Решете по метода на Гаус. Метод на Гаус за решаване на матрици

Нека система от линейни алгебрични уравнения, който трябва да бъде решен (намерете такива стойности на неизвестните xi, които превръщат всяко уравнение на системата в равенство).

Знаем, че система от линейни алгебрични уравнения може:

1) Нямате решения (бъдете неставни).
2) Имате безкрайно много решения.
3) Имате единствено решение.

Както си спомняме, правилото на Крамър и матричният метод не са подходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод на Гаус – най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение на всяка система линейни уравнения , който във всеки случайще ни доведе до отговора! Самият алгоритъм на метода работи еднакво и в трите случая. Ако методите на Крамер и матричните методи изискват познаване на детерминантите, тогава за прилагането на метода на Гаус са необходими само познания за аритметичните операции, което го прави достъпен дори за ученици от началното училище.

Разширени матрични трансформации ( това е матрицата на системата - матрица, съставена само от коефициентите на неизвестните плюс колона от свободни членове)системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус:

1) с trokiматрици Мога пренареждамна някои места.

2) ако в матрицата се появяват (или съществуват) пропорционални (като специален случай – еднакви) редове, тогава трябва Изтрийот матрицата всички тези редове с изключение на един.

3) ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също трябва да бъде Изтрий.

4) ред от матрицата може да бъде умножавам (делям)до всяко число, различно от нула.

5) към ред от матрицата можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула.

В метода на Гаус елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения.

Методът на Гаус се състои от два етапа:

1. "Директно движение" - използване елементарни трансформацииредуцирайте разширената матрица на система от линейни алгебрични уравнения до „триъгълна“ стъпаловиден изглед: елементите на разширената матрица, разположени под главния диагонал, са равни на нула (движение отгоре надолу). Например към този тип:

За да направите това, изпълнете следните стъпки:

1) Нека разгледаме първото уравнение на система от линейни алгебрични уравнения и коефициентът за x 1 е равен на K. Второто, третото и т.н. трансформираме уравненията по следния начин: разделяме всяко уравнение (коефициенти на неизвестните, включително свободните членове) на коефициента на неизвестното x 1 във всяко уравнение и умножаваме по K. След това изваждаме първото от второто уравнение ( коефициенти на неизвестни и свободни членове). За x 1 във второто уравнение получаваме коефициента 0. От третото трансформирано уравнение изваждаме първото уравнение, докато всички уравнения с изключение на първото, за неизвестно x 1, имат коефициент 0.

2) Да преминем към следващото уравнение. Нека това е второто уравнение и коефициентът за x 2 е равен на M. Продължаваме с всички „по-ниски“ уравнения, както е описано по-горе. Така „под“ неизвестното x 2 ще има нули във всички уравнения.

3) Преминете към следващото уравнение и така нататък, докато остане едно последно неизвестно и трансформираният свободен член.

1. „Обратното движение“ на метода на Гаус е да се получи решение на система от линейни алгебрични уравнения (движението „отдолу нагоре“). От последното “долно” уравнение получаваме едно първо решение – неизвестното x n. За да направим това, решаваме елементарното уравнение A * x n = B. В примера, даден по-горе, x 3 = 4. Заместваме намерената стойност в „горното“ следващо уравнение и го решаваме по отношение на следващото неизвестно. Например x 2 – 4 = 1, т.е. x 2 = 5. И така нататък, докато намерим всички неизвестни.

Пример.

Нека решим системата от линейни уравнения по метода на Гаус, както съветват някои автори:

Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:

Гледаме горната лява „стъпка“. Трябва да имаме един там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма единици, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Да го направим:
1 стъпка . Към първия ред добавяме втория ред, умножен по –1. Тоест мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво има „минус едно“, което ни подхожда доста добре. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително действие: да умножи първия ред по –1 (промени знака му).

Стъпка 2 . Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

Стъпка 3 . Първият ред беше умножен по –1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, така че на второто „стъпало“ имахме необходимата единица.

Стъпка 4 . Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по 2.

Стъпка 5 . Третият ред беше разделен на 3.

Знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ долен ред. Тоест, ако получим нещо като (0 0 11 |23) по-долу и съответно 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е направена грешка по време на елементарно трансформации.

Нека направим обратното; при проектирането на примери самата система често не се пренаписва, а уравненията се „вземат директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. В този пример резултатът беше подарък:

х 3 = 1
х 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следователно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Отговор:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Нека решим същата система, използвайки предложения алгоритъм. Получаваме

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделете второто уравнение на 5, а третото на 3. Получаваме:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножавайки второто и третото уравнение по 4, получаваме:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Изваждайки първото уравнение от второто и третото уравнения, имаме:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделете третото уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножете третото уравнение по 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Изваждайки второто от третото уравнение, получаваме „стъпаловидна“ разширена матрица:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Така, тъй като грешката, натрупана по време на изчисленията, получаваме x 3 = 0,96 или приблизително 1.

x 2 = 3 и x 1 = –1.

Решавайки по този начин, никога няма да се объркате в изчисленията и въпреки грешките в изчисленията ще получите резултата.

Този метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения е лесен за програмиране и не се взема предвид специфични особеностикоефициенти за неизвестни, тъй като на практика (при икономически и технически изчисления) трябва да се работи с нецелочислени коефициенти.

Пожелавам ти успех! Ще се видим в клас! Учител Дмитрий Айстраханов.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои от последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо елиминиране х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, допълнително се изключва х 2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Този процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиранесе извикват неизвестни променливи директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение, което изчисляваме xn-1, и така нататък, от първото уравнение, което намираме х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, до n-токъм уравнението добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, до n-токъм уравнението добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и . Така че променливата х 2изключени от всички уравнения, започвайки от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното х 3, в този случай действаме по подобен начин с отбелязаната на фигурата част от системата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като, използвайки получената стойност x nнамираме xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.

Пример.

Решете система от линейни уравнения Метод на Гаус.

1. Система от линейни алгебрични уравнения

1.1 Концепцията за система от линейни алгебрични уравнения

Система от уравнения е състояние, състоящо се от едновременно изпълнение на няколко уравнения по отношение на няколко променливи. Система от линейни алгебрични уравнения (наричана по-нататък SLAE), съдържаща m уравнения и n неизвестни, се нарича система от вида:

където числата a ij се наричат ​​системни коефициенти, числата b i се наричат ​​свободни членове, a ijИ b i(i=1,…, m; b=1,…, n) представляват някои известни числа и x 1 ,…, x n– неизвестен. При обозначаването на коеф a ijпървият индекс i означава номера на уравнението, а вторият j е номерът на неизвестното, на което стои този коефициент. Трябва да се намерят числата x n. Удобно е да напишете такава система в компактна матрична форма: AX=B.Тук A е матрицата на системните коефициенти, наречена основна матрица;

– колонен вектор от неизвестни xj.
е колонен вектор от свободни членове bi.

Продуктът на матриците A*X е дефиниран, тъй като има толкова колони в матрица A, колкото има редове в матрица X (n части).

Разширената матрица на система е матрицата А на системата, допълнена от колона от свободни членове

1.2 Решаване на система от линейни алгебрични уравнения

Решението на система от уравнения е подреден набор от числа (стойности на променливи), при заместването им вместо променливи всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.

Решението на система е n стойности на неизвестните x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при заместването на които всички уравнения на системата стават верни равенства. Всяко решение на системата може да бъде написано като колонна матрица

Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъгласувана, ако няма никакво решение.

За последователна система се казва, че е детерминирана, ако има едно решение, и неопределена, ако има повече от едно решение. В последния случай всяко нейно решение се нарича частно решение на системата. Съвкупността от всички частни решения се нарича общо решение.

Решаването на една система означава да разберете дали тя е съвместима или непоследователна. Ако системата е последователна, намерете я общо решение.

Две системи се наричат ​​еквивалентни (еквивалентни), ако имат едно и също общо решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно.

Трансформация, чието прилагане превръща една система в нова система, еквивалентна на първоначалната, се нарича еквивалентна или еквивалентна трансформация. Примерите за еквивалентни трансформации включват следните трансформации: размяна на две уравнения на система, размяна на две неизвестни заедно с коефициентите на всички уравнения, умножаване на двете страни на всяко уравнение на система с ненулево число.

Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всички свободни членове са равни на нула:

Една хомогенна система винаги е последователна, тъй като x1=x2=x3=…=xn=0 е решение на системата. Това решение се нарича нулево или тривиално.

2. Метод на елиминиране на Гаус

2.1 Същността на метода на елиминиране на Гаус

Класическият метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователно елиминиране на неизвестни - Метод на Гаус(нарича се още метод на елиминиране на Гаус). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне с последната (чрез число) променливи.

Процесът на решаване по метода на Гаус се състои от два етапа: движение напред и назад.

1. Директен удар.

На първия етап се извършва така нареченото директно движение, когато чрез елементарни трансформации по редовете системата се привежда в стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е несъвместима. А именно, сред елементите на първата колона на матрицата изберете ненулев, преместете го на най-горната позиция, като пренаредите редовете, и извадете получения първи ред от останалите след пренареждането редове, като го умножите по стойност равно на съотношението на първия елемент на всеки от тези редове към първия елемент на първия ред, като по този начин нулира колоната под него.

След като тези трансформации са завършени, първият ред и първата колона се задраскват мислено и продължават, докато остане матрица с нулев размер. Ако на която и да е итерация няма различен от нула елемент сред елементите на първата колона, тогава отидете на следващата колона и изпълнете подобна операция.

На първия етап (директен ход) системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.

Системата по-долу има поетапна форма:

,

Коефициентите aii се наричат ​​главни (водещи) елементи на системата.

(ако a11=0, пренаредете редовете на матрицата така, че а 11 не е равно на 0. Това винаги е възможно, защото в противен случай матрицата съдържа нулева колона, нейният детерминант е равен на нула и системата е непоследователна).

Нека трансформираме системата, като елиминираме неизвестното x1 във всички уравнения с изключение на първото (използвайки елементарни трансформации на системата). За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по

и добавете член по член с второто уравнение на системата (или от второто уравнение извадете член по член с първото, умножено по ). След това умножаваме двете страни на първото уравнение по и ги добавяме към третото уравнение на системата (или от третото изваждаме първото, умножено по ). Така последователно умножаваме първия ред по число и добавяме към азред, за i= 2, 3, …,н.

Продължавайки този процес, получаваме еквивалентна система:

– нови стойности на коефициентите за неизвестни и свободни членове в последните m-1 уравнения на системата, които се определят по формулите:

Така на първата стъпка се унищожават всички коефициенти, лежащи под първия водещ елемент a 11

0, във втората стъпка се унищожават елементите, лежащи под втория водещ елемент a 22 (1) (ако a 22 (1) 0) и т.н. Продължавайки този процес по-нататък, ние накрая, на стъпка (m-1), намаляваме оригиналната система до триъгълна система.

Ако в процеса на редуциране на системата до стъпаловидна форма се появят нулеви уравнения, т.е. равенства от вида 0=0, те се отхвърлят. Ако се появи уравнение от формата

тогава това показва несъвместимостта на системата.

Тук свършва директната прогресия на метода на Гаус.

2. Обратен ход.

На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи по отношение на неосновни и да се изгради фундаментална система от решения или, ако всички променливи са основни , след това изразете числено единственото решение на системата от линейни уравнения.

Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (в нея има само една) и се замества в предходните уравнения и така нататък, изкачвайки се по „стъпалата“.

Всеки ред съответства на точно една базисна променлива, така че на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.

Забележка: на практика е по-удобно да се работи не със системата, а с нейната разширена матрица, извършвайки всички елементарни трансформации на нейните редове. Удобно е коефициентът a11 да бъде равен на 1 (пренаредете уравненията или разделете двете страни на уравнението на a11).

2.2 Примери за решаване на SLAE по метода на Гаус

В този раздел, използвайки три различни примера, ще покажем как методът на Гаус може да реши SLAE.

Пример 1. Решаване на SLAE от 3-ти ред.

Нека нулираме коефициентите при

във втория и третия ред. За целта ги умножете съответно по 2/3 и 1 и ги добавете към първия ред:

Две системи линейни уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако множеството от всички техни решения съвпада.

Елементарните трансформации на система от уравнения са:

1. Изтриване на тривиални уравнения от системата, т.е. такива, при които всички коефициенти са равни на нула;
2. Умножаване на всяко уравнение с число, различно от нула;
3. Добавяне към всяко i-то уравнение всяко j-то уравнение, умножено по произволно число.

Променлива x i се нарича свободна, ако тази променлива не е разрешена, но цялата система от уравнения е разрешена.

Теорема. Елементарните трансформации преобразуват система от уравнения в еквивалентна.

Значението на метода на Гаус е да се трансформира оригиналната система от уравнения и да се получи еквивалентна разрешена или еквивалентна непоследователна система.

И така, методът на Гаус се състои от следните стъпки:

1. Нека разгледаме първото уравнение. Нека изберем първия ненулев коефициент и разделим цялото уравнение на него. Получаваме уравнение, в което някаква променлива x i влиза с коефициент 1;
2. Нека извадим това уравнение от всички останали, като го умножим по такива числа, че коефициентите на променливата x i в останалите уравнения да бъдат нулирани. Получаваме система, разрешена по отношение на променливата x i и еквивалентна на оригиналната;
3. Ако възникнат тривиални уравнения (рядко, но се случва; например 0 = 0), ние ги зачеркваме от системата. В резултат на това има едно уравнения по-малко;
4. Повтаряме предишните стъпки не повече от n пъти, където n е броят на уравненията в системата. Всеки път избираме нова променлива за „обработка“. Ако възникнат непоследователни уравнения (например 0 = 8), системата е непоследователна.

В резултат на това след няколко стъпки ще получим или разрешена система (възможно със свободни променливи), или непоследователна. Разрешените системи попадат в два случая:

1. Броят на променливите е равен на броя на уравненията. Това означава, че системата е дефинирана;
2. Брой променливи повече бройуравнения. Събираме всички свободни променливи отдясно - получаваме формули за разрешените променливи. Тези формули са записани в отговора.

Това е всичко! Система от линейни уравнения решена! Това е сравнително прост алгоритъм и за да го овладеете, не е необходимо да се свързвате с преподавател по висша математика. Да разгледаме един пример:

Задача. Решете системата от уравнения:

Описание на стъпките:

1. Извадете първото уравнение от второто и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Второто уравнение умножаваме по (−1) и третото уравнение разделяме на (−3) - получаваме две уравнения, в които променливата x 2 влиза с коефициент 1;
3. Добавяме второто уравнение към първото и изваждаме от третото. Получаваме разрешената променлива x 2 ;
4. Накрая изваждаме третото уравнение от първото - получаваме разрешената променлива x 3;
5. Получихме одобрена система, запишете отговора.

Общо решение ставна системалинейните уравнения са нова система, еквивалентен на оригиналния, в който всички разрешени променливи са изразени чрез свободни.

Кога може да е необходимо общо решение? Ако трябва да направите по-малко стъпки, отколкото k (k е колко уравнения има). Въпреки това, причините, поради които процесът завършва на някаква стъпка l< k , может быть две:

1. След l-тата стъпка получихме система, която не съдържа уравнение с число (l + 1). Всъщност това е добре, защото... оторизираната система все още се получава - дори няколко стъпки по-рано.
2. След l-тата стъпка получихме уравнение, в което всички коефициенти на променливите са равни на нула, а свободният коефициент е различен от нула. Това е противоречиво уравнение и следователно системата е непоследователна.

Важно е да се разбере, че появата на непоследователно уравнение, използващо метода на Гаус, е достатъчна основа за несъответствие. В същото време отбелязваме, че в резултат на l-тата стъпка не могат да останат тривиални уравнения - всички те са зачеркнати точно в процеса.

Описание на стъпките:

1. Извадете първото уравнение, умножено по 4, от второто. Добавяме и първото уравнение към третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Извадете третото уравнение, умножено по 2, от второто - получаваме противоречивото уравнение 0 = −5.

И така, системата е непоследователна, защото е открито несъгласувано уравнение.

Задача. Разгледайте съвместимостта и намерете общо решение за системата:

Описание на стъпките:

1. Изваждаме първото уравнение от второто (след умножаване по две) и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Извадете второто уравнение от третото. Тъй като всички коефициенти в тези уравнения са еднакви, третото уравнение ще стане тривиално. В същото време умножете второто уравнение по (−1);
3. Извадете второто от първото уравнение - получаваме разрешената променлива x 2. Цялата система от уравнения сега също е разрешена;
4. Тъй като променливите x 3 и x 4 са свободни, ние ги преместваме надясно, за да изразим разрешените променливи. Това е отговорът.

И така, системата е последователна и неопределена, тъй като има две разрешени променливи (x 1 и x 2) и две свободни (x 3 и x 4).

Метод на Гаусперфектен за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Той има редица предимства в сравнение с други методи:

• първо, няма нужда първо да се изследва системата от уравнения за съгласуваност;
• второ, методът на Гаус може да решава не само SLAE, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и основната матрица на системата е неособена, но също така и системи от уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броят на неизвестните променливи или детерминантата на основната матрица е равен на нула;
• трето, методът на Гаус води до резултати с относително малък брой изчислителни операции.

Кратък преглед на статията.

Първо даваме необходимите определения и въвеждаме обозначения.

След това ще опишем алгоритъма на метода на Гаус за най-простия случай, тоест за системи от линейни алгебрични уравнения, броят на уравненията, в които съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е не е равно на нула. При решаването на такива системи от уравнения най-ясно се вижда същността на метода на Гаус, който е последователното елиминиране на неизвестни променливи. Следователно методът на Гаус се нарича още метод на последователно елиминиране на неизвестни. Ще ви покажем подробни решенияняколко примера.

В заключение ще разгледаме решението по метода на Гаус на системи от линейни алгебрични уравнения, чиято основна матрица е или правоъгълна, или сингулярна. Решението за такива системи има някои характеристики, които ще разгледаме подробно с примери.

Навигация в страницата.

Основни определения и означения.

Да разгледаме система от p линейни уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n):

Където са неизвестни променливи, са числа (реални или комплексни) и са свободни термини.

Ако , тогава системата от линейни алгебрични уравнения се нарича хомогенен, в противен случай - разнородни.

Нарича се набор от стойности на неизвестни променливи, за които всички уравнения на системата стават идентичности решение на СЛАУ.

Ако има поне едно решение на система от линейни алгебрични уравнения, то се нарича става, в противен случай - неставни.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени. Ако има повече от едно решение, системата се извиква несигурен.

Казват, че системата е написана координатна форма, ако има формата
.

Тази система в матрична формазаписи има формата , където - основната матрица на SLAE, - матрицата на колоната от неизвестни променливи, - матрицата на свободните членове.

Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Квадратната матрица A се нарича изродени, ако неговият детерминант е нула. Ако , тогава се извиква матрица A неизродени.

Трябва да се отбележи следната точка.

Ако извършите следните действия със система от линейни алгебрични уравнения

• разменете две уравнения,
• умножете двете страни на всяко уравнение по произволно и ненулево реално (или комплексно) число k,
• към двете страни на всяко уравнение добавете съответните части на друго уравнение, умножени по произволно число k,

тогава получавате еквивалентна система, която има същите решения (или, точно като оригиналната, няма решения).

За разширена матрица на система от линейни алгебрични уравнения тези действия ще означават извършване на елементарни трансформации с редовете:

• размяна на два реда,
• умножаване на всички елементи от който и да е ред на матрицата T с ненулево число k,
• добавяне към елементите на произволен ред от матрица на съответните елементи от друг ред, умножени по произволно число k.

Сега можем да продължим с описанието на метода на Гаус.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и основната матрица на системата е неособена, по метода на Гаус.

Какво бихме правили в училище, ако ни дадат задачата да намерим решение на система от уравнения? .

Някои биха го направили.

Имайте предвид, че като добавите лявата страна на първото към лявата страна на второто уравнение и дясната страна към дясната страна, можете да се отървете от неизвестните променливи x 2 и x 3 и веднага да намерите x 1:

Заместваме намерената стойност x 1 =1 в първото и третото уравнение на системата:

Ако умножим двете страни на третото уравнение на системата по -1 и ги добавим към съответните части на първото уравнение, ние се отърваваме от неизвестната променлива x 3 и можем да намерим x 2:

Заместваме получената стойност x 2 = 2 в третото уравнение и намираме останалата неизвестна променлива x 3:

Други биха постъпили по различен начин.

Нека разрешим първото уравнение на системата по отношение на неизвестната променлива x 1 и заместваме получения израз във второто и третото уравнение на системата, за да изключим тази променлива от тях:

Сега нека решим второто уравнение на системата за x 2 и заместим получения резултат в третото уравнение, за да елиминираме неизвестната променлива x 2 от него:

От третото уравнение на системата е ясно, че x 3 =3. От второто уравнение намираме , а от първото уравнение получаваме .

Познати решения, нали?

Най-интересното тук е, че вторият метод на решение е по същество методът на последователното елиминиране на неизвестните, тоест методът на Гаус. Когато изразихме неизвестните променливи (първо x 1, на следващия етап x 2) и ги заместихме в останалите уравнения на системата, по този начин ги изключихме. Извършихме елиминиране, докато в последното уравнение остана само една неизвестна променлива. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни се нарича директен метод на Гаус. След като завършим преместването напред, имаме възможност да изчислим неизвестната променлива в последното уравнение. С негова помощ намираме следващата неизвестна променлива от предпоследното уравнение и т.н. Процесът на последователно намиране на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Трябва да се отбележи, че когато изразим x 1 чрез x 2 и x 3 в първото уравнение и след това заместим получения израз във второто и третото уравнения, следните действия водят до същия резултат:

Наистина, такава процедура също така позволява да се елиминира неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата:

Нюанси с елиминирането на неизвестни променливи с помощта на метода на Гаус възникват, когато уравненията на системата не съдържат някои променливи.

Например в SLAU в първото уравнение няма неизвестна променлива x 1 (с други думи, коефициентът пред нея е нула). Следователно не можем да решим първото уравнение на системата за x 1, за да елиминираме тази неизвестна променлива от останалите уравнения. Изходът от тази ситуация е да се разменят уравненията на системата. Тъй като разглеждаме системи от линейни уравнения, чиито детерминанти на главните матрици са различни от нула, винаги има уравнение, в което присъства променливата, от която се нуждаем, и можем да пренаредим това уравнение до позицията, от която се нуждаем. За нашия пример е достатъчно да разменим първото и второто уравнения на системата , тогава можете да разрешите първото уравнение за x 1 и да го изключите от останалите уравнения на системата (въпреки че x 1 вече не присъства във второто уравнение).

Надяваме се да схванете същината.

Нека опишем Алгоритъм на метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да решим система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи от вида и нека детерминантата на основната му матрица е различна от нула.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и .

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, маркирана на фигурата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .

Нека да разгледаме алгоритъма с пример.

Пример.

Метод на Гаус.

Решение.

Коефициентът a 11 е различен от нула, така че нека преминем към директната прогресия на метода на Гаус, тоест към изключването на неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, с изключение на първото. За да направите това, към лявата и дясната страна на второто, третото и четвъртото уравнение добавете лявата и дясната страна на първото уравнение, умножени съответно по . И :

Неизвестната променлива x 1 е елиминирана, нека преминем към елиминирането на x 2 . Към лявата и дясната страна на третото и четвъртото уравнение на системата добавяме лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени съответно по И :

За да завършим напредването на метода на Гаус, трябва да елиминираме неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. Нека добавим към лявата и дясната страна на четвъртото уравнение съответно лявата и правилната странатрето уравнение, умножено по :

Можете да започнете обратното на метода на Гаус.

От последното уравнение, което имаме ,
от третото уравнение получаваме,
от втория,
от първия.

За да проверите, можете да замените получените стойности на неизвестните променливи в оригиналната система от уравнения. Всички уравнения се превръщат в идентичности, което показва, че решението по метода на Гаус е намерено правилно.

Отговор:

Сега нека дадем решение на същия пример, използвайки метода на Гаус в матрична нотация.

Пример.

Намерете решението на системата от уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Разширената матрица на системата има формата . В горната част на всяка колона са неизвестните променливи, които съответстват на елементите на матрицата.

Директният подход на метода на Гаус тук включва намаляване на разширената матрица на системата до трапецовидна форма с помощта на елементарни трансформации. Този процес е подобен на елиминирането на неизвестни променливи, което направихме със системата в координатна форма. Сега ще видите това.

Нека трансформираме матрицата така, че всички елементи в първата колона, започвайки от втората, да станат нула. За да направите това, към елементите на втория, третия и четвъртия ред добавяме съответните елементи на първия ред, умножени по, и съответно:

След това трансформираме получената матрица, така че във втората колона всички елементи, започвайки от третата, да станат нула. Това би съответствало на елиминирането на неизвестната променлива x 2 . За да направите това, към елементите на третия и четвъртия ред добавяме съответните елементи на първия ред на матрицата, умножени съответно по И :

Остава да изключим неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. За да направите това, към елементите на последния ред на получената матрица добавяме съответните елементи на предпоследния ред, умножени по :

Трябва да се отбележи, че тази матрица съответства на система от линейни уравнения

който е получен по-рано след движение напред.

Време е да се върнем. В матричната нотация обратното на метода на Гаус включва трансформиране на получената матрица така, че матрицата, маркирана на фигурата

стана диагонал, тоест прие формата

къде са малко числата.

Тези трансформации са подобни на предните трансформации на метода на Гаус, но се извършват не от първия ред към последния, а от последния към първия.

Добавете към елементите на третия, втория и първия ред съответните елементи на последния ред, умножени по , и все така съответно:

Сега добавете към елементите на втория и първия ред съответните елементи на третия ред, умножени съответно по и по:

На последна стъпкаПри обратното движение на метода на Гаус, към елементите на първия ред добавяме съответните елементи на втория ред, умножени по:

Получената матрица съответства на системата от уравнения , откъдето намираме неизвестните променливи.

Отговор:

ЗАБЕЛЕЖКА.

Когато използвате метода на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, трябва да се избягват приблизителни изчисления, тъй като това може да доведе до напълно неверни резултати. Препоръчваме да не закръглявате десетичните знаци. По-добре от десетични знациотидете на обикновени дроби.

Пример.

Решете система от три уравнения по метода на Гаус .

Решение.

Обърнете внимание, че в този пример неизвестните променливи имат различно обозначение (не x 1, x 2, x 3, а x, y, z). Да преминем към обикновените дроби:

Нека изключим неизвестното x от второто и третото уравнение на системата:

В получената система неизвестната променлива y отсъства във второто уравнение, но y присъства в третото уравнение, следователно, нека разменим второто и третото уравнение:

Това завършва директната прогресия на метода на Гаус (няма нужда да изключвате y от третото уравнение, тъй като тази неизвестна променлива вече не съществува).

Да започнем обратното движение.

От последното уравнение намираме ,
от предпоследния


от първото уравнение, което имаме

Отговор:

X = 10, y = 5, z = -20.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните или основната матрица на системата е единична, чрез метода на Гаус.

Системи от уравнения, чиято основна матрица е правоъгълна или квадратна сингулярна, може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкраен брой решения.

Сега ще разберем как методът на Гаус ни позволява да установим съвместимостта или несъответствието на система от линейни уравнения и в случай на нейната съвместимост да определим всички решения (или едно единствено решение).

По принцип процесът на елиминиране на неизвестни променливи в случай на такива SLAE остава същият. Струва си обаче да навлезете в подробности за някои ситуации, които могат да възникнат.

Да преминем към най-важния етап.

И така, нека приемем, че системата от линейни алгебрични уравнения, след завършване на напредването на метода на Гаус, приема формата и нито едно уравнение не беше сведено до (в този случай бихме заключили, че системата е несъвместима). Възниква логичен въпрос: „Какво да правя след това“?

Нека запишем неизвестните променливи, които са на първо място във всички уравнения на получената система:

В нашия пример това са x 1, x 4 и x 5. От лявата страна на уравненията на системата оставяме само тези членове, които съдържат написаните неизвестни променливи x 1, x 4 и x 5, останалите членове се прехвърлят в дясната страна на уравненията с обратен знак:

Нека дадем произволни стойности на неизвестните променливи, които са от дясната страна на уравненията, където - произволни числа:

След това десните страни на всички уравнения на нашия SLAE съдържат числа и можем да продължим към обратния метод на Гаус.

От последното уравнение на системата, което имаме, от предпоследното уравнение, което намираме, от първото уравнение получаваме

Решението на система от уравнения е набор от стойности на неизвестни променливи

Даване на числа различни значения, ще получим различни решениясистеми от уравнения. Тоест нашата система от уравнения има безкрайно много решения.

Отговор:

Където - произволни числа.

За да консолидираме материала, ще анализираме подробно решенията на още няколко примера.

Пример.

Реши хомогенна системалинейни алгебрични уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, към лявата и дясната страна на второто уравнение добавяме съответно лявата и дясната страна на първото уравнение, умножени по , а към лявата и дясната страна на третото уравнение добавяме лявата и дясната страна на първото уравнение, умножено по:

Сега нека изключим y от третото уравнение на получената система от уравнения:

Полученият SLAE е еквивалентен на системата .

Оставяме от лявата страна на уравненията на системата само членовете, съдържащи неизвестните променливи x и y, и преместваме членовете с неизвестната променлива z в дясната страна: