Решаване на правоъгълни матрици по метода на Гаус. Метод на Гаус за манекени: лесно решаване на шлака

Един от най-простите начини за решаване на системата линейни уравненияе техника, базирана на изчисляване на детерминанти ( Правилото на Крамър). Предимството му е, че ви позволява незабавно да запишете решението, особено удобно е в случаите, когато коефициентите на системата не са числа, а някакъв вид параметри. Неговият недостатък е тромавостта на изчисленията в случая Голям бройуравнения, освен това правилото на Крамър не е пряко приложимо към системи, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните. В такива случаи обикновено се използва Метод на Гаус.

Системи от линейни уравнения, които имат еднакъв набор от решения, се наричат еквивалентен. Очевидно е, че наборът от решения линейна системане се променя, ако някое от уравненията се размени, или ако едно от уравненията се умножи по някакво различно от нула число, или ако едно уравнение се добави към друго.

Метод на Гаус (метод последователно изключваненеизвестен) се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации системата се свежда до еквивалентна стъпкова система. Първо, с помощта на първото уравнение, х 1 от всички следващи уравнения на системата. След това, използвайки второто уравнение, елиминираме х 2 от 3-то и всички следващи уравнения. Този процес, т.нар директен метод на Гаус, продължава, докато остане само едно неизвестно от лявата страна на последното уравнение x n. След това се прави обратен ходМетод на Гаус– решавайки последното уравнение, намираме x n; след това, използвайки тази стойност, изчисляваме от предпоследното уравнение x n-1 и т.н. Последно намираме х 1 от първото уравнение.

Удобно е да се извършват трансформации на Гаус, като се извършват трансформации не със самите уравнения, а с матриците на техните коефициенти. Помислете за матрицата:

Наречен удължен системна матрица, тъй като в допълнение към основната матрица на системата, тя включва колона от безплатни членове. Методът на Гаус се основава на привеждане на основната матрица на системата до триъгълна форма (или трапецовидна форма в случай на неквадратни системи) с помощта на елементарни редови трансформации (!) на разширената матрица на системата.

Пример 5.1.Решете системата по метода на Гаус:

Решение. Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки първия ред, след това ще занулим останалите елементи:

получаваме нули във 2-ри, 3-ти и 4-ти ред на първата колона:

Сега трябва всички елементи във втората колона под втория ред да са равни на нула. За да направите това, можете да умножите втория ред по -4/7 и да добавите към 3-тия ред. Но за да не се занимаваме с дроби, ще създадем единица във 2-рия ред на втората колона и само

Сега, за да получите триъгълна матрица, трябва да нулирате елемента от четвъртия ред на 3-та колона, за това можете да умножите третия ред по 8/54 и да го добавите към четвъртия. Но за да не се занимаваме с дроби, ще разменим 3-ти и 4-ти ред и 3-та и 4-та колона и едва след това ще нулираме зададения елемент. Имайте предвид, че когато колоните се пренареждат, съответните променливи се разменят и това трябва да се помни; други елементарни трансформации с колони (събиране и умножение с число) не могат да се извършват!

Последната опростена матрица съответства на система от уравнения, еквивалентна на оригиналната:

От тук, използвайки обратния ход на метода на Гаус, намираме от четвъртото уравнение х 3 = -1; от третия х 4 = -2, от втория х 2 = 2 и от първото уравнение х 1 = 1. В матрична форма отговорът се записва като

Разгледахме случая, когато системата е определена, т.е. когато има само едно решение. Нека да видим какво се случва, ако системата е непоследователна или неопределена.

Пример 5.2.Изследвайте системата с помощта на метода на Гаус:

Решение. Изписваме и трансформираме разширената матрица на системата

Пишем опростена система от уравнения:

Ето, в последното уравнение се оказа, че 0=4, т.е. противоречие. Следователно системата няма решение, т.е. тя е несъвместими. à

Пример 5.3.Изследвайте и решете системата, използвайки метода на Гаус:

Решение. Изписваме и трансформираме разширената матрица на системата:

В резултат на трансформациите се получават само нули в последния ред. Това означава, че броят на уравненията е намалял с едно:

Така след опростявания остават две уравнения и четири неизвестни, т.е. две неизвестни "екстра". Нека "излишни", или, както се казва, свободни променливи, ще х 3 и хчетири . Тогава

Ако приемем х 3 = 2аи х 4 = b, получаваме х 2 = 1–аи х 1 = 2b–а; или в матрична форма

Така написано решение се нарича общ, тъй като, като зададете параметрите аи b различни значения, е възможно да се опишат всички възможни решения на системата. а

Днес се занимаваме с метода на Гаус за решаване на линейни системи алгебрични уравнения. Можете да прочетете какви са тези системи в предишната статия, посветена на решаването на същия SLAE по метода на Cramer. Методът на Гаус не изисква специфични познания, необходими са само внимание и последователност. Въпреки факта, че от гледна точка на математиката училищната подготовка е достатъчна за нейното прилагане, овладяването на този метод често създава трудности за учениците. В тази статия ще се опитаме да ги сведем до нищо!

Метод на Гаус

М Метод на Гаус- повечето универсален метод SLAE решения (с изключение на, добре, много големи системи). За разлика от обсъдения по-рано, той е подходящ не само за системи, които имат уникално решение, но и за системи, които имат безкраен брой решения. Тук има три варианта.

1. Системата има еднозначно решение (детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула);
2. Системата има безкраен брой решения;
3. Няма решения, системата е непоследователна.

И така, имаме система (нека има едно решение) и ще я решим с помощта на метода на Гаус. Как работи?

Методът на Гаус се състои от два етапа - директен и обратен.

Директен метод на Гаус

Първо, ние пишем разширената матрица на системата. За да направим това, добавяме колона с безплатни членове към основната матрица.

Цялата същност на метода на Гаус е да намали тази матрица до стъпаловидна (или, както се казва, триъгълна) форма с помощта на елементарни трансформации. В тази форма трябва да има само нули под (или над) главния диагонал на матрицата.

Какво може да се направи:

1. Можете да пренареждате редовете на матрицата;
2. Ако има идентични (или пропорционални) редове в матрицата, можете да изтриете всички освен един от тях;
3. Можете да умножите или разделите низ с произволно число (с изключение на нула);
4. Нулевите линии се премахват;
5. Можете да добавите низ, умножен по различно от нула число, към низ.

Метод на обратен Гаус

След като трансформираме системата по този начин, едно неизвестно xn става известна и е възможно да се намерят всички останали неизвестни в обратен ред, замествайки вече известните x в уравненията на системата, до първото.

Когато интернет винаги е под ръка, можете да решите системата от уравнения по метода на Гаус онлайн .Всичко, което трябва да направите, е да въведете коефициентите в онлайн калкулатора. Но трябва да признаете, много по-приятно е да осъзнаете, че примерът е решен не от компютърна програма, а от вашия собствен мозък.

Пример за решаване на система от уравнения по метода на Гаус

А сега - пример, за да стане всичко ясно и разбираемо. Нека е дадена система от линейни уравнения и е необходимо да се реши по метода на Гаус:

Първо, нека напишем разширената матрица:

Сега нека да разгледаме трансформациите. Не забравяйте, че трябва да постигнем триъгълна форма на матрицата. Умножете първия ред по (3). Умножете втория ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви и получаваме:

След това умножете 3-тия ред по (-1). Нека добавим третия ред към втория:

Умножете първия ред по (6). Умножете втория ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

Voila - системата е приведена в подходящ вид. Остава да открием неизвестните:

Системата в този пример има уникално решение. Ще разгледаме решението на системи с безкраен набор от решения в отделна статия. Може би в началото няма да знаете откъде да започнете с матричните трансформации, но след подходяща практика ще се хванете в ръцете си и ще щракате върху Гаусовата SLAE като ядки. И ако изведнъж попаднете на БАВНО, което също се оказва твърд орехсвържете се с нашите автори! можете като оставите заявка в кореспонденцията. Заедно ще решим всеки проблем!

Две системи от линейни уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако наборът от всички техни решения е еднакъв.

Елементарни трансформациисистемите от уравнения са:

1. Изтриване от системата на тривиалните уравнения, т.е. такива, при които всички коефициенти са равни на нула;
2. Умножаване на всяко уравнение с различно от нула число;
3. Добавяне към всяко i -то уравнение на всяко j -то уравнение, умножено по произволно число.

Променливата x i се нарича свободна, ако тази променлива не е разрешена, а цялата система от уравнения е разрешена.

Теорема. Елементарните трансформации превръщат системата от уравнения в еквивалентна.

Смисълът на метода на Гаус е да се трансформира първоначалната система от уравнения и да се получи еквивалентна разрешена или еквивалентна непоследователна система.

И така, методът на Гаус се състои от следните стъпки:

1. Разгледайте първото уравнение. Избираме първия ненулев коефициент и разделяме цялото уравнение на него. Получаваме уравнение, в което някаква променлива x i влиза с коефициент 1;
2. Нека извадим това уравнение от всички останали, като го умножим по числа, така че коефициентите за променливата x i в останалите уравнения да са настроени на нула. Получаваме система, която е разрешена по отношение на променливата x i и е еквивалентна на оригиналната;
3. Ако възникнат тривиални уравнения (рядко, но се случва; например 0 = 0), ние ги изтриваме от системата. В резултат на това уравненията стават с едно по-малко;
4. Повтаряме предишните стъпки не повече от n пъти, където n е броят на уравненията в системата. Всеки път избираме нова променлива за „обработка“. Ако възникнат противоречиви уравнения (например 0 = 8), системата е непоследователна.

В резултат на това след няколко стъпки получаваме или разрешена система (възможно със свободни променливи), или непоследователна. Разрешените системи попадат в два случая:

1. Броят на променливите е равен на броя на уравненията. Така че системата е дефинирана;
2. Брой променливи повече бройуравнения. Събираме всички свободни променливи отдясно - получаваме формули за разрешените променливи. Тези формули са записани в отговора.

Това е всичко! Системата от линейни уравнения е решена! Това е доста прост алгоритъм и за да го овладеете, не е необходимо да се свързвате с учител по математика. Помислете за пример:

Задача. Решете системата от уравнения:

Описание на стъпките:

1. Изваждаме първото уравнение от второто и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Второто уравнение умножаваме по (−1) и третото уравнение разделяме на (−3) - получаваме две уравнения, в които променливата x 2 влиза с коефициент 1;
3. Добавяме второто уравнение към първото и изваждаме от третото. Нека получим разрешената променлива x 2 ;
4. Накрая изваждаме третото уравнение от първото - получаваме разрешената променлива x 3 ;
5. Получихме оторизирана система, записваме отговора.

Общо решение ставна системалинейни уравнения е нова система, еквивалентна на оригиналната, в която всички разрешени променливи са изразени чрез свободни.

Когато може да е необходимо общо решение? Ако трябва да направите по-малко стъпкиотколкото k (k е общо колко уравнения). Въпреки това, причините, поради които процесът завършва на някаква стъпка l< k , может быть две:

1. След l -та стъпка получаваме система, която не съдържа уравнение с числото (l + 1). Всъщност това е добре, защото. така или иначе разрешената система се получава - дори няколко стъпки по-рано.
2. След l -тата стъпка се получава уравнение, в което всички коефициенти на променливите са равни на нула, а свободният коефициент е различен от нула. Това е непоследователно уравнение и следователно системата е непоследователна.

Важно е да се разбере, че появата на несъгласувано уравнение по метода на Гаус е достатъчна причина за несъответствие. В същото време отбелязваме, че в резултат на l -та стъпка не могат да останат тривиални уравнения - всички те се изтриват директно в процеса.

Описание на стъпките:

1. Извадете първото уравнение по 4 от второто. И също така добавете първото уравнение към третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Изваждаме третото уравнение, умножено по 2, от второто - получаваме противоречивото уравнение 0 = −5.

И така, системата е непоследователна, тъй като е намерено несъгласувано уравнение.

Задача. Проучете съвместимостта и намерете общото решение на системата:

Описание на стъпките:

1. Изваждаме първото уравнение от второто (след умножаване по две) и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Извадете второто уравнение от третото. Тъй като всички коефициенти в тези уравнения са еднакви, третото уравнение става тривиално. В същото време умножаваме второто уравнение по (−1);
3. Изваждаме второто уравнение от първото уравнение - получаваме разрешената променлива x 2. Цялата система от уравнения сега също е разрешена;
4. Тъй като променливите x 3 и x 4 са свободни, ние ги преместваме надясно, за да изразим разрешените променливи. Това е отговорът.

И така, системата е съвместна и неопределена, тъй като има две разрешени променливи (x 1 и x 2) и две свободни (x 3 и x 4).

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо, на х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, тогава x2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на движението напред на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение се изчислява xn-1, и така нататък, от първото уравнение се намира х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, до n-тидобавете първото уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто умножено по към третото уравнение на системата, добавете второто умножено по към четвъртото уравнение и така нататък, до n-тидобавете второто уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така че променливата x2изключени от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното х 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като , използвайки получената стойност x nнамирам xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.