Фундаментална система от решения slu. Хомогенни системи линейни уравнения

Хомогенната система винаги е последователна и има тривиално решение
. За да съществува нетривиално решение, е необходимо рангът на матрицата беше по-малко от числонеизвестен:

Фундаментална система за вземане на решения хомогенна система
наричаме системата от решения под формата на колонни вектори
, които отговарят на каноничната основа, т.е. основа, в която произволни константи
последователно се задават равни на единица, докато останалите се задават на нула.

Тогава общото решение на хомогенната система има вида:

където
са произволни константи. С други думи, общото решение е линейна комбинация от фундаменталната система от решения.

По този начин могат да се получат основни решения от общо решение, ако на свободните неизвестни алтернативно се дава стойност едно, като се приеме, че всички останали са равни на нула.

Пример. Нека намерим решение на системата

Приемаме, след което получаваме решението във формата:

Нека сега изградим фундаментална система от решения:

Общото решение може да се запише като:

Решения на системата от еднородни линейни уравненияимат свойства:

С други думи, всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система отново е решение.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус

Решаването на системи от линейни уравнения представлява интерес за математиците от няколко века. Първите резултати са получени през XVIII век. През 1750 г. Г. Крамер (1704–1752) публикува своите трудове върху детерминантите на квадратните матрици и предлага алгоритъм за намиране на обратната матрица. През 1809 г. Гаус очертава нов метод на решение, известен като метод на елиминиране.

Методът на Гаус или методът за последователно елиминиране на неизвестни се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации системата от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма. Такива системи ви позволяват последователно да намирате всички неизвестни в определен ред.

Да предположим, че в системата (1)
(което винаги е възможно).

(1)

Умножавайки първото уравнение на свой ред по т.нар подходящи числа

и добавяйки резултата от умножението със съответните уравнения на системата, получаваме еквивалентна система, в която всички уравнения, с изключение на първото, няма да имат неизвестни х 1

(2)

Сега умножаваме второто уравнение на системата (2) с подходящи числа, като приемаме, че

и добавяйки го към по-ниските, елиминираме променливата на всички уравнения, като се започне от третото.

Продължавайки този процес, след
стъпки, които получаваме:

(3)

Ако поне едно от числата
не е равно на нула, то съответното равенство е несъстоятелно и системата (1) е несъстоятелна. Обратно, за всяка съвместна бройна система
са равни на нула. Номер не е нищо друго освен ранга на системната матрица (1).

Преходът от система (1) към (3) се нарича по права линия Метод на Гаус и намиране на неизвестни от (3) - наопаки .

Коментирайте : По-удобно е да се извършват трансформации не със самите уравнения, а с разширената матрица на системата (1).

Пример. Нека намерим решение на системата

Нека напишем разширената матрица на системата:

Нека добавим към редовете 2,3,4 първото, умножено съответно по (-2), (-3), (-2):

Нека разменим редове 2 и 3, след това в получената матрица добавете ред 2 към ред 4, умножено по :

Добавете към ред 4 ред 3, умножено по
:

Очевидно е, че
, следователно системата е последователна. От получената система от уравнения

намираме решението чрез обратно заместване:

,
,
,
.

Пример 2Намерете системно решение:

Очевидно е, че системата е непоследователна, т.к
, а
.

Предимства на метода на Гаус :

Отнема по-малко време от метода на Cramer.

Недвусмислено установява съвместимостта на системата и ви позволява да намерите решение.

Дава възможност за определяне на ранга на всякакви матрици.

Хомогенна система от линейни уравнения над поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаменталната система от решения на система от уравнения (1) е непразна линейно независима система от нейните решения, чийто линеен обхват съвпада с множеството от всички решения на системата (1).

Имайте предвид, че хомогенна система от линейни уравнения, която има само нулево решение, няма фундаментална система от решения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Всякакви две фундаментални системи от решения на хомогенна система от линейни уравнения се състоят от еднакъв брой решения.

Доказателство. Наистина, всеки две основни системи от решения на хомогенната система от уравнения (1) са еквивалентни и линейно независими. Следователно, съгласно предложение 1.12, техните рангове са равни. Следователно броят на решенията, включени в една фундаментална система, е равен на броя на решенията, включени във всяка друга фундаментална система от решения.

Ако основната матрица A на хомогенната система от уравнения (1) е нула, тогава всеки вектор от е решение на система (1); в този случай всяка колекция от линейно независими вектори от е фундаментална система от решения. Ако колонният ранг на матрица A е , то системата (1) има само едно решение – нула; следователно в този случай системата от уравнения (1) няма фундаментална система от решения.

ТЕОРЕМА 3.12. Ако рангът на основната матрица на хомогенна система от линейни уравнения (1) е по-малък от броя на променливите, тогава системата (1) има фундаментална система от решения, състояща се от решения.

Доказателство. Ако рангът на главната матрица A на хомогенната система (1) е равен на нула или , тогава беше показано по-горе, че теоремата е вярна. Следователно по-долу се приема, че Ако приемем , ще приемем, че първите колони на матрицата A са линейно независими. В този случай матрицата A е редово еквивалентна на редуцираната стъпкова матрица, а системата (1) е еквивалентна на следната намалена стъпкова система от уравнения:

Лесно е да се провери, че всяка система от стойности на свободни променливи на система (2) съответства на едно и само едно решение на система (2) и следователно на система (1). По-специално, само нулевото решение на система (2) и система (1) съответства на системата от нулеви стойности.

В система (2) ще присвоим стойност, равна на 1, на една от свободните променливи и нулеви стойности на другите променливи. В резултат на това получаваме решения на системата от уравнения (2), които записваме като редове от следната матрица C:

Системата от редове на тази матрица е линейно независима. Наистина, за всякакви скалари от равенството

следва равенството

а оттам и равенството

Нека докажем, че линейният обхват на системата от редове на матрицата C съвпада с множеството от всички решения на система (1).

Произволно решение на система (1). След това векторът

също е решение на система (1) и

Линейни системи хомогенни уравнения - има формата ∑a k i x i = 0. където m > n или m Хомогенна система от линейни уравнения е винаги последователна, тъй като rangA = rangB . Със сигурност има решение, състоящо се от нули, което се нарича тривиален.

Сервизно задание. Онлайн калкулаторът е предназначен да намери нетривиално и фундаментално решение на SLAE. Полученото решение се записва във файл на Word (вижте пример за решение).

Инструкция. Изберете размера на матрицата:

Свойства на системи от линейни еднородни уравнения

За да има системата нетривиални решения, е необходимо и достатъчно рангът на неговата матрица да бъде по-малък от броя на неизвестните.

Теорема. Системата в случай m=n има нетривиално решение тогава и само тогава, когато детерминантата на тази система е равна на нула.

Теорема. Всяка линейна комбинация от решения на система също е решение на тази система.
Определение. Множеството от решения на система от линейни еднородни уравнения се нарича фундаментална система за вземане на решенияако тази колекция се състои от линейно независими решения и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези решения.

Теорема. Ако рангът r на системната матрица е по-малък от броя n на неизвестните, тогава има фундаментална система от решения, състояща се от (n-r) решения.

Алгоритъм за решаване на системи от линейни еднородни уравнения

Намерете ранга на матрицата.
Избираме основния минор. Избираме зависими (основни) и свободни неизвестни.
Зачеркваме тези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени в основния минор, тъй като те са следствия от останалите (според основната теорема за минор).
Прехвърляме членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни към правилната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентни на даденото, чиято детерминанта е различна от нула.
Решаваме получената система, като елиминираме неизвестните. Намираме отношения, изразяващи зависими променливи по отношение на свободни.
Ако рангът на матрицата не е равен на броя на променливите, тогава намираме фундаменталното решение на системата.
В случай на rang = n, имаме тривиално решение.

Пример. Намерете основата на системата от вектори (a 1 , a 2 ,...,a m), степенувайте и изразете векторите чрез основата. Ако a 1 =(0,0,1,-1) и 2 =(1,1,2,0) и 3 =(1,1,1,1) и 4 =(3,2,1 ,4) и 5 =(2,1,0,3).
Пишем основната матрица на системата:

Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножете 4-тия ред по (-2). Умножете 5-ия ред по (3). Нека добавим 5-ти ред към 4-ти:
Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
Намерете ранга на матрицата.
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Чрез метода за елиминиране на неизвестни намираме нетривиално решение:
Получихме отношения, изразяващи зависими променливи x 1, x 2, x 3 през свободни x 4, тоест намерихме общо решение:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Разтворите на хомогенна система имат следните свойства. Ако векторът = (α 1 , α 2 ,... ,α н) е решение на система (15.14), тогава за произволно число квектор k = (kα 1 , ка 2 ,..., kα n)ще бъде решението на тази система. Ако решението на система (15.14) е векторът = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ н), след това сумата + също ще бъде решението на тази система. Оттук следва, че всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система също е решение на тази система.

Както знаем от раздел 12.2, всяка система н-размерни вектори, състоящи се от повече от Пвектори, е линейно зависим. Така от множеството вектори на решение на хомогенната система (15.14) може да се избере базис, т.е. всеки вектор на решение на дадената система ще бъде линейна комбинация от векторите на тази база. Всяка такава основа се нарича фундаментална система за вземане на решенияхомогенна система от линейни уравнения. Вярна е следната теорема, която представяме без доказателство.

ТЕОРЕМА 4. Ако рангът r на система от еднородни уравнения(15.14) по-малко от броя на неизвестните n, тогава всяка фундаментална система от решения на системата (15.14) се състои от n - r решения.

Нека сега посочим метод за намиране на фундаменталната система от решения (FSR). Нека системата от еднородни уравнения (15.14) има ранг r< п. След това, както следва от правилата на Крамър, основните неизвестни на тази система х 1 , х 2 , … x rса линейно изразени чрез свободни променливи x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:

Отделяме отделни решения на хомогенната система (15.14) съгласно следния принцип. За да намерим първия вектор на решение 1, задаваме x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Тогава намираме второто решение 2: приемаме x r+2 = 1 и останалите r- 1 свободни променливи са зададени на нула. С други думи, ние последователно присвояваме една стойност на всяка свободна променлива, задавайки останалите на нула. По този начин, основната система от решения във векторна форма, като се вземе предвид първото rбазисни променливи (15.15) има формата

FSR (15.16) е един от основните набори от решения на хомогенната система (15.14).

Пример 1Намерете решение и FSR на система от хомогенни уравнения

Решение. Ще решим тази система по метода на Гаус. Тъй като броят на системните уравнения е по-малък от броя на неизвестните, приемаме х 1 , х 2 , х 3 основни неизвестни и х 4 , Х 5 , х 6 - свободни променливи. Нека съставим разширената матрица на системата и изпълним действията, които съставляват директния ход на метода.