Най-простите неравенства с логаритми. Логаритмични неравенства

Въведение

Логаритмите са измислени, за да ускорят и опростят изчисленията. Идеята за логаритъма, тоест идеята за изразяване на числата като степен на една и съща основа, принадлежи на Михаил Щифел. Но по времето на Щифел математиката не беше толкова развита и идеята за логаритъма не намери своето развитие. Логаритмите са изобретени по-късно едновременно и независимо от шотландския учен Джон Напиер (1550-1617) и швейцареца Йобст Бурги (1552-1632).Напиер е първият, който публикува труда през 1614 г. озаглавена „Описание на удивителната таблица на логаритмите“, теорията на Напиер за логаритмите беше дадена достатъчно изцяло, методът за изчисляване на логаритми е най-простият, следователно заслугите на Напиер в изобретяването на логаритмите са по-големи от тези на Бурги. Бурги работи върху таблиците едновременно с Напиер, но ги пази в тайна дълго време и ги публикува едва през 1620 г. Напиер усвоява идеята за логаритъма около 1594 г. въпреки че таблиците са публикувани 20 години по-късно. Отначало той нарече своите логаритми „изкуствени числа“ и едва след това предложи тези „изкуствени числа“ да се нарекат с една дума „логаритъм“, което на гръцки е „корелирани числа“, взети едното от аритметична прогресия, а другото от геометрична прогресия, специално подбрана за нея. Първите таблици на руски език са публикувани през 1703 г. с участието на забележителен учител от 18 век. Л. Ф. Магнитски. В развитието на теорията на логаритмите голямо значениеимаше работата на петербургския академик Леонхард Ойлер. Той е първият, който разглежда логаритъма като обратен на степенуването, той въвежда термините "основа на логаритъма" и "мантиса" Бригс съставя таблици на логаритми с основа 10. Десетичните таблици са по-удобни за практическа употреба, тяхната теория е по-проста от този на логаритмите на Напиер. Ето защо десетични логаритмипонякога наричани бригове. Терминът "характеристика" е въведен от Бригс.

В онези далечни времена, когато мъдреците за първи път започнаха да мислят за равенства, съдържащи неизвестни количества, вероятно все още не е имало монети или портфейли. Но от друга страна имаше купища, както и саксии, кошници, които бяха идеални за ролята на тайници-складове, съдържащи неизвестен брой предмети. В древни математически задачиМесопотамия, Индия, Китай, Гърция, неизвестни количества изразяват броя на пауните в градината, броя на биковете в стадото, съвкупността от неща, взети предвид при разделянето на имуществото. Писари, служители и свещеници, посветени в тайни знания, добре обучени в науката за броенето, се справяха доста успешно с подобни задачи.

Източници, достигнали до нас, показват, че древните учени са притежавали някои общи методи за решаване на проблеми с неизвестни количества. Но нито един папирус, нито една глинена плочка не дава описание на тези техники. Авторите само от време на време снабдяваха числените си изчисления със злобни коментари като: „Вижте!“, „Направете го!“, „Намерихте го правилно“. В този смисъл изключение прави „Аритметика” на гръцкия математик Диофант Александрийски (III в.) – сборник от задачи за съставяне на уравнения със систематично представяне на техните решения.

Въпреки това работата на багдадския учен от 9 век се превърна в първото ръководство за решаване на проблеми, което стана широко известно. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата "al-jabr" от арабското заглавие на този трактат - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Книгата за възстановяване и контрастиране") - с течение на времето се превърна в думата "алгебра", добре позната на всички, и самата работа на ал-Хорезми служи като отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения.

Логаритмични уравнения и неравенства

1. Логаритмични уравнения

Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма или в основата му, се нарича логаритмично уравнение.

Най-простото логаритмично уравнение е уравнението на формата

дневник а х = b . (1)

Твърдение 1. Ако а > 0, а≠ 1, уравнение (1) за всяко реално bТо има единствено решение х = а б .

Пример 1. Решете уравнения:

а) дневник 2 х= 3, b) log 3 х= -1, в)

Решение. Използвайки твърдение 1, получаваме а) х= 2 3 или х= 8; б) х= 3 -1 или х= 1/3; ° С)

или х = 1.

Представяме основните свойства на логаритъма.

P1. Основна логаритмична идентичност:

където а > 0, а≠ 1 и b > 0.

P2. Логаритъм от произведението на положителните фактори е равно на суматалогаритми на тези фактори:

дневник а недин · н 2 = дневник а н 1 + дневник а н 2 (а > 0, а ≠ 1, н 1 > 0, н 2 > 0).

Коментирайте. Ако недин · н 2 > 0, тогава свойството P2 приема формата

дневник а недин · н 2 = дневник а |н 1 | +дневник а |н 2 | (а > 0, а ≠ 1, недин · н 2 > 0).

P3. Логаритъмът от частното на две положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя

(а > 0, а ≠ 1, н 1 > 0, н 2 > 0).

Коментирайте. Ако

, (което е еквивалентно на н 1 н 2 > 0), тогава свойството P3 приема формата (а > 0, а ≠ 1, н 1 н 2 > 0).

P4. Логаритъмът на степента на положително число е равен на произведението на степента и логаритъма на това число:

дневник а н к = кдневник а н (а > 0, а ≠ 1, н > 0).

Коментирайте. Ако к- четен брой ( к = 2с), тогава

дневник а н 2с = 2сдневник а |н | (а > 0, а ≠ 1, н ≠ 0).

P5. Формулата за преместване в друга база е:

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, н > 0),

особено ако н = b, получаваме

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Използвайки свойства P4 и P5, е лесно да се получат следните свойства

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (3) (а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (4) (а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (5)

и ако в (5) ° С- четен брой ( ° С = 2н), възниква

(b > 0, а ≠ 0, |а | ≠ 1). (6)

Изброяваме основните свойства на логаритмичната функция f (х) = дневник а х :

1. Домейнът на логаритмичната функция е множеството от положителни числа.

2. Диапазонът от стойности на логаритмичната функция е набор от реални числа.

3. Кога а > 1 логаритмична функциястрого нарастващ (0< х 1 < х 2 дневник а х 1 < logа х 2) и на 0< а < 1, - строго убывает (0 < х 1 < х 2 дневник а х 1 > дневник а х 2).

4 дневник а 1 = 0 и log а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е отрицателна за х(0;1) и е положителен за х(1;+∞), и ако 0< а < 1, то логарифмическая функция положительна при х (0;1) и е отрицателен за х (1;+∞).

6. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е изпъкнала нагоре и ако а(0;1) - изпъкнал надолу.

Следните твърдения (вижте например ) се използват при решаване на логаритмични уравнения.

Логаритмични неравенства

В предишните уроци се запознахме с логаритмичните уравнения и сега знаем какво представляват и как се решават. И днешният урок ще бъде посветен на изучаването на логаритмични неравенства. Какви са тези неравенства и каква е разликата между решаване на логаритмично уравнение и неравенства?

Логаритмичните неравенства са неравенства, които имат променлива под знака на логаритъма или в основата му.

Или можете също да кажете това логаритмично неравенство- това е такова неравенство, в което неговата неизвестна стойност, както в логаритмичното уравнение, ще бъде под знака на логаритъма.

Най-простите логаритмични неравенства изглеждат така:

където f(x) и g(x) са някои изрази, които зависят от x.

Нека да разгледаме това чрез следния пример: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решаване на логаритмични неравенства

Преди да решите логаритмични неравенства, струва си да се отбележи, че когато се решават, те са подобни на експоненциални неравенства, а именно:

Първо, когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, ние също трябва да сравним основата на логаритъма с единица;

Второ, когато решаваме логаритмично неравенство с помощта на промяна на променливи, трябва да решаваме неравенства по отношение на промяната, докато получим най-простото неравенство.

Но ние разгледахме подобни моменти на решаване на логаритмични неравенства. Сега нека разгледаме една доста съществена разлика. Вие и аз знаем, че логаритмичната функция има ограничена област на дефиниция, така че когато преминавате от логаритми към изрази, които са под знака на логаритъма, трябва да вземете предвид обхвата на приемливите стойности (ODV).

Тоест трябва да се има предвид, че логаритмично уравнениеможем първо да намерим корените на уравнението и след това да проверим това решение. Но решаването на логаритмичното неравенство няма да работи по този начин, тъй като преминавайки от логаритми към изрази под знака на логаритъма, ще е необходимо да запишете ODZ на неравенството.

Освен това си струва да запомните, че теорията на неравенствата се състои от реални числа, които са положителни и отрицателни числа, както и числото 0.

Например, когато числото "a" е положително, тогава трябва да се използва следната нотация: a > 0. В този случай както сумата, така и произведението на тези числа също ще бъдат положителни.

Основният принцип за решаване на неравенство е да го замените с по-просто неравенство, но основното е то да е еквивалентно на даденото. Освен това получихме и неравенство и отново го заменихме с такова, което има по-проста форма и т.н.

Решавайки неравенства с променлива, трябва да намерите всичките му решения. Ако две неравенства имат една и съща променлива x, тогава тези неравенства са еквивалентни, при условие че техните решения са еднакви.

При изпълнение на задачи за решаване на логаритмични неравенства е необходимо да се помни, че когато a > 1, тогава логаритмичната функция нараства, а когато 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Начини за решаване на логаритмични неравенства

Сега нека да разгледаме някои от методите, които се използват при решаване на логаритмични неравенства. За по-добро разбиране и асимилация ще се опитаме да ги разберем с помощта на конкретни примери.

Знаем, че най-простото логаритмично неравенство има следния вид:

В това неравенство V - е един от тези знаци за неравенство като:<,>, ≤ или ≥.

Когато основата на този логаритъм е по-голяма от единица (a>1), което прави прехода от логаритми към изрази под знака на логаритъма, тогава в тази версия знакът за неравенство се запазва и неравенството ще изглежда така:

което е еквивалентно на следната система:

В случай, че основата на логаритъма е по-голяма от нула и по-малка от единица (0

Това е еквивалентно на тази система:

Нека разгледаме още примери за решаване на най-простите логаритмични неравенства, показани на снимката по-долу:

Решение на примери

Упражнение.Нека се опитаме да разрешим това неравенство:

Решението на зоната на допустимите стойности.

Сега нека се опитаме да умножим дясната му страна по:

Да видим какво можем да направим:

Сега нека преминем към преобразуването на подлогаритмични изрази. Тъй като основата на логаритъма е 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А от това следва, че интервалът, който получихме принадлежи изцяло на ОДЗ и е решение на такова неравенство.

Ето отговора, който получихме:

Какво е необходимо за решаване на логаритмични неравенства?

Сега нека се опитаме да анализираме какво ни е необходимо за успешно решаване на логаритмични неравенства?

Първо, съсредоточете цялото си внимание и се опитайте да не правите грешки, когато извършвате трансформациите, които са дадени в това неравенство. Също така трябва да се помни, че при решаването на такива неравенства е необходимо да се предотврати разширяване и стесняване на неравенството на ODZ, което може да доведе до загуба или придобиване на странични решения.

Второ, когато решавате логаритмични неравенства, трябва да се научите да мислите логически и да разбирате разликата между такива понятия като система от неравенства и набор от неравенства, така че лесно да избирате решения на неравенство, като се ръководите от неговия DHS.

Трето, за да разрешите успешно подобни неравенства, всеки от вас трябва да знае отлично всички свойства на елементарните функции и ясно да разбира тяхното значение. Такива функции включват не само логаритмични, но и рационални, степенни, тригонометрични и т.н., с една дума всички онези, които сте изучавали навсякъде училищно обучениеалгебра.

Както можете да видите, след като сте изучавали темата за логаритмичните неравенства, няма нищо трудно в решаването на тези неравенства, при условие че сте внимателни и упорити в постигането на целите си. За да няма проблеми при решаването на неравенства, трябва да тренирате колкото е възможно повече, решавайки различни задачи и в същото време да запомните основните начини за решаване на такива неравенства и техните системи. При неуспешни решения на логаритмични неравенства трябва внимателно да анализирате грешките си, за да не се връщате към тях отново в бъдеще.

Домашна работа

За по-добро усвояване на темата и консолидиране на обхванатия материал, решете следните неравенства:

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

С тях са вътрешни логаритми.

Примери:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични неравенства:

Всяко логаритмично неравенство трябва да се редуцира до формата \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (символът \(˅\) означава всяко от ). Тази форма ни позволява да се отървем от логаритмите и техните бази, като преминем към неравенството на изразите под логаритми, тоест към формата \(f(x) ˅ g(x)\).

Но когато правите този преход, има една много важна тънкост:
\(-\) ако - число и е по-голямо от 1 - знакът за неравенство остава същият по време на прехода,
\(-\) ако основата е число, по-голямо от 0, но по-малко от 1 (между нула и едно), тогава знакът за неравенство трябва да бъде обърнат, т.е.

Примери:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(х<8\) Решение: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Отговор: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ едно))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(x\in(2;\infty)\) Решение: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Отговор: \((2;5]\)

Много важно!Във всяко неравенство преходът от формата \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) към сравняване на изрази под логаритми може да се извърши само ако:

Пример . Решете неравенството: \(\log\)\(≤-1\)

Решение:

\(\дневник\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Да изпишем ОДЗ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Отваряме скобите, даваме .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Умножаваме неравенството по \(-1\), като не забравяме да обърнем знака за сравнение.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Нека изградим числова ос и маркираме точките \(\frac(7)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) върху нея. Обърнете внимание, че точката от знаменателя е пробита, въпреки факта, че неравенството не е строго. Факт е, че тази точка няма да бъде решение, тъй като при заместване в неравенство ще ни доведе до деление на нула.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Сега начертаваме ODZ на същата цифрова ос и записваме в отговор интервала, който попада в ODZ.
	Запишете крайния отговор.

Отговор: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Пример . Решете неравенството: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Да изпишем ОДЗ.
ODZ: \(x>0\)	Да пристъпим към решението.
Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Пред нас е типично квадратно-логаритмично неравенство. Ние правим.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Разгънете лявата страна на неравенството в .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Сега трябва да се върнете към първоначалната променлива - x. За да направим това, преминаваме към , което има същото решение, и правим обратното заместване.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Трансформирайте \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Нека да преминем към сравняване на аргументи. Основите на логаритмите са по-големи от \(1\), така че знакът на неравенствата не се променя.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Нека обединим решението на неравенството и ОДЗ в една фигура.
	Нека запишем отговора.

Отговор: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)