Теория на изчислителната техника нехомогенни диференциални уравнения(DU) няма да даваме в тази публикация, от предишните уроци можете да намерите достатъчно информация, за да намерите отговора на въпроса "Как да решим нехомогенно диференциално уравнение?"Степента на нехомогенна DE не играе голяма роля тук, няма толкова много начини, които позволяват да се изчисли решението на такава DE. За да ви е по-лесно да прочетете отговорите в примерите, основният акцент е само върху техниката на изчисление и съвети, които ще улеснят извеждането на крайната функция.

Пример 1 Решете диференциално уравнение
Решение: Дадено хомогенно диференциално уравнение трети ред, освен това съдържа само втората и третата производна и няма функция и нейната първа производна. В такива случаи използвайте метода на намаляванедиференциално уравнение. За целта се въвежда параметър - означаваме втората производна чрез параметъра p

тогава третата производна на функцията е

Оригиналният хомогенен DE ще бъде опростен до формата

Тогава го записваме в диференциали редуцирайте до уравнение с отделена променливаи намерете решението чрез интегриране

Не забравяйте, че параметърът е втората производна на функцията

следователно, за да намерим формулата на самата функция, ние интегрираме намерената диференциална зависимост два пъти

Във функцията старите C 1 , C 2 , C 3 са равни на произволни стойности.
Ето как изглежда веригата намирам общо решениехомогенно диференциално уравнение по метода на въвеждане на параметър.Следните задачи са по-трудни и от тях ще научите как да решавате нехомогенни диференциални уравнения от трети ред. Има известна разлика между хомогенните и нехомогенните DE по отношение на изчисленията, ще видите това сега.

Пример 2 намирам
Решение: Имаме трета поръчка. Следователно неговото решение трябва да се търси под формата на сумата от две - решението на хомогенно и частно решение нехомогенно уравнение

Първо да решим

Както можете да видите, той съдържа само второто и третото производни на функцията и не съдържа самата функция. Този вид диф. уравненията се решават по метода на въвеждане на параметър, който вна свой ред намалява и опростява намирането на решението на уравнението. На практика това изглежда така: нека втората производна е равна на определена функция, тогава третата производна формално ще има нотацията

Разглежданият хомогенен DE от 3-ти ред се трансформира в уравнение от първи ред

откъдето, разделяйки променливите, намираме интеграла
x*dp-p*dx=0;

Препоръчваме да номерирате тези, които са станали в такива проблеми, тъй като решението на диференциално уравнение от 3-ти ред има 3 константи, четвъртото - 4 и по-нататък по аналогия. Сега се връщаме към въведения параметър: тъй като втората производна има формата, интегрирайки я, след като имаме зависимост за производната на функцията

и чрез многократно интегриране намираме общ изглед на хомогенна функция

Частично решение на уравнениетозапишете като променлива, умножена по логаритъм. Това следва от факта, че дясната (нехомогенна) част на DE е равна на -1/x и за да се получи еквивалентна нотация

решението трябва да се търси във формата

Намерете коефициента A , за това изчисляваме производните от първи и втори ред

Заместваме намерените изрази в оригиналното диференциално уравнение и приравняваме коефициентите при същите степени на x:

Стоманата е равна на -1/2 и има формата

Общо решение на диференциално уравнениезапишете като сбор от намерените

където C 1 , C 2 , C 3 са произволни константи, които могат да бъдат прецизирани от проблема на Коши.

Пример 3 Намерете DE интеграла от трети ред
Решение: Търсим общ интеграл на нехомогенно DE от трети ред под формата на сбор от решението на еднородно и частично нехомогенно уравнение. Първо, започваме за всеки тип уравнения анализира хомогенно диференциално уравнение

Той съдържа само втората и третата производна на неизвестната досега функция. Въвеждаме промяна на променливи (параметър): обозначаваме втората производна

Тогава третата производна е

Същите трансформации бяха извършени и в предишната задача. Това позволява редуцирайте диференциално уравнение от трети ред до уравнение от първи ред от формата

Чрез интегриране намираме

Спомнете си, че според промяната на променливите това е само втората производна

и за да се намери решение на хомогенно диференциално уравнение от трети ред, то трябва да бъде интегрирано два пъти

Въз основа на типа на дясната страна (нехомогенна част =x+1), частично решение на уравнението се търси във вида

Как да разберете в каква форма да търсите частично решение Трябва да сте научили в теоретичната част на курса по диференциални уравнения. Ако не, тогава можем само да предложим какъв вид функция е избран такъв израз, така че при заместване в уравнението членът, съдържащ най-високата производна или по-малката, да е от същия ред (подобен) с разнородна частуравнения

Мисля, че сега ви е по-ясно откъде идва формата на дадено решение. Намерете коефициентите A, B, за това изчисляваме втората и третата производна на функцията

и заместваме в диференциалното уравнение. След групиране на подобни членове, получаваме линейното уравнение

от което за равни степени на променливата съставете система от уравнения

и намиране на непознати стомани. След тяхното заместване се изразява чрез зависимостта

Общо решение на диференциално уравнениее равна на сумата от хомогенни и частични и има формата

където C1, C2, C3 са произволни константи.

Пример 4. Р ям диференциално уравнение
Решение: Имаме решението, на което ще намерим чрез сбора. Знаете схемата за изчисление, така че нека да преминем към разглеждането хомогенно диференциално уравнение

По стандартния метод въведете параметъра
Първоначалното диференциално уравнение ще приеме формата , от което, разделяйки променливите, намираме

Не забравяйте, че параметърът е равен на втората производна
Интегрирайки DE, получаваме първата производна на функцията

Реинтеграция намираме общия интеграл на хомогенното диференциално уравнение

Търсим частично решение на уравнението във формата, тъй като дясната страна е равна на
Нека намерим коефициента A - за това заместваме y* в диференциалното уравнение и приравняваме коефициента при същите степени на променливата

След заместване и групиране на членовете получаваме зависимостта

от които стоманата е равна на A=8/3.
Така можем да пишем частично решение на DE

Общо решение на диференциално уравнениеравно на намерената сума

където C1, C2, C3 са произволни константи. Ако е дадено условието на Коши, те могат много лесно да бъдат разширени.

Вярвам, че материалът ще ви бъде полезен при подготовката за практическо обучение, модули или контролна работа. Проблемът на Коши не е анализиран тук, но от предишните уроци като цяло знаете как да го направите.

Диференциални уравнениявтори ред и по-високи редове.
Линеен DE от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.

Преминаваме към разглеждането на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-високи редове. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на решение и основни понятия на диференциите от първи ред автоматично се разширяват до диференциални уравнения от по-висок ред, така че много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.

Много читатели може да имат предубеждение, че DE от 2-ри, 3-ти и други разряди е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това не е вярно . Научете се да решавате дифузи по-висок редедва ли по-сложно от "обикновените" DE от 1-ви ред. А на места е дори по-лесно, тъй като материалът от училищната програма се използва активно в решенията.

Най - известен диференциални уравнения от втори ред. В диференциално уравнение от втори ред непременновключва втората производна и които не са включени

Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:

Диференциалните уравнения от трети ред в практически задачи се срещат много по-рядко, според моите субективни наблюдения в Държавна думаще получат около 3-4% от гласовете.

В диференциално уравнение от трети ред непременновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:

Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: - татко е вкъщи, всички деца са на разходка.

По подобен начин могат да се дефинират диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. AT практически задачитакова дистанционно управление се изплъзва изключително рядко, но ще се опитам да дам подходящи примери.

Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.

1) Първата група – т.нар уравнения от по-нисък ред. Влетете!

2) Втората група - линейни уравненияпо-високи порядки с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.

Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти

В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения - хомогенно уравнение и нехомогенно уравнение.

Хомогенна DE от втори ред с постоянни коефициентиима следната форма:
, където и са константи (числа), а от дясната страна - строгонула.

Както можете да видите, няма специални трудности с хомогенни уравнения, основното е това реши правилно квадратно уравнение .

Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата , където при втората производна има някаква константа , различна от единица (и, разбира се, различна от нула). Алгоритъмът за решение не се променя изобщо, трябва спокойно да композирате характеристично уравнениеи намерете корените му. Ако характеристичното уравнение ще има два различни реални корена, например: , тогава общото решение може да бъде написано по обичайния начин: .

В някои случаи, поради печатна грешка в условието, могат да се окажат „лоши“ корени, нещо подобно . Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:

С "лоши" спрегнати сложни корени като също няма проблем, общо решение:

Това е, общо решение съществува във всеки случай. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.

В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:

Линейни хомогенни уравнения от по-висок ред

Всичко е много, много подобно.

Линейното хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За това уравнение също трябва да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така:
, и то така или иначеТо има точно трикорен.

Нека, например, всички корени са реални и различни: , тогава общото решение може да се запише по следния начин:

Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:

Специален случай е, когато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Записваме общото решение, както следва:

Ако характеристичното уравнение има, например, три кратни корена, тогава общото решение съответно е:

Пример 9

Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред

Решение:Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

, - получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.

Отговор:общо решение

По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.

Диференциални уравнения от по-висок ред

Основна терминология на диференциалните уравнения от по-висок ред (DE VP).

Уравнение от формата , където н >1 (2)

се нарича диференциално уравнение от по-висок ред, т.е. н-та поръчка.

Домейн на дефиниране на дистанционно управление, нредът е площта.

Този курс ще се занимава със следните видове контрол на въздушното пространство:

Проблемът на Коши за VP:

Нека дадено DU,
и начални условия n/a: числа .

Изисква се да се намери непрекъсната и n пъти диференцируема функция
:

1)
е решението на дадения DE на , т.е.
;

2) удовлетворява зададените начални условия: .

За DE от втори ред геометричната интерпретация на решението на задачата е следната: търси се интегрална крива, която минава през т. (х 0 , г 0 ) и допирателна към права с наклон к = г 0 ́ .

Теорема за съществуване и уникалност(решения на проблема на Коши за DE (2)):

ако 1)
непрекъснато (в съвкупност (н+1) аргументи) в района
; 2)
непрекъснато (по набор от аргументи
) в , тогава ! решение на задачата на Коши за DE, което отговаря на дадените начални условия n/s: .

Регионът се нарича регион на уникалност на DE.

Общото решение на DP VP (2) – н - параметричнифункция,
, където
– произволни константи, отговарящи на следните изисквания:

1)

– решение на DE (2) на ;

2) n/a от района на уникалността!
:
удовлетворява дадените начални условия.

Коментирайте.

Коефициент на изглед
, което неявно определя общото решение на DE (2) на се нарича общ интеграл DU.

Частно решение DE (2) се получава от общото му решение за конкретна стойност .

Интегриране на DP VP.

Диференциалните уравнения от по-висок ред по правило не се решават с точни аналитични методи.

Нека отделим определен тип DSW, който допуска редукции и редукции до квадратури. Ние обобщаваме тези видове уравнения и начините за намаляване на техния ред в таблица.

ДП ВП, като се допускат намаления в поръчката

Дефиниция на хомогенна функция:

функция
се нарича хомогенна по променливи
, ако


във всяка точка от обхвата на функцията
;

е редът на хомогенност.

Например, е хомогенна функция от 2-ри ред по отношение на
, т.е. .

Пример 1:

Намерете общо решение на DE
.

DE от 3-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Интегрирайте уравнението три пъти последователно.

,

е общото решение на DE.

Пример 2:

Решете проблема на Коши за DE
при

.

DE от втори ред, непълен, не съдържа изрично .

Заместване
и негово производно
намалява реда на DE с единица.

. Получен DE от първи ред - уравнението на Бернули. За да решим това уравнение, прилагаме заместването на Бернули:

,

и го включете в уравнението.

На този етап решаваме проблема на Коши за уравнението
:
.

е уравнение от първи ред с разделими променливи.

Заместваме началните условия в последното равенство:

Отговор:
е решението на задачата на Коши, което отговаря на началните условия.

Пример 3:

Решете DU.

– DE от 2-ри ред, непълен, не съдържа изрично променливата и следователно позволява понижаване на реда с единица чрез заместване или
.

Получаваме уравнението
(позволявам
).

– DE от 1-ви ред с разделителни променливи. Нека ги споделим.

е общият интеграл на DE.

Пример 4:

Решете DU.

Уравнението
е точно производно уравнение. Наистина ли,
.

Нека интегрираме лявата и дясната част по отношение на , т.е.
или . Получени DE от 1-ви ред с разделими променливи, т.е.
е общият интеграл на DE.

Пример5:

Решете проблема на Коши за
при .

DE от 4-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Отбелязвайки, че това уравнение е в точни производни, получаваме
или
,
. Заменяме началните условия в това уравнение:
. Да вземем дистанционното
3-ти ред от първи тип (виж таблицата). Нека го интегрираме три пъти и след всяко интегриране ще заместваме началните условия в уравнението:

Отговор:
- решение на задачата на Коши на оригиналния DE.

Пример 6:

Решете уравнението.

– DE от 2-ри ред, пълен, съдържа еднаквост по отношение на
. Заместване
ще понижи реда на уравнението. За да направим това, свеждаме уравнението до формата
, разделяйки двете страни на първоначалното уравнение на . И ние разграничаваме функцията стр:

.

Заместител
и
в DU:
. Това е уравнение на разделима променлива от първи ред.

Като се има предвид това
, получаваме DE или
е общото решение на оригиналния DE.

Теория на линейните диференциални уравнения от по-висок ред.

Основна терминология.

– НЛДУ -ти ред, където - непрекъснати функциина някакъв интервал.

Нарича се интервал на непрекъснатост на DE (3).

Нека въведем (условен) диференциален оператор от ти ред

Когато действа върху функцията, получаваме

Това е лявата страна на линеен DE от -ти ред.

В резултат на това LDE може да бъде написан

Свойства на линейния оператор
:

1) - свойство на адитивност

2)
– брой – свойство за хомогенност

Свойствата се проверяват лесно, тъй като производните на тези функции имат подобни свойства (крайната сума от производните е равна на сумата от краен брой производни; постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната).

Че.
е линеен оператор.

Разгледайте въпроса за съществуването и уникалността на решение на проблема на Коши за LDE
.

Нека решим LDE по отношение на
: ,
, е интервалът на непрекъснатост.

Функцията е непрекъсната в областта , производни
непрекъснато в региона

Следователно областта на уникалност, в която има проблемът на Коши LDE (3). единствено решениеи зависи само от избора на точка
, всички други стойности на аргументите
функции
може да се вземе произволно.

Обща теория на OLDU.

е интервалът на непрекъснатост.

Основни свойства на OLDDE решенията:

1. Свойство на адитивност

(
– OLDDE решение (4) на )
(
е решението на OLDDE (4) на ).

Доказателство:

е решението на OLDDE (4) на

е решението на OLDDE (4) на

Тогава

2. Свойство хомогенност

( е решението на OLDDE (4) на ) (
(- числово поле))

е решението на OLDDE (4) на .

Доказва се по подобен начин.

Свойствата адитивност и хомогенност се наричат линейни свойстваОЛДУ (4).

Последица:

(
– решение на OLDDE (4) на )(

е решението на OLDDE (4) на ).

3. ( е комплексно-стойно решение на OLDDE (4) на )(
са реални решения на OLDDE (4) на ).

Доказателство:

Ако е решението на OLDDE (4) на , то при заместване в уравнението го превръща в тъждество, т.е.
.

Поради линейността на оператора , лявата страна на последното равенство може да се запише по следния начин:
.

Това означава, че , т.е. са реални решения на OLDDE (4) на .

Следните свойства на OLDDE решенията са свързани с понятието „ линейна зависимост”.

Определяне на линейната зависимост на крайна система от функции

Система от функции се нарича линейно зависима от ако има нетривиаленнабор от числа
така че линейната комбинация
функции
с тези числа е идентично равен на нула на , т.е.
.n , което е грешно. Теоремата е доказана.диференц уравненияпо-високпоръчки(4 часа...

Често само споменаване диференциални уравнениякара учениците да се чувстват неудобно. Защо се случва това? Най-често, защото при изучаването на основите на материала възниква празнина в знанията, поради което по-нататъшното изучаване на дифури става просто мъчение. Нищо не е ясно какво да правя, как да реша откъде да започна?

Ние обаче ще се опитаме да ви покажем, че difurs не е толкова трудно, колкото изглежда.

Основни понятия от теорията на диференциалните уравнения

От училище знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерим неизвестното x. Всъщност диференциални уравнениясамо малко по-различен от тях - вместо променлива х те трябва да намерят функция y(x) , което ще превърне уравнението в идентичност.

д диференциални уравненияимат голямо практическо значение. Това не е абстрактна математика, която няма нищо общо със света около нас. С помощта на диференциални уравнения се описват много реални природни процеси. Например вибрациите на струните, движението на хармоничен осцилатор, с помощта на диференциални уравнения в задачите на механиката намират скоростта и ускорението на тялото. Също DUнамират широко приложение в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (DU) е уравнение, съдържащо производните на функцията y(x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения от първи и по-висок ред, частични диференциални уравнения и т.н.

Решението на диференциално уравнение е функция, която го превръща в идентичност. Има общи и специални решения за дистанционно управление.

Общото решение на диференциалното уравнение е общото множество от решения, които превръщат уравнението в идентичност. Конкретно решение на диференциално уравнение е решение, което отговаря на допълнителни условия, определени първоначално.

Редът на диференциалното уравнение се определя от най-високия ред на производните, включени в него.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравненияса уравнения, съдържащи една независима променлива.

Разгледайте най-простото обикновено диференциално уравнение от първи ред. Изглежда като:

Това уравнение може да бъде решено чрез просто интегриране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Уравнения с разделими променливи

AT общ изгледтози тип уравнение изглежда така:

Ето един пример:

Решавайки такова уравнение, трябва да разделите променливите, като ги приведете във формата:

След това остава да интегрираме двете части и да получим решение.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Такива уравнения приемат формата:

Тук p(x) и q(x) са някои функции на независимата променлива, а y=y(x) е желаната функция. Ето пример за такова уравнение:

Решавайки такова уравнение, най-често използват метода на вариация на произволна константа или представят желаната функция като произведение на две други функции y(x)=u(x)v(x).

За решаването на такива уравнения е необходима определена подготовка и ще бъде доста трудно да ги вземете „на прищявка“.

Пример за решаване на DE с разделими променливи

Така че разгледахме най-простите видове дистанционно управление. Сега нека да разгледаме един от тях. Нека е уравнение с разделими променливи.

Първо, пренаписваме производната в по-позната форма:

След това ще разделим променливите, тоест в едната част на уравнението ще съберем всички „игри“, а в другата - „xes“:

Сега остава да интегрираме и двете части:

Ние интегрираме и получаваме общото решение на това уравнение:

Разбира се, решаването на диференциални уравнения е вид изкуство. Трябва да можете да разберете към какъв тип принадлежи дадено уравнение и също така да се научите да виждате какви трансформации трябва да направите с него, за да го доведете до една или друга форма, да не говорим само за способността да диференцирате и интегрирате. И е необходима практика (както с всичко), за да успеете да решите DE. И ако в момента нямате време да разберете как се решават диференциалните уравнения или проблемът на Коши е станал като кост в гърлото ви или не знаете, свържете се с нашите автори. В кратки срокове ще ви предоставим готови и подробно решение, за да разберете подробностите за които можете по всяко удобно за вас време. Междувременно предлагаме да гледате видеоклип на тема "Как да решаваме диференциални уравнения":