в числителя на дробта. Означаваме: u = x 2+bx+c. Диференцирайте: u′ = 2 x + b. Тогава
;
.
Но
.
Пропуснахме знака модул, защото .

Тогава:
,
където
.

3.2. Стъпка 2. Изчислете интеграла с A = 0, B=1

Сега изчисляваме оставащия интеграл:
.

Привеждаме знаменателя на дробта до сбор от квадрати:
,
където .
Вярваме, че уравнението x 2+bx+c=0няма корени. Ето защо .

Да направим замяна
,
.
.

Така,
.

Така намерихме интеграл на дроб от трети тип:

,
където .

4. Интегриране на дроб от четвърти тип

И накрая, разгледайте интеграла на дроб от четвърти тип:
.
Изчисляваме го в три стъпки.

4.1) Избираме производната на знаменателя в числителя:
.

4.2) Изчислете интеграла
.

4.3) Изчисляване на интеграли
,
използвайки формулата за отливка:
.

4.1. Стъпка 1. Извличане на производната на знаменателя в числителя

Избираме производната на знаменателя в числителя, както направихме в . Означаваме u = x 2+bx+c. Диференцирайте: u′ = 2 x + b. Тогава
.

.
Но
.

Накрая имаме:
.

4.2. Стъпка 2. Изчисляване на интеграла с n = 1

Изчисляваме интеграла
.
Изчисляването му е посочено в.

4.3. Стъпка 3. Извеждане на формулата за редукция

Сега разгледайте интеграла
.

Привеждаме квадратния трином към сумата от квадрати:
.
Тук .
Ние правим замяна.
.
.

Извършваме трансформации и интегриране по части.




.

Умножете по 2 (n - 1):
.
Връщаме се към x и I n.
,
;
;
.

И така, за I n получихме формулата за намаляване:
.
Прилагайки последователно тази формула, редуцираме интеграла I n до I 1 .

Пример

Изчислете интеграл

Решение

1. Избираме производната на знаменателя в числителя.
;
;


.
Тук
.

2. Изчисляваме интеграла на най-простата дроб.

.

3. Прилагаме формулата за намаляване:

за интеграла.
В нашия случай b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Записваме тази формула за n = 2 и n = 3 :
;
.
Оттук

.

Накрая имаме:

.
Намираме коефициента при .
.

Всичко по-горе в предходните параграфи ни позволява да формулираме основните правила за интегриране на рационална дроб.

1. Ако една рационална дроб е неправилна, тогава тя се представя като сбор от полином и правилна рационална дроб (виж т. 2).

Така интегрирането на неправилна рационална дроб се свежда до интегриране на полином и правилна рационална дроб.

2. Разложете знаменателя на правилна дроб на множители.

3. Правилната рационална дроб се разлага на сбора от най-простите дроби. Така интегрирането на правилна рационална дроб се свежда до интегриране на прости дроби.

Разгледайте примери.

Пример 1. Намерете .

Решение. Под интеграла е неправилна рационална дроб. Като вземем цялата част, получаваме

Следователно,

Отбелязвайки, че , разширяваме правилната рационална дроб

на прости дроби:

(виж формула (18)). Ето защо

Така най-накрая имаме

Пример 2. Намерете

Решение. Под интеграла е правилна рационална дроб.

Развивайки го на прости дроби (виж формула (16)), получаваме

Материалът, представен в тази тема, се основава на информацията, представена в темата "Рационални дроби. Разлагане на рационални дроби на елементарни (прости) дроби". Горещо ви съветвам поне да прегледате тази тема, преди да продължите с четенето на този материал. Освен това ще ни трябва таблица с неопределени интеграли.

Нека ви напомня за няколко термина. Те бяха обсъдени в съответната тема, затова тук ще се огранича с кратка формулировка.

Отношението на два полинома $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарича рационална функция или рационална дроб. Рационалната дроб се нарича правилноако $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется грешно.

Елементарните (най-простите) рационални дроби са рационални дроби от четири вида:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забележка (желателно за по-добро разбиране на текста): покажи\скрий

Защо условието $p^2-4q е необходимо?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратно уравнение$x^2+px+q=0$. Дискриминантът на това уравнение е $D=p^2-4q$. Всъщност условието $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например за израза $x^2+5x+10$ получаваме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Тъй като $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Между другото, за тази проверка не е необходимо коефициентът пред $x^2$ да е равен на 1. Например за $5x^2+7x-3=0$ получаваме: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Тъй като $D > 0$, изразът $5x^2+7x-3$ може да бъде факторизиран.

Могат да се намерят примери за рационални дроби (правилни и неправилни), както и примери за разлагане на рационална дроб в елементарни. Тук се интересуваме само от въпросите за тяхната интеграция. Да започнем с интегрирането на елементарни дроби. И така, всеки от четирите типа на горните елементарни дроби е лесен за интегриране с помощта на формулите по-долу. Нека ви напомня, че при интегриране на дроби от тип (2) и (4) се приема $n=2,3,4,\ldots$. Формули (3) и (4) изискват условието $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(уравнение) \begin(уравнение) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(уравнение)

За $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ се прави замяна $t=x+\frac(p)(2)$, след което полученият интеграл е разделен на две. Първото ще бъде изчислено чрез вмъкване под знака за разлика, а второто ще изглежда като $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Този интеграл се взема с помощта на рекурентната връзка

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \край (уравнение)

Изчисляването на такъв интеграл е анализирано в пример № 7 (виж третата част).

Схема за изчисляване на интеграли от рационални функции (рационални дроби):

1. Ако интегралната функция е елементарна, тогава се прилагат формули (1)-(4).
2. Ако интеграндът не е елементарен, тогава го представете като сума от елементарни дроби и след това интегрирайте, като използвате формули (1)-(4).

Горният алгоритъм за интегриране на рационални дроби има неоспоримо предимство - той е универсален. Тези. Използвайки този алгоритъм, човек може да интегрира всякаквирационална дроб. Ето защо почти всички замени на променливи в неопределения интеграл (замествания на Ойлер, Чебишев, универсална тригонометрична замяна) се извършват по такъв начин, че след тази замяна да получим рационална дроб под интервала. И приложете алгоритъма към него. Ще анализираме директното приложение на този алгоритъм, използвайки примери, след като направим малка бележка.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

По принцип този интеграл се получава лесно без механично прилагане на формулата. Ако извадим константата $7$ от интегралния знак и вземем предвид, че $dx=d(x+9)$, тогава получаваме:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

За подробна информация препоръчвам да разгледате темата. Обяснява подробно как се решават такива интеграли. Между другото, формулата се доказва чрез същите трансформации, които бяха приложени в този параграф при решаване "ръчно".

2) Отново има два начина: да приложите готова формула или да се справите без нея. Ако прилагате формулата, трябва да имате предвид, че коефициентът пред $x$ (числото 4) ще трябва да бъде премахнат. За да направим това, просто изваждаме четирите от тях в скоби:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Сега е време да приложите формулата:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Можете да направите, без да използвате формулата. И дори без да изваждаме константата $4$ извън скобите. Ако вземем предвид, че $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, тогава получаваме:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Подробни обяснения за намирането на такива интеграли са дадени в темата "Интегриране чрез заместване (въведение под знака на диференциала)" .

3) Трябва да интегрираме дробта $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Тази дроб има структурата $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, където $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. За да се уверите обаче, че това наистина е елементарна дроб от трети тип, трябва да проверите условието $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Нека решим същия пример, но без да използваме готовата формула. Нека се опитаме да изолираме производната на знаменателя в числителя. Какво означава това? Знаем, че $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Това е изразът $2x+10$, който трябва да изолираме в числителя. Засега числителят съдържа само $4x+7$ , но това не е за дълго. Приложете следната трансформация към числителя:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Сега търсеният израз $2x+10$ се появи в числителя. И нашият интеграл може да бъде пренаписан както следва:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Нека разделим интегранта на две. Е, и съответно самият интеграл също е "разделен":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Нека първо поговорим за първия интеграл, т.е. около $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Тъй като $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, диференциалът на знаменателя се намира в числителя на интегранта. Накратко, вместо на израза $( 2x+10)dx$ записваме $d(x^2+10x+34)$.

Сега нека кажем няколко думи за втория интеграл. Нека отделим пълния квадрат в знаменателя: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Освен това вземаме предвид $dx=d(x+5)$. Сега сумата от интегралите, получени от нас по-рано, може да бъде пренаписана в малко по-различна форма:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ако направим промяната $u=x^2+10x+34$ в първия интеграл, тогава той ще приеме формата $\int\frac(du)(u)$ и се взема чрез просто прилагане на втората формула от . Що се отнася до втория интеграл, за него е възможна замяната $u=x+5$, след което той приема формата $\int\frac(du)(u^2+9)$. то най-чистата водаединадесета формула от таблицата на неопределените интеграли. И така, връщайки се към сумата на интегралите, ще имаме:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Получихме същия отговор, както при прилагането на формулата, което всъщност не е изненадващо. Като цяло, формулата се доказва със същите методи, които използвахме, за да намерим този интеграл. Вярвам, че един внимателен читател може да има един въпрос тук, затова ще го формулирам:

Въпрос 1

Ако приложим втората формула от таблицата на неопределените интеграли към интеграла $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, тогава получаваме следното:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Защо модулът липсваше в решението?

Отговор на въпрос №1

Въпросът е напълно легитимен. Модулът отсъства само защото изразът $x^2+10x+34$ за всеки $x\in R$ е по-голям от нула. Това е доста лесно да се покаже по няколко начина. Например, тъй като $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, тогава $(x+5)^2+9 > 0$ . Възможно е да се прецени по различен начин, без да се включва избор на пълен квадрат. Тъй като $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за всеки $x\in R$ (ако тази логическа верига е изненадваща, съветвам ви да погледнете графичен методрешения квадратни неравенства). Във всеки случай, тъй като $x^2+10x+34 > 0$, тогава $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. можете да използвате нормални скоби вместо модул.

Всички точки от пример № 1 са решени, остава само да запишете отговора.

Отговор:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Пример #2

Намерете интеграла $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

На пръв поглед интеграндът $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ е много подобен на елементарна дроб от трети тип, т.е. до $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Изглежда, че единствената разлика е коефициентът $3$ пред $x^2$, но премахването на коефициента (извън скоби) няма да отнеме много време. Тази прилика обаче е очевидна. За дробта $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ условието $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Нашият коефициент пред $x^2$ не е равен на единица, така че проверете условието $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, така че изразът $3x^2-5x-2$ може да бъде факторизиран. А това означава, че дробта $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не е елементарна дроб от трети тип и се прилага към интеграла $\int\frac(7x+12)( Формулата 3x^2- 5x-2)dx$ не е разрешена.

Е, ако дадената рационална дроб не е елементарна, тогава тя трябва да бъде представена като сбор от елементарни дроби и след това да се интегрира. Накратко, пътеката се възползва от . Как да разложим рационална дроб на елементарни е написано подробно. Нека започнем с разлагане на знаменателя на множители:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\наляво(x+\frac(1)(3)\надясно)(x-2). $$

Представяме подвътрешната фракция в следната форма:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Сега нека разгънем дробта $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ в елементарни:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\вдясно). $$

За намиране на коефициентите $A$ и $B$ има два стандартни начина: методът на неопределените коефициенти и методът на заместването на частични стойности. Нека приложим метода за заместване на частична стойност, като заместим $x=2$ и след това $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Тъй като коефициентите са намерени, остава само да запишем готовото разширение:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

По принцип можете да оставите този запис, но аз харесвам по-точна версия:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Връщайки се към първоначалния интеграл, ние заместваме полученото разширение в него. След това разделяме интеграла на две и прилагаме формулата към всяка. Предпочитам веднага да извадя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Отговор: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Пример #3

Намерете интеграла $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Трябва да интегрираме дробта $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Числителят е полином от втора степен, а знаменателят е полином от трета степен. Тъй като степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Просто трябва да разделим дадения интеграл на три и да приложим формулата към всеки. Предпочитам веднага да извадя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Отговор: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Продължение на анализа на примери по тази тема се намира във втората част.

Както вече отбелязах, в интегралното смятане няма удобна формула за интегриране на дроб. И следователно има тъжна тенденция: колкото по-„хитра“ е дробта, толкова по-трудно е да се намери интегралът от нея. В това отношение човек трябва да прибягва до различни трикове, които сега ще обсъдя. Подготвените читатели могат да използват веднага съдържание:

• Методът на подреждане под знака на диференциала за прости дроби

Метод на изкуствено преобразуване на числителя

Пример 1

Между другото, разглежданият интеграл може да бъде решен и чрез промяна на метода на променливата, обозначаващ , но решението ще бъде много по-дълго.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.

Това е пример за „направи си сам“. Трябва да се отбележи, че тук методът за заместване на променливи вече няма да работи.

Внимание важно! Примери № 1, 2 са типични и често срещани. По-специално, такива интеграли често възникват в хода на решаването на други интеграли, по-специално при интегриране на ирационални функции (корени).

Горният метод работи и в случая ако най-голямата степен на числителя е по-голяма от най-голямата степен на знаменателя.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.

Да започнем с числителя.

Алгоритъмът за избор на числител е нещо подобно:

1) В числителя трябва да организирам, но там. Какво да правя? Ограждам в скоби и умножавам по: .

2) Сега се опитвам да отворя тези скоби, какво се случва? . Хм ... вече по-добре, но няма двойка с първоначално в числителя. Какво да правя? Трябва да умножите по:

3) Отново отваряне на скобите: . И ето го първият успех! Нужно се оказа! Но проблемът е, че се появи допълнителен срок. Какво да правя? За да не се промени изразът, трябва да добавя същото към моята конструкция:
. Животът стана по-лесен. Възможно ли е да се организира отново в числителя?

4) Можете. Опитваме: . Разгънете скобите на втория член:
. Съжалявам, но всъщност имах в предишната стъпка, а не . Какво да правя? Трябва да умножим втория член по:

5) Отново, за проверка, отварям скобите във втория член:
. Сега е нормално: получено от окончателната конструкция на параграф 3! Но отново има едно малко „но“, появи се допълнителен термин, което означава, че трябва да добавя към израза си:

Ако всичко е направено правилно, тогава при отваряне на всички скоби трябва да получим оригиналния числител на интегранта. Ние проверяваме:
Добре.

По този начин:

Готов. В последния семестър приложих метода за привеждане на функцията под диференциала.

Ако намерим производната на отговора и приведем израза към общ знаменател, тогава получаваме точно оригиналния интегранд. Разглежданият метод за разширяване в сума не е нищо повече от обратното действие за привеждане на израза към общ знаменател.

Алгоритъмът за избор на числител в такива примери се изпълнява най-добре на чернова. С някои умения ще работи и психически. Спомням си рекордно време, когато направих селекция за 11-та степен и разширяването на числителя отне почти два реда на Werd.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.

Това е пример за „направи си сам“.

Методът на подреждане под знака на диференциала за прости дроби

Да преминем към следващия вид дроби.
, , , (коефициентите и не са равни на нула).

Всъщност, няколко случая с арксинус и арктангенс вече са пропуснати в урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл. Такива примери се решават чрез поставяне на функцията под знака на диференциала и след това интегриране с помощта на таблицата. Ето още една типични примерис дълъг и висок логаритъм:

Пример 5

Пример 6

Тук е препоръчително да вземете таблица с интеграли и да следвате какви формули и какнастъпва трансформация. Забележка, как и защоквадратите са подчертани в тези примери. По-специално, в пример 6 първо трябва да представим знаменателя като , след това поставете под знака на диференциала. И трябва да направите всичко това, за да използвате стандартната таблична формула .

Но какво да гледате, опитайте се да решите сами примери № 7,8, особено след като са доста кратки:

Пример 7

Пример 8

Намерете неопределения интеграл:

Ако можете да проверите и тези примери, тогава голямо уважение са вашите умения за диференциране в най-добрия им вид.

Метод за избор на пълен квадрат

Интеграли от формата , (коефициенти и не са равни на нула) се решават метод за избор на пълен квадрат, който вече се появи в урока Трансформации на геометрични графики.

Всъщност такива интеграли се свеждат до един от четирите таблични интеграла, които току-що разгледахме. И това се постига с помощта на познатите формули за съкратено умножение:

Формулите се прилагат в тази посока, тоест идеята на метода е изкуствено да организира изразите или в знаменателя, след което да ги преобразува съответно в или .

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

то най-простият пример, при което с термина - единичен коеф(а не някакво число или минус).

Гледаме знаменателя, тук всичко е ясно сведено до случая. Нека започнем да преобразуваме знаменателя:

Очевидно трябва да добавите 4. И така, че изразът да не се променя - същите четири и извадете:

Сега можете да приложите формулата:

След като преобразуването приключи ВИНАГИжелателно е да се изпълни обратен ход: всичко е наред, няма грешки.

Чистият дизайн на въпросния пример трябва да изглежда по следния начин:

Готов. Обобщавайки „безплатното“ сложна функцияпод диференциалния знак: , по принцип, може да се пренебрегне

Пример 10

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример за самостоятелно решаване, отговорът е в края на урока.

Пример 11

Намерете неопределения интеграл:

Какво да правим, когато има минус отпред? В този случай трябва да извадите минуса от скобите и да подредите условията в реда, от който се нуждаем:. Константа("двойно" в този случай) не докосвайте!

Сега добавяме един в скоби. Анализирайки израза, стигаме до извода, че имаме нужда от един зад скобата - добавете:

Ето формулата, приложете:

ВИНАГИизвършваме проверка на черновата:
, което трябваше да бъде проверено.

Изчистеният дизайн на примера изглежда по следния начин:

Ние усложняваме задачата

Пример 12

Намерете неопределения интеграл:

Тук с термина вече не става въпрос за единичен коефициент, а за „петица“.

(1) Ако се намери константа при, веднага я изваждаме от скоби.

(2) По принцип винаги е по-добре тази константа да бъде извадена от интеграла, за да не пречи.

(3) Очевидно е, че всичко ще се сведе до формулата . Необходимо е да разберете термина, а именно да получите "две"

(4) Да, . И така, добавяме към израза и изваждаме същата дроб.

(5) Сега изберете цял квадрат. AT общ случайсъщо трябва да изчислим, но тук имаме формула за дълъг логаритъм , и действието няма смисъл да се изпълнява, защо - ще стане ясно малко по-долу.

(6) Всъщност можем да приложим формулата , само че вместо "x" имаме, което не отменя валидността на табличния интеграл. Строго погледнато, липсва една стъпка - преди интегрирането функцията трябва да бъде поставена под диференциалния знак: , но, както многократно съм отбелязвал, това често се пренебрегва.

(7) В отговора под корена е желателно да отворите всички скоби назад:

Труден? Това не е най-трудното в интегралното смятане. Въпреки това, разглежданите примери не са толкова сложни, колкото изискват добра техника на изчисление.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример за „направи си сам“. Отговорете в края на урока.

Има интеграли с корени в знаменателя, които с помощта на замяна се редуцират до интеграли от разглеждания тип, можете да прочетете за тях в статията Комплексни интеграли, но е предназначен за високо подготвени ученици.

Привеждане на числителя под знака на диференциала

Това е последната част от урока, но интегралите от този тип са доста често срещани! Ако умората е натрупана, може би е по-добре да прочетете утре? ;)

Интегралите, които ще разгледаме, са подобни на интегралите от предишния параграф, те имат формата: или (коефициентите , и не са равни на нула).

Тоест в числителя, който имаме линейна функция. Как се решават такива интеграли?

Тук представяме подробни решениятри примера за интегриране на следните рационални дроби:
, , .

Пример 1

Изчислете интеграл:
.

Решение

Тук под знака на интеграла има рационална функция, тъй като интеграндът е част от полиноми. Степента на полинома на знаменателя ( 3 ) е по-малка от степента на полинома на числителя ( 4 ). Следователно, първо трябва да изберете цялата част от фракцията.

1. Нека вземем цялата част от дробта. Разделете x 4 на х 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Оттук
.

2. Нека разложим на множители знаменателя. За да направите това, трябва да решите кубичното уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Заместете x = 1 :
.

1 . Разделете на x - 1 :

Оттук
.
Решаваме квадратно уравнение.
.
Корени на уравнението: , .
Тогава
.

3. Нека разложим дробта на прости.

.

Така открихме:
.
Да се ​​интегрираме.

Отговор

Пример 2

Изчислете интеграл:
.

Решение

Тук в числителя на дробта е полином от нулева степен ( 1 = x0). Знаменателят е полином от трета степен. Тъй като 0 < 3 , тогава дробта е правилна. Нека го разделим на прости дроби.

1. Нека разложим на множители знаменателя. За да направите това, трябва да решите уравнението от трета степен:
.
Да приемем, че има поне един корен от цяло число. Тогава това е делител на числото 3 (член без x ). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
1, 3, -1, -3 .
Заместете x = 1 :
.

Така че намерихме един корен x = 1 . Разделете x 3 + 2 х - 3на х- 1 :

Така,
.

Решаваме квадратното уравнение:
х 2 + x + 3 = 0.
Намерете дискриминанта: D = 1 2 - 4 3 = -11. Защото Д< 0 , тогава уравнението няма реални корени. Така получихме разлагането на знаменателя на множители:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Заместете x = 1 . тогава х- 1 = 0 ,
.

Заместник в (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

Приравнете в (2.1) коефициенти при х 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. Да се ​​интегрираме.
(2.2) .
За да изчислим втория интеграл, избираме производната на знаменателя в числителя и редуцираме знаменателя до сбора от квадрати.

;
;
.

Изчислете I 2 .


.
Тъй като уравнението x 2 + x + 3 = 0няма истински корени, тогава x 2 + x + 3 > 0. Следователно знакът на модула може да бъде пропуснат.

Ние доставяме до (2.2) :
.

Отговор

Пример 3

Изчислете интеграл:
.

Решение

Тук под знака на интеграла е част от полиномите. Следователно интегрантът е рационална функция. Степента на полинома в числителя е 3 . Степента на полинома на знаменателя на дроб е 4 . Тъй като 3 < 4 , тогава дробта е правилна. Следователно може да се разложи на прости дроби. Но за това трябва да разложите знаменателя на множители.

1. Нека разложим на множители знаменателя. За да направите това, трябва да решите уравнението от четвърта степен:
.
Да приемем, че има поне един корен от цяло число. Тогава това е делител на числото 2 (член без x ). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместете x = -1 :
.

Така че намерихме един корен x = -1 . Разделете на x - (-1) = x + 1:


Така,
.

Сега трябва да решим уравнението от трета степен:
.
Ако приемем, че това уравнение има корен от цяло число, тогава то е делител на числото 2 (член без x ). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместете x = -1 :
.

И така, намерихме друг корен x = -1 . Би било възможно, както в предишния случай, да разделим полинома на , но ще групираме условията:
.

Тъй като уравнението x 2 + 2 = 0 няма реални корени, тогава получаваме факторизацията на знаменателя:
.

2. Нека разложим дробта на прости. Търсим разлагане във формата:
.
Отърваваме се от знаменателя на дробта, умножаваме по (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Заместете x = -1 . Тогава x + 1 = 0 ,
.

Разграничете (3.1) :

;

.
Заместете x = -1 и вземете предвид, че x + 1 = 0 :
;
; .

Заместник в (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Приравнете в (3.1) коефициенти при х 3 :
;
1=B+C;
.

И така, намерихме разлагането на прости дроби:
.

3. Да се ​​интегрираме.


.