ЕлементарноСледните матрични трансформации се наричат:

1) пермутация на всеки два реда (или колони),

2) умножаване на ред (или колона) с различно от нула число,

3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножен по някакво число.

Двете матрици се наричат еквивалентен, ако едното от тях се получава от другото с помощта на краен набор от елементарни трансформации.

Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но ранговете им са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, тогава това се записва като: A ~ B.

КанониченМатрицата е матрица, която има няколко единици подред в началото на главния диагонал (числото на които може да е нула), а всички останали елементи са равни на нула, например,

С помощта на елементарни трансформации на редове и колони всяка матрица може да бъде сведена до канонична. Рангът на каноничната матрица е равен на броя единици на нейния главен диагонал.

Пример 2Намерете ранга на матрица

А=

и го приведе в каноничен вид.

Решение.Извадете първия ред от втория ред и пренаредете тези редове:

.

Сега от втория и третия ред извадете първия, умножен съответно по 2 и 5:

;

извадете първия от третия ред; получаваме матрицата

B = ,

което е еквивалентно на матрицата A, тъй като се получава от нея чрез краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрица B е 2 и следователно r(A)=2. Матрицата B може лесно да се сведе до каноничната. Изваждайки първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по съответните числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:

.

Теорема на Кронекер - Капели- критерий за съвместимост на системата от линейни алгебрични уравнения:

Да се линейна системае последователна, е необходимо и достатъчно рангът на разширената матрица на тази система да бъде равен на ранга на основната й матрица.

Доказателство (условия за съвместимост на системата)

Трябва

Позволявам системастава. Тогава има такива числа, че . Следователно колоната е линейна комбинация от колоните на матрицата. От факта, че рангът на една матрица няма да се промени, ако се изтрие системата от нейните редове (колони) или се присвои ред (колона), който е линейна комбинация от други редове (колони), следва, че .

Адекватност

Позволявам . Нека вземем някакъв основен минор в матрицата. Тъй като , тогава той също ще бъде базисният минор на матрицата . Тогава, съгласно теоремата за основата незначителен, последната колона на матрицата ще бъде линейна комбинация от базовите колони, т.е. колоните на матрицата . Следователно колоната от свободни членове на системата е линейна комбинация от колоните на матрицата.

Последствия

Брой на основните променливи системиравен на ранга на системата.

Става системаще бъде определено (нейното решението е уникално), ако рангът на системата е равен на броя на всички нейни променливи.

Хомогенна система от уравнения

Изречение15 . 2 Хомогенна система от уравнения

винаги е в сътрудничество.

Доказателство. За тази система наборът от числа , , , е решение.

В този раздел ще използваме матричната нотация на системата: .

Изречение15 . 3 Сумата от решенията на хомогенна система от линейни уравнения е решение на тази система. Решение, умножено по число, също е решение.

Доказателство. Нека и служат като решения на системата. Тогава и . Позволявам . Тогава

Тъй като , тогава е решение.

Нека е произволно число, . Тогава

Тъй като , тогава е решение.

Последица15 . 1 Ако хомогенна система линейни уравненияима ненулево решение, то има безкрайно много различни решения.

Наистина, умножавайки ненулево решение по различни числа, ще получим различни решения.

Определение15 . 5 Ще кажем, че решенията системна форма фундаментална система за вземане на решенияако колоните образуват линейно независима система и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези колони.

За да изчислите ранга на матрица, можете да приложите метода на граничещите минори или метода на Гаус. Помислете за метода на Гаус или метода на елементарните трансформации.

Рангът на матрицата е максималният ред на нейните второстепенни, сред които има поне един, който не е равен на нула.

Рангът на система от редове (колони) се нарича максимална сумалинейно независими редове (колони) на тази система.

Алгоритъмът за намиране на ранга на матрица чрез метода на очертаване на второстепенни:

1. Незначителен Мредът не е нула.
2. Ако ресни непълнолетни за непълнолетни М (k+1)-таред, е невъзможно да се състави (т.е. матрицата съдържа клинии или кколони), тогава рангът на матрицата е к. Ако граничещите минори съществуват и всички са нула, тогава рангът е k. Ако сред граничещите минори има поне един, който не е равен на нула, тогава се опитваме да съставим нов минор k+2и т.н.

Нека анализираме алгоритъма по-подробно. Първо, разгледайте минорите от първи ред (матрични елементи) на матрицата А. Ако всички са нула, тогава ранг A = 0. Ако има минори от първи ред (матрични елементи), които не са равни на нула M1 ≠ 0, след това ранга ранг A ≥ 1.

M1. Ако има такива непълнолетни, то те ще са непълнолетни от втори ред. Ако всички минори граничат с минора M1тогава са равни на нула ранг A = 1. Ако има поне един минор от втори ред, който не е равен на нула M2 ≠ 0, след това ранга ранг A ≥ 2.

Проверете дали има граничещи непълнолетни за непълнолетния М2. Ако има такива непълнолетни, то те ще са непълнолетни от трети разред. Ако всички минори граничат с минора М2тогава са равни на нула ранг A = 2. Ако има поне един минор от трети ред, който не е равен на нула M3 ≠ 0, след това ранга ранг A ≥ 3.

Проверете дали има граничещи непълнолетни за непълнолетния М3. Ако има такива малолетни, то те ще са малолетни от четвърти разряд. Ако всички минори граничат с минора М3тогава са равни на нула ранг A = 3. Ако има поне един минор от четвърти ред, който не е равен на нула M4 ≠ 0, след това ранга ранг A ≥ 4.

Проверка дали има граничен минор за непълнолетен M4, и така нататък. Алгоритъмът спира, ако на даден етап граничещите минори са равни на нула или граничещият минор не може да бъде получен (няма редове или колони в матрицата). Редът на ненулев минор, който успяхме да съставим, ще бъде рангът на матрицата.

Пример

Обмисли този методНапример. Дадена е матрица 4x5:

Тази матрица не може да има ранг по-голям от 4. Освен това тази матрица има ненулеви елементи (минор от първи ред), което означава, че рангът на матрицата е ≥ 1.

Да направим минор 2-ропоръчка. Да започнем от ъгъла.

Тъй като детерминантата е равна на нула, съставяме друг минор.

Намерете детерминанта на този минор.

Определете дадения минор е -2 . И така, рангът на матрицата ≥ 2 .

Ако този минор беше равен на 0, тогава ще бъдат добавени други минори. До последно всички непълнолетни щяха да бъдат изтеглени на 1 и 2 ред. След това на редове 1 и 3, на редове 2 и 3, на редове 2 и 4, докато намерят минор, неравен на 0, например:

Ако всички минори от втори ред са 0, тогава рангът на матрицата ще бъде 1. Решението може да бъде спряно.

3-топоръчка.

Малката се оказа, че не е нула. означава ранга на матрицата ≥ 3 .

Ако този минор беше нула, тогава трябваше да се съставят други минори. Например:

Ако всички минори от трети ред са 0, тогава рангът на матрицата ще бъде 2. Решението може да бъде спряно.

Продължаваме да търсим ранга на матрица. Да направим минор 4-типоръчка.

Нека намерим детерминанта на този минор.

Определителят на минор се оказа равен 0 . Нека изградим още един минор.

Нека намерим детерминанта на този минор.

Минорът се оказа равен 0 .

Изградете непълнолетен 5-тиред няма да работи, няма ред в тази матрица за това. Последният ненулев минор беше 3-торед, така че рангът на матрицата е 3 .

>> Ранг на матрицата

Ранг на матрицата

Определяне на ранга на матрица

Обмисли правоъгълна матрица. Ако в тази матрица изберем произволно клинии и кколони, тогава елементите в пресечната точка на избраните редове и колони образуват квадратна матрица от k-ти ред. Детерминантата на тази матрица се нарича k-ти ред минорматрица A. Очевидно матрицата A има минори от произволен ред от 1 до най-малкото от числата m и n. Сред всички ненулеви минори на матрицата A има понеедин второстепенен, чийто ред ще бъде най-големият. Нарича се най-големият от ненулевите редове на минорите на дадена матрица рангматрици. Ако рангът на матрица А е r, тогава това означава, че матрицата A има ненулев минор от ред r, но всеки минор от порядък по-голям от r, е равно на нула. Рангът на матрица A се означава с r(A). Очевидно е, че връзката

Изчисляване на ранга на матрица с помощта на минори

Рангът на матрицата се намира или чрез граниченето на второстепенни, или чрез метода на елементарни трансформации. Когато се изчислява ранга на матрица по първия начин, трябва да се премине от минори от по-нисък ред към минори от по-висок висок ред. Ако ненулев минор D от k-ти ред на матрицата A вече е намерен, тогава трябва да се изчислят само (k + 1)-ти ред минори, граничещи с минор D, т.е. съдържащ го като второстепенен. Ако всички те са нула, тогава рангът на матрицата е к.

Пример 1Намерете ранга на матрица по метода на граничещите второстепенни

.

Решение.Започваме с минори от 1-ви ред, т.е. от елементите на матрицата A. Да изберем например минорния (елемент) М 1 = 1, намиращ се в първия ред и първата колона. Ограничавайки с помощта на втория ред и третата колона, получаваме минора M 2 = , който е различен от нула. Сега се обръщаме към минори от 3-ти ред, граничещи с M 2 . Има само две от тях (можете да добавите втора колона или четвърта). Ние ги изчисляваме: = 0. Така всички граничещи минори от трети ред се оказват равни на нула. Рангът на матрица A е две.

Изчисляване на ранга на матрица чрез елементарни трансформации

ЕлементарноСледните матрични трансформации се наричат:

1) пермутация на всеки два реда (или колони),

2) умножаване на ред (или колона) с различно от нула число,

3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножен по някакво число.

Двете матрици се наричат еквивалентен, ако едното от тях се получава от другото с помощта на краен набор от елементарни трансформации.

Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но ранговете им са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, това се записва по следния начин: A~б.

КанониченМатрицата е матрица, която има няколко единици подред в началото на главния диагонал (числото на които може да е нула), а всички останали елементи са равни на нула, например,

.

С помощта на елементарни трансформации на редове и колони всяка матрица може да бъде сведена до канонична. Рангът на каноничната матрица е равен на броя единици на нейния главен диагонал.

Пример 2Намерете ранга на матрица

А=

и го приведе в каноничен вид.

Решение.Извадете първия ред от втория ред и пренаредете тези редове:

.

Сега от втория и третия ред извадете първия, умножен съответно по 2 и 5:

;

извадете първия от третия ред; получаваме матрицата

B = ,

което е еквивалентно на матрицата A, тъй като се получава от нея чрез краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрица B е 2 и следователно r(A)=2. Матрицата B може лесно да се сведе до каноничната. Изваждайки първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по съответните числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:

.

Определение. Ранг на матрицатае максималният брой линейно независими редове, считани за вектори.

Теорема 1 за ранга на матрица. Ранг на матрицатае максималният ред на ненулев минор на матрица.

Вече обсъдихме понятието минор в урока за детерминантите и сега ще го обобщим. Нека вземем няколко реда и няколко колони в матрицата и това „нещо“ трябва да е по-малко от броя на редовете и колоните на матрицата, а за редовете и колоните това „нещо“ трябва да е същият брой. Тогава в пресечната точка на колко реда и колко колони ще има матрица с по-малък порядък от оригиналната ни матрица. Детерминантата на тази матрица ще бъде минор от k-ти порядък, ако споменатото "нещо" (броят редове и колони) се означи с k.

Определение.Незначителен ( r+1)-ти ред, вътре в който е избраният минор r-ти ред, се нарича граничен за дадения минор.

Двата най-често използвани метода намиране на ранга на матрица. то начин на ресни непълнолетнии метод на елементарни трансформации(по метода на Гаус).

Методът на гранични второстепенни използва следната теорема.

Теорема 2 за ранга на матрица.Ако е възможно да се състави минор от елементите на матрицата rти ред, който не е равен на нула, тогава рангът на матрицата е равен на r.

С метода на елементарните трансформации се използва следното свойство:

Ако чрез елементарни преобразувания се получи еквивалентна на оригиналната трапецовидна матрица, то ранга на тази матрицае броят на редовете в него, с изключение на редовете, състоящи се изцяло от нули.

Намиране на ранга на матрица по метода на граничещите минори

Граничен минор е минор от по-висок порядък по отношение на дадения, ако този минор от по-висок порядък съдържа дадения минор.

Например, като се има предвид матрицата

Да вземем непълнолетен

кантиране ще бъдат такива непълнолетни:

Алгоритъм за намиране ранга на матрицаследващия.

1. Намираме минори от втори ред, които не са равни на нула. Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на едно ( r =1 ).

2. Ако съществува поне един минор от втори ред, който не е равен на нула, тогава съставяме граничещи минори от трети ред. Ако всички граничещи минори от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е две ( r =2 ).

3. Ако поне един от граничещите минори от трети ред не е равен на нула, то съставяме граничещите с него минори. Ако всички граничещи минори от четвърти ред са нула, тогава рангът на матрицата е три ( r =2 ).

4. Продължете, докато размерът на матрицата позволява.

Пример 1Намерете ранга на матрица

.

Решение. Минор от втори ред .

Ние го рамкираме. Ще има четири граничещи непълнолетни:

,

,

По този начин всички гранични второстепенни лица от трети ред са равни на нула, следователно рангът на тази матрица е две ( r =2 ).

Пример 2Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е 1, тъй като всички минори от втори ред на тази матрица са равни на нула (в това, както в случаите на граничещи минори в следващите два примера, скъпи ученици са поканени да проверят сами, може би използвайки правилата за изчисляване на детерминантите), а сред второстепенните от първи ред, тоест сред елементите на матрицата, няма равни на нула.

Пример 3Намерете ранга на матрица

Решение. Минорът от втори ред на тази матрица е и всички минори от трети ред на тази матрица са нула. Следователно рангът на тази матрица е две.

Пример 4Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е 3, защото единственият минор от трети ред на тази матрица е 3.

Намиране на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации (по метода на Гаус)

Още в пример 1 може да се види, че проблемът за определяне на ранга на матрица чрез метода на граничещи второстепенни изисква изчислението Голям бройдетерминанти. Има обаче начин да намалите обема на изчисленията до минимум. Този метод се основава на използването на елементарни матрични трансформации и се нарича още метод на Гаус.

Под елементарни трансформацииматрици се разбират следните операции:

1) умножение на всеки ред или всяка колона от матрицата с число, различно от нула;

2) добавяне към елементите на всеки ред или колона на матрицата на съответните елементи на друг ред или колона, умножени по същото число;

3) размяна на два реда или колони на матрица;

4) премахване на "нулеви" редове, т.е. тези, чиито всички елементи са равни на нула;

5) изтриване на всички пропорционални линии, с изключение на една.

Теорема.Елементарното преобразуване не променя ранга на матрицата. С други думи, ако използваме елементарни трансформации от матрицата Аотидете на матрицата б, тогава .