Пример за решаване на съвместна система по метода на Гаус. Метод на Гаус за манекени: лесно решаване на шлака

Един от най-простите начини за решаване на системата линейни уравненияе техника, базирана на изчисляване на детерминанти ( Правилото на Крамър). Предимството му е, че ви позволява незабавно да запишете решението, особено удобно е в случаите, когато коефициентите на системата не са числа, а някои параметри. Неговият недостатък е тромавостта на изчисленията в случая Голям бройуравнения, освен това правилото на Крамър не е пряко приложимо към системи, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните. В такива случаи обикновено се използва Метод на Гаус.

Системи от линейни уравнения, които имат еднакъв набор от решения, се наричат еквивалентен. Очевидно е, че наборът от решения линейна системане се променя, ако някое от уравненията се размени, или ако едно от уравненията се умножи по някакво различно от нула число, или ако едно уравнение се добави към друго.

Метод на Гаус (метод последователно изключваненеизвестен) се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации системата се свежда до еквивалентна стъпкова система. Първо, с помощта на първото уравнение, х 1 от всички следващи уравнения на системата. След това, използвайки второто уравнение, елиминираме х 2 от 3-то и всички следващи уравнения. Този процес, т.нар директен метод на Гаус, продължава, докато остане само едно неизвестно от лявата страна на последното уравнение x n. След това се прави обратен ходМетод на Гаус– решавайки последното уравнение, намираме x n; след това, използвайки тази стойност, изчисляваме от предпоследното уравнение x n-1 и т.н. Последно намираме х 1 от първото уравнение.

Удобно е да се извършват трансформации на Гаус, като се извършват трансформации не със самите уравнения, а с матриците на техните коефициенти. Помислете за матрицата:

Наречен удължен системна матрица, тъй като в допълнение към основната матрица на системата, тя включва колона от безплатни членове. Методът на Гаус се основава на привеждане на основната матрица на системата до триъгълна форма (или трапецовидна форма в случай на неквадратни системи) с помощта на елементарни редови трансформации (!) на разширената матрица на системата.

Пример 5.1.Решете системата по метода на Гаус:

Решение. Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки първия ред, след това ще занулим останалите елементи:

получаваме нули във 2-ри, 3-ти и 4-ти ред на първата колона:

Сега трябва всички елементи във втората колона под втория ред да са равни на нула. За да направите това, можете да умножите втория ред по -4/7 и да добавите към 3-тия ред. Въпреки това, за да не се занимаваме с дроби, ще създадем единица във 2-рия ред на втората колона и само

Сега, за да получите триъгълна матрица, трябва да нулирате елемента от четвъртия ред на 3-та колона, за това можете да умножите третия ред по 8/54 и да го добавите към четвъртия. Но за да не се занимаваме с дроби, ще разменим 3-ти и 4-ти ред и 3-та и 4-та колона и едва след това ще нулираме посочения елемент на нула. Имайте предвид, че когато колоните се пренареждат, съответните променливи се разменят и това трябва да се помни; друго елементарни трансформациис колони (събиране и умножение с число) не става!

Последната опростена матрица съответства на система от уравнения, еквивалентна на оригиналната:

От тук, използвайки обратния ход на метода на Гаус, намираме от четвъртото уравнение х 3 = -1; от третия х 4 = -2, от втория х 2 = 2 и от първото уравнение х 1 = 1. В матрична форма отговорът се записва като

Разгледахме случая, когато системата е определена, т.е. когато има само едно решение. Нека да видим какво се случва, ако системата е непоследователна или неопределена.

Пример 5.2.Изследвайте системата с помощта на метода на Гаус:

Решение. Изписваме и трансформираме разширената матрица на системата

Пишем опростена система от уравнения:

Ето, в последното уравнение се оказа, че 0=4, т.е. противоречие. Следователно системата няма решение, т.е. тя е несъвместими. à

Пример 5.3.Изследвайте и решете системата, използвайки метода на Гаус:

Решение. Изписваме и трансформираме разширената матрица на системата:

В резултат на трансформациите се получават само нули в последния ред. Това означава, че броят на уравненията е намалял с едно:

Така след опростявания остават две уравнения и четири неизвестни, т.е. две неизвестни "екстра". Нека "излишни", или, както се казва, свободни променливи, ще х 3 и хчетири . Тогава

Ако приемем х 3 = 2аи х 4 = b, получаваме х 2 = 1–аи х 1 = 2b–а; или в матрична форма

Така написано решение се нарича общ, тъй като, като зададете параметрите аи b различни значения, е възможно да се опишат всички възможни решения на системата. а

Един от универсалните и ефективни методи за решаване на линейни алгебрични системи е Метод на Гаус , състоящ се в последователно елиминиране на неизвестни.

Припомняме, че двете системи се наричат еквивалентен (еквивалентни), ако множествата от техните решения са еднакви. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно. Еквивалентни системи се получават с елементарни трансформации системни уравнения:

умножаване на двете страни на уравнението с различно от нула число;

добавяне към дадено уравнение на съответните части от друго уравнение, умножени по число, различно от нула;

пермутация на две уравнения.

Нека системата от уравнения

Процесът на решаване на тази система по метода на Гаус се състои от два етапа. На първия етап (пробег напред) системата се редуцира чрез елементарни трансформации до стъпил , или триъгълна ум, а на втория етап (обратен ход) има последователно, започвайки от последната променлива, дефинирането на неизвестни от получената стъпкова система.

Да приемем, че коефициентът на тази система
, в противен случай в системата първият ред може да бъде сменен с всеки друг ред, така че коефициентът при беше различно от нула.

Нека трансформираме системата, елиминирайки неизвестното във всички уравнения с изключение на първото. За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по и добавете член по член с второто уравнение на системата. След това умножете двете страни на първото уравнение по и го добавете към третото уравнение на системата. Продължавайки този процес, получаваме еквивалентна система

Тук
са новите стойности на коефициентите и свободните членове, които се получават след първата стъпка.

По същия начин, като се има предвид основният елемент
, изключете неизвестното от всички уравнения на системата, с изключение на първото и второто. Продължаваме този процес възможно най-дълго, в резултат на което получаваме стъпкова система

,

където ,
,…,- основните елементи на системата
.

Ако в процеса на привеждане на системата до стъпкова форма се появят уравнения, т.е. равенства на формата
, те се отхвърлят, тъй като всеки набор от числа ги удовлетворява
. Ако при
ще се появи уравнение на формата, който няма решения, това показва непоследователност на системата.

В обратния ход първото неизвестно се изразява от последното уравнение на трансформираната стъпкова система през всички други неизвестни
които се наричат Безплатно . След това променливият израз от последното уравнение на системата се замества в предпоследното уравнение и от него се изразява променливата
. Променливите се дефинират по подобен начин
. Променливи
, изразени чрез свободни променливи, се наричат основен (зависим). Резултатът е общо решениесистеми от линейни уравнения.

Да намеря частно решение системи, безплатни неизвестни
в общото решение се присвояват произволни стойности и се изчисляват стойностите на променливите
.

Технически е по-удобно елементарните трансформации да се подлагат не на уравненията на системата, а на разширената матрица на системата

.

Методът на Гаус е универсален метод, който ви позволява да решавате не само квадратни, но и правоъгълни системи, в които броят на неизвестните
не е равен на броя на уравненията
.

Предимството на този метод се крие и във факта, че в процеса на решаване ние едновременно проверяваме системата за съвместимост, тъй като след като намалихме разширената матрица
към стъпаловидна форма е лесно да се определят ранговете на матрицата и разширена матрица
и кандидатствайте теоремата на Кронекер-Капели .

Пример 2.1Решете системата по метода на Гаус

Решение. Брой уравнения
и броя на неизвестните
.

Нека съставим разширената матрица на системата, като присвоим вдясно на матрицата на коефициентите колона за безплатни членове .

Да донесем матрицата до триъгълна форма; за да направим това, ще получим "0" под елементите на главния диагонал, използвайки елементарни трансформации.

За да получите "0" във втората позиция на първата колона, умножете първия ред по (-1) и добавете към втория ред.

Записваме тази трансформация като число (-1) срещу първия ред и го обозначаваме със стрелка, преминаваща от първия ред към втория ред.

За да получите "0" на третата позиция на първата колона, умножете първия ред по (-3) и добавете към третия ред; Нека покажем това действие със стрелка, преминаваща от първия ред към третия.

.

В получената матрица, записана на второ място във веригата на матрицата, получаваме "0" във втората колона на трета позиция. За да направите това, умножете втория ред по (-4) и добавете към третия. В получената матрица умножаваме втория ред по (-1) и разделяме третия ред по (-8). Всички елементи на тази матрица, които лежат под диагоналните елементи, са нули.

защото , системата е съвместна и специфична.

Системата от уравнения, съответстваща на последната матрица, има триъгълна форма:

От последното (трето) уравнение
. Заместете във второто уравнение и получете
.

Заместител
и
в първото уравнение, намираме


.

The онлайн калкулаторнамира решение на системата от линейни уравнения (SLE) по метода на Гаус. дадено подробно решение. За да изчислите, изберете броя на променливите и броя на уравненията. След това въведете данните в клетките и щракнете върху „Изчисли“.

Представяне на числа:

Брой цифри след десетичния разделител

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Метод на Гаус

Методът на Гаус е метод за преход от оригиналната система от линейни уравнения (с помощта на еквивалентни трансформации) към система, която е по-лесна за решаване от оригиналната система.

Еквивалентните трансформации на системата от линейни уравнения са:

• размяна на две уравнения в системата,
• умножение на всяко уравнение в системата с ненулево реално число,
• добавяне към едно уравнение на друго уравнение, умножено по произволно число.

Помислете за система от линейни уравнения:

Записваме система (1) в матрична форма:

(3)

Асе нарича коефициентна матрица на системата, b− дясната страна на ограниченията, х− вектор от променливи, които трябва да бъдат намерени. Нека се класира( А)=стр.

Еквивалентните трансформации не променят ранга на коефициентната матрица и ранга на разширената матрица на системата. Множеството от решения на системата също не се променя при еквивалентни преобразувания. Същността на метода на Гаус е да се приведе матрицата на коефициентите Адо диагонал или стъпало.

Нека изградим разширената матрица на системата:

На следващия етап нулираме всички елементи от колона 2, под елемента. Ако даденият елемент е нула, тогава този ред се заменя с реда, лежащ под дадения ред и имащ различен от нула елемент във втората колона. След това нулираме всички елементи от колона 2 под водещия елемент а 22. За да направите това, добавете редове 3, ... мс ред 2, умножен по − а 32 /а 22 , ..., −а m2 / а 22, съответно. Продължавайки процедурата, получаваме матрица с диагонална или стъпаловидна форма. Нека получената разширена матрица изглежда така:

защото rankA=ранг(A|b), тогава множеството от решения (7) е ( n−p) е разновидност. Следователно n−pнеизвестните могат да бъдат избрани произволно. Останалите неизвестни от системата (7) се изчисляват по следния начин. От последното уравнение изразяваме х p през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази. След това, от предпоследното уравнение, изразяваме х p−1 през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази и т.н. Разгледайте метода на Гаус на конкретни примери.

Примери за решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Пример 1. Намерете общото решение на система от линейни уравнения по метода на Гаус:

Означаваме с а ij елементи аз-ти ред и й-та колона.

аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -2/3, -1/2:

Тип матричен запис: брадва=b, където

Означаваме с а ij елементи аз-ти ред и й-та колона.

Изключете елементите от 1-вата колона на матрицата под елемента аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -1/5, -6/5:

Разделяме всеки ред от матрицата на съответния водещ елемент (ако водещият елемент съществува):

където х 3 , х

Замествайки горните изрази в долните, получаваме решението.

Тогава векторното решение може да бъде представено по следния начин:

където х 3 , х 4 са произволни реални числа.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо, на х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, тогава x2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на движението напред на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение се изчислява xn-1, и така нататък, от първото уравнение се намира х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, до n-тидобавете първото уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто умножено по към третото уравнение на системата, добавете второто умножено по към четвъртото уравнение и така нататък, до n-тидобавете второто уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така че променливата x2изключени от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното х 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като , използвайки получената стойност x nнамирам xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Определение и описание на метода на Гаус

Методът на преобразуване на Гаус (известен също като метод на последователно елиминиране на неизвестни променливи от уравнение или матрица) за решаване на системи от линейни уравнения е класически метод за решаване на система алгебрични уравнения(СЛАУ). Също така този класически метод се използва за решаване на проблеми като получаване обратни матриции определяне на ранга на матрицата.

Трансформацията по метода на Гаус се състои в извършване на малки (елементарни) последователни промени в системата от линейни алгебрични уравнения, водещи до елиминиране на променливи от нея отгоре надолу с образуването на нова триъгълна система от уравнения, която е еквивалентна на оригиналния.

Определение 1

Тази част от решението се нарича Гаусово решение, тъй като целият процес се извършва отгоре надолу.

След привеждане на оригиналната система от уравнения до триъгълна, всички променливи на системата се намират отдолу нагоре (т.е. първите намерени променливи се намират точно на последните редове на системата или матрицата). Тази част от решението е известна още като обратно решение на Гаус. Неговият алгоритъм се състои в следното: първо се изчисляват променливите, които са най-близо до дъното на системата от уравнения или матрица, след което получените стойности се заместват отгоре и така се намира друга променлива и т.н.

Описание на алгоритъма на метода на Гаус

Последователността от действия за общото решение на системата от уравнения по метода на Гаус се състои в последователно прилагане на ходове напред и назад към матрицата, базирана на SLAE. Нека оригиналната система от уравнения има следния вид:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

За да се реши SLAE по метода на Гаус, е необходимо да се запише първоначалната система от уравнения под формата на матрица:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Матрицата $A$ се нарича главна матрица и представлява записаните по ред коефициенти на променливите, а $b$ се нарича колона на нейните свободни членове. Матрицата $A$, записана през реда с колона от свободни членове, се нарича разширена матрица:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Сега, използвайки елементарни трансформации над системата от уравнения (или над матрицата, както е по-удобно), е необходимо да я доведем до следната форма:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Матрицата, получена от коефициентите на трансформираната система от уравнения (1), се нарича стъпкова матрица, ето как обикновено изглеждат стъпковите матрици:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Тези матрици се характеризират със следния набор от свойства:

1. Всички негови нулеви редове идват след ненулевите
2. Ако някой ред от матрицата с индекс $k$ е различен от нула, то в предходния ред на същата матрица има по-малко нули, отколкото в този ред с индекс $k$.

След получаване на стъпковата матрица е необходимо да замените получените променливи в останалите уравнения (започвайки от края) и да получите останалите стойности на променливите.

Основни правила и допустими трансформации при използване на метода на Гаус

При опростяване на матрица или система от уравнения по този метод трябва да се използват само елементарни трансформации.

Такива трансформации са операции, които могат да бъдат приложени към матрица или система от уравнения, без да променят нейното значение:

• пермутация на няколко реда на места,
• добавяне или изваждане от един ред на матрицата на друг ред от нея,
• умножаване или деление на низ с константа, която не е равна на нула,
• ред, състоящ се само от нули, получени в процеса на изчисляване и опростяване на системата, трябва да бъде изтрит,
• Също така трябва да премахнете ненужните пропорционални линии, като изберете за системата единствената с коефициенти, които са по-подходящи и удобни за по-нататъшни изчисления.

Всички елементарни трансформации са обратими.

Анализ на трите основни случая, които възникват при решаване на линейни уравнения по метода на простите трансформации на Гаус

Има три случая, които възникват при използване на метода на Гаус за решаване на системи:

1. Когато системата е непоследователна, т.е. няма никакви решения
2. Системата от уравнения има решение, и то единственото, и числото ненулеви низовеи колоните в матрицата са равни една на друга.
3. Системата има определен брой или набор от възможни решения, като броят на редовете в нея е по-малък от броя на колоните.

Резултат от решение с непоследователна система

За този вариант, при решаване матрично уравнениеметодът на Гаус се характеризира с получаване на някаква линия с невъзможност за изпълнение на равенство. Следователно, ако се появи поне едно неправилно равенство, получената и първоначалната системи нямат решения, независимо от другите уравнения, които съдържат. Пример за непоследователна матрица:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

В последния ред се появи неудовлетворено равенство: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Система от уравнения, която има само едно решение

Данните на системата след редуциране до стъпаловидна матрица и изтриване на редове с нули имат еднакъв брой редове и колони в основната матрица. Тук най-простият примертакава система:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Нека го запишем под формата на матрица:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

За да доведем първата клетка от втория ред до нула, ние умножаваме горния ред по $-2$ и го изваждаме от долния ред на матрицата и оставяме горния ред в оригиналната му форма, като резултат имаме следното :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Този пример може да бъде написан като система:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

От долното уравнение идва следваща стойност$x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Като заместим тази стойност в горното уравнение: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, получаваме $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Система с много възможни решения

Тази система се характеризира с по-малък брой значими редове от броя на колоните в нея (взети са предвид редовете на основната матрица).

Променливите в такава система са разделени на два типа: основни и безплатни. Когато преобразувате такава система, основните променливи, съдържащи се в нея, трябва да бъдат оставени в лявата област до знака "=", а останалите променливи трябва да бъдат прехвърлени в правилната странаравенство.

Такава система има само определено общо решение.

Нека анализираме следната система от уравнения:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Нека го запишем под формата на матрица:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Нашата задача е да намерим общо решение на системата. За тази матрица основните променливи ще бъдат $y_1$ и $y_3$ (за $y_1$ - тъй като е на първо място, а в случая на $y_3$ - тя се намира след нулите).

Като основни променливи избираме точно тези, които не са равни на нула първи в реда.

Останалите променливи се наричат ​​свободни, чрез тях трябва да изразим основните.

Използвайки така нареченото обратно движение, ние разглобяваме системата отдолу нагоре, за това първо изразяваме $y_3$ от долния ред на системата:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Сега заместваме изразеното $y_3$ в горното уравнение на системата $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Ние изразяваме $y_1$ по отношение на свободни променливи $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Разтворът е готов.

Пример 1

Решете блатото, като използвате метода на Гаус. Примери. Пример за решаване на система от линейни уравнения, дадени от матрица 3 на 3, използвайки метода на Гаус

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Записваме нашата система под формата на разширена матрица:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Сега, за удобство и практичност, трябва да трансформираме матрицата, така че $1$ да е в горния ъгъл на последната колона.

За да направим това, трябва да добавим линията от средата, умножена по $-1$, към 1-вия ред и да напишем самата средна линия, както е, оказва се:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(масив)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(масив) $

Умножете горния и последния ред по $-1$ и разменете последния и средния ред:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(масив)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(масив)$

И разделете последния ред на $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Получаваме следната система от уравнения, еквивалентна на оригиналната:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

От горното уравнение изразяваме $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.

Пример 2

Пример за решаване на система, дефинирана с помощта на матрица 4 на 4, използвайки метода на Гаус

$\begin(масив)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(масив)$.

В началото разменяме горните редове след него, за да получим $1$ в горния ляв ъгъл:

$\begin(масив)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(масив)$.

Сега нека умножим горния ред по $-2$ и да добавим към 2-ри и към 3-ти. Към 4-ти добавяме 1-ви ред, умножен по $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(масив)$

Сега към ред номер 3 добавяме ред 2, умножен по $4$, а към ред 4 добавяме ред 2, умножен по $-1$.

$\begin(масив)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \край (масив)$

Умножете ред 2 по $-1$, разделете ред 4 на $3$ и заменете ред 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \край (масив)$

Сега към последния ред добавяме предпоследния, умножен по $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \край (масив)$

Решаваме получената система от уравнения:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$