Често само споменаване диференциални уравнениякара учениците да се чувстват неудобно. Защо се случва това? Най-често, защото при изучаването на основите на материала възниква празнина в знанията, поради което по-нататъшното изучаване на дифури става просто мъчение. Нищо не е ясно какво да правя, как да реша откъде да започна?

Ние обаче ще се опитаме да ви покажем, че difurs не е толкова трудно, колкото изглежда.

Основни понятия от теорията на диференциалните уравнения

От училище знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерим неизвестното x. Всъщност диференциални уравнениясамо малко по-различен от тях - вместо променлива х те трябва да намерят функция y(x) , което ще превърне уравнението в идентичност.

д диференциални уравненияимат голямо практическо значение. Това не е абстрактна математика, която няма нищо общо със света около нас. С помощта на диференциални уравнения се описват много реални природни процеси. Например вибрациите на струните, движението на хармоничен осцилатор, с помощта на диференциални уравнения в задачите на механиката намират скоростта и ускорението на тялото. Също DUнамират широко приложение в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (DU) е уравнение, съдържащо производните на функцията y(x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения от първи и по-висок ред, частични диференциални уравнения и т.н.

Решението на диференциално уравнение е функция, която го превръща в идентичност. Има общи и специални решения за дистанционно управление.

Общото решение на диференциалното уравнение е общото множество от решения, които превръщат уравнението в идентичност. Конкретно решение на диференциално уравнение е решение, което отговаря на допълнителни условия, определени първоначално.

Определя се редът на диференциалното уравнение най-висок порядъкпроизводни, включени в него.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравненияса уравнения, съдържащи една независима променлива.

Разгледайте най-простото обикновено диференциално уравнение от първи ред. Изглежда като:

Това уравнение може да бъде решено чрез просто интегриране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Уравнения с разделими променливи

Най-общо този тип уравнение изглежда така:

Ето един пример:

Решавайки такова уравнение, трябва да разделите променливите, като ги приведете във формата:

След това остава да интегрираме двете части и да получим решение.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Такива уравнения приемат формата:

Тук p(x) и q(x) са някои функции на независимата променлива, а y=y(x) е търсената функция. Ето пример за такова уравнение:

Решавайки такова уравнение, най-често използват метода на вариация на произволна константа или представят желаната функция като произведение на две други функции y(x)=u(x)v(x).

За решаването на такива уравнения е необходима определена подготовка и ще бъде доста трудно да ги вземете „на прищявка“.

Пример за решаване на DE с разделими променливи

Така че разгледахме най-простите видове дистанционно управление. Сега нека да разгледаме един от тях. Нека е уравнение с разделими променливи.

Първо, пренаписваме производната в по-позната форма:

След това ще разделим променливите, тоест в едната част на уравнението ще съберем всички „игри“, а в другата - „xes“:

Сега остава да интегрираме и двете части:

Ние интегрираме и получаваме общото решение на това уравнение:

Разбира се, решаването на диференциални уравнения е вид изкуство. Трябва да можете да разберете към какъв тип принадлежи дадено уравнение и също така да се научите да виждате какви трансформации трябва да направите с него, за да го доведете до една или друга форма, да не говорим само за способността да диференцирате и интегрирате. И е необходима практика (както с всичко), за да успеете да решите DE. И ако в момента нямате време да разберете как се решават диференциалните уравнения или проблемът на Коши се е надигнал като кост в гърлото ви или не знаете, свържете се с нашите автори. В кратки срокове ще Ви предоставим готово и детайлно решение, с чиито подробности можете да се запознаете по всяко удобно за Вас време. Междувременно предлагаме да гледате видеоклип на тема "Как да решаваме диференциални уравнения":

Диференциални уравнениявтори ред и по-високи редове.
Линеен DE от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.

Преминаваме към разглеждането на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-високи редове. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на решение и основни понятия на диференциите от първи ред автоматично се разширяват до диференциални уравнения от по-висок ред, така че много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.

Много читатели може да имат предубеждение, че DE от 2-ри, 3-ти и други разряди е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това не е вярно . Да се ​​научите да решавате дифузи от по-висок ред едва ли е по-трудно от „обикновените“ DE от 1-ви ред. А на места е дори по-лесно, тъй като материалът от училищната програма се използва активно в решенията.

Най - известен диференциални уравнения от втори ред. В диференциално уравнение от втори ред непременновключва втората производна и които не са включени

Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:

Диференциални уравнения трети редв практическите задачи се срещат много по-рядко, по мои субективни наблюдения в Държавна думаще получат около 3-4% от гласовете.

В диференциално уравнение от трети ред непременновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:

Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: - татко е вкъщи, всички деца са на разходка.

По подобен начин могат да се дефинират диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. AT практически задачитакова дистанционно управление се изплъзва изключително рядко, но ще се опитам да дам подходящи примери.

Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.

1) Първата група – т.нар уравнения от по-нисък ред. Влетете!

2) Втората група - линейни уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.

Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти

В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения - хомогенно уравнениеи нехомогенно уравнение.

Хомогенна DE от втори ред с постоянни коефициентиима следната форма:
, където и са константи (числа), а от дясната страна - строгонула.

Както можете да видите, няма специални трудности с хомогенни уравнения, основното е това реши правилно квадратно уравнение .

Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата , където при втората производна има някаква константа , различна от единица (и, разбира се, различна от нула). Алгоритъмът за решение изобщо не се променя, трябва спокойно да съставите характеристичното уравнение и да намерите неговите корени. Ако характеристичното уравнение ще има два различни реални корена, например: , тогава общото решение може да бъде написано по обичайния начин: .

В някои случаи, поради печатна грешка в условието, могат да се окажат „лоши“ корени, нещо подобно . Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:

С "лоши" спрегнати сложни корени като също няма проблем, общо решение:

Това е, общо решение съществува във всеки случай. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.

В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:

Линейни хомогенни уравнения от по-висок ред

Всичко е много, много подобно.

Линейното хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За това уравнение също трябва да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така:
, и то така или иначеТо има точно трикорен.

Нека, например, всички корени са реални и различни: , тогава общото решение може да се запише по следния начин:

Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:

Специален случай е, когато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Общо решениенапиши така:

Ако характеристичното уравнение има, например, три кратни корена, тогава общото решение съответно е:

Пример 9

Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред

Решение:Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

, - получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.

Отговор:общо решение

По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.

Уравнения, решавани чрез директно интегриране

Разгледайте диференциално уравнение със следната форма:
.
Интегрираме n пъти.
;
;
и така нататък. Можете също да използвате формулата:
.
Вижте директно решени диференциални уравнения интеграция >>>

Уравнения, които не съдържат изрично зависимата променлива y

Заместването води до намаляване на реда на уравнението с единица. Ето една функция на .
Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, които не съдържат изрична функция > > >

Уравнения, които не съдържат изрично независимата променлива x

.
Предполагаме, че това е функция на . Тогава
.
По същия начин за други производни. В резултат редът на уравнението се намалява с единица.
Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, които не съдържат явна променлива > > >

Уравнения, хомогенни по отношение на y, y′, y′′, ...

За да решим това уравнение, правим заместване
,
където е функция от . Тогава
.
По същия начин трансформираме производните и т.н. В резултат редът на уравнението се намалява с единица.
Вижте диференциални уравнения от по-висок ред, хомогенни по отношение на функция и нейните производни > > >

Линейни диференциални уравнения от по-високи редове

Обмисли линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред:
(1) ,
където са функции на независимата променлива. Нека има n линейно независими решения на това уравнение. Тогава общото решение на уравнение (1) има формата:
(2) ,
където са произволни константи. Самите функции формират фундаментална системарешения.
Фундаментална система за вземане на решениялинеен хомогенно уравнение n-ти ред е n линейно независими решения на това уравнение.

Обмисли линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред:
.
Нека има конкретно (всяко) решение на това уравнение. Тогава общото решение изглежда така:
,
където е общото решение на хомогенното уравнение (1).

Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти и техните редукции

Линейни еднородни уравнения с постоянни коефициенти

Това са уравнения от вида:
(3) .
Ето реални числа. За да намерим общо решение на това уравнение, трябва да намерим n линейно независими решения, които образуват фундаментална система от решения. Тогава общото решение се определя по формула (2):
(2) .

Търся решение във формата. Получаваме характеристично уравнение:
(4) .

Ако това уравнение има различни корени, тогава фундаменталната система от решения има формата:
.

Ако е налична сложен корен
,
тогава има и комплексно спрегнат корен . Тези два корена съответстват на решения и , които включваме в основната система вместо интегрирани решенияи .

Множество кореникратности съответстват на линейно независими решения: .

Множество сложни коренимножественостите и техните комплексно спрегнати стойности съответстват на линейно независими решения:
.

Линейни нееднородни уравнения със специална нееднородна част

Обмисли уравнение на формата
,
където са полиноми от степени s 1 и s 2 ; - постоянен.

Първо, търсим общо решение на хомогенното уравнение (3). Ако характеристичното уравнение (4) не съдържа корен, тогава търсим конкретно решение във формата:
,
където
;
;
s - най-голямото от s 1 и s 2 .

Ако характеристичното уравнение (4) има коренмножественост, тогава търсим конкретно решение във формата:
.

След това получаваме общото решение:
.

Линейни нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти

Тук има три възможни решения.

1) Метод на Бернули.
Първо, намираме всяко ненулево решение на хомогенното уравнение
.
След това правим замяна
,
където е функция на променливата x. Получаваме диференциално уравнение за u, което съдържа само производни на u по отношение на x. Като заместим , получаваме уравнението n - 1 -та поръчка.

2) Метод на линейно заместване.
Да направим замяна
,
къде е един от корените характеристично уравнение(четири). В резултат на това получаваме линейно нехомогенно уравнение с постоянни коефициенти на ред. Последователно прилагайки това заместване, ние редуцираме първоначалното уравнение до уравнение от първи ред.

3) Метод на вариация на константите на Лагранж.
При този метод първо решаваме хомогенното уравнение (3). Неговото решение изглежда така:
(2) .
По-нататък приемаме, че константите са функции на променливата x. Тогава решението на първоначалното уравнение има формата:
,
където са неизвестни функции. Замествайки в първоначалното уравнение и налагайки някои ограничения, получаваме уравнения, от които можем да намерим формата на функциите.

Уравнение на Ойлер

То се свежда до линейно уравнение с постоянни коефициенти чрез заместване:
.
Въпреки това, за да се реши уравнението на Ойлер, няма нужда да се прави такова заместване. Веднага може да се търси решение на хомогенно уравнение във формата
.
В резултат на това получаваме същите правила като за уравнение с постоянни коефициенти, в което вместо променлива трябва да заместим .

Препратки:
В.В. Степанов, Курс диференциални уравнения, ЛКИ, 2015г.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

В някои задачи на физиката не може да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но има възможност да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от решаването им, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е изградена по такъв начин, че с нулево разбиране на диференциалните уравнения можете да си вършите работата.

Всеки тип диференциални уравнения е свързан с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способност да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) на различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме ви да се обърнете към раздела.

Първо, разгледайте типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x .

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата .

Нека напишем няколко примера за такива DE .

Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнението , което ще бъде еквивалентно на първоначалното за f(x) ≠ 0 . Примери за такива ODE са.

Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решенияуравнения дадено x са всички функции, дефинирани за стойностите на тези аргументи. Примери за такива диференциални уравнения са.

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LODE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциални уравнения. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LDE с постоянни коефициенти е


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LIDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LODE и конкретно решение на оригинала нехомогенно уравнение, това е, . Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f (x), стояща от дясната страна на първоначалното уравнение, или чрез метода на вариация на произволни константи.

Като примери за LIDE от втори ред с постоянни коефициенти, представяме


Разберете теорията и се запознайте с нея подробни решенияпримери ви предлагаме на страницата на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE).

Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LODE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен интервал е представено от линейна комбинация от две линейно независими отделни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частични решения на този тип диференциално уравнение. Обикновено конкретните решения се избират от следните системи от линейно независими функции:


Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

Пример за LODU е .

Общото решение на LIDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LODE, а е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.

Пример за LNDE е .

Диференциални уравнения от по-висок ред.

Диференциални уравнения, допускащи редукция.

Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

В този случай и първоначалното диференциално уравнение се свежда до . След намиране на нейното решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната става разделимо уравнение и редът му се намалява от третото към първото.

Теория на изчислителната техника нехомогенни диференциални уравнения(DU) няма да даваме в тази публикация, от предишните уроци можете да намерите достатъчно информация, за да намерите отговора на въпроса "Как да решим нехомогенно диференциално уравнение?"Степента на нехомогенна DE не играе голяма роля тук, няма толкова много начини, които позволяват да се изчисли решението на такава DE. За да ви е по-лесно да прочетете отговорите в примерите, основният акцент е само върху техниката на изчисление и съвети, които ще улеснят извеждането на крайната функция.

Пример 1 Решете диференциално уравнение
Решение: Дадено хомогенно диференциално уравнение от трети ред,освен това съдържа само втората и третата производна и няма функция и нейната първа производна. В такива случаи използвайте метода на намаляванедиференциално уравнение. За целта се въвежда параметър - означаваме втората производна чрез параметъра p

тогава третата производна на функцията е

Оригиналният хомогенен DE ще бъде опростен до формата

Тогава го записваме в диференциали редуцирайте до уравнение с отделена променливаи намерете решението чрез интегриране

Не забравяйте, че параметърът е втората производна на функцията

следователно, за да намерим формулата на самата функция, ние интегрираме намерената диференциална зависимост два пъти

Във функцията старите C 1 , C 2 , C 3 са равни на произволни стойности.
Ето как изглежда веригата намерете общото решение на хомогенно диференциално уравнение чрез въвеждане на параметър.Следните задачи са по-трудни и от тях ще научите как да решавате нехомогенни диференциални уравнения от трети ред. Има известна разлика между хомогенните и нехомогенните DE по отношение на изчисленията, ще видите това сега.

Пример 2 намирам
Решение: Имаме трета поръчка. Следователно неговото решение трябва да се търси под формата на сумата от две - решения на еднородното и частни решения на нехомогенното уравнение

Първо да решим

Както можете да видите, той съдържа само второто и третото производни на функцията и не съдържа самата функция. Този вид диф. уравненията се решават по метода на въвеждане на параметър, който вна свой ред намалява и опростява намирането на решението на уравнението. На практика това изглежда така: нека втората производна е равна на определена функция, тогава третата производна формално ще има нотацията

Разглежданият хомогенен DE от 3-ти ред се трансформира в уравнение от първи ред

откъдето, разделяйки променливите, намираме интеграла
x*dp-p*dx=0;

Препоръчваме да номерирате тези, които са станали в такива проблеми, тъй като решението на диференциално уравнение от 3-ти ред има 3 константи, четвъртото - 4 и по-нататък по аналогия. Сега се връщаме към въведения параметър: тъй като втората производна има формата, интегрирайки я, след като имаме зависимост за производната на функцията

и чрез многократно интегриране намираме обща формахомогенна функция

Частично решение на уравнениетозапишете като променлива, умножена по логаритъм. Това следва от факта, че дясната (нехомогенна) част на DE е равна на -1/x и за да се получи еквивалентна нотация

решението трябва да се търси във формата

Намерете коефициента A , за това изчисляваме производните от първи и втори ред

Заместваме намерените изрази в оригиналното диференциално уравнение и приравняваме коефициентите при същите степени на x:

Стоманата е равна на -1/2 и има формата

Общо решение на диференциално уравнениезапишете като сбор от намерените

където C 1 , C 2 , C 3 са произволни константи, които могат да бъдат прецизирани от проблема на Коши.

Пример 3 Намерете DE интеграла от трети ред
Решение: Търсим общ интеграл на нехомогенно DE от трети ред под формата на сбор от решението на еднородно и частично нехомогенно уравнение. Първо, започваме за всеки тип уравнения анализира хомогенно диференциално уравнение

Той съдържа само втората и третата производна на неизвестната досега функция. Въвеждаме промяна на променливи (параметър): обозначаваме втората производна

Тогава третата производна е

Същите трансформации бяха извършени и в предишната задача. Това позволява редуцирайте диференциално уравнение от трети ред до уравнение от първи ред от формата

Чрез интегриране намираме

Спомнете си, че според промяната на променливите това е само втората производна

и за да се намери решение на хомогенно диференциално уравнение от трети ред, то трябва да бъде интегрирано два пъти

Въз основа на типа на дясната страна (нехомогенна част =x+1), частично решение на уравнението се търси във вида

Как да разберете в каква форма да търсите частично решение Трябва да сте научили в теоретичната част на курса по диференциални уравнения. Ако не, тогава можем само да предложим какъв вид функция е избран такъв израз, така че при заместване в уравнението членът, съдържащ най-високата производна или по-малката, да е от същия ред (подобен) с нехомогенната част на уравнението

Мисля, че сега ви е по-ясно откъде идва формата на дадено решение. Намерете коефициентите A, B, за това изчисляваме втората и третата производна на функцията

и заместваме в диференциалното уравнение. След групиране на подобни термини, получаваме линейно уравнение

от което за равни степени на променливата съставете система от уравнения

и намиране на непознати стомани. След тяхното заместване се изразява чрез зависимостта

Общо решение на диференциално уравнениее равна на сумата от хомогенни и частични и има формата

където C1, C2, C3 са произволни константи.

Пример 4. Р ям диференциално уравнение
Решение: Имаме решението, на което ще намерим чрез сбора. Знаете схемата за изчисление, така че нека да преминем към разглеждането хомогенно диференциално уравнение

По стандартния метод въведете параметъра
Първоначалното диференциално уравнение ще приеме формата , от което, разделяйки променливите, намираме

Не забравяйте, че параметърът е равен на втората производна
Интегрирайки DE, получаваме първата производна на функцията

Реинтеграция намираме общия интеграл на хомогенното диференциално уравнение

Търсим частично решение на уравнението във формата, тъй като дясната страна е равна на
Нека намерим коефициента A - за това заместваме y* в диференциалното уравнение и приравняваме коефициента при същите степени на променливата

След заместване и групиране на членовете получаваме зависимостта

от които стоманата е равна на A=8/3.
Така можем да пишем частично решение на DE

Общо решение на диференциално уравнениеравно на намерената сума

където C1, C2, C3 са произволни константи. Ако е дадено условието на Коши, те могат много лесно да бъдат разширени.

Вярвам, че материалът ще ви бъде полезен при подготовката за практическо обучение, модули или контролна работа. Проблемът на Коши не е анализиран тук, но от предишните уроци като цяло знаете как да го направите.