Общо решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нехомогенни диференциални уравнения от втори ред

Проверихме това, в случай че е известно общо решениелинеен хомогенно уравнение, е възможно да се намери общото решение чрез метода на вариация на произволни константи нехомогенно уравнение. Но въпросът как да се намери общото решение на хомогенното уравнение остана открит. В конкретен случай, когато в линейното диференциално уравнение (3) всички коефициенти p i(х)= a i - константи, се решава доста просто, дори без интегриране.

Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти, т.е. уравнения от формата

г (н) + а 1 г (н – 1) + ... а н – 1 г " + a n y = 0, (14)

където a i- константи (аз= 1, 2, ...,н).

Както е известно, за линейно хомогенно уравнение от 1-ви ред решението е функция от формата д kx.Ще търсим решение на уравнение (14) във вида й (х) = д kx.

Нека заместим в уравнение (14) функцията й (х) и неговите производни на ред м (1 £ м£ н)й (м) (х) = k m e kx. Вземете

(k n + a 1 k n – 1 +… и n – 1 k + a n)e kx = 0,

но д k x ¹ 0 за всякакви х, Ето защо

k n + a 1 k n – 1 + ... а н – 1 k + a n = 0. (15)

Уравнение (15) се нарича характеристично уравнение, полином от лявата страна,- характерен полином , неговите корени- характерни корени диференциално уравнение (14).

Заключение:

функцияй (х) = д kx - решение на линейното хомогенно уравнение (14) тогава и само ако числото к - корен характеристично уравнение (15).

По този начин процесът на решаване на линейното хомогенно уравнение (14) се свежда до решаване на алгебричното уравнение (15).

Има различни случаи на характерни корени.

1.Всички корени на характеристичното уравнение са реални и различни.

В такъв случай нразлични характерни корени к 1 ,к 2 ,..., k nотговаря нразлични решения на хомогенното уравнение (14)

Може да се покаже, че тези решения са линейно независими и следователно формират фундаментална системарешения. По този начин общото решение на уравнението е функцията

където ОТ 1 , ° С 2 , ..., ~ n - произволни константи.

ПРИМЕР 7. Намерете общото решение на линейното хомогенно уравнение:

а) при¢ ¢ (х) - 6при¢ (х) + 8при(х) = 0, б) при¢ ¢ ¢ (х) + 2при¢ ¢ (х) - 3при¢ (х) = 0.

Решение. Нека съставим характеристично уравнение. За да направим това, заместваме производната на поръчката мфункции г(х) в съответната степен

к(при (м) (х) « к м),

докато самата функция при(х), тъй като производната от нулев порядък се заменя с к 0 = 1.

В случай (а) характеристичното уравнение има формата к 2 - 6k + 8 = 0. Корените на това квадратно уравнение к 1 = 2,к 2 = 4. Тъй като те са реални и различни, общото решение има формата й (х)= В 1 д 2х + От 2 д 4x.

За случай (b) характеристичното уравнение е уравнението от трета степен к 3 + 2к 2 - 3k = 0. Намерете корените на това уравнение:

к(к 2 + 2 к - 3)= 0 Þ к = 0i к 2 + 2 к - 3 = 0 Þ к = 0, (к - 1)(к + 3) = 0,

T . д . к 1 = 0, к 2 = 1, к 3 = - 3.

Тези характеристични корени съответстват на основната система от решения на диференциалното уравнение:

й 1 (х)= д 0х = 1, й 2 (х) = e x, й 3 (х)= д - 3х .

Общото решение, съгласно формула (9), е функцията

й (х)= В 1 + C 2 e x + C 3 д - 3х .

II . Всички корени на характеристичното уравнение са различни, но някои от тях са сложни.

Всички коефициенти на диференциалното уравнение (14) и следователно на неговото характеристично уравнение (15)- реални числа, тогава ако c сред характеристичните корени има комплексен корен к 1 = a + ib,тоест неговия спрегнат корен к 2 = ` к 1 = а- ib.Първи корен к 1 съответства на решението на диференциалното уравнение (14)

й 1 (х)= д (a+ib)х = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(използвахме формулата на Ойлер e i x = cosx + isinx). По същия начин коренът к 2 = а- ibсъответства на решението

й 2 (х)= д (a - -ib)х = e a x e - ib x= e брадва(cosbx - isinbx).

Тези решения са комплексни. За да получим реални решения от тях, използваме свойствата на решенията на линейно хомогенно уравнение (виж 13.2). Функции

са реални решения на уравнение (14). Освен това тези решения са линейно независими. Така може да се направи следното заключение.

Правило 1.Двойка спрегнати комплексни корени a± ib на характеристичното уравнение в FSR на линейното хомогенно уравнение (14) съответства на две реални частни решенияи .

ПРИМЕР 8. Намерете общото решение на уравнението:

а) при¢ ¢ (х) - 2при ¢ (х) + 5при(х) = 0 ;б) при¢ ¢ ¢ (х) - при¢ ¢ (х) + 4при ¢ (х) - 4при(х) = 0.

Решение. В случай на уравнение (а), корените на характеристичното уравнение к 2 - 2k + 5 = 0 са две спрегнати комплексни числа

к 1, 2 = .

Следователно, съгласно правило 1, те съответстват на две реални линейно независими решения: и , а общото решение на уравнението е функцията

й (х)= В 1 e x cos 2x + C 2 e x грях 2х.

В случай (b), за намиране на корените на характеристичното уравнение к 3 - к 2 + 4к- 4 = 0, разлагаме лявата му страна на множители:

к 2 (к - 1) + 4(к - 1) = 0 Þ (к - 1)(к 2 + 4) = 0 Þ (к - 1) = 0, (к 2 + 4) = 0.

Следователно имаме три характерни корена: к 1 = 1,k2 , 3 = ± 2азКорну к 1 съответства на решението , и чифт спрегнати комплексни корени к 2, 3 = ± 2аз = 0 ± 2аз- две реални решения: и . Съставяме общото решение на уравнението:

й (х)= В 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 грях 2х.

III . Сред корените на характеристичното уравнение има кратни.

Позволявам к 1 - реален корен на кратността мхарактеристично уравнение (15), т.е. сред корените има м равни корени. Всяко от тях съответства на едно и също решение на диференциално уравнение (14). Включете обаче мравни решения в FSR са невъзможни, тъй като те представляват линейно зависима система от функции.

Може да се покаже, че в случай на множествен корен к 1решения на уравнение (14), в допълнение към функцията, са функциите

Функциите са линейно независими по цялата числова ос, тъй като , т.е. те могат да бъдат включени в FSR.

Правило 2 истински характерен корен к 1 множествености мв FSR съответства мрешения:

Ако к 1 - комплексен корен от кратност мхарактеристично уравнение (15), тогава има спрегнат корен к 1 множествености м. По аналогия получаваме следното правило.

Правило 3. Двойка спрегнати комплексни корени a± ib в FSR съответства на 2m реални линейно независими решения:

, , ..., ,

, , ..., .

ПРИМЕР 9. Намерете общото решение на уравнението:

а) при¢ ¢ ¢ (х) + 3при¢ ¢ (х) + 3при¢ (х)+ y ( х)= 0;б) IV(х) + 6при¢ ¢ (х) + 9при(х) = 0.

Решение. В случай (а) характеристичното уравнение има формата

к 3 + 3 к 2 + 3 к + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

т.е. k =- 1 - множествен корен 3. Въз основа на правило 2, ние записваме общото решение:

й (х)= В 1 + C 2 x + C 3 х 2 .

Характеристичното уравнение в случай (b) е уравнението

к 4 + 6к 2 + 9 = 0

или иначе,

(к 2 + 3) 2 = 0 Þ к 2 = - 3 Þ к 1, 2 = ± аз

Имаме чифт спрегнати комплексни корени, всеки с кратност 2. Съгласно правило 3, общото решение се записва като

й (х)= В 1 + C 2 x + C 3 + C 4 х .

От горното следва, че за всяко линейно хомогенно уравнение с постоянни коефициенти може да се намери фундаментална система от решения и да се образува общо решение. Следователно решението на съответното нехомогенно уравнение за всяка непрекъсната функция f(х) от дясната страна може да се намери с помощта на метода на вариация на произволни константи (вижте раздел 5.3).

Пример r10. Използвайки метода на вариацията, намерете общото решение на нехомогенното уравнение при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = x д 2х .

Решение. Първо намираме общото решение на съответното хомогенно уравнение при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = 0. Корените на характеристичното уравнение к 2 - к- 6 = 0 са к 1 = 3,к 2 = - 2, а общо решение на хомогенното уравнение - функция ` при ( х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х .

Ще търсим решение на нееднородното уравнение във вид

при( х) = ОТ 1 (х)д 3х + C 2 (х)д 2х . (*)

Да намерим определителя на Вронски

У[д 3х , д 2х ] = .

Нека съставим системата от уравнения (12) по отношение на производните на неизвестните функции ОТ ¢ 1 (х) и ОТ¢ 2 (х):

Решавайки системата с помощта на формулите на Крамер, получаваме

Интегрирайки, намираме ОТ 1 (х) и ОТ 2 (х):

Заместващи функции ОТ 1 (х) и ОТ 2 (х) в равенство (*), получаваме общото решение на уравнението при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = x д 2х :

В случая, когато дясната страна на линейно нехомогенно уравнение с постоянни коефициенти има специален вид, конкретно решение на нехомогенно уравнение може да се намери, без да се прибягва до метода на вариация на произволни константи.

Разгледайте уравнението с постоянни коефициенти

г (н) + 1 г (н– 1) + ... а н – 1 г " + a n y = f (х), (16)

f( х) = дбрадва(P n(х)cosbx + Rm(х)sinbx), (17)

където P n(х) и Rm(х) - полиноми на степен н и мсъответно.

Частно решение y*(х) на уравнение (16) се определя от формулата

при* (х) = x sд брадва(Г-н(х)cosbx + Nr(х)sinbx), (18)

където Г-н(х) и N r(х) - полиноми на степен r = макс(n, m) с неопределени коефициенти , а сравна на кратността на корена к 0 = a + ibхарактерен полином на уравнение (16), докато се приема s= 0 ако к 0 не е характерен корен.

За да формулираме конкретно решение, използвайки формула (18), трябва да намерим четири параметъра - a, b, rи с.Първите три се определят от дясната страна на уравнението, с r- всъщност е най-високата хнамерени от дясната страна. Параметър ссе намира чрез сравняване на числото к 0 = a + ibи множеството от всички (като се вземат предвид кратностите) характеристични корени на уравнение (16), които се намират при решаването на съответното хомогенно уравнение.

Нека разгледаме частни случаи на формата на функция (17):

1) при а ¹ 0, b= 0f(х)= e брадва P n(х);

2) когато а= 0, b ¹ 0f(х)= P n(х) сosbx + Rm(х)sinbx;

3) кога а = 0, b = 0f(х)=Pn(х).

Забележка 1. Ако P n (x) º 0 или R m (x)º 0, тогава дясната страна на уравнението f(x) = e ax P n (x)с osbx или f(x) = e ax R m (x)sinbx, т.е. съдържа само една от функциите - косинус или синус. Но в нотацията на конкретно решение и двете трябва да присъстват, тъй като съгласно формула (18) всеки от тях се умножава по полином с неопределени коефициенти от същата степен r = max(n, m).

Пример 11. Определете формата на конкретно решение на линейно хомогенно уравнение от 4-ти ред с постоянни коефициенти, ако е известна дясната страна на уравнението f(х) = e x(2xcos 3x +(х 2 + 1)грях 3х) и корените на характеристичното уравнение:

а ) к 1 = k 2 = 1, к 3 = 3,к 4 = - 1;

b ) к 1, 2 = 1 ± 3аз,к 3, 4 = ± 1;

в ) к 1, 2 = 1 ± 3аз,к 3, 4 = 1 ± 3аз

Решение. От дясната страна намираме това в конкретното решение при*(х), което се определя по формула (18), параметри: а= 1, b= 3, r= 2. Те остават едни и същи и за трите случая, оттук и числото к 0, който определя последния параметър сформула (18) е равна на к 0 = 1+ 3аз. В случай (а) сред характеристичните корени няма число к 0 = 1 + 3аз,означава, с= 0, а конкретното решение има формата

y*(х) = х 0 e x(М 2 (х)cos 3х + N 2 (х)грях 3х) =

= дх( (брадва 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 х 2 +Б 1 x + C 1)грях 3х.

В случай (б) числото к 0 = 1 + 3азсреща се само веднъж сред характерните корени, което означава, че s= 1 и

y*(х) = x e x((брадва 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 х 2 +Б 1 x + C 1)грях 3х.

За случай (c) имаме s= 2 и

y*(х) = х 2 e x((брадва 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 х 2 +Б 1 x + C 1)грях 3х.

В пример 11 в записа на конкретното решение има два полинома от 2-ра степен с неопределени коефициенти. За да намерите решение, трябва да определите числените стойности на тези коефициенти. Нека формулираме общо правило.

Да се ​​определят неизвестните коефициенти на полиноми Г-н(х) и N r(х) равенството (17) се диференцира необходимия брой пъти, функцията се замества y*(х) и неговите производни в уравнение (16). Сравнявайки лявата и дясната му част, получаваме системата алгебрични уравненияза намиране на коефициенти.

Пример 12. Намерете решение на уравнението при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = xe 2х, като определи конкретно решение на нехомогенното уравнение чрез формата на дясната страна.

Решение. Общото решение на нехомогенното уравнение има вида

при( х) = ` при(х)+ y*(х),

където ` при ( х) - общото решение на съответното хомогенно уравнение и y*(х) - конкретно решение на нехомогенно уравнение.

Първо решаваме хомогенното уравнение при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = 0. Неговото характеристично уравнение к 2 - к- 6 = 0 има два корена к 1 = 3,к 2 = - 2, Следователно, ` при ( х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х .

Използваме формула (18), за да определим вида на конкретното решение при*(х). функция f(х) = xe 2х е специален случай (а) на формула (17), докато а = 2,b= 0 и r= 1, т.е. к 0 = 2 + 0аз = 2. Сравнявайки с характерните корени, заключаваме, че s= 0. Замествайки стойностите на всички параметри във формула (18), имаме y*(х) = (Ах + Б)д 2х .

За намиране на ценности НОи AT, намерете производните на първия и втория ред на функцията y*(х) = (Ах + Б)д 2х :

y*¢ (х)= Ae 2х + 2(Ах + Б)д 2х = (2Ах + А + 2б)д 2x,

y*¢ ¢ (х) = 2Ae 2х + 2(2Ах + А + 2б)д 2х = (4Ах + 4A+ 4б)д 2х .

След заместване на функцията y*(х) и неговите производни в уравнението, което имаме

(4Ах + 4A+ 4б)д 2х - (2Ах + А + 2б)д 2х - 6(Ах + Б)д 2х =xe 2х Þ Þ А=- 1/4,B=- 3/16.

Така дадено решение на нехомогенното уравнение има формата

y*(х) = (- 1/4х- 3/16)д 2х ,

и общото решение - при ( х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х + (- 1/4х- 3/16)д 2х .

Забележка 2.В случай, че се поставя задачата на Коши за нехомогенно уравнение, първо трябва да се намери общо решение на уравнението

при( х) = ,

като определи всички числени стойности на коефициентите в при*(х). След това използвайте началните условия и като ги замените в общото решение (а не в y*(х)), намерете стойностите на константите C i.

Пример 13. Намерете решение на проблема на Коши:

при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = xe 2х ,г(0) = 0, г ¢ (х) = 0.

Решение. Общо решение на това уравнение

при(х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х + (- 1/4х- 3/16)д 2х

е намерено в пример 12. За да намерим конкретно решение, което удовлетворява началните условия на дадения проблем на Коши, получаваме системата от уравнения

Решавайки го, имаме ° С 1 = 1/8, ° С 2 = 1/16. Следователно решението на задачата на Коши е функцията

при(х) = 1/8д 3х + 1/16д - 2х + (- 1/4х- 3/16)д 2х .

Забележка 3(принцип на суперпозиция). Ако в линейно уравнение L n[г(х)]= f(х), където f(х) = f 1 (х)+ е 2 (х) и y* 1 (х) - решение на уравнението L n[г(х)]= f 1 (х), а y* 2 (х) - решение на уравнението L n[г(х)]= f 2 (х), след това функцията y*(х)= y* 1 (х)+ y* 2 (х) е решение на уравнението L n[г(х)]= f(х).

ПРИМЕР 14. Посочете формата на общото решение на линейното уравнение

при¢ ¢ (х) + 4при(х) = x + sinx.

Решение. Общо решение на съответното хомогенно уравнение

` при(х) = В 1 cos 2x + C 2 грях 2х,

тъй като характеристичното уравнение к 2 + 4 = 0 има корени к 1, 2 = ± 2аз.Дясната страна на уравнението не отговаря на формула (17), но ако въведем означ f 1 (х) = х, f 2 (х) = sinxи използвайте принципа на суперпозицията , тогава конкретно решение на нехомогенното уравнение може да се намери във формата y*(х)= y* 1 (х)+ y* 2 (х), където y* 1 (х) - решение на уравнението при¢ ¢ (х) + 4при(х) = х, а y* 2 (х) - решение на уравнението при¢ ¢ (х) + 4при(х) = sinx.По формула (18)

y* 1 (х) = Ax + B,y* 2 (х) = Ccosx + Dsinx.

След това конкретно решение

y*(х) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,

следователно общото решение има формата

при(х) = В 1 cos 2x + C 2 д - 2х + А x + B + Ccosx + Dsinx.

ПРИМЕР 15. Електрическата верига се състои от последователно свързан източник на ток с едс д(T) = E гряхw T,индуктивност Ли контейнери ОТ, и

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

Насоки

върху изучаването на темата "Линейни диференциални уравнения от втори ред" от студенти от счетоводния отдел на кореспондентската форма на обучение (NISPO)

Горки, 2013 г

Линеен диференциални уравнения

втори ред с константакоефициенти

Линейни хомогенни диференциални уравнения

Линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти се нарича уравнение от вида

тези. уравнение, което съдържа търсената функция и нейните производни само на първа степен и не съдържа техните произведения. В това уравнение и
са някои числа и функцията
дадени на някакъв интервал
.

Ако
на интервала
, тогава уравнение (1) приема формата

, (2)

и се обади линеен хомогенен . В противен случай се извиква уравнение (1). линейни нехомогенни .

Разгледайте сложната функция

, (3)

където
и
са реални функции. Ако функция (3) е комплексно решение на уравнение (2), тогава реалната част
, и имагинерната част
решения
взети отделно са решения на едно и също хомогенно уравнение. По този начин всеки цялостно решениеуравнение (2) генерира две реални решения на това уравнение.

Решенията на хомогенно линейно уравнение имат следните свойства:

Ако е решение на уравнение (2), тогава функцията
, където ОТ- произволна константа, също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако и са решения на уравнение (2), тогава функцията
също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако и са решения на уравнение (2), тогава тяхната линейна комбинация
също ще бъде решение на уравнение (2), където и
са произволни константи.

Функции
и
Наречен линейно зависими на интервала
ако има такива числа и
, които не са равни на нула в същото време, че на този интервал равенството

Ако равенство (4) е в сила само когато
и
, след това функциите
и
Наречен линейно независими на интервала
.

Пример 1 . Функции
и
са линейно зависими, тъй като
по цялата числова ос. В този пример
.

Пример 2 . Функции
и
са линейно независими на всеки интервал, тъй като равенството
възможно само ако и
, и
.

Построяване на общо решение на линейна хомогенна

уравнения

За да намерите общо решение на уравнение (2), трябва да намерите две от неговите линейно независими решения и . Линейна комбинация от тези решения
, където и
са произволни константи и ще дадат общото решение на линейно хомогенно уравнение.

Линейно независими решения на уравнение (2) ще се търсят във формата

, (5)

където - някакво число. Тогава
,
. Нека заместим тези изрази в уравнение (2):

или
.

защото
, тогава
. Така че функцията
ще бъде решение на уравнение (2), ако ще задоволи уравнението

. (6)

Уравнение (6) се нарича характеристично уравнение за уравнение (2). Това уравнение е алгебрично квадратно уравнение.

Позволявам и са корените на това уравнение. Те могат да бъдат или реални и различни, или сложни, или реални и равни. Нека разгледаме тези случаи.

Нека корените и характеристичните уравнения са реални и различни. Тогава решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
и
. Тези решения са линейно независими, тъй като равенството
може да се извърши само когато
, и
. Следователно общото решение на уравнение (2) има вида

,

където и
са произволни константи.

Пример 3
.

Решение . Характеристичното уравнение за този диференциал ще бъде
. Решаването му квадратно уравнение, намерете корените му
и
. Функции
и
са решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение има формата
.

комплексно число се нарича израз на формата
, където и са реални числа и
се нарича имагинерна единица. Ако
, след това числото
се нарича чисто въображаемо. Ако
, след това числото
се идентифицира с реално число .

Номер се нарича реална част от комплексното число и - въображаемата част. Ако две комплексни числа се различават едно от друго само по знака на въображаемата част, тогава те се наричат ​​спрегнати:
,
.

Пример 4 . Решаване на квадратно уравнение
.

Решение . Дискриминант на уравнение
. Тогава. по същия начин,
. По този начин това квадратно уравнение има спрегнати комплексни корени.

Нека корените на характеристичното уравнение са комплексни, т.е.
,
, където
. Решенията на уравнение (2) могат да бъдат записани като
,
или
,
. Според формулите на Ойлер

,
.

Тогава ,. Както е известно, ако сложна функция е решение на линейно хомогенно уравнение, тогава решенията на това уравнение са както реалната, така и въображаемата част на тази функция. Така решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
и
. От равенството

може да се извърши само ако
и
, тогава тези решения са линейно независими. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата

където и
са произволни константи.

Пример 5 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Уравнението
е характерен за дадения диференциал. Решаваме го и получаваме сложни корени
,
. Функции
и
са линейно независими решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение има формата.

Нека корените на характеристичното уравнение са реални и равни, т.е.
. Тогава решенията на уравнение (2) са функциите
и
. Тези решения са линейно независими, тъй като изразът може да бъде идентично равен на нула само когато
и
. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата
.

Пример 6 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Характеристично уравнение
има равни корени
. В този случай линейно независимите решения на диференциалното уравнение са функциите
и
. Общото решение има формата
.

Нееднородни линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

и специални правилната страна

Общото решение на линейното нехомогенно уравнение (1) е равно на сумата от общото решение
съответно хомогенно уравнение и всяко конкретно решение
нехомогенно уравнение:
.

В някои случаи определено решение на нехомогенно уравнение може да се намери съвсем просто чрез формата на дясната страна
уравнения (1). Нека разгледаме случаите, когато е възможно.

тези. дясната страна на нехомогенното уравнение е полином от степен м. Ако
не е корен на характеристичното уравнение, то определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси под формата на полином от степен м, т.е.

Коефициенти
се определят в процеса на намиране на определено решение.

Ако
е коренът на характеристичното уравнение, тогава определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата

Пример 7 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Съответното хомогенно уравнение за това уравнение е
. Неговото характеристично уравнение
има корени
и
. Общото решение на еднородното уравнение има вида
.

защото
не е корен на характеристичното уравнение, тогава ще търсим конкретно решение на нехомогенното уравнение под формата на функция
. Намерете производните на тази функция
,
и ги заместете в това уравнение:

или . Приравнете коефициентите при и безплатни членове:
Решавайки тази система, получаваме
,
. Тогава определено решение на нехомогенното уравнение има формата
, а общото решение на това нехомогенно уравнение ще бъде сумата от общото решение на съответното хомогенно уравнение и частното решение на нехомогенното:
.

Нека нееднородното уравнение има формата

Ако
не е корен на характеристичното уравнение, то частно решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата. Ако
е коренът на уравнението за характеристична множественост к (к=1 или к=2), то в този случай конкретното решение на нехомогенното уравнение ще има формата .

Пример 8 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Характеристичното уравнение за съответното хомогенно уравнение има формата
. своите корени
,
. В този случай общото решение на съответното хомогенно уравнение се записва като
.

Тъй като числото 3 не е корен на характеристичното уравнение, тогава определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата
. Нека намерим производни от първи и втори ред:,

Заместете в диференциалното уравнение:
+ +,
+,.

Приравнете коефициентите при и безплатни членове:

Оттук
,
. Тогава определено решение на това уравнение има формата
и общото решение

.

Метод на Лагранж за вариация на произволни константи

Методът на вариация на произволни константи може да се приложи към всяко нехомогенно линейно уравнение с постоянни коефициенти, независимо от формата на дясната страна. Този метод дава възможност винаги да се намери общо решение на нехомогенно уравнение, ако общото решение на съответното хомогенно уравнение е известно.

Позволявам
и
са линейно независими решения на уравнение (2). Тогава общото решение на това уравнение е
, където и
са произволни константи. Същността на метода на вариация на произволни константи е, че общото решение на уравнение (1) се търси във формата

където
и
- ще бъдат намерени нови неизвестни функции. Тъй като има две неизвестни функции, за намирането им са необходими две уравнения, съдържащи тези функции. Тези две уравнения съставят системата

която е линейна алгебрична система от уравнения по отношение на
и
. Решавайки тази система, намираме
и
. Интегрирайки двете части на получените равенства, намираме

и
.

Замествайки тези изрази в (9), получаваме общото решение на нехомогенното линейно уравнение (1).

Пример 9 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение. Характеристичното уравнение за хомогенното уравнение, съответстващо на даденото диференциално уравнение, е
. Корените му са сложни
,
. защото
и
, тогава
,
, а общото решение на хомогенното уравнение има формата Тогава общото решение на това нехомогенно уравнение ще се търси във вида където
и
- неизвестни функции.

Системата от уравнения за намиране на тези неизвестни функции има формата

Решавайки тази система, намираме
,
. Тогава

,
. Нека заместим получените изрази в общата формула за решение:

Това е общото решение на това диференциално уравнение, получено по метода на Лагранж.

Въпроси за самоконтрол на знанията

Кое диференциално уравнение се нарича линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти?

Кое линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно и кое нехомогенно?

Какви са свойствата на линейното хомогенно уравнение?

Какво уравнение се нарича характерно за линейно диференциално уравнение и как се получава?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случай на различни корени на характеристичното уравнение?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти при еднакви корени на характеристичното уравнение?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случай на комплексни корени на характеристичното уравнение?

Как се записва общото решение на линейно нееднородно уравнение?

В каква форма се търси частно решение на линейно нехомогенно уравнение, ако корените на характеристичното уравнение са различни и не са равни на нула, а дясната страна на уравнението е полином от степен м?

В каква форма се търси конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение, ако сред корените на характеристичното уравнение има една нула, а дясната страна на уравнението е полином от степен м?

Каква е същността на метода на Лагранж?

Основи на решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE-2) с постоянни коефициенти (PC)

CLDE от втори ред с постоянни коефициенти $p$ и $q$ има формата $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, където $f\left( x \right)$ е непрекъсната функция.

Следните две твърдения са верни по отношение на 2-ри LNDE с компютър.

Да приемем, че някаква функция $U$ е произволно частно решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нека приемем също, че някаква функция $Y$ е общо решение (OR) на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогава ИЛИ на LHDE-2 е равно на сумата от посочените частни и общи решения, т.е. $y=U+Y$.

Ако дясната страна на LIDE от 2-ри ред е сумата от функции, тоест $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, тогава първо можете да намерите PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, които съответстват на всеки на функциите $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ и след това напишете LNDE-2 PD като $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Решение на LNDE от 2-ри ред с компютър

Очевидно формата на един или друг PD $U$ на даден LNDE-2 зависи от конкретната форма на неговата дясна страна $f\left(x\right)$. Най-простите случаи на търсене на PD на LNDE-2 са формулирани като следните четири правила.

Правило номер 1.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тоест се нарича a полином от степен $n$. Тогава неговият PR $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, където $Q_(n) \left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на неопределените коефициенти (NC).

Правило номер 2.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left( x\right)$ е полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, където $Q_(n ) \ left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2 равно на $\alpha $. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.

Правило номер 3.

Дясната част на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, където $a$, $b$ и $\beta $ са известни числа. След това неговият PD $U$ се търси във формата $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, където $A$ и $B$ са неизвестни коефициенти, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равен на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се намират по метода NDT.

Правило номер 4.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, където $P_(n) \left(x\right)$ е полином от степен $n$, а $P_(m) \left(x\right)$ е полином от степен $m$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, където $Q_(s) \left(x\right) $ и $ R_(s) \left(x\right)$ са полиноми от степен $s$, числото $s$ е максимумът от две числа $n$ и $m$, а $r$ е броят на корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равни на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.

Методът NDT се състои в прилагане следващото правило. За да се намерят неизвестните коефициенти на полинома, които са част от конкретното решение на нехомогенното диференциално уравнение LNDE-2, е необходимо:

• заменете PD $U$, написан в общ вид, в лявата част на LNDE-2;
• от лявата страна на LNDE-2 извършете опростявания и групирайте термини със същите степени $x$;
• в получената идентичност приравнете коефициентите на членовете с еднакви степени $x$ на лявата и дясната страна;
• решете получената система линейни уравненияпо отношение на неизвестни коефициенти.

Пример 1

Задача: намерете ИЛИ LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Също така намерете PR , удовлетворяващ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.

Напишете съответния LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Характеристично уравнение: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на характеристичното уравнение: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Тези корени са реални и различни. По този начин ИЛИ на съответния LODE-2 има формата: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Дясната част на този LNDE-2 има формата $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Необходимо е да се вземе предвид коефициентът на степента на степента $\alpha =3$. Този коефициент не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение. Следователно PR на този LNDE-2 има формата $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Ще търсим коефициентите $A$, $B$ по метода NK.

Намираме първата производна на CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Намираме втората производна на CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Заменяме функциите $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в дадения LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ В същото време, тъй като експонентата $e^(3\cdot x) $ е включена като фактор във всички компоненти, тогава той може да бъде пропуснат.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Извършваме действия от лявата страна на полученото равенство:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Използваме метода NC. Получаваме система от линейни уравнения с две неизвестни:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Решението на тази система е: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашия проблем изглежда така: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

ИЛИ $y=Y+U$ за нашия проблем изглежда така: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ляво(-2\cdot x-1\дясно)\cdot e^(3\cdot x) $.

За да търсим PD, който отговаря на дадените начални условия, намираме производната $y"$ ИЛИ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Заместваме в $y$ и $y"$ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Имаме система от уравнения:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Ние го решаваме. Намираме $C_(1) $ с помощта на формулата на Крамър, а $C_(2) $ се определя от първото уравнение:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Така PD на това диференциално уравнение е: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Тази статия разкрива въпроса за решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Теорията ще бъде разгледана заедно с примери за дадените задачи. За да дешифрирате неразбираеми термини, е необходимо да се обърнете към темата за основните определения и понятия на теорията на диференциалните уравнения.

Разгледайте линейно диференциално уравнение (LDE) от втори ред с постоянни коефициенти под формата y "" + p y " + q y \u003d f (x) , където p и q са произволни числа, а съществуващата функция f (x) е непрекъснат на интервала на интегриране x .

Нека преминем към формулирането на общата теорема за решение за LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обща теорема за решение за LDNU

Теорема 1

Общото решение, разположено в интервала x, на нехомогенно диференциално уравнение от вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) с коефициенти на непрекъснато интегриране на x интервал f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрекъсната функция f (x) е равно на сумата от общото решение y 0 , което съответства на LODE и някое конкретно решение y ~ , където първоначалното нехомогенно уравнение е y = y 0 + y ~ .

Това показва, че решението на такова уравнение от втори ред има формата y = y 0 + y ~ . Алгоритъмът за намиране на y 0 е разгледан в статията за линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. След това трябва да се пристъпи към дефиницията на y ~ .

Изборът на конкретно решение на LIDE зависи от типа на наличната функция f (x), разположена от дясната страна на уравнението. За да направите това, е необходимо да се разгледат отделно решенията на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Когато f (x) се счита за полином от n-та степен f (x) = P n (x) , следва, че определено решение на LIDE се намира по формула от вида y ~ = Q n (x ) x γ , където Q n ( x) е полином от степен n, r е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение. Стойността на y ~ е конкретно решение y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , тогава наличните коефициенти, които се определят от полинома
Q n (x) , намираме с помощта на метода на неопределените коефициенти от равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 1

Изчислете с помощта на теоремата на Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Решение

С други думи, необходимо е да се премине към конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти y "" - 2 y " = x 2 + 1 , което ще отговаря на дадените условия y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Общото решение на линейно нехомогенно уравнение е сумата от общото решение, което съответства на уравнението y 0 или конкретно решение на нехомогенното уравнение y ~ , тоест y = y 0 + y ~ .

Първо, нека намерим общо решение за LNDE, а след това конкретно.

Нека да преминем към намирането на y 0 . Написването на характеристичното уравнение ще помогне да се намерят корените. Разбираме това

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 \u003d 2

Открихме, че корените са различни и реални. Затова пишем

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Нека намерим y ~ . Вижда се, че дясната страна дадено уравнениее полином от втора степен, тогава един от корените е равен на нула. От тук получаваме, че определено решение за y ~ ще бъде

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, където стойностите на A, B, C вземете неопределени коефициенти.

Нека ги намерим от равенство от вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Тогава получаваме това:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Приравнявайки коефициентите с еднакви показатели x , получаваме система от линейни изрази - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Когато решаваме по някой от начините, намираме коефициентите и записваме: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Този запис се нарича общо решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.

За да се намери конкретно решение, което отговаря на условията y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , е необходимо да се определят стойностите C1и C2, основано на равенство от вида y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Получаваме това:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Работим с получената система от уравнения от вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , където C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Прилагайки теоремата на Коши, имаме това

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Отговор: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когато функцията f (x) е представена като произведение на полином със степен n и експонента f (x) = P n (x) e a x , тогава от тук получаваме, че определено решение на LIDE от втори ред ще бъде уравнение от вида y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , където Q n (x) е полином от n-та степен, а r е броят на корените на характеристичното уравнение, равен на α .

Коефициентите, принадлежащи на Q n (x), се намират чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 2

Намерете общото решение на диференциално уравнение от вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Решение

Уравнението общ изглед y = y 0 + y ~ . Посоченото уравнение съответства на LOD y "" - 2 y " = 0. Предишният пример показва, че неговите корени са k1 = 0и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x съгласно характеристичното уравнение.

Може да се види, че дясната страна на уравнението е x 2 + 1 · e x . От тук LNDE се намира чрез y ~ = e a x Q n (x) x γ, където Q n (x) , което е полином от втора степен, където α = 1 и r = 0, тъй като характеристичното уравнение не имат корен, равен на 1. Следователно получаваме това

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C са неизвестни коефициенти, които могат да бъдат намерени от равенството y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Разбрах това

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Приравняваме показателите за едни и същи коефициенти и получаваме система от линейни уравнения. От тук намираме A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Отговор:може да се види, че y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 е конкретно решение на LIDE и y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Когато функцията е записана като f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x и A 1и В 1са числа, тогава уравнение от формата y ~ = A cos β x + B sin β x x γ, където A и B се считат за неопределени коефициенти, а r броят на комплексно спрегнатите корени, свързани с характеристичното уравнение, равно на ± i β . В този случай търсенето на коефициенти се извършва чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 3

Намерете общото решение на диференциално уравнение под формата y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Решение

Преди да напишем характеристичното уравнение, намираме y 0 . Тогава

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 = - 2 i

Имаме двойка комплексно спрегнати корени. Нека трансформираме и получаваме:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Корените от характеристичното уравнение се считат за спрегната двойка ± 2 i , тогава f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Това показва, че търсенето на y ~ ще бъде направено от y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Неизвестни коефициентите A и B ще се търсят от равенство от формата y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Нека трансформираме:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Тогава се вижда, че

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Необходимо е да се приравнят коефициентите на синусите и косинусите. Получаваме система от вида:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

От това следва, че y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Отговор:общото решение на оригиналния LIDE от втори ред с постоянни коефициенти се счита за

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Когато f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогава y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Имаме, че r е броят на комплексно спрегнатите двойки корени, свързани с характеристичното уравнение, равен на α ± i β , където P n (x) , Q k (x) , L m ( x) и N m (x)са полиноми от степен n, k, m, където m = m a x (n, k). Намиране на коефициенти L m (x)и N m (x)се получава въз основа на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 4

Намерете общото решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Решение

От условието става ясно, че

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Тогава m = m a x (n , k) = 1 . Намираме y 0, като първо напишем характеристичното уравнение във формата:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Открихме, че корените са реални и различни. Следователно y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . След това е необходимо да се търси общо решение, основано на нехомогенно уравнение y ~ от формата

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Известно е, че A, B, C са коефициенти, r = 0, тъй като няма двойка спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение с α ± i β = 3 ± 5 · i . Тези коефициенти се намират от полученото равенство:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Намирането на производната и подобни термини дава

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

След приравняване на коефициентите се получава система от вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

От всичко следва, че

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) грях (5x))

Отговор:сега е получено общото решение на даденото линейно уравнение:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Алгоритъм за решаване на LDNU

Определение 1

Всеки друг вид функция f (x) за решението осигурява алгоритъма за решение:

• намиране на общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение, където y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , където y 1и y2са линейно независими отделни решения на LODE, от 1и От 2се считат за произволни константи;
• приемане като общо решение на LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• дефиниция на производни на функция чрез система от формата C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) и функции за намиране C 1 (x)и C 2 (x) чрез интегриране.

Пример 5

Намерете общото решение за y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Решение

Пристъпваме към писане на характеристичното уравнение, като преди това сме написали y 0 , y "" + 36 y = 0 . Нека напишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Имаме, че записът на общото решение на даденото уравнение ще приеме формата y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Необходимо е да се премине към дефиницията на производните функции C 1 (x)и C2(x)по системата с уравнения:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Необходимо е да се вземе решение относно C 1 "(x)и C2" (x)използвайки всеки метод. Тогава пишем:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Всяко от уравненията трябва да бъде интегрирано. След това записваме получените уравнения:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

От това следва, че общото решение ще има формата:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Отговор: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter