Уравнение на Бернулие един от най-известните нелинейни диференциални уравнения от първи ред. Написано е във формата

където а(х) и b(х) − непрекъснати функции. Ако м= 0, тогава уравнението на Бернули става линейно диференциално уравнение. В случай, когато м= 1, уравнението се трансформира в уравнение с разделими променливи. Като цяло, когато м≠ 0, 1, уравнението на Бернули се свежда до линейно диференциално уравнение с помощта на заместването

Ново диференциално уравнение за функцията z(х) има формата

и може да се реши по начините, описани на страницата Linear диференциални уравненияпърва поръчка.

МЕТОД НА БЕРНУЛИ.

Разглежданото уравнение може да се реши по метода на Бернули. За да направим това, ние търсим решение на първоначалното уравнение под формата на продукт на две функции: където u, v- функции от х. Диференцирайте: Заместете в оригиналното уравнение (1): (2) Като vвземете всяко ненулево решение на уравнението: (3) Уравнение (3) е уравнение на разделима променлива. След като сме намерили неговото конкретно решение v = v(x), заместваме го в (2). Тъй като удовлетворява уравнение (3), изразът в скоби се нулира. Получаваме: Това също е уравнение на разделима променлива. Намери го общо решение, а с него и решението на първоначалното уравнение y=uv.

64. Уравнение в общи диференциали. интегриращ фактор. Методи за решаване

Диференциално уравнение от първи ред на формата

Наречен уравнение в общи диференциали , ако лявата му страна представлява общия диференциал на някаква функция , т.е.

Теорема.За да бъде уравнение (1) уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно в някаква просто свързана област на изменение на променливите и условието

Общият интеграл на уравнение (1) има формата или

Пример 1 Решете диференциалното уравнение.

Решение. Нека проверим дали това уравнение е уравнение в общите диференциали:

така че т.е. условие (2) е изпълнено. По този начин това уравнение е уравнение в общите диференциали и

така че къде е недефинирана функция.

Интегрирайки, получаваме. Частната производна на намерената функция трябва да бъде равна на, което дава откъде до датата, така че По този начин,.

Общ интеграл на първоначалното диференциално уравнение.

При интегрирането на някои диференциални уравнения е възможно да се групират членовете по такъв начин, че да се получат лесно интегрируеми комбинации.

65. Обикновени диференциални линейни уравнения от по-високи редове: хомогенни и нехомогенни. Линеен диференциален оператор, неговите свойства (с доказателство).

Линеен диференциален оператор и неговите свойства.Наборът от функции, които имат на интервала ( а , b ) поне н производни, образува линейно пространство. Помислете за оператора Л н (г ), който показва функцията г (х ), която има производни във функция, която има к - н производни.

Линейни диференциални уравнения от 1-ви ред
и уравнението на Бернули

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение, което е линейно по отношение на неизвестна функция и нейната производна. Изглежда като

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

където p(x) и q(x) са дадени функции на x, които са непрекъснати в областта, в която уравнение (1) трябва да бъде интегрирано.

Ако q(x)\equiv0 , тогава се извиква уравнение (1). линеен хомогенен. Това е уравнение с разделими променливи и има общо решение

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Може да се намери общото решение на нехомогенното уравнение метод на вариация на произволна константа, което се състои в това, че решението на уравнение (1) се търси във вида

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), където C(x) е нова неизвестна функция на x .

Пример 1реши уравнението y"+2xy=2xe^(-x^2).

Решение.Прилагаме метода на вариация на константа. Да разгледаме хомогенно уравнение y"+2xy=0, съответстващо на това нехомогенно уравнение. Това е уравнение с разделими променливи. Общото му решение е y=Ce^(-x^2) .

Търсим общото решение на нехомогенното уравнение във формата y=C(x)e^(-x^2) , където C(x) е неизвестна функция на x . Замествайки, получаваме C "(x)=2x , откъдето C(x)=x^2+C . Така че общото решение на нехомогенното уравнение ще бъде y=(x^2+C)e^(-x^2), където C е константата на интегриране.

Коментирайте.Може да се окаже, че диференциалното уравнение е линейно по x като функция на y. Нормалната форма на такова уравнение

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Пример 2реши уравнението \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Решение.Това уравнение е линейно, ако разгледаме x като функция на y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Прилагаме метода на вариация на произволна константа. Първо решаваме съответното хомогенно уравнение

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

което е уравнение на разделима променлива. Общото му решение е x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Търсим общото решение на уравнението във формата , където C(y) е неизвестна функция на y. Замествайки, получаваме

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yили C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Следователно, интегрирайки по части, имаме

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(подравнено)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Оригиналното уравнение може също да се интегрира както следва. Ние вярваме

y=u(x)v(x),

където u(x) и v(x) са неизвестни функции на x, една от които, например v(x), може да бъде избрана произволно.

Замествайки y=u(x)v(x) в , след трансформация получаваме

vu"+(pv+v")u=q(x).

Определяйки v(x) от условието v"+pv=0, след това намираме от vu"+(pv+v")u=q(x)функция u(x) , а оттам и решението y=uv на уравнението \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Като v(x) може да се вземе всяко често решение на уравнението v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Пример 3Решете проблема на Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Решение.Търсим общо решение на уравнението във формата y=u(x)v(x) ; имаме y"=u"v+uv" . Като заместим израза за y и y" в оригиналното уравнение, ще имаме

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Намираме функцията v=v(x) от условието x(x-1)v"+v=0. Вземайки всяко конкретно решение на последното уравнение, например v=\frac(x)(x-1) , и замествайки го, получаваме уравнението u"=2x-1 , от което намираме функцията u(x)=x^2-x+C . Следователно общото решение на уравнението x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)ще бъде

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),или y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Използвайки началното условие y|_(x=2)=4, получаваме уравнението за намиране на C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, откъдето C=0 ; така че решението на посочения проблем на Коши ще бъде функцията y=x^2 .

Пример 4Известно е, че между силата на тока i и електродвижещата сила E във верига със съпротивление R и самоиндукция L съществува връзка E=Ri+L\frac(di)(dt), където R и L са константи. Ако разгледаме E като функция на времето t, тогава получаваме линейна нехомогенно уравнениеза текущия i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Намерете тока i(t) за случая, когато E=E_0=\текст(конст)и i(0)=I_0.

Решение.Ние имаме \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Общото решение на това уравнение има формата i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Използвайки началното условие (13), получаваме от C=I_0-\frac(E_0)(R), така че желаното решение ще бъде

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Това показва, че при t\to+\infty силата на тока i(t) клони към постоянна стойност\frac(E_0)(R) .

Пример 5Дадено е семейство C_\alpha от интегрални криви на линейно нехомогенно уравнение y"+p(x)y=q(x).

Покажете, че допирателните в съответните точки към кривите C_\alpha, дефинирани от линейното уравнение, се пресичат в една точка (фиг. 13).

Решение.Да разгледаме допирателната към някаква крива C_\alpha в точката M(x,y). Уравнението на допирателната в точката M(x,y) има формата

\eta-q(x)(\xi-x)=y, където \xi,\eta са текущите координати на допирателната точка.

По дефиниция в съответните точки x е константа, а y е променлива. Вземайки произволни две допирателни към правите C_\alpha в съответните точки, за координатите на точката S на тяхното пресичане, получаваме

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Това показва, че всички допирателни към кривите C_\alpha в съответните точки (x е фиксирано) се пресичат в една и съща точка

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Елиминирайки аргумента x в системата, получаваме уравнението на геометричното място на точките S \colon f(\xi,\eta)=0.

Пример 6Намерете решение на уравнението y"-y=\cos(x)-\sin(x), което отговаря на условието: y е ограничено в y\to+\infty .

Решение.Общото решение на това уравнение е y=Ce^x+\sin(x) . Всяко решение на уравнението, получено от общото решение за C\ne0, ще бъде неограничено, тъй като за x\to+\infty функцията \sin(x) е ограничена, докато e^x\to+\infty . От това следва, че това уравнение има единствено решение y=\sin(x) , ограничено при x\to+\infty , което се получава от общото решение при C=0 .

Уравнение на Бернули

Диференциално уравнение на Бернулиима формата

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, където n\ne0;1 (за n=0 и n=1 това уравнение е линейно).

Чрез промяна на променливата z=\frac(1)(y^(n-1))уравнението на Бернули се свежда до линейно уравнение и се интегрира като линейно.

Пример 7Решете уравнението на Бернули y"-xy=-xy^3 .

Решение.Разделете двете страни на уравнението на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Извършване на промяна на променлива \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", където \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). След заместването последното уравнение става линейно уравнение

-\frac(z")(2)-xz=-xили z"+2xz=2x, чието общо решение е z=1+Ce^(-x^2).

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)или y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Коментирайте.Уравнението на Бернули може също да бъде интегрирано чрез метода на вариация на константа, като линейно уравнение, и като се използва заместването y(x)=u(x)v(x) .

Пример 8Решете уравнението на Бернули xy"+y=y^2\ln(x). .

Решение.Прилагаме метода на вариация на произволна константа. Общото решение на съответното хомогенно уравнение xy"+y=0 има формата y=\frac(C)(x) . Търсим общото решение на уравнението във формата y=\frac(C(x) )(x) , където C(x) - нова неизвестна функция. Замествайки в оригиналното уравнение, имаме

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

За да намерим функцията C(x), получаваме уравнение с разделими променливи, от което, разделяйки променливите и интегрирайки, намираме

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

И така, общото решение на първоначалното уравнение y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

някои нелинейни уравненияот първи ред, с помощта на добре установена промяна на променливите, се свеждат до линейни уравнения или до уравнения на Бернули.

Пример 9реши уравнението y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Решение.Записваме това уравнение във формата y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Разделяйки двете страни на уравнението на 2\cos^2\frac(y)(2), получаваме \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\име на оператор(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Замяна \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))довежда това уравнение до линейно \frac(dz)(dx)+z=-x, чието общо решение е z=1-x+Ce^(-x) .

Заменяйки z с израза му чрез y, получаваме общия интеграл на даденото уравнение \име на оператора(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

В някои уравнения желаната функция y(x) може да бъде под знака на интеграла. В тези случаи понякога е възможно даденото уравнение да се сведе до диференциално чрез диференциране.

Пример 10реши уравнението x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Решение.Диференцирайки двете страни на това уравнение по отношение на х, получаваме

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (х)или \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Диференцирайки отново по отношение на x, ще имаме линейно хомогенно уравнение по отношение на y(x)\colon

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)или x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Разделяйки променливите и интегрирайки, намираме y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Това решение, както е лесно да се провери, удовлетворява първоначалното уравнение.

Диференциалното уравнение на Бернули е уравнение от вида

където n≠0,n≠1.

Това уравнение може да се преобразува с помощта на заместването

в линейно уравнение

На практика диференциалното уравнение на Бернули обикновено не води до линейно, а веднага се решава по същите методи като линейното уравнение - или по метода на Бернули, или по метода на вариация на произволна константа.

Помислете как да решите диференциалното уравнение на Бернули, като използвате заместването y=uv (метод на Бернули). Схема на решение - както при .

Примери. Решете уравнения:

1) y'x + y \u003d -xy².

Това е диференциалното уравнение на Бернули. Нека го доведем до стандартната форма. За да направим това, разделяме двете части на x: y’+y/x=-y². Тук p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но за решението не се нуждаем от стандартен изглед. Ще работим с формата на нотация, която е дадена в условието.

1) Замяна y=uv, където u=u(x) и v=v(x) са някои нови функции на x. Тогава y'=(uv)'=u'v+v'u. Заместваме получените изрази в условието: (u'v+v'u)x+uv=-xu²v².

2) Нека разгънем скобите: u'vx+v'ux+uv=-xu²v². Сега нека групираме членовете с v: v + v'ux \u003d -xu²v² (I) (не докосваме члена със степен v, който е от дясната страна на уравнението). Сега изискваме изразът в скоби да е равен на нула: u'x+u=0. И това е уравнение с разделими променливи u и x. Като го решим, ние ще ви намерим. Заменяме u=du/dx и разделяме променливите: x du/dx=-u. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на xu≠0:

(когато намираме u С, приемаме равно на нула).

3) В уравнение (I) заместваме =0 и намерената функция u=1/x. Имаме уравнението: v’ (1/x) x=-x (1/x²) v². След опростяване: v’=-(1/x) v². Това е уравнение с разделими променливи v и x. Заменяме v’=dv/dx и разделяме променливите: dv/dx=-(1/x) v². Умножете двете страни на уравнението по dx и разделете на v²≠0:

(взехме -C, за да се отървем от минуса, като умножихме двете части по -1). И така, умножете по (-1):

(би било възможно да се вземе не C, а ln│C│, и в този случай би било v=1/ln│Cx│).

2) 2y'+2y=xy².

Нека се уверим, че това е уравнението на Бернули. Разделяйки двете части на 2, получаваме y’+y=(x/2) y². Тук p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаваме уравнението по метода на Бернули.

1) Замяна y=uv, y’=u’v+v’u. Ние заместваме тези изрази в първоначалното условие: 2(u'v+v'u)+2uv=xu²v².

2) Отворете скобите: 2u'v+2v'u+2uv=xu²v². Сега нека групираме членовете, съдържащи v: +2v'u=xu²v² (II). Изискваме изразът в скоби да е равен на нула: 2u'+2u=0, следователно u'+u=0. Това е разделимо уравнение за u и x. Нека го решим и да те намерим. Заменяме u’=du/dx, откъдето du/dx=-u. Като умножим двете страни на уравнението по dx и разделим на u≠0, получаваме: du/u=-dx. Ние интегрираме:

3) Заместване в (II) =0 и

Сега заместваме v'=dv/dx и разделяме променливите:

Ние интегрираме:

Лявата страна на равенството е табличен интеграл, интегралът от дясната страна се намира с помощта на формулата за интегриране по части:

Замествайки намерените v и du според формулата за интегриране по части, имаме:

И тъй като

Нека направим C=-C:

4) Тъй като y=uv, заместваме намерените функции u и v:

3) Интегрирайте уравнението x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделете двете страни на уравнението на x²(x-1)≠0 и преместете члена с y² в дясната страна:

Това е уравнението на Бернули

1) Замяна y=uv, y’=u’v+v’u. Както обикновено, тези изрази се заместват в първоначалното условие: x²(x-1)(u'v+v'u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Следователно x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v². Групираме термините, съдържащи v (v² - не пипайте):

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). Сега изискваме изразът в скоби да е равен на нула: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0, следователно x²(x-1)u'=x(x-2)u. В уравнението ние разделяме променливите u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на x²(x-1)u≠0:

От лявата страна на уравнението е табличен интеграл. рационална дробот дясната страна е необходимо да се разложи на прости фракции:

За x=1: 1-2=A 0+B 1, откъдето B=-1.

За x=0: 0-2=A(0-1)+B 0, откъдето A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Според свойствата на логаритмите: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откъдето u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) заместваме =0 и u=x²/(x-1). Получаваме: 0+x²(x-1)v'u=u²v²,

v'=dv/dx, заместител:

вместо C вземаме - C, така че като умножим двете части по (-1), се отърваваме от минусите:

Сега привеждаме изразите от дясната страна към общ знаменател и намираме v:

4) Тъй като y=uv, замествайки намерените функции u и v, получаваме:

Примери за самопроверка:

1) Нека се уверим, че това е уравнението на Бернули. Разделяйки двете части на x, имаме:

1) Променете y=uv, откъдето y’=u’v+v’u. Тези y и y' се заместват в първоначалното условие:

2) Групираме термини с v:

Сега изискваме изразът в скоби да е равен на нула и намираме u от това условие:

Ние интегрираме двете страни на уравнението:

3) В уравнението (*) заместваме =0 и u=1/x²:

Интегрираме двете страни на полученото уравнение.

Характеризиране на уравнението на Бернули

Определение 1

Диференциално уравнение от първи ред на стандартната форма $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$, където $P\left(x \right )$ и $Q\left(x\right)$ са непрекъснати функции, а $n$ е някакво число, се нарича диференциално уравнение на Якоб Бернули.

В този случай на числото $n$ се ​​налагат следните ограничения:

• $n\ne 0$, тъй като за $n = 0$ диференциалното уравнение е линейно нехомогенно и в този случай не е необходим друг специален метод за решаване;
• $n\ne 1$, тъй като ако имаме единица като $n$, диференциалното уравнение е линейно хомогенно, чийто метод на решаване също е известен.

Освен това не се разглежда особено тривиалното решение на диференциалното уравнение на Бернули $y=0$.

Диференциалното уравнение на математика Якоб Бернули не трябва да се бърка със закона на Бернули, кръстен на чичото на неговия племенник, известен като Даниел Бернули.

Забележка 1

Даниел Бернули - физик, най-известният модел, който откри, е в описанието на връзката между скоростта на потока на течността и налягането. Законът на Бернули е приложим и за ламинарни газови потоци. По принцип се използва в хидравликата и хидродинамиката.

Решение на уравнението на Бернули чрез редукция до линейно нехомогенно

Основният метод за решаване на диференциалното уравнение на Бернули е, че чрез трансформации то се свежда до линейно нехомогенно. Тези трансформации са:

1. Умножете уравнението по $y^(-n) $ и получете $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\left(x\ надясно)$.
2. Прилагаме заместването $z=y^(1-n) $ и диференцираме това равенство като комплексно степенна функция; получаваме $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$, откъдето $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
3. Заместете стойностите на $y^(1-n) $ и $y^(-n) \cdot y"$ в това диференциално уравнение и получете $\frac(z")(1-n) +P\left (x\right )\cdot z=Q\left(x\right)$ или $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1 -n\надясно )\cdot Q\наляво(x\надясно)$.

Полученото диференциално уравнение е линейно нехомогенно по отношение на функцията $z$, която решаваме по следния начин:

1. Изчислете интеграла $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, запишете конкретното решение като $v\left(x\right)= e ^(-I_(1) ) $, извършете опростяващи трансформации и изберете най-простия ненулев вариант за $v\left(x\right)$.
2. Изчислете интеграла $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, след които записват израза като $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$.
3. Записваме общото решение на линейното нехомогенно диференциално уравнение като $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
4. Връщаме се към функцията $y$, като заместваме $z$ с $y^(1-n) $ и извършваме опростяващи трансформации, ако е необходимо.

Пример:

Намерете общото решение на диференциалното уравнение $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$. Запишете конкретно решение, което удовлетворява началното условие $y=1$ за $x=1$.

В този случай имаме диференциалното уравнение на Бернули, представено в стандартна форма.

Освен това $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $.

Представяме го във формата по отношение на замяната на $z$:

$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \right )$ или $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$.

Полученото диференциално уравнение е линейно нехомогенно по отношение на функцията $z$, което се решава по описания по-горе метод.

Изчислете интеграла $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.

Имаме $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.

Записваме конкретно решение като $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ и извършваме опростяващи трансформации: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ надясно|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.

Избираме за $v\left(x\right)$ най-простия ненулев вариант: $v\left(x\right)=x$.

Изчислете интеграла $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $.

Записваме израза като $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$, т.е. $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Накрая записваме общото решение на линейното нехомогенно диференциално уравнение по отношение на функцията $z$ във формата $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, т.е. $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Сега се връщаме към функцията $y$, замествайки $z$ с $y^(1-n) $:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ или $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Това е общото решение на даденото диференциално уравнение на Бернули, записано в неявна форма.

За да търсим конкретно решение, използваме даденото начално условие $y=1$ за $x=1$:

Следователно конкретното решение е: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac(x )(2)$.

Решение на диференциалното уравнение на Бернули по метода на заместването

Второто възможно решение на уравнението на Бернули е методът на заместване.

Пример:

Намерете общото решение на диференциалното уравнение $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$, като използвате метода на заместване.

Прилагаме заместването $y=u\cdot v$.

След диференциране получаваме:

Намираме функцията $v\left(x\right)$ от уравнението $v"+\frac(v)(x) =0$, за това прехвърляме втория член от дясната страна.

Получаваме:

$\frac(dv)(dx)=-\frac(v)(x) $;

отделни променливи $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

ние интегрираме $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, откъдето $v=\frac(1)(x) $.

Функцията $u\left(x\right)$ се намира от уравнението $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) \cdot \ left(4-x^(2) \right)$, което взема предвид $v=\frac(1)(x) $ и $v"+\frac(v)(x) =0$.

След прости трансформации получаваме: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$.

Отделни променливи: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$.

Интегриране: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ или $\frac(1)(u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Връщаме се към старата променлива. Вземаме предвид, че $y=u\cdot v$ или $y=u\cdot \frac(1)(x) $, откъдето $u=x\cdot y$.

Получаваме общото решение на това диференциално уравнение: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.

Диференциалното уравнение y "+a 0 (x)y=b(x)y n се нарича Уравнение на Бернули.
Тъй като при n=0 се получава линейно уравнение, а при n=1 - с разделими променливи, тогава приемаме, че n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим двете части на (1) на y n . След това поставяме, имаме . Замествайки този израз, получаваме , или, еквивалентно, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Това е линейно уравнение, което знаем как да решим.

Сервизно задание. Онлайн калкулаторможе да се използва за тестване на решението Диференциални уравнения на Бернули.

Пример 1 . Намерете общото решение на уравнението y" + 2xy = 2xy 3. Това е уравнението на Бернули за n=3. Разделяйки двете страни на уравнението на y 3, получаваме. Правим заместването Тогава и следователно уравнението се пренаписва като -z" + 4xz = 4x. Решавайки това уравнение чрез метода на вариация на произволна константа , получаваме където или, което е същото, .

Пример 2 . y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Разделете на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

Извършване на замяна:
z=1/y n-1, т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Получаваме: -z" + z = -1 или z" - z = 1

Пример 3 . xy'+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение чрез уравнението на Бернули.
Нека го представим като: xy'+2y=-x 5 y 3 e x. Това е уравнението на Бернули за n=3. Разделяйки двете части на уравнението на y 3, получаваме: xy "/y 3 +2/y 2 = -x 5 e x. Правим замяна: z=1/y 2. Тогава z"=-2/y 3 и следователно уравнението се пренаписва като: -xz"/2+2z=-x 5 e x. Това е нехомогенно уравнение. Разгледайте съответното хомогенно уравнение: -xz"/2+2z=0
1. Решавайки го, получаваме: z"=4z/x

Интегрирайки, получаваме:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Сега търсим решение на оригиналното уравнение във формата: y (x) \u003d C (x) x 4, y "(x) \u003d C (x)" x 4 + C (x) (x 4 ) "
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)" = 2e x . Интегрирайки, получаваме: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
От условието y(x)=C(x)y, получаваме: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x. Тъй като z=1/y 2, получаваме: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x