Комплексни логаритмични неравенства университети. Всичко за логаритмичните неравенства

Цели на урока:

Дидактически:

• Ниво 1 - научете как да решавате най-простите логаритмични неравенства, като използвате дефиницията на логаритъм, свойствата на логаритмите;
• Ниво 2 - решаване на логаритмични неравенства, като избира собствен метод за решаване;
• Ниво 3 - умее да прилага знания и умения в нестандартни ситуации.

Разработване:развива памет, внимание, логично мислене, умения за сравнение, да могат да обобщават и правят изводи

Образователни:да се култивира точност, отговорност за извършената задача, взаимопомощ.

Методи на обучение: глаголен , визуален , практичен , частично търсене , самоуправление , контрол.

Форми на организация познавателна дейностученици: челен , индивидуален , работете по двойки.

Оборудване: набор от тестови задачи, справочна справка, празни листове за решения.

Тип урок:изучаване на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент.Обявяват се темата и целите на урока, схемата на урока: на всеки ученик се дава лист за оценка, който ученикът попълва по време на урока; за всяка двойка ученици - печатни материали със задачи, трябва да изпълнявате задачите по двойки; чисти чаршафиза разтвори; справочни листове: определение на логаритъм; графика на логаритмична функция, нейните свойства; свойства на логаритмите; алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства.

Всички решения след самооценка се предоставят на учителя.

Лист за оценка на ученика

2. Актуализиране на знанията.

Инструкции на учителя. Запомнете дефиницията на логаритъм, графиката на логаритмичната функция и нейните свойства. За да направите това, прочетете текста на стр. 88–90, 98–101 от учебника „Алгебра и началото на анализа 10–11” под редакцията на Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.

На учениците се раздават листове, на които са записани: дефиницията на логаритъм; показва графика на логаритмична функция, нейните свойства; свойства на логаритмите; алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства, пример за решаване на логаритмично неравенство, което се свежда до квадратно.

3. Учене на нов материал.

Решението на логаритмичните неравенства се основава на монотонността на логаритмичната функция.

Алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства:

А) Намерете областта на дефиниция на неравенството (подлогаритмичният израз е по-голям от нула).
B) Представете (ако е възможно) лявата и дясната част на неравенството като логаритми при една и съща основа.
В) Определете дали логаритмичната функция е нарастваща или намаляваща: ако t>1, тогава нараства; ако 0 1, след което намалява.
Г) Отидете на още просто неравенство(подлогаритмични изрази), като се има предвид, че знакът за неравенство ще се запази, ако функцията нараства, и ще се промени, ако намалява.

Обучаващ елемент #1.

Цел: да се фиксира решението на най-простите логаритмични неравенства

Форма на организация на познавателната дейност на учениците: индивидуална работа.

Задачи за самостоятелна работаза 10 минути. За всяко неравенство има няколко отговора, трябва да изберете правилния и да проверите по ключ.

КЛЮЧ: 13321, максимален брой точки - 6 т.

Обучаващ елемент #2.

Цел: да се фиксира решението на логаритмични неравенства чрез прилагане на свойствата на логаритмите.

Инструкции на учителя. Припомнете си основните свойства на логаритмите. За целта прочетете текста от учебника на стр.92, 103–104.

Задачи за самостоятелна работа за 10 минути.

КЛЮЧ: 2113, максималният брой точки е 8 б.

Обучаващ елемент #3.

Цел: да се изучи решението на логаритмични неравенства чрез метода на редукция до квадрат.

Инструкции на учителя: методът за намаляване на неравенството до квадрат е, че трябва да преобразувате неравенството до такава форма, че определена логаритмична функция да бъде означена с нова променлива, като същевременно получавате квадратно неравенство по отношение на тази променлива.

Нека използваме метода на интервалите.

Преминахте първото ниво на усвояване на материала. Сега трябва сами да изберете метода на решение логаритмични уравненияизползвайки всичките си знания и способности.

Обучаващ елемент номер 4.

Цел: да консолидирате решението на логаритмичните неравенства, като изберете сами рационален начин за решаването му.

Задачи за самостоятелна работа за 10 минути

Обучаващ елемент номер 5.

Инструкции на учителя. Много добре! Усвоихте решението на уравнения от второ ниво на сложност. Целта на по-нататъшната ви работа е да приложите знанията и уменията си в по-сложни и нестандартни ситуации.

Задачи за самостоятелно решаване:

Инструкции на учителя. Чудесно е, ако сте свършили цялата работа. Много добре!

Оценката за целия урок зависи от събраните точки за всички образователни елементи:

• ако N ≥ 20, тогава получавате резултат „5“,
• за 16 ≤ N ≤ 19 – оценка „4“,
• за 8 ≤ N ≤ 15 – оценка „3“,
• при Н< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Прогнозирани лисици за предаване на учителя.

5. Домашна работа: ако сте получили не повече от 15 b - поработете върху грешките (решенията могат да бъдат взети от учителя), ако сте получили повече от 15 b - направете творческа задача по темата „Логаритмични неравенства“.

Смятате ли, че има още време до изпита и ще имате време да се подготвите? Може би това е така. Но във всеки случай, колкото по-рано ученикът започне обучението, толкова по-успешно преминава изпитите. Днес решихме да посветим статия на логаритмичните неравенства. Това е една от задачите, което означава възможност за получаване на допълнителна точка.

Знаете ли вече какво е логаритъм (log)? Силно се надяваме. Но дори и да нямате отговор на този въпрос, това не е проблем. Много е лесно да се разбере какво е логаритъм.

Защо точно 4? Трябва да увеличите числото 3 до такава степен, че да получите 81. Когато разберете принципа, можете да продължите към по-сложни изчисления.

Преминахте през неравенствата преди няколко години. И оттогава постоянно ги срещаш в математиката. Ако имате проблеми с решаването на неравенства, вижте съответния раздел.
Сега, когато се запознахме с понятията поотделно, ще преминем към тяхното разглеждане като цяло.

Най-простото логаритмично неравенство.

Най-простите логаритмични неравенства не се ограничават до този пример, има още три, само с различни знаци. Защо е необходимо това? За да разберете по-добре как да решавате неравенство с логаритми. Сега даваме по-приложим пример, все още доста прост, оставяме сложните логаритмични неравенства за по-късно.

Как да го решим? Всичко започва с ODZ. Трябва да знаете повече за това, ако искате винаги лесно да решавате всяко неравенство.

Какво е ODZ? DPV за логаритмични неравенства

Съкращението означава обхвата на валидните стойности. В задачите за изпита тази формулировка често изскача. DPV е полезно за вас не само в случай на логаритмични неравенства.

Погледнете отново горния пример. Въз основа на него ще разгледаме ODZ, за да разберете принципа и решението на логаритмичните неравенства не повдига въпроси. От дефиницията на логаритъма следва, че 2x+4 трябва да е по-голямо от нула. В нашия случай това означава следното.

Това число трябва да е положително по дефиниция. Решете представеното по-горе неравенство. Това дори може да се направи устно, тук е ясно, че X не може да бъде по-малко от 2. Решението на неравенството ще бъде дефинирането на диапазона от допустими стойности.
Сега нека преминем към решаването на най-простото логаритмично неравенство.

Изхвърляме самите логаритми от двете части на неравенството. Какво ни остава като резултат? просто неравенство.

Лесно е за решаване. X трябва да е по-голямо от -0,5. Сега комбинираме двете получени стойности в системата. По този начин,

Това ще бъде областта на допустимите стойности за разглежданото логаритмично неравенство.

Защо изобщо е необходим ODZ? Това е възможност да отсеете грешните и невъзможни отговори. Ако отговорът не е в обхвата на приемливите стойности, тогава отговорът просто няма смисъл. Това си струва да запомните за дълго време, тъй като на изпита често има нужда да търсите ODZ и това се отнася не само за логаритмични неравенства.

Алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство

Решението се състои от няколко стъпки. Първо, необходимо е да се намери обхватът на приемливите стойности. Ще има две стойности в ODZ, разгледахме това по-горе. Следващата стъпка е да се реши самото неравенство. Методите за решение са както следва:

• метод за заместване на множителя;
• разграждане;
• метод на рационализация.

В зависимост от ситуацията трябва да се използва един от горните методи. Да преминем направо към решението. Ще разкрием най-популярния метод, който е подходящ за решаване на USE задачи в почти всички случаи. След това ще разгледаме метода на разлагане. Може да помогне, ако попаднете на особено „сложно“ неравенство. И така, алгоритъмът за решаване на логаритмичното неравенство.

Примери за решения :

Не напразно взехме точно такова неравенство! Обърнете внимание на основата. Запомнете: ако е по-голямо от едно, знакът остава същият при намиране на диапазона от валидни стойности; в противен случай знакът за неравенство трябва да се промени.

В резултат на това получаваме неравенството:

Сега привеждаме лявата страна към формата на уравнението, равна на нула. Вместо знака "по-малко" поставяме "равно", решаваме уравнението. Така ще намерим ODZ. Надяваме се, че с решението на такива просто уравнениеняма да имаш проблем. Отговорите са -4 и -2. Това не е всичко Трябва да покажете тези точки на диаграмата, като поставите "+" и "-". Какво трябва да се направи за това? Заместете числата от интервалите в израза. Когато стойностите са положителни, поставяме "+" там.

Отговор: x не може да бъде по-голямо от -4 и по-малко от -2.

Намерихме диапазона от валидни стойности само за лявата страна, сега трябва да намерим диапазона от валидни стойности за дясната страна. Това в никакъв случай не е по-лесно. Отговор: -2. Пресичаме двете получени области.

И едва сега започваме да решаваме самото неравенство.

Нека го опростим максимално, за да улесним вземането на решение.

Отново използваме интервалния метод в решението. Нека пропуснем изчисленията, с него всичко вече е ясно от предишния пример. Отговор.

Но този метод е подходящ, ако логаритмичното неравенство има еднакви основи.

Решаване на логаритмични уравнения и неравенства с различни основанияпредполага първоначално свеждане до една основа. След това използвайте горния метод. Но има и по-сложен случай. Помислете за един от най сложни типовелогаритмични неравенства.

Логаритмични неравенства с променлива основа

Как се решават неравенства с такива характеристики? Да, и такива могат да бъдат намерени на изпита. Решаването на неравенства по следния начин също ще има благоприятен ефект върху вашите учебен процес. Нека разберем проблема подробно. Нека оставим теорията настрана и да преминем направо към практиката. За решаване на логаритмични неравенства е достатъчно веднъж да се запознаете с примера.

За да се реши логаритмичното неравенство на представената форма, е необходимо да се намали правилната странакъм логаритъм със същата основа. Принципът наподобява еквивалентни преходи. В резултат на това неравенството ще изглежда така.

Всъщност остава да се създаде система от неравенства без логаритми. Използвайки метода на рационализация, преминаваме към еквивалентна система от неравенства. Ще разберете самото правило, когато замените подходящите стойности и следвате техните промени. Системата ще има следните неравенства.

Използвайки метода на рационализация при решаване на неравенства, трябва да запомните следното: трябва да извадите едно от основата, x, по дефиниция на логаритъма, се изважда от двете части на неравенството (дясната от лявата), двете изразите се умножават и поставят под първоначалния знак спрямо нула.

По-нататъшното решение се извършва по интервалния метод, тук всичко е просто. Важно е да разберете разликите в методите за решаване, тогава всичко ще започне да се получава лесно.

В логаритмичните неравенства има много нюанси. Най-простите от тях са достатъчно лесни за решаване. Как да направите така, че да решите всеки от тях без проблеми? Вече сте получили всички отговори в тази статия. Сега ви предстои дълга практика. Постоянно практикувайте решаването на различни задачи в рамките на изпита и ще можете да получите най-висок резултат. Успех в трудната работа!

Едно неравенство се нарича логаритмично, ако съдържа логаритмична функция.

Методите за решаване на логаритмични неравенства не се различават от с изключение на две неща.

Първо, при преминаване от логаритмичното неравенство към неравенството под логаритмични функцииТрябва следват знака на полученото неравенство. Подчинява се на следното правило.

Ако основата на логаритмичната функция е по-голяма от $1$, тогава при преминаване от логаритмично неравенство към неравенство на подлогаритмични функции знакът за неравенство се запазва, а ако е по-малък от $1$, тогава се обръща.

Второ, решението на всяко неравенство е интервал и следователно в края на решението на неравенството на сублогаритмичните функции е необходимо да се състави система от две неравенства: първото неравенство на тази система ще бъде неравенството на сублогаритмични функции, а вторият ще бъде интервалът от областта на дефиниране на логаритмичните функции, включени в логаритмичното неравенство.

Практикувайте.

Да решим неравенствата:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Основата на логаритъма е $2>1$, така че знакът не се променя. Използвайки дефиницията на логаритъма, получаваме:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )