Метод на Гаус с четири неизвестни. Метод на Гаус (последователно изключване на неизвестни)

1. Линейна система алгебрични уравнения

1.1 Концепцията за система от линейни алгебрични уравнения

Система от уравнения е условие, състоящо се в едновременното изпълнение на няколко уравнения в няколко променливи. Система от линейни алгебрични уравнения (наричана по-нататък SLAE), съдържаща m уравнения и n неизвестни, е система от вида:

където числата a ij се наричат ​​коефициенти на системата, числата b i са свободни членове, aijи b i(i=1,…, m; b=1,…, n) са някои известни числа и x 1 ,…, x n- неизвестен. В означенията на коефициентите aijпървият индекс i означава номера на уравнението, а вторият индекс j е номерът на неизвестното, на което стои този коефициент. Подлежи на намиране на числото x n . Удобно е да напишете такава система в компактна матрична форма: AX=B.Тук A е матрицата на коефициентите на системата, наречена основна матрица;

е колонен вектор на неизвестно xj.
е колонен вектор на свободни членове bi.

Продуктът на матриците A * X е дефиниран, тъй като има толкова колони в матрица A, колкото има редове в матрица X (n части).

Разширено системна матрицасе нарича матрица А на системата, допълнена от колона от свободни членове

1.2 Решение на система от линейни алгебрични уравнения

Решението на система от уравнения е подреден набор от числа (стойности на променливи), при заместването им вместо променливи всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.

Решението на системата е n стойности на неизвестните x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, замествайки които всички уравнения на системата се превръщат в истински равенства. Всяко решение на системата може да бъде написано като матрица-стълб

Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъгласувана, ако няма решения.

Съвместната система се нарича определена, ако има единствено решение, и неопределена, ако има повече от едно решение. В последния случай всяко нейно решение се нарича частно решение на системата. Съвкупността от всички частни решения се нарича общо решение.

Да се ​​реши една система означава да се установи дали тя е последователна или непоследователна. Ако системата е съвместима, намерете я общо решение.

Две системи се наричат ​​еквивалентни (еквивалентни), ако имат едно и също общо решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно.

Трансформация, чието прилагане превръща една система в нова система, еквивалентна на първоначалната, се нарича еквивалентна или еквивалентна трансформация. Следните трансформации могат да служат като примери за еквивалентни трансформации: размяна на две уравнения на системата, размяна на две неизвестни заедно с коефициентите на всички уравнения, умножаване на двете части на което и да е уравнение на системата с различно от нула число.

Система линейни уравнениясе нарича хомогенен, ако всички свободни членове са равни на нула:

Хомогенната система винаги е последователна, тъй като x1=x2=x3=…=xn=0 е решение на системата. Това решение се нарича нулево или тривиално.

2. Метод на елиминиране на Гаус

2.1 Същността на метода на елиминиране на Гаус

Класическият метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователно елиминиране на неизвестни - Метод на Гаус(Нарича се още метод на елиминиране на Гаус). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне от последни (по брой) променливи.

Процесът на решаване на Гаус се състои от два етапа: движение напред и назад.

1. Директен ход.

На първия етап се извършва така нареченото директно движение, когато чрез елементарни трансформации на редове системата се привежда в стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е непоследователна. А именно, сред елементите на първата колона на матрицата се избира ненулев, той се премества в най-горната позиция чрез пермутация на редовете и първият ред, получен след пермутацията, се изважда от останалите редове, умножавайки го със стойност, равна на съотношението на първия елемент на всеки от тези редове към първия елемент на първия ред, като по този начин нулира колоната под него.

След извършване на посочените трансформации, първият ред и първата колона се задраскват мислено и продължават, докато остане матрица с нулев размер. Ако при някои от итерациите сред елементите на първата колона не е намерен ненулев, тогава преминете към следващата колона и извършете подобна операция.

На първия етап (движение напред) системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.

Системата по-долу е поетапна:

,

Коефициентите aii се наричат ​​главни (водещи) елементи на системата.

(ако a11=0, пренаредете редовете на матрицата така, че а 11 не е равно на 0. Това винаги е възможно, защото в противен случай матрицата съдържа нулева колона, нейният детерминант е равен на нула и системата е непоследователна).

Трансформираме системата, като елиминираме неизвестното x1 във всички уравнения с изключение на първото (използвайки елементарни трансформации на системата). За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по

и добавяме член по член с второто уравнение на системата (или от второто уравнение изваждаме член по член първото, умножено по ). След това умножаваме двете части на първото уравнение по и го добавяме към третото уравнение на системата (или изваждаме първото, умножено по третия член по член). Така последователно умножаваме първия ред по число и добавяме към аз-ти ред, за i= 2, 3, …,н.

Продължавайки този процес, получаваме еквивалентната система:

– нови стойности на коефициентите за неизвестни и свободни членове в последните m-1 уравнения на системата, които се определят по формулите:

Така на първата стъпка се унищожават всички коефициенти под първия водещ елемент a 11

0, втората стъпка унищожава елементите под втория водещ елемент a 22 (1) (ако е 22 (1) 0) и т.н. Продължавайки този процес по-нататък, най-накрая ще намалим оригиналната система до триъгълна система на стъпка (m-1).

Ако в процеса на редуциране на системата до стъпаловидна форма се появят нулеви уравнения, т.е. равенства от вида 0=0, те се отхвърлят. Ако има уравнение от формата

Това показва несъвместимостта на системата.

Това завършва директния ход на метода на Гаус.

2. Обратно движение.

На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи по отношение на неосновните и да се конструират фундаментална системарешения или, ако всички променливи са основни, тогава изразете в числена форма единственото решение на системата от линейни уравнения.

Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (в нея има само една) и се замества в предходните уравнения и така нататък, изкачвайки се по „стъпалата“.

Всеки ред съответства на точно една основна променлива, така че на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.

Забележка: на практика е по-удобно да се работи не със системата, а с нейната разширена матрица, извършвайки всички елементарни трансформации на нейните редове. Удобно е коефициентът a11 да бъде равен на 1 (пренаредете уравненията или разделете двете страни на уравнението на a11).

2.2 Примери за решаване на SLAE по метода на Гаус

В този раздел, използвайки три различни примера, ще покажем как методът на Гаус може да се използва за решаване на SLAE.

Пример 1. Решете SLAE от 3-ти ред.

Задайте коефициентите на нула при

във втория и третия ред. За целта ги умножете съответно по 2/3 и 1 и ги добавете към първия ред:

Един от най-простите начини за решаване на система от линейни уравнения е метод, базиран на изчисляване на детерминантите ( Правилото на Крамър). Предимството му е, че ви позволява незабавно да запишете решението, особено удобно е в случаите, когато коефициентите на системата не са числа, а някои параметри. Неговият недостатък е тромавостта на изчисленията в случая Голям бройуравнения, освен това правилото на Крамър не е пряко приложимо към системи, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните. В такива случаи обикновено се използва Метод на Гаус.

Системи от линейни уравнения, които имат еднакъв набор от решения, се наричат еквивалентен. Очевидно е, че наборът от решения линейна системане се променя, ако някое от уравненията се размени, или едно от уравненията се умножи по някакво ненулево число, или ако едно уравнение се добави към друго.

Метод на Гаус (метод за последователно елиминиране на неизвестни) се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации системата се свежда до еквивалентна стъпкова система. Първо, с помощта на първото уравнение, х 1 от всички следващи уравнения на системата. След това, използвайки второто уравнение, елиминираме х 2 от 3-то и всички следващи уравнения. Този процес, т.нар директен метод на Гаус, продължава, докато остане само едно неизвестно от лявата страна на последното уравнение x n. След това се прави Обратно на Гаус– решавайки последното уравнение, намираме x n; след това, използвайки тази стойност, изчисляваме от предпоследното уравнение x n-1 и т.н. Последно намираме х 1 от първото уравнение.

Трансформациите на Гаус се извършват удобно чрез извършване на трансформации не със самите уравнения, а с матриците на техните коефициенти. Помислете за матрицата:

Наречен разширена матрична система,тъй като в допълнение към основната матрица на системата, тя включва колона от безплатни членове. Методът на Гаус се основава на редуциране на основната матрица на системата до триъгълна форма (или трапецовидна форма в случай на неквадратни системи), използвайки елементарни трансформацииредове (!) от разширената матрица на системата.

Пример 5.1.Решете системата по метода на Гаус:

Решение. Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки първия ред, след това ще занулим останалите елементи:

получаваме нули във 2-ри, 3-ти и 4-ти ред на първата колона:

Сега трябва всички елементи във втората колона под втория ред да са равни на нула. За да направите това, можете да умножите втория ред по -4/7 и да добавите към 3-тия ред. Но за да не се занимаваме с дроби, ще създадем единица във 2-рия ред на втората колона и само

Сега, за да получите триъгълна матрица, трябва да нулирате елемента от четвъртия ред на 3-та колона, за това можете да умножите третия ред по 8/54 и да го добавите към четвъртия. Но за да не се занимаваме с дроби, ще разменим 3-ти и 4-ти ред и 3-та и 4-та колона и едва след това ще нулираме зададения елемент. Имайте предвид, че когато колоните се пренареждат, съответните променливи се разменят и това трябва да се помни; други елементарни трансформации с колони (събиране и умножение с число) не могат да се извършват!

Последната опростена матрица съответства на система от уравнения, еквивалентна на оригиналната:

От тук, използвайки обратния ход на метода на Гаус, намираме от четвъртото уравнение х 3 = -1; от третия х 4 = -2, от втория х 2 = 2 и от първото уравнение х 1 = 1. В матрична форма отговорът се записва като

Разгледахме случая, когато системата е определена, т.е. когато има само едно решение. Нека да видим какво се случва, ако системата е непоследователна или неопределена.

Пример 5.2.Изследвайте системата с помощта на метода на Гаус:

Решение. Изписваме и трансформираме разширената матрица на системата

Пишем опростена система от уравнения:

Ето, в последното уравнение се оказа, че 0=4, т.е. противоречие. Следователно системата няма решение, т.е. тя е несъвместими. à

Пример 5.3.Изследвайте и решете системата, използвайки метода на Гаус:

Решение. Изписваме и трансформираме разширената матрица на системата:

В резултат на трансформациите се получават само нули в последния ред. Това означава, че броят на уравненията е намалял с едно:

Така след опростявания остават две уравнения и четири неизвестни, т.е. две неизвестни "екстра". Нека "излишни", или, както се казва, свободни променливи, ще х 3 и хчетири . Тогава

Ако приемем х 3 = 2аи х 4 = b, получаваме х 2 = 1–аи х 1 = 2b–а; или в матрична форма

Така написано решение се нарича общ, тъй като, като зададете параметрите аи b различни значения, е възможно да се опишат всички възможни решения на системата. а

Нека е дадена система от линейни алгебрични уравнения, които трябва да бъдат решени (намерете такива стойности на неизвестните хi, които превръщат всяко уравнение на системата в равенство).

Знаем, че система от линейни алгебрични уравнения може:

1) Нямате решения (бъдете несъвместими).
2) Имате безкрайно много решения.
3) Имате уникално решение.

Както си спомняме, правилото на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод на Гаус – най-мощният и многофункционален инструмент за намиране на решения на всяка система от линейни уравнения, което на във всеки случайдоведе ни до отговора! Алгоритъмът на метода и в трите случая работи по един и същ начин. Ако методът на Крамер и матричният метод изискват познаване на детерминанти, то прилагането на метода на Гаус изисква познаване само на аритметични операции, което го прави достъпен дори за ученици от началното училище.

Разширени матрични трансформации ( това е матрицата на системата - матрица, съставена само от коефициентите на неизвестните плюс колона от свободни членове)системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус:

1) с trokyматрици мога пренареждамместа.

2) ако има (или има) пропорционални (като частен случай - еднакви) редове в матрицата, тогава следва Изтрийот матрицата, всички тези редове с изключение на един.

3) ако по време на трансформациите в матрицата се е появил нулев ред, той също следва Изтрий.

4) редът на матрицата може умножавам (делям)до всяко число, различно от нула.

5) към реда на матрицата, можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула.

В метода на Гаус елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения.

Методът на Гаус се състои от два етапа:

1. „Директно преместване“ - използвайки елементарни трансформации, приведете разширената матрица на системата от линейни алгебрични уравнения до „триъгълна“ стъпаловидна форма: елементите на разширената матрица, разположени под главния диагонал, са равни на нула (движение отгоре надолу ). Например към този вид:

За да направите това, изпълнете следните стъпки:

1) Нека разгледаме първото уравнение на система от линейни алгебрични уравнения и коефициентът при x 1 е равен на K. Второто, третото и т.н. трансформираме уравненията по следния начин: разделяме всяко уравнение (коефициенти за неизвестни, включително свободни членове) на коефициента за неизвестно x 1, което е във всяко уравнение, и умножаваме по K. След това изваждаме първото от второто уравнение ( коефициенти за неизвестни и свободни членове). Получаваме при x 1 във второто уравнение коефициент 0. От третото трансформирано уравнение изваждаме първото уравнение, така че всички уравнения, с изключение на първото, с неизвестно x 1 няма да имат коефициент 0.

2) Преминете към следващото уравнение. Нека това е второто уравнение и коефициентът при x 2 е равен на M. С всички „подчинени“ уравнения процедираме, както е описано по-горе. Така "под" неизвестното x 2 във всички уравнения ще бъдат нули.

3) Преминаваме към следващото уравнение и така нататък, докато остане един последен неизвестен и преобразуван свободен член.

1. „Обратното движение“ на метода на Гаус е да се получи решение на система от линейни алгебрични уравнения (движението „отдолу нагоре“). От последното "долно" уравнение получаваме едно първо решение - неизвестното x n. За да направим това, решаваме елементарното уравнение A * x n \u003d B. В горния пример x 3 \u003d 4. Заместваме намерената стойност в „горното“ следващо уравнение и го решаваме по отношение на следващото неизвестно. Например x 2 - 4 \u003d 1, т.е. x 2 \u003d 5. И така нататък, докато намерим всички неизвестни.

Пример.

Ние решаваме системата от линейни уравнения, използвайки метода на Гаус, както съветват някои автори:

Пишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я довеждаме до стъпкова форма:

Гледаме горната лява "стъпка". Там трябва да имаме единица. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма такива, така че нищо не може да се реши чрез пренареждане на редовете. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Нека го направим така:
1 стъпка . Към първия ред добавяме втория ред, умножен по -1. Тоест мислено умножихме втория ред по -1 и извършихме събиране на първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво "минус едно", което ни устройва идеално. Който иска да получи +1, може да извърши допълнително действие: да умножи първия ред по -1 (промени знака му).

2 стъпка . Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

3 стъпка . Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и преместен на второ място, така че на втората „стъпка имахме желаната единица.

4 стъпка . Към третия ред добавете втория ред, умножен по 2.

5 стъпка . Третият ред е разделен на 3.

Знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ долен ред. Тоест, ако получим нещо като (0 0 11 | 23) по-долу и съответно 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е допусната грешка по време на елементарно трансформации.

Извършваме обратен ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва и уравненията се „вземат директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи "отдолу нагоре". В този пример подаръкът се оказа:

х 3 = 1
х 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, следователно x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Отговор:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Нека решим същата система, използвайки предложения алгоритъм. Получаваме

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделете второто уравнение на 5 и третото на 3. Получаваме:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножете второто и третото уравнение по 4, получаваме:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Изваждайки първото уравнение от второто и третото уравнения, имаме:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделете третото уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножете третото уравнение по 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Изваждайки второто уравнение от третото уравнение, получаваме „стъпаловидна“ разширена матрица:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

По този начин, тъй като грешка, натрупана в процеса на изчисления, получаваме x 3 \u003d 0,96 или приблизително 1.

x 2 \u003d 3 и x 1 \u003d -1.

Решавайки по този начин, никога няма да се объркате в изчисленията и въпреки грешките в изчисленията ще получите резултата.

Този метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения е лесен за програмиране и не се взема предвид специфични особеностикоефициенти за неизвестни, тъй като на практика (при икономически и технически изчисления) трябва да се работи с нецелочислени коефициенти.

Пожелавам ти успех! Ще се видим в клас! учител.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо, на х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, тогава x2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на движението напред на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение се изчислява xn-1, и така нататък, от първото уравнение се намира х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича наопакиМетод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, до n-тидобавете първото уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто умножено по към третото уравнение на системата, добавете второто умножено по към четвъртото уравнение и така нататък, до n-тидобавете второто уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така че променливата x2изключени от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното х 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като , използвайки получената стойност x nнамирам xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

В тази статия методът се разглежда като начин за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете алгоритъм за решение общ изгледи след това заменете стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите и с такива, които имат безкрайно много решения. Или изобщо го нямат.

Какво означава Гаус?

Първо трябва да запишете нашата система от уравнения в Изглежда така. Системата е взета:

Коефициентите са изписани под формата на таблица, а вдясно в отделна колона - безплатни членове. Колоната със свободните членове е отделена за удобство, матрицата, която включва тази колона, се нарича разширена.

Освен това основната матрица с коефициенти трябва да бъде намалена до горната триъгълна форма. Това е основният момент при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, така че в долната лява част да има само нули:

След това, ако напишете новата матрица отново като система от уравнения, ще забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, която след това се замества в уравнението по-горе, намира се друг корен и т.н.

Това описание на решението по метода на Гаус в най-много в общи линии. И какво се случва, ако изведнъж системата няма решение? Или има безкраен брой от тях? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани в решението по метода на Гаус.

Матрици, техните свойства

Нито един скрит смисълне в матрицата. Това е просто удобен начин за запис на данни за по-късни операции. Дори учениците не трябва да се страхуват от тях.

Матрицата винаги е правоъгълна, защото е по-удобна. Дори в метода на Гаус, където всичко се свежда до изграждане на триъгълна матрица, в записа се появява правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите могат да бъдат пропуснати, но те се подразбират.

Матрицата има размер. Неговата "ширина" е броят на редовете (m), неговата "дължина" е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (обикновено се използват главни букви за тяхното означаване) писма) ще бъде означено като A m×n . Ако m=n, тогава тази матрица е квадратна и m=n е нейният ред. Съответно всеки елемент от матрицата A може да бъде обозначен с номера на неговия ред и колона: a xy ; x - номер на ред, промени, y - номер на колона, промени.

B не е основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но нотацията ще се окаже много по-тромава и ще бъде много по-лесно да се объркате в нея.

Определящо

Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Откриването на значението му сега не си струва, можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата определя. Най-лесният начин да намерите детерминантата е чрез диагонали. Въображаеми диагонали се изчертават в матрицата; елементите, разположени на всеки от тях, се умножават, а след това получените произведения се събират: диагонали с наклон надясно - със знак "плюс", с наклон наляво - със знак "минус".

Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрицаможете да направите следното: изберете най-малкото от броя на редовете и броя на колоните (нека бъде k) и след това произволно маркирайте k колони и k реда в матрицата. Елементите, разположени в пресечната точка на избраните колони и редове, ще образуват нова квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е число, различно от нула, тогава тя се нарича основен минор на оригиналната правоъгълна матрица.

Преди да продължите с решаването на системата от уравнения по метода на Гаус, не боли да изчислите детерминантата. Ако се окаже, че е нула, веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.

Системна класификация

Има такова нещо като ранг на матрица. Това е максималният ред на нейния детерминант, който е различен от нула (ако си припомним основния минор, можем да кажем, че рангът на матрицата е редът на основния минор).

Според това как стоят нещата с ранга, SLAE може да се раздели на:

• Става. Прина съвместните системи рангът на основната матрица (състояща се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно едно, така че в допълнение ставни системиразделена на:
• - определени- наличие на уникално решение. В някои системи рангът на матрицата и броят на неизвестните (или броят на колоните, което е едно и също нещо) са равни;
• - безсрочен -с безкраен брой решения. Рангът на матриците за такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
• Несъвместим. Прив такива системи ранговете на основната и разширената матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решение.

Методът на Гаус е добър с това, че позволява да се получи или недвусмислено доказателство за непоследователността на системата (без изчисляване на детерминантите на големи матрици), или общо решение за система с безкраен брой решения.

Елементарни трансформации

Преди да преминете директно към решението на системата, е възможно да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации – такива, че изпълнението им по никакъв начин не променя крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от горните елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е именно SLAE. Ето списък на тези трансформации:

1. Пермутация на низове. Очевидно е, че ако променим реда на уравненията в системния запис, това няма да повлияе на решението по никакъв начин. Следователно е възможно също така да се разменят редове в матрицата на тази система, без да се забравя, разбира се, за колоната на свободните членове.
2. Умножаване на всички елементи на низ по някакъв коефициент. Много полезно! Може да се използва за скъсяване големи числав матрицата или премахване на нули. Наборът от решения, както обикновено, няма да се промени и ще стане по-удобно да извършвате допълнителни операции. Основното е, че коефициентът не е равен на нула.
3. Изтриване на редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предходния параграф. Ако два или повече реда в матрицата имат пропорционални коефициенти, тогава при умножаване / разделяне на един от редовете с коефициента на пропорционалност се получават два (или отново повече) абсолютно еднакви реда и можете да премахнете допълнителните, оставяйки само един.
4. Премахване на нулевата линия. Ако в хода на трансформациите някъде се получи низ, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв низ може да бъде наречен нула и изхвърлен от матрицата.
5. Добавяне към елементите на един ред на елементите на друг (в съответните колони), умножени по определен коефициент. Най-неясната и най-важна трансформация от всички. Струва си да се спрем на него по-подробно.

Добавяне на низ, умножен по коефициент

За по-лесно разбиране си струва да разглобите този процес стъпка по стъпка. От матрицата се вземат два реда:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да предположим, че трябва да добавите първото към второто, умножено по коефициента "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

След това в матрицата вторият ред се заменя с нов, а първият остава непроменен.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавянето на два низа един от елементите на новия низ да е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в системата, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се направи отново и да получите уравнение, което вече ще съдържа две по-малко неизвестни. И ако всеки път, когато обръщаме на нула един коефициент за всички редове, които са по-ниски от първоначалния, тогава можем, като стъпала, да слезем до дъното на матрицата и да получим уравнение с едно неизвестно. Това се нарича решаване на системата по метода на Гаус.

Общо взето

Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корена. Можете да го запишете така:

Основната матрица се съставя от коефициентите на системата. Колона с безплатни членове се добавя към разширената матрица и се разделя с лента за удобство.

• първият ред на матрицата се умножава по коефициента k = (-a 21 / a 11);
• добавени са първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
• вместо втория ред в матрицата се вмъква резултатът от добавянето от предходния параграф;
• сега първият коефициент в нов вторилинията е a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се извършва същата поредица от трансформации, само първият и третият ред са включени. Съответно във всяка стъпка от алгоритъма елементът a 21 се заменя с 31 . След това всичко се повтаря за 41, ... a m1. Резултатът е матрица, в която първият елемент в редовете е равен на нула. Сега трябва да забравим за ред номер едно и да изпълним същия алгоритъм, започвайки от втория ред:

• коефициент k \u003d (-a 32 / a 22);
• вторият модифициран ред се добавя към "текущия" ред;
• резултатът от добавянето се замества в третия, четвъртия и така нататък редове, докато първият и вторият остават непроменени;
• в редовете на матрицата първите два елемента вече са равни на нула.

Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k = (-a m,m-1 /a mm). Това означава, че в последен пъталгоритъмът беше изпълнен само за долното уравнение. Сега матрицата изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. Долният ред съдържа равенството a mn × x n = b m. Коефициентът и свободният член са известни и чрез тях се изразява коренът: x n = b m /a mn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И така нататък по аналогия: във всеки следващ ред има нов корен и, достигайки "върха" на системата, можете да намерите много решения. Ще бъде единственият.

Когато няма решения

Ако в един от редовете на матрицата всички елементи, с изключение на свободния член, са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на този ред, изглежда като 0 = b. Няма решение. И тъй като такова уравнение е включено в системата, тогава множеството от решения на цялата система е празно, тоест е изродено.

Когато има безкраен брой решения

Може да се окаже, че в намалената триъгълна матрица няма редове с един елемент - коефициентът на уравнението, и един - свободен член. Има само низове, които, когато бъдат пренаписани, биха изглеждали като уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направя?

Всички променливи в матрицата са разделени на основни и свободни. Основни - това са тези, които стоят "на ръба" на редовете в стъпаловидна матрица. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи са записани чрез свободните.

За удобство матрицата първо се пренаписва обратно в система от уравнения. Тогава в последния от тях, където е останала точно една основна променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля от другата. Това се прави за всяко уравнение с една основна променлива. След това в останалите уравнения, където е възможно, вместо основната променлива се замества полученият за нея израз. Ако резултатът отново е израз, съдържащ само една основна променлива, той се изразява отново оттам и така нататък, докато всяка основна променлива бъде написана като израз със свободни променливи. Това е общото решение на SLAE.

Можете също да намерите основното решение на системата - дайте на свободните променливи всякакви стойности и след това за този конкретен случай изчислете стойностите на основните променливи. Има безкрайно много конкретни решения.

Решение с конкретни примери

Ето я системата от уравнения.

За удобство е по-добре веднага да създадете неговата матрица

Известно е, че при решаване по метода на Гаус уравнението, съответстващо на първия ред, ще остане непроменено в края на трансформациите. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементи на останалите редове след операциите ще се превърнат в нула. Това означава, че в съставената матрица ще бъде изгодно да поставите втория на мястото на първия ред.

втори ред: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

трети ред: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Сега, за да не се объркате, е необходимо да запишете матрицата с междинните резултати от трансформациите.

Очевидно е, че такава матрица може да се направи по-удобна за възприемане с помощта на някои операции. Например, можете да премахнете всички "минуси" от втория ред, като умножите всеки елемент по "-1".

Също така си струва да се отбележи, че в третия ред всички елементи са кратни на три. След това можете да съкратите низа с това число, като умножите всеки елемент по "-1/3" (минус - в същото време, за да премахнете отрицателни стойности).

Изглежда много по-хубаво. Сега трябва да оставим първия ред и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите втория ред към третия ред, умножен по такъв коефициент, че елементът a 32 да стане равен на нула.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 обикновена дроб, и едва тогава, когато отговорите бъдат получени, решете дали да закръглите и преведете в друга форма на запис)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицата се записва отново с нови стойности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими допълнителни трансформации на системата по метода на Гаус. Това, което може да се направи тук, е да се премахне общият коефициент "-1/7" от третия ред.

Сега всичко е красиво. Въпросът е малък - напишете отново матрицата под формата на система от уравнения и изчислете корените

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратно движение в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността на z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И първото уравнение ви позволява да намерите x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ние имаме право да наречем такава система съвместна и дори категорична, тоест имаща уникално решение. Отговорът се изписва в следната форма:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Пример за неопределена система

Анализиран е вариантът за решаване на определена система по метода на Гаус, сега е необходимо да се разгледа случаят, ако системата е неопределена, т.е. за нея могат да бъдат намерени безкрайно много решения.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самата форма на системата вече е тревожна, тъй като броят на неизвестните е n = 5, а рангът на матрицата на системата вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m = 4, т.е. най-големият ред на квадратната детерминанта е 4. Това означава, че има безкраен брой решения и е необходимо да се търси общият му вид. Методът на Гаус за линейни уравнения прави възможно това.

Първо, както обикновено, се компилира разширената матрица.

Втори ред: коефициент k = (-a 21 / a 11) = -3. В третия ред първият елемент е преди трансформациите, така че не е нужно да пипате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Умножавайки последователно елементите на първия ред по всеки от техните коефициенти и добавяйки ги към желаните редове, получаваме матрица със следната форма:

Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред се състоят от елементи, които са пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са еднакви, така че един от тях може да бъде премахнат незабавно, а останалите да се умножат по коефициента "-1" и да се получи ред номер 3. И отново, оставете един от двата еднакви реда.

Оказа се такава матрица. Системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - стоящи при коефициентите a 11 \u003d 1 и a 22 \u003d 1, и безплатни - всички останали.

Второто уравнение има само една основна променлива - x 2 . Следователно може да се изрази оттам, като се записват променливите x 3 , x 4 , x 5 , които са свободни.

Заместваме получения израз в първото уравнение.

Оказа се уравнение, в което единствената основна променлива е x 1. Нека направим с него същото като с x 2 .

Всички основни променливи, от които има две, са изразени чрез три свободни, сега можете да напишете отговора в общ вид.

Можете също така да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи, като правило, нулите се избират като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът ще бъде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за несъвместима система

Най-бързо е решаването на противоречиви системи от уравнения по метода на Гаус. Приключва веднага щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът с изчисляването на корените, който е доста дълъг и досаден, изчезва. Разглежда се следната система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Както обикновено, матрицата се съставя:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И се свежда до стъпаловидна форма:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

След първата трансформация, третият ред съдържа уравнение на формата

без решение. Следователно системата е непоследователна и отговорът е празното множество.

Предимства и недостатъци на метода

Ако изберете кой метод за решаване на SLAE на хартия с химикалка, тогава методът, който беше разгледан в тази статия, изглежда най-привлекателен. При елементарните трансформации е много по-трудно да се объркате, отколкото се случва, ако трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква сложна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с данни от този тип, например електронни таблици, тогава се оказва, че такива програми вече съдържат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, второстепенни, обратни и т.н. И ако сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да направи грешка, по-целесъобразно е да използвате матричния метод или формулите на Крамер, тъй като тяхното приложение започва и завършва с изчисляването на детерминанти и обратни матрици.

Приложение

Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство "за манекени", трябва да се каже, че най-лесното място за поставяне на метода са електронни таблици, например Excel. Отново всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. И за операциите с тях има много хубави команди: събиране (можете да добавяте само матрици с еднакъв размер!), Умножение по число, умножение на матрици (също с определени ограничения), намиране на обратни и транспонирани матрици и най-важното , изчисляване на детерминантата. Ако тази отнемаща време задача се замени с една команда, е много по-бързо да се определи ранга на матрицата и следователно да се установи нейната съвместимост или несъответствие.